COURS COMPLET DE MATHEI\IATIQUES TRIGoITOMÉtnM RECTIIrGNE A. SpUÉRTQUE PAIT . Emile DUM0NT c^prÎÀrNE-coMMÀNDÀNT DU GÉNIE, DU oÀDRE DE RÉsERl.E .\NCINN PNOFESSIUR À L INSTITUT ilICHOT.ITONCENÀSî à I'usage rtee Catrdidats à l'École ltlilitaire et des Élèves des Athénées royaux 'frolelèrr. e édltlon La deuaôèqne éd.iliqn de cet ou)rage a eté inseite par le Gouaa,nernant au nombre d.es publications d,ont I'emploi est autorisé dans les clnlces d,e |tv et %le seiaûifquæ des Alhénéæ royauu Seul ouuragarecommandé par te ju.ry d;admisrîon ô, I'École Mïlilaïra BRUXELLES D'ÉDITION A. ?65, RUE ROYAITE Lg?O AISON DII BOECK
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S2.Formulesdestrianglesrectilatères. o . . . . Zgg
s'iiii;"1"'triangres":'*"1*tu': . : : : .luoTCHeprrnn III. Bésolutlon des triangles queleonques . . . . Z4Z
Eoercices....o......Z5gCrnpttnnIV.Âpplications. ô . o . . . . . . 254
Eægrcices...r.......260C,gaPtrnn V. Des trlangles rectrrtgnog ltmites ùes trtangles sphdrlqnes 26LF-eroiocsdeldoaptturatlon . . . . . . . , . 266
Norn L Approxfunatlons d,ans les catcuts lognrtthmiquee. . . 275NornII. ltôrtcdesgrand.eurgdtrtgé,es . . . . 7 . zg8Norn IIf. Appltortion de la théorle des nonbres eornplexet o . 306
f. La Théorie vectorielle, ou tout au moins la partie purementgéométrique de cette théorie, est actuellement devenue classique.Jadis son exposé appartenait exclusivement au cours de Mécaniquerationnelle. Mais rtÊpuis que les cours élémentaires subissent lamême rénovation que les cours supérieurs de Mathématiques, iln'est plus possible de s'en passer en Géométrie analytique, tri mêmeen Géométrie élémentaire. La ptace naturelle de cette théorie est et
doit rester en tête du cours de Trigonométrie, puisque c'est celui-ciqui en fait le premier emploi.
J'ai conservé mes appellations e,ûe et uecteur (,), auxquellesplusieurs auteurs préfèrent semi,-droite et segment.
Je trouve que semi-droite ressemble trop à demi-droite lepréflxe sem'i, signifie d'ailleurs demi (ex. : semi-circulaire); - or,sur un axe, il n'y a généralement pas d'origine fixe ; et même,lorsque par hasard il y en a une, c'est le mot ane qui est employé
par tout le monde ; ainsi on dit un a,fre polaire, des e,fies decoordonnées ; on dit également un afie de rotati,on ; je ne voisdonc rien qui justifie le terme semi-dro'ùte.
Dans mon vocabulaire, un segnzent est une simple portion dedroite; dans segmenter il n'y a en effet aucune idée de direction ;Ie mot oecteur au contraire, qui vient du tatin oectoren?, (conduc-teur, porteur, de aehere) exprime mieux que tout autre l'idée queI'on a en vue.
(t) Ce sont les appellations employées parrnathémati,ques.
Je n'aime pas non'plus I'expression grandeu{e" d'un uecteur,
à cause de la signification diftérente que posslde déjà le motgrand,lu,cî ; je préfère et je continue d'employer I'expressionInesu,re d,'un uectezcl", à laquelle on substituera le mot tenseurlorsque l'on fera l'étude des nombres complexes et des quaternions.Le module est la valeur absolue du tenseur d'un vecteur : je n'aipas eu à utiliser ces deux mots.
Enfln, j'âi jugé inutile et même nuisible de définir la notion d'angled'un aecteur et d'un a,fre, ou de deun uecte?rs. La notion si
simple de l'angle de deufi o ffes suffit amplement à tous les besoinset n'amène jamais d'ambiguïté quand on la combine avec les mesures(nombres positifs ou négatifs) des vecteurs.
Comme professeur, mon attention à étê attirée sur I'importancequ'il y a'à bien distinguer un vecteur de sa mesure, si I'on veutéviter des confusions, Qui n'existent d'abord que dans le langage,mais qui s'emparent bientôt des idées mêmes. Le mot segmentemployé dans des ouvrages même récents,
nese pr'êbe
malheureuse-ment que trop à de telles confusions, grâce à la double significationqu'on lui donne : tantôt un segment est un vecteur, tantôt c'est lamesure d'un vecteur ; et il arrive de ce fait qu'on ne sait plus
toujours clairement de quoi I'on parle. Ainsi par exemple, dansle théorème relatif à la projection orthogonale d'un vecteur, c'estla mes?,tî"e de la projection du aecteur" qui est égale a,u produi,tde la nuesLu"e du aecteur 1)q,r" le cos'i,nus de l'angle des afies
qui portent le vecteur et sa projection ; tandis que la projecti,ond,u aecteur est ?,cn uecteur, ltroduit d,u uecteur considéré parlcn nombre complefre. Je précise (t) :
Considérons un vecteur AF porté par un axe u,, et soit À$]'la projection de ce vecteur sur un axe fi ; soit enfin
Zk-r" f a.
(t) Cette explication ne peut être comprise que par les lecteurs au courantde la définition des nombres complexes comme rapports d.e veeteurs. Pour deplus amples détails, voir mon Arithmétique générale, $me partie.
et A,rB, - prrffi: IF X cos d..e-io: ÂF x cosa(co*a -isin6r).Donc A"B, * Æ.cosry..
Il ne faut pas oublier Que, dans la notion de vecteur, il y a nonseulement la notion du sens, mais encore la notion de la flirection;cela apparaÎt clairement dans la définition de la sont?ne géométyiquedes vecteurs; et AB.cosa. est un vecteur porté par le même axe quele vecteur AB lui-même.
If. Cette seconde édition (1) de mon cours ne diffère guère de lapremière, malgré de notables augmentations. Quelques modiflcationsne touchent qu'à des détails peu importants.
Les caractéristiques du livre restent donc les suivantes :
l. Défi'ni'tions rationnelles des nont,bres trigonométri,quesd'angles, montrant nettement qu'un sintcs, par exemple, ne dépendpas du rayon de la circonférence portant I'arc dont la mesure estégale à celle de I'angle (pour des étalons correspondants).
2. Emploi systématique de la théorie d,es aecteurs pour lesdémonstrations géométriques, cê qui n'exige aucun efiort demémoire; supprime des généralisations laborieuses, êt prépare lesdémonstrations analogues des principales formules d'Analytique.
3. Énoncé du plus grand nombre possible de règles gé,nérales,permettant aux élèves peu habiles de traiter tous les problèmessans hésitations : ceci conformément aux excellentes méthodessuivies
à l'École Militaire.4. Précision apportée dans I'emploi de la noéthode des limites.5' Prédominance accordée à la subd,,iui,si.on centésimale sur la
subdivision sexagésimale de la circonférence.
6. Suppression des discussions géométri,ques dans les résolutionsde triangles.
Spécialement, à propos des triangles sphériques, emploi systéma-tique d'un nouveau théorème relatif à l'équiaalence des systômes
d'équations employés et du groupe fondamental.
(t) De même que l'édition actuelle. (lIote de l'éditeur.)
7. Méthodes générales pour les résolutùons de triangles et
pour les disgussions dans les cas non classiques.
8. Théorie nouvelle sur les a,pprouirnatdons dans les calculslogat"ithmi,tl?res, théorie flgurant en note à la fin du livre.
III. J'ai introduit dans le chapitre des calculs logarithmiques unepetite règle très simple pour les réductions au premier quadrant.De plus, cédant aux exigences de s examens officiels acûuels,j'ai introduit également les procédés pratiques de calcul, procédésqui ne tiennent aucun compte des approximations. J'ai montré pardes exemples combien sont fantaisistes les résultats fournis parces procédés.
