INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIORDE CINTALAPA
ENSAYO:1.4 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL.
DOCENTE:ING. CARLOS ELMER CRUZ SALAZAR.
MATERIA: FUNDAMENTOS DE MECNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS.
ALUMNA:REYNA GPE. CARRILLO ESCOBAR.
GRADO:4 SEMESTRE.
GRUPO:K.
CARRERA:ING. CIVIL.
CINTALAPA DE FIGUEROA, CHIS.; A 17 DE FEBRERO DEL 2015.1.4
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
La Mecnica de medios continuos es la ciencia que estudia los
cuerpos slidos en movimiento o no (dinmicos y estticos) en el cual
forma un conjunto de partculas donde no existen espacios vacos. Y
este movimiento de partculas en un plano en 2 o 3 dimensin, es
analizado atraves de la gradiente, divergencia y rotacional; estos
conceptos se irn analizando ms adelante. Comenzaremos por definir
la gradiente, que es un vector que indica en que direccin aumenta,
el mayor grado, los valores del campo. Es decir, que si nos
encontrramos en un punto del espacio donde el campo tiene un valor
cualquiera x, el gradiente en ese punto nos dira la direccin en la
cual vamos a encontrar valores ms altos. Pero sealando la direccin
hacia donde ms aumenta y teniendo solo en cuenta los valores que
rodean al punto dado.En otras palabras, nos da la direccin en el
plano por el que hay que viajar para obtener la pendiente mxima o
ms grande.Esta se aplica a campos escalares como la distribucin de
temperaturas en un cuerpo.La gradiente se representa con un
tringulo invertido
Sea f: U un campo escalar y sean , , Derivadas parciales de
fEntonces la gradiente de f es: grad (f)= ( , , )
El gradiente convierte un campo escalar en un campo
vectorial.
Ahora continuamos con la divergencia, la cual se aplica a campos
vectoriales, lo contrario de la gradiente. Y este es un vector que
indica en qu direccin las lneas del campo se encuentran ms
separadas entre s, es decir, la direccin donde disminuye la
densidad de lneas de campo por unidad de volumen. El que indica
esta disminucin, se le denomina Modulo de la
divergencia.*Divergencia elevada: Indica en que zona se est
abriendo como los rayos de luz emergen de una fuente
puntual.*Divergencia nula: Indica que en esa zona los rayos son
paralelos como las velocidades de un fluido sin turbulencia dentro
de un tubo, aunque el tubo sea curvo y todo el flujo este rotando
uniformemente.
Sea f: U , f= ( ) un campo vectorial.Entonces, la divergencia de
f es div (f) = + + La divergente convierte el campo vectorial en un
campo escalar.La misma cantidad de partculas que salen (+) en el
plano son las mismas partculas que entran (-). y y
x x ENTRAN = -SALEN = +
=
Y por ltimo, la rotacional que es un vector que indica que tanto
estn curveadas las lneas de campo o de fuerza en los alrededores de
un punto. Se aplica a campos vectoriales. En esta se incluye:
-Rotacional nulo: Un rotacional igual a cero en un punto dado
significa que en esa regin las lneas de campo son
rectas.-Rotacional no nulo: Indica que en los alrededores del
punto, las lneas de campos son arcos, es decir, es una regin donde
el campo se est curveando.
La direccin del vector rotacional es perpendicular al plano de
curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre
el campo.
Sea f: U - , f: ( ) un campo vectorial.Entonces, el rotacional
de f es
rot (f) = (- , - , - ) Como ejemplo, podemos tomar a un campo
vectorial de velocidad de un fluido, el cual se explica de la
siguiente manera:El fluido es un rio, en donde se encuentra una
rama que rota a medida que aumenta el agua, debido a que la parte
de arriba de la rama se desplaza a mayor velocidad que la parte de
abajo.
*Si hay un poco de rotacional: la rama gira.*Si el rotacional es
negativo: gira a una direccin contraria.
-Magnitud del campo vectorial mientras nos movemos en forma
perpendicular del movimiento, mediante: *El producto cruz nos dice
como multiplicar dos vectores para obtener una direccin
perpendicular a esos dos.*El producto punto nos dice que tan
separados estn el uno del otro.
NOTA.-El rotacional mide el efecto del campo vectorial o puede
adivinar que tanto se risa el campo vectorial alrededor de un
punto.
Conociendo la definicin de gradiente, divergente y rotacional,
as como en qu tipo de campo se aplica cada una, podemos comprender
cul es la direccin correcta en qu se desplaza una partcula en el
espacio.