Equações Diferenciais - NC.2012.2

CEQ.1414.0207

y dy + xdx = C

APOSTILA

DE

EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

ciências – uema Elaborada por :

Raimundo Merval Morais Gonçalves Licenciado em Matemática/UFMA Professor Auxiliar/UEMA Especialista em Ensino de Ciências/UEMA e–mail : [email protected]

São Luís – Ma AGOSTO / 2012

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ÍNDICE p.

1. Equações Diferenciais .................................................................... 03

2. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis ............................ 06

3. Equações Diferenciais Homogêneas .............................................. 09

4. Equações Diferenciais Exatas ........................................................ 11

5. Lista de Exercícios de Revisão – 1 ................................................. 13

6. Equações Lineares de 1ª ordem ..................................................... 14

7. Aplicações de equações de 1ª ordem ............................................ 17

8. Equações de Bernoulli .................................................................... 20

9. Lista de Exercícios de Revisão – 2 ................................................. 22

10. Equações Lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes .... 23

11. Equações Lineares de 2ª ordem não homogêneas ........................ 25

12. Equações Lineares de ordem n com coeficientes constantes .... 29

13 Equação de Cauchy − Euler ........................................................... 31

14. Sistemas Lineares de Equações Diferenciais ................................ 34

15. Transformada de Laplace ............................................................... 38

16. Lista de Exercícios de Revisão – 3 ................................................. 42

17. Tabela de Derivadas e Tabelas de Integrais.................................. 43

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1. DEFINIÇÃO Chama-se Equação Diferencial toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivada ou diferencial destas funções. EXEMPLOS :

a) 1x3dx

dy b) x. dx – y. dy = 0 c) 0y

dx

yd2

2

d) 1dx

dy.2

dx

yd2

2

2

e) 0x

y.4

t

x2

2

2

2

f) 0

v

x

u

t.2

2

2

3

3

2. CLASSIFICAÇÃO Uma equação diferencial é chamada Ordinária se a função incógnita depende de apenas uma variável ; se a função incógnita depende de mais de uma variável independente, temos uma Equação Diferencial Parcial, por exemplo : os exemplos a) , b) , c ) e d) são or-dinárias e os exemplos e) e f) são parciais. 3. ORDEM E GRAU 3.1 – ORDEM A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela comparece. 3.2 – GRAU Supondo-se a equação escrita, como um polinômio na incógnita e suas derivadas, o grau da equação é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação.

EXEMPLO : A equação

2

3

3

dx

yd

+ 4 2

2

dx

yd – 3

4

dx

dy

+ 7y = x 2 é de 3ª ordem e 2º grau , pois a

derivada terceira está elevada ao expoente 2( dois ). 4. SOLUÇÕES Solução de uma Equação Diferencial na função incógnita( y ) e variável independente( x ), em um intervalo I, é uma função y( x ) que verifica a equação para todo x I. EXEMPLOS :

a) Seja a equação y' = 3x – 1, verifique se y = Cx2

x3 2

é solução da equação.

b) Seja a equação ( y' )4 + y2 = – 1, verifique se y = x2 é solução

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Existem vários tipos de solução para uma equação diferencial. a) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantos as unidades da

ordem da equação. b) Solução Particular é a solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo-se valo-

res particulares às constantes arbitrárias. c) Solução Singular é a solução da equação, que não pode ser deduzida da solução geral. Para resolvermos uma equação diferencial deve-se integrar a mesma. 5. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO Um problema de Valor Inicial consiste em uma Equação Diferencial, juntamente com condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas, tudo dado para um mesmo valor da variável independente ; caso contrário o problema é um Problema de Con-torno, ou seja , quando as condições se referem a mais de um valor da variável independente. EXEMPLO 1 : Seja a equação y'' + 2y' = e x e as condições y' ( ) = 2 e y( ) = 1 . Este pro-

blema é um problema de valor inicial, pois as condições são ambas dadas no mesmo ponto x = .

EXEMPLO 2 : Seja a equação y'' + 2y' = e x e as condições y' ( 0 ) = 2 e y( 1 ) = 1 . Este proble-

ma é um problema de valores de contorno, pois as condições são dadas em diferen-tes pontos x = 0 e x = 1 .

6. CURVAS INTEGRAIS Geometricamente, a solução geral de uma Equação Diferencial representa uma fa-mília de curvas que recebem o nome de Curvas Integrais. Essa solução denomina-se Primitiva ou Integral da Equação Diferencial.

EXERCÍCIO RESOLVIDO : Seja a equação x2dx

dy . Descubra que família de curvas representa

a sua solução geral. SOLUÇÃO

x2dx

dy dy = 2x dx dy = 2x dx y =

2

2 2x + C y = x2 + C

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LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y''– y = 0 ? a) y = e x b) y = cos x c) y = 2 . e 2x d) y = 3 . e – x 2. Determine C1 e C2 de modo que y( x ) = C1 sen x + C2 cos x satisfaça as condições dadas . a) y( 0 ) = 1 e y'( 0 ) = 2 b) y( 0 ) = – 1 e y( \2 ) = 1 c) y( 0 ) = 2 e y'( ) = 1

R. a) C1 = 2 e C2 = 1 ; b) C1 = 1 e C2 = – 1 ; c) C1 = – 1 e C2 = 2 3. Em cada item abaixo, escreva uma equação diferencial que seja modelo matemático para a situa-ção descrita. a) A inclinação do gráfico de g no ponto ( x, y ) é a soma de x e y.

b) A reta tangente ao gráfico de g no ponto ( x, y ) intercepta o eixo-x no ponto

0,2

x.

c) A taxa de variação temporal da velocidade ( v ) de uma lancha é proporcional ao quadrado de ( v ). d) Em uma cidade com população fixa de P pessoas a taxa de variação temporal do número de pessoas( N ) que contraíram certa doença é proporcional ao produto do número de pessoas que tem a doença pelo número de pessoas que não tem. 5. Determine a família de curvas que a solução de cada equação abaixo, representa.

a) dx

dy= 2.x – 7 b)

dx

dy = x ² + 1 c)

dx

dy = 2x

1, x > 0

d) dx

dy = 3x² – 2x + 5 e )

dx

dy = y

x, y > 0 f)

dx

dy = 1y

1x

g) dx

dy = 9x² – 4x + 5 ; x = – 1 e y = 0 h)

dx

dy = x 1/2 + x 1/4 ; x = 0 e y = – 2

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 1. INTRODUÇÃO Todas as equações da forma : M . dx + N . dy = 0, onde M e N podem ser : a) funções de apenas uma variável ; b) produtos com fatores de uma só variável ; c) constantes é denominada Equação de Variáveis Separáveis. A solução da equação é obtida integrando ambos os lados da equação, ou seja : M.dx + N.dy = C , onde C é uma constante arbitrária. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1: Resolver a equação x³ dx + ( y + 1 ) ² dy = 0 . Como as variáveis já estão separadas, podemos integrar termo a termo : SOLUÇÃO

x³ dx + ( y + 1 )² dy = C1 4

x4

+ 3

)1y( 3= C1 3x4 + 4( y + 1 ) ³ = C , é a so-

lução geral da equação, onde C = 12C1. EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 : Resolver a equação e x dx – y dy = 0 e y( 0 ) = 1 . SOLUÇAO

x

0

xdxe – y

1

ydy = 0 xxe0 –

y

1

2

2

y = 0 e x – e 0 –

2

y2

+ 2

12

= 0

e x – 1 – 2

y2

+ 2

1 = 0 e x –

2

y2

= 1 – 2

1 e x –

2

y2

= 2

1

2e x – y² = 1

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LISTA DE EXERCÍCIOS

1. Resolva as equações diferenciais abaixo : a) y' = 3x – 1 b) y.dx – x.dy = 0 c) x . cos x dx + ( 1 – 6y5 ) dy = 0 ; y( ) = 0

d) tg x . sec y dx – tg y . sec x dy = 0 e) ( x2 – 1 ) 2y1 dx – x2 dy = 0

f) ( x – 1 )dy – ydx = 0 g) 4xy2 dx + ( x2 + 1 ) dy = 0

h) 0dx

dy.tgy

x

1 i)

4x

e

dx

dy2

y2

j) x2.y' = 1 – x2 + y2 – x2.y2 l) y3 . y' = ( y4 + 1 ) . cos x 2. Ache uma função y = ( x ) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. a) y' = 2x – 1 ; y( 0 ) = 3 b) y' = ( x – 2 ) 3 ; y( 2 ) = 1 c) y' = cos x ; y( 0 ) = 1 3. Ache a função posição x( t ) de uma partícula em movimento com aceleração dada a( t ), posi-ção inicial xo = ( 0 ) e a velocidade inicial vo = v( 0 ). a) a( t ) = 50 , vo = 10 e xo = 20 b) a( t ) = 2t + 1 , vo = – 7 e xo = 4 4. Resolva os problemas abaixo, utilizando uma equação diferencial. a) Uma bola é solta do alto de um prédio que tem a altura de 405m. Quanto demora a chegar ao solo ? Com que velocidade toca o chão ? b) Os freios de um carro são aplicados quando ele se move a uma velocidade de 108km/h e im-primem uma desaceleração de 10m/s2. Quanto tempo o carro gasta e quanto anda até parar?

