Enunciados Rm 11-12 v2

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS

Pág. 1/11

Tema 2

EL SÓLIDO ELÁSTICO (El tensor de tensiones)

Nota: Salvo error u omisión, los epígrafes que aparecen en rojo no se pueden hacer has-ta un punto más avanzado del temario

Problema 2.1

Utilizando un sistema de referencia cartesiano OXYZ, los estados tensionales

de dos puntos, digamos A y B, de un dominio elástico vienen representados por

los tensores de tensiones representados en (2.1).

2 2

5 1 1 1 1 1

1 4 0 100 ; 1 1 1 100

1 0 4 1 1 1

A BKpcm Kpcm

(2.1)

a. Determine las tensiones y direcciones principales en cada punto.

b. Represente gráficamente las direcciones principales en cada punto.

Problema 2.2

La figura 2.1 representa el estado

tensional de determinado punto de un

sólido elástico mediante el paralele-

pípedo elemental.

Determine:

a. El tensor de tensiones en el sis-

tema coordenado representado.

b. El vector tensión asociado a un

plano definido por la normal re-

presentada en (2.2).

c. La ecuación característica.

0

2 3

1 3

(2.2)

Figura 2.1: Representación de las tensiones

en un punto de un sólido elástico mediante el

paralelepípedo elemental. Unidades: .

14

x

y

z

x

y

z

2

Elasticidad y resistencia de materiales

Enunciados de problemas

EL SÓLIDO ELÁSTICO

TENSOR DE TENSIONES

Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras


Pág. 2/11

Versión 2.0

x

y

z

4 4 2

2

2

2 𝜎𝑥

Problema 2.3

El estado tensional de un punto P de un medio continuo viene definido por el

paralelepípedo elemental de la figura 2.2.

Determine el valor de la componente 𝑥 del tensor de tensión (𝜎 ) para que exis-

ta, al menos, un plano que pase por P y que esté libre de tensión.

Figura 2.2: Representación de las tensiones en un punto de un sólido elástico mediante el

paralelepípedo elemental. Unidades: .

Problema 2.4

El sólido de la figura 2.3 está sometido a un

estado tensional definido en (2.3).

Determine:

a. Las fuerzas superficiales en cada ca-

ra

b. Las fuerzas volumétricas que actúan

sobre el dominio.

c. La resultante de las fuerzas superfi-

ciales de cada cara.

d. La resultante de todas las fuerzas

superficiales.

e. La resultante de las fuerzas volumé-

tricas.

4 2

3 0 2

0 0 5 2 10

2 5 2 9

y x

y z N m

x y z x

(2.3)

Problema 2.5

Para el estado de tensiones representado

por el paralelepípedo elemental de la figura

2.4, determine:

a. El tensor de tensión, en los ejes repre-

sentados en la figura.

b. Las componentes intrínsecas del vec-

tor tensión asociado a un plano cuya

normal forma 30º con la dirección OX

Figura 2.3: Dominio elástico.

Figura 2.4: Tensiones, en ,

en un punto de un dominio elástico.

OD

B

E

C

A

3m

2m

4m

300

x

y

z

x

y

z

300300

300

300




TENSOR DE TENSIONES



Pág. 3/11

Versión 2.0

y 70º con la OY.

c. Tensiones octaédricas.

d. Tensores esférico y desviador.

e. ¿Existe alguna dirección en el que las tensiones normales sean nulas?

Demuéstrelo.

f. Tensiones y direcciones principales.

Problema 2.6

Un sólido elástico se encuentra sometido a unas fuerzas volumétricas constan-

tes. Su expresión, en un sistema OXYZ, es la que aparece en (2.4).

3

10

10

0

vx

v vy

vz

F

F F MN m

F

(2.4)

Determine el valor de las constantes A, B, C, D, E y F; si el estado tensional de

cada uno de sus puntos, referidos al sistema de ejes anterior, viene definido

por el tensor de tensiones indicado en (2.5). 2

2 2

2

Ax Dy Ex

Dy By Fz t m

Ex Fz Cz

(2.5)

Problema 2.7

El estado tensional de determinado punto de un sólido elástico está formado

por la suma de los estados tensionales representados en la figura 2.5.

a. Represente el paralelepípedo elemental en direcciones principales con-

venientemente orientado respecto del sistema de referencia 𝑥 .

b. Vector tensión, en el sistema de referencia 𝑥 ; para un plano cuya

normal está contenida en el plano formado por las direcciones principa-

les y y forma ángulos iguales con esas direcciones.

c. Normales de los planos para los que las componentes intrínsecas de la

tensión tienen los siguientes valores: 𝜎 ,

+

Figura 2.5: Diferentes estados tensionales en un punto de un dominio elástico.




TENSOR DE TENSIONES



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Versión 2.0

Problema 2.8

Para el estado tensional representado en la

figura 2.6:

a. Obtenga y represente el plano, y las

componentes intrínsecas del vector

tensión asociado al mismo, tal que se

cumple:

𝜎 y 𝜎 máxima.

b. Obtenga y represente el plano tal que

y 𝜎 .

c. Obtenga el vector tensión asociado al

plano cuya normal forma con la

primera dirección principal y con

la segunda.

d. Obtenga y represente el plano y las componentes intrínsecas del vector

tensión asociado al mismo, en las siguientes condiciones: la normal al

plano forma con la primera dirección principal y con el vector

tensión.

Problema 2.9

En el cilindro de la figura 2.7, de 10m de

alto y 1m de radio, se encuentra definido el

estado tensional representado en (2.6),

donde las coordenadas -x, y y z- vienen

expresadas en metros.

Determine:

a. Fuerzas superficiales.

b. Fuerzas volumétricas.

c. Componentes intrínsecas del vector

tensión en el punto A asociado al

plano de la figura 2.7.

2

2 2

0

0

0

zy xyz

zx xyz t m

xyz xyz

(2.6)

Figura 2.6: Estados tensionales en un

punto de un dominio elástico.

Figura 2.7: Dominio cilíndrico elástico.

x z

y

z

A

45º




TENSOR DE TENSIONES



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Versión 2.0

10

4

6

4

x

y

Problema 2.10

La figura 2.8 representa el estado ten-

sional de un punto P sometido a ten-

sión plana.

a. Determine el tensor de tensio-

nes según el sistema coorde-

nado 𝑥 .

b. Determine y represente gráfi-

camente, con indicación explíci-

ta del sistema 𝑥 , el tensor

de tensiones según el sistema

coordenado 𝑥 .

c. Determine y represente gráfi-

camente, con indicación explícita del sistema 𝑥 , las tensiones y las

direcciones principales.

d. Determine y represente gráficamente el vector tensión asociado a un

plano cuya normal forma 15º con la dirección 𝑥 y está contenida en el

plano 𝑥 .

Problema 2.11

En un punto del sólido, sometido a

tensión plana, se conocen las ten-

siones normales y tangenciales so-

bre dos planos que forman entre sí

un ángulo , ver figura 2.9.

Determine gráficamente y analítica-

mente:

a. El ángulo .

b. Las tensiones y direcciones

principales

c. El tensor de tensiones en los

ejes 𝑥 .

d. Represente las direcciones principales

Problema 2.12

Determinado punto de un sólido elástico, homogéneo e isótropo se encuentra

sometido a un estado de tensión plana definido por las tensiones 𝜎 ,

𝜎 , 𝜎 .

a. Indique si es posible encontrar, en ese punto, algún plano tal que la tensión

tangencial tenga un valor de 7 MPa.

Figura 2.8: Estado de tensión plana en

en un punto -P- de un sólido elástico.

Figura 2.9: Componentes intrínsecas, en

, de los vectores tensión asociados a

dos planos en un punto de un dominio elástico.

300400

200

30º

x

'x

y'y

P




TENSOR DE TENSIONES



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Versión 2.0

x

y

A(0,0,0) B(20cm,0,0)

C(10cm,20cm,0)

Espesor = 0.5 cm

Si su respuesta ha sido sí, indique alguno de los planos en los que se da

ese valor para la tensión angular.

Si su respuesta ha sido no, razone por qué.

b. Determine el/los plano/s con máxima tensión tangencial de entre aquellos

que tienen tensión intrínseca normal de .

Problema 2.13

El dominio elástico, homogéneo e

isótropo; de la figura 2.10, de pro-

piedades mecánicas ,

, se encuentra sometido al

estado de tensión representado en

(2.7) (coordenadas en metros).

a. Represente las direcciones

de tensión principal y las de

deformación principal en el

baricentro del dominio.

b. Represente la/s dirección/es de tensión tangencial máxima en el bari-

centro del dominio.

c. Represente las acciones sobre la cara BC y obtenga el momento resul-

tante de estas acciones en el punto A.

d. Obtenga el alargamiento del lado AC.

e. ¿Cuánto debería de valer la tensión de fallo del material para que el coe-

ficiente de seguridad en tensiones del dominio fuese 2.5, si se utilizase

el criterio de Von Mises?

7 3 0

3 5 0

0 0 0

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x

y MPa

(2.7)

Problema 2.14

Una presa de gravedad con el perfil representado en la figura 2.11 está cons-

truida mediante hormigón en masa de coeficiente de Poisson , módulo de

elasticidad y peso específico , siendo el peso específico del agua.

La solución en tensiones de este problema, de deformación plana, viene defini-

da por las componentes del tensor de tensiones indicadas en las expresiones

(2.8).

a. Represente gráficamente las acciones que el terreno debe realizar sobre

la presa para que el resultado indicado sea el correcto.

b. Represente gráficamente las tensiones principales y las direcciones

principales en el punto medio de la base de la presa

Figura 2.10: Dominio elástico triangular.




TENSOR DE TENSIONES



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Versión 2.0

Figura 2.11: Esquema de presa de gravedad.

𝜎

𝜎

𝑥

𝜎 𝑥.

(2.8)

c. Represente gráficamente las tensiones principales y las direcciones

principales en el punto medio del lado CB.

d. Determine las fuerzas de volumen que actúan sobre la presa.

e. Es conocido que el hormigón, dado su comportamiento predominante-

mente frágil, puede fallar por tracción para tensiones de tracción del or-

den de un 5% del valor de su resistencia a compresión.

En base a esta afirmación ¿qué cota máxima establecería para la altura

de la presa si el punto más desfavorable, desde el punto de vista tensio-

nal, fuese el punto A y la resistencia a compresión del hormigón fuese

𝜎 ?

Problema 2.15

Para el dominio elástico de la

figura 2.12 -formado por un

material de propiedades me-

cánicas y

- el tensor de tensiones, en

el sistema de referencia repre-

sentado, es el que aparece en

(2.9), donde las coordenadas

han de ser consideradas en

centímetros.

a. Determine la expresión

del lugar geométrico de

los puntos con incre-

Figura 2.12: Dominio elástico prismático.

cdgz

y

x

500cm

50cm

40cm

AB

CD

E

F

GH

x

y

O

A B

C

h

/ 4h

45º




TENSOR DE TENSIONES



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Versión 2.0

mento unitario de volumen nulo.

b. Determine el incremento de superficie para la sección recta situada en

𝑥 .

c. Determine, en el punto de coordenadas (200 ,20 ,1.5 )cm cm cm ,

c1. Las normales, expresadas en el sistema de referencia de la figu-

ra, de los planos octaédricos.

c2. El coeficiente de seguridad en tensiones si la tensión de fallo es

de .

20 0200 1000

( , , ) 0 50 0

0 501000 100

xy xyz

x y z x MPa

xyz xy

(2.9)

Problema 2.16

El dominio elástico, homogéneo e isó-

tropo representado en la figura 2.13 está

sometido a un estado de cargas que

provoca un estado de deformación pla-

na. El tensor de tensiones está definido

por las componentes recogidas en

(2.10).

