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REVISTA ASTURIANA DE ECONOMA - RAE N 31 2004
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RIESGO Y VOLATILIDAD:MODELOS ECONOMTRICOS
Y PRCTICA FINANCIERA*
Robert Engle**New York University
El comportarse de manera ptima implica tomar riesgos que merecen
la pena. En ello con-siste el paradigma central de las finanzas:
debemos asumir ciertos riesgos para obtenerbeneficios, pero no
todos los riesgos aportan las mismas compensaciones. Tanto los
ries-gos como los beneficios pertenecen al futuro, as que se ponen
en una balanza las prdi-das previstas frente a las recompensas
esperadas. Por lo tanto, optimizamos nuestro com-portamiento y, en
particular, nuestra cartera financiera, para maximizar los
rendimientos yminimizar los riesgos. Cuando los profesionales ponan
en prctica sus estrategias finan-cieras, necesitaban estimaciones
de las varianzas. Un mtodo simple, a veces conocido conel nombre de
volatilidad histrica, se sola usar y sigue usndose ampliamente. En
estemtodo, se estima la volatilidad mediante la desviacin tpica
muestral de los rendimien-tos a lo largo de un corto periodo de
tiempo. Pero, cul es el periodo que se debe emple-ar? Si ste es
demasiado largo, no tendr mucha relevancia para medir el riesgo
delmomento presente, y si es demasiado corto, tendr mucho ruido.
Por otra parte, en reali-dad es la volatilidad de un periodo futuro
la que debera considerarse como medida delriesgo, por lo que son
necesarias no slo una medida de la volatilidad actual, sino
tambinuna prediccin de la volatilidad futura. El mtodo de la
volatilidad histrica no ofreca nin-guna solucin para estos
problemas. A un nivel algo ms profundo, hay una inconsisten-cia
lgica en suponer, por ejemplo, que la varianza es constante para un
periodo de un aoque se acabe hoy y que es constante tambin para el
ao que finaliz ayer, pero con unvalor diferente. Se necesita una
teora de volatilidades dinmicas, y se es el papel quecumplen los
modelos ARCH y sus mltiples extensiones y ste es el tema que
abordamoshoy. Describir la gnesis del modelo ARCH y abordar algunas
de sus mltiples generali-zaciones, as como su amplio respaldo
emprico. En secciones posteriores, aportar unademostracin de cmo
puede emplearse este modelo dinmico para predecir la volatilidady
el riesgo a largo plazo, y cmo se puede emplear para valorar
opciones.Palabras clave: Conferencia Nobel, riesgo, volatilidad,
modelo ARCH, modelo GARCH,volatilidad financiera, prcticas
financieras, Value at Risk, valoracin de opciones.
(*) The Nobel Foundation 2003 (http://www.nobelprize.org). Este
artculo es una versin revisa-da del discurso pronunciado por el
profesor Robert Engle en Estocolmo, el 8 de diciembre de2003,
cuando recibi, junto con el profesor Clive W. J. Granger, el Premio
del Banco de Sueciaen Ciencias Econmicas instituido en memoria de
Alfred Nobel (Premio Nobel de Economa).El artculo se publica en RAE
Revista Asturiana de Economa con el consentimiento del autor yla
autorizacin de la Fundacin Nobel. La traduccin ha sido realizada
por Sofa Garca y hasido revisada por Arielle Beyaert, Carlos
Capistrn y J. Gonzalo Rangel.
(**) Stern School of Business, New York University. Este artculo
es el resultado de ms de dosdcadas de investigacin y de colaboracin
con numerossimas personas. En particular, deseoexpresarle mi
agradecimiento a las audiencias del B.I.S, de Estocolmo, de
Uppsala, de la Uni-versidad de Cornell y de la Universidad de
Savoya por haberme escuchado durante la prepa-racin de esta charla.
David Hendry, Tim Bollerslev, Andrew Patton, y Robert Ferstenberg
mehicieron sugerencias detalladas. No obstante, soy el responsable
de cualquier laguna posible.
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mikeText Boxhttp://www.nobelprize.org
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ROBERT ENGLE. RIESGO Y VOLATILIDAD: MODELOS ECONOMTRICOS Y
PRCTICA FINANCIERA
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La ventaja que presenta saber de riesgos es que nos permite
cambiarnuestro comportamiento para evitarlos. Por supuesto, es fcil
darse cuen-ta de que es imposible evitar todos los riesgos; para
ello, tendramos quedejar de viajar en avin, en coche e incluso
dejar de caminar, tendramosque comer y beber nicamente alimentos
sanos, y no podramos dejarque nos diese nunca el sol. Incluso el
darse un bao podra resultar peli-groso. No recibira este premio hoy
si tratase siempre de evitar todo ries-go. Hay ciertos riesgos que
decidimos asumir porque los beneficios quepodemos obtener tomndolos
son superiores a los posibles costes. Elcomportarse de manera ptima
implica tomar riesgos que merecen lapena. En ello consiste el
paradigma central de las finanzas: debemos asu-mir ciertos riesgos
para obtener beneficios, pero no todos los riesgosaportan las
mismas compensaciones. Tanto los riesgos como los benefi-cios
pertenecen al futuro, as que se ponen en una balanza las
prdidasprevistas frente a las recompensas esperadas. Por lo tanto,
optimizamosnuestro comportamiento y, en particular, nuestra cartera
financiera, paramaximizar los rendimientos y minimizar los
riesgos.
Este simple concepto tiene una larga historia en economa y una
largatradicin en la concesin de los Premios Nobel. Harry M.
Markowitz (1952)y James Tobin (1958) asociaron el riesgo a la
varianza del valor de unacartera. Basndose en la bsqueda de la
evasin del riesgo, derivaron lateora de la cartera ptima y el
comportamiento de los bancos. WilliamSharpe (1964) desarroll las
implicaciones de que todos los inversoresbusquen los mismos
objetivos con la misma informacin. Esta teora sellama Modelo de
Valoracin de los Precios de los Activos de Capital, oCAPM (del
ingls, Capital Asset Pricing Model), y demuestra que existeuna
relacin natural entre los rendimientos esperados y la varianza.
Estascontribuciones recibieron los premios Nobel de 1981 y
1990.
Fisher Black y Myron Scholes (1972) y Robert C. Merton (1973)
desa-rrollaron un modelo para evaluar el precio de las opciones. Si
bien la teo-ra se basa en argumentos de rplica de la opcin mediante
estrategias denegociacin dinmicas, sta tambin es consistente con el
CAPM. Lasopciones put proporcionan al propietario el derecho de
vender un activoa un precio determinado en un momento del futuro.
En este sentido, estasopciones pueden ser consideradas como un
seguro. Al comprar estasopciones put, se puede eliminar por
completo el riesgo de la cartera. Pero,cunto cuesta este seguro? El
precio de esta proteccin depende de losriesgos y estos riesgos se
miden por la varianza de los rendimientos delactivo. Esta
contribucin obtuvo el reconocimiento de un premio Nobelen 1997.
Cuando los profesionales ponan en prctica estas estrategias
finan-cieras, necesitaban estimaciones de las varianzas.
Normalmente seempleaba la raz cuadrada de la varianza, llamada
volatilidad. Estos pro-fesionales se dieron cuenta rpidamente de
que las volatilidades cambia-ban con el tiempo. Asimismo,
encontraban respuestas distintas para dife-rentes periodos de
tiempo. Un mtodo simple, a veces conocido con elnombre de
volatilidad histrica, se sola usar y sigue usndose amplia-mente. En
este mtodo, se estima la volatilidad mediante la desviacintpica
muestral de los rendimientos a lo largo de un corto periodo de
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po. Pero, cul es el periodo que se debe emplear? Si ste es
demasiadolargo, no tendr mucha relevancia para medir el riesgo del
momento pre-sente; si es demasiado corto, tendr mucho ruido. Por
otra parte, en rea-lidad es la volatilidad de un periodo futuro la
que debera considerarsecomo medida del riesgo, por lo que son
necesarias no slo una medidade la volatilidad actual, sino tambin
una prediccin de la volatilidad futu-ra. Esto conlleva la
posibilidad de que la prediccin de la volatilidad mediapara la
semana siguiente sea diferente de la prediccin a un ao o a
unadcada. El mtodo de la volatilidad histrica no ofreca ninguna
solucinpara estos problemas.
A un nivel algo ms profundo, hay una inconsistencia lgica en
supo-ner, por ejemplo, que la varianza es constante para un periodo
de un aoque se acabe hoy y que es constante tambin para el ao que
finalizayer, pero con un valor diferente. Se necesita una teora de
volatilidadesdinmicas, y se es el papel que cumplen los modelos
ARCH y sus mlti-ples extensiones y ste es el tema que abordamos
hoy.
En la siguiente seccin, describir la gnesis del modelo ARCH,
yabordar algunas de sus mltiples generalizaciones, as como su
ampliorespaldo emprico. En secciones posteriores, aportar una
demostracinde cmo puede emplearse este modelo dinmico para predecir
la volati-lidad y el riesgo a largo plazo, y cmo se puede emplear
para valoraropciones.