J'ai traité en détail deux exemples de calculs numériquesanalogues à ceux qui sont proposés aux examens ; le premier, en
adoptant la subdivision centésimale, le second, etr adoptant lasubdivision sexagésimale. Dans ces deux calculs j'ai sacrifié laquestion des approximations et observé le dispositif réglementaireimposé par l'École
Militaire; ce dispositif est extrêmement pratiqueet propre à réduire au minimum les écritures et les causes d'erreurs.IV. Je laisse au cours d'Algèbre - dont la théorie des fonctions
élémentaires devrait être la principale préoccupation le soin de
représenter graphiquement la varialion des fonctions circulairesfondamentales, sinr etc., ainsi que le calcul des dériaées de ces
fonctions et des fonctions composées. Quant aux séri,es h"igono-métriq?,ces, c'est au cours d'Analyse supérieure qu'elles appar-
tiennent; ce que I'on peut en diie dans un cours comme celui-ci nesaurait être qu'incomplet et fort peu rigoureux. Mieux vaut n'enpas parler.
J'ai réuni à la fin du livre quelques énoncés de problèmes,.pouvant servir d'exercices de récapitulation.
Y. On trouvera en Annexe, à la suite de la -D{ote I sur lesapproximations numériques, une Note II qui ne figurait pas à lapremière édition, ot, à première vue, elle semblera faire double
emploi avec la théorie vectorielle du début. Voici la raison d'êtreet la nature de cette note supplémentaire.
En réfléchissant aux bases de l'Arithmétique, j'ai dù constaterquelle place prépondérante devrait tenir, dans le cours de
Géométrie, l'étude de certaines grandeurs dites directenomtrnesurables. Les ouvrages classiques actuels ne signalent pas ces
grandeurs. Leur importance est pourtant capitale ; leur consid êra-tion établit un lien solide entre les théories éparses des débuts
des mathématiques élémentaires, of amène celui qui a I'espritsufflsammeut synthétique, à substituer à ces théories isolées une
théorie unique et générale, féconde en résultats inattendus. C'est ce
que j'ai essayé de faire dans un traité d'AnlrHuÉrreun cÉxÉnÀLu,
dont la note II est extraite.Une fois qu'on a subi la fascination de ces idées, il est presque
impossible de s'en affranchir; aussi n'ai-je pu me dispenser d'exposer
cette fois la théorie vectorielle, ou mieux la théorie des grandeursd,iri,gées, dans toute sa généralité.
Je ne me dissimule cependant pas que cet exposé synthétique
n'est pas à la portée de la majorité des élèves. J'ai donc conservé
mon ancien exposé élémentaire en tête du livre, avec toutes les
répétitions qu'il comporte ; et je me suis contenté de développerle nouYcau en annexe.
Outre les différences fondamentales que I'on trouvera à mes
deux thêories vectorielles, il en est une au sujet de laquelle je
dois fournir quelques explications. Il s'agit du théorème de Môbius.
Je dois, pour être bien clair, reprendre la question d,'un peu haut.
Il y a quatre manières de déflnir un nombre qualifié (1).
lo La première est celle qui nous a éfê enseignée, je pense,à tous : par généralisation algébrique de la différence (').qo La deuxième est celle que I'on a adoptée presque partout
aujourd'hui : le nombre qualiflé est un symbole composé d'unnombre absolu précédé d'un signe f ou d'un signe - (t).
1t; Le mot quali,fié, employé par B, NmwnNGLowsKI et par L. Coutune.r,est préférable au mot algëbriçpe. Un nombre algébrique est, dans Iaterminologie scientiûque ac[uelle, ûtr nombre qui peut être raeine d'une
équation algébrieue, e'est-à-dire où les deux membres sont des polynômesentiers en @, à coefficients entiers.
(t) E. IIuTuBERT, Traité d,'Arithméti.que, p.30. Paris, Vuibert et Nony, 1908,
(r) Con et RrnuaNN, Trai,té d,'Algèbre ëlërnentai,re, ibid..
B. NrnwnNer,owsKr, Cours d,'Al,gèbre. Paris, Armand Colin, 1909.
On soumet conventionnellement ce symbole à des règles de calcularbitraires. L'une de ces règles est que (+ a) + (- a): g.
30 La troisième manière est Ia suivante : un nombre qualifié estun groupe de deux nombres absolus, auxquels on associe I'ord,redans lequel on les écrit.
On représente ce nombre par les symboles
(a, b) ou a, - b.
On pose, arbi'trairement, les relations suivantes, à titre dedéft.,niti,,ons de l'égalité, de la somme et du produit de cesnombres :
(a,b):(a',b') si a, + b, : &t * b;(a,b) + (c,d):(a+c,b + d);
(a, b) x (c, d): (ac + bd, a,d + bc).
40 La quatrième méthodeest, à mon avis, la seule rationnelle :elle consiste à associer aux grandeurs directement mesurables d'une
môme classe le sens de leur génération, sens que I'on exprimepar I'ordre dans lequel on considèt'e les deux extrémités. Le rapportde deux grandeurs est alors qualifté gtosi,ti,f oa négatif, suivantque ces grandeurs sont de même sens ou de sens opposés (t).
J'estime que c'est la seule méthode rationnelle, parce que seuleelle donne aux nombres qualifiés une raison d.'être suffisamment
plausible. Mais ce n'est pas ici I'endroit qui convient à une tellediscussion.
Sans m'arrêter à Ia première méthode basée sur le fort peurespectable principe de perrnq,nence des formes opératoires,ni à la troisièilo, trop artificielle, j'ai démontré le théorème deMôbius dans I'exposé élémentaire, êo observant la deuxième déflni-tion, et dans ma note annexe, en observant la quatrième. En cela
(t) C. BouRl,tlt, Leçon.s d,'Atgèbre élémentqit.e, pp, g et 10. Paris, Armand.Colin, 1909.
L. CcruruRer, De l'Inf.ni, mathématiq.ue. Paris, Félix Alcan, Ig96,E. DultoNT, Aritlr,métique général,e,2u partie. Paris, Hermann et fils, lgll.
j'ai été conséquent : I'exllosé élémentaire s'adresse à des élè.resauxquels on a enscigné la deuxième définition des nombres qualiflés;tandis que la nouvelle note est destinée à un public plus âgé, que
I'on peut initier progressivement à toutes ces discussions de prin-cipes et de définitions.
VI. J'ai eu un moment I'intention de donner, également en
annexe, à I'exemple de plusieurs auteurs, la théorie rationnelledes nombres complexes (dits fort improprement i,mugùnaires).
J'ai traité cette question dans mon Arithmétique générale, d'unefaçon fort détaillée, et par conséquent je n'ai pas jugé utile de
dépouiller ce dernier livre au bénéfice d'un ouvrage classique oircette théorie ne serait pas à sa place naturelle. On n'en flni.raitévidemment jamais, s'il fallait exposer, dans un cours de Trigono-métrie, toutes les applications classiques de la Trigonométrie.Il faut laisser aux autres cours le soin de les développer au momentopportun. Je n'ai pourta,nt pas pu résister au plaisir de présenter
dans une l.[ote III des démonstrations fort simples de quelquesformules principales de Trigonométrie, par la méthode des nombrescomplexes et des quaternions. On me pardonnera, je I'espère, cettepetite faiblesse, dont la seule excuse est mon désir de voir mes
collègues de I'enseignement s'initier à l'étude des quaternions.
VII. Enfi.n, dans une l{ote IV, j'ai esquissé une théorie élémen-
taire des fonctions hyperboliques, théorie basée sur I'analogieque présente leur représentation graphique avec celle des fonctionscirculaires.
Les quatre notes qui clôturent ainsi le livre sont, bien entendu,sans aucune influence sur la théorie destinée aux élèves. A celle-cije me suis efforcé de conserver son caractère élémentaire et classique,mais cn même temps rigoureux. Je rtre suis surtout attaché à
développer le jugement et le raisonnement des jeunes gens, €D ne
leur présentant que des solutions naturelles, obtenues toujours parI'emploi
des méthodesgénérales.
Celui quipossède
bien ces priu-cipes peut résoudre avec aisance tous les problèmes qu'on luiproposera, tandis que celui qui a consacré beaucoup de temps àtraiter des centaines de problèmes particuliers au moyen de
procédés ingénieux que I'auteur lui présentait tout trouvés, celui-là,à moins d'être exceptionnellement doué, sera bien souvent incapablede résoudre un exercice imprévu.
J'ai évité avec soin la profusion des théorènes et des formulesque I'on trouve dans la plupart des cours classiques belges. Je pensequ'il est autrement utile de former des esprits judicieur et métho-diques, Que de farcir les cerveaux d'une érudition éphémère, factice,et en déflnitive bien mince.
l. Définitlon. - Le cours de Trigonométrie a pour but d'établirun ensemble méthodique de formules, permettapt d'introduire lesangles dans les calculs. \
La Trigonométrie est donc un outil mis à la disposition du"calculateur.