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RESPOSTAS

1ª QUESTÃO

a) y = 2

3x2 – x + C b) x = C . y c) x . sen x + cos x + 1 = y6 – y

d) cos y – cos x = C e) x + x – 1 – arc sen y = C f) y = C. ( x – 1 )

g) ln ( x2 + 1 )2 – y – 1 = C h) x.cos y = C i) e 2y – arctg

2

x = C

j) arctg y – x – 1 + x = C l) ln ( y4 + 1 ) = C + 4.sen x 2ª QUESTÃO

a) y =x2 – x + 3 b) y = 4

1( x – 2 )4 + 1 c) y = sen x + 1

3ª QUESTÃO

a) x = 25t2 + 10 t + 20 b) x = 3

1t3 +

2

1t2 – 7t + 4

4ª QUESTÃO

a) t = 9s ; v = 90 m/s b) t = 3s ; S = 45m

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEAS 1. DEFINIÇÃO Toda função do tipo ( x, y, z ) é denominada Homogênea se ao substituir-se x por kx ; y por ky e z por kz , tem-se : ( kx, ky, kz ) = k m . ( x, y, z ) , onde m é denominado grau de homogeneidade. Assim, as Equações Homogêneas são da forma M . dx + N . dy = 0, onde M e N são funções homogêneas em x e y de mesmo grau. EXEMPLOS :

a) ( x + 2y ) . dy – y dx = 0 b) ( 2x – y ) dx – xy2x 2 dy = 0

2. RESOLUÇÃO

Seja a equação diferencial homogênea )y,x(fdx

dy , onde ( kx, ky ) = k m . ( x, y ) .

Para resolver esta equação, devemos efetuar a substituição : y = v . x Derivando em relação a x, temos que :

dx

dv.xv

dx

dy .

Após a substituição das equações e na equação original e efetuadas as sim-plificações necessárias, temos que a equação resultante se apresenta como uma equação de Va-riáveis Separáveis nas incógnitas v e x. Então resolvemos esta equação e achada a solução geral, voltamos às variáveis originais da equação( em geral x e y )

EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolver a equação x . dx

dy = y + x . e y/x .

Dividindo-se a equação por x temos : dx

dy =

x

y + e y/x . Agora substituímos

x

y por v e

dx

dy por

dx

dv.xv e efetuamos as devidas simplificações, então :

dx

dv.xv = v + e v x .

dx

dv = e v x . dv = e v . dx e – v dv – x –1 dx = 0

e – v dv – x –1 dx = 0 – e – v – ln x = C1 e – y/x + ln x = C, onde C = – C1 .

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LISTA DE EXERCÍCIOS Resolver as equações abaixo :

a) y' = x

xy b) ( x2 – y2 ) dx – 2xydy = 0

c) ( x2 + y2 ) dx – xydy = 0 d) ( x + y )dx + ( y – x ) dy = 0

e) ( x2 – 3y2 )dx + 2xydy = 0 ; y( 2 ) = 1 f) 3

44

xy

xy2

dx

dy

g) y' = x

xy h) y' = 22 xy

xy2

i) ( x3 + y3 )dx – 3xy2dy = 0 j) ( 2x + 3y ) dx + ( y – x ) dy = 0

l) 0dyy

x1e2dx)e21( y

xyx

RESPOSTAS

a) y = x . ln | kx | b) x3 – 3xy2 = C c) y2 = x2 ln x2 + C.x2

d) ln C. 22 yx = arctg

x

y e) 8( x2 – y2 ) = 3x3 f) y4 = Cx8 – x4

g) y = x . ln | C x – 1 | h) 3x2y – y3 = C i) x3 – 2y3 = Cx

j) ln ( y2 + 2xy + 2x2 ) – 4 arctg x

yx = C l) x + 2y y

x

e = C

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM EXATAS 1. DEFINIÇÃO Uma Equação Diferencial M( x, y ).dx + N( x, y ).dy = 0 é Exata se existe uma função G( x , y ) tal que :

dG = M( x, y ).dx + N( x, y ).dy. TEOREMA : A equação M . dx + N . dy = 0 , onde M e N são funções contínuas e deriváveis,

em uma região R é Diferencial Exata se, e somente se, ocorrer a relação :

x

N

y

M

.

2. RESOLUÇÃO Existem vários métodos para resolver uma Diferencial Exata. Dentre estes métodos, vamos utilizar um que utiliza uma fórmula, que descreveremos a seguir : 2.1 – MÉTODO DE RESOLUÇÃO Este método consiste em resolver a equação abaixo :

G( x, y ) = x

x

y

y

o

o o

dy)y,x(Ndx)y,x(M , sendo ( xo, yo ) um ponto fixo e ( x, y ) um

ponto qualquer na região R ( domínio de G ) . Então a solução da Equação Diferencial é dada por G( x, y ) = C, onde C é uma constante arbitrária. EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolver a equação ( 3 . y . e 3x – 2x ) dx + e 3x dy = 0 SOLUÇÃO

Vamos tomar como ( x o , y o ) o ponto ( 0, 0 ), então temos :

G( x, y ) = x

0

M( x, y o ) dx + y

0

N( x, y )dy G( x, y ) = x

0

( – 2x ) dx + y

0

e 3x dy

G( x, y ) = – x² x

0+ e 3x . y

y

0 G( x, y ) = – x² + e 3x . y , como G( x, y ) = C , então a

solução geral da equação é dada por : y . e 3x – x² = C ou y = x² . e – 3x + C. e – 3x

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LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Resolva as equações abaixo : a) 2xydx + ( 1 + x2 )dy = 0 b) ( x + sen y )dx + ( x cos y – 2y )dy = 0 c) ( x2 – y2 )dx – 2xydy = 0 d) ( 2x – y + 1 )dx – ( x + 3y – 2 )dy = 0

e) ( xy – x2 )dx + 2

1x2 dy = 0 f) ( 2xy + x )dx + ( x2 + y )dy = 0

g) ( y + 2xy3 )dx + ( 1 + 3x2y2 + x )dy = 0 h) y e x y dx + x e x y dy = 0

i) ( y. sen x + xy. cos x )dx + ( x sen x + 1 ) dy = 0 j) y ' = xy

xy

e.xy2

ye2

l) ( x2 – y )dx – xdy = 0 m) ( x2 + y2 ) dx + 2xydy = 0 RESPOSTAS

a) x2y + y = C b) 2

1 x2 + x . sen y – y2 = C c) x3 – 3xy2 = C

d) 2x2 – 2xy + 2x + 4y – 3y2 = C e) 3x2y – 2x3 = C

f) x2y + 2

1x2 +

2

1y2 = C g) xy + x2y3 + y = C

h) e xy = C i) xy sen x + y = C j) 2x + e xy – y2 = C

l) y = 1

3x 2 – C x – 1 m ) x 3 + 3xy 2 = C

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LISTA DE EXERCÍCIOS – REVISÃO

1. Resolva as equações abaixo :

a) ( 1 + x2 ) dx

dy + xy = 0 b) ( y + 3 )dx + cotg x dy = 0 c) ( xy – x2 )

dx

dy = y 2

d) dt

dx=1 – sen 2t e)

3

3

dx

yd=e – x f) sec x . cos2 y dx = cosx . seny dy

g) yx

yx

dx

dy

h) ( x2 – x + y2 )dx – ( ye y – 2xy ) dy = 0

i) xy2 dx – ( 2 – x2 y )dy = 0 j) ( x2 – y2 ) dx – ( 2xy – 3 )dy = 0 l) ( 1 + y sen x ) dx + ( 1 – cos x ) dy = 0 2. Resolva os problemas abaixo : A) A velocidade de um ponto é proporcional ao deslocamento e ao seno do tempo. Achar o des-locamento em função do tempo. B) Achar a equação da curva que passa pelo ponto P( 1, 1 ), sabendo que o declive de sua tan-gente em um ponto qualquer é proporcional ao quadrado da ordenada do mesmo ponto. C) Achar a equação da curva que passa pela origem, pelo ponto ( 1, 4 ) e tal que a área compre-endida entre a curva, o eixo x e a ordenada de um ponto qualquer ( x, y ) é igual a um terço do produto das coordenadas do ponto ( x, y ). D) Suponha que a taxa de aumento no custo de pedir e manter estoque( y ), à medida que a quantidade do pedido( s ), aumenta, é igual à razão entre a soma dos quadrados do custo e da quantidade do pedido, e o dobro do produto do custo pela quantidade. Ache a relação entre Cus-to de pedir e manter e a magnitude do pedido se y = 3, quando s = 1.