1. NACIMIENTO DEL MODELO ARCH
El modelo ARCH fue inventado durante mi estancia sabtica en la
Lon-don School of Economics, en 1979. El ambiente que proporcionaba
elalmuerzo en su sala de profesores, con David Hendry, Dennis
Sargan, JimDurbin y muchos otros econmetras de primera fila,
resultaba muy esti-mulante. Mi objetivo era encontrar un modelo que
pudiese evaluar la vali-dez de una conjetura de Milton Friedman
(1977), segn la cual el carcterimpredecible de la inflacin era una
de las principales causas de los cicloseconmicos. Friedman haba
adelantado la hiptesis de que el problemano era el nivel de
inflacin por s mismo, sino que la incertidumbre sobrelos costes y
los precios futuros era lo que desanimaba a los inversores yllevaba
a una recesin. sta slo era posible si la incertidumbre cambia-ba
con el tiempo; y mi objetivo consista en comprobarlo. Los
econme-tras llaman a esto heteroscedasticidad. Poco antes, haba
trabajadomucho con el filtro de Kalman y saba que una funcin de
verosimilitudpoda descomponerse en la suma de sus densidades
predictivas o condi-cionadas. Por otra parte, mi colega Clive
Granger, con el que compartoeste premio, haba desarrollado, no haca
mucho, un contraste paramodelos de series temporales bilineales
basado en la dependencia en eltiempo de los residuos al cuadrado.
En concreto, los residuos al cuadra-do estaban frecuentemente
autocorrelacionados a pesar de que los resi-duos en s no lo
estuviesen. Este contraste a menudo resultaba muy sig-nificativo
para datos econmicos; sospech que estaba detectando algoms que
bilinealidad, pero no saba de qu se trataba.
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La respuesta era la heteroscedasticidad condicionada
autorregresiva oARCH (autoregressive conditional
heteroskedasticity); fue David Hendryquien invent el nombre. El
modelo ARCH describe la prediccin de lavarianza en funcin de
variables observables actuales. En vez de usar des-viaciones tpicas
sobre muestras largas o cortas, el modelo ARCH propo-na usar medias
ponderadas de los cuadrados de los errores de prediccindel pasado,
es decir, una especie de varianza ponderada. Estas pondera-ciones
podan conceder mayor influencia a la informacin reciente y
res-tarle peso al pasado lejano. Claramente, el modelo ARCH era una
simplegeneralizacin de la varianza muestral.
El gran avance de este modelo resida en la posibilidad de
estimar lasponderaciones mediante datos histricos a pesar de que la
volatilidadverdadera no se hubiese observado nunca. Funciona de la
siguientemanera: se pueden calcular predicciones cada da o en cada
periodo. Exa-minando estas predicciones para diferentes
ponderaciones, podemosencontrar el conjunto de ponderaciones que
hacen que las prediccionessean tan cercanas a la varianza del
siguiente rendimiento como sea posi-ble. Este procedimiento, basado
en la mxima verosimilitud, ofrece unasolucin sistemtica al problema
de estimar las ponderaciones ptimas.Una vez determinadas las
ponderaciones, este modelo dinmico de vola-tilidad variable en el
tiempo puede utilizarse para medir la volatilidad encualquier
periodo, as como para predecirla en el futuro tanto cercanocomo
lejano. El contraste de Granger para la bilinealidad result ser
elcontraste ptimo o el contraste del multiplicador de Lagrange para
elefecto ARCH, y hoy en da se utiliza ampliamente.
La formulacin de un modelo dinmico explcito para la volatilidad
pre-senta muchas ventajas. Como ya se ha mencionado anteriormente,
losparmetros ptimos se pueden estimar por mxima verosimilitud. Se
pue-den aplicar contrastes de adecuacin y precisin del modelo de
volatilidadpara comprobar la validez del procedimiento. Sobre la
base de estos par-metros estimados, pueden construirse predicciones
para dentro de unperiodo o para varios periodos hacia adelante. Las
distribuciones no con-dicionadas pueden expresarse matemticamente
y, por lo general, sonrealistas. Si insertamos las variables
pertinentes en el modelo, podemoscontrastar modelos econmicos que
tratan de determinar las causas de lavolatilidad. De forma similar,
la incorporacin de variables endgenas y deecuaciones adicionales
permite contrastar modelos sobre las consecuen-cias de la
volatilidad. Ms adelante veremos distintas aplicaciones.
El colaborador de David Hendry, Frank Srba, fue quien escribi el
pri-mer programa ARCH. La aplicacin que se public en Engle (1982)
se refe-ra a la inflacin en el Reino Unido, ya que en ello consista
la conjeturade Friedman. Si bien los datos indicaban con claridad
que la incertidum-bre en las predicciones de inflacin variaba con
el tiempo, no estaba rela-cionada con los ciclos econmicos del
Reino Unido. Unos contrastes simi-lares sobre los datos de inflacin
estadounidenses, recogidos en Engle(1983), confirmaron el
descubrimiento del efecto ARCH, pero no eviden-ciaron ningn efecto
relacionado con los ciclos econmicos. Si bien eldilema entre el
riesgo y el rendimiento constituye una parte importante dela teora
macroeconmica, las implicaciones empricas son, a menudo,
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difciles de detectar porque estn camufladas por otros efectos
dominan-tes y se ven oscurecidas por el uso de datos de frecuencia
relativamentebaja. En finanzas, los efectos riesgo/rendimiento
tienen una importanciaprimordial y se dispone de datos de
frecuencia diaria, o incluso intra-dia-ria, que permiten hacer
predicciones de volatilidad con precisin. Por ello,fue en el campo
de las finanzas en el que se desarroll la gran riqueza yvariedad de
modelos ARCH.
2. GENERALIZACIN DEL MODELO ARCH
Se pueden estimar y contrastar generalizaciones de distintos
esque-mas de ponderacin. El modelo que se emplea de forma ms
generaliza-da hoy en da es el que desarroll mi brillante estudiante
Tim Bollerslev(1986), que recibi el nombre de Heteroscedasticidad
Condicional Auto-rregresiva Generalizada o GARCH (Generalized
Autoregressive Conditio-nal Heteroskedasticity). Este modelo,
bsicamente, generaliza el modeloARCH, que es puramente
autorregresivo, para lograr un modelo autorre-gresivo de medias
mviles. Se establece el supuesto de que las pondera-ciones de los
cuadrados de los residuos pasados disminuyen geomtri-camente a una
tasa que debe estimarse a partir de los datos. El modeloGARCH (1,1)
se presta a una interpretacin fcil de entender e intuitiva-mente
atractiva. La prediccin GARCH de la varianza es una media
pon-derada de tres predicciones diferentes de la varianza. Una de
ellas es unavarianza constante que corresponde a la media de largo
plazo. La segun-da es la prediccin que se hizo en el periodo
anterior. La tercera corres-ponde a la nueva informacin que no
estaba disponible cuando se hizo laprediccin anterior. sta podra
considerarse como una prediccin de lavarianza basada en un nico
periodo de informacin. Las ponderacionesde estas tres predicciones
determinan la rapidez con la que cambia lavarianza al incluir
informacin nueva y la rapidez con la que vuelve a sumedia de largo
plazo.
La segunda generalizacin de enorme importancia es la del
GARCHExponencial o EGARCH (Exponential GARCH); se la debemos a
Daniel B.Nelson (1991), que falleci de forma prematura en 1995
dejando un vacoirremplazable en nuestra profesin, como muy bien lo
expresan Bollerslevy Peter E. Rossi (1995) en su panegrico. En su
corta carrera acadmica, suscontribuciones tuvieron una influencia
extraordinaria. Descubri que lavolatilidad poda responder de forma
asimtrica a errores de prediccinpasados. En un contexto financiero,
los rendimientos negativos parecanser predictores de la volatilidad
ms importantes que los positivos. Las ca-das fuertes de los precios
producen predicciones de mayor volatilidad quelas que producira un
aumento de los precios en la misma proporcin. stees un efecto
interesante desde el punto de vista econmico, que
tieneimplicaciones de muy diversa ndole que trataremos ms
adelante.
Muchos otros investigadores han propuesto generalizaciones
adicio-nales. Nos encontramos hoy en da frente a una sopa de letras
de mode-los ARCH, entre los cuales hay que mencionar: AARCH,
APARCH,FIGARCH, FIEGARCH, STARCH, SWARCH, GJR-GARCH, TARCH,
MARCH,
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NARCH, SNPARCH, SPARCH, SQGARCH, CESGARCH, ARCH con
compo-nentes, ARCH con componentes asimtricos, Taylor-Schwert, ARCH
con dis-tribucin t de Student, GED-ARCH, y muchos otros que,
desgraciadamente,he tenido que pasar por alto. Bollerslev et al.
(1992), Bollerslev et al. (1994),Engle (2002b), y Engle e Isao
Ishida (2002) ofrecieron revisiones panormi-cas de muchos de estos
modelos. Estos modelos reconocen que en la vola-tilidad podra haber
importantes caractersticas de asimetra, no linealidad ymemoria
larga, y que los rendimientos pueden ser no normales y
presentartoda una variedad de distribuciones paramtricas y no
paramtricas.