𝜎

𝜎

𝑥

𝜎 𝑥.

(2.10)

a. Represente gráficamente las acciones sobre la cara .


principales en el punto medio de esa cara.

c. Obtenga el incremento de superficie sufrido por el plano .

d. Suponga que el punto más desfavorable, desde el punto de vista tensio-

nal, se encuentra en la línea que une el punto con el punto de coorde-

nadas

¿Cuál debería ser, en ese caso, la tensión de fallo del material para que

el coeficiente de seguridad en tensión, en base a la tensión equivalente

de von Mises, fuera 2.5?

Datos:

Figura 2.13: Dominio elástico triangular.

x

y

A B

C

h

H




TENSOR DE TENSIONES



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Versión 2.0

y

x

2m

4m

2m

A B

D C

Material: coeficiente de Poisson: , módulo de elasticidad: ;

; ; .

Problema 2.17

El dominio de la figura 2.14, de un cen-

tímetro de espesor, formado por un ma-

terial elástico isótropo y homogéneo, se

encuentra sometido a un estado de car-

gas que provoca el estado de tensión

indicado en (2.11).

20 0200 1000

( , , ) 0 50 0

0 501000 100

xy xyz

x y z x MPa

xyz xy

(2.11)

a. Determine y represente la/s dirección/es de deformación angular máxi-

ma en el centro de gravedad del dominio.

b. Determine los puntos del dominio en los que se anula el tensor esférico

de deformación.

c. En el punto con mayor valor para la coordenada x, de los calculados en

el apartado anterior, determine y represente las direcciones principales.

Indique el valor de la tensión principal asociado a cada dirección repre-

sentada.

d. Desde el punto de vista de la seguridad y considerando el criterio de fa-

llo de von Mises, ¿qué punto de la línea ̅̅ ̅̅ estima que es el más peli-

groso? ¿Calcule el coeficiente de seguridad en ese punto?

e. Determine y represente el vector tensión, así como las componentes in-

trínsecas, en el plano que corta al dominio por la línea ̅̅ ̅̅ y es paralelo

al eje z.

Propiedades del material: Módulo de elasticidad: 2·106 Pa, tensión de fallo

plástico: 500 Pa, coeficiente de Poisson: 0.25.

Problema 2.18

Para el siguiente tensor de tensiones representado en (2.12),

a. Represente, en el espacio 𝑥 las direcciones principales de tensión.





TENSOR DE TENSIONES



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Versión 2.0

b. Determine el plano cuya normal forma 70º con la segunda dirección

principal y tal que su normal (la del plano) y el vector tensión asociado

forman 25º.

c. Determine los tensores esférico y desviador de tensión.

d. Exprese el tensor en un sistema definido según la dirección de máxima

deformación tangencial y otras dos direcciones perpendiculares entre sí.

10 0 5

0 5 0

5 0 20

MPa

(2.12)

Problema 2.19

El dominio, elástico, lineal e isótropo; representado en la figura 2.15, se encuen-

tra sometido a un estado de cargas que provoca, en el sistema de referencia de

la figura, y considerando las variables medidas en metros, el estado de tensio-

nes indicado en (2.13).

Figura 2.15: Dominio elástico. Cotas en metros.

72 968 60 144

25 25

60 10 80

96 128144 80 92

25 25

( , , )

z z

yx y z MPa

z z

(2.13)

a. Determine y represente las acciones que actúan en las caras y

.

b. Determine y represente las tensiones en el plano que pasa por .

c. ¿Existe, en el punto de coordenadas , un plano cuya nor-

mal forma con la segunda dirección principal y tal que la componen-

te normal de su vector tensión asociado es el doble de la tangencial?

d. Si su respuesta al apartado anterior fue positiva, represente la normal a

ese plano así como el vector tensión asociado.




TENSOR DE TENSIONES



Pág. 11/11

Versión 2.0

Las propiedades elásticas del material son .

Problema 2.20

Sobre el sólido de la figura 2.16 se ha

provocado un estado de tensiones me-

diante la aplicación de unas fuerzas de

volumen de valor

,

y de unas fuerzas de superficie por de-

terminar.

La solución en tensiones (cuando las

coordenadas se expresan en ) es la

que se muestra (2.14)

𝜎 𝜎 𝜎

(2.14)

a. Determine los valores de y .

b. Determine y represente las fuerzas superficiales sobre la cara .

c. Determine y represente las tensiones sobre el plano .





Pág. 1/3

Tema 2.2 EL SÓLIDO ELÁSTICO (El tensor de deformaciones)

Problema 2.2.1 Dado el siguiente campo de desplazamientos:

2

2

2

8

4

4

u ax

v ay

w ax

(2.2.1)

Se pide: a. Determine el tensor de deformación y la matriz de giro. b. Para el punto (1, 1, 2) halle el vector deformación asociado a la dirección

1 10

2 2n

c. Deformación lineal unitaria para el punto y dirección anterior d. Deformaciones y direcciones principales para el punto del apartado b). e. Para el punto (1,0,0,) se pide:

e1. Deformaciones y direcciones principales. e2. Tensor para un si se gira el sistema de ejes alrededor del eje OY un

ángulo de 30º. e3. Componentes intrínsecas del vector deformación asociado a una di-

rección contenida en el plano OXZ y que forma 45º con OX. Problema 2.2.2 El prisma de la figura 1 tiene un estado de deformaciones definido por el tensor constante:

4

2 3 0

3 0 0 10

0 0 3

(2.2.2)

Se pide: a. Incremento de longitud de la línea OA.

Elasticidad y resistencia de materiales Enunciados de problemas

EL SÓLIDO ELÁSTICO TENSOR DE DEFORMACIONES

Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

Pág. 2/3 Versión 2.0

b. Incremento de volumen del prisma. c. Incremento de área de la superficie BCDE.

Figura 2.2.1 Problema 2.2.3 Debido a un estado de cargas, sobre una esfera elástica de radio 0.5m se pro-voca un estado de deformación tal que las componentes del vector desplaza-miento de un punto P(x,y,z), referidas a un sistema cartesiano ortogonal, son:

2

3 2

0

u ax ay

v ax ay

w

(2.2.3)

Calcule:

a. Tensor de deformaciones. b. Tensor esférico y tensor desviador, expresando brevemente el significa-

do de ambos. c. Incremento de volumen de la esfera.

Problema 2.2.4 Los puntos del dominio de la figura 2.2.2 se hallan sometidos al siguiente cam-po de desplazamientos:

2 4

2 4

3 4

10

10

10

u xz cm

v yz cm

w z cm

(2.2.4)

Se pide:

a. Tensor de deformación y matriz de giro. b. Incremento total de volumen.

4cm3cm

A

OC

D

B

E

xy

z

6cm


EL SÓLIDO ELÁSTICO TENSOR DE DEFORMACIONES



c. Para el punto (1, 0, 1), vector deformación asociado a una dirección que forma 30º con OX y 70º con OY.

d. Deformación lineal unitaria en el punto (1, 1, 6) de la superficie superior según una dirección contenida en esa superficie y que forma 15º con el eje OY.

e. Incremento de longitud de OA .

Figura 2.2.2 Problema 2.2.5 Indique, de los siguientes tensores de deformación, cuáles son posibles.

1

3 2

2 0 0

0 2

x y z

y

z z

(2.2.5)

2 2 2 4

2 2

2

4 2 2

2 2

2 0 0

0 5

x yz y z z

y z

z x y

(2.2.6)

2

2

3

2 2

1516 0 4

2

150 0 4

2

15 154 4 15

2 2

xz x yz

y xz

x yz y xz xy

(2.2.7)

A

O

x

y

z

4cm3cm

6cm




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Tema 2.3 EL SÓLIDO ELÁSTICO (Ley de Comportamiento)

Nota: Salvo error u omisión, los epígrafes que aparecen en rojo no se pueden hacer has-ta un punto más avanzado del temario

Problema 2.3.1 El estado tensional del sólido de la figura 2.3.1, en el que una dimensión es mu-cho menor que las otras dos, es un estado de tensión plana que viene repre-sentado por el tensor bidimensional:

2cm/Kg100xx

xyx

(2.3.1)

Sabiendo que las constantes del material son E = 2·106 Kg/cm2 y = 0.3, se pide: a. Tensor de deformación. b. Tensiones y direcciones principales de tensión del punto central del sólido,

el punto C de coordenadas (x, y) = (2, 1). c. Componentes intrínsecas del vector tensión obtenido en el punto C y según

el plano AB. d. Deformaciones y direcciones principales de deformación del punto C. e. Componentes intrínsecas del vector deformación del punto C, y según una

dirección normal al plano AB.

Figura 2.3.1: Laja.

Problema 2.3.2

El tensor de deformación 410xy

yx2

con x, y, en cm corresponde a un

sólido en el que la dimensión en el eje OZ es mucho mayor que las otras dos,

en los ejes OX y OY. El sólido, de material de constantes E = 2·106 Kg/cm2 y = 1/3 viene representado en la figura 2.3.2. Determine:

C

4

cm

2

cm

A

B x

y


EL SÓLIDO ELÁSTICO LEY DE COMPORTAMIENTO



a. Si el tensor es posible. b. El incremento de longitud del segmento AB. c. El tensor de tensiones. d. Las deformaciones principales y las direcciones principales de deformación

en el punto B. e. Las tensiones principales y las direcciones principales de tensión en el pun-

to B.

Figura 2.3.2: Sección de un sólido sometido a deformación plana.

Problema 2.3.3

La laja de E = 2.1·106Kg/cm2; =0.25; a=10cm y de dimensiones 10

2a

aa de

la figura está sometida a un tensor de tensiones:

0 4

4 4

xK

x y

(2.3.2)

Figura 2.3.3: Laja

Se pide: a. Obtener analíticamente y representar gráficamente las fuerzas que actúan

sobre el sólido. b. Si se coloca una galga extensométrica1 en el punto A según la dirección

representada en la figura, determine el valor que se obtendría de la misma. c. Tensiones tangencial y normal que se obtendrían en el punto A en un plano

perpendicular a la dirección n

.

1 elemento que se coloca para medir deformaciones longitudinales unitarias en la dirección de

x

y

4

cm

3

cm

A

B

y

x a

2a a/2

30

º

A n





d. Incremento total de volumen que sufre el sólido.

Problema 2.3.4 Para medir el estado tensional de un punto de la superficie libre (no sometida a fuerzas externas) de un sólido se utiliza el sistema de galgas de la figura, y se

obtienen los valores que se indican: a = 2·10-4, b = 2·10-4 y c = -10-4. Si las

constantes del material son E = 200GPa y = 0.2, se pide determinar el tensor de deformaciones y el de tensiones.

Figura 2.3.4: Roseta de galgas

Problema 2.3.5 El tensor de tensiones siguiente corresponde al sólido de la figura, en el que se muestran las fuerzas de superficie normales que actúan sobre el mismo. Las

constantes del material son E = 200Gpa y = 0.25.

3

2 2

0 0

0 80 /

0 0

x

xy xyz KN m

xyz

(2.3.3)

Se pide:

Figura 2.3.5: Sólido sometido a fuerzas superficiales

30º 30º

a

b c

y

x

3

m

640KN/m2

1440KN/

m2

2

m

x

y

z

1

m





a. Demuestre que al tensor de tensiones le corresponde las fuerzas normales

representadas. b. Obtenga el resto de las fuerzas superficiales. c. Obtenga las fuerzas volumétricas. d. Demuestre que el tensor es físicamente posible. Problema 2.3.6 Determine la energía de deformación total almacenada por el tetraedro de la figura, sabiendo que las tensiones son constantes y que los planos coordena-dos son superficies lisas. La fuerza de superficie que actúa sobre el plano incli-

nado es MPak30j10i40fs

, el módulo de elasticidad es E = 2·104 Mpa y el

coeficiente de Poisson, = 0.25.

