Energia Potencial Elétrica Q - Como encontrar o trabalho realizado por uma força F sobre um objeto que se desloca entre dois pontos P o e P ? P o P Q - O que se pode dizer sobre o trabalho realizado por esta força F em diferentes trajetórias entre os dois pontos P o e P ? R- Recordando . . . R- W ≡ F. dr ∫ P P o 2 1
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Energia Potencial Elétrica
Q - Como encontrar o trabalho realizado por uma força Fsobre um objeto que se desloca entre dois pontos Po e P ?
PoP
Q - O que se pode dizer sobre o trabalho realizado por esta força F em diferentes trajetórias entre os dois pontos Po e P ?
R- Recordando . . .
R- W ≡ F. dr∫P
Po
2
1
Energia Potencial Elétrica
SE força conservativa:
∴ Quando força conservativa ⇒
No limite de pequenos deslocamentos
∫ ⋅= O drFW = 0
A diferença de energia potencial entre os pontos P (em r) e em Po (em ro) é igual ao trabalho realizado pela força entre os pontos P e Po
rF d U d .−=
PoP oPP WW PU PU →→ −==− )()( o
∫−=−r
rr F rr o
o
)()( d U U .
F. dr∫1,P
Po
+ F . dr = 0∫2, Po
PF. dr =∫
1,P
Po∫
2,Po
P− F. dr ∫
2,P
Po
= F . dr ∴
PoP
2
1
∫ F. dr independe do caminho
∫ F. dr ≡ variação de uma função de r ≡ (x,y,z)Então
Define-se :
Energia Potencial Elétrica
Força elétrica ↔ gravitacional 2
r̂r
∝ CONSERVATIVAS
∫−=−r
rr F rr o
o
)()( d U U . rF d U d .−=
⇓
Vale para forças elétricas que também são conservativas
Energia Potencial Elétrica
Carga q2 em região com campo elétrico criado por uma carga positiva q1
C
q1
2q
P
Po
àW Felet. = ?r
rd
rqq
Wo
PPo ⋅= ∫→ C 321
4 επ
A trajetória C equivale à trajetória C’ na qual tem-se dr = deslocamentos radiais + deslocamentos angulares
⇒ W = ? F . dr
∴ apenas deslocamentos radiais contribuem para a integral.
{ {
dr // a F ⇒ W≠ 0 dr ⊥ F ⇒ W = 0
Formalmente r . dr = ½ d(r . r) = ½ d(rr) = rdr
∴
−== ∫→ rr
qqrdrqq
Woo
r
roPPo
o
114'
'4
212
21
πεπε
∴só depende das posições inicial ro e final r das partículas!
q1
2q
P
Poro
ro
r-roC
C'
Trabalho nuloneste percurso
Todo o trabalhoé realizado aqui
Qualquer trajetória leva a um mesmo resultado!
Energia Potencial Elétrica Foi vista a definição: a diferença de energia potencial entre os pontos P e Po = trabalho
da força elétrica quando a partícula se desloca de P para Po.
1 2 1 22
1 14 4
o
r
o o or
q q q qdrr r rπε πε
= − = −
∫
PoP oPP WW PU PU →→ −==− )()( o
No caso de cargas pontuais, PoP WU →−=∆
Tomando-se como referência (valor nulo) a energia potencial quando a separação entre elas é infinita tem-se
1 2
( ) 01( ) ( ) ( )
4 o
Uq qU r U r U
rπ ε
∞ =
= − ∞ =
q1 q2 > zero (cargas de mesmo sinal), interação repulsiva ⇒ U > zero
q1 q2 < zero (cargas de sinal contrário), interação atrativa ⇒ U < zero ∴Q - O que significa o sinal de U?
R - . . . a energia externa para levar à situação de d(q1 ↔ q2) = ∞ !
Energia Potencial Elétrica
⇒ Princípio da Superposição(interação entre duas cargas independe da existência das outras)
Se ∃ configuração qq de várias partículas carregadas . . . Como calcular U ?
1) colocar a partícula 1 em seu local definido r1, enquanto as outras partículas estão no infinito; trazemos a partícula 2 para seu local r2 :
1 212
2 1
14 o
q qU
πε=
−r r
2) Traz-se agora a partícula 3: 1 3 2 313 23
3 1 3 2
1 14 4o o
q q q qU U
π ε π ε+ = +
− −r r r r
3) Para N partículas ⇒1
1 12 4
N Ni j
i j io i j
q qU
πε = ≠
=−
∑∑r r
Q – Por que o fator ½ ?
