ENGINEERING MECHANICS I: STATICS กลศาสตร์วิศวกรรม 1 ...

ENGINEERING MECHANICS I: STATICSกลศาสตรวศวกรรม 1: สถตยศาสตร

โดย อ.ดร. เจษฎาภรณ ปรยด ากลภาควชาวศวกรรมเครองกล

คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหดล

1

บทท 2 ระบบแรง (Force system)

1. ระบบแรงใน 3 มต2. การหาองคประกอบของแรงในแกนใดๆ 3. โมเมนตของแรง (Moment of a force) บนระนาบ 2 มต

4. โมเมนตของแรง (Moment of a force) บนระนาบ 3 มต5. โมเมนตยอยรอบแกนใดๆ

2




3

2.1 ระบบแรง ใน 3 มต

การหาแรง (cartesian vector), റ𝐅 ใน 3 มต1. เมอรขนาดของแรง(F) และรมมทก ากบแนวกระท าของแรง2. เมอรขนาดของแรง(F) และรจดทแนวแรงผาน 2 จด

4


(Ref. [1])

cos

cos

cos

x x

y y

z z

F F

F F

F F

1. การหาแรง, 𝑭 เมอรขนาดของแรง(F) และรมมทก ากบแนวกระท าของแรง

𝑭 = 𝐹𝑥𝒊 + 𝐹𝑦𝒋 + 𝐹𝑧𝒌

𝐹 = 𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦

2 + 𝐹𝑧2 (ขนาด, magnitude)

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 =𝐹𝑥

𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 =

𝐹𝑦

𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 =

𝐹𝑧

𝐹(ทศทาง, direction)

𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑦 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑧 = 1 (ใชกรณ รมมแค 2 มม)5


Unit vector (n) ม เปนเวกเตอร 1 หนวย

𝒏 =𝑭

𝐹=

𝐹𝑥𝐹𝒊 +

𝐹𝑦

𝐹𝒋 +

𝐹𝑧𝐹𝒌

= 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥i + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦j + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧k

Unit vector in Cartesian vector form

𝑭 = 𝐹𝒏

= 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 𝒊 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 𝒋 + 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 𝒌

= 𝐹𝑥𝒊 + 𝐹𝑦𝒋 + 𝐹𝑧𝒌6


Ref. (2) 7

ตวอยางท 2.1

Determine the magnitude and the coordinate direction angles of the resultant force acting on the ring.

Ans: F = 50i − 40j + 180k lb, F = 191 lb, α = 74.8°, β = 102°, 𝛾 = 19.6°

Ref. (2) 8


Express the force F as a Cartesian vector.

Ans: F = 35.35i − 35.35j + 86.6k Ib, F = 100 lb, α = 69.29°, β = 101.7°, 𝛾 = 30°

Ref. (2) 9


Two forces act on the hook. Specify the magnitude of 𝐹2 and its coordinate direction angles so that the resultant force 𝐹𝑅 acts along the positive y axis and has a magnitude of 800 N.

Ans: F2 = −212.13i + 650j + 150k N

Ref. (2) 10

2.1 ระบบแรง ใน 3 มต2. การหาแรง, 𝑭 เมอรขนาดของแรง(F) และรจดทแนวแรงผาน 2 จด

(1) หาเวกเตอร AB โดย

𝐀𝐁 = (x2-x1)i +(y2-y1)j +(z2-z1)k(2) หาเวกเตอร 1 หนวยของ AB โดย

nAB = 𝑨𝑩

𝐴𝐵; 𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1)

2+(𝑦2 − 𝑦1)2+(𝑧2 − 𝑧1)

2

(3) หาเวกเตอร റ𝐅 โดยറ𝐅 = F nAB

(Ref. [1]) 11


Express F as a vector in terms of the unit vectors i, j, and k. Determine the angle between F and the y-axis.