Figura 2.3.6: Tetraedro sometido a un estado de tensiones

Problema 2.3.7 Un taco prismático está introducido en un hueco de paredes lisas que es, exac-tamente, del mismo tamaño que él, pero una vez dentro se ejerce una presión sobre su superficie superior de 40MPa, si las constantes del material son E =

200GPa, = 0.3 y = 1.25·10-5 ºC-1 se pide: a. Demostrar que un estado tensional constante es solución del problema. b. Determinar ese estado tensional. c. Determinar el incremento de tensiones si el sólido sufre un incremento de

temperatura de T = 50º.

x

y

2 cm

4 cm

2 cm





Figura 2.3.7: Taco prismático introducido en un hueco

Problema 2.3.8 Los dos sólidos de la figura son de distinto material y se encuentran entre dos placas rígidas. En cada extremo hay dos tornillos de rigidez infinita. Se pide calcular el número de vueltas que hay que darle a cada tornillo para que se unan los sólidos 1 y 2, permaneciendo paralelas las placas rígidas. Se partirá de que el estado tensional de cada sólido es uniforme. Datos: E1 = 106 Kg/cm2,

1 = 0.15, E2 = 5·105 Kg/cm2, 2 = 0.25, = 0.1 mm y el paso de cada tornillo es de 1mm.

Figura 2.3.8: Sólidos entre placa rígidas

40 cm

30 cm

40

MPa

50

cm

50

cm

50

cm

50

cm

100

cm E1, 1 E2, 2

E3,

3

E3,

3

Placas

rígidas

10 cm

25

cm

25

cm





Problema 2.3.9

El sólido de la figura de E = 200GPa y = 0.25 tiene una dimensión mucho mayor según el eje OZ (5m) está sometido al campo de desplazamientos que se indica, se pide:

a. Indique todas las condiciones de contorno. b. Halle el tensor de deformaciones. c. Halle el tensor de de tensiones. d. Halle el incremento de volumen. e. Compruebe que este campo de desplazamientos puede ser solución

del problema.(2 ptos) f. Halle el valor de P. (1 pto)

( ) (

) (2.3.5)

Figura 2.3.9: Laja

Problema 2.3.10 Obtenga el estado tensional de un punto material de un sólido de propiedades

E=100GPa y = 0.2 si:

El incremento unitario de volumen en ese punto es nulo.

La deformación angular máxima es 4·10-4. Problema 2.3.11 El dominio elástico, homogéneo e isótropo; de la figura 2.3.10, de propiedades

mecánicas , , se encuentra sometido al estado de tensión representado en (2.3.6) (coordenadas en metros).

a. Represente las direcciones de tensión y las de deformación principal en el baricentro del dominio.

b. Represente la dirección de tensión tangencial máxima en el baricentro del dominio.

x

20 cm

y

P

B

A

45º

5º

O





x

y

A(0,0,0) B(20cm,0,0)

C(10cm,20cm,0)

Espesor = 0.5 cm

c. Represente las acciones sobre la cara BC y obtenga el momento resul-tante de estas acciones en el punto A.

d. Obtenga el alargamiento del lado AC. e. ¿Cuánto debería de valer la tensión de fallo del material para que el coe-

ficiente de seguridad en tensiones del dominio fuese 2.5, si se utilizase el criterio de Von Mises?

Figura 2.3.10: Dominio elástico triangular.

7 3 0

3 5 0

0 0 0

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x

y MPa

(2.3.6)

Problema 2.3.12 Una presa de gravedad con el perfil representado en la figura 2.3.10 está cons-

truida mediante hormigón en masa de coeficiente de Poisson , módulo de elasticidad y peso específico , siendo el peso específico del agua.

Figura 2.3.11: Esquema de presa de gravedad.

La solución en tensiones de este problema, de deformación plana, viene defini-da por las componentes del tensor de tensiones indicadas en las expresiones (2.3.7).

.

(2.3.7)

x

y

O

A B

C

h

/ 4h

45º





a. Represente gráficamente las acciones que el terreno debe realizar sobre la presa para que el resultado indicado sea el correcto.

b. Represente gráficamente las tensiones principales y las direcciones principales en el punto medio de la base de la presa

c. Represente gráficamente las tensiones principales y las direcciones principales en el punto medio del lado CB.

d. Determine las fuerzas de volumen que solicitan la presa. e. Es conocido que el hormigón, dado su comportamiento predominante-

mente frágil, puede fallar por tracción para tracciones del orden de un 5% del valor de su resistencia a compresión. En base a esta afirmación ¿qué cota máxima establecería para la altura de la presa si el punto más desfavorable, desde el punto de vista tensional, fuese el punto A y la re-

sistencia a compresión del hormigón fuese ? Problema 2.3.13 Para el dominio elástico de la figura 2.3.12 -formado por un material de propie-

dades mecánicas y - el tensor de tensiones, en el sistema de referencia representado, es el que aparece en (2.3.8), donde las coordena-das han de ser consideradas en centímetros.

a. Determine la expresión del lugar geométrico de los puntos con incre-

mento unitario de volumen nulo.

b. Determine el incremento de superficie para la sección recta situada en

.

c. Determine, en el punto de coordenadas (200 ,20 ,1.5 )cm cm cm ,

c1. Las normales, expresadas en el sistema de referencia de la figu-

ra, de los planos octaédricos.

c2. El coeficiente de seguridad en tensiones si la tensión de fallo es

de .

Figura 2.3.12: Dominio elástico prismático.

cdgz

y

x

500cm

50cm

40cm

AB

CD

E

F

GH





20 0200 1000

( , , ) 0 50 0

0 501000 100

xy xyz

x y z x MPa

xyz xy

(2.3.8)

Problema 2.3.14 El dominio elástico, homogéneo e isótropo representado en la figura 2.3.13 es-tá sometido a un estado de cargas que provoca un estado de deformación pla-na. El tensor de tensiones está definido por las componentes recogidas en (2.3.9).

Figura 2.3.13: Dominio elástico triangular.

a. Represente gráficamente las acciones sobre la cara .


principales en el punto medio de esa cara.

.

(2.3.9)

c. Obtenga el incremento de superficie sufrido por el plano .

d. Suponga que el punto más desfavorable, desde el punto de vista tensio-

nal, se encuentra en la línea que une el punto con el punto de coorde-

nadas

¿Cuál debería ser, en ese caso, la tensión de fallo del material para que

el coeficiente de seguridad en tensión, en base a la tensión equivalente

de von Mises, fuera 2.5?

Datos:

Material: coeficiente de Poisson: , módulo de elasticidad: ;

; ; . Problema 2.3.15 El dominio de la figura 2.3.14, de un centímetro de espesor, formado por un material elástico isótropo y homogéneo, se encuentra sometido a un estado de cargas que provoca el estado de tensión indicado en (2.3.10).

x

y

A B

C

h

H





y

x

2m

4m

2m

A B

D C

Figura 2.3.14: Dominio elástico.

30 60 80 2 40 0

2 40 30 120 20 0

0 0 1

( , ,

0

)

x y x

xx y x yz Pa

(2.3.10)

a. Determine y represente las direcciones de deformación angular máxima

en el centro de gravedad del dominio. b. Determine los puntos del dominio en los que se anula el tensor octaédri-

co de deformación. c. En el punto con mayor valor para la coordenada x de los calculados en

el apartado anterior, determine y represente las direcciones principales. Indique el valor de la tensión principal asociado a cada dirección repre-sentada.

d. Desde el punto de vista de la seguridad y considerando el criterio de fa-

llo de von Mises, ¿qué punto de la línea ̅̅ ̅̅ estima que es el más peli-groso? ¿Calcule el coeficiente de seguridad en ese punto?

e. Determine y represente el vector tensión, así como las componentes in-

trínsecas, en el plano que corta al dominio por la línea ̅̅ ̅̅ y es paralelo al eje z.

Propiedades del material: Módulo de elasticidad: 2·106 Pa, tensión de fallo plástico: 500 Pa, coeficiente de Poisson: 0.25.




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Tema 3 CRITERIOS DE FALLO

Problema 3.1 Se desean comparar, desde el punto de vista de la seguridad., dos puntos de un sólido, uno del interior sujeto al estado tensional de la figura y uno de la su-perficie libre del mismo, cuyo estado tensional viene caracterizado por la roseta de galgas de la figura.

Figura 3.1

Se va a considerar dos casos:

a. El material es dúctil, con una tensión de fluencia de σF = 3600 Kg/cm2, un módulo de elasticidad de E = 106 Kg/cm2 y un coeficiente de Poisson de ν = 0.3.

b. El material es frágil, con una tensión de rotura en tracción de σRT = 2000 Kg/cm2, una tensión de rotura en compresión de σRC = 6000 Kg/cm2, un módulo de elasticidad de E = 106 Kg/cm2 y un coeficiente de Poisson de ν = 0.3.

Halle, asimismo, para cada punto y cada material el coeficiente de seguridad. Problema 3.2 Se desean comparar los estados tensionales a y b desde el punto de vista de la seguridad, siendo dichos estados:

c = 1·10-3

b = -1·10-3

a = 1·10-3

30º

30º

1000Kg/cm2

3500Kg/cm2

2000Kg/cm2

Punto Interior Punto de la superficie


FLEXO-COMPRESIÓN DESVIADA



a. Tensión plana, suma de los dos estados tensionales mostrados en mos-trados en la figura 3.2

b. Deformación plana definida por el tensor siguiente:

4102/55

52/13

(3.1)

Figura 3.2

Se considerará primero un material dúctil con E = 2·106 Kg/cm2 y = 0.25 y después un material frágil con las mismas constantes anteriores y una relación entre tensiones de rotura K = 0.3. Problema 3.3

El estado de tensiones de un punto de un material con coeficiente de Poisson

ν= 0,3 viene definido por las siguientes condiciones:

El incremento unitario de volumen es nulo.

Las componentes intrínsecas de un plano paralelo al eje principal III y

cuya normal forma ángulos iguales con los otros dos ejes principales son

σn = 600Kg/cm2 y τ = 400Kg/cm2.

Se pide:

1. Tensiones principales.

2. Coeficiente de seguridad, suponiendo el material dúctil con

σF=3000Kg/cm2.

3. Coeficiente de seguridad, suponiendo el material frágil con σRT =

2000Kg/cm2 y σRC = 6000Kg/cm2.

4. Tensor de deformación.

5. Repita los cuatro puntos anteriores para un módulo de Poisson ν=0,5.

6. Determine el tensor de deformación si el coeficiente de seguridad es

m=0,5.





Para determinar los coeficientes de seguridad utilice todos los criterios de fallo

que conozca.

Problema 3.4 Halle los coeficientes de seguridad de los siguientes apartados:

a. Estado tensional del problema 2.2. b. Punto A del problema 2.9. c. Estado tensional del problema 2.5. d. Punto C del problema 2.3.1

Se supondrá en todos los casos, tanto material dúctil con una tensión de fluen-

cia de F= 2600 Kg/cm2 como material frágil con una tensión de rotura en trac-

ción de RT= 1000 Kg/cm2, y una tensión de rotura en compresión de RC= 2000 Kg/cm2, Problema 3.5 Halle la K del problema 3 de la colección de la ley de comportamiento para que no haya plastificación, utilice el criterio de Von-Mises con una tensión de fluen-

cia de F = 2600 Kg/cm2 y un coeficiente de seguridad m = 1.5. Problema 3.6 Se tiene un cuerpo constituido por un cierto material elástico lineal de módulo

de Elasticidad E = 2·106 Kg/cm2 y coeficiente de Poisson = 0,2. Está referido a un sistema cartesiano OXYZ, cuyo origen de coordenadas O es un punto del interior del cuerpo. Del estado tenso-deformacional en el punto O se sabe que:

a. El elipsoide de tensiones de Lamé es de revolución, siendo su eje de simetría la recta que pasa por los puntos O(0,0,0) y P(0,1,1).

b. Una de las tensiones principales es de 2000Kg/cm2. c. La tensión principal menor es de compresión. d. El incremento unitario de volumen es de 9·10-4.