( i ? j → ri ? rj : evita auto-energias infinitas das cargas)
para uma carga qi soma-se em todas as outras qj; muda-se a carga qi e . . . repete-se o procedimento para todas as N cargas
Energia Potencial Elétrica
ab ac bcU U U U= + +
q
qqa
b
c
Uab
Uac
Ubc
Exemplo: 3 partículas carregadas com qa, qb e qc
1
1 12 4
N Ni j
i j io i j
q qU
πε = ≠
=−∑∑ r r
+ab
bar
q q +ba
abr
q q +ca
car
q q +a c
acr
q q +cb
cbr
qq b cbc
r q q
o41 2
1πε=U { }
+ab
bar
q q +ca
car
q q cb
cbr
qq o4
1 πε=U { }
Energia Potencial Elétrica
29
2
Nm 1,0nC 2,0nC 1,0nC 3,0nC 2,0nC 3,0nC9,0 10
C 0,30m 0,30m 2 0,30mU
× × ×= × + +
×
2 18 2 18 2 18
7
29
2
9
Nm 2,0 10 C 3,0 10 C 6,0 10 C9,0 10
C 0,30m 0,30m 1,42 0,30m
9,0 10 Nm(6,67+10+14.2 2,8 10 J) U
U− − −
− −=
× × ×= × + + ×
×
= × ⇒
2,0 nC
1,0 nC 3,0 nC
30 c
m
30 cm
P
Exemp. 3.1 – Calcular a energia potencial eletrostática do sistema de partículas mostrado na Figura.
Energia Potencial Elétrica
Energia potencial de cargas com distribuição continua
A soma em vira integral 1
1 12 4
N Ni j
i j io i j
q qU
πε = ≠
=−
∑∑r r
1 2
1 2
1 12 4 o
dq dqU
π ε=
−∫ ∫ r r
Em um caso geral, existe uma distribuição de cargas com densidade ρ (r)
1 1 1( )dq dVρ= r 2 2 2( )dq dVρ= r
1 21 2
2 1
( ) ( )1 12 4 o
U dV dVρ ρ
π ε=
−∫ ∫r rr r
(em geral é um cálculo complicado!)
∴
⇒
⊕⊕⊕
⊕
⊕⊕⊕
⊕
⊕
⊕
⊕⊕ ⊕⊕
⊕⊕
⊕
⊕⊕
⊕
⊕ ⊕ ⊕
⊕
⊕
Energia Potencial Elétrica
Energia do campo elétrico
Onde fica armazenada a energia potencial ?
e que, em qualquer caso, será
Evidência experimental:→ a energia potencial elétrica está armazenada no campo elétrico!
(caso geral: nos campos elétrico e magnético)
Ex. óbvios: a radiação eletromagnética. a energia da luz solar; energia em um forno de microondas;energia nas telecomunicações.
Mostra-se que a densidade de energia u (energia por unidade de volume) é:
)()( 2Euuu =⋅= EE
2
2Eu oε
=
a densidade de energia u(r) é proporcional ao quadrado do valor do campo E(r) (para cada ponto em r)
Calcular a energia potencial eletrostática do sistema de partículas mostrado na Figura e (B) o potencial no ponto P.
1( )
4i
io i
qV
π ε=
−∑rr r
Potencial elétrico
Energia Potencial Elétrica
1 ( ')( ) '
4 'o
V dVρ
π ε=
−∫r
rr r
0dO =⋅= ∫ rFW∫−=−
r
rr F rr o
o
)()( d U U .
Foi visto:
Ø força elétrica (conservativa) →∫ F. dr independe do caminho
⇒ define-se Energia potencial elétrica: função apenas da CONFIGURAÇÃO
∴
⇒ define-se Energia potencial por unidade de carga ≡ POTENCIAL ELÉTRICO
( , )( )
U qq
≡ rr
o
( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r
r
r E r r
o o
( , ) ( ) ( ) ( )o
U q d q d q d′ ′ ′ ′ ′ ′= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫r r r
r r r
r F r r E r r E r r
≡
Para uma distribuição geral de cargas:
( , )( ) U qVq
≡ rr
Energia Potencial Elétrica
EXEMPLO: Potencial em um ponto no eixo um anel de raio R, tendo um carga Q uniformemente distribuída
dQr
kdQdV
r=dQ r
dQr
dQ
r r é o mesmo (constante) para qq elemento dQ
⇒
R
2 2
kQV
R x=
+
x )( ∫=
rkdQ
rV⇒
)( ∫= dQrk
rV
Potencial elétrico
rkQ
=
Energia Potencial Elétrica
Exercício-exemplo 3.5 – Calcular o potencial elétrico no interior e no exterior de uma esfera não condutora de raio R que tem uma carga Q distribuída uniformemente.