Ans: F = 18.85i − 23.57j + 51.85k N, F = 60 N, β = 113.13°

(Ref. [1]) 12

ตวอยางท 2.5The tension in the supporting cable AB is 10 kN. Write the force which the cable exerts on the boom BC as a vector T. Determine the angles θx, θy, and θz which the line of action of T forms with the positive x-, y-, and z-axes.

Ans: T = 4.06i − 7.6j + 5.07k kN, 𝜃𝑥= 66.05°, 𝜃𝑦= 139.46°, 𝜃𝑧= 59.54°

(Ref. [1])13

ตวอยางท 2.6The man pulls on the cord with a force of 70 lb. Represent this force acting on the support A as a Cartesian vector and determine its direction.

Ans: F = 30i − 20j − 60k Ib, 𝜃𝑥= 64.62°, 𝜃𝑦= 106.6°, 𝜃𝑧= 148.99°

Ref. (2) 14


The roof is supported by cables as shown in the photo. If the cables exert forces FAB = 100 N and FAC = 120 N on the wall hook at A, determine the resultant force acting at A . Express the result as a Cartesian vector.

Ans: FR = 150.67i + 40j − 150.67k N.

Ref. (2) 15


1. ระบบแรงใน 3 มต2. การหาองคประกอบของแรงในแกนใดๆ

3. โมเมนตของแรง (Moment of a force) บนระนาบ 2 มต


16

2.2 การหาองคประกอบของแรงในแกนใดๆ

การหาองคประกอบของแรงในแกนใดๆ โดยใชวธ Dot Product (เวกเตอร ดอท เวกเตอร เปน สเกลาร)

เพอ หามมระหวางแรง 2 แรง หรอ หาองคประกอบภาพฉาย (Projection of vector) ของแรงบนแกนใดแกนหนงCartesian Vector Formulation

1i i j j k k เนองจาก

0i j j i i k k i j k k j 17


1. การหามมระหวาง 2 แรง

ในกรณ ทผลการ Dot มคาเทากบ 0 โดยทเวคเตอรเรมตนไม

เทากบ 0 แสดงวา เวคเตอรท งสองตงฉากกน

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1𝑷 ∙ 𝑸

𝑃𝑄

𝑷 ∙ 𝑸 = 𝑃𝑄𝑐𝑜𝑠𝛼

18


2. การหาองคประกอบฉายของแรงบนแกนใดแกนหนงn เปนเวกเตอรหนงหนวยในแกนใดๆ ทไมอยในแนวของเวกเตอรแรง F

𝐹𝑛 = 𝑭 ∙ 𝒏 (ขนาด)

𝑭𝒏 = 𝐹𝑛𝒏 = 𝑭 ∙ 𝒏𝒏 (เวกเตอร)

(Ref. [1])19

ตวอยางท 2.8 แรง F มขนาด 100 N กระท าทจด O ของแกน x-y-z ดงภาพ โดยทเสนทางเวคเตอรผานจด 3 m 4 m และ 5 m

ใหหา (a) scalar component แนวแกน x, y, z Ans: Fx= 42.2 N, Fy= 56.57 N, Fz=70.72 N

(b) ใหหาภาพฉาย Fxy ของแรง F บนระนาบ x-y Ans: Fx𝑦= 70.7 N.

(c) ใหหาภาพฉายของ FOB ของแรง F บนเสนทาง OB Ans: FOB = 58.34i +58.34j +19.44k N

(Ref. [1])20

The access door is held in the 30o open position by the chain AB. If the tension in the chain is 100 N, determine the projection of the tension force onto the diagonal axis CD of the door.

Ans: TCD = 46 N, TCD = 23.9i − 36.8j + 13.8k N.


21(Ref. [1])

Determine the angle θ between the 200-N force and line OC.

Ans: 𝜃 = 54.9°


22(Ref. [1])


The pipe is subjected to the force of F= 80 lb. Determine the angle u between F and the pipe segment BA and the projection of F along this segment. Ans: 𝜃 = 42.45°, FBA = −39.35i − 39.35j + 19.67k Ib.