Se pide:

1. Calcule las tensiones principales en el punto O. 2. Coeficiente de seguridad suponiendo que el material como dúctil con

F= 3000Kg/cm2.

3. Coeficiente de seguridad suponiendo que el material como frágil con RT

= 2000Kg/cm2 y RC = 3000Kg/cm2. Tanto en este apartado como en el anterior utilice todos los criterios de fallo.

4. Tensor de tensiones en el punto O referido al sistema cartesiano OXYZ.




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Tema 5 TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Problema 5.1

Obtenga el descenso del centro de gravedad de la ba-rra, de longitud L, de la figura sometida a su propio pe-

so y a la fuerza que se indica. El peso específico es y la sección transversal A.

Problema 5.2

Obtenga la longitud máxima de la barra siguiente, so-metida a tracción debida a su propio peso, de peso es-

pecífico , para que no exista plastificación, siendo la

tensión de fluencia, F, y el área de la sección A.

Problema 5.3

Obtenga la expresión del área de la barra en función de la coordenada longitudinal de la misma, coorde-nada x, para que todos los puntos tengan un coefi-ciente de seguridad de 1. La barra está sometida a

su propio peso, siendo el peso específico , y a la

fuerza P. La tensión de fluencia del material es F.

Problema 5.4 Una carga vertical P = 2300 kg está sopor-tada por dos alambres de acero de longitud L=3.5 m inclinados 30º. Determinar la sec-ción transversal que deben tener los cables si: a) la tensión admisible por los mismos es

p= 700 kg/cm2. b) el desplazamiento del punto C sea me-

nor a max = 1 mm.

P

L

F

Resistencia de materiales Enunciados de problemas

TRACCIÓN Y COMPRESIÓN



Problema 5.5

Determinar el diámetro de las columnas de una prensa hidráulica sabiendo que la carga de compresión má-xima es de 50 Tn y la tensión admisible para el acero de las columnas es de 8 kg/mm2. Determinar así mis-mo el alargamiento máximo que sufren las columnas sabiendo que la longitud entre cabezas es de 2 m.

(d=63,1 mm, =0,762 mm)

Problema 5.6

Representar los dia-gramas de esfuerzos, tensiones, deforma-ción y desplazamiento del eje de la figura. E 210 GPa.

(max=0,302 mm)

Problema 5.7

Dibujar los diagramas de esfuerzos, tensio-nes, deformación y desplazamiento del eje de la figura. E = 200GPa. S1 = 100 mm2 S2 = 300 mm2. L1 = 20cm. L2 =L3 = 50 cm.

Problema 5.8

Calcular el desplazamiento UB (materiales en acero).

(H=0,0142cm,V=0,198cm)





Problema 5.9

Determinar el alargamiento de una barra cónica bajo la acción de su propio peso. La barra es de longitud L,

el diámetro de la base es d y el volumen unitario es .

(=E

L

6

. 2)

Problema 5.10 Determinar las reacciones en las 4 patas de una mesa cuadrada producida por una carga P que actúa en una diagonal. El apoyo de la mesa en el suelo se su-pone absolutamente rígido y las patas se unen a él de modo que pueden sufrir extensiones y compresiones. La mesa también se supone infinitamen-te rígida.

(A=P

24

1

a

e, B=

4

P, C=

24

1

a

e)

Problema 5.11

Una barra prismática vertical está rígidamente fijada en sus extremidades y soporta un peso aplicado en el punto B. Dibujar los diagramas de fuerzas, ten-siones, deformaciones y desplazamientos. (X=P.b/(a+b), Y=P.a/(a+b))

Problema 5.12

Se realiza la sujeción de la barra AB perfecta-mente rígida mediante tres barras del mismo material como se indica en la figura. Por un error cometido al cortar las barras, la barra ver-tical, de longitud teórica L, presenta un defecto

« L. Las secciones y los E de las barras son idénticos. Determinar las fuerzas que aparecen en las barras debido al montaje.

(FI=

cos2

cos

LL

EA

, FII=

cos2

cos2

LL

EA

)





Problema 5.13 Un perno de acero laminado en frío pasa a través de un tubo de cobre de longitud 1 = 30.5 mm. La tuerca del extremo se gira justamente hasta que toque al tubo de cobre pero sin hacer fuerza. Todo el con-junto está a una temperatura t = 210C. Posteriormente se mide la temperatura del conjunto y es de 600C. Determinar: a) las tensiones que existirán tanto en el

perno como en el tubo. b) lo mismo si la tuerca se gira 1/4 de

vuelta (paso p = 0,32 cm).

Datos Tornillo

Aa= 3,23 cm2 Ea= 2,1 x 106 kg/cm2

a = 12,5 x 10-6 ( ºC )-1

Tubo ACu= 4,84 cm2 ECu = 1,1 x 106kg/cm2

Cu= 17 x 10-6 ( ºC )-1

Paso p = 0,32 cm; Tornillo=3029,9 kg/cm2; Tubo=2022,1 kg/cm2

Problema 5.14 Calcular las tensiones finales en las barras A y B ante un aumento de Tª de 100C sobre la barra B. Datos

Eje A: Acero, E=200 Gpa, =12.10-6 (ºC)-1

Barra B: Laton, E =105 Gpa, =18,8.10-6 (ºC)-1

(A=10,15 MPa, B=13,64MPa)

Problema 5.15 Una viga de hormigón pretensado se fabrica de la siguiente manera:

1. Se colocan las armaduras de pretensado dentro del molde (que supondremos rígido) que va a servir para fabricar la viga, de forma que sobresalgan del mismo. Se estira de ellos, hasta que alcanzan una tensión inicial σo. (Figura a).

2. Se cuela el hormigón hasta rellenar el molde y se espera a que fragüe (Figura b).

3. En ese momento se deja de aplicar la carga sobre las armaduras y se des-moldea la viga (Figura c).





a b

c

Calcular la tensión de pretensado del acero para que el hormigón se quede con una

tensión de h. Datos

1

12

B

A

E

E;

1

15

A

B

A

A ; H=

27

o , A=9

5 o .

Problema 5.16

Un peso de 4500 kg está fijado en el extremo de un cable de acero. Dicho peso desciende con ve-locidad constante de 1 m/s. ¿Qué esfuerzos se producen en el cable cuando se inmoviliza repen-tinamente su extremo superior?. La longitud del cable en el momento del impacto es de 18m. Datos

= 16 cm2, E = 2,1.106 kg/cm2.

(= 2105,8 kg/cm2)

Problema 5.17

Calcular el alargamiento de la pieza cónica de acero que cuelga de la pared y soporta una fuerza de P=4.536 kg. La longitud de la barra es de 3,05m, y los diámetros superiores e inferiores d1=5,08 cm y d2=2,54cm respectivamente. Despreciar el peso propio.

(=0,065cm)





Problema 5.18 Un bloque rígido de 600kg de peso cuelga de tres cables formando un sistema simé-trico. Antes de colgar el bloque, los extremos inferiores de los cables estaban a la misma altura. Calcular la tensión que soporta cada cable después de colgar el blo-que y sufrir un aumento de temperatura de 55ºC. Datos Acero:

A=5cm2, E=2,1.106 kg/cm2, =12.10-6 (ºC)-1 Bronce:

A=5cm2, E=0,9.106 kg/cm2, =21.10-6 (ºC)-1

A= 334,03 kg/cm2(tracción)

B= 548,06 kg/cm2(compresión)

Problema 5.19 Una columna de hormigón armado de 2m de altura esta re-forzada con 6 barras de acero de diámetro D=24mm. Calcu-lar las tensiones normales del acero y del hormigón cuando soportan una compresión de 10 Tn. Calcular también el acortamiento de la columna. Datos EH=2,8.105 kg/cm2

A= 9358,53 kg/cm2

Z= 1247,75 kg/cm2

=0,8912cm

Problema 5.20

Las varillas de acero BE y CD tienen 16mm de diámetro (Eacero = 210Gpa); sus extremos tienen rosca simple con un paso de 2,5 mm. Sabiendo que después de ser ajustada a tope, la tuerca C es apretada una vuelta. Hallar: a) la fuerza en la barra CD; b) la deflexión del punto C del elemento

rígido ABC.





Problema 5.21

A Tª ambiente (200C) existe una sepa-ración de 0,5 mm entre los extremos de las varillas de la figura. El sistema sufre un aumento de temperatura de 140ºC. Hallar:

a) aluminio y acero. b) La longitud de la barra de acero.

(Al= 145 MPa, Ac= 361 Mpa, LAl=300,62mm)

Problema 5.22

En la estructura de barras de la figura, dos barras son de cobre y una de acero, las tres barras tienen la misma sección de 4cm2. El módulo de Elasticidad del acero es de 200GPa y el del cobre de 80GPa, se pide hallar los esfuerzos de las barras. Problema 5.23 Se desea conocer los esfuerzos de las ba-rras biarticuladas de la figura siguiente sa-biendo que están sometidas a una fuerza P =

10KN, a un incremento de temperatura T =

50°C y a un defecto de montaje = 3mm. La viga AB se puede considerar rígida. Las barras 1 y 4 son de acero de módulo de elasticidad Eac = 200GPa, coeficiente de dila-

tación térmica ac = 10-5 °C-1 y de área A = 5cm2 y las barras 2 y 5 son de duraluminio de módulo de elasticidad Eda = 70GPa, coefi-

ciente de dilatación térmica da = 2.3510-5 °C-1 y de área A = 10cm2.

Problema 5.24 Halle los esfuerzos de las barras biarticuladas de la figura si se encuentran sometidas a un defecto de montaje. Los defectos de cada barra son:

OA = 5mm, OB = 8mm, OC = 1mm. Cada barra es de un material diferente y el área de todas ellas es de 10cm2. EOA=EOC=200GPa, EOB=150GPa.

45º 30º

O

A B

C

0.75

m

1.25

m

30°

P

1 2 3 4

A B

B

2

m 2

m

1

m

30º 30º

1 mm

1 m Cu Cu

Ac

P = 1T





Problema 5.25 La figura representa un tubo de cobre de sección transversal Aac = 12cm2, con dos tapas rígidas con un agujero en cuyo interior se encuentra un tornillo de acero de sección transversal Aa = 6cm2. Inicial-mente el tubo y el tornillo no se encuentran deforma-dos. Si el paso del tornillo es de 3mm y se da un cuarto de rosca ¿qué tensiones aparecen en el tubo de cobre y en el vástago de acero? ¿Y si después se caliente 30º? El acero tiene un módulo de elasticidad Eac = 200GPa y un coeficiente de dilatación térmica

ac = 125·10-7 °C-1 y el cobre un módulo de elastici-dad EC = 100GPa y un coeficiente de dilatación tér-

mica C = 17010-7 °C-1.

Problema 5.26

Obtenga el acercamiento de los puntos A y B. Todas las barras son del mismo material y tienen el mismo área A y módulo de Elasticidad E. No se puede utilizar un método energético.

