Energie libre on peut montrer la présence d’une transition de phase via l’énergie libre F Cas S=1/2 fonction de partition du site i H CM = gμ B S ! i . B m "! " + 1 2 J S ! i S ! i+! ! ! U i =± zJM 2 + zJM 2 2 M S = 1 2 k B T c = zJ 4 U i =± k B T c M M S + 1 2 k B T c M M S ! " # $ % & 2 Z i = e ! !U i = 2 cosh T c M TM S " # $ % & ' +! ( e ! ! E 0 Z = Z i N = 2 N cosh T c M TM S ! " # $ % & N e ' N ! E 0 F = !k B T ln Z = ! Nk B T ln 2cosh T c M TM S " # $ % & ' ( ) * + , - + NE 0 pour N sites indépendants M !" ! = ! S " i B !" m = zJ g μ B M !" ! J avec S i z =± 1 2 Pour un site i: Energie libre =± k B T c M M S + E 0
9
Embed
Energie libre - mpq.univ-paris-diderot.fr · Energie libre on peut montrer la présence d’une transition de phase via l’énergie libre F Cas S=1/2 fonction de partition du site
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Energie libre on peut montrer la présence d’une transition de phase via l’énergie libre F
Cas S=1/2
fonction de partition du site i
HCM = gµB S!i.Bm" !"
+12J S
!i S!i+!
!
!
Ui = ±zJM2
+zJM 2
2
MS =12
kBTc =zJ4
Ui = ±kBTcMMS
+12kBTc
MMS
!
"#
$
%&
2
Zi = e!!Ui = 2cosh TcMTMS
"
#$
%
&'
+!
( e!!E0
Z = ZiN = 2N cosh TcM
TMS
!
"#
$
%&
N
e'N!E0
F = !kBT lnZ = !NkBT ln 2coshTcMTMS
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-+ NE0
pour N sites indépendants
M!"!= ! S"i
B!"m =
zJgµB
M!"!
J avec
Siz = ±
12
Pour un site i:
Energie libre
= ±kBTcMMS
+E0
Energie libre
F = !NkBT ln 2coshTcMTMS
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-+12NkBTc
MMS
"
#$
%
&'
2
T>Tc
T=Tc
T<Tc note:
!F!M
= 0
MMS
= tanh TcMTMS
!
"#
$
%&
M/MS
Pour T<Tc: M=0 est instable
Energie libre sous champ
F = !NkBT ln 2coshTcMTMS
+µBBkBT
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-+12NkBTc
MMS
"
#$
%
&'
2
M/MS ≠ 0 à toute température
Théorie phénoménologique de Landau
F = !NkBT ln 2coshTcMTMS
"
#$
%
&'
(
)*
+
,-+12NkBTc
MMS
"
#$
%
&'
2
près de Tc: MMS
! 0
cosh(x) =1+ x2
2+o(x4 )
F ! "NkBT ln2" NkBT ln 1+12TcMTMS
#
$%
&
'(
2)
*++
,
-..+12NkBTc
MMS
#
$%
&
'(
2
ln(1+ x2 ) ! x2 +o(x4 )F ! "NkBT ln2"
12NkBT
TcMTMS
#
$%
&
'(
2
+12NkBTc
MMS
#
$%
&
'(
2
F ! "NkBT ln2+12NkBTc
MMS
#
$%
&
'(
2
1" TcT
#
$%
&
'(+o
MMS
#
$%
&
'(
4
paramètre d’ordre: m =MMS
développement de Landau en puissance du paramètre d’ordre
F(m) = !F0 + am2 (1! Tc
T)+ bm4
Théorie phénoménologique de Landau
développement de Landau près de Tc: F(m) = !F0 + am2 (1! Tc
T)+ bm4
minimisation de F: !F!m
= 0 2am(1! TcT)+ 4bm3 = 0 m = 0
m = ±2ab
TcT!1
"
#$
%
&'si T>Tc: m=0
T
Tc
M
exposant critique: ½ champ moyen
développement de Landau = champ moyen
m: paramètre d’ordre de la transition
Susceptibilité paramagnétique: Curie-Weiss
M (T )MS
= BS (x) ! =NVgµBµ0
!M!B
susceptibilité
au-dessus de Tc, champ faible x! 0
MMS
!(S +1)x3
=(S +1)!(zJM + gµBB)
3TcMS
=zJ(S +1)3kB
MMS
!TcMTMS
+(S +1)!gµBB
3
MMs
!(S +1)!gµBB
31" Tc
T#
$%&
'(
"1
! =NVµ0S(S +1) gµB( )2
3kBTT !TcT
"
#$%
&'
!1
loi de Curie-Weiss
! =C
T !Tc
C = NVµ0 gµB( )2 S(S +1)
3kB
x = !(zJM + gµBB)
avec:
aimantation réduite sous champ M!"!= ! Si!"