Tambin ha tenido lugar otro enorme desarrollo de unos modelos
devolatilidad muy relacionados con los anteriores, pero con
caractersticasdistintas desde el punto de vista economtrico: los
llamados modelos deVolatilidad Estocstica o modelos SV (Stochastic
Volatility). Vase, porejemplo, Peter K. Clark (1973), Stephen
Taylor (1986), Andrew C. Harvey etal. (1994), y Taylor (1994).
Estos modelos tienen un proceso generador delos datos diferente,
que los hacen ms adecuados para ciertos objetivospero ms difciles
de estimar. En un marco lineal, estos modelos seransimplemente
representaciones diferentes del mismo proceso; pero en elcontexto
no lineal estas especificaciones alternativas no son equivalentes,a
pesar de ser muy cercanas la una de la otra.
3. MODELADO DE LOS RENDIMIENTOS FINANCIEROS
El xito de la familia de modelos ARCH se puede atribuir en
granmedida a las aplicaciones que stos tienen en finanzas. Si bien
los mode-los pueden aplicarse a numerosos problemas estadsticos con
series tem-porales, adquieren un valor especial cuando se aplican a
series tempora-les financieras. Esto se debe en parte a la
importancia del dilema del quehemos hablado antes entre riesgo y
rendimiento en los mercados finan-cieros, y en parte a tres
caractersticas omnipresentes de los rendimientosfinancieros de los
activos con riesgo. Los rendimientos son prcticamen-te
impredecibles, tienen, sorprendentemente, una gran cantidad de
valo-res extremos, y tanto los periodos de ms agitacin como los ms
tran-quilos estn agrupados en el tiempo. Estas caractersticas a
menudo sedescriben como impredecibilidad, colas gordas (exceso de
curtosis) yagrupamiento de la volatilidad. stas son precisamente
las caractersticaspara las cuales se disea el modelo ARCH. Cuando
la volatilidad es ele-vada, es probable que permanezca elevada, y
cuando sta es baja es pro-bable que permanezca baja. Sin embargo,
estos periodos estn limitadosen el tiempo, as que es seguro que la
prediccin acabar volviendo haciavolatilidades menos extremas. Un
proceso ARCH produce patrones din-micos de vuelta a la media que se
pueden predecir. Tambin produce unmayor nmero de valores extremos
de lo que se esperara de una distri-bucin normal estndar, ya que
los valores extremos durante el periodode alta volatilidad son
mayores de los que se hubiesen podido anticiparcon un proceso de
volatilidad constante.
La especificacin GARCH (1,1) es el caballo de batalla de las
aplica-ciones financieras. Resulta llamativo el que se pueda
emplear un nico
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modelo para describir la dinmica de volatilidad de casi todas
las seriesde rendimientos financieros. Esto es cierto no slo para
las acciones deEstados Unidos, sino tambin para las acciones
negociadas en la mayorade los mercados desarrollados, para la
mayora de las acciones que senegocian en mercados emergentes y para
la mayora de los ndices de losmercados de valores. Tambin es
aplicable a tipos de cambio, rendimien-tos de obligaciones y
rendimientos en los mercados de bienes primarios.En muchos casos se
podra encontrar un modelo un poco mejor entre lalista de modelos
nombrados anteriormente, pero el modelo GARCH es,por lo general, un
excelente punto de partida.
El amplio xito del modelo GARCH (1,1) exige una explicacin.
Cules la teora que puede explicar el hecho de que la dinmica de la
volatili-dad sea similar en tantos mercados financieros diferentes?
Al desarrollartal teora debemos entender en primer lugar por qu
cambian los preciosde los activos. Se compran y poseen activos
financieros por las retribu-ciones futuras que se esperan de los
mismos. Dado que estas retribucio-nes presentan incertidumbre y
dependen de desarrollos futuros descono-cidos, el fijar el precio
justo del activo requerir predicciones de la distri-bucin de estas
retribuciones basadas en la mejor informacin de la quedisponemos en
el presente. A medida que pasa el tiempo, vamos obte-niendo mayor
informacin sobre estos eventos futuros y volvemos avalorar los
activos. Por lo tanto, a un nivel muy bsico, podemos afirmarque la
volatilidad de los precios financieros se debe a la llegada de
nuevainformacin. El agrupamiento de la volatilidad corresponde
simplementeal agrupamiento de la llegada de informacin. El hecho de
que sta seacomn para tantos activos simplemente refleja el hecho de
que la llegadade informacin nueva est generalmente agrupada en el
tiempo.
Para saber por qu es normal que las informaciones nuevas
lleguende manera agrupada, debemos ser ms especficos en lo que
respecta alflujo de informaciones. Consideremos un acontecimiento
como, porejemplo, un invento que haga que aumente el valor de una
empresa por-que hace que mejoren los beneficios futuros y los
dividendos. El efecto dedicho acontecimiento sobre los precios de
las acciones depender de lascondiciones econmicas de la economa y
de la empresa. Si la empresaest cerca de la bancarrota, el efecto
puede ser muy grande, mientras quesi ya opera a pleno rendimiento,
ste podra ser reducido. Si la economatiene tipos de inters bajos y
un excedente de mano de obra, podra serfcil desarrollar este nuevo
producto. Manteniendo los dems factoresiguales, la respuesta ser
mayor en un periodo de recesin que enmomento de auge. Por ello, no
es sorprendente encontrarse frente amayores niveles de volatilidad
en los momentos de recesin econmica apesar de que la tasa de
llegada de nuevos inventos sea constante. Se tratade un tipo de
agrupamiento de la volatilidad que evoluciona lentamentey que puede
dar lugar a ciclos de varios aos.
El mismo invento tambin acarrear un agrupamiento de la
volatilidadde alta frecuencia. Cuando se d a conocer el invento, el
mercado no sercapaz de estimar su valor de forma inmediata para que
se refleje en el pre-cio de las acciones. Puede que los agentes no
estn de acuerdo pero queestn lo suficientemente inseguros de sus
evaluaciones como para pres-
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tar atencin a la valoracin que los otros hacen de la empresa. Si
un inver-sor compra hasta que el precio alcance el nivel que l
estima como nuevoprecio adecuado, podra cambiar de estimacin al
observar que losdems siguen comprando por precios cada vez ms
elevados. Podra sos-pechar que los dems tienen mejor informacin o
mejores modelos y, porlo tanto, aumentara su valoracin. Por
supuesto, si constata que losdems venden sus acciones, podra
entonces revisar su precio a la baja.Este proceso suele llamarse el
descubrimiento del precio (price discovery)y se ha modelado de
forma terica y emprica en los estudios de micro-estructura del
mercado. Conduce a un agrupamiento de la volatilidad conuna
frecuencia mucho ms elevada que la que habamos visto antes.
Esteproceso podra durar unos pocos das o unos pocos minutos.
No obstante, para entender la volatilidad, tenemos que tener en
cuen-ta algo ms que un invento. Mientras que la tasa de llegada de
inventospuede no seguir patrones claros, habr otro tipo de noticias
que segura-mente s los sigan. La intensidad de informacin nueva
suele ser altadurante las guerras o las pocas de peligro econmico.
Es tambin muyprobable que durante las cumbres mundiales, las
audiencias del congre-so o del parlamento, las elecciones o las
reuniones del consejo de gobier-no del banco central haya muchos
acontecimientos que constituyan noti-cias para el mercado. Este
tipo de episodios suelen ser de duracin media:no suelen durar ms
que unas semanas o unos meses.
Los patrones de volatilidad emprica que observamos estn
compues-tos por estos tres tipos de acontecimientos. Por lo tanto,
esperamosencontrarnos con dinmicas de volatilidad ms bien
elaboradas y amenudo nos basamos en series temporales largas para
producir modelosprecisos de las diferentes constantes en el
tiempo.
4. MODELADO DE LAS CAUSAS Y LAS CONSECUENCIAS DE LAVOLATILIDAD
FINANCIERA
Una vez desarrollado un modelo para medir la volatilidad, lo
normales intentar explicar las causas de la volatilidad y los
efectos de la volatili-dad sobre la economa. Contamos hoy en da con
una amplia literaturaque examina estas cuestiones. Tratar nicamente
algunos de los descu-brimientos correspondientes a los mercados
financieros.
En los mercados financieros, las consecuencias de la volatilidad
sonfciles de describir a pesar de ser quizs difciles de medir. En
una econo-ma con un nico activo de riesgo, un aumento de la
volatilidad deberallevar a los inversores a vender una parte de ese
activo. Si hay una ofertafija, el precio puede bajar lo suficiente
como para que los compradoresadopten la postura contraria. Con este
nuevo precio ms reducido, losrendimientos esperados son ms
elevados, justo en la medida suficientecomo para compensar a los
inversores por el aumento del riesgo. En elequilibrio, una
volatilidad alta debera corresponder a altos rendimientosesperados.