On apprend, en Géométrie élémentaire, à mesurer les grandeursgéométriques. Toutes les mesures se ramènent à des mesures de
segments rectilignes et d'angles. Malheureusement il n'existe, dansle domaine élémentaire, aucune relation générale entre les mesures"des angles et les mesures des segments rectilignes d'une môme flgure.Les relations en question sont du domaine de I'Analyse inflnité-simale, parce qu'elles ne contiennent pas un ûombre fi.ni de termes.On a" remédié à cet inconvénient en remplaçant les nombres quiexpriment des mesures d'angles par d'autres nombres qui déter-minent les angles avec autant de précision que leurs mesures, etque I'on a appelês nombres ,ra,pports , ou li,g nes trig onométriques .
2. I)ivlsion drr coursoË
Le cours de Trigonométrie"comprend trois parties, savoir :
I"e partie. - FONCTIONS OIRCULÀIRES.
2e partie. - TRIaNcLES REcTILIGNES.
3e partie. TRIaNGLEs spsÉnleuns.
La prernière partie a pour but de confectionner I'outil ; les.deuxième et troisième parties montrent le parti que I'on peut entirer au point de vue des triangles rectilignes et sphériques.
Avant d'entamer la première partie du cours, il est nécessaire de
donner un aperçu sommaire de la Théorie vectorielle, Qui sera utileégalement au cours de Géométrie analytique. C'est I'objet, de I'Intro-duction. Nous ne donnons de cetie théorie que ce qui est strictementindispensable à ces deux cours; nous laissons au cours de Mécaniquerationnelle le soin de la reprendre dans tous ses détails. '
3. Définitions. Étant donnés une droite et un point A sur cette"droite (fig. l), si I'on veut porter sur la droite un segment AB dontla longueur esl, le nombre absolu a, il est nécessaire de spécifler le"
sens dans lequel on veut porter ce segment.A cet effet, considérant qu'il existe sur la droite deux sens de
parcours possibles, on convient de les distinguer a,u rloyen des mots
ltositif et négatif ; et I'on choisit arbitrairement le sens positif ;I'autre est alors le sens négatif. On place vers I'une des extrêmités"de la droite une petite lettre d, fi, a... ; le sens positif est alors le'sens de parcours vers I'extrémité marquée de la lettre.
IIne droite sur laquelle on a ainsi spécifié le sens positif prend le'nom d'aûe.
On affecte le nombre absolu a; longueur du segment, du signe +orl du signe - suivant que I'on veut porter AB dans le sens positifou dans le sens négatif.
Dans ces conditions, si I'on considère sur Lrn axe deux points A etB, il importe, pour déterminer Ie signe dont la longueur de AB doitêtre afrectêe, dc savoir quel est le point qui a été placé en premierlieu et par rapport auquel on a placé I'autre.
Dans ce but, on convient d'attrlbuer une signification à I'ordredans lequel on énonce les lettres A et B : si on énonce AB, otr stipule
qu'on a porté le segment de A vers B ; si on énonce BA, cela indiquequ'on a porté le segment de B vers A. On est amené ainsi à consi-dérer des segments de droite en attribuant une signification à I'ordredans lequel on énonce les lettres représentant ces segments ; ceux-ciprennent dès lors le nom da aecteurs.
5. VuctebrLdlreeteur. - On convient de mesurer tous lesveeteurs d'une même figure par rapport à un même étalon.
On appelle ùecteur-d,irecteur d'un axe ar, un vecteur ilÎfi portêpar cet axe et tel, quo sa mesuro MN: * l.
Un vectcur-directeur détermine complètement I'axe qui le portgpuisqu'il en indique la direction, le sens positif et I'étalon.
Si nous désignons parôle vecteur-directeur de l'axe o,le veôteurIF pourra se représenter par ô.1n.
8. La noti,on d,e la mesut"e d'un Decteur a,-B nous permet d,e
détermi.ner le point B sur un aûe lorsque le poi,nt A y a étéarbi.tr airetnent placé.
?. Théorème de llôbius. - Étant d,onnés trois points A, B, C
sur un aae, iI eoiste entre les rnesures d,es oecteurs d,éterminéspar ces trois poônts la relation:
AB + BC lr CA:0.En effet, I'un des trois points se trouve nécessairement entre les
deux autres; soit A compris entre B et C.
On aura (') lcAl+ laBl: lCBlD'autre part, il est évident que eÂ, ÂE et ôB sont trois vecteursde même sens. Donc les nombres qualifiés CA, AB et CB ont lemême signe. Par conséquent, le nombre CB est la sornme desnombres CA et AB, puisqu'il a pour valeur absolue la somme deleurs valeurs absolues et que son signe est le signe commun àces deux nombres (t). On peut écrire :
ca + ÀB: cB.Aux deux membres de cetie égalité ajoutons le nombre BC:
cÀ + ÀB + BC: CB + BC:0.On vériflera de la même manière I'exactitude de la formulo sic'est B ou C qui est le point intermédiaire (3).
8. Remarque I. - On utilise souvent les formules suivantes :
AB-AC+CBet BC:AC-ABqui se déduisent immédiatement de la formule
AB+BC+CA:0.
(r) D'après la déflnition tl'une somme de nombres absolus: mesurs de la I
soûrme des grandeurs dont ces nombres sont les mesures.
(!) Définition d'une somme de nombres qualifiés (Nrnwnrar.owsn, Bounr,nr).(8) Ou mieur: ïra formule êtanr, symëtri.que en A, B et C, est généralo.
est lasomme géométrique de tous les systèmes de vecteurs équipollentsàÂFetffi.
Remarque If. Si I'on change Ie pôle, la somme géométriquereste équipollente à elle-même.
Remarque llf. - L'orâre dans lequel on envisage les deux vecteursn'importe pas. En effet, soit 0F - ffi. Joignons PN. La figureOPMN est un parallélogramme puisque deux côtés MN et OP sontégaux et parallèles;
donc,et par . suite,
devientFN:ffi-TBÔT-6.F+PNON:- CD + AB.
Remarque IV. - Étant donnés trois points A, B, C dans I'espace,oo a, toujours la relatioo _AB: AC + Cts.
12, Remarque V. - On généralisera facilement pour plus dç deuxvecteurs.
'13.
Projeetlons. - I)éfinitions. - Étant donnés (ûg. 4) unaxe fi et un point A non situé Sur I'axe, on appelle projecti,onde L sur l'a,,æer le point de percée de I'axe et d'un plan mené par Aparallèlement à un plan a appelé plan directe?ir. Lorsque leplan directeur est perpendiculaire à loaxeo la projection est' diteorthogonale.
-qp
appelte projecti,on d,'un aecteur ÂFlsur
ArB, déterminé sur I'axe par les projections doDe môme m,. est la projection de m,.On ecrit: æ; : pr,5E
La tlroite qui joint un poùt à sa projeciion s'appelle proietante'
14. Remarque. - Des vecteurs dont Ies mesures sont des nombresqualiflés 6, i p, peuvent se représenter par les notations 5' T; F'
Les projections de ces vècteurs sur un axe û peuvent se repré'.senter par tes notations 8,, T', fi*. Les mesures de ces derniers
oe"trot-t seront alors représentées par les notations 2 6,, In, Fn'
t5. Théorème l. - Lorsqu'on proiette une ft,gure plane surun a,fie situë tlans son plan,toutes les proietantes sont parallèles.à l'i,ntersecti'on d,u plan d,e la fi'gure aaec le plan dàrecteur'
En effet, ces droites sont les intersections du plan de la f'gure avec
'des plans parallèles au plan directeur.f6. Théorème II. - Les proiect'i,ons d'un oecteur sur d'euæ
^aaes parallèles sont d,eun oecteurs équiptollents.
Soient (fig. 5) deux axes parallèles a of y et un vecteur ffiSoient pr,Â-B: ÂFr et PrÂ-B: Âæe.
-/B-A{
#A'.F.fiÉ. 5.
On aura lÀrBrl : lArBrl comme mesures de segments $e parallèles
compris entre deux plans parallèles. De plus, les vecteurs Artsr et
FoB, sont de même sens, sans quoi les plans projetants se
couperaient.
Donc, IS, : IlBs. ou Pr"ÂlE: PrrI5.t?. Théorème ltr. - Les proiect'i'ons sur un même aæe, de
d,eua oecteurs équipollents, sont deuo oecteurs équ$tollents.