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EQUAÇÕES LINEARES DE 1ª ORDEM 1. EQUAÇÃO LINEAR DEFINIÇÃO 1 : Uma Equação Diferencial é Linear quando a variável dependente e suas de-

rivadas são todas de 1º grau e não figuram produtos destas na equação. DEFINIÇÃO 2 : Uma Equação Diferencial de 1ª ordem, é Linear se pode ser escrita na for-

ma :

y' + Py = Q , onde P e Q são funções de x ou constantes. Se Q 0, a Equação é denominada Linear Homogênea ou Incompleta. 2. RESOLUÇÃO Existem dois métodos para resolvermos uma Equação Linear de 1ª ordem : Método de Lagrange e o Método do Fator Integrante. 2.1 MÉTODO DO FATOR INTEGRANTE Chamamos de Fator Integrante( F . I ) uma função que serve para transformar uma Equação Diferencial não Exata em uma Equação Diferencial Exata . O fator integrante para as equações lineares de 1ª ordem é dado por :

F.I = e P( x ) dx . Uma vez encontrado um fator integrante para a equação diferencial, multiplicamos o fator integrante pela equação e a resolvemos utilizando o método de resolução para equações diferenciais exatas. EXERCÍCIOS PROPOSTOS : Para cada equação é sugerido uma função como fator integrante . Teste

para verificar se é um fator integrante para a equação, se verdadeiro, resol-va a mesma .

a) ( 2y – 3x ) dx + x . dy = 0 ; F I = x b) y dx x dy = 0 ; F.I = x 2 c)( y + 1 ) dx x dy = 0 ; F.I = x 2 Para as equações lineares de 1ª ordem , o procedimento é o mesmo, primeiramente encontramos um fator integrante e então a transformamos em uma equação exata e resolvemos utilizando o método da unidade anterior. EXERCÍCIO PROPOSTO : Resolver a equação y' + y = x + 1.

R. y = k. e – x + x

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2. 2 UMA FÓRMULA PARA RESOLVER EQUAÇÕES LINEARES DE 1ª ORDEM Sendo y' + Py = Q uma equação Linear de 1ª ordem, podemos utilizar a se-guinte fórmula para encontrar a solução geral de : y = e – P( x) dx . [ Q( x ) e P( x )dx . dx + C ], onde e P( x )dx é o Fator Integrante da equação . EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolver as equações y' – 3y = e x . SOLUÇÃO : Temos que : P = – 3 e Q = e x y = e – P( x) dx . [ Q( x ) e P( x )dx . dx + C ] y = e 3 dx . [ e x . e – 3dx . dx + C ] y = e 3 x . [ e x . e – 3 x . dx + C ] y = e 3 x . [ e x . e – 3 x . dx + C ] y = e 3 x . [ e – 2 x . dx + C ]

y = e 3 x .

Ce

2

1 x2 y =

x3x e.Ce

2

1

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LISTA DE EXERCÍCIOS Resolva as seguintes equações lineares de 1ª ordem.

a) y' + x

y = x – 2 b) y' – 3y = 6 c) y' – 2xy = x

d) y' +

x

4y = x4 e) y' – 5y = 0 f) xy' 4y = x 2

g) y' – 7y = e x h) y' + 2xy = x ; y( 0 ) = 1 i) y' + 6xy = 0 ; y( 0 ) = 5 j) y' – 2y = e 3x l) y' + y = 2 + 2x m) y' + 3y = 2

n) y' + x

1y = x 4 o)

dt

di – 6i = 2t

RESPOSTAS

a) y = 3

1x2 – x + C.x – 1 b) y = – 2 + C.e 3x c) y = –

2xe.k2

1

d) y = C . x – 4 + 9

1x 5 e) y = C . e 5x f) y =

2

1x 2 + C x 4

g) y = C.e 7x – 6

1e x h) y =

2

1 +

2

3 2xe – 1 i) y = 5 . 2x3e

j) y = e 7x + C e 2x l) y = 2x + C . e – x m) 3y = 2 + C . e – 3x

n) y = 3

1x – 2 + C x o) i =

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1

3

1 t + C. e 6t

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APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM As Equações Diferenciais de 1ª ordem, têm grande aplicabilidade, nas mais diversas áreas de conhecimento. Veremos alguma destas aplicações . 1. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Para problemas que envolvem crescimento e decrescimento podemos trabalhar com o problema de valor inicial :

dx

dt = kx ; x( t o ) = x o e k é a constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa.

2. RESFRIAMENTO A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura( T( t ) ) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante ( T m ) do meio ambiente, ou seja :

dT

dt = k( T – T m ), onde k é a constante de proporcionalidade .

3. CIRCUITOS EM SÉRIE Podemos utilizar as equações diferenciais para resolver problemas relacionados com circuitos elétricos, com mostra as figuras abaixo .

R i + 1

Cq = E( t ) e i =

dq

dt L

di

dt + R i = E( t )

4. MISTURAS Vamos supor que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial de V o litros e Q o gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de ( r E ) litros por minuto possuindo uma concentração ( C E )gramas de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa ( r S ) litros por minutos . A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é igual a taxa com que entra sal no tanque menos a taxa com que sai sal do tanque.

dQ

dt = r E . C E –

o E S

Q

V (r r ).t . r S

V( t ) = V o + ( r E – r S ) . t

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bacté-rias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa – se que há 400 bactérias presentes . Após 10 horas, existem 2000 bactérias presentes . Qual era o número inicial de bactérias ?

R. 200 bactérias 2. Sabe-se que certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presen-te. Se, inicialmente, a quantidade de material é 50 miligramas, e se observa que, após duas ho-ras, perderam-se 10% da massa original, determine : a) a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t ; b) a massa restante após 4 horas ; c) o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade.

R. a) M = 50e 0,5t ln 0,9 ; b) M = 40,5 mg ; c) t = 13 h 3. Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existente. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habi-tantes, determine a população inicial.

R. 16.667 habitantes 4. Um tanque de 50 litros de capacidade contém 10 litros de água fresca. Quando t = 0, adicio-na-se ao tanque uma solução de salmoura com 1 kg de sal por litro, à razão de 4l /min, enquanto

que a mistura se escoa à razão de 2l/min. Determine : a) o tempo necessário para que ocorra o transbordamento ; b) a quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento.

R. a) t = 20 minutos ; b) 48 kg 5. Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de 100ºF em um quarto com temperatura cons-tante de 0º F. Se, após 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF, determine : a) o tempo necessário para chegar à temperatura de 25º F ; b) a temperatura da barra após 10 minutos.

R. a) t = 40 minutos ; b) 70,7º F 6. Em um circuito RL uma bateria de 12 volts é conectada em série no qual a indutância é de 0,5 henry e a resistência de 10ohms. Se a corrente inicial é zero, determine : a) A corrente no circuito no instante t ; b) A corrente no circuito quando tiverem decorridos 1 hora de funcionamento. c) A corrente no circuito quando t .

R. 1,2 – 1,2 e – 20 t

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19

7. Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m, com velocidade inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine : a) a expressão da velocidade no corpo no instante t ; b) a expressão da posição do corpo no instante t ; c) o tempo necessário para o corpo atingir o solo.

R. v = 10t ; s = 5t2 ; t = 2 5 s 11. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à tempe-ratura constante de 0º C. Se após 20 min a temperatura do corpo é de 40ºC e após 40 minutos a temperatura do corpo é 20ºC, determine a temperatura inicial do corpo.

R. T = 80.e – 0,035t ; To = 80º C 12. Uma lancha se desloca numa lagoa com velocidade de 10m/s. Em dado instante seu motor é desligado ; a lancha sofre com isso uma redução da velocidade proporcional à resistência da água, sabendo-se que ao fim de 5s sua velocidade é de 8m/s. Qual será o tempo necessário para que a lancha adquira velocidade de 1m/s ?

R. t = 51, 6 s

15. Achar a equação da curva em que a inclinação da tangente em qualquer ponto P( x, y ) é 2

1

da inclinação da reta que liga a origem ao ponto. R. y2 = C . x

16. Um bote está sendo rebocado a uma velocidade de 6m/s. No instante ( t = 0 ) em que o cabo do reboque é largado, um homem no bote começa a remar no sentido do movimento, exercendo uma força de 10N. Sabendo que o peso do homem e do bote é de 200N e que a resistência ao deslocamento, em N, é de 2,6v, sendo ( v ) a velocidade em m/s, achar a velocidade do bote no fim de 0,5 minuto. Sendo g = 10m/s2 .