Merton (1980) formul este modelo terico en tiempo conti-nuo y Engle
et al. (1987) propusieron un modelo en tiempo discreto. Si el
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precio del riesgo fuese constante en el tiempo, un aumento de
las varian-zas condicionadas se traducira linealmente en un aumento
de los rendi-mientos esperados. As, la media de la ecuacin de
rendimiento ya no seconsiderara igual a cero, sino que dependera de
los rendimientos pasa-dos al cuadrado, exactamente del mismo modo
que lo hace la varianzacondicionada. Esta restriccin muy fuerte
sobre los coeficientes puedecontrastarse y usarse para estimar el
precio del riesgo. Tambin se puedeusar para medir el coeficiente de
la aversin al riesgo relativa del agenterepresentativo bajo los
mismos supuestos.
La evidencia emprica de esta medicin no ha aportado
resultadosunnimes. Mientras que Engle et al. (1987) encontraron un
efecto positi-vo y significativo, Ray-Yeutien Chou et al. (1992) y
Lawrence R. Glosten etal. (1993) encontraron una relacin que vara a
lo largo del tiempo ypodra ser negativa debido a la omisin de
variables. Kenneth R. Frenchet al. (1987) demostraron que una
sorpresa positiva en la volatilidad debe-ra tener, y de hecho
tiene, un efecto negativo sobre los precios de los acti-vos. No hay
un nico activo con riesgo en la economa y no es muy pro-bable que
el precio del riesgo permanezca constante; por lo tanto, la
ines-tabilidad no debe sorprender y no descarta la existencia de un
dilemariesgo/rendimiento, pero el modelar mejor este dilema
constituye todo unreto.
Las causas de la volatilidad se modelan de forma ms directa.
Dadoque el modelo ARCH bsico y sus numerosas variantes describen
lavarianza condicionada como una funcin de los retardos del
cuadrado delos rendimientos, stas son probablemente las causas ms
cercanas de lavolatilidad. Pero es mejor interpretarlos como
observables que ayudan apredecir la volatilidad y no como causas.
Si las verdaderas causas seincluyesen en la especificacin, entonces
no se necesitaran los retardos.
Ciertos artculos han seguido esta va. Torben G. Andersen y
Bollers-lev (1998b) examinaron los efectos de los comunicados en
prensa sobrela volatilidad de los tipos de cambio. La dificultad de
encontrar un fuertepoder explicativo queda patente incluso si
dichos comunicados tienenefectos importantes. Otro enfoque consiste
en usar la volatilidad medidaen otros mercados. Engle et al.
(1990b) demuestran que la volatilidad enlas acciones causa
volatilidad en las obligaciones en el futuro. Engle et al.(1990a)
modelan la influencia de la volatilidad en los mercados que
cie-rran antes sobre los mercados que cierran ms tarde. Examinan,
porejemplo, la influencia de la volatilidad actual en los mercados
europeos yasiticos de divisas y del da anterior en el mercado
estadounidense sobrela volatilidad actual del mercado americano.
Yasushi Hamao et al. (1990),Pat Burns et al. (1998) y otros han
aplicado tcnicas similares para el mer-cado global de acciones.
5. UN EJEMPLO
Para ilustrar el uso de los modelos ARCH en las aplicaciones
financie-ras, har un anlisis ms bien extenso del ndice compuesto
Standard &
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ROBERT ENGLE. RIESGO Y VOLATILIDAD: MODELOS ECONOMTRICOS Y
PRCTICA FINANCIERA
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Poors 500. Este ndice representa el grueso de las valoraciones
en el mer-cado de valores americano. Examinar los niveles diarios
de este ndicedesde 1963 hasta finales de noviembre de 2003. De esta
manera, tendre-mos una visin global de la historia financiera de
Estados Unidos, lo cualofrece un marco ideal para discutir cmo se
usan los modelos ARCH parael tratamiento del riesgo y la valoracin
de opciones. Todos los estadsti-cos y los grficos se han obtenido
con EViewsTM 4.1.
Los datos iniciales se muestran en el grfico 1, en el que los
preciosse representan en el eje de la izquierda. La curva inferior,
que es ms biensuave, muestra la evolucin de este ndice a lo largo
de los ltimos 40aos. Es fcil detectar el importante crecimiento de
los precios de lasacciones en ese periodo y la disminucin
subsiguiente tras la llegada delnuevo milenio. A principios de
1963, el ndice tena un valor de 63 dlaresy al final del periodo era
de 1.035 dlares. Eso significa que un dlar inver-tido en 1963
tendra un valor de 16 dlares en noviembre de 2003 (ms elflujo de
dividendos que se habran recibido, puesto que este ndice notoma en
cuenta los dividendos en datos diarios). Si el inversor hubiesesido
lo suficientemente inteligente como para vender su posicin el 24
demarzo de 2000, sta hubiese tenido un valor de 24 dlares. Con un
pocode suerte, no habra comprado ese da. Aunque a menudo vemos
imge-nes del nivel de estos ndices, es obviamente el precio
relativo entre elmomento de compra y el momento de venta lo que
importa. As, los
Grfico 1PRECIOS DIARIOS Y RENDIMIENTOS DEL NDICE S&P 500
ENTRE
ENERO DE 1963 Y NOVIEMBRE DE 2003
65 70 75 80 85 90 95 00
1.600
800
400
200
100
50
0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
SP500 SPRENDIMIENTOS
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economistas centran su atencin sobre los rendimientos, que se
mues-tran en la parte superior del grfico. ste muestra el cambio
diario en elprecio en el eje de la derecha (calculado como el
logaritmo del precio dehoy dividido por el precio de ayer). Esta
serie de rendimientos est cen-trada en cero a lo largo del periodo
de la muestra aunque a veces los pre-cios aumenten y otras veces
disminuyan. El acontecimiento ms dramti-co es el crac de octubre de
1987 que hace que todos los dems rendi-mientos sean
comparativamente minsculos en lo que se refiere altamao de la cada
y a la subsiguiente recuperacin parcial.
Se pueden observar otras de las caractersticas importantes de
estaserie de datos trabajando con porciones del periodo completo.
Por ejem-plo, el grfico 2 muestra el mismo grfico antes de 1987. Se
ve claramen-te que la amplitud de los rendimientos est cambiando.
La magnitud delos cambios es grande en ocasiones y reducida en
otras. Precisamenteste es el efecto que el modelo ARCH se encarga
de medir y que hemosdenominado agrupamiento de la volatilidad. Pero
hay otra caractersticaimportante en este grfico. La volatilidad es
claramente superior cuandolos precios estn cayendo. La volatilidad
tiende a ser superior en merca-dos con tendencia a la baja. Este es
el efecto de volatilidad asimtrica queNelson describe con su modelo
EGARCH.
Si examinamos el siguiente subperiodo, el posterior al crac de
1987,en el grfico 3 podemos ver el periodo record de baja
volatilidad demediados de la dcada de los 90. Este periodo vino
acompaado por un
Grfico 2NDICE DIARIO S&P 500 ANTES DE 1987
0,06
0,04
0,02
0,00
-0,02
-0,04
-0,06
400
200
100
50
1965 1970 1975 1980 1985
SP500 SPRENDIMIENTOS
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crecimiento lento y sostenido de los precios de las acciones.
Frecuente-mente se sostuvo que nos estbamos encaminando hacia una
nueva erade baja volatilidad. La historia ha demostrado que no. La
volatilidadcomenz a aumentar al tiempo que los precios de las
acciones se incre-mentaban progresivamente, alcanzando niveles muy
altos desde 1998 enadelante. La bolsa, desde esta perspectiva,
resultaba claramente arriesga-da, pero los inversores estaban
dispuestos a tomar este riesgo debido alos altos rendimientos que
poda aportar. Si nos fijamos en el ltimoperiodo, desde 1998, en el
grfico 4 podemos ver que la alta volatilidadperdur mientras el
mercado caa. Slo al final de la muestra, cuando con-cluy
oficialmente la guerra en Irak, se ven disminuciones importantes
enla volatilidad. Esto aparentemente ha animado a que los
inversores vol-vieran al mercado, que ha experimentado un
crecimiento substancial delos precios.
Grfico 3NDICE S&P 500 DESDE 1988 HASTA 2000
Mostramos ahora algunos estadsticos que ilustran los tres
hechosestilizados mencionados anteriormente: rendimientos
prcticamenteimpredecibles, colas gordas y agrupamiento de la
volatilidad. En el cua-dro 1 se muestran algunas caractersticas de
los rendimientos. En com-paracin con la desviacin tpica, la media
se aproxima a cero para ambosperiodos. Se sita en el 0,03 por
ciento por da de apertura o alrededor deun 7,8 por ciento por ao.
La desviacin tpica es ligeramente superior en
0,08
0,04
0,00
-0,04
-0,08
1.600
800
400
200
1992 1994 1996 20001988 1990 1998
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los aos 90. Estas desviaciones corresponden a volatilidades
anualizadasdel 15 y del 17 por ciento. La asimetra es reducida en
todo el periodo.
