Enfoque Para Las Matematicas

179Revista Educacin y Pedagoga, vol. 23, nm. 59, enero-abril, 2011

Educacin matemtica: enfoque sociocultural

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* Docente e integrante del Grupo de In-vestigacin Matemtica, Educacin y Sociedad (MES), de la Facultad de Edu-cacin de la Universidad de Antioquia.

E-mail: [email protected], [email protected]

Una estrategia didctica para las matemticas escolares desde el enfoque de situaciones problemaJohn Jairo Mnera Crdoba*

Una estrategia didctica para las matemticas escolares desde el enfoque de situaciones problema

En este artculo se presenta una experiencia de aula sustentada desde el enfoque de situaciones problema, a partir de las cuales se ha implementado una organizacin particular de la clase de matemticas que viene contribuyendo al mejoramiento de las relaciones entre el docente, el estudiante y el conocimiento matemtico. La mis-ma ha puesto de manifiesto que es una alternativa para que el maestro transforme su manera de desempearse en el aula, en el alumno desarrolla autonoma para acceder a la construccin de relaciones matemticas y permite que los conocimientos mate-mticos sean reorganizados a travs de diferentes representaciones, las cuales dotan de significado los aprendizajes conceptuales y procedimentales de los estudiantes.

Palabras clave: Matemtica escolar, pedagoga activa, situaciones problema, estra-tegia didctica en educacin matemtica.

A didactic strategy for school mathematics, from the perspective of problem situations

This article presents a classroom experience with the perspective of problem situa-tions, based on which a particular organization of the math classroom has been implemented in order to contribute to the improvement of the relations between teachers, students, and mathematical knowledge. This experience appears as an al-ternative for teachers to transform their behavior inside the classroom, and for the students to develop autonomy for the construction of mathematic relations; it also allows mathematical knowledge to be rearranged by means of different representa-tions, which make the students conceptual and applied learning more meaningful.

Key words: School mathematics, active pedagogy, problem situations, didactic strategy in math education.

Une stratgie didactique pour les mathmatiques scolaires depuis lapproche de situations- problme

Dans cet article une exprience de classe est prsente, soutenue depuis lapproche de situation-problme partir des quelles une organisation particulire de la clas-se de mathmatiques a t mise en marche et qui contribue lamlioration des rapports entre lenseignant, ltudiant et la connaissance mathmatique. Cela a montr que cest un choix afin que lenseignant transforme sa manire dagir dans la classe, ltudiant dveloppe lautonomie pour avoir accs la construction des rapports mathmatiques et elle permet que les connaissances mathmatiques soient rorganises travers reprsentations diffrentes qui dotent de signification les apprentissages conceptuels et procduraux des tudiants.

Mots cls: Mathmatique scolaire, pdagogie active, situation-problme, stratgie didactique en ducation mathmatique.

180 Revista Educacin y Pedagoga, vol. 23, nm. 59, enero-abril, 2011

TIntroduccin

ras una dcada de implementacin de los lineamien-tos curriculares para las matemticas del sistema es-colar en Colombia, persisten discusiones, en los dife-

rentes colectivos de maestros y comunidades acadmicas, en torno al mejoramiento del currculo de las matemticas esco-lares. Las diversas reflexiones reconocen la necesidad de unos contenidos bsicos para ser reorganizados desde contextos significativos que posibiliten a los estudiantes la construccin de aprendizajes matemticos y el desarrollo de procesos pro-pios de la actividad matemtica.1

En este sentido, la contribucin, desde distintos trabajos de investigacin, al currculo de matemticas se viene caracteri-zando por el establecimiento, en el aula, de nuevas relaciones entre los conocimientos matemticos, el estudiante y el pro-fesor, las cuales empiezan a tejerse desde prcticas propias de la pedagoga activa, en la medida en que sta privilegia la actividad matemtica del alumno asistida por un experto, el maestro, para ayudarle a estructurar ideas matemticas me-diante diferentes formas de expresin de los conceptos.

Una alternativa para dinamizar la enseanza y el aprendizaje de las matemticas escolares puede ser el enfoque de situacio-nes problema, ya que los estudiantes, al incursionar en stas, desarrollan niveles amplios de participacin, ponen en juego su saber previo y reorganizan, con ayuda de sus compae-ros y el docente, una red dinmica de relaciones conceptuales en funcin de la nueva informacin. Es decir, las situaciones problema se vuelven un contexto para la construccin de sig-nificados de los conceptos, en el que se recrean las actividades individual y colectiva, se autocontrolan los procesos de pen-samiento matemtico y se sistematizan los nuevos aprendi-zajes.