Soient (tg. 6) los vecteurs équipollents: ÂB: ilD, et un axe at'
SOient S1- Pr,ffi et @, - Pr'0D.
Je dis que ffir:6Pr.Menons par À et C deux axes Y et z parallèles à æ. Soiont Br et
D, leurs pôints de percée avec les plans p et ô projetant B et D.
On aura (t6) pr"[B: PrrÂ3 et Pr,eD: Pr,ffiou ISr:;3, et @, :65r.Iæs triangles ABB, et CDD' sont semblables comme ayant leuç
côtés parallèles; en effet, les plaus de ces triangles sont parallèles;
De plus, puisque lABl : lCn1, les deux triangles sont égaux ;"
donc, lABrl - l0Drl.Enfin, puisque ÀE et m sont de même sens, m, et m, le
sont aussi.
Donc, Â8, : ffi, ou pr*ÂF : pr,CD.
Corollaire. De là résulte que I'on a aussipr*AB - pr*CD.
{.8. Théorème IV. - La (mesure de la) projection d'u,ne résul-tante s?.tr' un a,fre est égale ôL la so?wne des (mesures des),proj ections des coynposa,ntes.
Soient (fi$. 7) deux vecteutr E etÆ, et leur résultante :
ON: AII + CD.
A, e, B, D,
o''n
A
iDtr''rc. 7.
:il suffit de démontrer le théorème pour ôT[, puisque toutes les
résultantes sont équipollentes.il faut prouver que
prrAB : prroM et pr,,CD - prrMN.Donc, pr,ON-.pr*AB+pr',CD.19. Théorème V. Étant d,onnés d,eun ates et ?tn aecteur
si'tués dans un même plan, si l'on. projette le Decteur sulr
chaque afie, parallèIentent ù l'autre a,{te, le uecteut" est tarésulta,nte de ces deun projections.soient (flg. 8) les axes fi et y et le vecteur ffi.il faut prouver qo"_
AB:pr*Atsfpr,rAB.Par A menons un axe æt parallèle à" n et par B un axe yt parailèle
ày.
soit c le point de renconrr*"iàt*, et de a,.on a (ll) IE:.M+CF.Or (16) m-pr*,IE-pr..ffi
et 0B_: pr,,,ffi *- prrÂEle théorème est donc démontré.
2A. Produiû géométriqrreo Définition. On appelle,produit géométrique de deux vecteurs, le produit de la mesure d.el'un par la mesure de la projection de I'autre sur I'axe qui portele premier.
. Soient (flg. 9) deux vecteurs Æ-et CD', portés respectivement parles axes $ et y.Pour que Ia définition donnée soit complète il faut prouver que
quelconque de I'espace, pal' exemple O, menons deux
Onfr-ffi et N-m.æ:pr,OIi: pn ffiOO : prrOlfi: pfrffi-.
Le quadrilatère PNQM est inscriptible dans une circonférencedont MN est le diamètre.
Le point O peut être à I'cxtérieur ou à I'intérieur de cette
circonférence. Dans les deux cas, it 'est démontré en géométrie
élémentaire que sa puissance est constante :
* Ks : OP.OM : ON.OQ.
AB.prrCD - CD.proAB.onc
Le produit géométrique se représente par la notation AB.OI).
2t.. Théorème I. Le prod,,uit géométràque de deuæ aecteurgégui,pollents est égal 0,u carcé de leur rnes?r?^e.
Soient (fig. I0) ÂE: ffiOn aura m.m'- AB.pr*CD'
CD" T- - - I- - -A3
E+,". 'ï
B
Les axes û et y étant p4ratlèles, prp : prnffi : 6 - ^friF
donc prr0D = AB,
et par suite I3'.CD
-AB.AB
-.Â3:.
22. Théorème II. Le produit géométri,que d'une résultanteet d'un tecteur est égal à la solnrne des gtrodui,ts géométriquesdes cornposontes et de ce uectezcr.
ÊC:BT +IC.Projetons sur I'axe æ qui porte le vecteur MN:
pr*BC:prrBA+pr,AC.Multiplions les deux membres par Ml\ :
MI{.prrBC - MI.[.pr*BA + MN.pr,AC
ou IIII.BT - W.m + I[N.m. c.q.f.d.
23. Théorème III. - Le carcé d'une résultante de deufr aecteurs
est ëgal à la sowtrne des carcés des co?nposantes et d,e leur'double produit géométrique.Soit une somme géométriquu:
BC:BA+AC.En vertu du théorèm:- tt (22) :i "oî
BC.BC: BU.tsA + BC.AO
d'où
: Ef.m + BEIC + BT.m + ÂC.m.
m'_-M'+Fe' +LBT.ÂT.
S 2. ARcs TBlcoNoM Érnteu Es.
24. I)éfinitions. - Considérons une circonfércnce de centre C ; unpoint A de cette circonférence (fig. ll). Si I'on veut porter à partirde A un arc dont la longr-reur est un nombre déterminé a, on estconduit à faire exactement les mêmes conyentions que lorsqu'ils'agissait d'une droite. On distingue donc les deux sens de parcourspar les noms respectifs positil (ou direct) et négatif. Une fois lesens posi[if choisi, la circonférence est dite orientée; on indique lesens positif à l'aide d'une flèche courbe placée autour du centre.
On convient de prendre sauf avis corr-traire comme sens positif, le sens inversede celui suivant lequel se déplacent les aiguillesd'une montre urarchant normalement ; cetteconvention nous dispense d'indiquer le senspositif à I'aide de la flèche.
On afiecto le nombre q,, longueur de I'arsconsidér,ê, du signe + ou du signe - suivantporté dans le sens positif ou dans le sers
Si donc, on nous dit gue I'arc AB a pour mesure le nombre + a,
le point B est bien déterminé sur la circonfôrence ; it en serait demême si I'on nous disait que I'arc a pour mesure le nombr e - o,;par exemple, le point A est déterminé par rapport au poinr B, grâceau nombre - a.
Jusqu'ici il n'y a pas de différence avec ce que nous avons dit àpropos d'une droite.
25. Bxpression générale de la rnesure dtun rFGoSupposons qu'un point A ait été placé arbitrairement sur une circon-férence orientée, et qu'un point B ait et"é placé ensuite, grâce à cerenseignement, que I'arc Ats a pour mesure un nombre positif * a;supposons encol'e que ce renseigncmerrt ait étê perdu e[ qu'on veuillele retrouver. Il suffira de mesurer le chemin qu'il faut faire décrireà A pour I'amener sur B et de noter le sens dans lequel ce chemin aêté parcouru. On fera alors précéder la mesure du chemin du signe+ ou du sigrre suivant gue I'on a fait tourner A dans le senspositif ou dans le sens négatif. Mais aussitôt on constate que lacirconférence est unc ligne telle, Que I'on peut faire tourner A dansles deux sens pour I'amener sur B ; et que, de plus, dans chacun de
ces deux sens, il y a une inflnité de' chemins de différentes longueurs,En efiet, soit c la mesure d'une cir,conférence.
Considérons un mobile qui, partant de A, décrive la circonférencedans le sens direct. Il passera au point B après avoir parcouru unchemin a. Il y passerA une deuxième fois après avoir décrit en plusune circonférence, soiû un chemin tota I a * c ; une troisième foisaprès avoir décrit une deuxième circonférence, soit un chemin totala * 2c; d'une façon générale, il passera en Il après avoir décrit un
chemin total a * kc, lt, étant un nombre entier positif. f)e même,si le mobile partant de A décrif la circonférence dans le sens négatif,il passera une première fois en B après avoir décrit un chemirr dontla mesure est - (c - a) ou ct, - c ; une deuxième fois, après unecirconférence de plus dans le sens négatif, soit un chemin totata-c-c ou a-Zc; une troisième fois, après un chemin a,-3c;en général, il pessera en B après avoir décrit un chernin dont lamesure est a- h'c, kt étant un nombre entier positif, ou a * hc,k étant un nombre entier négar,if.
Tous ces nombres, pris individuellement, sont les mesures d'arcsayant A pour origi,ne et B pou r entréntité. Représentons I'ensemblede tous ces arcs par la notation a,rc (AB) et I'ensemble de leursmesures par .G.
Ce symbole ÂÈ représente une infinité de nombres, eD progressionarithmétique de raison ci tous cclnteuus dans I'expression hc * a.