Grfico 4NDICE S&P 500 DESDE 1998 HASTA 2003
Cuadro 1RENDIMIENTOS DEL S&P 500
Muestra Completa Desde 1990
Media 0,0003 0,0003Desviacin tpica 0,0094 0,0104Asimetra 1,44
0,10Curtosis 41,45 6,78
La caracterstica ms interesante es la curtosis que mide la
magnitudde los extremos. Si los rendimientos se distribuyesen segn
una normal,la curtosis debera ser igual a 3. La curtosis de los
noventa alcanzaba unvalor de 6,8, y para el conjunto de la muestra
un impresionante 41. staes una prueba clara de que los extremos son
ms importantes de lo quepodramos esperar de una variable aleatoria
normal. Se obtiene la mismaevidencia del grfico 5, que es un
diagrama de los cuantiles de los datosposteriores a 1990. Sera una
lnea recta si los rendimientos se distribu-yesen normalmente y
tiene forma de S si hay ms valores extremos.
1.600
800
1.000
1.200
1.400
0,08
0,04
0,00
-0,04
-0,08
2000 2001 20031998 1999 2002
SP500 SPRENDIMIENTOS
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Grfico 5GRFICO DE LOS CUNTILES DE LOS RENDIMIENTOS DEL NDICE
S&P 500 POSTERIORES A 1990
La impredecibilidad de los rendimientos y el agrupamiento de la
volatili-dad se pueden mostrar de forma concisa en las
autocorrelaciones. Las auto-correlaciones son correlaciones
calculadas entre el valor de una variable ale-atoria hoy y su valor
de hace unos das. Las autocorrelaciones significativas delos
rendimientos pueden ser un indicio de la predictibilidad de la
serie, mien-tras que las autocorrelaciones significativas de los
rendimientos al cuadrado oen trminos absolutos reflejan la
existencia de agrupamiento de la volatilidad.En el grfico 6 se
representan estas autocorrelaciones para los datos posterio-res a
1990. Bajo los criterios convencionales1, las autocorrelaciones
superioresa 0,033 en valor absoluto seran significativas a un nivel
del 5 por ciento. Lasautocorrelaciones del rendimiento son
claramente casi todas no significativas,mientras que los
rendimientos al cuadrado tienen casi todos autocorrelacio-
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
Cu
anti
l de
la d
istr
ibu
ci
n n
orm
al
-0,04
SPRENDIMIENTOS
0,04 0,08-0,08 0,00
(1) Los valores crticos reales sern algo superiores dado que las
series presentan, clara-mente, heteroscedasticidad. Esto hace que
la no predictibilidad de los rendimientos seaan ms probable.
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nes que s lo son. Adems, las autocorrelaciones de los
rendimientos al cua-drado son todas positivas, lo cual es muy poco
probable que ocurra por casua-lidad. Este grfico proporciona
pruebas de peso tanto de la no predictibilidadde los rendimientos
como del agrupamiento de la volatilidad.
Grfico 6AUTOCORRELACIN DE LOS RENDIMIENTOS
Y DE LOS RENDIMIENTOS AL CUADRADO
Abordamos ahora el problema de la estimacin de la volatilidad.
Lasestimaciones llamadas volatilidad histrica se basan en las
desviacionestpicas de los rendimientos calculadas sobre periodos de
tiempo sucesivostomando una ventana de datos fija. En el grfico 7
se han construido conventanas de cinco das, de un ao y de cinco
aos. Mientras que cada unode estos clculos podra parecer razonable,
las respuestas son claramentemuy diferentes. La estimacin sobre
cinco das es extremadamente varia-ble mientras que las otras dos
son mucho ms suaves. La estimacinsobre cinco aos es suave en los
lugares en que las otras dos estimacionesrevelan picos y cadas. Con
esta ventana, la recuperacin tras el crac de1987 es particularmente
lenta, como tambin lo es la aparicin del aumen-to de la volatilidad
en 1998-2000. De la misma manera, la estimacin anualno muestra
todos los detalles que revela la volatilidad de cinco das.
Peroalgunos de estos detalles podran no ser ms que ruido. Sin
ninguna medi-da verdadera de volatilidad, es difcil elegir entre
estos candidatos.
El modelo ARCH proporciona una solucin a este dilema.
Estimandolos parmetros desconocidos basndonos en datos histricos,
podemos
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
-0,05
-0,10
SP Rendimientos SQ Rendimientos al cuadrado
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obtener predicciones para cada da en el periodo de la muestra y
paracualquier periodo posterior a la muestra. El primer modelo a
estimar quese impone de manera natural sera el GARCH (1,1). Este
modelo da pon-deraciones a la varianza incondicional, a la
prediccin anterior y a las nue-vas informaciones medidas como el
cuadrado del rendimiento de ayer. Elvalor estimado de las
ponderaciones es 0,004; 0,941 y 0,055 respectiva-mente2. El grueso
de la informacin viene claramente de la prediccin delda anterior.
La informacin nueva la cambia ligeramente y la varianzamedia a
largo plazo tiene un efecto muy pequeo. El efecto de la varian-za a
largo plazo resulta ser tan reducido que podra no ser
importante.Esto no es del todo correcto. Cuando predecimos para un
horizonte leja-no, la varianza a largo plazo acaba dominando al ir
desapareciendo laimportancia de las informaciones nuevas y
recientes. Es pequea comoconsecuencia natural del uso de datos
diarios.
Grfico 7VOLATILIDAD HISTRICA CON DISTINTAS VENTANAS
En este ejemplo, usaremos un modelo de volatilidad asimtrica
que, aveces, recibe el nombre de GJR-GARCH, respondiendo a las
siglas deGlosten et al (1993), o de TARCH (por Threshold ARCH) de
Jean MichaelZakoian (1994). Los resultados estadsticos se ofrecen
en el cuadro 2. En
0,6
0,4
0,2
0,0
64 70 74 80 84 88 92 0066 72 76 82 86 90 98 0268 78 94 96
(2) Para un modelo GARCH convencional definido como ht + 1 = +
rt2 + ht, las pondera-ciones son ((1 ), , ).
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este caso, hay dos tipos de informacin nuevas. El rendimiento al
cua-drado, por un lado, y, por otro, otra variable que es el
rendimiento al cua-drado cuando los rendimientos son negativos y
que es nula en el casocontrario. ste es, en promedio, la mitad de
grande que la varianza y porlo tanto debera duplicarse, lo cual
implica que las ponderaciones se redu-ciran a la mitad. Las
ponderaciones se calculan ahora sobre la media alargo plazo, la
prediccin anterior, las noticias simtricas as como lasnoticias
negativas. Estas ponderaciones se estiman en 0,002; 0,931; 0,029y
0,038, respectivamente3. Es evidente que la asimetra es importante
yaque, sin ella, el ltimo trmino sera cero. De hecho, los
rendimientosnegativos en este modelo tienen un efecto ms de tres
veces superior alde los rendimientos positivos de varianzas
futuras. Desde el punto devista estadstico, el trmino asimtrico
tiene un estadstico t de casi 20 yresulta muy significativo.
Cuadro 2ESTIMACIN TARCH DE LOS DATOS DE RENDIMIENTO DEL S&P
500
Variable dependiente: NEWRET_SPMtodo de estimacin: ML-ARCH
(Marquardt)Periodo muestral ajustado: 3-I-1963 / 21-XI-2003N de
observaciones: 10.667 despus de ajustar por los puntos
finalesConvergencia alcanzada despus de 22 iteracionesPrediccin
hacia atrs de la varianza: activada
Coeficiente Error estndar Estadstico-z Probabilidad
C 0,000301 6,67E-05 4,512504 0,0000
Ecuacin de la varianza
C 4,55E-07 5,06E-08 8,980473 0,0000ARCH(1) 0,028575 0,003322
8,602582 0,0000(RESID < 0)*ARCH(1) 0,076169 0,003821 19,93374
0,0000GARCH(1) 0,930752 0,002246 414,4693 0,0000
La serie de volatilidad generada por este modelo se puede ver en
elgrfico 8. La serie tiene ms picos que las volatilidades histricas
anualeso quinquenales, pero es menos variable que las volatilidades
de cincodas. Dado que est diseada para medir la volatilidad de los
rendimien-tos del da siguiente, es lgico formar intervalos de
confianza para los ren-dimientos. En el grfico 9, los rendimientos
se representan junto con
(3) Si el modelo est definido como ht = + ht1 + rt12 + rt12 Irt1
< 0, entonces las pondera-ciones son (1 /2, , , /2).
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ms/menos tres desviaciones tpicas TARCH. Claramente, los
intervalos deconfianza estn cambiando de una forma muy verosmil.
Una banda cons-tante sera demasiado ancha en ciertos periodos y
demasiado estrecha enotros. Los intervalos TARCH deberan tener una
probabilidad del 99,7 porciento de incluir la siguiente observacin
si en la realidad los datos se dis-tribuyeran normalmente. Se
esperara entonces que el siguiente rendi-miento estuviera fuera del
intervalo solamente en 29 de los ms de 10.000das. En realidad, hay
75, lo que indica que hay ms observaciones atpi-cas de lo que
podramos esperar de una distribucin normal.
