Ensino Superior 9. Integrais Duplas Volumes Amintas Paiva Afonso Cálculo 3.

Ensino Superior

9. Integrais DuplasVolumes

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Integrais Duplas - Volume

• Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.

f : IR2 IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d]

y

ba x

d

c

RR

• Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado

R = [a,b] x [c,d]= { (x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }

f 0 em IR Q = {(x,y,z) | (x,y) IR e 0 z f(x,y)}

x

y

z QQ

RR

Volume de QQ = V = ?

• e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a

superfície de equação z = f(x,y).

• Seja Q o sólido que está contido na

região acima de R e abaixo do gráfico

de Q, ou seja,

Q = {(x,y,z) IR3| (x,y) R, 0 z f(x,y)}

• O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-

retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m

subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m,

e o intervalo [c,d] em n subintervalos [y j-1 , yj], de mesmo

comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos

coordenados passando pelos extremos dos subintervalos,

formamos os sub-retângulos.

Rij = [xi-1,xi] x [yj-1,yj ] = {(x,y) | xi-1 < x < xi , yj-1 < y <

yj }cada um dos quais com área A = xy.

Partição de R

Partição de R

xi

x

ba x

d

c

RRy

x1 x2xi-1

y1

y2

yj-1

yjy

RRijij

(x(xijij , y , yijij))


• Se escolhermos um ponto arbitrário (xij,yij) em cada Rij,

podemos aproximar a parte de Q que está acima de cada Rij

por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e

altura f(xij,yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura

vezes a área do retângulo da base:.

Vij = f(xij,yij)A.


Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de Q:

m

jijij

n

i

AyxfV11

),(

Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

V = x

y

z QQ

RR

f (xij , yij)

(xij , yij)

Vij

m

1jijij

n

1in,m

A)y,x(flim



Definição

• Considere uma função z = f (x, y) contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy.

• Traçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região D por pequenos retângulos.

• Considere somente os retângulos Rk que estão totalmente

contidos em D, numerando-os de 1 a n.

Em cada retângulo Rk, tome o ponto Pk = (xk , yk) e forme a

soma• SOMA DE RIEMANN:

onde Ak = xk . yk é a área do retângulo Rk.

• Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos ficam cada vez menores.Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito.

Definição

• Então, se

existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA de f (xk ,yk)Ak sobre a região D.

Denota-se por:

Definição

n

ikkkn

DDAyxfdxdyyxfdAyxf

1

).,(lim),(),(

Interpretação Geométrica

• Se f (x, y) 0, f (xk , yk)Ak representa o volume de um

prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é f

(xk , yk).• A soma de Riemann é a aproximação do

volume limitado abaixo da região z e acima de D.


• Assim, se z = f (x, y) 0, então

é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y) e inferiormente pela região D.


Se f(x, y) = 1 P(x, y) D, então, V = 1.áreaD.

Logo:

Área da Região D

Cálculo de Volumes - Aplicações

A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)

Cálculo de Volumes - Aplicações

Para f (x, y) 0, a integral

nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

Exemplos

Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo

gráfico de z = 4 - x - y inferiormente pela região delimitada

por x = 0, x = 2, y = 0 e e lateralmente pelo cilindro

vertical cuja base é o contorno de R. Resposta: V = 15/4 u.v.2

1x

4

1y

Representamos na Figura a região R (base deste sólido):

2

1x

4

1y0 Assim, 0 x 2 e

, logo a região é do Tipo I e

podemos integrar deste modo:

2

0

2

1x

4

1

0

dydxyx4V

Teorema de Fubini

b

a

b

a

d

c

dxdyyxfdxxAdxdyyxf ]).,([)(),(

Teorema de Fubini

d

c

d

c

b

a

dydxyxfdyyAdxdyyxf ]).,([)(),(

Exercícios

1) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1º octante.

3

3

Exercícios

2) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0.

Resposta: 32 u.v

Exercícios

3) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2.

Resposta: 2a3/3 u.v.

a

a

a

Exercícios

4) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z

= 2x + y + 4 e inferiormente por z = − x − y + 2 e lateralmente

pela superfície definida pelo contorno da região D limitada

pelas curvas y = x2 – 4 e 22

xy

2

Exercícios

Resposta: -22/15 u.v.

Exercícios

5) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo

parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2

e os três planos coordenados.

Resposta: 48

Primeiro, observamos que S é o sólido que se encontra sob a superfície 22 216 yxz e acima de ].2,0[]2,0[ R

R

dAyxV )216( 22

2

0

232

03

1 216 dyxyxxx

x 2

0

243

88 dyy

482

0 3

4

3

88 3 yy

2

0

2

0

22 )216( dxdyyx

Exercícios

6)Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide

z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta

y = 2x e pela parábola y = x2.

y = 2x

y = x2

Resposta: 216/35

Exercícios

8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos

x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

Exercícios

8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos

x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

Resposta: 1/3

3

1

3

xxxdxxx21

dx4

x

2

xx

4

xx1

2

xxx2

dx4

x

2

xx

2

x1

2

x1x

2

x12

dxyxyy2dxdyy2x2dAy2x2V

1

0

32

1

0

2

1

0

2222

1

0

222

1

0

2x1

2x

21

0

2x1

2/xD

Exercícios

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