En este texto se presentan algunas reflexiones que el autor ha venido consolidando desde la implementacin de situa-ciones problema en su planeacin de clases de matemticas en la educacin bsica secundaria. stas son el resultado de las interrelaciones entre su propia prctica, los autores con-sultados y el anlisis del trabajo de los estudiantes. Para ello, se establecen inicialmente unos referentes tericos asociados

1 Parafraseando a Salvador Llinares, la idea de actividad matemtica est configurada por procesos ma-temticos como construir, buscar regularidades, conjeturar / formu-lar, probar, generalizar, proponer problemas y clasificar / definir.



a las situaciones problema; luego, se enuncia la estrategia didctica implementada y, por ltimo, se documenta una de las situaciones problema que motiv la sistematizacin de este trabajo.

Referentes tericos

Las situaciones problema en las matemticas escolares

Una situacin problema es un espacio para la actividad matemtica, en donde los estudian-tes, al participar con sus acciones exploratorias en la bsqueda de soluciones a las problem-ticas planteadas por el docente, interactan con los conocimientos matemticos y a partir de ellos exteriorizan diversas ideas asociadas a los conceptos en cuestin.

La construccin de situaciones problema exi-ge, al maestro, tener dominio del saber ma-temtico, para recontextualizarlo de acuerdo con los saberes previos y las condiciones cog-nitivas de sus estudiantes; y, luego, decidir las actividades que van a orientar la interaccin de estos con los conceptos.

Las situaciones problema dinamizan la acti-vidad del estudiante y orientan su manera de pensar respecto a las actividades planteadas y los conceptos implcitos en las mismas. Para Luis Moreno y Guillermina Waldegg:

La situacin problema es el detonador de la actividad cognitiva, para que esto suceda debe tener las siguientes caractersticas: Debe involucrar impl-citamente los conceptos que se van a aprender. Debe representar un ver-dadero problema para el estudiante, pero a la vez, debe ser accesible a l. Debe permitir al alumno utilizar co-nocimientos anteriores [...] (2002: 56).

Por lo tanto, para motivar a los alumnos a las exploracin de ideas y la negociacin de sig-

nificados con los dems compaeros, las si-tuaciones no pueden ser demasiado abiertas, dado que son las responsables de establecer las relaciones entre las ideas de los estudian-tes y del profesor, teniendo como referente los conocimientos matemticos que, en defi-nitiva, son los encargados de dinamizar las interacciones (Mnera, 2009).

Tambin es caracterstico de una situacin pro-blema contextualizar procesos de razonamien-to que permiten particularizar, generalizar, conjeturar, verificar, utilizar algoritmos, for-mular y validar hiptesis.

Desde esta perspectiva, la mirada tradicional de la matemtica como una ciencia formal, presentada de manera axiomtica y estructu-ral para que los alumnos la reproduzcan pasi-vamente, es transformada desde un punto de vista escolar por una nueva visin del cono-cimiento matemtico. Esa visin la comparti-mos con Guy Brousseau, cuando afirma:

Saber matemticas no es solamen-te saber definiciones y teoremas para reconocer la ocasin de utilizarlos y aplicarlos, es ocuparse de problemas que, en un sentido amplio, incluye tan-to encontrar buenas preguntas como encontrar soluciones. Una buena re-produccin, por parte del alumno, de la actividad matemtica exige que este intervenga en dicha actividad, lo cual significa que formule enunciados y pruebe proposiciones, que construya modelos, lenguajes, conceptos y teo-ras, que los ponga a prueba e inter-cambie con otros, que reconozca los que estn conforme a la cultura mate-mtica y que tome los que le son tiles para continuar su actividad (citado en Chamorro et l., 2003: 36).

Los contenidos matemticos siempre van a estar presentes en el currculo escolar. Lo que hace el enfoque problmico es abandonar la presentacin lineal y acrtica de objetos ma-


temticos, para darle paso a la construccin de conocimientos matemticos a travs de la creacin de sistemas de representacin y, por consiguiente, vincularlos en un espacio don-de los estudiantes interacten y construyan significados, de manera compartida, para los conceptos.

La participacin de los estudiantes en la cons-truccin de aprendizajes desde un enfoque problematizador les exige desplegar la activi-dad mental para poder poner en accin los saberes previos a partir de los cuales pueden iniciar procedimientos de exploracin y siste-matizacin de ideas matemticas implcitas en la situacin. Es decir, las situaciones problema dinamizan la actividad de los estudiantes, en la medida en que les orienta su modo de pen-sar en contextos particulares, apareciendo as procesos de razonamiento y de comunicacin mediados por diferentes formas de represen-tacin de los conceptos.

Es esencial no confundir jams los ob-jetos matemticos, es decir, los nmeros, las funciones, las rectas, etc., con sus representaciones, es decir las escritu-ras decimales o fraccionarias, los sm-bolos los grficos, los trazados de las figuras pues un mismo objeto mate-mtico puede darse a travs de repre-sentaciones muy diferentes (Duval, 2004: 14).

En dichas situaciones se generan espacios para el dilogo, la confrontacin y la nego-ciacin de significados, entre estudiantes y profesor, desde los cuales surgen formas de representacin que posibilitan modos de ra-zonar y comunicar relaciones matemticas. Un enfoque problematizador de las matem-ticas escolares involucra, de manera natural, procesos de comunicacin mediados por los diferentes sistemas de representacin utili-zados por los estudiantes, los cuales los dota de nuevas formas expresivas para los objetos, permitiendo paulatinamente extender las re-des conceptuales.