El mercado de opciones contiene informacin adicional sobre la
vola-tilidad. El valor de las opciones negociadas depende
directamente de lavolatilidad del activo subyacente. Una cartera de
opciones creada con-cienzudamente con diferentes precios de
ejercicio tendr un valor quemide la estimacin del mercado de
opciones de la volatilidad futura bajosupuestos ms bien dbiles. El
clculo se realiza ahora por el CBOE paralas opciones S&P 500 y
se presenta como el VIX. Hay dos supuestos sub-yacentes en este
ndice que merece la pena mencionar. El proceso de losprecios debera
ser continuo y no debera haber prima de riesgo asociadaa los shocks
de volatilidad. Si estos supuestos son aproximaciones ade-cuadas,
las volatilidades implcitas pueden compararse con las
volatilida-des ARCH. Las volatilidades TARCH deben ser predicciones
a un mes, yaque esto representa la volatilidad promedio sobre la
vida de la opcin,que es la que debe compararse con las
volatilidades implcitas.
Grfico 8VOLATILIDADES GARCH
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,065 70 75 80 85 90 95 00
GARCHVOL
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Grfico 9INTERVALOS DE CONFIANZA GARCH:
TRES DESVIACIONES TPICAS
Grfico 10VOLATILIDADES IMPLCITAS Y VOLATILIDADES GARCH
0,10
0,05
0,00
-0,05
-0,10
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
3*GARCHSTD SPRENDIMIENTOS -3*GARCHSTD
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,01990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
VIX GARCHM
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PRCTICA FINANCIERA
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Los resultados estn representados en el grfico 104. El patrn
generales bastante parecido, aunque el TARCH est ligeramente por
debajo del VIX.Estas diferencias se pueden atribuir a dos causas.
En primer lugar, la relacinpara la valoracin de opciones no es del
todo correcta en esta situacin y notoma en cuenta ni la prima de
riesgo de volatilidad ni la posibilidad de ren-dimientos no
normales. Estos ajustes llevaran a precios de opciones mselevados
y, por lo tanto, a volatilidades implcitas que seran demasiado
ele-vadas. En segundo lugar, los modelos ARCH bsicos tienen
conjuntos deinformacin muy limitados. No usan informacin relativa a
los beneficios,las guerras, las elecciones, etc. De hecho, las
predicciones de volatilidad delos operadores deberan ser
normalmente superiores y las diferencias podr-an deberse a la
informacin sobre acontecimientos de larga duracin.
Este largo ejemplo ilustra muchas de las caractersticas de los
mode-los ARCH/GARCH y cmo se pueden usar para estudiar procesos de
vola-tilidad. Pasaremos ahora a la prctica financiera y
describiremos dos apli-caciones ampliamente utilizadas. En la
presentacin, ilustraremos algu-nas implicaciones novedosas de la
volatilidad asimtrica.
6. PRCTICA FINANCIERA: EL VALOR EN RIESGOCada maana, en miles de
bancos e instituciones de servicios financieros
del mundo entero, el Director de Gestin del Riesgo le presenta
al DirectorGeneral el perfil de riesgo del banco. Recibe una
estimacin del riesgo delconjunto de la cartera y del riesgo de
muchos de sus componentes. Normal-mente, sabr en ese momento cul es
el riesgo al que se enfrentan su Depar-tamento de acciones del
mercado europeo, su Departamento de deuda delestado, su Unidad de
divisas, su Unidad de derivados, etctera. Incluso, sepodran
detallar los riesgos por analistas financieros. Se le
proporcionaentonces una perspectiva general al sistema regulador,
aunque puede queno sea la misma que la empleada para fines
internos. El riesgo para la com-paa como conjunto es menor que la
suma de todas sus partes ya que lasdiferentes porciones del riesgo
no estarn correlacionadas perfectamente.
La medida tpica de cada uno de estos riesgos es el Valor en
Riesgo(Value at Risk), que a menudo se abrevia por VaR. El VaR es
una forma demedir la probabilidad de prdidas que podra sufrir la
cartera. El VaR a unda al 99 por ciento es un importe en dlares con
el que el director indicaque est seguro al 99 por ciento de que
cualquier prdida que pueda tenerlugar al da siguiente no superar
dicho importe. Si el VaR a un da deldepartamento de divisas es de
50.000 dlares, esto significa que el geren-te del riesgo afirma que
slo en un da de entre 100 habr perdidas supe-riores a 50.000 dlares
en esa cartera. Esto significa, por supuesto, que,aproximadamente,
en dos das y medio al ao las prdidas sern supe-riores al VaR. El
VaR es una forma de medir el riesgo que es fcil de enten-der sin
tener conocimientos de estadstica. Sin embargo, no es ms queun
cuantil de la distribucin predictiva y, por lo tanto, tiene
informacinlimitada sobre las probabilidades de prdida.
(4) El VIX est ajustado para un ao de 252 das de
transacciones.
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En ocasiones se define el VaR sobre una base de varios das. Un
VaRdel 99 por ciento a diez das es una cantidad de dlares superior
a la pr-dida realizada en la cartera a lo largo de diez das con
probabilidad 0,99.ste es un estndar comn en las normas vigentes,
pero se calcula nor-malmente ajustando simplemente el VaR a un da,
tal y como veremosms adelante. Las cifras de prdida suponen que la
cartera no cambia enel periodo de diez das, lo cual puede ir contra
los hechos.
Para calcular el VaR de una unidad de negocio o de una empresa
ensu conjunto, es necesario tener varianzas y covarianzas o, lo que
es lomismo, volatilidades y correlaciones para todos los activos
que seencuentran en la cartera. Normalmente, se considera que los
activos res-ponden principalmente a uno o ms factores de riesgo que
se modelandirectamente. RiskmetricsTM, por ejemplo, emplea unos 400
factores deriesgo mundiales. BARRA emplea factores de riesgo
industriales as comofactores de riesgo basados en las
caractersticas de la compaa y otrosfactores. Una cartera
diversificada de renta variable de Estados Unidostendra riesgos
determinados principalmente por los ndices agregadosde mercado como
por ejemplo el S&P 500. Seguiremos con el ejemplo dela seccin
anterior para calcular el VaR de una cartera que mimetice
elS&P.
El VaR a un da, y al 99 por ciento, del S&P se puede estimar
emple-ando el enfoque ARCH. Sobre la base de datos histricos, se
estima elmejor modelo, y luego se calcula la desviacin tpica para
el da siguien-te. En el caso de S&P del 24 de noviembre, esta
prediccin para la des-viacin tpica es de 0,0076. Para transformarlo
en VaR, tenemos que hacerun supuesto sobre la distribucin de los
rendimientos. Si suponemos nor-malidad, el cuantil del 1 por ciento
se sita a 2,33 desviaciones tpicas decero. As, el Valor en Riesgo
es 2,33 veces la desviacin tpica o, en el casodel 24 de noviembre,
el 1,77 por ciento. Podemos estar seguros al 99 porciento de que no
perderemos ms del 1,77 por ciento del valor de la car-tera el 24 de
noviembre. De hecho el mercado evolucion al alza el da 24,es decir
que no hubo prdidas.
El supuesto de normalidad es muy cuestionable. Hemos
observadoque los rendimientos financieros tienen una cantidad
sorprendente derendimientos altos. Si dividimos los rendimientos
por las desviacionestpicas TARCH, el resultado tendr una
volatilidad constante de uno, perotendr una distribucin no normal.
La curtosis de estos rendimientosdesvolatilizados o residuos
estandarizados es 6,5, lo cual es muy infe-rior a la curtosis
incondicional, pero sigue siendo bastante ms de la cur-tosis
normal. Con estos rendimientos desvolatilizados podemos encon-trar
el cuantil del uno por ciento y utilizarlo para dar una idea mejor
delVaR. Resulta ser 2,65 desviaciones tpicas por debajo de la
media. De estamanera, nuestra cartera es ms arriesgada de lo que
pensbamos con laaproximacin normal. El VaR a un da al 99 por ciento
se estima ahora enel 2 por ciento.
A menudo las agencias de regulacin requieren un VaR a diez das,
yse utiliza tambin frecuentemente a nivel interno. Por supuesto, la
canti-dad que puede perder una cartera en diez das es mucho mayor
de lo que
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puede perder en un da. Pero, cun mayor es? Si las volatilidades
fuesenconstantes, la respuesta sera simple; ser superior por un
factor multipli-cativo igual a la raz cuadrada de diez. Dado que la
varianza a diez das esdiez veces la varianza a un da, el
multiplicador de la volatilidad de diezdas sera la raz cuadrada de
diez. Cogeramos la desviacin tpica de unda y la multiplicaramos por
3,16 y, despus, la multiplicaramos, bajo elsupuesto de normalidad,
por 2,33, lo cual nos dara la desviacin estn-dar multiplicada por
7,36. sta es la solucin convencional en la prctica.Para el 24 de
noviembre, el VaR a diez das al 99 por ciento es el 5,6 porciento
del valor de la cartera.
Sin embargo, este resultado no tiene en cuenta dos
caractersticasmuy importantes de los modelos de volatilidad
dinmica. En primer lugar,no da lo mismo que las volatilidades
reales sean bajas o altas en relacincon la media a largo plazo, ya
que son predicciones de subidas o de baja-das para los prximos diez
das. Dado que la volatilidad es relativamentebaja en noviembre, el
modelo TARCH predecir un aumento para lossiguientes 10 das. En este
caso, este efecto no es muy grande porque sepredice que la
desviacin estndar aumente de 0,0076 a 0,0077 durante elperiodo de
10 das.