Problema 5.27 Las barras biarticuladas de acero de la misma sección de la figura están sometidas a

un incremento de temperatura T = 40°C y a un defecto de montaje = 1cm. La viga

AC es rígida. Se pide la sección de las barras. Las propiedades del acero son F =

260MPa, E = 200GPa y = 10-5 °C-1. Ponga cada barra de una sección diferente.

L

L

L

L

P P

A B

cobre

acero 75cm

q = 2T/m

30°

1 2 3 4

A

B

B

6m 6m

2

m

C

B

2

m

30°




Pág. 1/20

Tema 6.1 FLEXIÓN PLANA: Tensiones

Problema 6.1.1. Determine la ley de esfuerzos cortantes y momentos flectores de las siguientes vigas:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Problema 6.1.2. Determine la ley de esfuerzos cortantes y las cargas corres-pondientes al diagrama de momentos flectores de la viga biapoyada siguiente:

3m

20KN/m 50KNm

2m 2m

4Tm

3m 1m 4m

4T

3m

8Tm

5m 1m

3T/m

4m

10Tm

5m

8T

5m

4T/m

4T/m

3m

10KN/m 50KNm

2m 3m 2m

4T/m

3m

8T


FLEXIÓN PLANA. TENSIONES



Problema 6.1.3. Obtenga el diagrama de esfuerzos cortantes y las cargas que actúan en el siguiente voladizo, supuesto el siguiente diagrama de momentos flectores.

Problema 6.1.4. Determine la anchura del ala de una viga de fundición, cuya sección se representa, si la tensión máxima de tracción es un tercio de la de compresión.

Problema 6.1.5. Obtenga la distribución de tensiones tangenciales en las sec-ciones transversales siguientes sometidas a un esfuerzo cortante Vy.

(a)

(b)

(c)

20e

e

e e

10e

R

2b

b

20cm

2cm

2cm

x

M M

a a

2

qa2

Parábola Parábola

PL/3

PL/3

PL/4

L/3 L/3 L/3





(d)

(e)

(f)

Problema 6.1.6. Dimensione la viga de la figura 1 con la sección rectangular de la figura 2 para que se obtenga un coeficiente de seguridad de Von-Mises de 2, dada una tensión de fluencia del material de 1000Kg/cm2. Problema 6.1.7. La viga de la siguiente figura 1 tiene la sección transversal de la figura 2. Se pide: a. Diagrama de esfuerzos cortantes y momentos flectores con los valores más

representativos. b. Obtenga el valor del espesor e, teniendo en cuenta que la tensión de fluen-

cia del material es de 1000 Kg/cm2 y el coeficiente de seguridad es de 1. c. Tensiones principales en un punto situado a 3m del apoyo A y dentro de la

sección transversal en el punto M. d. Coeficiente de seguridad, según Von-Mises, en el punto anterior.

figura 1

30KN/m

A

200KNm

B

6m 4m 2m

50KN

20e

e

e e

10e

figura 2

R R

R

e

20e

e

10e

2b

b

50KN 3m

10KN/m

2m

figura 1 figura 2





Problema 6.1.8. Determine los diagramas de esfuerzos axiles, esfuerzos cor-tantes y momentos flectores de las estructuras isostáticas siguientes:

Problema 6.1.9. Representar los diagramas de esfuerzos cortantes y momen-tos flectores de las vigas.

3

m

10KN/

m

50KN

m

2m

80K

N

2m 2

m

2m

5

m

5

m

4

m

10Tm 8

T

5T

3

m

1T/m

2

m

5

m

5

m

10Tm 5T

3

m

1T/

m

4T/

m

(a

)

(b

)

(c

)




























Problema 6.1.21. Representar los diagramas de esfuerzos cortantes y momen-tos flectores de la estructura.



























Problema 6.1.32. Construir los diagramas de las fuerzas cortantes Q y calcular las cargas que actúan sobre las vigas, dados los diagramas de los momentos flectores M.





Problema 6.1.33. Dimensionar la viga de la figura utilizando perfil normalizado IPE (sección constante). Material: Acero límite elástico 2600 Kp·cm2. Criterio de dimensionamiento: coeficiente de seguridad de tensiones de 2.5, utilizando para el cálculo de tensiones equivalentes el criterio de Von Mises. Obtener la máxima relación flecha-luz para el perfil obtenido.

Problema 6.1.34. Para el esquema de la figura, establezca la relación que ha de existir entre a y x, f(x,a)=0, si se quiere que las tensiones normales, según la dirección longitudinal de la barra, alcancen el valor de agotamiento en tracción y compresión simultáneamente.

Problema 6.1.35. Una viga de acero IPN 140 está solicitada por dos fuerzas P = 1000 kg que actúan en los extremos en voladizo como se muestra en la figu-ra. Calcular la tensión máxima que actúa en la viga, el radio de curvatura de la parte central y la flecha en el punto medio de la viga.

A B

0,8 l=3,8 0,8

1000kg 1000kg





Problema 6.1.36. Una viga de madera que tiene una sección transversal de 20 cm de anchura y 30 cm de altura está apoyada y cargada como se indica en la figura, Suponiendo que la teoría de flexión pura es válida para este problema, localizar la sección más peligrosa y calcular la máxima tensión de flexión.

1,2 2 2

1500kg 2000kg

q(x)=800kg/m

A B

Problema 6.1.37. Una viga soporta dos cargas P1 = 500 kg y P2 = 1000 kg, se-

paradas en 0,5 metros. Dichas cargas pueden ocupar cualquier posición en la

viga. Hallar la posición de la carga P1 para que el momento flector bajo la fuer-

za P2 sea máximo, y calcular la máxima tensión correspondiente sabiendo que

W = 125 cm3.

A B

P1

P2

a 0,5m

5m

Problema 6.1.38. Se construye una presa provisional en un canal hidráulico,

colocando tablones de 7,5 x 30 cm entre raíles guía, tal como se muestra en la

figura. Suponiendo que no haya ningún apoyo en el extremo inferior de los ta-

blones, calcular la tensión máxima producida en cada tablón cuando la profun-

didad de agua es de 1,8 m.





Problema 6.1.39. Una viga normalizada IPN de 5m de longitud está apoyada y cargada como se muestra en la figura. Los apoyos A y B deben colocarse de modo que el momento flector negativo en cada apoyo tenga el mismo valor ab-soluto que el momento flector positivo en el centro de la viga. Determinar la posición de los apoyos y elegir la viga adecuada si la tensión admisible de tra-bajo del material es de 1250 kg/cm2.

Problema 6.1.40. ¿Cuál es la relación entre los momentos flectores que puede

soportar una viga de sección rectangular tal que h=2b, cuando el plano de soli-

citación es: -paralelo al lado mayor, -paralelo al lado menor?

Problema 6.1.41. Una barra de acero de sección rectangular sufre una varia-

ción térmica tal que la cara superior sufre un aumento de temperatura de 40 0C

y la cara inferior es enfriada 40 0C. Suponiendo que el reparto de temperatura

dentro de la barra varía linealmente en una altura de 80 mm, determinar la cur-vatura adquirida por la barra suponiendo que está libre en sus extremos y de-

terminar la tensión máxima que soporta dicha barra suponiendo que dichos

extremos están empotrados. αacero=12 106 ºC-1

Problema 6.1.42. ¿Cuál es la viga que trabaja más favorablemente?

h

h/2

h

h 45°

Problema 6.1.43. Determinar la economía de metal que se obtiene si en la es-





tructura que trabaja a flexión se emplea en lugar de la sección circular maciza,

la sección hueca para la cual d2/D2 =0.9, siendo iguales las condiciones de tra-

bajo. Problema 6.1.44. ¿Cómo se debe cortar un tronco de árbol de sección cilíndri-

ca de diámetro d para obtener una viga de sección rectangular que tenga a) la mayor rigidez,

b) la mayor resistencia? Problema 6.1.45. Una viga prismática de sección transversal trapezoidal traba-

ja en flexión pura. Si las tensiones de trabajo admisibles en tracción y compre-

sión son t = 350 kg/cm2 y c = 560 kg/cm2, calcular la razón de las bases b1/b2

para la máxima economía.

b2

b1

Gc2

c1

h

Problema 6.1.46. Si las tensiones admisibles para el hierro colado en tracción

y en compresión son t =280 kg/cm2 y c= 560 kg/cm2 respectivamente, calcu-

lar el espesor correcto “e” del alma de la sección de la figura. El momento flec-tor se supone positivo.

15cm

5cm

25cmc1

c2

e

GM

Problema 6.1.47. Una viga de sección rectangular soporta una carga P en su

punto medio. Las tensiones admisibles son adm = 70 kg/cm2 y adm = 12 kg/cm2. ¿Cuál es el valor máximo de la carga P que se puede aplicar en la viga?.

0,5m0,5m

PEbakidura

15 cm

25

cm

Sección





Problema 6.1.48. ¿Qué viga IPN se amolda a las solicitaciones dibujadas si las

tensiones admisibles son adm = 240 kg/cm2 y adm = 120 kg/cm2. ?

q=4kN/m

5kN

7kN

3 2 11

2kN

Problema 6.1.49. Una viga de madera está constituida por 3 tablones de 10 x 5

cm. Están unidos mediante un adhesivo, siendo su adm = 3.5 kg/cm2, menor que la tensión admisible de la madera. La viga se encuentra simplemente apo-yada con una longitud de apoyo de 2 m. Determinar cuál es la carga máxima que puede aplicarse en el centro de la viga y la máxima tensión normal que soporta la viga.

1m 1m

P

5cm

5cm

5cm

10 cm

Problema 6.1.50. Hallar los momentos resistentes Wy y Wz del perfil en U de la figura:





Problema 6.1.51. Hallar los momentos resistentes Wy y Wz del perfil en U de la figura:

Problema 6.1.52. Una viga recta, cuya sección recta es la indicada en la figura, trabaja a flexión simple, de tal forma que en una determinada sección de la fi-

bra superior está sometida a una tensión de compresión max=1000 kg/cm2,

mientras que en la inferior la tensión es de tracción de valor max =500kg/cm2. Se pide:

1) Situación de la fibra neutra. 2) Calcular la anchura b de la viga. 3) Determinar el momento flector que actúa en la sección considerada.

Problema 6.1.53. Una viga de longitud L, sometida a tres cargas concentradas P iguales (dos en los extremos y una en el centro) descansa sobre dos apoyos situados en un mismo plano horizontal. Si los dos apoyos, situados a distancia mutua d, están centrados, se pide:





1) Determinar la relación que debe existir entre L y d para que el momento flector máximo sea el menor posible.

2) En estas condiciones y si d=4cm, P=4 ton, dimensionar la vifa en los dos supuestos siguientes:

a. La viga es de madera, de sección rectangular de ancho b=10cm y

adm=100kg/cm2.

b. La viga es un IPN de adm=1000kg/cm2. Problema 6.1.54. El perfil de la figura es el estrictamente necesario para resis-tir el mínimo momento máximo de la viga dibujada. En la sección sometida al máximo momento flector la fuerza total que actúa en los rectángulos rayados es de F=1400kg. Sabiendo que el número que expresa la carga lineal sobre el tramo AB en kg/m es igual al de la carga concentrada en el extremo del voladi-zo expresada en kg, determinar los diagramas de momentos flectores y de es-fuerzos cortantes.

Problema 6.1.55. Sobre una viga recta AB de longitud l=6m y sección rectan-gular actúa la solicitación exterior indicada en la figura. Se pide:

1) Dibujar el diagrama de momentos flectores. 2) Dimensionar la sección a x b imponiendo la condición a+b=30cm para

que sea máxima la resistencia a la flexión. 3) Calcular la tensión máxima provocada por la flexión, indicando la sec-

ción o secciones en que este valor máximo se alcanza.





