Entscheidungstheorie Teil 4 Thomas Kämpke
EntscheidungstheorieTeil 4
Thomas Kämpke
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 2
Inhalt
– Zerlegung mehrattributiver Präferenzfunktionen– Bedeutung der Gewichte– Zur Bezeichnung „multiplikativ“– Bestimmung von mehrattributiven Präferenzfunktion
!!!!
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 3
Zerlegung mehrattributiver Präferenzfunktionen (1/3)
1. Additive Präferenzfunktion
2. Multiplikative Präferenzfunktion
3. Multilineare Präferenzfunktion
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )nnn
n
ijj
n
jiii
ijjiiiin
nnnn
n
ijj
n
jijiiijiiiin
n
iii
n
iiiin
xvxvk
xvxvkxvkxxv
kxvxvkkk
xvxvkkkxvkxxv
kkxvkxxv
!!!+
+!+!=
"!!!!!+
+!!+!=
=#!=
$ $ $
$ $
$$
= =
"
= =
==
K
KK
KK
KK
K
K 11,,1
1 1,,1
1111
1 ,1,1
111
,,
1,
,,
1,0,,,
>
>
>
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 4
Zerlegung mehrattributiver Präferenzfunktionen (2/3)
4. Bilaterale Präferenzfunktion
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )!
!!!
!!
!
= =
""
""=
!!!+
+!+!= # # #
CiiCii
CiiCiiCiiii
nnn
n
ijj
n
jiii
ijjiiiin
xxvxxv
xxvxxvxxvxf
xfxfk
xfxfkxvkxxv
,,,,
,,*,,,
11,,1
1 1,,1
,,1
/,,,
,
,,
wobeiK
KK
K
( )etc. beste die anderen allen in
, g Ausprägundie i Attributin z.B. ,Komplement
i Attributin ve Alternatibeste
i Attributin ve Alternatiteschlechtes
iCii
i
i
xxxC
x
x
!
!
!
,
,
,
( ) ( )
( ) ( ) .1
0,
==
==
!!
!!
xvxv
xvxv
vv
ii
ii
i d.h.normiert, alle und
>
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 5
Zerlegung mehrattributiver Präferenzfunktionen (3/3)
Beispiel für Kriterien und „Gewichte“ Fahrzeugkonstruktion
>
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 6
Bedeutung der Gewichte (1/3)
Zerlegungen und Bedeutung der Gewichte ist für Wert- undNutzenfunktionen identisch.
„Bilateral“ praktisch ohne Bedeutung
SchwierigkeitVorstellung bzw. Bewertung von „extremen“ Alternativen, die in wenigen
Attributen bestmöglich und in allen anderen Attributen schlechtestmöglichsind, ist schwierig.
( ) rmultilinea oder tivmultiplika additiv, vxxxxxvk niiii !!+!
!"!= ,,1,1,1 KK
{ }( ) j
ijji
iji
ji
Cjiji kkkkkkkk
kkxxxv
!"
!#
$
++
%++
+
=%%%
,,,,,, v additiv, v multiplikativ, v multilinear oder bilateral
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 7
Bedeutung der Gewichte (2/3)
Allgemeinere als additive Präferenzfunktionen werden tatsächliche benötigt:
( ) ( )
( ) ( )1,3,25001,2,2000
2,2,20002,3,2500
p
p und
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
!Beispielen - Allaisim wiegenUngleichun der hWiderspruc
!!!!
"
!!!!
#
$
++
++
++
++
132500
122000
222000
232500
332211
332211
332211
332211
vkvkvk
vkvkvk
vkvkvk
vkvkvk
Festklemmen des 3.Attributs auf Niveau 1 oder 2
<
<
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 8
Bedeutung der Gewichte (3/3)
Die Präferenz ist aber multilinear darstellbar:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
104 0
0101
102
0103
1,3,25001,2,2000
2,2,20002,3,2500
120312500011202000
3,23
3,2,13,12
2,11
12
3,223,11
3,2323,131
321
321
==
===
==
!
++!
++++!
===
===
kk
kkk
kk
kkkkkk
kkkkkk
vvvvvv
p
p <
<
<
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 9
Zur Bezeichnung „multiplikativ“ (1/1)
Man kann beide Seiten der Gleichung als neue Wertfunktion auffassen.
( ) ( )( ) tivmultiplika sofern vxvkkxxvkn
iiiin ,11
11 !
=
+="+ K
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )
( ){
( )ii
n
iin
xf
i
iiin
i
k
i
xxf
n
n
iiiin
n
iiiin
xfxxf
kkxvkk
kkk
kxxv
xvkkxxv
xvkkxxv
ii
i
n
!
!
!
"
= #
=
=
=
$
+
=
+
=
+
=%
+
+&
+
+=
+
+=%
+=
1 0
1
1
1
1
11
11
1log1log
1log1log
1loglog
1loglog
1
1
'
'
K
444 3444 214342132144 344 21
K
K
K
K
Falls v nur ordinal bestimmt, so kann man aufmultiplikative Zerlegung verzichten!
>
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 10
Im Fall von Unsicherheit ist die multiplikative Nutzenfunktion interessant.Liegt vor bei wechselseitiger Nutzenunabhängigkeit:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ixxzz
zxzxzxzx
i
Attributvon gen Ausprägun, und ärkomplement
nabhängigpräferenzu Attribut
21
'2'121
',
,,,,
!
"
#
pp
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )ärkomplement , über gen Ausprägunvon Vektoren
nabhängigpräferenzu mengeAttribut
z, z'I
zxzxzxzx
I
!!
"
#
'2'121 ,,,, pp
bhängigpräferenza engen Attributmalle
nabhängigpräferenzu tigwechselsei ngeAttributme !
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 11
Wechselseitige Nutzenunabhängigkeit ⇒ Nutzenfunktion ist multiplikativ
Wechselseitige Wertunabhängigkeit (det. Fall) ⇒ Wertfunktion ist additiv
Herleitung sehr technisch. Umkehrung geben eher „Gefühl“ für die Beziehungzwischen Zerlegungsform und Unabhängigkeit.
z.B. erfüllt eine multiplikative Nutzenfunktion über zwei Attribute diewechselseitige Präferenzunabhängigkeit.
(n!3)
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 12
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )',',
11
,,
,,
21
211
111
222
11221
11
22
121222
11
21
121221
11
21
21
zxzxz'
xukxuk
zukkxukzukkxuk
zuxukkkzukxuk
zuxukkkzukxuk
zxuzxu
zxzx
pK
p
!!
!
+"+"!
++
++!
!
mit Rückwärts
<
<
<
<
Entscheidungstheorie | Teil 4Seite 13
Bestimmung von mehrattributiven Präferenzfunktion (1/1)
1. Bestimmung eindimensionaler Präferenzfunktionen
(det Fall: Mittelpunktsmethode prob Fall: Sicherheitsäquivalente)
2. Aggregation
(typischerweise willkürlicher Funktionsansatz, dannGewichtsbestimmung über externe Alternativen)
Problem (noch mal) „kognitiver overload“
• Bewertung extremer Alternativen schwierig oder• Entscheider sieht keinen Zusammenhang zwischen extremen
und realen Alternativen.