R. 3,89 m/s 19. Carbono extraído de um crânio antigo continha apenas um sexto do C14 radiativo do que o carbono extraído de um osso atual. Qual a idade do crânio, onde k = 0,0001216 ?

R. 14.735 anos

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20

EQUAÇÃO DE BERNOULLI

1. DEFINIÇÃO

Equação de Bernoulli é aquela da forma dx

dy + Py = Q . y n onde, P e Q são cons-

tantes ou funções de x e n é diferente de zero e um ( n 0 e n 1 ). 2. RESOLUÇÃO A Equação de Bernoulli se resolve através da sua redução a uma Equação Linear, utilizando-se a substituição z = y 1 – n . Sendo y' + Py = Qy n uma equação de Bernoulli, podemos então transformar a equação em uma equação Linear de 1ª ordem, utilizando a expressão : z' + ( 1 – n ) Pz = ( 1 – n )Q , de onde então encontramos a solução geral de , utilizando a fórmula abaixo :

z = e – P( x) dx . [ Q( x ) e P( x )dx . dx + C ], onde e P( x )dx é o F. I da equação e y = n1

1

z .

EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolver a equação y' – x

3y = y 5 .

SOLUÇÃO

Temos que : P = x

3 , Q = 1 e n = 5 , então : z' + ( 1 – 5 ) .

x

3z = ( 1 – 5 ) . 1

z ' + x

12z = – 4 é a equação a ser resolvida , portanto P' =

x

12 e Q' = – 4 .

z = e – P( x) dx . [ Q( x ) e P( x )dx . dx + C ]

z = e – 12 / x dx . [ ( – 4 ) . e 12 / x dx . dx + C ] z = e – 12 ln x . [ ( – 4 ) . e 12 ln x . dx + C ]

z = 12xlne

. [ ( – 4 ) . 12ln xe . dx + C ] z = x – 12 . [ ( – 4 ) . x 12 . dx + C ]

z = x – 12 .

Cx

13

4 13 z = –13

4x + C . x – 12 . Como n = 5 , temos que y = 51

1

z

y = 4

1

z

y = ( –13

4 x + C . x – 12 ) – 1/ 4

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21

LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Resolver as equações abaixo :

a) y' + xy = xy2 b) y' + 2. x

y = 3xy2 c) y' – 2xy = xy3

d) y' + xy = x3y3 e) xy' + y = y2 ln x f) x

y2

dx

dy = 2y2

g) y' – x

3y = x4 y

13 h) y' +

x

2y = x ; y( 1 ) = 0

i) y' – y = xy2 j) y' + y = y2 e x

l) x dy + y dx = x3 . y6 dx m) y . y' – x . y2 – x = 0 RESPOSTAS

a) y = ( 1 + C . 2

x2

e ) – 1 b) y = ( x2 ln x – 3 + Cx2 ) – 1 c) y = 2

1

x2 2

e.C2

1

d) y = ( x2 – 1 + C. e x2

) – 1/ 2 e) y = ( ln x + 1 + C.x ) – 1 f) y =( 2x + C . x² ) – 1

g) y = 2

3

52 x9

2Cx

h) y =

4

1( – x – 2 + x2 ) i ) y = ( 1 – x + C e – x ) – 1

j) y = ( – xex + Ce x ) – 1 l) 2.y – 5 = Cx5 + 5x3 m) y2 = 1 + C e x2

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LISTA DE EXERCÍCIOS – REVISÃO

1. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de 1ª ordem. a) y' – y = 2 . e x b) x . y' + 2y = sen x c) y' – 2y = e 2x

d) y' – 2xy = x ; y( 0 ) = 0 e) y' + x

1y = sen x

2. Encontre um fator integrante para cada equação abaixo e determine a sua solução. a) ( 3xy + y2 ) + ( x2 + xy ) y ' = 0 b) ( 3x2y + 2xy + y3 )dx + ( x2 + y2 ) dy = 0 c) ydx + ( 2xy – e –2y ) dy = 0 d) e x dx + ( e x. cotgy + 2ycossecy ) dy = 0 e) ( y. ln y + y .e x )dx + ( x + y . cos y )dy = 0 3. Resolva os problemas abaixo utilizando uma equação diferencial.

A) O núcleo radioativo do plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial dt

dQ= – 0,0525Q,

onde Q está em miligramas e t em anos. a) Determinar a meia vida do plutônio 241 ; b) Se 50 mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio exis-tirá daqui a 10 anos ? B) Admitamos que a temperatura de uma xícara de café quente obedeça à lei do resfriamento, de Newton. Se a temperatura do café for 93°C, logo depois de coado, e um minuto depois for de 87ºC, num ambiente a 21ºC, determinar o instante em que a temperatura do café é de 65ºC ? C) Suponha que a população de peixes P( t ) em um lago seja atacada por uma doença no instan-

te t = 0 , com o resultado Pkdt

dP , ( k > 0 ), dali por diante. Se havia inicialmente 900 pei-

xes no lago , e só restavam 441 após 6 semanas, quanto tempo levará até que toda a população de peixes tenha morrido ? D)Um circuito RL tem fem dada( em volts ) por 4sen t, resistência de 100 ohms, indutância de 4 henries, e corrente inicial zero. Determine a corrente no instante t .

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EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÊNEAS

1. DEFINIÇÃO Uma Equação Diferencial do tipo : A2y'' + A1y' + Aoy = 0 , onde A 2 , A 1 e A o são constantes e A 2 0 é chamada E-quação Diferencial Linear de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes. EXEMPLOS : a) y'' + 2y' + y = 0 b) y'' – 3y' + 4y = 0 c) 2y'' – 4y' – y = 0 2. RESOLUÇÃO Para resolver a equação vamos pesquisar inicialmente uma solução particular, solu-ção esta que suporemos ser do tipo : y = e mx , então y' = m.e mx e y" = m2.e mx , logo : m2 e mx + A1.m.e mx + Ao. e

mx = 0 :( e mx ), pois e mx 0, temos : m2 + A1.m + Ao = 0 que é uma equação de 2º grau, denomina-se aqui, de Equação Auxi-liar ou Equação Característica. Se m1 e m2 são raízes da Equação Auxiliar, então para encontrarmos a solução geral da Equação temos três casos a considerar : 1º CASO : Se as raízes m1 e m2 da Equação Auxiliar são reais e distintas, então a solução geral da Equação é :

y = C1.xm1e + C2.

xm2e 2º CASO : Se as raízes m1 e m2 da Equação Auxiliar são reais e iguais, ou seja : m1 = m2 = m, então a solução geral da Equação é :

y = C1 e mx + C2 x . e mx

3º CASO : Se as raízes m1 e m2 da Equação Auxiliar são complexas, então a solução geral da Equação é : y = e ax . ( C1 e

ibx + C2. e – ibx ) , onde utilizando - se a fórmula de Euler :

e iz = cos z + i . sen z , para z C, temos : y = e ax .( C1 . cos bx + C2 . sen bx )

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LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Resolva as equações abaixo : a) y'' – y' – 2y = 0 b) y'' – 7y = 0 c) D2 + 4D + 5 = 0 d) y'' – 5y' = 0 e) y'' + 4y = 0 f) y'' – 3y' + 4y = 0

g) y'' + 4y' + 4y = 0 h) y'' = 0 i) 0y5dx

dy2

dx

yd2

2

j) D2 – 3D + 2 = 0 ; y = 0 e y' = 2, se x = 0 l) D2 + D – 6 = 0 m) D2 – 2D + 10 = 0 n) y'' + y' – 12y = 0 o) y'' – 4y + 5y = 0 p) 3y'' – 2y' – 5y = 0 q) y'' – 4y' + 8y = 0 r) y'' + 2y' + 3y = 0 RESPOSTAS

a) y = C1 e – x + C 2 e

2x b ) y = C1 e – 7 x + C 2 e

7 x c) y = e – 2x ( C 1 cos x + C 2 sen x ) d) y = C1 + C 2 e

5x e) y = C1 cos 2x + C 2 sen 2x f) y = C1 e – x + C 2 e

4x g) y = C1 e

– 2x + C 2 e 2x h) y = C1 + C 2 x i) y = e x(C1 cos 2x + C2 sen 2x )

j) y = – 2 e x + 2 e 2x l) y = C1 e

2x + C 2 e – 3x

m) y = e x ( C 1 cos 3x + C 2 sen 3x ) n) y = C1 e

3x + C 2 e – 4x

o) y = e 2x ( C 1 cos x + C 2 sen x ) p) y = C1 e

– x + C 2 e 5x / 3

q) y = e 2x ( C 1 cos 2x + C 2 sen 2x ) r) y = e – x ( C 1 cos 2 x + C 2 sen 2 x )