Sol. – Vimos que o campo elétrico gerado por uma esfera uniformemente carregada é:
3
2
,4
.4
o
o
QE r r R
RQ
E r Rr
πε
πε
= <
= ≥{Para pontos externos à esfera, tem-se
2 2
1( )
4 4 4o o or r
Q Q dr QV r dr r R
r r rπε πε πε
∞ ∞ ′′= = = ≥
′ ′∫ ∫(é o mesmo de uma carga
pontual Q no centro da esfera)
∴ na superfície da esfera (r = R) será1
( )4 o
QV R
Rπε=
Potencial elétrico
Toma-se referência no infinito → V(∞) = 0o
( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r
r
r E r rTem-se
Energia Potencial Elétrica
Exercício-exemplo 3.5 – Calcular o potencial elétrico no interior e no exterior de uma esfera não condutora de raio R que tem uma carga Q distribuída uniformemente.
na superfície da esfera (r = R), 1( )
4 o
QV R
Rπε=
No interior da esfera
( ) ( )R
r
V r V R Edr r R′= + ≤∫
3( ) ( )4
R
o r
QV r V R rdr r R
Rπε′ ′= + ≤∫
2 23
1( ) ( )
4 4 2o o
Q QV r R r
R Rπε πε= + −
23
3( )
8 8o o
Q QV r r r R
R Rπε πε= − ≤
Potencial elétrico
( ≡ ∫R
r ∫∞
R∫∞
r+ )
Energia Potencial Elétrica
4 o
qdU dq
Rπε=
2
0
14 8
Q
o o
QU q dq
R Rπ ε π ε= =∫
R
q
dq
∴ a auto-energia da casca após carregar até Q
Auto-energia eletrostáticaUm objeto de forma qualquer contendo uma carga total q:
→ há uma energia associada (como foi possível criar esta situação?)
⇒ auto-energia eletrostática
Ex. Casca esférica de raio R , com carga Q
Q - Como é a distribuição de cargas?
R- uniformemente distribuída na superfície.
Q - Qual a força que a casca faz sobre dq?
R- como a de carga pontual no centro.
Q - Qual é a quantidade de energia dU necessária para se adicionar dq?
Energia Potencial Elétrica Cálculo do campo elétrico a partir do potencial
Foi visto: conhecer E(r) ⇒ conhecer V(r)
também . . . conhecer V(r) ⇒ conhecer E(r) ! ! !
o
( ) ( )V d′ ′= − ⋅∫r
r
r E r r
Recordando. . . o gradiente de uma função escalar f (r) = f (x, y, z) é
pois⇒ ( ) x y zdV d E dx E dy E dz= − ⋅E r r = - - -
Mas V V VdV dx dy dz
x y z∂ ∂ ∂
= + +∂ ∂ ∂
, ,x y zV V V
E E Ex y z
∂ ∂ ∂= − = − = −
∂ ∂ ∂⇒
f∇ f f fx y z
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂i j k
Logo, x y z
V V VE E E
x y z∂ ∂ ∂
= + + = − − −∂ ∂ ∂
E i j k i j k
∴ E = − ∇V
“o campo elétrico num dado ponto é menos o gradiente do potencial elétrico naquele ponto”
Energia Potencial Elétrica Superfícies equipotenciais
Foi visto: no interior de um condutor em equilíbrioE(r) = 0 ∴ V(r) = constante
⇒ superfície de um condutor é uma superfície equipotencial.
Mas dV = E. dr ⇒ E(r) = zero ou E ⊥ dr“uma superfície equipotencial é ortogonal, em cada ponto, ao campo elétrico”
V não varia em uma superfície equipotencial → dV = 0
EquipotenciaisEquipotenciais
+q
E
+
+
+
+
+
+
+
Q - O que se pode dizer sobre o trabalho realizado pela força elétrica para se deslocar uma carga em uma mesma superfície equipotencial?
R- Tem-se E ⊥ dr em uma superfície equipotencial, logo . . .
Energia Potencial Elétrica Dipolo elétrico
Carga elétrica pontual = monopolo elétrico.
dipolo elétrico = um par de cargas elétricas de mesmo valor q e sinais opostos, separadas por uma dada distância d.