C'est à cel, enseinble de nombres, noté &, que nous convenons dedonner le nom de tnesu?"e de l'arc (AB) ; et cela parce que, à cetensemble de nombres ne coruespond qu'un seul point B, biendéterrminé par rapport à A grâce à la connaissance de I'un quel-conque dt;s nombres lzc { a.
Nous dirons que ÂÈ : kc * a est zcn nombre déterminé, si a,
est déterminé, sansque
k le soit, toujoursparce
quc la connaissancede a suffit à fi.xer la position rela[ivc des points A et B ; c'est cetteposition relative qui est caractérisée par L'&rc (AB).
26. En résumé, un a,r"c trigonométrique est une noti,on cornpleuecornprenant :
Io la figuî"e consti,tuée par deur poi,nts d'une c'i,rconférence;20 l'ordre dans lequ,el on énonce ces deuæ points. '
Le point que I'on énonce en premier lieu en est I'or"igine; I'autrepoint est I'entrémité. L'arc trigonométrique ayant A pour origine
et B pour extrémité est noté cLrc (AB).Deux points A et B d'une circonférence déterminent deux arcs
trigonométriques : e,rc (AB) et a?"c (BA).
La mesure de l'a,t^c (AB) se note (È. C'est un ensemble denombres compris dans la formule générale kc { a, qlle I'ondétermine comme suit :
Io On oriente la circonférence ;
20 On mesure I'un des chemins qu'il faut faire décrire à A pour
I'amener surB
;30 On place devant ce nombre a le signe + ou le signe <
suivant que I'on a fait tourner A dans le sens positif ou rlans lesens négatif ;
40 On mesure la circonférence à I'aide du même étalon et I'onmultiplie le nombre obtenu par k.
La mesure cherchée est I'une cles expressions kc * a ov fuç - 6.Soit un o,r"c (AB) ; et soit
40 On mesure I'angle d'un tour (quatre droits) par rapport aumôme étalon, et I'on multiplie le nombre c obtenu par I'entier k.La mesure cherchée est I'une des expressions kc * a ou kc - æ.
Soit un angle (oy), êt soit
mes angle (æA) : 6ù : hc * d.
Pour l'angle (yæ) on aura :
mes angle (yæ) : fu: fuç - a,^.d'où fiy
+yfr : kc.
On convient encore d'écrire hc - 0
d'où ûr+fr-o.on a aussi û îù.C'est-à-dire que tout nombre cle l'ensernble fu estun des nombres
de l'ensemble îy cnangé de signe, et réciproquement.
Le nombre A : kc * a et l'angle (rù sont déterminéslorsque æ est déterminé; en effet, a fixe la position de
ypar
rapportà n, et c'est uniquement cette position que les définitions et conven-tions précédentes ont pour but de déterminer.
31. t'héorème. - Êtant d,onnés trois afres x, y et z situés d,ansun mêtne plan,'ùl eniste entre les rnesures des angles déter-mi,nés p&?" ces trois a,tes, ta relation.-
ù +fr + à:o.Menons par un point O quelconque tlu plan, trois axes frr,Ar et zg
parallèles aux axes ,r, y et z.
En vertu d'un théorème de Géométrie nous poumons écrire :,/r ,^..
^rtAr - {fry U$t : yZ Ztfrr: flfr.
soient &r: kc { a
ûr: kc*P,^ïrfrt: kc * T
q., p et T étant trois nombres positifs.On aura évidemment
33. Remarque II. On généralisera aisément pour plus de trois: âXOS.
s 4. MESURE DES ARCS.
g4. Étrtorls. On rapporte couramment les arcs à trois"étalons distinccs :
lo Considérés comme çyrand,eurs d,irectenzent nùesurables,lesârcs peuvent se mesurer en prenant la circonférence comme étalon.Pour éviter les nombres fractionnaires, on a donné des noms parti-culiers à certaines parties aliquotes de cet étalon ; on a crêê, ainsideux systèmes de sous-multiPles :
A I La circonférence comprend g0O degrés, notés o ; le degré,,60 tninutes (t) ; la minute 60 secondes (tt).
La mesure d'un arc en degrés est représentée de la façon.suivante :
350 42t 26u r7,le dernier chifire (7) exprime des dixièmes de seconde.
Ce système constitue la subdiuision sefiagési,male; il y manqueun échelon initial qui vaut 60 degrés; c'est l'arc dont la corde est.égale au rayon.
Bl La circonférence est subdivisée en 400 grades, notés * ou ";le grade est subdivisé en décigrades, centigra,,des, mi,Ili,grades etc.,
'd'après le système décimal.
La mesure d'un arc en grades sera notée :
L27c,45913.
Originairement, le quart de circonférence ou qlca,drant comprenaitf 00 grades ; le grade, 100 minutes (') ; la minute, 100 secondes (tt) ;I'arc L2"1e,45913 devrait dans ces conditions être noté Lq27"45rgltr,3.
-C'est ce qui explique que ce système s'appelle subdiuision centési-tna,Ie. Seulement la notation décimale est autrement simple.
2o Considérés comme a,rcs de courbe,les arcs sont aussi rapportésau rayon de la circonférence. Le cours de Géométrie élémentaire.définit ce qu'il faut entendre par longueur d'un arc par rapport àL
un étalon rectiligne. La longueur de la circonférence parrapportau rayon est le nombre Ztr.
L'arc ayant pour longueur le nombre I s'appelle rad,àan (t).La longueur d'un arc quelconque par rapport au rayon est égale.à la mesure de cet arc en radians.
35. Remarque. - La subdivision sexagésimale présente I'avantagede donner des nombres simples pour les arcs des polygones réguliersusuels ; I'arc de 30o en particulier est très utile en Trigonométrie.
La subdivision centésimale est avantageuse en principe, les calculs
se faisant dans le système de numération décimale. Elle a, êtêimaginée par Laczu,NGE, en même temps que I'on adoptait le mètre"comme étalon rectiligne ; sur un grand cercle de la Terre supposéesphériQtro, le centigratle a une longueur de r kilomètre.
Cette relation simple est fort utile en Géodésie.
On a imaginé également un système mixte où le degré est l'étalonprincipal, et on lui a appliqué la subdivision décimale ; seulementle mot grade devrait être préféré au mot degré, car celui-ci se prêtemal à la formation des noms des sous-multiples décimaux. Des
tables de logarithmes ont êté établies pour ce dernier système ;mais cette innovation n'a pas eu de succès.
Dans tous les calculs théoriques, c'est le radian qui est utilisépour mesurer les arcs, à cause de la simplicité que ce choix apporte"dans le calcul des dérivées.
36. Conventions. I.{ous représentons la mesure d'un arc enradians par une petite lettre a; la mesure d'un arc en grades par une.grande lettre A ; la mesure d'un arc en degrés par une grandelettre afrectée de l'exposant o : Ao. Dans la première partie du cours
nous prendrons le radian pour étalon. Dans la deuxième et latroisièrê, nous prendrons le grade. Les lettres grecques serontemployées indifféremment dans les trois systèmes. Dans la troisièmepartie, nous devrons d'ailleurs faire de nouvelles conventionsrelatives à la représentation des mesures des arcs.
37. Problème. Connaissant la rnesure d,'un arc dans u,nsystème, calcu,ler ta rvùesure d,u même a,rc dans un des d,eun'autres systèmes.
Soient a,, Ao et A les mesures d'un arc par rapport au radian"
au degrê et au grade. Le rapport des mcsures de deux grandeqrs demême espèce est indépendant de l'étalon choisi. De là résulte
(t) Néologisme; ce mot n'est pas encore admis par l'Académie. Il ne figureni dans LtrrnÉ ni dans BnscsrRELLE.
l'égalité des rapports de la mesure de I'arc à la mesure de la
circonférence. aAoA%: s0: m'
Ces relations donnent la soh-rtion du problème.
Exemple I. Calculer en grades la mesure du radian.1X%: aoo
d,ot\ x
- ry:200
x
*:200
x 0,Br8g0 98861 8g790 6?151...
etenfin X- 63",662.
Exemple I[. - Calculer en raclians I'arc l0rr.æ10%:=ffi
d'ori n :
'|+SOO:
0,00004 84813 68I...
Exemple III. - Calculer en radians I'arc 0",0025.û2ô2, : A.o0o.ooo
d'où ,r :sôË0ô
: 0,00008 92699 08t69 82...
38. Déftnltlons. - Deux arcs sont. ùits égo:u,n et d,e signescontraàres lorsque la somme de leurs mesures en radians vaut2hæ.
