Ensino Superior 3. Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Amintas Paiva Afonso Cálculo 3
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Ensino Superior
3. Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por
Lyxfyxyx
),(),( 00
),(lim
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso
contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis
Limite
O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de (xo,yo), se
quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais
perto f(x,y) estará de L.
Lyxfou
Lyxf
yxyx
yyxx
o
o
o
),(lim
),(lim
),(),( 0
Limite de f(x,y)
Propriedades dos Limites
Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M 0.
1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L
2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L
3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M
4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M
5º)
6º) De maneira geral,
Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)
Lyxfyxf ),(lim),(lim
Calculando Limites
yzx
yzxxyxyzyzx
zyx
2233
122
275lim )1
106)1(22
)1(2.22.2.2)1(2.2.7)1.(2.2.5
2233
0
0
00
00lim )2
3333
)0,0(),(
yx
yxyx
0))((
lim22
)0,0(),(
yx
yxyxyxyx
Calculando Limites
yx
xyx
yx
yxyx
xyx
yx
yx
yx
2
00
22
43
3210
lim)3
lim)2
5
3lim)1
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
Calculando Limites
Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:
Calculando Limites
Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos “dois caminhos”.
Exemplo da Regra dos Dois Caminhos
Mostrar que não existe.
Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação
22
22
limyx
yx
Regra dos Dois Caminhos
Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta y = x (“dois caminhos”).
(1º caminho)
(2º caminho) 0lim
10
0lim
22
22
0
22
22
00
yy
yy
x
x
xyx
yx Os limites são
diferentes, logo não há o limite.
y
x
z
2°caminho1°caminho
Continuidade de Funções de Várias Variáveis
O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo já descrito para funções ordinárias.
Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se
lim(x,y)(xo,yo)⃗ f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo).
EXEMPLO:
Mostrar que não é contínua em (x,y) = (0,0)24
2
),(yx
yxyxf
Propriedades da Continuidade
• f(x,y) + g(x,y) também é contínua.
• f(x,y) . g(x,y) também é contínua.
• f(x,y) / g(x,y) também é contínua.
• u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua.
Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então:
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