KARADENZ TEKNK NVERSTES MHENDSLK FAKLTES ELEKTRK-ELEKTRONK
BLM
EMN OLCAY DOKUZ 210298ELKE304 OTOMATK KONTROL SSTEMLER PROJE DEV
KISIM-1: Verilen sistemin modellenmesi ve simlasyonu
KISIM-2:Sistemin eitli denetleyicilerle kontrol edilmesi
PROF.DR. SMAL HAKKI ALTAS
MAYIS 2011
Sayfa 2 / 42
indekilerindekiler.............................................................................................................................
2 NSZ.4 ZET...5 GR...6 Jet Ua Kontrol
Sistemi..................................................................................................7
Sistemin karakteristik eitlii
..............................................................................................7
Sistemin karakteristik eitliinin
kkleri..............................................................................8
Durum denklemlerinin
hesaplanmas....................................................................................9
Sistemin kk yer ergilerinin izimi
.....................................................................................9
Sistemin Nyquist erisi
.......................................................................................................10
Sistemin bode
erileri..........................................................................................................
11 Sistemin birim basamak
tepkisi............................................................................................12
Sistemin birim rampa
tepkisi................................................................................................13
Sistemin birim darbe
tepkisi.................................................................................................14
Sisteme Denetleyicilerin
Eklenmesi...................................................................................14
P, I ve D Denetleyicilerin
zellikleri...................................................................................15
Oransal denetleyici (P)
........................................................................................................15
Oransal-integral denetleyici (PI)
.........................................................................................15
Oransal-Trev denetleyici (PD)
..........................................................................................16
Oransal-integral-Trev denetleyici (PID)
...........................................................................16
Faz ilerlemeli denetleyici (P-LEAD)
..................................................................................16
Faz gerilemeli denetleyici (P-LAG)
....................................................................................16
Sisteme Oransal Denetleyicinin (P) Eklenmesi
...............................................................17
Karakteristik eitliinin
kkleri............................................................................................18
Kk yer erilerinin izimi
....................................................................................................18
Nyquist ergisinin izimi
.......................................................................................................19
Bode diyagramnn elde edilmesi
.........................................................................................19
Birim basamak cevab
..........................................................................................................20
Birim rampa cevab
..............................................................................................................21
Birim impulse cevab
...........................................................................................................22
Sisteme Oransal-ntegral Denetleyici (PI)
eklenmesi......................................................22
Karakteristik eitliinin
kkleri............................................................................................24
Durum denklemleri
..............................................................................................................24
Kk Yer Erilerinin
izimi...................................................................................................25
Nyquist Erisinin
izimi......................................................................................................
25 Bode Diyagramnn Elde
Edilmesi.......................................................................................
26 Birim Basamak
Cevab.........................................................................................................
27 Birim Rampa Cevab
............................................................................................................28
mpulse
Cevab.....................................................................................................................
29 Sisteme Oransal-Trev Denetleyici
(PD)Eklenmesi.........................................................30
Karakteristik Eitliinin Kkleri
..........................................................................................31
Kk Yer Erilerinin
izimi..................................................................................................
31 Nyquist Erisinin
izimi......................................................................................................
32 Bode Diyagramnn Elde
Edilmesi.......................................................................................
32 Birim Basamak
Cevab.........................................................................................................
33 Birim Rampa Cevab
............................................................................................................34
Birim mpulse Cevab
..........................................................................................................34
Sisteme Oransal-ntegral-Trev denetleyici
(PID)Eklenmesi.........................................35
Sayfa 3 / 42
Durum
Denklemleri..............................................................................................................36
Kk Yer Erilerinin
izimi..................................................................................................37
Nyquist Erisinin
izimi......................................................................................................37
Bode Diyagramnn Elde
Edilmesi.......................................................................................38
Birim Basamak
Cevab.........................................................................................................38
Birim Rampa Cevab
...........................................................................................................38
Birim mpulse Cevab
..........................................................................................................39
Sonu ve Deerlendirme
....................................................................................................40
Kaynaklar
...........................................................................................................................
42
Sayfa 4 / 42
NSZ
Youn bir alma sonucu otomatik kontrol dersinin uygulamasnn nasl
yapldn, devre sistemlerinin matlab. Kullanarak nasl simule
edildiini rendim. Bir dev nasl hazrlanr ve teslim edilir, karma kan
sorunlar ve bunlarn zmleri hakknda deneyim kazandm. almalarm
hazrlarken enteraktif ortamdan, ders kaynaklarndan yararlandm.
Sayfa 5 / 42
zetBu almada, bir uan uu kontrol sisteminde nem arzeden yat as
kontrol iin klasik denetleyicilerden P, PD, PI tip denetleyiciler
ile karlatrmalar yaplmaktadr. Basit bir yat as otomatik uu
kontrol
sistemin blok diyagram ekilde verilmektedir..