Los alumnos que tiene oportunidades, incentivo y apoyo para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de mate-mticas, se benefician doblemente: co-munican para aprender matemticas y aprenden a comunicar matemtica-mente (National Council of Teachers of Mathematics 2000: 64).

Las situaciones problema son las encarga-das de generar un espacio de interaccin, de modo que los estudiantes dinamicen la acti-vidad matemtica desde diferentes negocia-ciones significativas, para comunicarse desde conocimientos matemticos.

Los sistemas de representacin no cumplen tan solo una funcin de co-municacin sino que tambin ofrecen un medio para el tratamiento de la in-formacin y son fuente de generacin de significados (Moreno y Waldegg, 2002: 58).

Es decir, los sistemas de representacin del conocimiento matemtico se convierten en formas de hablar de l, contribuyendo a que se incremente la fluidez y la capacidad expre-siva de los estudiantes para relacionarse con las ideas matemticas; esto se debe a que se han creado otros medios de representacin soportados en esas nuevas formas de razonar y de comunicar relaciones matemticas.

Cada que se construye una nueva representa-cin para un concepto se amplan las formas de relacionarse con l y el abanico de signifi-cados. As, los conceptos dejan de ser iner-tes, para asumir nuevas funciones, mediadas por las redes conceptuales que se generan. De esta manera, las matemticas escolares se van consolidando con sus modos de representa-cin en contextos sociales particulares.

Las situaciones problema pueden asumir-se, entonces, como un instrumento de ense-anza y de aprendizaje que propicia, en los estudiantes, niveles de conceptualizacin y




formas de simbolizacin de acuerdo con los significados para los conceptos que se van construyendo. Para ello es importante esta-blecer relaciones entre los conceptos, a modo de redes conceptuales.

La red conceptual es una especie de malla, don-de los nudos son el centro de las distintas rela-ciones existentes entre los conceptos asociados a los conocimientos que la situacin permite trabajar. La estructura y el desarrollo de la red dinamizan el currculo de las matemticas, en tanto eliminan el carcter lineal, absoluto y acabado de las temticas. Por el contrario, s-tas son activadas por los distintos significados entre ellas.

En este sentido, Orlando Mesa plantea que:

Una red conceptual requiere de innova-ciones y contactos inesperados. Se cons-truye momentneamente para buscar significados nuevos. No es deductiva sino constructiva; es decir pueden apa-recer relaciones no establecidas por el saber aceptado y organizado por la cul-tura formal [...]. Para iniciar una red con-ceptual es necesario conocer sobre el sa-ber especfico. Cules son los conceptos fundamentales que lo definen? Qu re-laciones significativas se imponen desde la informacin aceptada por la cultura? Qu otras relaciones podran estable-cerse? (1997: 22).

La red conceptual es la encargada de que el proceso de exploracin genere, cada vez ms, relaciones entre los conceptos, y que los pro-cesos de actividad matemtica no se agoten inmediatamente. Es decir, la red puede exten-derse desde los distintos nudos (conceptos) a otras nuevas relaciones de conocimientos matemticos, posibilitando la motivacin ha-cia nuevas representaciones para los objetos involucrados (Mnera, 2001: 29).

La red de relaciones entre conceptos y estructuras matemticas es prcti-

camente inagotable, permite generar continuamente nuevos procedimien-tos y algoritmos; no es posible pues dar por terminado el dominio de nin-gn concepto en un breve perodo de tiempo, ni pretender que se logre au-tomticamente una conexin signifi-cativa entre un conocimiento nuevo y aquellos conocimientos previamente establecidos (Ministerio de Educacin Nacional, 1998: 31).

Cada actividad o pregunta puede abrir nue-vas relaciones, bien sea entre los mismos con-ceptos u otros, dando lugar a nuevas repre-sentaciones. Las actividades y las preguntas deben orientar la movilizacin de los sabe-res previos que poseen los estudiantes para construir relaciones conceptuales, es decir, las problemticas planteadas se vuelven la ruta dinamizadora de los procesos de enseanza, vinculando la actividad cognitiva del estudian-te, fundamental para su propio aprendizaje. Esto es posible si se promueve, en el desarro-llo de la situacin, la bsqueda de diferentes estrategias, respuestas, relaciones, maneras de explicacin y representacin, y formula-cin de conjeturas.

La actividad de problematizar el apren-dizaje es un aspecto esencial para que los estudiantes pongan en juego sus recursos matemticos y puedan valo-rar las cualidades de las diversas estra-tegias o formas de resolver un proble-ma (Santos, 2002: 164).