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EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM NÃO-HOMOGÊNEA COM COEFICIENTES CONSTANTES

MÉTODOS DE RESOLUÇÃO 1. INTRODUÇÃO Seja uma Equação Linear de 2ª ordem a coeficientes constantes não-homogênea : A 2 y'' + A 1y' + A o y = Q, onde Q é constante ou função de x e A o, A 1 e A 2 são coefi-cientes constantes. A solução geral desta equação é dada por : y = yh + yp , onde y h é a solução complementar de y e y p é uma solução particular. A solução y h é encontrada resolvendo-se a Equação Homogênea associada, ou seja, re-solvendo a equação :

A 2.y'' + A 1.y' + A o = 0. 2. MÉTODO DOS OPERADORES INVERSOS Seja uma Equação Diferencial Linear não homogênea com Coeficientes Constantes de ordem n :

y( n ) + A n – 1 y ( n – 1 ) + . . . + A 2 y"+ A 1y' + A o y = Q , ou F( D )y = Q e seja y = )D(F

1Q ,

uma solução particular da equação . Para certas formas de Q , o trabalho necessário para deter-minar esta solução pode ser bastante simplificado, utilizando-se para isto os operadores diferenciais inversos. Temos os seguintes casos a considerar : 1º CASO : Se Q = e a x , então :

y = )D(F

1 e a x =

)a(F

1 e a x , se F( a ) 0.

Se F( a ) = 0 , então y = e ax . dx = x . e ax . EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre uma solução particular para a equação D² – 1 = e 3x

Uma solução particular é : y P = 1D

12

e 3x = 13

12

e 3x = 8

1 e 3x .

2º CASO : Se Q = sen( ax + b ) ou cos( ax + b ), então :

y = )D(F

12

sen ( ax + b ) = )a(F

12

sen ( ax + b ) , F( – a 2 ) 0.

y = )D(F

12

cos ( ax + b ) = )a(F

12

cos ( ax + b ) , F( – a 2 ) 0.

EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre uma solução particular para a equação D² + 4 = sen 4x

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Uma solução particular é : y P = 4D

12

sen 4x = 44

12

sen 4x = 12

1 sen 4x .

3º CASO : Se Q = x m ( polinômio de grau m ), então :

y = )D(F

1x m = ( a o + a 1 D + a 2 D

2 + . . . + a m D m ) x m , ao 0 , obtido pelo desenvol-

vimento de )D(F

1 em potências crescentes de D e desprezando todos os termos além de D m , por-

que D n x m = 0 , quando n > m .

OBSERVAÇÃO : Temos que D

1{ ( x ) } = ( x ) dx .

EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre uma solução particular para a equação D² + 4D + 4 = x² .

Uma solução particular é : y P = 4D4D

12

x ² =

2D

16

3D

4

1

4

1 x ² , então :

y P = 4

1x ² –

2

1x +

8

3.

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LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Resolver as equações abaixo : a) D2 – D – 2 = e 3x b) y'' – y' – 2y = sen x c) y'' – y' – 2y = 4x2

d) y' – y = e x e) y' – 5y = 2e 5x f) y'' + y = cos 3x g) D2 = 9x2 + 2x – 1 h) y'' + 3y' + 2y = 6 i) D2 – 4D + 3 = 1 j) D2 – 4D = 5 l) ( D2 + 4 )y = sen 3x m) ( D2 + 3D – 4 )y = sen 2x n) D – 5 = – 2x + 1 2. Resolva os problemas abaixo : A) Determine o deslocamento, o período e a frequência do movimento harmônico simples de uma massa de 4kg numa extremidade de uma mola com uma constante de 16N/m, sabendo-se que o deslocamento inicial da massa é 0,5 m e x'( 0 ) = – 10.

R. = 1/ Hz ; p = s ; x = 2

1cos 2t – 5sen 2t

B) Um circuito RCL, tal como o da figura abaixo, com R = 6 , C = 0,02 farad , L = 0,1 henry, tem uma voltagem aplicada de E( t ) = 6V. Supondo que não haja corrente inicial nem carga inicial quando t = 0, ao ser aplicada inicialmente a voltagem, determine a carga subsequente no capacitor e a corrente no circuito.

C) Uma massa de 3kg é ligada na extremidade de uma mola que é esticada de 20cm por uma força de 15N. É posta em movimento com posição inicial xo = 0 e velocidade inicial vo = 10 m/s. Encontre a amplitude, o período e a frequência do movimento resultante.

R. a) 2m ; b) 2/5 s ; c) 5 rad/s D) Uma massa de 0,25kg acha-se suspensa por uma mola. Distendendo-se de 40cm além de seu comprimento natural. Põe-se a massa em movimento, a partir de seu equilíbrio, com velocidade inicial de 1,2m/s no sentido " para baixo ". Determine o movimento subsequente da massa, se a resistência do ar é dada por – 2x' kg. Considere g = 10m/s2 .

R. x = 5

2e – 4t . sen 3t

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RESPOSTAS

a) y = C1 e 2x + C2 e

– x + 4

1e 3x b) y = C1 e

2x + C2 e – x –

10

3sen x +

10

1cos x

c) y = C1 e

2x + C2 e – x – 2x2 + 2x – 3 d) y = C1 e

x + x e x

e) y = C1 e 5x + 2xe 5 x f) y = C1 cos x + C2 sen x –

8

1cos 3x

g) y = C1 x + C2 + 4

3x4 +

3

1x³–

2

1x2 h) y = C1 e

– 2x + C2 e – x + 3

i) y = C1 e 3x + C2 e

x + 3

1 j) y = C1 + C2 e

4 x – 4

5x

l) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x – 5

1sen 3x m) y = C1 e

x + C2 e – 4 x –

50

3sen x –

25

2cos x

n) y = C1 e 5x +

5

2x –

25

3

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM n COM COEFICIENTES CONSTANTES

1. DEFINIÇÃO Chamamos de Equação Diferencial Linear de ordem n com Coeficientes Cons-tantes a equação do tipo : y( n ) + A n – 1 y

( n – 1 ) + . . . + A 2 y"+ A 1y' + A o y = Q , onde Ai são constantes e Q é uma função de x. Se Q 0, então é dita homogênea. EXEMPLOS : a) y''' – 6y'' + 11y' – 6y = 0 b) D3 – 4D = x c) D5 – 4D3 = e 4x 2. RESOLUÇÃO A resolução da Equação , segue as mesmas regras da solução das Equações Li-neares homogêneas e das não homogêneas de 2ª ordem Se a equação é homogênea, então temos que as soluções são do tipo y = e mx , então derivando-se m vezes e substituindo-se na equação temos : m( n ) + An – 1 m

( n – 1 ) + . . . + A2 m 2+ A1m + Ao = 0 que é a Equação Auxiliar ou

Equação Característica de . A solução geral da equação homogênea é semelhante à solução das equações de or-dem 2, sendo que devemos levar em consideração que podem ocorrer várias combinações dos casos considerados na solução da equação de ordem dois. Para a solução das equações não homogêneas o procedimento é o mesmo já utilizado na resolução das equações de ordem dois, ou seja, encontramos a solução complementar( y h ) e uma solução particular ( y p ) e então : y = y h + y p . EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolva a equação D

4 + 4D2 = 0 . SOLUÇÃO

Temos que a equação auxiliar é : m 4 + 4 m 2 = 0, então : m 2 . ( m 2 + 4 ) = 0

m 2 = 0 m 1 = 0 e m 2 = 0 ou m 2 + 4 = 0 m = ± 4 m 1 = 2i e m 2 = – 2 i, portanto a equação possui duas raízes reais( dupla ) e duas raízes complexas, logo a solução geral é : y = C 1 + C 2 x + C 3 cos 2x + C 4 sen 2x EXERCÍCIO PROPOSTO : Resolver as equações : a) D

3 – 2D2 + D = 0 b) ( D 3 – 2D2 – 5D + 6 )y = 0

RESPOSTAS : a) y = C 1 + C 2 e

x + C 3 x e x b)y = C 1 e x + C 2 e

3 x + C 3 e – 2x

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LISTA DE EXERCÍCIOS

Resolva as equações abaixo : a) y''' – 6y'' + 11y' – 6y = 0 b)y ( 4 ) – 9y'' + 20y = 0 c) y''' – 6y'' + 2y' + 36y = 0 d) y( 4 ) + 3y''' + 3y'' + y' = 0 e) y ( 4 ) 16y = 0 f) y''' = 12 ; y( 1 ) = y'( 1 ) = y''( 1 ) = 0 g) 3y''' + 2y' = 0 ; y( 0 ) = – 1 ; y'( 0 ) = 0 e y''( 0 ) = 1 h) D3 – 4D2 = 5 i) D3 – 4D = x j) D5 – 4D3 = 5 l) ( D