Problema 6.1.56. Se considera una viga recta sometida al sistema de cargas indicado en la figura. La sección es tubular-rectangular de espesor constante

e=10mm. Sabiendo que la tensión admisible es adm=1200kg/cm2 y el módulo de elasticidad E=2,1·106 kg/cm2, se pide:

1) Dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes. 2) Dibujar el diagrama de momentos flectores. 3) Calcular las dimensiones de la sección sabiendo que se verifica la rela-

ción h/b=2. 4) Calcular la fuerza normal sobre la mitad superior del perfil, en la sección

sometida a momento flector máximo.

Problema 6.1.57. Dada la viga I de la figura, se pide:

1) Calcular en la sección mn’ la distribución de la tensión cortante, calcu-lando el máximo valor de ésta.

2) El porcentaje del esfuerzo cortante que absorbe el alma.




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Tema 6.2 FLEXIÓN PLANA. DESPLAZAMIENTOS.

Problema 6.2.1. Determine la ecuación de la elástica de las vigas del ejercicio XX de los pro-blemas de tensiones en flexión, suponiendo una inercia constante de I=10.000 cm4 y un módulo de elasticidad de 200 GPa. Calcule en cada caso la flecha máxima.

Problema 6.2.2. Calcule las flechas máximas de las vigas siguientes. Dimensiónelas conside-rando secciones IPN y E=2·106 kg/cm2.

Problema 6.2.3. Obtenga la flecha en el punto medio de las vigas siguientes. Considere perfil IPE-330 y E=200 GPa.


FLEXIÓN PLANA. DESPLAZAMIENTOS.



Problema 6.2.4. Obtenga los giros en los apoyos de las siguientes vigas biapoyadas.

Problema 6.2.5. Para las vigas a, b, c, d, e mostradas en la figura, determinar la ecuación de la elástica así como la flecha (deformación vertical) máxima.





Problema 6.2.6. Despreciando el rozamiento entre los tablones, hallar la relación entre sus má-ximas tensiones de flexión σ1 y σ2. Nota: ambos tablones tienen la misma de-formada y por tanto la misma curvatura en cada sección.

Problema 6.2.7.

Dada la viga de la figura determinar la ecuación de la elástica. Datos: q, a, p = 4q · q, M=q·a2, E·I

Problema 6.2.8.

Determinar la deformada máxima y el giro de la sec-ción B.





Problema 6.2.9.

Hallar δD y θA

Problema 6.2.10.

Hallar δE y θE

Problema 6.2.11.

Hallar δD y δC

Problema 6.2.12.

Hallar δC

Problema 6.2.13.

Hallar δB y θB





Problema 6.2.13.

Hallar la flecha δ y en el extremo libre.

Problema 6.2.14.

Localizar el punto de máxi-ma flecha y hallar δmax.

Problema 6.2.15.

Determinar la constante k para que el punto medio de AB no sufra ningún des-plazamiento vertical. E=2,1·106 kp/cm2. I=1450 cm4.

Problema 6.2.16.

¿Cuál es la relación entre las flechas de las extremidades de las dos vigas em-potradas en la figura, si la carga uniforme es la misma en los dos casos?

Problema 6.2.17.

Hallar la flecha δ en el extremo libre de la viga.





Problema 6.2.18.

Hallar la flecha δ en el extremo libre de la viga.

Problema 6.2.19.

Hallar la razón P/Q para que δC = 0.

Problema 6.2.20.

Despreciando el peso de la barra y el alarga-miento axial de BC, hallar el desplazamiento vertical del punto A.





Problema 6.2.21.

Calcular δC si el alambre BD tiene una sección A y un módulo E tales que AE=1,4·105 kp y en la barra AC, EI=9·107 kp·cm2. P=50 kg.

Problema 6.2.22.

Dada la viga de la figura hallar δA.

Problema 6.2.23.

Hallar la flecha δ en el centro del vano.

Problema 6.2.24.

Hallar la flecha δE.





Problema 6.2.25. (Este problema queda, salvo indicación en contrario, fuera del temario para el curso 11/12)

Hallar la deformada máxima originada por el impacto del peso W al dejarlo caer desde una altura h. Notas:

Despreciar el peso de la viga.

Se supone que en todo instante la viga se deforma elásticamente.

Despreciar la energía debida a la cizalladura.




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Tema 6.3 FLEXIÓN HIPERESTÁTICA.

Problema 6.3.1.

Para la viga empotrada-apoyada de la figura determinar:

a) Obtener los diagramas de esfuerzos mediante el uso de la ecuación dife-rencial de la elástica.

b) Dimensionar, considerando que la sección es rectangular, con dimen-sión b x 2b. Para dimensionar, se considerará un módulo de Young de

200Gpa, una tensión de fluencia F = 3000 Kg/cm2, un coeficiente de

seguridad de 1.5 y una relación flecha/luz 500

1

L

f .

Problema 6.3.2.

Para Dada la viga apoyada-empotrada de la figura, se pide:


b) Determinar los puntos de inflexión de la deformada.

c) Diagrama estimado de la deformada.

d) Dimensionar la viga considerando: E = 200GPa, 400

1

L

f , F = 260MPa,

m = 1 con un perfil IPN.

e) Coeficiente de seguridad en C en la unión ala-alma por encima de la lí-nea neutra.

2T/m 3m 3m

A B

3m 3m 2T/m

2T/m

2m 6m

A

4m

B

50K

N

200KN

m C


FLEXIÓN HIPERESTÁTICA



Problema 6.3.3.

Dada la viga biempotrada de la figura, determinar:


b) Determinar la flecha máxima sabiendo que tiene una sección rectangular de 20x30 cm2 y un módulo de elasticidad E= 250GPa.

Problema 6.3.4.

Se desea dimensionar la viga BC, de sección rectangular, de la figura. La barra AB es una barra biarticulada, de 1 cm2 de sección (Tirante), en la que se con-siderará el posible alargamiento de la misma. La viga BC presenta una tensión de trabajo t = 1600 Kg/cm2 . La viga y la barra son de acero de módulo de

Young E=2· 106Kg/cm2.

Dimensionada la viga, determinar la deformación máxima experimentada, y calcule el ratio fmax/Lviga..

Problema 6.3.5.

Dada la viga de la figura, en la que el voladizo y el resto de la viga presentan diferente perfil. Se pide:


b) Dibujar la deformada estimada. Para ello calcule los posibles puntos de inflexión.

c) Dimensionamiento de la viga, excepto el voladizo, por resistencia y por rigidez, considerando un perfil IPE.

6m

A

4m

B

50K

N

200KN

m

A

4

m

2m B C 1

T h

2h Sección transver-sal

de la viga

6m 4m 1

2T/ m 2 Tm 2 2T/ m

4m 4m 1

6





d) Dimensionamiento del voladizo sabiendo que la flecha máxima del vola-dizo es igual a la flecha máxima del resto de la viga. Considere en este caso igualmente un perfil IPE.

e) Coeficiente de seguridad del punto A, a h/4 por debajo de la línea neu-tra, aplicando Von - Mises.

Datos: E = 2106 Kg/cm2; = 0.3; e = 2600 Kg/cm2; m = 1.3; 500

1

L

f ;

2xy

2xeq 3

Problema 6.3.7.

Para la viga de la figura, determinar:


b) Dimensionar aplicando criterios de resistencia y rigidez.

c) Puntos de inflexión de la deformada.

d) Diagrama de la deformada.

e) Tensiones principales en el punto F a 1/3 de altura por encima de la lí-nea neutra.

Datos: F = 3600Kg/cm2, m = 1.5, 400

1)luz/flecha(

L

f , E=2· 106Kg/cm2.

Problema 6.3.8.

Para la viga de la figura donde el vano AB tiene una inercia doble a la del vano BC, determinar:


b) Diagrama de la deformada

c) Dimensionamiento por resistencia y por rigidez.

d) Coeficiente de seguridad del punto B en la unión ala-alma por encima de la línea neutra.

Datos: F = 3600Kg/cm2, m = 1.5, 400

1)luz/flecha(

L

f , E=2· 106Kg/cm2.

3m 3m

4T/

m A

8Tm C

4m 2m

B





Problema 6.3.9.

Para la estructura mostrada en la figura determinar la fuerza de contacto entre las dos barras, así como la flecha en C.

Solución: 32 .

;3 9

c

P lx P

EI

Problema 6.3.10.

Para las vigas de la figura determinar la reacción en el apoyo B.

Solución: 3 3.

.) 1 ; .)2 8

B B

a qlIzq R P Der R

l

Problema 6.3.11.

Hallar el desplazamiento horizontal del punto C. Despreciar los efectos provo-cados por la tensión axial en el tramo AB.

Solución: 2

4 312

c

Paa l

EI





Problema 6.3.12.

Un perfil IPN300 está perfectamente empotrado en dos muros por sus extre-mos A y B. El muro que contiene el extremo B experimenta un corrimiento ver-tical debido a un asiento en la cimentación.

Calcular el descenso máximo que podrá soportar dicho perfil, siendo despre-

ciable el peso propio y sabiendo que adm = 1000 Kp/cm2 y E = 2.106 Kp/cm2.

Solución: 8,8 mm.

Problema 6.3.13.

Obtener el diagrama de momentos flectores, así como las reacciones.

Problema 6.3.14.

Para la viga de la figura determinar las leyes de esfuerzos y las reacciones.

Dato:





Problema 6.3.15.

Para la viga de la figura determinar las leyes de esfuerzos y las reacciones.

Datos: , .

Problema 6.3.16.

Una viga recta horizontal, de longitud 6 m y sección constante, está perfecta-mente empotrada en uno de sus extremos y apoyada en el otro. En las seccio-nes situadas a distancias 2 m y 4 m del empotramiento actúan cargas concen-tradas de 10 ton y 5 ton respectivamente. Se pide:


b) Calcular la distancia al empotramiento del punto, o puntos de inflexión de la elástica.

c) Determinar el perfil IPN necesario para adm = 1.200 kg/cm2.

d) La situación y valor de la flecha, conociendo E = 2 x 106 kg/cm2.

e) Calcular el ángulo que forma con la horizontal la tangente a la elástica en el extremo apoyado.





Problema 6.3.17.

La viga indicada en la figura es un IPN de tensión admisible adm = 1000 kg/cm2 y módulo de elasticidad E = 2 x 106 kg cm2. Se pide:


b) Los valores de las reacciones en el empotramiento A y en el apoyo móvil B.

c) Calcular el perfil IPN necesario. Criterio de Von Mises.

Problema 6.3.18.

La viga de la figura está sometida al sistema de cargas indicado. Utilizando el

IPE adecuado, para que adm = 1000 kg/cm2 y E = 2 x 106 kg/cm2, Se pide:


b) Dibujar a estima la línea elástica.





Problema 6.3.19.

Las vigas AB y BC de la figura están perfectamente empotradas en los extre-mos A y C. Cuando están descargadas, sus extremos B están en contacto, pe-ro sin transmitirse ningún esfuerzo. Determinar:

a) La carga uniformemente repartida máxima que puede soportar la viga AB, estando sometida la viga BC solamente al efecto producido por la AB.

b) El descenso vertical del punto B.

Problema 6.3.20.

Para la estructura de la figura. Se pide:

a) Determinar el valor máximo de la carga uniformemente repartida, pmax,

que se puede aplicar a la viga de la figura.

b) Calcular asimismo el descenso que tendrá el punto C.

Datos: Viga AB: IPN 300; adm = 160 MPa; E = 2,1 x 105 MPa (tanto par la viga AB como para los tirantes CD y CE).




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Tema 7 FLEXIÓN (Flexo-compresión desviada)

Flexión desviada Problema 7.1 Determinar el esfuerzo máximo en la sección transversal indicada en la figura 7.2 .Calcular también el ángulo que forma la línea neutra con el eje z.