Caracterizacin de las relaciones didcticas en el aula de clases

La situacin problema se vuelve el medio para que se tejan nuevas relaciones fun-damentales en el proceso de construccin de conceptos entre la trada: estudiante, profe-sor y conocimiento matemtico. Es decir, cada uno de los elementos de la trada asume un determinado rol en las actividades orientado-ras de la construccin de aprendizajes.


El estudiante orienta sus acciones, desde sus saberes previos, hacia la construccin de es-trategias para resolver las situaciones plan-teadas. Aqu sus modos de pensar se dinamizan para iniciar la construccin de significados para las ideas conceptuales implcitas y la negocia-cin de los mismos con sus compaeros, lo que los pone en situacin de debate y confronta-cin como pares. Es decir, en estos procesos, el estudiante necesita usar niveles de representa-cin y diferentes argumentos para comunicar sus resultados. Adems, tiene la oportunidad de replantear sus ideas a travs de procesos de autoevaluacin y heteroevaluacin. Aqu el logro a esperar es que el alumno alcance una nueva capacidad expresiva para sistema-tizar, con ayuda del docente, los nuevos co-nocimientos.

El docente cambia su rol protagnico respecto a la idea de ser el poseedor nico del saber. El hecho de que una situacin oriente la forma de pensar del estudiante, en cuanto a una se-rie de conceptos involucrados en las activida-des, hace que el profesor deba transformar las relaciones con los conocimientos y los alum-nos, en la medida en que debe acercarse al conocimiento de las condiciones cognitivas, sociales y culturales de sus estudiantes para poder disear situaciones problematizadoras de los conceptos y las relaciones matemticos. Es decir, el docente se hace par del alumno, tejiendo una relacin de corte dialgico, dado que las nuevas formulaciones y preguntas de los aprendices conllevan a una reconfigura-cin de los conocimientos que posee y a asu-mir otra actitud en el aula, de tal manera que oriente los procesos en funcin del aprendi-zaje, y no slo a travs de procesos de ense-anza.

El conocimiento matemtico ya no entra al aula desde una organizacin jerrquica y formal propia del saber cientfico, sino que ingresa de manera contextualizada, a travs de diferen-tes formas de representacin y de conexiones entre las mismas, que lo hace construible con significados particulares de acuerdo con los

contextos y las situaciones que lo generan. Es decir, el conocimiento matemtico, desde las matemticas escolares, podemos interpretarlo como una construccin social, consecuencia de procesos de actividad matemtica en con-textos sociales particulares. En este sentido, el conocimiento matemtico, como sus formas de representacin, no es externo a los sujetos que aprenden; por tanto, es una construccin so-cial que tambin depende de los espacios que lo producen. Al respecto, Luis Rico expresa:

Las representaciones matemticas son construcciones sociales. La construc-cin social ubica al conocimiento, la cognicin y las representaciones en los campos sociales de su produccin, distribucin y utilizacin. El conocimien-to cientfico es constitutivamente so-cial debido a que la ciencia est social-mente orientada y los objetivos de la ciencia estn sostenidos socialmente. El conocimiento matemtico como todas las formas de conocimiento, re-presenta las experiencias materiales de personas que interactan en en-tornos particulares, culturas y perio-dos histricos (citado por Chamorro et l., 2003: 17).

La estrategia didctica en el aula

En adelante se presenta la estrategia seguida para la enseanza y el aprendizaje de las ma-temticas escolares desde el enfoque de situa-ciones problema, que el autor viene imple-mentando en la educacin bsica secundaria en la ltima dcada. Esta estrategia se realiza en dos fases: una es la planeacin de la clase y la otra est relacionada con la interaccin en el aula como tal.

Fase de planeacin

Para su elaboracin se atiende la estructura curricular propuesta en los Lineamientos cu-




rriculares, (Ministerio de Educacin Nacional, 1998), donde se integran contenidos bsicos, procesos propios de la actividad matemti-ca y los contextos. Los contenidos bsicos lo numrico, geomtrico, mtrico, variacional y aleatorio se consideran como la fuente para seleccionar la red de conceptos y las re-laciones matemticas que se han de trabajar. Los procesos permiten ver caractersticas del aprendizaje logrado, expresado en las for-mas de razonar, comunicar y de resolver las situaciones. Los contextos tienen que ver con los ambientes propiciados para la actividad matemtica; en este orden de ideas, son las si-tuaciones problema las que van a permitir, en los estudiantes, la construccin conceptual, la aplicacin de procedimientos y sus desempe-os con lo que aprenden.

Tambin forma parte de esta etapa la consi-deracin del saber previo de los estudiantes, pero no se indaga, como suele hacerse nor-malmente, a travs de un taller de ejercicios y problemas sin ninguna conexin, para luego calificar y emitir juicios. Se trata es de dise-ar las situaciones de modo que los alumnos, en los intentos de generar una estrategia de solucin a las problemticas planteadas, pue-dan exteriorizar ese bagaje de ideas, precon-ceptos, procedimientos y habilidades que son bien diferentes en cada estudiante para entrar en contacto con los nuevos conoci-mientos matemticos.