3 – 2D 2 – 5D + 6 )y = e 4x

RESPOSTAS

a) y = C1 e 2x + C2 e

3x + C3 e x b) y = C1 e 5x + C2 e 5x + C3 e

2x + C4 e – 2x

c) y = C1 e – 2x + C2 e

4xsen 2 x + C3 e 4xcos 2 x d) y = C1 + C2 e

– x + C3 x e – x + C4 x2 e – x

e) y = C1 e

2x + C2 e – 2x + C3 sen 2x + C4 cos 2x f) y = – 2 + 6x – 6x2 + 2x3

g) y = 2

1 –

2

3cos

3

6x h) y = C1 + C2 x + C3 e

4x – 8

5x

i ) y = C1 + C2 e 2x + C3e

– 2x – 8

1x2 j) y = C1 + C2 x + C3 x

2 + C4 e 2x + C5e

– 2x – 5

24x 3

l) y = C1e x + C2e

– 2x + C3e 3x +

1

18e 4x

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EQUAÇÃO DE EULER

1. DEFINIÇÃO Chama-se Equação de Euler a toda equação da forma an x

n y( n ) + an – 1 x n – 1 y ( n – 1 ) + . . . + a 2 x

2y" + a 1xy' + ao y = 0, com an 0 e ao, a1, a2, . . . , an são constantes. EXEMPLOS : a) x2y'' – 2xy' + 2y = 0 b) x2y'' – 3xy' + 3y = 0 2. RESOLUÇÃO Para resolvermos a equação de Euler, fazemos a substituição x = e t ou y = x r . Estas transformações reduzem a equação de Euler a uma equação linear com coeficientes cons-tantes. 2.1 – MÉTODO 1 : UTILIZANDO-SE A SUBSTITUIÇÃO x = e t Seja a uma equação de Euler de 2ª ordem : ( x 2 D 2 + a

1 x D + a o ) y = 0 , onde :

x = e t t = ln x e D = dt

d, logo :

Dy = dt

dy

x

1

dx

dy x Dy =

dt

dy , portanto :

D 2 y = dt

dy

x

1

dt

yd

x

1

dx

yd22

2

22

2

x 2 D 2 y = D( D – 1 ) y

{ D ( D – 1 ) + a 1 D + a o ) y = 0 ( Equação linear com coeficientes constantes )

Assim como fizemos com a equação de 2ª ordem, podemos fazer com uma equação de ordem n e então teremos : { a n D ( D – 1 )( D – 2 ) . . . ( D – n + 1 ) + . . . + a 3 D( D – 1 ) ( D – 2 ) + a 2 D ( D – 1 ) + a 1 D + a

o ) y = Q 2.2 – MÉTODO 2 : UTILIZANDO-SE A SUBSTITUIÇÃO y = x r Seja uma equação de Euler de 2ª ordem, ou seja : a

2 x 2 y" + a 1 xy' + a o y = 0, então,

utilizando a substituição y = x r temos que : y ' = r . x r – 1 e y '' = r . ( r – 1 ) . x r – 2 , logo : a 2 x

2. r . ( r – 1 ) . x r – 2 + a 1 . x . r . x r – 1 + ao . x

r = 0 , portanto, fazendo-se as sim-plificações necessárias temos : a 2 . r . ( r – 1 ) + a

1 . r + ao = 0 ( Equação linear com coeficientes constantes )

CEQ.1414.0207

32

Assim como nas equações lineares com coeficientes constantes, na resolução das Equações de Euler temos três casos a considerar : 1º CASO : Raízes Reais e Desiguais : y = C1. 1rx + C2. 2rx

2º CASO : Raízes Reais e Iguais : y = C1. 1rx + C2. 2rx . ln x

3º CASO : Raízes Complexas : y = x a . [ C1 . cos ( ln x b ) + C2 . sen ( ln x b ) ] EXERCÍCIO PROPOSTO : Resolver as equações de Euler . a) x2y'' + 7xy' + 5y = 0 b) x2y'' + xy' – 4y = 0 RESPOSTAS : a) y = C1 x

– 5 + C2 x – 1 b) y = C1 x

2 + C2 x – 2

Utilizando a substituição y = x r , podemos encontrar a seguinte fórmula de recor-rência para resolver as equações de Euler : an r ( r – 1 ) . . . ( r – n + 1 ) + . . . + a 2 r ( r – 1 ) + a 1r + ao = 0 .

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33

LISTA DE EXERCÍCIOS

Resolver as equações abaixo : a) x2y'' – 2xy' + 2y = 0 b) x2y'' – 3xy' + 3y = 0 c) x2y'' – xy' + 2y = 0 d) x2y'' – 5xy' + 9y = 0 e) x2y'' + 5xy' + 8y = 0 f) 3x2y'' + 6xy' – 6y = 0 g) x2y'' + xy' – y = x2 h) 4x 2y'' – 8xy' + 9y = 0 i) x2y'' + 4xy' + 2y = e x j) x2y'' – 2y = 0 RESPOSTAS

a) y = C1 x + C2 x

2 b) y = C1 x + C2 x3

c) y = x . ( C1 cos ln | x | + C2 sen ln | x | ) d) y = C1 x3 + C2 x

3 ln x

e) y = x – 2 ( C1 cos ln | x 2 | + C2 sen ln | x 2 | ) f) y = C1 x + C2 x 2

g) y = C1 x + C2 x – 1 +

3

1 x 2 h) y = C1 2

3

x + C2 2

3

x ln x

i) y = C1 x

– 1 + C2 x – 2 + x – 2 . e x j) y = C1 x

– 1 + C2 x 2

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SISTEMAS LINEARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1. INTRODUÇÃO Nas unidades anteriores, utilizamos métodos para resolver um equação diferencial ordi-nária que envolve apenas uma variável dependente. Muitas aplicações, entretanto, requerem o uso de duas ou mais variáveis dependentes, cada qual sendo função de uma única variável independente ( geralmente o tempo ). Em geral, tais problemas levam a um Sistema de Equações Diferenciais ordinárias simultâneas. Normalmente designaremos a variável independente por( t ) e as variáveis dependentes( funções desconhecidas ) por x, y, z, . . .. Como sempre, x' indicará a diferenciação de x em relação a t , e o mesmo com as outras funções. Nosso estudo ficará restrito aos sistemas em que o número de equações é igual ao núme-ro de variáveis dependentes( funções desconhecidas ). 2. RESOLUÇÃO Entre os métodos utilizados para resolver sistemas, utilizaremos o Método de Eliminação. Este método para sistemas lineares de equações diferenciais é bem parecido com o utili-zado na solução de sistemas de equações algébricas. O método consiste na eliminação das variáveis dependentes pela combinação adequada de pares de equação. O objetivo deste procedimento é elimi-nar sucessivamente as variáveis dependentes até permanecer apenas uma equação contendo uma só variável dependente. Esta equação normalmente será uma equação linear de ordem superior e pode ser resolvida pelos métodos já conhecidos. Este método é eficaz para sistemas de pequeno porte, mas para sistemas com muitas e-quações é preferível a utilização de métodos que envolvam matrizes. EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre a solução do sistema x' = 4x – 3y e y' = 6x – 7y SOLUÇÃO

Vamos isolar a variável y na 1ª equação : y = 3

1 x ' +

3

4x . Agora derivamos em

relação à variável t : y ' = 3

1 x '' +

3

4x' e substituímos as equações e na 2ª equação

do sistema e fazemos as devidas simplificações, ou seja :

3

1 x '' +

3

4x' = 6x – 7 . (

3

1 x ' +

3

4x ) – x'' + 4x' = 18x + 7x' – 28x

x '' + 3x' – 10 x = 0 ( Equação linear homogênea de 2ª ordem a coeficientes constantes. ) A equação auxiliar da equação é : m ² + 3m – 10 = 0 , logo as raízes são : m 1 = 2 e m 2 = – 5 , então x ( t ) = C 1 . e

2 t + C 2 . e – 5 t .

Para encontrar y( t ) , basta derivar a equação x( t ) e substituir x( t ) e x' ( t ) na equação

e efetuar as devidas simplificações. Então temos que y( t ) = 2

3C 1 . e

2 t + 3

1C 2 . e

– 5 t .

Portanto a solução do sistema é : x ( t ) = C 1 . e 2 t + C 2 . e

– 5 t e y( t ) = 2

3C 1 . e

2 t + 3

1C 2 . e

– 5 t

CEQ.1414.0207

35

2.2 – MÉTODO DOS OPERADORES DIFERENCIAIS Qualquer sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes pode ser escrito na forma : L 1 x + L 2 y = 1( t ) e L 3 x + L 4 y = 2( t ) , onde L 1, L 2, L 3 e L 4 são operadores diferenciais lineares e 1 ( t ) e 2 ( t ) são funções dadas. Podemos eliminar uma variável dependente de cada vez e resolver o sistema por adição. Uma outra alternativa é utilizar as equações abaixo, em forma de determinantes. O determinante da esquerda é chamado de determinante operacional e as equações e , nos lembram a Regra de Cramer para resolução de sistemas de equações algébricas .