avec:
discontinuité de la chaleur spécifique les dérivées des fonctions thermodynamiques sont discontinues ex: chaleur spécifique magnétique
C = dUdT
=1Nd HCM
dTà champ nul:
HCM
N=gµB
NS!i.Bm" !"
+i! 1
2NJ S
!i S!i+!
i,!! ! =
zJ(gµB )
2
B!"m = !M!"!
M!"!= !
gµB
NS!i
i"
U = !12!M 2 Cm = !!M
dMdT
(1) T>Tc: M=0 donc Cm=0 (2) T=0: dM/dT=0 donc Cm=0
T Tc
M (3) T≈Tc (T<Tc) M ! MS 3 Tc
T"1
#
$%
&
'(
Cm (T ! Tc ) ! "!MS2 3 Tc
T"1
#
$%
&
'( )
1
2 3 TcT"1
#
$%
&
'(
)3 "TcT 2
#
$%
&
'(=32!MS
2 TcT 2
Cm (T c ) =9kB2
SS +1
=3kB2
! =3kBSTc(S +1)MS
2 discontinuité à Tc avec:
T Tc
« saut »
S=1/2 g=2
!!M 2 12JzM 2
(gµB )2 =
12!M 2
Limites du champ moyen
Estimation of TC
Mean field: kBTC = zJ
Real Tc is always smaller (event 0 for some models)
Tc for the Ising model:
Mean field is better if z is large!• plus la coordination z augmente, plus le champ moyen est bon • plus z est grand, plus les fluctuations spatiales sont coûteuses
cas extrême: 1D
straight line with slope ~ T.
y
/ SM M
T > Tc
T = Tc
T < Tc BJ (y)
spontaneous magnetisation below Tc where slope of straight line is less than the one of . 0JB J
small y: 313J
J yB y O
Jy
B C
s
k T yMM S J BM g J
1J y3 J
1~ 1
3J B S
C SB
g J MT J M
k with 2 2
2
B
I Zm g
2 1
3CB
z I J JT
k
in return: 31
B Cmf S
J B
k TB Mg J
for 1 ,2 JJ g 1 and 1000 ~ 1500 Tesla!B C
C mfB
k TT K B!
i.e. enormously large field! reflecting the strength of the exchange interaction.
J = ! J =
CT
/ SM MMaterials TC B) Fe 1043 2.22 Co 1394 1.71 Ni 631 0.6 Gd 289 7.5 MnSb 587 3.5 EnO 70 6.9 EnS 16.5 6.9
Curie-Weiss law for T > TC
applying a small field extB above will induce a small magnetization. CT1
3J B
S B
g JM B MM k T
so that C
S S
TM B MM M T
recall 1
3J B S
CB
g J MT
k
– 2 –
Limites du champ moyen
• à basse température: pas exponentiel mais plutôt en puissance 3/2 • excitations à basse énergie: ondes de spins
• Exposants critiques incorrects à basse dimension