Deux arcs sont dits complémentaires lorsque la somme de leurs
mesures est 2kæ g|.Deux a.rcssont aitl sup4ttémentaires lorsque la sommc de leurs
mesures est 2hæ | æ.
Deux arcs sont dits d,iamétralement opgtosés lorsque Ia diffé-rence de leurs mesures est 2àæ * r.
39. Théorème. - Deuæ arcs x et y, ayant même ori,gdne etd,ont la sorwne x * y :2kæ | a, ont leurs eatrémi,tés symé-triques pd,r ra,pport à, ta bi,ssectrice d,e l'angle d.
a étant le plus petit nombre positif de I'ensemble 6À (fig. fS),sera la mesure de I'arc géométrique OÀ décrii dans le scns positif.Soit M lo milieu de cet arc.
ou oî{+ln^x+où+iffy-oÀou encore 2kæ + 3 + MX + 2k- -s- ! L- o^(r - I\[X + Zkr + t + NtY : Zltæ * a
MX+MY
Mi+xùMY: XM
-ofr*
: Zhn.
)
et si I'on pose I\îX - Zhæ * p
P étant un nombre positif, mcsLr re du plus petit arc géomôtriqueMX décrit dans lc sens positif, on allra :
fM : û^y - zkn- p.
De là résulte évidemment qlre les arcs géométriqucs MX et MYayant tous deux pour mesure p, sont symétriques par rapport audiamètre CM, ainsi que les points X et Y.
40. Corollaire f. - Deux arcs égaux et de signes contraires ontleurs extrémités symétriques par rapport au diamètre qui passepar leur origine commune.
En effet, pour ces arcs, d:0, et le point M est confondu avecles points O et A.
Si I'un des arcs a pour mesure & = Zkn * uo - fi
I'autre aura pour mesure & : ?kn - ûo41. Gorollaire II. Deux arcs complémentaires qui ont même
origine, ont leurs extrémités symétriques par rapport à la bissec-trice du premier quadrant.
pour ces arcs o:!n.Si I'un a pour mesure C,x: Zn" * fro: n
I'autre aura pour mesure îy -zn"+i-no:1,-*.42. Corollaire IU. - Deux arcs supplémentaires ont leurs extré-
mités sur uue parallèle au diamètre de I'origine (a: n).Si I'un a pour mesure
ô.x: zn* * ûo: nI'autre aura pour mesure
6ï:2kæ*ft-ûo:ic-û.43. Remarque. - Les extrémités de deux arcs diamétralement
opposés sont aux extrémites d'un mêmc diamètre.
Soient 6È:æ et ôy -y, aveclacondition û-y:Zkn*n.Il en résulte û:Zhn * n * A,
ce qui démontre le théorème.
S S. _ MESURE DEs ANGLES.
44. Thérème I. - Un angle au centre a la même rnesure erùoaleur absolue et en signe, que l'arc qu'i,l ântercepte sur Ia. circonférence, à, cond,i.tion d,e prendre corntne ëtalon d,'angle,I'angle au centre qui intercepte l'étalon d,'arc, et le même sens
. positi.f pour les angles et pour les arcs.
Itrtalons. - Aux trois étalons d'arc correspondent donc troisétalons d'angle : I'angle radian, I'angle degré et I'angle grade.
Remarque, - Dans la suite du cours, afln d'éviter des complica-
:r tions de discours, Ies expressions angle d, atc q,, mesure de I'angle a,- mesure de l'atc a, devront être considérées comme équivalentes.45. Théorème II. - Si. l'on prend, pour étalon d,'arc un arc
d,e longueur I, et comme étalon d,'angle I'angle radian, larnesure d,'un arc est égale au prod,ui.t d,e la mesure d,e I'anglepar la rnesure d,u rayon.
Soit (tg. 14) un angle ny qui intercepte un arc O'At sur unecirconférenee dont le rayon a pour mesure COr : Re
Àvec l'étalon rectiligne pour rayon, décrivons du point C commecentre une circonférence.
46. Les nombres trigonométriques ou foncti,ons circulairesprincipales sont au nombre de six, savoir : le sinus, le cosinus,la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante.
S l. - oÉrlNtTloNg.47. Théorème. - ,Si l'on ltrojette orthogonaletnent un aecteur
Kf, -Ç. KL srtr un q,fre quelconque x et sut" ,ttr,n a,fie y tel, çI,rre.^.A : + ;, les ,"û,pports
pr,KLKL erwsont indépendants du nombre KL.Menons (fig. t5) par le point de rencontre C de æ et y un vecteur
eM-Kt; soient
m, - pr*CM: prrm et Wr: prrffi: prrffi.Le théorème revient à démontrer que les rapports # et #
sont indépendants du nombre CM.
Or les triangles CMMr et CMM, restent homothétiques à eux-mêmes, quelle que soit la position du point M sur I'axe ur. Pour
48. Définitions. Les rapports consta nr-KL ef. PÉLnts fr- et ffis'appellent respectivement cosinus et sinus de I'angle (uu).
on les représente par les symboles cos ât et sinâc,Les axes fi et y sont appelés afies trigonométriques pour tous
les angles d'origine fi.L'axe æ est l'aæe d,es cos'inus, I'axe y est Y ane d,es s,i,nu,s.
Soit KH - * l, c'est-à-dire Ktr -Tc.on aura cos ;"- pr*KH
. On peut donc dire que :
49. On apgtelle sinus et cosinus d'ren angle, les rnesures desprojecti,ons respectiaes du uecteur-directeou de I'ane entrêmesr,cr" les afres trigonométriques corr"espondant ù l'ane ot"iginede l'a,ngle.' Posons â,
-Zltæf a : e,,.
. On appelle tangente, cotangentg, sécante et cosécante de
I'angle a les nombres respectifs g, 3ry, ==l; et $ tcos 4 stn 4 cos 4 srn A
on les représente par les symboles tga, cotga, sê,ca et coséca.
50. Théorème. La lnesure de la projection orthogonaled'orn Decteu,r .s?ri" un a,fie est égale ccu produi,t de la rnesuredu ',*ecteztr pa,r le cosinus de l'angle d,es a,fies.
Ce théorème esb une conséquence immédiate de la définition ducosinus (fig. 16).
On a) en effet, pour It, -Tî.KL,: KL cos n?.1.
bf,. Théorème. Le proar),, iîr*étt i,que de d,euæ uecteurs
est égal au produit de leu,rs rnesures per le cosinus de l'ang\ede leurs aûes.Soient deux vecteurs : ÂE : î.r\B et m -lucD.^.On a: AI}.CD : AB.prrCD : AB.CD.cosl,c'l)
: CD.proAB : CD.AB.cos îr.â2. Remarque. r Il résulte accessoirement de ce théorèreo que
cos uu - cos au.53. Cerele trlgonométrique. - Çe1sidérons un angle (nu\
et menons l'axe y par le point de rencontre des axes æ et u (fr9. I7).Soit fr?,e 'î.- A, - Zkr, * a.
Soit 6.: u le vecteur-directeur de I'axe ?r. Si nous faisonsvarier d. de 0 à 2æ, le point A décrit une circonférence appetéecircanfé,rence trig onont étrique,
Sur cette circonférence, û : âr: e, : ukn f a.
L'arc (OA) et I'angle (mu) sont parfois dits corcespondants.On appelle nombres tri.gonométriques de l'arc (OA) Ies
nombres trigonométriques de I'angle (æu).54. trteprésentation grephlque des nornbres trlgo-lrornôtrtqnoBo
Le nombre a, rnêsure de I'angle géométrique nu,, est représentégraphiquement par I'arc OA à l'échelle CO - l.
Les six nombres trigonométriques peuvent être représentés graphi-quenent à la même échelle.
En vertu de leur définition,CD
Menons en O et en P deux axes t et z respectivement parallèlesaux axes trigonométriques ; soient T et Z les points de rencontre de
ces axes avec I'axe ?r.
:Iu
7-'
ïù
L
)
7
S B o æ
T
Les triangles COT, CPZ, CÀD, CAB, sont homothétiques; leurscôtés homologues sont des vecteurs de même sens ou de senscontraires; donc les rapports des mesures sont égaur en valeurabsolue et en signe.
oT _ co cf Pz _ cP.CD DA DA CD
Or, DA : CB CO: CP: l;donc cD sinaor: eB
:ô"57
: r8o
et CB cosa*': ol :sitra
: cot8{l'
Les axes t et a s'appellent aoe des tangentes et aoe d,es
cotangentes.