Esta fase finaliza con la sistematizacin de la gua que contiene las situaciones para la cons-truccin conceptual, las actividades para la ampliacin o aplicacin de las comprensiones obtenidas y aquellas que permitirn identifi-car los desempeos de los estudiantes con los aprendizajes construidos.

Fase de interaccin en el aula

Esta fase est mediada por los siguientes mo-mentos:

1. Trabajo grupal. Los estudiantes se organi-zan en equipos y generan un espacio de

discusin con base en una primera gua, denominada taller introductorio. Es el mo-mento donde los estudiantes, de manera colectiva, ponen en interaccin el saber previo con el nuevo. Aqu el dilogo les permite entrar en procesos de confronta-cin, argumentacin y de negociacin de significados. Tambin se ven obligados a tomar decisiones, en cuanto a las formas de comunicar sus elaboraciones, las cuales, desde el enfoque problmico, tiene que ver con habilidades para razonar y argumen-tar los porqus de los procesos y redactar las conclusiones ms pertinentes.

El profesor asume el papel de facilitador, pasa por los diferentes equipos observan-do las formas de proceder de los alum-nos, confrontando las producciones con nuevas preguntas y creando condiciones para que ellos mismos se interroguen e indaguen sus soluciones (no respuestas).

De una u otra manera, en este momen-to se inicia un proceso evaluativo, en el sentido en que se observa y se valoran las elaboraciones, desde la diferencia de los grupos, para contribuir en procesos de mejoramiento. As, las formas de evaluar entran en consonancia con las formas de ensear y de aprender.

2. Socializacin colectiva. Despus de un tiempo adecuado de trabajo en equipo una o dos sesiones de clase (ello depen-de de las particularidades de las situacio-nes) se realiza una plenaria, orientada por el profesor, en la que los distintos apor-tes de los estudiantes permiten comparar los variados procedimientos llevados a cabo. En este espacio se organizan siste-mticamente las relaciones matemticas y los conceptos implcitos en la situacin.

Este momento es conocido en el campo de la didctica como la institucionalizacin del saber. Aqu el maestro interacta signi-ficativamente, ya que le compete organi-zar, sistematizar, dar cuerpo y estructura a los conceptos y las relaciones que estaban


implcitos en las actividades y que son ob-jeto de aprendizaje.

Esta etapa se constituye quizs en un elemento fundamental del tra-bajo, ya que en la institucionalizacin del saber el profesor organiza, siste-matiza, da cuerpo y estructura a los objetos matemticos que se quera fueran objeto de aprendizaje en los alumnos a travs de las situacio-nes problema. En este momento, el maestro retoma la responsabilidad del trabajo, pues debe organizar de manera clara los objetos de cono-cimiento matemtico presentes en la situacin y as, ayudar a los es-tudiantes a organizar los esquemas generales de pensamiento a travs de los cuales estructura su conocimien-to (Mnera y Obando, 2003: 197).

3. Espacio de ejercitacin. Tras la socializa-cin, los alumnos abordan, en equipo, otras actividades (conocido por los estu-diantes como un taller de aplicacin), con el fin de que puedan revisar el grado de com-prensin de los conceptos y las relaciones construidas desde el taller introductorio y su respectiva plenaria. El nfasis aqu es fortalecer, desde otras actividades, la fluidez conceptual y procedimental, ms que plantear, como ocurre convencional-mente, ejercicios para aplicar de manera mecnica.

Se trata de poner en contexto el desarrollo de habilidades de tipo numrico, mtrico, geomtrico, algebraico (variacional) inter-pretativo y analtico, en vnculo con las ideas ya sistematizadas.

Este taller tambin es discutido colectiva-mente, con el propsito de compartir di-ferentes estrategias, aclarar dificultades y retomar elementos conceptuales que per-mitan mejorar formas de representacin, simbolizacin y de comunicacin de sus construcciones.

4. Indagacin de resultados. Desde los mis-mos trabajos generados en los talleres intro-ductorios y de ejercitacin, la evaluacin est implcita. A travs de la asesora a los gru-pos, se observan los avances en las concep-tualizaciones de los alumnos. Las plenarias colectivas se vuelven espacios tanto para valorar las ideas presentadas oralmente por los estudiantes, como para interpre-tar sus distintas formas de comunicarlas. Desde el comienzo de la intervencin se recogen elementos sobre los modos de apropiacin del conocimiento y a partir de estos se deciden las nuevas orientacio-nes que permitan la cualificacin de los procesos.

Con el propsito de que los estudiantes tomen mayor conciencia de sus avances, y de tener un mejor acercamiento a las caractersticas de los aprendizajes de cada alumno, se les aplica, de manera indivi-dual, un tercer taller, denominado taller de indagacin. Desde ste, el estudiante tiene la oportunidad de autoevaluarse respecto a sus logros y de comprender la necesi-dad de realizar otras actividades que le permitan mejorar aspectos conceptuales y procedimentales.