43

21

LL

LL x =

42

21

L)t(f

L)t(f

43

21

LL

LL y = )t(fL

)t(fL

22

11

( L 1. L 4 – L 2.L 3 )x = L 4.1( t ) – L 2 2( t ) e ( L 1.L 4 – L 2.L 3 )y = L 1.2( t ) – L 3 1( t ) Não podemos esquecer que os determinantes do lado direito das equações acima são avaliados por meio de operadores operando nas funções. EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre a solução do sistema x' = – 3x + 2y e y' = – 3x + 4y ; x( 0 ) = 0 ,

y( 0 ) = 2. SOLUÇÃO

Primeiro vamos escrever as equações do sistema utilizando operadores lineares. x ' + 3x – 2 y = 0 ( D + 3 ) – 2y = 0 e 3x + y ' – 4 y = 0 3x + ( D – 4 ) y = 0 Como o lado direito das equações do sistema são nulos temos que :

= 4D3

23D

= ( D + 3 ) ( D – 4 ) + 6 = D ² – D – 12 + 6 = D ² – D – 6 = 0

A última igualdade é uma equação linear de 2ª ordem homogênea a coeficientes constantes, cuja raízes são m 1 = – 2 e m 2 = 3 , logo uma das soluções do sistema é :

x( t ) = C 1 . e – 2 t + C 2 . e

3 t . Para encontrar y( t ) , basta derivar a equação x( t ) e substituir x( t ) e x' ( t ) na equação

e efetuar as devidas simplificações. Então temos que y( t ) = 2

1C 1 . e

– 2 t + 3. C 2 . e 3 t .

Substituindo-se as condições iniciais do problemas em x( t ) e y( t ) , encontramos os valores de C 1 e C 2 ( constantes arbitrárias ), o que nos dá como solução final do sistema as fun-ções :

x( t ) = – 5

4e – 2 t +

5

4 e 3 t e y( t ) = –

5

2 e – 2 t +

5

12e 3 t

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LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Resolva os sistemas de equações diferenciais : a) x' = 2x + 3y e y' = 6x + 5y b) x' = x + 3y e y' = 5x + 3y c) x' = 3x – y e y' = 5x – 3y ; x( 0 ) = 1 , y( 0 ) = – 1 d) x' = 2x + 3y e y' = 2x – y e) x' = x + 2y e y' = 4x + 3y f) x' = 2y e y' = 8x 2. Resolva o problema abaixo

Considere dois tanques de salmoura conectados como mostra a figura abaixo. O tanque 1 con-tém x( t ) libras de sal em 100 galões de salmoura e o tanque 2 contém y( t ) libras de sal em 200 galões de salmoura. A salmoura em cada tanque é mantida uniforme por agitação, e é bombeada de cada tanque para o outro nas proporções indicadas na figura. Adicionalmente, flui água fres-ca para o tanque 1 a 20gal/min, e a salmoura do tanque 2 sai a 20gal/min. Suponhamos que a concentração de sal inicial nos tanques se de 0,5lb/gal. Encontre as quantidades de sal nos dois tanques no instante t .

3. Seja o sistema elétrico da figura abaixo, determine as corrente elétricas i 1 e i 2 , sabendo que E = 60 volts , L = 1 henry, R = 50 ohms , C = 10 − 4 farad e i 1 e i 2 sendo inicialmente zero .

4 Sejam dois tanques de salmoura contendo V 1 = 20 litros e V 2 = 40 litros . Água fresca flui para o tanque 1 , enquanto salmoura misturada flui do tanque 1 para o tanque 2 , e para fora do tanque 2 . Seja r = 10 l / min a razão de vazão entre os tanques e as quantidades iniciais de sal nos tanques 1 e 2 são respectivamente 15 kg e zero . Encontre a quantidade de sal em cada tanque no instante t ≥ 0 .

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37

RESPOSTAS

1. a) x = C 1 e

– t + 3C 2 e 8 t e y = – C 1 e

– t + 5C 2 e 8 t

b) x = C 1 e 6 t + C 2 e

– 2 t e y = 3

5 C 1 e

6 t – C 2 e – 2 t

c) x = 2

3e 2 t –

2

1 e – 2 t e y = =

2

3e 2 t –

2

5 e – 2 t

d) x = C 1 e

– t + 3C 2 e 4 t e y = – C 1 e

– t + 2C 2 e 4 t

e) x = C 1 e

5t + 3C 2 e – t e y = 2C 1 e

5t – C 2 e – t

f) x = – 2

1C 1 e

– 4t + 2

1C 2 e

4 t e y = C 1 e – 4t + C 2 e

4 t

2. x( t ) = 29,3 e – 0,08t + 20,7 e – 0,37t ; y( t ) = 128,9 e – 0,08t – 29 e – 0,37t 3. i 1 = 1,2 – 1,2 e – 100t – 60te – 100t ; i 2 = 1,2 – 1,2 e – 100t – 120 t e – 100t 4. x( t ) = 15 e – 0,5t ; y( t ) = – 30 e – 0,5t + 30 e – 0,25t

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TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. INTRODUÇÃO Muitos problemas de engenharia que envolvem sistemas mecânicos ou elétricos, como já foi visto através de exercícios podem ser resolvidos utilizando-se equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Porém há casos em que o método utilizando-se equações diferenciais lineares se torna ineficaz, pois F( t ) ou E'( t ) podem ter descontinuidades. Nestes casos o método utilizando Transformada de Laplace é mais conveniente. 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINIÇÃO : Dada uma função ( x ) definida para todo x 0 , a Transformada de Lapla-

ce de é a função F definida como segue :

L { ( x ) } = F( s ) = xs

oe .

( x ) dx , para todo os valores de s para os quais a

integral imprópria converge. TEOREMA 1 : Se a e b são constantes, então L { a . ( x ) + b . g( x ) } = a . L { ( x ) } + b . L { g( x ) },

para todo s tal que as transformadas de Laplace das funções e g ambas existem. TEOREMA 2 : Suponha que a função ( x ) é contínua e suave por partes para x 0 e é de or-

dem exponencialmente quando x , de modo que existem constantes não ne-gativas M, c e T , tais que :

| ( x ) | M . e cx , para x T . Então L { '( x ) } existe para s > c e L { '( x ) } = s . L { ( x ) } – ( 0 ) = s . F( s ) – ( 0 ).

TEOREMA 3 : Se ( x ) satisfaz as condições do teorema 2 , então para qualquer constante a, temos :

L { e ax ( x ) } = F( s – a ). TEOREMA 4 : Se ( x ) satisfaz as condições do teorema 2 , então para qualquer inteiro positivo

n , temos :

L { x n ( x ) } = ( – 1 ) n n

n

ds

d [ F( s ) ].

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39

2.1 – TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

1 s

1 senh ax 22 as

a

x 2s

1 cosh ax 22 as

s

x n – 1 ns

)!1n( x.sen ax 222 )as(

as2

x 2

3

s2

1 x . cos ax

222

22

)as(

as

1/ x 2

1

s x n – 1 . e ax nas

n

)(

)!1(

x n – ½ 2

1n

ns

2

)1n2.(.5.3.1 e bx . sen ax 22 a)bs(

a

e ax

as

1

e bx . cos ax 22 a)bs(

bs

sen ax 22 as

a

sen ax – ax cos ax 222

3

)as(

a2

cos ax 22 as

s

2.2 – TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE DEFINIÇÃO : Uma Transformada Inversa de Laplace de uma função F( s ), designada por

L – 1{ F( s ) } é outra função ( x ) que goza das propriedades de L { ( x ) }= F( s ) .

EXERCÍCIO PROPOSTO : Se F( s ) = s

1 , encontre L – 1{ F( s ) }.

3. TRANSFORMAÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL TEOREMA 5 : Seja L { y( x ) } = Y( s ). Se y( x ) e suas n – 1 primeiras derivadas são contí-

nuas para x 0 e são de ordem exponencial , e se n

n

dx

yd E , então :

L

n

n

dx

yd = s n Y( s ) – s n – 1 y( 0 ) – s n – 2 y'( 0 ) – . . . – sy( n – 2 ) ( 0 ) – y ( n – 1 ) ( 0 ) .

Então utilizando-se as definições da Transformada de Laplace e os teoremas 1, 2, 3, 4 e 5 , podemos resolver problemas de valor inicial, como veremos a seguir.