En A menons la tangente à la circonféreûce.Par définition du produit géométrique (r):
DOnc CD.CR:I ou CR::: ,I :coséca.CD sin a55. Théorème. Le sinus et le cosinus d'u,n a,ngle ou de
l'arc correspondant sont les mesures des projectdons du rayonentrême de I'arc ,"especti,uement s?rr' les afies des sùnus et descos'incts,
56. Théorème. - La tangente et la cotangente d,'un angle oude l'a,rc corc;espondant sont les rnesures des oecteurs làmi,téspar le rayon eætrême de l'a,rc sur les afies des tangentes etdes cotangentes.
57. Théorème. F La sécante et la cosécante d,'un angle oud,e l'arc corcespondant sont les rnesures d,es aecteurs ti,mitéspar ta tangente géométrique ù l'eutrémi,té d,e I'a,l"c, sur lesa,fies des cos'inus et des s'i'nu,s.
58. Remarque.Cette
représentation graphigue des nombrestrigonométriques fait que souvent ces nombres sont appelês li,gnestri,gonométriques, ou plus simplement lignes d'un arc.
59. Remarque. - En vertu du theorè.* (l9) on a !
KL:pr,KLfprrKlou u.wr - fi.KL cos î" + A.t<nsinâ,c.
En particulier, pour le vecteur Cf - u:
u:CA
-fr..orôÀ
+y sin6À: cosn
+sina.
s 2. DU SINUS.
60. Signe. Lorsque le point A se trouve dans le premierou le deuxième quadrant, sina est positif ; dans le troisième et lequatrième, sina est négatif.
61. Variations. Il résulte de la définition, QUê sina est' indépendant de k; sina - sin(Zkæ * a) : sine.
Lorsque q:0, A est en O, D est en C, sina-
0.
A mesure que d. croît, D s'éloigne de C dans le sens positif de
I'axe U; donc sina croît ; lorsqr-re A arrive en P, * : l, et sina
Lorsque A décrit le second quadrant, le point D revient
sin a diminue.Pour d: ns A est en O', D en C et sinæ - O.
Lorsque A décrit le troisième quadrant, D s'éloigne de Csens négatif , donc sin a est négatif et décroît de 0 à - I,minimum qu'il prend lorsque A est en Pr, c'est-à-dire lorsque
Lorsque A enfi.n décrit le quatrième quadrant, D revientsin a croît, et redevicnt nul lorsque a revient en o.
Le sinus est une fonction périodique de I'arc, continue pour toutesles valeurs ; l'amplitude de la période est 2æ. Sin a peut prendretoutes les valeurs comprises entre + I et - l.
Exercice. Représenter analytiquement la fonction y - sin #.62. Problème. Étant d,,onné un not?zbre m, étabtir les for--
mules des a.,r'cs dont il est le s,irtus.l. lml
2. lml-L.al D?,:+I a,-Zhæ*
bl rn- -I a,-2kæ-;.3. lrnl
des sinus, à partir du point C, dansle sens indiqué par son signe.
Soit CD : fi?,. Par D menons uneparallèle à I'axe lr ; elle coupe lacirconférence trigonométrique endeux points A et Ar qui seuls ont
D pour projection (fig. l8).Les arcs 6À : Zkæ l- a
fir -zkn*æ -aépondent seuls à ta question (a est
I'une des valeurs de 6À;.
63. Remarque f. Le sinus d'un arc
mesure de la corde de I'arc double.
Les sinus de 18o, 30o, 36o, 45o, 54o, 60o, 72o sont les moitiés desmesures des côtés des polygones réguliers étudiés en Géométrieélémentaire-
64. Remarque I[. Il faut connaître par cæur les valeurs
suivantes ::
sin 30o - sin
sin 45o : sin 50" - sin
sin 60o
s 3. DU COS|NUS.
65. Signe. - Lorsque le point A se trouve dans le premier oule quatrième quadrant, cos a est positif ; daus le deuxième et letroisièile, cos a est négatif .
66. Var.lations. cos e, -- cos (Zltn + a) - cos a.
Lorsque d:0, A est en O; B est en O, cos a - + l.A mesure que d. croît, B se rapproche de C, donc coS.e décroît;
lorsque À arrive en P, o -_ T, et B est en C, donc cos î : 0.
Lorsque A décrit le aeo"iJme quadrant, le point B .'Joigo, deC dans le sens négatif de I'axe fi, donc cosa décroît de 0 à - l,valeur minimum qu'il prend lorsque A est en Of c'est-à-dire pourcL : TE.
Lorsque A décrit le troisième quadrant, B revient vers C, donc
cosa croît et redevient nul pour o:ff, A étant alors en Pf .
Lorsque enfin, A décrit le quatrième quadrant, B s'éloigne de C
dans le sens positif de l'axe fi, donc cosa croÎt de 0 à + l, valeur
maximum qu'il atteint lorsque A étant revenu en O , d.: 2æ.
Le cosinus est une fonction périodique de I'arc, continue poûrtoutes les valeurs ; I'amplitude de la période est Ztr. Cos a peutprendre toutes les valeurs comprises entre + 1 et - l.
Exercice. Représenter analytiquement la fonction U : cos ri.6?. Probtème. Étant d,onné un nonzbre m, ëtablir les
formules des e,rcs dont il est le cosinzt s.
l. pnl
2. lrnl: l. al tlù: + t & -2kæ.
b/ TJ?,--l a:=Zkn,f æ.
3. lrnlcosinus,' à partir du point C, dans le sens indiqué par son signe.
So it Qfi, : yy;,. Par B rnenons une parallèle à l'axe y ; elle coupe
la cir.conférence trigonométrique en deux points A et At qui seulsont B pour projection (fig. l9).
Les arcs OA :2kæ * a
OAf :Zkn - d.
répondent seuls à la question (a est
I'une des valeurs de û.;.68. Remarque I.
-En valeur
absolue, le cosinus ù'un arc < T2
est I'apothème de la corde de I'arcdouble.
Frc. 19.
69. Remarque II.suivantes :
et de
on déduit
cos 60o : cos î: *-ùa'
cos Q, - cos (Zkn * "): cos d
tga - tg (Zkn * ") - tgo..
n faut connaître par cæur les valeurs
cos 30o : cos
cos 45o: Cos 50" : cos
r:v562 r -\122
s 4. - DE LA TANGENTE.
70. Signe. Lorsque le point A se trouve dans le premierou le troisième quadrant, sin a et cos a ont le même signe, donctga est positive; dans le deuxième et le quatrième, sina et cosoont des signes contraires, donc tg a est négative.
7r,. Yarlations. De sin a : sin (Zkn * o) : sin a
Faisons varier d. de 0 à 2æ.
Pour or:0, sina:0, cos q.: L, donc tgo: Q.
Lorsque a croît de 0 à Tr, le numérateur sina croît de 0 à + l;Ét
le dénominateur cos a décroît de * I à 0, donc tg o croît.
tg ; se présente sous la forme du symbole i. Pour établir sa,
signiflcation, voyons quelle est la limite de tg (: -L) pour ). -. s\É/ /(I étant un nombre positif voisin de 0). Nous savons par I'algèbrequ'une fraction dont le numérateur a une limite flnie, et dont ledénominateur diminue et a pour limite 0, croît en valeur absoluesans limite ; nous dirons donc conaentionnellement :
r*- ).)^ ^: f ooim ts (; - ,.)\*0- ou tgT:+oo..)
t
f)ans le deuxième quadrant, tg o est lrégative ; voyons commentvarie sa valeur absolue : Iorsque c/- diminue et a pour limite æ'
2'le numérateur augmente, le dénominateur diminue en valeur absolueet a pour limite 0.
Donc, lim r* (î * t)r.*o: - oo ou tsi.: E oo.
Lorsque, au contraire, a âugûrente et a pour limite æ, le numéra-teur diminue et a pour limite 0, le dénominateur augmente et rpour limite I (en valeur absolue)
;donc tg
o diminue en valeurabsolue et a pour limite 0 ; par conséquent, dans le deuxièmequadrant, tg o croît de - oo à 0.
Dans le troisième quadrant, sin e prend, dans Ie même ordremais en signe contraire, les mêmes valeurs que dans le premier;cos e également, donc tg o reprend, dans le même ordre et avec Iemême signe, les mêmes valeurs que dans le premier, c'est-à-dire quetgo croît de 0 à + oo.