En una posicin pedaggica orientada en los fundamentos de las situaciones pro-blema, la evaluacin empieza a tomar cuerpo dentro de las mismas situaciones diseadas, de manera tal, que el trmino evaluacin empiece a hacerse invisi-ble, en la medida que no perdamos de vista que las aproximaciones a las solu-ciones (no respuestas) acertadas o con errores son canalizadoras del aprendizaje y, a la vez, para que den luz verde a los procesos de matematizacin siguientes. La evaluacin puntual, casi siempre al fi-nal de un bloque de contenidos, empieza a reorganizarse para privilegiar una eva-luacin ms integral, caracterizada por procesos en los que se tienen en cuenta aspectos conceptuales, procedimentales y actitudinales.




Las situaciones planteadas en el aula y resultados obtenidos

A un grupo de estudiantes de grado 7. de la Institucin Educativa Pedro Luis lvarez Correa se le plante la siguiente situacin: en una fiesta se encontraron un total de 36 nios y todos se saludaron mutuamente, estrechn-dose la mano. Cuntos saludos (apretones de mano) hubo en total?

Algunas de las preguntas orientadoras fueron:

Si el encuentro fuera de 2 nios, cuntos saludos (apretones de mano) surgiran? Represente grficamente la situacin.

Para el caso de 3 nios, cuntos saludos surgen? Realice una representacin de la situacin.

Analice el total de saludos para un en-cuentro de 4 y 5 nios respectivamente. Represente la situacin en cada caso.

Organice los datos en una tabla y encuen-tre todas las posibles conclusiones, de modo que pueda utilizarlas para calcular el total de saludos entre los 36 nios.

La actividad fue motivada por el propsito de construir relaciones numricas desde la observacin de regularidades, por parte de los estudiantes, a partir de representaciones geomtricas y tablas de datos, construidas desde sus exploraciones. A nivel de conteni-dos curriculares, el nfasis se orientaba hacia la red de relaciones conceptuales asociadas al saber escolar en el campo de lo numrico, va-riacional y geomtrico.

Lo primero que hicieron los estudiantes fue simular los saludos para pequeas cantida-des de alumnos; esto se observaba cuando se estrechaban las manos controlando que no se repitieran saludos. Como se encontraban en equipos de tres estudiantes, se unan con

otros de ellos, para hacer la simulacin con una cantidad superior a tres nios. Esta primera accin de corte ldico les orient, de mane-ra natural, unas primeras representaciones; todas apuntaban a figuras en forma de pol-gonos; slo variaban en sutilezas propias del mundo icnico de los nios: lo que era un vrtice para unos, era una carita para otros (vase figura 1).

Cuando se entr en la etapa de socializacin, uno de los alumnos explic al resto del grupo las elaboraciones de su equipo. Aqu fue muy importante acompaarlo y retomar su traba-jo, para contribuir a la comprensin por los otros estudiantes.

Es de aclarar que la relacin que aparece en la figura como una conclusin, entre el n-mero de nios y el total de saludos, fue co-mn en todos los grupos, pues slo variaba en la manera de expresarla. Lo que all apa-rece significativo es: el resultado de sumar la cantidad de personas con el total de saludos entre ellas, corresponde a la cantidad de salu-dos que surgen entre la cantidad siguiente de personas. Con una mirada detenida a los da-tos se puede reconocer que efectivamente es as. Por ejemplo: al saludarse 4 personas entre s, surgen 6 saludos; luego, 4 + 6 = 10, y 10 es el total de saludos que se generan al saludarse 5 personas.

Un integrante de otro equipo procedi a ex-poner la manera de hacerlo para una canti-dad impar de personas y lo ilustr claramente para varias cantidades impares de nios (va-se figura 2). Adems, reconoci que tenan un error (9 x 4= 32), pero eso no invalidaba la magnfica relacin que haban descubierto. Era latente lo que aqu pasaba: ordenaron los nmeros impares de la tabla a partir del tres, es decir, le asignaron la posicin 1 al nmero 3, la posicin 2 al 5, la 3 al 7, etc., y al multi-plicar la posicin por el nmero, les coincida con el total de saludos correspondientes a cada cantidad impar de personas.



Figura 1 Representacin de saludos para pequeas cantidades de niosy organizacin tabular de aquellas por uno de los equipos2

2 Nota: debido a la dificultad de tener una mejor resolucin en la figura, se opta por transcribir algunas partes de las figuras, como en sta, para que el procedimiento propuesto por los estudiantes no se pierda.

1 apretn (1 saludo) 3 apretones (3 saludos) 6 apretones (6 saludos) 10 apretones (10 saludos)

Nmero de nios Nmero de apretones (saludos)

Conclusin: sumando el nmero de nios ms el nmero de apretones va dando el apretn siguiente y se suma sucesivamente hasta llegar a 36 nios.

3 Para encontrar el nmero de saludos de los nmeros impares hay que multiplicar dicho nmero por su posicin; estas posiciones empiezan en 3. Ejemplo:.