(Sol: max = 7,4 MPa en el punto E; = 71,1º)

Figura 7.1

Problema 7.2 Para el problema de la figura 7.2 se pide:

a. Calcular los momentos de inercia principales y las direcciones principa-les de la sección transversal de la viga.

b. ¿Qué ángulo forma el eje neutro respecto la horizontal ?(Sol:18,26º). c. Si la tensión admisible del material es de 40 MPa determinar el valor

máximo de la fuerza P. (Sol: Pmax=549 kp)

Figura 7.2

Problema 7.3 Para la viga de la figura determinar:





a. La tensión máxima que soporta la viga. b. Posición de la fibra neutra.

Figura 7.3

Datos: q=2 kN/m a=1 m P=6 kN b=12 cm E=210 GPa L=4 m Problema 7.4 Una viga de madera de sección rectangular y luz l=3m (figura 7.4) está apoya-da en sus extremos y actúa sobre ella una carga uniformemente repartida p=300 kg/m. El plano de carga es vertical y contiene los centros de gravedad de las secciones, inclinadas un ángulo α= arc tg 1/3. El módulo de elasticidad es de E=105 kg/cm2. Determinar la tensión normal máxima y el desplazamien-to vertical de la sección en que ésta se presenta.

Figura 7.4.

Problema 7.5 En la figura 7.5, se representan las secciones de los perfiles IPN 80 y tubular de dimensiones 40 x 80 y espesor e = 2 mm, que se pueden utilizar como co-

rreas en un tejado de pendiente = 20º. Si ambas vigas van a estar sometidas a carga vertical, se pide:

a. indicar cual de las dos secciones es más resistente,

b. el valor que tendría que tener el ángulo para que ambas secciones presenten igual resistencia.

(Sol: a) la tubular; b) = 15,7º)





Figura 7.5

Problema 7.6 Una viga en voladizo de sección rectangular constante de ancho b=30cm, altu-ra h=40cm y longitud l=2m, está sometida en su sección extrema a una fuerza F=500 kg cuya línea de acción contiene a la diagonal AC de dicha sección, tal y como se indica en la figura 7.6. Se pide:

a. Hallar las leyes de variación del vector tensión en los puntos de la línea media de la viga sobre los planos diagonales de la misma.

b. Calcular, en el plano que contiene a la sección recta media, el vector tensión en los puntos medios de los lados del rectángulo que la limita.

Figura 7.6





Flexión compuesta Problema 7.7 Un montante corto de sección transversal cuadrada (axa) tiene una entalladura lateral (figura 7.7). Determinar la ecuación del eje neutro en la sección mn.

Figura 7.7

Problema 7.8 En la sección transversal mn, la mordaza de la figura tiene una sección trans-versal rectangular de 25 x 13 mm. Determinar la máxima tensión de trabajo en

tracción en la sección mn, si la carga es P = 175 kg y b = 76 mm.

Sol: kg / cmmax

2 1036

Figura 7.8

Problema 7.9

P

a/2 a/2

m n





Para la viga mostrada en la figura 7.9, determinar: a) la tensión en los puntos A y B. b) el punto donde el eje neutro intersecta el plano ABD

Sol: a MPa MPa; a 58,7 mm por encima de AA B) , ; , b) 29 5 10 71

Figura 7.9

Problema 7.10 Sobre un pilar de sección rectangular 20x30cm actúa una carga P=10 t de la forma esquematizada en la figura 7.10 .

a. Determinar la posición del eje neutro. b. Calcular el valor de tensión normal máxima, indicando si es de tracción o

compresión.

Figura 7.10

Problema 7.11





Un pilar de 3m de altura está formado por dos perfiles UPN 180 yuxtapuestos (figura 7.11). Sobre este pilar actúa una carga vertical P= 10 t, en el punto C.

a. Indicar razonadamente si el punto de aplicación pertenece al núcleo cen-tral de la sección.

b. Calcular el punto o puntos sometidos a mayor tensión indicando su va-lor.

Figura 7.11

Problema 7.12 La figura representa la sección de una pilastra atravesada por un bajante de diámetro 2.r=15cm. Se pide:

a. Calcular el núcleo central de la sección. b. Si suponemos una carga P=30 t, aplicada en el punto D, determinar el

estado de tensiones de la sección.

Figura 7.12

Problema 7.13 Sea la sección mostrada en la figura. Se desea:

a. Determinar el núcleo central. b. Determinar la posición del eje neutro para una fuerza N de compresión

que actúa en el punto (-4,-2), referido al sitema de ejes y,z, principales de inercia de la sección.

c. Valor de las tensiones normales máximas a tracción y a compresión cuando N=5t.

d. Si la tensión admisible σadm=1299 kg/cm2 y E= 2.106 kg/cm2, hallar el máximo valor que puede tomar esa carga N.





Nota: Se supondrá que la pieza es lo suficientemente corta como para no tener en cuenta el efecto de pandeo.

Figura 7.13

Problema 7.14 Determine el núcleo central de las figuras siguientes:

a) b)

Figura 7.14

Problema 7.15 (Salvo indicación en contrario, los problemas numerados en rojo quedan fuera del temario para el curso 11/12) Calcular la máxima tensión en la sección de la viga de la figura, sometida a un momento flector Mf = 3000 N.m.





Figura 7.15

Problema 7.16 La sección recta de una viga en voladizo de longitud l=1,5m es la indicada en la figura. La viga está sometida a una carga uniformemente repartida p=350 Kg/cm, contenida en el plano vertical que contiene la línea del perfil. Para la sección de empotramiento, se pide:

a. Hallar la posición del eje neutro. b. Calcular las tensiones máximas de tracción y compresión.

Figura 7.16

Problema 7.17 Un pilar cuya sección recta se representa en la figura 7.17 está sometido, a través de una placa suficientemente rígida situada en su parte superior, a una carga de compresión N=15t aplicada en el punto A. Se pide:

a. Determinar la situación del eje neutro. b. El estado de tensiones que la carga N origina.

Figura 7.17




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Tema 8

TORSIÓN

Problema 8.1

Se tiene un eje macizo D0 = 200 mm sometido a un momento torsor Mt con una

tensión admisible adm. Se quiere construir un eje hueco donde D = 2d, que tra-

baje en las mismas condiciones que el primero. ¿Cuál es el diámetro exterior

del nuevo eje y cuál es la economía del material conseguida?.

(Sol: D = 204,4 mm, pesará un %21menos, se deformará un %2,13 menos)

Problema 8.2

La polea I transmite 500 CV de los que 200 CV son absorbidos por la polea II y

300 CV por la polea III. ¿Cuál es la relación d1/d2, proporcionando la misma

tensión máxima en ambas partes del eje?. Hallar también la relación entre los

ángulos de torsión de las dos partes. Todo ello gira a una velocidad angular

constante.

(Sol: 3

2

1

3

5

d

d , 3

2

1

2

1

5

3

l

l

) Nota: 1 CV= 735 W

Figura 8.1


Enunciados de problemas TORSIÓN



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Versión 2.0

Problema 8.3

Un eje de transmisión de 60 mm de diámetro que gira a 800 rpm se le ha medi-

do un ángulo de torsión de 28’ sobre una longitud de 50 cm. Calcular la poten-

cia en CV transmitida por dicho eje sabiendo que G = 8.103 kg/mm2.

(P = 187,75 CV )

Problema 8.4

La parte cilíndrica de una llave en T es de 12 mm de diámetro y 45 cm de longi-

tud. Si la tensión de trabajo admisible es de 700 kg/cm2, ¿cuál es el máximo

momento de torsión que se puede ejercer en condiciones de seguridad con

dicha llave y qué ángulo se torsionará bajo la aplicación de dicho par?

(Mt = 237,5 cm.kg, = 3,76º )

Problema 8.5

En el sistema de la figura se transmite potencia del piñón A al piñón D. Si los

diámetros primitivos de los engranajes B y C están en relación 1:3, ¿cuál es la

relación correcta entre diámetros d1/d2 para que ambos trabajen al máximo

cortante?

(Sol: 3

2

1

3

1

d

d)

Figura 8.2





Pág. 3/7

Versión 2.0

Problema 8.6

Un eje con los extremos empotrados está sometido a la acción de momentos

de torsión MB y MC aplicados tal y como de demuestra en la figura. Calcular el

diagrama de momentos torsores si el momento MB = 12.000 cm.kg y MC =

24.000 cm.kg.

Problema 8.7

Un eje de aluminio de sección circular de 2 cm de diámetro es sometido a tor-

sión tal y como se demuestra en la figura. Un calibre de deformación colocado

a lo largo de una hélice de 45º sobre la superficie del eje indica una deforma-

ción positiva de = 995.10-5 cuando el momento torsor es 12.000 cm.kg. ¿Cuál

es el módulo de cizalladura del material, sabiendo que d = 2 cm?

(Sol: G=3,84 105 kg/cm2)

Figura 8.3

Figura 8.4





Pág. 4/7

Versión 2.0

Problema 8.8

Calcular la relación entre tensiones máximas y entre ángulos de torsión producidos por

el mismo momento de torsión en una barra de sección rectangular donde h/b = 3 y una

barra de sección circular equivalente (misma sección).

(Sol: 83,12

1 max

max

, 815,1

2

1

)

Problema 8.9

¿Qué área debe tener la sección cuadrada de una barra con respecto a una

barra de sección circular para que ambas tengan la misma tensión de cizalladu-

ra máxima para el mismo momento torsor?

Sol:

225,1

A

A

circular

cuadrada

Problema 8.10

¿Qué momento torsor debe aplicarse a la viga de la figura para que el ángulo

de torsión sea 4º/m y cuál es la máxima tensión de cizalladura producida?

Datos: K=1,25

G= 8.103 kg/mm2

Sol:

2max 81,6;013,107

mmkg

mkgM t

Figura 8.5





Pág. 5/7

Versión 2.0

Problema 8.11

Se aplica un momento torsor T = 75 m.N en el extremo A del eje AB. Los ejes

AB y CD están unidos entre sí por dos ruedas que se encuentran en contacto y

no pueden deslizar entre si. Sabiendo que G = 80 GPa para ambos ejes, de-

terminar:

a) el esfuerzo máximo en el árbol; b) el ángulo de torsión en C.

Figura 8.6

Figura 8.7





Pág. 6/7

Versión 2.0

Problema 8.12

Encontrar la relación entre los ángulos de torsión de un tubo de pared delgada

y del mismo tubo pero ranurado longitudinalmente bajo la acción del mismo

momento torsor.

Sol:

2

m

2

abierto

cerrado

d3

e4

Problema 8.13

Un tubo de aluminio estructural de sección rectangular de 60 x 100 mm fue fa-

bricado por extrusión. Hallar el esfuerzo cortante en cada una de las cuatro pa-

redes, que produce un momento torsor de 3 m.kN, suponiendo:

(a) Un espesor uniforme de la pared de 4 mm. (b) Que por defecto de fabricación, las paredes AB y AC son de 3 mm y las

BD y CD son de 5 mm de espesor.

Figura 8.8

a b

Figura 8.9





Pág. 7/7

Versión 2.0

(Solución: a)=69,75 MPab) b)3= 93,01 MPa; 5=55,8 MPa)

Problema 8.14

Usando adm = 40 MPa, determinar el momento de torsión máximo que puede

aplicarse a cada una de las barras de latón y al tubo del mismo material. Ob-

sérvese que las dos barras tienen la misma sección transversal y que la barra y

el tubo cuadrados tienen idénticas dimensiones exteriores.