El efecto de asimetra en la varianza para rendimientos
multiperiodosresulta ms interesante. A pesar de que cada periodo
tiene una distribu-cin simtrica, la distribucin del rendimiento
multiperiodo ser asimtri-ca. Es fcil entender este efecto, pero no
ha sido reconocido en general.Se puede ilustrar fcilmente con un
rbol binomial en dos etapas (ver gr-fico 11), tal y como se hace en
los modelos bsicos de valoracin deopciones. En el primer periodo,
el precio del activo puede aumentar o dis-minuir y cualquier
resultado es igual de probable. En el segundo periodo,la varianza
depender de si el precio aument o disminuy. Si aument,la varianza
ser inferior, de tal manera que las ramas binomiales estarnbastante
prximas. Si el precio disminuy, la varianza ser superior, de
talmanera que los resultados estarn ms separados. Despus de los
dosperiodos, hay cuatro resultados que son igual de probables. La
distribu-cin ser bastante asimtrica, ya que el resultado malo es
mucho peorque el que se tendra si la varianza hubiera sido
constante.
Para calcular el VaR en este planteamiento, se necesita una
simula-cin. El modelo TARCH se simula para diez das utilizando
variables alea-torias normales y empezando con valores del 21 de
noviembre5. Esto sehizo 10.000 veces y se ordenaron los peores
resultados para encontrar elValor en Riesgo correspondiente al
cuantil del 1 por ciento. La respuestafue 7,89 veces la desviacin
tpica. Este VaR es bastante mayor que elvalor que obtendramos bajo
el supuesto de volatilidad constante.
(5) En este ejemplo, se inici la simulacin con la varianza
incondicional de tal manera queel efecto de agregacin temporal
puediese ser examinado de forma independiente.Adems, se estableci
la media en cero, pero esto no tiene mucho efecto en horizontestan
cortos
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Para evitar el supuesto de normalidad, la simulacin puede
hacersetambin empleando la distribucin emprica de los residuos
estandariza-dos. Esta simulacin se llama a menudo simulacin
bootstrap; cadaextraccin de las variables aleatorias tiene
exactamente la misma proba-bilidad de ser cualquier observacin de
los residuos estandarizados.Puede ser que la observacin del crac de
octubre de 1987 se extrajera unao incluso dos veces en algunas
simulaciones pero ninguna en otras. Elresultado es un multiplicador
de la desviacin tpica de 8,52 que se debe-ra usar para calcular el
VaR. En nuestro caso, para el 24 de noviembre, elVaR a diez das al
99 por ciento es el 6,5 por ciento del valor de la cartera.
Grfico 11RBOL BINOMIAL A DOS PERIODOS CON VOLATILIDAD
ASIMTRICA
Varianzabaja
Varianzaalta
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PRCTICA FINANCIERA
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7. PRCTICA FINANCIERA: LA VALORACIN DE OPCIONES
Otra rama importante de la prctica financiera es la valoracin y
lagestin de derivados como las opciones. stas se suelen valorar de
formaterica, suponiendo la existencia de un determinado proceso
para el acti-vo subyacente y, sobre dicha base, los precios de
mercado de los deriva-dos se infieren de los parmetros del proceso
que sigue el activo subya-cente. Esta estrategia se suele denominar
valoracin libre de arbitraje(arbitrage free pricing) y resulta
inadecuada para algunas de las tareasdel anlisis financiero. No
puede determinar el riesgo de una posicin enderivados porque cada
nuevo precio de mercado podra corresponder aun conjunto diferente
de parmetros y son justamente el tamao y la fre-cuencia de los
cambios en estos parmetros los que representan un ries-go. Por la
misma razn, es difcil encontrar estrategias ptimas de pro-teccin
contra el riesgo. Finalmente, no hay ninguna manera de determi-nar
el precio de una nueva emisin o determinar si ciertos derivados
seestn vendiendo con descuentos o con primas.
Un anlisis similar que, a menudo, se lleva a cabo por los
operadoresde derivados consiste en desarrollar modelos de valoracin
basados enlas variables fundamentales (fundamentals pricing
models), que determi-nan el precio apropiado para un derivado
basndose en las caractersticasdel activo subyacente. Estos modelos
podran incluir medidas del costede transaccin, del coste de
cobertura y del riesgo en la gestin de la car-tera de opciones.
En esta seccin se usar un modelo simple de valoracin de
opcio-nes basado en una simulacin para ilustrar el empleo de
modelos ARCHen este tipo de anlisis fundamental. El ejemplo ser la
valoracin deopciones put en el S&P 500, a las cuales les quedan
10 das para llegaral vencimiento.
Una opcin put proporciona al propietario el derecho de vender
unactivo, a su vencimiento, a un precio determinado, llamado precio
de ejer-cicio. De esta manera, si el precio del activo est por
debajo del precio deejercicio, puede ganar dinero vendiendo al
precio de ejercicio y compran-do a precio de mercado. El beneficio
ser la diferencia entre estos precios.Sin embargo, si el precio del
mercado es superior al precio de ejercicio,entonces la opcin no
tiene valor. Si el inversor posee el activo subya-cente en su
cartera y compra una opcin put, tendr la garanta de obte-ner como
mnimo el precio de ejercicio en el vencimiento. Por eso,
estasopciones pueden considerarse como contratos de seguro.
La simulacin funciona exactamente igual que en la seccin
anterior.El modelo TARCH se simula desde el final del periodo de la
muestra10.000 veces. Adoptamos el enfoque bootstrap, as que la no
normalidadest incorporada ya en la simulacin. Esta simulacin debera
ser de ladistribucin neutral al riesgo, es decir una distribucin en
la cual losactivos se valorasen en sus valores esperados
descontados. La distribu-cin neutral al riesgo difiere de la
distribucin emprica en aspectos suti-les, de tal manera que hay una
prima de riesgo explcita en la distribucinemprica, que no es
necesaria en la distribucin neutral al riesgo. En algu-
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nos modelos, como el de Black-Scholes, basta con ajustar la
media paraque sta sea la tasa libre de riesgo. Esto es lo que
haremos en el ejemplo.Se simula la distribucin con una media cero,
que se considera la tasalibre de riesgo. Como veremos ms adelante,
este ajuste podra ser nosuficiente como para obtener la distribucin
neutral al riesgo.
Con la simulacin, tenemos 10.000 resultados con igual
probabilidad paradiez das futuros. Podemos calcular el valor de una
determinada opcin putpara cada uno de estos resultados. Dado que
stos son igual de probables yque la tasa libre de riesgo se
considera igual a cero, la mejor estimacin delvalor intrnseco de la
opcin put es la media de estos valores. Esto se puedehacer para
opciones put con diferentes precios de ejercicio. El resultado
semuestra en el grfico 12. Se supone que el S&P empieza en
1.000 de talmanera que una opcin establecida con un precio de
ejercicio de 990 prote-ger ese valor por diez das. Esta opcin put
debera venderse por 11 dlares.El proteger la cartera en su valor
actual costara 15 dlares y asegurarse deque valiese al menos 1.010
nos costara 21 dlares. El VaR calculado en la sec-cin anterior
costaba 65 dlares para un horizonte de 10 das. Proteger la car-tera
en este nivel costara unos 2 dlares. Estos precios put tienen la
formaesperada; son montonos crecientes y convexos.
Grfico 12PRECIOS DE OPCIONES PUT OBTENIDOS CON LA SIMULACIN
GARCH60
50
40
30
20
10
0
PUT
920 960 1.000 1.040 1.080
K
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Grfico 13VOLATILIDADES IMPLCITAS OBTENIDAS CON LA SIMULACIN
GARCH
Sin embargo, estos precios son claramente diferentes de los
genera-dos por el modelo Black-Scholes. Esto se puede ver fcilmente
calculan-do la volatilidad implcita en cada una de estas opciones
put. Se puede verel resultado en el grfico 13. Las volatilidades
implcitas son superiorespara las opciones put fuera del dinero
(out-of-the money) que para lasopciones put cuyo precio de
ejercicio coincide con el precio del subya-cente (en el dinero,
at-the-money) y las volatilidades de las opciones putdentro del
dinero (in-the-money) son incluso inferiores. Si los precios delas
opciones put los generase el modelo Black-Scholes, estas
volatilida-des implcitas seran todas iguales. Este grfico de las
volatilidades impl-citas en funcin del precio de ejercicio es una
herramienta muy utilizadapor los que negocian opciones. La curva
decreciente recibe el nombre deasimetra de volatilidad (volatility
skew) y corresponde a una distri-bucin asimtrica de los activos
subyacentes. Esta caracterstica se mani-fiesta de una forma muy
pronunciada en las opciones sobre ndices, notanto en las opciones
sobre acciones individuales, y prcticamente no seda cuando se trata
de divisas, en cuyo caso se habla de sonrisa de vola-
0,168
0,164
0,160
0,156
0,152
0,148
0,144
PU
TIM
P
920 960 1.000 1.080
K
1.040
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tilidad (smile). Es evidente que se trata de una consecuencia
del mode-lo de volatilidad asimtrica y, por lo mismo, no se
encuentra asimetra enel caso de las divisas, y esta asimetra es ms
dbil cuando se trata deopciones sobre acciones individuales que
cuando son sobre ndices.