EXERCÍCIO PROPOSTO : Resolva a equação y' – 5y = 0 ; y( 0 ) = 2 .

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LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Determine a transformada de Laplace das funções abaixo : a) ( x ) = 3 + 2x2 b) ( x ) = 2.sen x + 3.cos2x c) ( x ) = 2x2 – 3x + 4 d) ( x ) = x . e 4x e) ( x ) = 5e 2x + 7 e – x f) ( x ) = x 7/2 2. Determine as transformadas inversa de Laplace das funções abaixo :

a) F( s ) = 22 )1s(

s2

b) F( s ) = s

1 c) F( s ) =

10s2s

12

d) F( s ) = 1s2

12 e) F( s ) = )1s).(2s(

3s

f) F( s ) = 2s2s

12

3. Resolva as equações abaixo, utilizando transformada de Laplace. a) y' – 5y = e 5x ; y( 0 ) = 0 b) y'' + 4y = 0 ; y( 0 ) = 2 ; y'( 0 ) =2 c) y'' – y = e x ; y( 0 ) = 1 e y'( 0 ) = 0 d) y' + y = sen x ; y( 0 ) = 1 e) y'' – 3y' + 4y = 0 ; y( 0 ) =1 ; y'( 0 ) = 5 f) y' – 5y = 0; y( ) = 2 4. Resolva os sistemas abaixo : a) y' + z = x ; z' + 4y = 0 ; y( 0 ) = 1 e z( 0 ) = – 1 b) y' + z = x ; z' – y = 0 ; y( 0 ) = 1 e z( 0 ) = 0 c) w' + y = sen x ; y' – z = e x ; z' + w + y = 1 ; w( 0 ) = 0 ; y( 0 ) = 1 e z( 0 ) = 1 d) y'' + z + y = 0 ; z' + y' = 0 ; y( 0 ) = 0 ; y'( 0 ) = 0 e z( 0 ) = 1 5. Resolva os problemas abaixo :

A) Considere um sistema massa-mola-freio amortecedor com m = 2

1, k = 17 e c = 3 em unida-

des do mks. Como sempre seja x( t ) o deslocamento da massa( m ) da sua posição de equilí-brio. Se a massa é posta em movimento com x( 0 ) = 3 e x'( 0 ) = 1 , encontre x( t ) para as oscilações livres amortecidas resultantes.

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41

B) Achar a solução do problema de valor inicial

y'' + 4y = F( t ) ; y( 0 ) = 3 e y'( 0 ) = – 1 e F( t ) =

tse,0

t0se,1.

C) Ache a transformada de Laplace Y( s ) = L{ y } da solução do problema de valor inicial .

y'' + 4y = ( t ) , onde ( t ) =

tse

tse

,1

,0 ; y( 0 ) = 1 e y'( 0 ) = 0

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LISTA EXERCÍCIOS – REVISÃO

1. Resolva as equações de Bernoulli, abaixo : a) y' + y = x2y2 b) y' – y = e – 3x . y4 2. Resolva as equações abaixo : a) D3 – 2D2 – D + 2 = 0 b) D4 – 1 = 0 c) y ( 4 ) + 5y''' = 0 3. Resolva as equações abaixo : a) y'' – y = e x b) y'' – 2y' + y = 4.cos x c) y'' – 2y' + y = x2 – 1 4. Resolva as equações de Euler. a) x2y'' + 2xy' – 12y = 0 b) 2x2y'' + xy' – 15y = 0 c) x3y''' – x2y'' + xy' = 0 5. Resolver os sistemas de equações diferenciais abaixo : a) x' = – 8x + y e y' = – 25x + 2y b) 5x' – 3y' – 3x = 5 e 3y' – 5x' – 2y = 0 6. Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções. a) ( x ) = 2 x 4 b) ( x ) = x . sen x c) g( x ) = cosh ( k . x ) d) h( x ) = sen x . cos x e) ( x ) = e – x . cos 2x 7. Encontre as transformadas inversas pedidas.

a) L – 1

7

1

s b) L – 1

64

12s

c) L – 1

16

532s

s d) L – 1

4)(2)(1(

1

sss

8. Resolva as equações abaixo, utilizando transformada de Laplace a) y´– 4y = e 2x ; y( 0 ) = 1 b) y'' – 6y' + 9y = x² . e 3x

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TABELA DE DERIVADAS 1. y = c y' = 0 , onde c = cte. 2. y = c . u y' = c . u' 3. y = u + v y' = u' + v' 4. y = u . v y' = u' . v + u .v'

5. y = v

u, então y' = 2v

'v.uv'.u .

6. y = u n y' = n . u n – 1 . u' , u R . 7. y = a u y' = a u . ln a . u' , onde a > 0 e a 1 8. y = e u y' = e u . u'

9. y = log a u y' = u

'u log a e

10. y = ln u y' = u

'u

11. y = sen u y' = cos u . u' 12. y = cos u y' = – sen u . u' 13. y = tg u y' = sec 2 u . u' 14. y = cotg u y' = – cossec 2 u . u' 15. y = sec u y' = sec u . tg u . u' 16. y = cossec u y' = – cossec u .cotg u . u' As funções u e v são funções de x .

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TABELA DE INTEGRAIS

1. u n du = 1n

u 1n

+ C, n – 1 2. u

du= ln | u | + C

3. e x dx = 1

e x + C 4. u n . e u du = u n . e u – n . u n – 1 . e u du

5. sen ( x dx) = 1

cos( x ) + C 6. cos ( x dx) = 1

sen( x ) + C

7. ln u du = u . ln u – u + C 8. u n ln u du = u n + 1 .

2)1n(

1

1n

uln + C

9. uln.u

du = ln | ln u | + C 10. 2u²a

du =

a

1arc tg

a

u + C ; a > 0

11. 2u²a

du = arc sen

a

u + C , a > 0 12.

2a²u.u

du =

a

1arc sec

a

|u| + C , a > 0

13. sen n u du = – n

1 sen n – 1 u . cos u +

n

1n sen n – 2 u du

14. cos n u du = n

1 cos n – 1 u . sen u +

n

1n cos n – 2 u du

15 u n . sen u du = – u n cos u + n u n – 1 . cos u du 16. u n . cos u du = u n sen u – n u n – 1 . sen u du

17. sen m u . cos n u du = – nm

1

sen m – 1 u . cos n + 1 u + nm

1m

sen m – 2 u . cos n u du , onde m ou

m é um número inteiro não negativo ímpar.

18. sen m u . cos n u du = nm

1

sen m + 1 u . cos n – 1 u + nm

1n

sen m u . cos n – 2 u du , onde m e n são

números inteiros não negativos pares.

19. tg n u du = 1n

1

tg n – 1 u – tg n – 2 u du , para n 1

20. cotg n u du = – 1n

1

cotg n – 1 u – cotg n – 2 u du , para n 1

21. sec n u du = 1n

1

sec n – 2 u . tg u + 1n

2n

sec n – 2 u du , para n 1

20. cossec n u du = – 1n

1

cossec n – 2 u . cotg u + 1n

2n

cossec n – 2 u du , para n 1

22. e ,u . sen ( u )du = 22

ue

( . sen u – . cos u ) + C

23. e ,u . cos ( u )du = 22

ue

( . cos u – . sen u ) + C

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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA ABUNAHMAN, Sérgio A. . Equações Diferenciais . Editora Didática e Científica Ltda . 1989 , Rio de Janeiro BRONSON, Richard . Moderna Introdução às Equações Diferenciais . Coleção SHAUM . Edito-ra McGraw − Hill . 1977 − São Paulo C. H EDWARDS, Jr. e PENNEY, David E. . Equações Diferenciais com Problemas de Contor-no . Ed. Prentice-Hall do Brasil . 1993, Rio de Janeiro LARSON, ROLAND E. e et alli . Cálculo com Geometria Analítica . volume 02 . Ed. LTC . 1998, Rio de Janeiro LEITHOLD, Louis . O Cálculo com Geometria Analítica . volume 2 . Ed. Harbra . 3ª Edição . 1994, São Paulo MAURER, Willie A. . Curso de Cálculo Diferencial e Integral . volume 4 . Editora. Edgard Blu-cher Ltda . 1975, São Paulo PISKOUNOV, N. . Cálculo Diferencial e Integral . volume 2 . Editora Lopes da Silva . 1987 . Porto, Portugal SWOKOWSKI , Earl W. . Cálculo com Geometria Analítica . volume 02 . Editora MAKRON . 1983, São Paulo THOMAS, George e FINNEY, Ross L. . Cálculo e Geometria Analítica . volume 04 . Editora LTC . 1988, São Paulo ZILL, Dennis G. e CULLEN, Michael R. . Equações Diferenciais . volumes01 e 02 . Editora Makron . 2001, São Paulo