(Solución: Mt(1)= 532,5 Nm; Mt(2)=412,8 Nm; Mt(3)=554,8 Nm)

Figura 8.10




Pág. 1/11

Tema 9

MÉTODOS ENERGÉTICOS

Nota: En todos los problemas donde no se indique lo contrario, se considerará

como dato tanto las características de los materiales (E,G) como los datos

geométricos de las secciones de los perfiles (A,I,…).

Problema 9.1

Determínese la flecha y la rotación en el extremo A de la viga AB mostrada en

la figura. y producidas por la fuerza P y el momento MA.

Sol: P l

3EI +

M l

2EI

P l

2EI +

M l

EIA

3

A

2

A

2

A

;

Problema 9.2

Hállese la flecha en el centro de la viga uniformemente cargada.

Sol: 5q l

348 EIC

4

Problema 9.3

Calcúlese el desplazamiento y la rotación ϴ del extremo libre de la viga mos-

trada en la figura bajo la carga uniforme q.

Sol: q l

8 EIA

4

, Sol:

q l

6 EIA

3

Figura 9.1

Figura 9.2


Enunciados de problemas MÉTODOS ENERGÉTICOS



Pág. 2/11

Versión 2.0

Problema 9.4

La estructura mostrada en la figura está formada por una barra de sección cir-

cular maciza, en cuyo extremo B tiene acoplada la llave BC de longitud “a”, que

a los propósitos de este ejercicio se considerará infinitamente rígida. En el ex-

tremo C se aplica una carga P. Obténgase el desplazamiento vertical de C.

Sol: P l

3EI+

Pa l

G IC

3 2

0

Problema 9.5

El pórtico mostrado en la figura está sometido a una carga uniforme q. Las tres

barras tienen el mismo módulo de rigidez EI.

Sol: q l h

12 EID

3

H

Figura 9.3

Figura 9.4

Figura 9.5





Pág. 3/11

Versión 2.0

Problema 9.6

Hallar el desplazamiento del punto B según la dirección normal al plano de la

estructura despreciando el efecto del esfuerzo cortante.

Sol: Pl

3EIB

3

Problema 9.7

Determinar el desplazamiento del punto medio de la viga mostrada, teniendo

en cuenta todas las solicitaciones actuantes (incluidos los cortantes).

Sol: 5ql

384EI+

ql

8G

4 2

'

Problema 9.8

Determinar la reacción en el apoyo A y dibujar los diagramas de esfuerzos.

Sol: R3ql

8A

Figura 9.6

Figura 9.7

Figura 9.8





Pág. 4/11

Versión 2.0

Problema 9.9

Determinar los momentos en los apoyos y dibujar los diagramas de esfuerzos.

Sol: M =ql2

12

Problema 9.10

Para la estructura de la figura, determinar:

a. las reacciones en los apoyos

b. dibujar los diagramas de esfuerzos

Sol: R =5ql

B 4

Problema 9.11

Hallar la reacción en B debida a la fuerza P, aplicada en D. Despreciar el efecto

del axil de la barra vertical. Dibujar los diagramas de esfuerzos.

Sol: R =3Pa

lB

Figura 9.9

Figura 9.10

Figura 9.11





Pág. 5/11

Versión 2.0

Problema 9.12

Hallar la magnitud de la fuerza transmitida a través del rodillo C.las reacciones

en el apoyo B. (Sol. Rc = 1344,2 kg)

Problema 9.13

Si la sección de las barras es constante y los vértices del cuadro son nudos

perfectamente rígidos. Se pide:

a. Calcular el diagrama de momentos flectores y el momento flector máxi-

mo.

b. el acortamiento de la cota b en el punto de aplicación de las cargas P.

Nota: En el cálculo de las incógnitas hiperestáticas se despreciará el efecto

producido por los esfuerzos cortantes y axiles.

(Sol: = 1,58 mm)

Problema 9.14

Calcular los momentos de empotramiento de la barra de acero de la figura.

Nota: Expresar que en B, el ángulo de flexión de AB es igual al ángulo de tor-

sión de BD.

Figura 9.12

Figura 9.13

Figura 9.14

2,5a+l

1

8

Pl = M:Sol

3

B





Pág. 6/11

Versión 2.0

Problema 9.15

Un pabellón de sección rectangular está reforzado cada 8m con pórticos articu-

lados en el suelo. El momento de inercia de los montantes del pórtico es I, y el

del dintel 2I. La pared lateral del pabellón está sometido a la presión horizontal

del viento (p = 125 Kp/m2), se pide:

a. Hallar las reacciones en los apoyos A y D

b. Hallar el diagrama de momentos flectores a lo largo del pórtico.

Sol H K H KA p D p: , 3585 1415

Problema 9.16

Para la viga de la figura determinar:

a. Las reacciones en los apoyos.

b. Desplazamiento vertical de B.

Datos: barra 20 mm; Kmuelle = 50 Kp/mm

(Sol: B = 1,72 mm; RA = RC = 6,8 kg; RD = 86,4 kg)

Problema 9.17

Determinar las reacciones en los apoyos para la viga de la figura.

Datos: I = 213.333 mm4

(Sol: MB = 9,5.104 kg.mm)

Figura 9.15

Figura 9.16

Figura 9.17





Pág. 7/11

Versión 2.0

Problema 9.18

Para el semipórtico de la figura, determinar:

a) Obtener los diagramas de esfuerzos.

b) Representación gráfica estimada de la deformada.

c) Dimensionamiento del dintel acotando convenientemente las tensiones y la flecha.

d) Ángulo de giro en el apoyo.

Datos: F = 2600Kg/cm2; = 0.3; E=2106 Kg/cm2; f

L

1

500

Problema 9.19

Para el semipórtico de la figura sometido al sistema de cargas indicado, deter-

minar:


b) Deformada a estima indicando los puntos de inflexión de la deformada.

c) Diagrama de la deformada.

d) Flecha máxima en el voladizo.

Datos: F = 2000Kg/cm2, m = 1.5, f

Lflecha luz( / )

1

500 , E=2· 106Kg/cm2.

Problema 9.20

Para el semipórtico de la figura sometido al sistema de cargas indicado, deter-minar:


b) Deformada aproximada del pórtico.

Figura 9.18

Figura 9.19

2m 6m

4T/

m

A

B D

C

2m

5 m

12 Tm

10 T 6 Tm

5 T





Pág. 8/11

Versión 2.0

Problema 9.21

En el pórtico representado en la figura formado por tres barras de las rigideces indicadas. Se pide:

a) Calcular las reacciones en las articulaciones de los apoyos fijos.

b) Dibujar los diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes y es-fuerzos axiles.

c) Calcular el desplazamiento del punto B en el que está aplicada la fuerza.

d) Dibujar a estima la deformada del pórtico señalando la situación de los puntos de inflexión, si los hubiere.

Problema 9.22

En el pórtico representado. Se pide:

a) Calcular las incógnitas hiperestáticas del sistema.

b) Dibujar el diagrama de momentos flectores.

c) Dibujar a estima la deformada del pórtico.

Figura 9.20

Figura 9.21

Figura 9.22





Pág. 9/11

Versión 2.0

Problema 9.23

En el pórtico de nudos rígidos de la figura. Se pide:

a) Construir los diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales.

b) Dimensionar el pórtico con un único perfil IPN, de tensión admisible adm = 1400 kg/cm2.

c) Calcular el desplazamiento del apoyo móvil, conociendo el valor del mó-dulo de elasticidad E = 2 x 106 kg/cm2.

Problema 9.24

Sobre la estructura de la figura se pide:

a) Determinar el valor máximo de la carga uniformemente distribuida repar-tida p, que se puede aplicar en la viga de la figura, si la tensión admisible es de 140 MPa (tanto para la viga AB, como para el tirante CD).

b) Calcular asimismo el descenso que tendrá el punto C.

Datos: La viga AB es un perfil IPN 400; El tirante CD tienen una sección de 5 cm2; Módulo de elasticidad E = 2,1 x 107 N/cm2 (para la viga y el tirante).

Problema 9.25 (Salvo indicación en contrario, los problemas numerados en

rojo quedan fuera del temario del curso 11/12)

Se desea realizar una suspensión que posea las siguientes características:

a. El desplazamiento del punto de aplicación de la carga deber tener lugar

en la dirección de esta carga cualquiera que sea la misma.

Figura 9.23

Figura 9.24





Pág. 10/11

Versión 2.0

b. La constante del resorte P/ debe ser independiente de la dirección de la

carga.

Trabajo a realizar:

1. Demostrar que el resorte dibujado en la figura cumple las condiciones ci-

tadas suponiendo que el brazo horizontal es rígido.

2. Hallar la constante del resorte P/.

Indicación: Estudiar 1º el caso de una fuerza vertical, luego una fuerza hori-

zontal, luego el caso general.

Sol: = 0; PR

2 EIV H

3

Problema 9.26

Calcular el diagrama de momentos flectores de la siguiente estructura y el des-

plazamiento del punto de aplicación de la carga. (Anillo dinamométrico).

Sol: = 0,149PR

EIA/B

3

Problema 9.27

Hallar las reacciones en el apoyo B. Considerar únicamente la energía de de-

formación de flexión del arco. Obténgase los diagramas de esfuerzos.

B B

P PSol: V = , H =-

2

Figura 9.25

Figura 9.26





Pág. 11/11

Versión 2.0

Figura 9.27




Pág. 1/4

Tema 10

PANDEO

Problema 10.1

Sobre el soporte bi-empotrado representado en la figura actúa una fuerza de

compresión P. Si la longitud del soporte es l=1,50m y el material es fundición

determinar el valor crítico de la carga P.

Problema 10.2

Una barra rígida AB articulada está atirantada por una varilla vertical AE y una

columna esbelta DC empotrada en D como representa la figura. La columna es

de acero y tiene sección transversal cuadrada de 25x25 mm. Siendo la carga

P=454kg, hallar el valor máximo de x compatible con la estabilidad del sistema.

Se desprecia el peso de la barra AB.

Figura 10.1


Enunciados de problemas PANDEO



Pág. 2/4

Versión 2.0

Problema 10.3

Una barra rígida AB de peso despreciable está soportada por dos columnas

esbeltas de acero como representa la figura. La columna del lado A tiene sec-

ción transversal circular de 20mm de diámetro y la columna del lado B tiene

sección rectangular de 20x40 mm. La barra AB sólo puede desplazarse en el

plano del papel. Hallar el valor crítico de la carga Q siendo x=0,5m.

Figura 10.2

Figura 10.3





Pág. 3/4

Versión 2.0

Problema 10.4

Una columna esbelta articulada en los extremos es de sección transversal rec-

tangular de dimensiones b y h. Está soportada lateralmente en la dirección de la

menor dimensión por rodillos en su punto medio C como representa la figura A,

pero puede deslizar libremente en la dirección normal al papel. Hallar la relación

b/h para que la resistencia al pandeo sea la misma en ambos planos principales.

La carga P se supone aplicada centralmente. (Solución: b/h = 2).

Problema 10.5

La estructura de la figura está constituida por un pilar formado por 2 UPN180,

soldados en toda su longitud (tal y como puede apreciarse en el esquema de la

sección) y una viga IPE. Determine el valor de la carga q si se desea tener un

coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo del pilar (bajo el criterio de Euler).

Figura 10.4





Pág. 4/4

Versión 2.0

Problema 10.6

Una columna esbelta de aluminio con extremos articulados tiene de longitud 1,8

m y sección transversal circular de pared delgada de diámetro exterior d = 50mm.

Calcular el espesor de pared necesario para obtener un factor de seguridad n = 2

contra la rotura por pandeo si la carga real es P = 1360 kgf. (Solución: e = 2,9

mm aplicando EULER y Eal = 7450 kp/mm2).)

Figura 10.5

Enunciados Rm 11-12 v2

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