Esta caracterstica de los precios de las opciones constituye una
con-firmacin contundente de los modelos de volatilidad asimtrica.
Desgra-ciadamente, la historia es algo ms compleja que esto. La
verdadera asi-metra de las opciones es, por lo general, algo ms
fuerte que la que gene-ran los modelos asimtricos ARCH. Esto pone
en tela de juicio laneutralizacin del riesgo adoptada en la
simulacin. Existen cada vez mspruebas de que los inversores estn
particularmente preocupados por lasgrandes prdidas y estn
dispuestos a pagar primas extra para evitardichas prdidas. Esto
hace que la asimetra sea an mayor. La neutraliza-cin del riesgo
requerida la han estudiado diferentes autores, como JensC.
Jackwerth (2000), Joshua V. Rosenberg y Engle (2002) y David S.
Bates(2003).
8. NUEVAS FRONTERAS
Desde que se public el artculo del ARCH, han pasado ya ms de
20aos. Los desarrollos y aplicaciones que se han llevado a cabo han
idomucho ms all de las previsiones ms optimistas. Pero, qu
podemosesperar en el futuro? Cules sern las prximas fronteras?
Parece haber dos fronteras importantes para la investigacin,
queestn mereciendo la atencin de varios investigadores y que son
muyprometedoras respecto a las aplicaciones. Se trata de los
modelos devolatilidad de alta frecuencia y de los modelos
multivariantes de grandimensin. Har una descripcin breve de algunos
de los desarrollos pro-metedores en estos campos.
Es probable que fuese Merton el primero en destacar los
beneficios delos datos de alta frecuencia para el clculo de la
volatilidad. Examinandoel comportamiento de los precios de las
acciones en una escala de tiem-po cada vez ms reducida, se pueden
conseguir medidas de la volatilidadcada vez mejores. Esto resulta
muy til si la volatilidad cambia slo len-tamente, de tal manera que
se puedan ignorar las consideraciones din-micas. Andersen y
Bollerslev (1998a) destacaron que los datos intra-dia-rios podan
emplearse para medir la validez de los modelos de
volatilidaddiaria. Andersen et al. (2003) y Engle (2002b) sugieren
cmo se puedenemplear los datos intra-diarios para formar mejores
predicciones de lavolatilidad diaria.
Sin embargo, la pregunta ms interesante es cmo usar los datos
dealta frecuencia para obtener predicciones de volatilidad de alta
frecuencia.Al emplear observaciones de frecuencia cada vez ms
elevada, hay apa-rentemente un lmite dado por el periodo en el que
se observa y seemplea cada transaccin. Engle (2000) denomina a
estos datos con elrtulo de datos de frecuencia ultra-alta (ultra
high frecuency data).
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Estas transacciones ocurren a intervalos irregulares y no en
momentosequidistantes en el tiempo. En principio, se podra disear
un estimadorde la volatilidad que actualizase la volatilidad cada
vez que se registraseuna operacin. Sin embargo, incluso la ausencia
de operacin podra serinformacin til para la actualizacin de la
volatilidad, as que se podranhacer actualizaciones incluso ms
frecuentes. Dado que el momento enque llega una operacin es
aleatorio, la formulacin de modelos de vola-tilidad de frecuencia
ultra alta requiere un modelo del proceso de llegadade las
operaciones. Engle y Jeffrey R. Russell (1998) proponen para ello
elmodelo autorregresivo de duracin condicionada o modelo ACD
(Autore-gressive Conditional Duration). Es un modelo muy parecido a
los mode-los ARCH diseados para detectar el agrupamiento de
operaciones o deotros acontecimientos econmicos, que utiliza esta
informacin para pre-decir la probabilidad de llegada del siguiente
acontecimiento.
Muchos investigadores que realizan trabajos empricos en
microestructura de mercados estn estudiando ahora aspectos de los
mercadosfinancieros que tienen relevancia para este problema.
Resulta que cuan-do las operaciones se aglutinan la volatilidad es
ms alta. Las operacio-nes en s conllevan informacin que har que se
muevan los precios. Uncomprador de talla media o grande har que
suban los precios, por lomenos en parte, porque los agentes del
mercado pueden considerar quepodra tener informacin importante que
indique que la accin est sub-valorada. Este efecto recibe el nombre
de impacto del precio y es un com-ponente central de riesgo de
liquidez y una caracterstica clave de volati-lidad para datos de
frecuencia ultra-alta. Tambin constituye un elementode preocupacin
clave para los operadores que no quieren operar sisaben que tendrn
un impacto grande sobre los precios, especialmente sise trata slo
de un impacto temporal. A medida que los mercados finan-cieros se
informatizan, la velocidad y frecuencia de las operacionesaumenta.
Los mtodos de utilizacin de esta informacin, para lograr unamejor
comprensin de los fenmenos de volatilidad y de estabilidad deestos
mercados, sern cada vez ms importantes.
La otra frontera que promete, a mi parecer, grandes desarrollos
yaplicaciones es la de los sistemas de gran dimensin. En esta
presenta-cin me he centrado en la volatilidad de un nico activo.
Para la mayorade las aplicaciones financieras hay miles de activos.
Por tanto, necesita-mos no slo modelos de sus volatilidades sino
tambin de sus correla-ciones. Desde que se public el modelo ARCH
original se han propuestomuchos enfoques para sistemas
multivariantes. Sin embargo, no se hadescubierto todava la mejor
forma de hacerlo. Al aumentar el nmero deactivos, se vuelve
extremadamente difcil estimar los modelos y especi-ficarlos de
forma precisa. Bsicamente, existen demasiadas posibilida-des. Hay
pocas publicaciones con ejemplos de modelos con ms decinco activos.
El modelo de mayor xito para estos casos es el modelo decorrelacin
condicionada constante o CCC (Constant Conditional Corre-lation) de
Bollerslev (1990). Este estimador logra sus resultados
estable-ciendo el supuesto de que las correlaciones condicionadas
son constan-tes. Esto permite que las varianzas y covarianzas
cambien sin que lohagan las correlaciones.
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El modelo de correlacin condicionado dinmico, DDC
(DynamicConditional Correlation), de Engle (2002a), constituye una
generalizacinde este enfoque. Este modelo introduce un nmero
reducido de parme-tros para modelar las correlaciones,
independientemente del nmero deactivos. Las volatilidades estn
modeladas con especificaciones univa-riantes. De esta manera, se
pueden predecir grandes matrices de cova-rianzas. El investigador
empieza por estimar las volatilidades una poruna, y estima despus
las correlaciones conjuntamente con una cantidadreducida de
parmetros adicionales. La investigacin preliminar sobreeste tipo de
modelos resulta prometedora. Se han modelado sistemas dehasta 100
activos obteniendo buenos resultados. Las aplicaciones para
lagestin del riesgo y la asignacin de activos son inmediatas.
Muchosinvestigadores estn desarrollando ya modelos relacionados con
stosque podran dar incluso mejores resultados. No es descabellado
pensarque en los prximos aos contaremos con un conjunto de mtodos
ti-les para modelar las volatilidades y las correlaciones de
grandes siste-mas de activos.
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ABSTRACT
Optimal behaviour takes risks that are worthwhile. This is the
cen-tral paradigm of finance; we must take risks to achieve
rewardsbut not all risks are equally rewarded. Both the risks and
therewards are in the future, so it is the expectation of loss that
isbalanced against the expectation of reward. Thus we optimize
ourbehaviour, and in particular our portfolio, to maximize
rewardsand minimize risks. When practitioners implemented their
finan-cial strategies, they required estimates of the variances.
Typicallythe square root of the variance, called the volatility,
was reported.They immediately recognized that the volatilities were
changingover time. They found different answers for different time
periods.A simple approach, sometimes called historical volatility,
was,and remains, widely used. In this method, the volatility is
estima-ted by the sample standard deviation of returns over a
shortperiod. But, what is the right period to use? If it is too
long, thenit will not be so relevant for today and if it is too
short, it will bevery noisy. Furthermore, it is really the
volatility over a futureperiod that should be considered the risk,
hence a forecast of vola-tility is need as well as a measure for
today. Historical volatilityhad no solution for these problems. On
a more fundamental level,it is logically inconsistent to assume,
for example, that the varian-ce is constant for a period such as
one year ending today and alsothat it is constant for the year
ending on the previous day but witha different value. A theory of
dynamic volatilities is needed; this isthe role that is filled by
the ARCH models and their many exten-sions that we discuss today. I
will describe the genesis of theARCH model, and then discuss some
of its many generalizationsand widespread empirical support. In
subsequent sections, I willshow how this dynamic model can be used
to forecast volatilityand risk over a long horizon and how it can
be used to valueoptions.
Key words: Nobel lecture, risk, volatility, ARCH Model,
GARCHmodel, financial volatility, financial practice, value at
risk, valuingoptions.
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