Burada, yat ana, k kanatk eyleyici kna, E(t) hata vektrne, ref
girie karlk gelmektedir
Sayfa 6 / 42
GRKapal evrim kontrol sistemleri, kontrol edilen k deikeninin
llp geri beslenerek arzu edilen giri deikeni ile karlatrld
sistemlerdir. Sistemin k, arzu edilen k deerini salayacak biimde
giri bykl ile ayarlanr. Negatif geri beslemede daima giri ile kn
bir fark alnr. Kontrol elemanna bir hata girii olarak iletilen bu
fark, kn istenilen deere getirilmesini ve bu deerde sabit tutulmasn
salar. Kapal evrim kontrol sistemlerinde denetleyicinin amac, hata
deerinin yapsna ve kendi denetim etkisine bal olarak uygun bir
kumanda denetim sinyali retmektir. Sistem yapsna bal olarak bir
takm ayarlamalar ile P, PI, PD ve PID denetleyiciler, bu amala
sklkla kullanlan geleneksel denetleyicilerdir. Klasik
denetleyicilerin yetersiz kald durumlarda, bulank denetleyiciler de
bu amala kullanlabilir olup, burada da yelik fonksiyonlar ve
kurallarn seimi nem kazanmaktadr
Jet Ua kontrol sistemi
Sayfa 7 / 42
Transfer Fonksiyonu
Sistemin karakteristik eitliiSistemin karakteristik eitlii
transfer fonksiyonunun paydasdr. Buna gre karakteristik eitlik,
Routh Hurwitz kararllk kriterini uygulayalm;
1 -1 K
K 0 0
0 0 0
Routh listelemesinde birinci stun elemanlarnn iaretleri ayn ise
denklem kklerinin tm sol yar dzlemdedir. aret deiimi says sa yar
dzlemde kalan kklerin saysna eittir. Buna gre; sistemin kararl
olmas iin birinci stunda bulunan deerlerin pozitif kmas gereklidir.
Yani,
Sayfa 8 / 42
1 -1 KBirinci stunun elemanlar iki iaret deimesine sahip olduu
iin karakteristik denklem pozitif-gerel ksmlar olan iki kke
sahiptir.Sistem karal deildir..
0 olduunda sistem kararl deildir
Sistemin karakteristik eitliinin kkleri
Sistemin karakteristik eitliinin kklerini bulmak iin Matlabda
roots fonksiyonunu kullandm.
Karakteristik denkleminin kkleri r(1)=0,5000+0.8660i
r(2)=0,5000-0.8660i
Sayfa 9 / 42
Durum denklemlerinin hesaplanmasDurum denklemini matrisini
transfer fonksiyonunu kullanarak matlab zerinden hesapladm.
K=1 iin;
Transfer Fonksiyon
Transfer fonksiyonumuzda, tespit edilen durum denklemi
matrisleri yazlrsa;
elde ederiz..
Sistemin Kk Yer erileriKarakteristik denkleminin kkleri
r(1)=0,5000+0.8660i r(2)=0,5000-0.8660i
Sayfa 10 / 42
Sistemin Nyquist ErisiNyquist yer erisi kapal evrim sistemin
kararllnn belirlendii grafiksel bir yntemdir. Kk yer erilerinden
farkl olarak Nyquist kriteri karakteristik denklem kklerinin
konumunu tam olarak belirlemez. Nyquist diyagramna bakarak sistemin
kararl olup olmadn syleyebiliriz.Bir sistem iin Z = 0 (sfr) ise
sistem kararldr denir. Z 0 ise sistem kararszdr.
N=ZP N: Nyquist diyagramnda (-1)i evreleme says.. Saat ynnde
evreleme pozitif, tersi olan evreleme negatif alnr ve toplam Nyi
verir. Z: Kapal sistemin transfer fonksiyonunun sa yarm kredeki
kutuplarnn says P: G(s)H(s)nin ak evrim kutuplarnn says Kararllk
testi iin; Z = P + N denklemi yoluyla kararllk test edilir. Bunun
iin nce sistemin ak evrim transfer fonksiyonunun kutuplar saysna
baklr. Bundan sonra sistemin nyquist diyagram izilir ve (-1)
evreleme saysna baklr.
Sayfa 11 / 42
Sistemin Bode ErileriTasarmda sisteme eklenen denetleyiciler ve
parametrelerinin etkisi Bode diyagramlarnda nyquist egrisine gre
daha ak grntlenebilir.
Matlab da yaplan almalar sonucu oluturulan grntler ekildeki
gibidir..
Sayfa 12 / 42
Sistemin Matlab Simulink ile Simlasyon Diyagramnn elde
edilmesiDevreyi matlab kullanarak simule ettim.
