Ensino Superior 3.1 – Transformada Inversa de Laplace Amintas Paiva Afonso Introdução aos Sistemas Dinâmicos
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Ensino Superior
3.1 – Transformada Inversa de Laplace
Amintas Paiva Afonso
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
0
).()()]([ dtetfsFtf st
Transformada de Laplace:
Transformada Inversa de Laplace:
L
L
jc
jc
stdsesFj
tfsF ).(...2
1)()]([1
πp/ t > 0
Definição
- Normalmente, não se utiliza a integral de inversão de Laplace, mas simplesmente a consulta a tabelas existentes.- Devemos adequar a função F(s) para a consulta à tabela. Para tanto, utilizamos o Método de Expansão em Frações Parciais.
Transformada Inversa de Laplace
- Método de Expansão em Frações Parciais:Devemos escrever a função F(s) como uma função de dois polinômios em s:
)(
)()(
sA
sBsF
Devemos também fazer com que a maior potência de s em B(s) seja menor que a maior potência de s em A(s). Caso contrário, devemos dividir B(s) por A(s) até conseguir:
)(
)()()( 1
sA
sBsCsF
Transformada Inversa de Laplace
- Finalmente, reescrevemos a função F(s) como uma soma de termos menores:
)(...)()()( 21 sFsFsFsF nCuja transformada inversa será:
)(...)()()( 21 tftftftf n
Temos duas situações para F(s). Ela pode ter pólos distintos ou pólos múltiplos de ordem n. Vamos ver como resolver F(s) em cada caso.
Transformada Inversa de Laplace
- Expansão em frações parciais quando F(s) envolve pólos distintos:
))....().((
))....().(.(
)(
)()(
21
21
n
m
pspsps
zszszsk
sA
sBsF
Para m < n e k se refere ao ganho da função.Devemos reescrever F(s) como:
)(....
)()()(
)()(
2
2
1
1
n
n
ps
a
ps
a
ps
a
sA
sBsF
Onde as constantes a1, a2, ..., an são chamadas de resíduos de cada pólo.
Transformada Inversa de Laplace
- Para determinar o valor de cada resíduo, fazemos:
kps
kk sA
sBpsa
)(
)().(
- Exemplo: Determine a Transformada Inversa de Laplace da seguinte função de transferência:
)2).(1(
3)(
ss
ssF
Transformada Inversa de Laplace
- Resolução:
Expansão em Frações Parciais:21
)( 21
s
a
s
asF
Determinação de a1 e a2:
1)1(
)3(
)2).(1(
)3().2(
2)2(
)3(
)2).(1(
)3().1(
22
2
11
1
ss
ss
s
s
ss
ssa
s
s
ss
ssa
Transformada Inversa de Laplace
- Portanto, a função expandida em frações parciais será:
)2(
1
)1(
2)(
sssF
- Consultando a tabela, f(t) será:
tt eetf .2.2)( para t >= 0
Transformada Inversa de Laplace
- Expansão em frações parciais quando F(s) inclui pólos múltiplos:- Neste caso, vamos fazer a análise através de um exemplo:
3
2
)1(
3.2)(
s
sssF
- A expansão em frações parciais neste caso será feita assim:
33
221
)1()1()1()(
s
b
s
b
s
bsF
Transformada Inversa de Laplace
- Se fizermos s=-1 na equação (1), teremos:
313 )(.)1( bsFs s
- Agora, ao derivarmos ambos os lados da equação (1) em relação a s, obteremos:
213 )1.(.2)(.)1( bsbsFs
ds
d
(2)
(3)
- Para determinação de b1, b2 e b3, primeira-mente vamos multiplicar ambos os lados da equação por (s+1)3: 32
21
3 )1.()1.()(.)1( bsbsbsFs (1)
Transformada Inversa de Laplace
- Se derivarmos a equação (3) novamente em s, obteremos:
13
2
2
.2)(.)1( bsFsds
d (5)
- Se fizermos s=-1 na equação (3), teremos:
213 )(.)1( bsFs
ds
ds
(4)
Transformada Inversa de Laplace
1)2.(2
1
)3.2(.2
1
)1(
3.2.)1(.
2
1
1
1
22
2
1
3
23
2
2
1
b
ssds
d
s
sss
ds
db
ss
- Resolvendo as equações (2), (4) e (5):
23.2
)1(
3.2.)1(
12
3
1
3
23
3
s
s
ssb
s
sssb
02.2
)3.2()1(
3.2.)1(
12
1
2
1
3
23
2
s
ss
sb
ssds
d
s
sss
ds
db
- Com isso, F(s) fica:
32 )1(
2
)1(
0
)1(
1)(
ssssF
- Consultando a tabela, teremos:
t
tt
ettf
etetf
).1()(
.0)(2
2
Transformada Inversa de Laplace
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