Figura 2 Relacin obtenida por los estudiantes para calcular el totalde saludos para un nmero impar de personas3



A continuacin se le plante al grupo el reto de calcular el total de saludos para los 36 ni-os, utilizando las relaciones antes obtenidas. En adelante, el estudiante que expuso la re-lacin para una cantidad impar de personas dio los siguientes razonamientos:

[...] del 1 al 36 hay 18 nmeros impares, y desde nuestro problema, el 35 est en la posicin 17; dado que excluimos el nmero 1 al hacer los or-denamientos, luego, 17 x 35 = 595, y este nmero es el total de saludos en-tre 35 personas. As que, 35 + 595 = 630, es decir, que entre las 36 personas hay un total de 630 saludos.

Aprovechando ese momento lleno de atencin y motivacin por parte del grupo, se les propuso una de las actividades que se tena para la gua siguiente, la de ampliacin o aplicacin, la cual deca: Observen detenidamente la tabla de datos que han construido y traten de encon-trar un procedimiento para calcular el total de saludos para una cantidad par de personas. Entonces, son el timbre, para ir al descanso o recreo, como muchos lo llaman.

Los alumnos salieron muy inquietos; a la ma-yora se le notaba que no quera ingresar a la clase siguiente sin resolver la tarea. Es ms, varios equipos de inmediato solicitaron ase-sora.

Al otro da, entre las diferentes formas que encontraron, un alumno, uno de los nerdos, segn sus compaeros, no dud en presen-tar la estrategia que encontr con su equipo (vase figura 3).

Aqu el hallazgo fue tambin muy interesante: observaron que la diferencia de restarle uno a la cantidad (par) de personas, multiplicada

por la posicin que ocupaba el nmero par en la tabla, les da el total de saludos. Vemoslo para 36 personas: del 1 al 36 hay 18 nme-ros pares, siendo el 36 el de la posicin 18; por lo tanto: (36 1) x 18 = 630, que efectivamente coincide con lo que se esperaba.

Los estudiantes tambin reconocieron, en sus representaciones iniciales, que el total de sa-ludos para tres o ms personas, puede obte-nerse sumando el total de diagonales del po-lgono y el nmero de lados del mismo. Por lo tanto, se aprovech este hecho para plantear-les una nueva situacin, cuyas actividades eran mediadas por una serie de polgonos regulares, para que trazaran sus diagonales, completaran una tabla y observaran regulari-

4 Si a los nmeros pares le restamos uno y se multiplica por el orden, da el resultado de saludos. Ejemplo:

Nios Saludos

Figura 3 Relacin presentada por otro equipo que calcula el total de saludos para

un nmero par de personas4


dades en los datos. As, el propsito de stas era construir una relacin matemtica que fa-cilitara el clculo del total de diagonales de un

polgono cualquiera. En la figura 4 aparece el trabajo de uno de los equipos.


1. En cada uno de los polgonos trace todas las diagonales.

2. Con base en las figuras anteriores y sus diagonales, complete la siguiente infor-macin:

Nombre del pol-

gono

Nmero de lados

Nmero de diagonales que salen de cada

vrtice

Total de diago-nales que salen

de todos los vrtices

Total de diagonales en

el polgono

3. Observe detenidamente los datos de la tabla y encuentre todas las posibles relaciones (conclusiones). Adems, obtenga desde las conclusiones una manera de calcular las diagonales de cualquier polgono.

4. Utilice las conclusiones obtenidas en el punto 3 para que calcule el total de diagonales de un polgono de 36 lados y registre sus datos en la ltima fila de la tabla anterior.

Figura 4 Trabajo realizado por uno de los equipos para hallar las diagonales de un polgono. La tabla es tomada, con modificaciones, de Londoo (1996).

Se puede observar que los datos de la tabla se vuelven contexto de actividad matemtica para la deduccin de una serie de relaciones que conducen a concluir la forma de calcular el total de diagonales para el polgono de n lados (n-gono).

Inicialmente los estudiantes expresan rela-ciones a nivel del lenguaje natural (vase la conclusin 1, figura 5, correspondiente a los estudiantes del trabajo de la figura 4). Sin embargo, tambin surgen formas de comu-nicacin de resultados a travs de expresio-



nes simblicas (vase la conclusin 2, figura 5) que se convierten en aportes valiosos para

ir mejorando la comunicacin de los distintos niveles de expresin.

Figura 5 Conclusiones relacionadas con el clculo de diagonaleshecho por equipos de estudiantes5

En este espacio de socializacin colectiva, el docente orienta la plenaria, donde se com-parten estrategias de solucin, exponen sus interpretaciones y formas de simbolizacin, e incluso, sus posibles errores. Adems, tiene la responsabilidad de ir sistematizando las ideas y los procedimientos conceptuales que van surgiendo y que estaban implcitos en la si-tuacin, de tal manera que les sirva de apoyo a los estudiantes para reorganizar sus elabo-raciones y reescribirlas si es el caso.