Oluan grntmz ise;
Sayfa 13 / 42
Sistemin birim basamak tepkisi
Sayfa 14 / 42
Sistemin birim rampa tepkisiSistemin birim rampa tepkisini
bulmak iin Matlada hazr komut olmad iin ve rampa fonksiyonu birim
basamak fonksiyonunun entegrali olduundan sisteme ( 1/s ) seri
olarak eklenir. Bylece sistemin rampa tepkisi bulunabilir.
Sistemin Birim Darbe TepkisiSistemin birim darbe tepkisini
aadaki gibi elde ederiz;
Sayfa 15 / 42
Sisteme Denetleyicilerin EklenmesiOransal denetleyici (P)Oransal
kontrolrn transfer fonksiyonu sabit bir say seklindedir ve Kp ile
gsterilir. Oransal Kontrol sistemin ykselme zamann azaltr ve kalc
durum hatasn azaltr, asm arttrr.
Oransal-ntegral denetleyici (PI):Entegral kontrolr, hata deeri
sabit bir deerde kalmsa bu hatay gidermek zere giderek artan bir
kontrol sinyali reterek sistem ksnn referans deere ulamasn salar.
Hata sfr Olduunda entegral ks da sfr olur. Orant-Trev kontrolrler
her iki denetim etkisinin zelliklerini tarlar. PI denetleyicilerin
etkileri unlardr: Snm dzeltir ve asm azaltr. Ykselme zamann artrr.
Bant geniliini azaltr. Kazan pay, faz pay ve rezonans tepesini
dzeltir.
Oransal-Trev denetleyici (PD)Trev kontrol hatann trevini alarak
bir kontrol sinyali retir. Dolaysyla kalc durum hatas zerinde bir
etkisi yoktur, nk sabit bir sinyalin trevi sfrdr. Bu yzden, trev
etki Kontrolrlerde yalnz basna kullanlmaz dier etkilerle beraber
kullanlr. Orant-Trev Kontrolrler her iki denetim etkisinin
zelliklerini tarlar
Sayfa 16 / 42
PD denetleyicinin etkileri unlardr: Snm artrr ve en byk asm
azaltr. Ykselme ve yerleme zamanlarn azaltr. Bant geniliini artrr.
Kazan pay, faz pay ve tnlam tepesini dzeltir. Yksek frekans grltsn
artrabilir. Az snml veya kararsz sistemlerde etkili olmaz. Devrenin
tasarmnda nispeten byk kapasitelere ihtiya duyulabilir
Oransal-ntegral-Trev denetleyici (PID)Oransal-ntegral-Trev
kontrolrler her denetim tr etkisinin zelliklerini tarlar
Faz ilerlemeli denetleyici (P-LEAD)Faz ilerlemeli
denetleyicilerin etkileri Faz ilerlemeli denetleyici, sistemin
ileri yol transfer fonksiyonuna kutup sfrn Sanda olmak zere bir
kutup ve sfr ekler. Bu tip denetleyici, kapal evrimli sistemi Daha
snml hale gelecek ekilde etkiler. Sistemin genelde ykselme ve
yerleme Zamann azaltr. leri yol transfer fonksiyonunun faz gei
frekans civarnda artar. Bunun sonucu olarak kapal evrimli sistemin
faz pay da artar. leri yol transfer fonksiyonunun genlik ergisi
eimi kazan gei frekans civarnda Azalr. Bunun sonucu olarak kazan ve
faz paynda oluan art genellikle nispi Kararlln dzelmesine neden
olur. Sistemin bant genilii artar. Bunun sonucu olarak sistem cevab
hzlanr. Sistemin kararl hal hatas deimez.
Faz gerilemeli denetleyici (P-LAG)Faz gerilemeli
denetleyicilerin etkileri; Belirli bir ileri yol kazanc K iin,
ileri yol transfer fonksiyonu genlii, kazan gei Frekans civar ve
tesinde, zayflatr ve bylece sistemin nispi kararll artrlm Olur.
Kazan gei frekans der ve sistemin bant genilii buna bal olarak
daralr. Bant geniliinin azalmas nedeniyle ykselme ve yerleme zaman
genellikle artar. Sistem parametre deiimlerine kars daha
duyarldr.
Sisteme Oransal Denetleyicinin (P) Eklenmesi
Sayfa 17 / 42
Sistemin transfer fonksiyonunu;=
E(s) R(s) Y(s)
Birim basamak girii iin;
Srekli durum hatas;
Oransal denetleyicide srekli alma hatas birim basamak giri iin
sfr olmaz;
Routh Hurwitz kararllk kriteri;
1 -1 1+kararszdr..