Ref. (2) 23




24

2.3-2.5 Moment of a Force

โมเมนต คอ ผลของแรงทกระท าตอวตถและพยายามจะหมนวตถนนรอบแกนใดแกนหนง โดยมหนวยเปน นวตนเมตร (N.m) และมทศทางเปนไปตามกฎมอขวา

ขนาดโมเมนตขนอยกบแรง (F) และ

ระยะทหางทตงฉากกบแรงนน (d)25

Ref. (2)




26

2.3 โมเมนตของแรง (Moment of a force) บนระนาบ 2 มต

การหาโมเมนตรอบจดใดๆ (Scalar formulation)

โมเมนต (N.m)

(ทศทางตามกฎมอขวา)

การหาโมเมนตรอบจดใดๆ (Vector formulation)

โมเมนตในรปเวกเตอร M= റ𝑟 × റ𝐹 (N.m)

M = Fd

(Ref. [1])27


โมเมนตลพธ ณ จด o (Scalar formation)

Ref. (2) 28


Determine the resultant moment of the four forces acting on the rod about point O Ans: M = 333.92 N.m ทศทางตามเขมนาฬกา

Ref. (2) 29


Calculate the magnitude of the moment about the base point O of the 600-N force. Ans: M = 2609 N.m ทศทางตามเขมนาฬกา

(Ref. [1])30


Determine the moment of the force about point O.

Ans: Mo= 14.49 N.m ทศทางตามเขมนาฬกา

Ref. (2) 31




32


การแกปญหาสามมตเพอหาโมเมนต สามารถท าไดงายโดยวธการเวคเตอร (Vector

formulation) โดยสามารถหาไดจาก Cross product

Cartesian Vector Formulation M r F

Ref. (2)

33


การหาโมเมนตรอบจดใดๆ

𝑀𝑜 = 𝑟1 × റ𝐹 = 𝑟2 × റ𝐹 = 𝑟3 × റ𝐹

M r F

Ref. (2) 34


การหาโมเมนตรอบจดใดๆ

(Ref. [1])

M r F

35


หลกการของโมเมนต (Varignon’s Theorem) โมเมนตของแรงลพธเทากบผลรวมโมเมนตของแรงยอยรอบแกนหมนเดยวกน

36


Determine the moment produced by the force F about point O . Express the result as a Cartesian vector.

Ans: Mo = -16.5i + 5.5j kN.m

Ref. (2) 37


Two forces act on the rod. Determine the resultant moment they create about the flange at O. Express the result as a Cartesian vector.

Ans: (𝑀𝑜)𝑅 = 30i - 40j + 60k Ib.ft

Ref. (2) 38


A tension T of magnitude 10 kN is applied to the cable attached to the top A of the rigid mast and secured to the ground at B. Determine the moment Mz of T about the z-axis passing through the base O.

Ans: Mo = 63.6i – 84.9k kN.m, Mz= -84.9 kN.m

(Ref. [1]) 39




40

2.5 โมเมนตยอยรอบแกนใดๆ

Mλ คอ โมเมนตยอยของ Mo รอบแกน λ ใดๆ ทผานจด O

การหา Mλขนาด 𝑀λ = 𝑴𝒐 ∙ 𝑛 = റ𝑟 × റ𝐹 ∙ 𝑛

เวกเตอร 𝑴λ = 𝑀λ𝑛 = (റ𝑟 × റ𝐹 ∙ 𝑛)𝑛

41


Determine the moment MAB produced by the force F, which tends to rotate the rod about the AB axis. Ans: MAB = 72.07i +36.04j N.m

xD

Ref. (2) 42

[1] J.L. Meriam, L,G, Kraige, Engineering Mechanics: Statics.

[2] R.C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics.

เอกสารอางอง

43

ENGINEERING MECHANICS I: STATICS กลศาสตร์วิศวกรรม 1 ...

Documents