As que las conclusiones de los dos equipos, exhibidas en la figura 5, entran en consonan-cia, aunque con niveles de expresin muy propios de los alumnos, con los aportes que el maestro puede ir haciendo en los siguien-tes trminos:

El nmero de lados del polgono, restn-dole 3, nos genera el total de diagonales que se pueden trazar desde un vrtice.

5 Conclusin 1: La relacin o conclusin que descubrimos es: contamos el nmero de lados; despus, el nmero de diagonales de cada vrtice. Se multiplican los dos nmeros y da el total de diagonales que salen de todos los vrtices. Se le saca la mitad y da el total de diagonales en el polgono, sin repetir.

Le quito 3 del nmero de lados y me da el nmero de diagonales que salen de cada vrtice.. Conclusin 2: *Diagonales que salen de cada vrtice L - 3 * Diagonales totales del polgono = (L 3) x L ].

El producto entre el nmero de lados y el total de diagonales trazado desde un vrtice genera el total de diagonales que salen de todos los vrtices.

El total de diagonales trazadas desde to-dos los vrtices, dividido 2, da cuenta del n-mero de diagonales (sin repetir) del pol-gono.

Por lo tanto, el total de diagonales para un po-lgono de 36 lados es

D36

= 36 x (36 - 3) = 594.2

Ahora, el total de apretones de mano entre los 36 nios, es la suma del total de diagona-les del polgono de 36 lados, con 36, que es el nmero de lados (personas).

TS36 = D36 + 36 = 594 + 36 = 630 saludos.


Tambin se puede avanzar a un nivel de rela-ciones algebraicas, por ejemplo, para grados 8. y 9., as:

Dn: diagonales del polgono de n lados:

Dn = n (n - 3) 2

n : nmero de lados.

TSn : total de saludos entre n personas:

TSn = D

n + n = n (n - 3) + n = n (n - 1).

2 2

Por ejemplo: para las 36 personas,

TS36

= 36 x (36 - 1) = 630.2

En adelante, encontrar el total de saludos para cualquier nmero n de personas, es cuestin de calcular un valor numrico para la expresin

TSn = n (n - 1) . 2

Lo interesante del desarrollo de la situacin es que ofrece distintos niveles de compleji-dad, lo que caracteriza su flexibilidad para hacer tratamientos didcticos en diferentes grados. Tambin es importante ver cmo lo desarrollado respecto a la situacin hasta el presente ha vinculado aspectos conceptuales y procedimentales correspondientes a dife-rentes conocimientos matemticos, en este caso asociados a lo numrico, geomtrico y variacional.

Aqu puede verse una de las fortalezas de las situaciones problema: se vuelven un contex-to propicio para desarrollar procesos mate-mticos mediante la relacin de contenidos y significados para los conceptos, adems de formas particulares para las simbolizaciones. Iniciar una va de corte geomtrico como se ha hecho, en un primer momento podra apro-vecharse para construir conceptos como: dia-

gonal, segmento de recta, polgono, etc. Es decir, podra pensarse en una red conceptual que posibilitara una exploracin de las relaciones geomtricas presentes.

A manera de conclusiones

Los estudiantes tienen formas particulares de hacer matemticas, las cuales les permite desa-rrollar niveles de conceptualizacin, aunque de entrada no coincidan con el saber matem-tico cientfico. Lo interesante aqu es aceptar que la simbolizacin matemtica en los estu-diantes surge como una manera de expresar lo que ya comprenden, y no es un punto de partida, como tradicionalmente se crea.

La construccin de aprendizajes, desde la pers-pectiva de la pedagoga activa, permite que el maestro valore el saber previo de los alumnos, a partir del cual utilizan sus vivencias, capa-cidades, preconceptos y procedimientos para justificar y explicar nuevas ideas. Estos asuntos son propios de los procesos de razonamiento, en los que el error va a estar presente, pero ya no como sinnimo de no saber, sino, ms bien, como la manifestacin de formas priva-das de acercamiento a un conocimiento que slo despus de ponerlo al escrutinio pblico es transformado, con la ayuda de otros, en le-gados de saber.

De manera paralela a los procesos de razona-miento estn los de comunicacin, expresados por los alumnos mediante representaciones f-sicas, smbolos, grficos, dibujos, frases verba-lizadas y escritas, imgenes mentales, etc.

Una alternativa metodolgica fundamentada en la problematizacin del currculo contri-buye a que los estudiantes participen en la construccin de los conocimientos matemti-cos de manera significativa, en la medida en que van tejiendo diversas relaciones, a partir de diferentes formas de representacin, en las que van apareciendo los contenidos y que se van consolidando, cada vez ms, en una




red conceptual que los dota de fluidez para comunicar ideas matemticas.

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Referencia

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Original recibido: octubre 2009Aceptado: febrero 2010

Se autoriza la reproduccin del artculo citando la fuente y los crditos de los autores.

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