1+ 0 0
0 0 0 in;
ki iaret deiimi olduu iin sa yar dzlemde iki kk vardr.
sistem
Sayfa 18 / 42
Karakteristik eitliinin kkleri
Matlab ile karakteristik denklem zld;
0.5000 + 0.8718i 0.5000 - 0.8718i
Sistemin kk yer erilerinin izimi;
Sayfa 19 / 42
Sistemin Nyquist erisi;
Oluan grafiimiz;
Sistemin bode erileri;
Tasarmda sisteme eklenen denetleyiciler ve parametrelerinin
etkisi Bode diyagramlarnda Nyquist erisine gre daha ak
grntlenebilir..
Sayfa 20 / 42
Birim basamak cevab;
Sayfa 21 / 42
Birim impulse cevab;
Sayfa 22 / 42
Birim rampa cevab;
Sisteme Oransal-ntegral Denetleyici (PI) eklenmesintegral
kontrolr, hata deeri sabit bir deerde kalmsa bu hatay gidermek zere
giderek artan bir kontrol sinyali reterek sistem ksnn referans
deere ulamasn salar. Hata sfr olduunda integral ks da sfr olur.
Sayfa 23 / 42
Routh kriteri uygulanrsa;
1 -1 0 0
0 0 0 0
ki iaret deiimi olduu iin sistem kararl deildir. Srekli durum
hata kriterine bakldnda ess 0,1 iin; E(s) R(s) Y(s)
Birim rampa girii iin;
, seilir..
bulunur..
Sayfa 24 / 42
Karakteristik eitliinin kkleri;
Kklere matlab yardmyla;
P(1)= 0,5047 + 0.8971i P(2)= 0,5047 - 0.8971i P(3)=-0,0094
Durum denklemleri;
Sayfa 25 / 42
Kk Yer Erilerinin izimi
Nyquist Erisinin izimi
Sayfa 26 / 42
Bode Diyagramnn Elde Edilmesi;
Birim Basamak Cevab
Sayfa 27 / 42
Sayfa 28 / 42
Birim Rampa Cevab
Sayfa 29 / 42
mpulse Cevab;
Sayfa 30 / 42
Sisteme Oransal-Trev Denetleyici (PD) EklenmesiTransfer
fonksiyonumuz; PD denetleyici
Sisteme Oransal-Trev Denetleyici (PD) Eklenmesi
PD denetleyici ile sistemin transfer fonksiyonu;
E(s) R(s) Y(s)
Birim basamak girii iin;
Srekli hal hatas;
Routh Hurwitz kararllk kriteri iin;
1 0 0
0 0 0olur..
> 0 olduunda sistem kararldr Kp 0,5 alnrsa,,, Kd 0.2
alnrsa;
Sayfa 31 / 42
Karakteristik Eitliinin Kkleri
0.4000 + 1.1576i 0.4000 - 1.1576i
Kk Yer Erilerinin izimi
Sayfa 32 / 42
Nyquist Erisinin izimi;
Bode Diyagramnn Elde Edilmesi
Sayfa 33 / 42
Birim Basamak Cevab;
Sayfa 34 / 42
mpulse Cevab;
Birim Rampa Cevab;
Sayfa 35 / 42
Sisteme Oransal-ntegral-Trev denetleyici (PID) Eklenmesi Sisteme
Oransal-ntegral-Trev denetleyici (PID) Eklenmesi
Sayfa 36 / 42
E(s) = R(s) -Y(s)R(s) Birim rampa girii iin;
Srekli hal hatas;
=0.05,
,
aldmzda; bulunur.
Durum Denklemleri;
Sayfa 37 / 42
Kk Yer Erilerinin izimi;
Nyquist Erisinin izimi
Sayfa 38 / 42
Bode Diyagramnn Elde Edilmesi;
Birim Basamak Cevab;
Sayfa 39 / 42
Birim Rampa Cevab
Sayfa 40 / 42
Birim mpulse Cevab
Sayfa 41 / 42
Sonu ve DeerlendirmeVerilen sistemin farkl denetleyicilerle
Matlab-Simulink ortamnda oluturularak, sistemin bode erileri,
nyquist erisi, kk yer erileri incelenmi, denetleyici bulunmayan
sistemle fark gzlenmeye allmtr. Kullanlan denetleyiciler; Oransal
denetleyici, oransal-integral denetleyici, oransal-trev denetleyici
ve oransal-trevintegral denetleyicilerdir. Denetleyicilerle
birlikte sistemin birin basamak, birim rampa ve birim darbe
tepkileri de grlmeye allmtr.
Sayfa 42 / 42
KaynaklarMatlab 7.04 Simulink ve Mhendislik Uygulamalar,
Prof.Dr. Uur AR_FOGLU, Alfa Yaynlar, 2005. Otomatik kontrol
sistemleri dersi ile ilgili kaynaklar Enteraktif ortam