Dans le quatrième quadrant, sin aet cose., oot, dans le même ordremais en signe contraire, les mêmes
valeurs que dans le deuxième ;donc tgo reprend, dans le même ordre et avec le même signe, lesmême valeurs que dan s le deuxième quadrant ; tg o cr.oît doncde oo à 0. Dottc, tg (tt * a) : tg o. Nous pouvons écrire :
tgO - tgæ - 0 ;
,Tc3æt8Z-tg T: -E oo.
tg (llæ * "): tgcr.
Donc tg o est une fonction périodique et croissante, continue pour
toute valeur autre que kæ a|; l'arnplitude de la période est æ.
Elle peut prendre tous frJ valeurs de - oo à f oo.Exercice. - Représenter analytiquement Ia fonction A : tgn.
formules des a,rcs dont il est la tangente.Portons Ie nombre m,, à partir
de O, sur I'axe des tangentes, àI'échelle du dessin, et dans le sensindiqué par son signe.
Soit (fig. 20)
OT : I/?,.
Joignons TC, qui rencontre la
circonférence trigonométrique en Aet Ar.
Les arcs
û.fi,
admettent
73. Remarque. tg 45o - tg 50' : | ,ttcr --4
-àkn*a-Zkæf æ *aseuls rn pour tangente.
s 5. DE LA COTANGENTE.
7 4. Signe. La cotangente étant I'inverse de la tangente,a. le même signe qu'elle ; elle est donc positive dans le premier,et le troisième quadrant, négative rlans le d.euxième et le quatrième,
?5. I'ariationsr - Puisque cotg o, - &,
cotg (Zhn* o) - cotg c - -1-.
tgaDans le premier et le troisième quadrant, tg a croît de 0 à -f oo,
donc cotg a décroît de * oo à 0.
Dans le deuxième eb le quatrieme quadrant, tge croif fls - oo à 0,donc cotgà décroît de 0 à - c<e.
f tt\cotghæ-,*oo et cotglk"+;) -0. É,r//
La cotangente est une foncfion périodique, décroissante, continue'pour toute valeur autre que kn. L'amplitude de la période est î8.
La cotangente peut prendre toutes les valeurs, de - oo à f o,o.Tlxercice.
- Représenter analytiquement la fonction !/ : coigæ.
m, étabtir lesformules des arcs dant il est la cotangente.
Cela revient à établir les formules des arcs dont ;} e*t la tangente-ln
Ces arcs sont û.. :Zkn * a
ffr:zknf æ To..'17. Remarque. - cotg5O" - tg50" - l.
s €t. DE LA SECANTE.
78. Slgne. La sécante, inverse du cosinus, a le même signeque lui ; elle est positive dans le premier et le quatrième quadratrt"négative dans le deuxième et le troisième.
79. Variaiions.- séca- I : I :séca.COS A COS æ
Donc séc (Zltæ *".)
: séce..
Faisons varier a de 0 à 2æ.
Dans le premier quadrant, cos e décroît de + I à 0, donc séc acroîtde+1à*oo, Dans le deuxième quadrant, cos e décroit de 0 à - l, donc séc acroît de'- oo à - l.
Dans le troisième quadrant, cos a croît de - I à 0, séc a décroîtde-1à-oo.
Dans le quatrième quadrant, cos oû croît de 0 à + l, séc a décroît,
de -J- oo à + l.Donc
La sécante est une fonction périodique de l'arc, continue pour
toutes les valeurs autres que kæ t |; I'amplitude de la période esùLt
?tr,. Séca peut prendre toutes les valeurs plus grandes que I envaleur absolue.
Exercice. Représenter analytiquement la fonction y - sécfr,
80. Problème. - Iltant d,onnë un nombre m, étabtir les for-mules des &rcs d,ont il est la sécante.
Dans le premier quadrant, sin z croÎt de 0 à + I , donc coséc cr
décroît de * oo à + 1.
Dans le deuxième quadrant, sine décroit de + I à 0, donc cosécæcroîtde*1à+oo.
Dans le troisième quadrant, sin t dê,croit de 0 à - I, donc coséc e
croif de - oo à - l.Dans le quatrième quadranb. sine croit de
décroitde-là-oo. - I à 0, donc coséc a
/-\coséc/eæ : * oo; coséc (Zkæ + ; ) : + I /
\ ./coséc (nn,*
- 1\\ - r)La cosêcante est une fonction périodique de I'arc, continue pour
toutes les valeurs autres que kn; l'arnplitude de la période est 2æ.
Coséca peut prendre toutcs les valeurs supôrieures à I ell valeurabsoluc.
Exercice. - Refirésenter analytiqucment la fonctio tr U : cosécn,83. Problème. - Étant donné Qtn nombre m, étalttir les for-ntules des ar"cs dont il est Ia cosécante
RELÀTIONS ENTRE LES LTGNES D'ARCS SUPPLÉMENTAIRES, ETC, s9'.t
CHAPITRE IIIRelations èntne les nornbnes tnigonolnétniques d'arcs
égaux et de signes contnaines,supplémentainesr Gornplémentaines, etc.
87. Remarque. - Nous avons démontré dans le chapitre premierque les arcs ayant même sinus ou même cosécante sont représentéspar les lormules générales :
&L:Zttæ
*a
C[2:7kn f æ -o.'Ceux qui ont même cosinus ou même sécante :
&t:2kæ { a
&?': Zhn - q"
Ceux qui ont même tangente ou même cotangente :
aL: Zkn * a
az:2kæ*æ {a.'
88. Théorème f. Deun ar^cs égauæ et d,e signes contraires,ont le même cosi,nus ; lettt"s sinus sont égauæ et de signes,contraires, ai,nsi que leu,t"s tangentes.
Cela résulte de ce que ces arcs ont leurs extrémités symétriques,par rapport à I'axe des cosinus correspondant à leur originecofllmun€.
On a, donc : cos (- a) : cos 4sin (- û): - sinatg (- a) :
- tga.
Les nombres inverses ont les mêmes propriétés :
séc (- a) : sécacoséc (- a): - cosêcacotg (- a) :
- cotga,.
89. Théorème II. É Deun arcs supryttémentaires ont te mêmes'i,nus; leurs cosinus sont égauæ et de signes contraires, ainsi,que leurs tangentes.
Cela résulte de ce que ces arcs ont leurs extrémités symétriques
Bar rapport à I'axe des sinus correspondant à leur origine commune.On a donc : sin (æ * a,) : sin a
l"e ntêm,e tangente; leurs sinus sont égaun et de signes con-traires, ainsi çpe leurs cosi.nus.
Cela résulte de ce que les extrémités de ces arcs sont symétriques.par rapport au centre, lorsqu'on leur donne même origine.
On a donc : tg (r + a,) - Iga'sin(** a):-sin4.cos (tt * a) : - cos 4.
Les nombres inverses ont les mêmes propriétés :
cotg (tt * e) : cotg acoséc (tt {- a) : - cos êc a
séc (æ + a): - sëca,.
91. Théorème IV.
-Lorsque deufi a,rcs sont complémenta,ires,.
le sinus et Ia tangente de l'otn sont égauæ respectioement a,u"cosinus et ù la cotangente de l'a,ztt,re.
Nous savons que deux arcs complémentaires, de même origine,ont leurs extrémités A et A' s;'pétriques par rapport à la bissectrice'du premier quadrant. Les vecteurs 0[ et ffit le sont donc aussi.
D'autre part, les axes des sinus et des cosinus sont symétriquesen direction et sens par rapport à cette bissectric€.
Donc, PrrCAr : PrrCA
ou sr"(Z-ô:cos,\a, /
on en déduit : cor fî - ") - sin 0\- //æ\t* [t - a, ) - eotsa
pr, cos b : cos b cos a,pr* sinô : - sinô sina;d'où l'on a
cos (a + b) : cosA cos b - sina sinÔ.
Si, dans cette formule, nous remplaçons b par - b,cos (a - b) : cosa cos b + sina sinô.
S3. Tc(a*B).
On a donc
tg(a+b):
De même
(3)il vient :
(4)
95.
Divisons haut et bas par cos e, cosb.
sina cosô , sinD cosaco$acos,A
-rcosa ôiM
* cos a'sinb a
- si11 a sin ô
tga * tgb_.I - tga tgb, sina sinôI--
cos a cosb
tg (a
-
b) :=tg,o : tgb -.
I +\ga ISb
(5)
(6)
s 4. SOMME DE PLUSTEURS ARCS.
9ô,'On décomposera la somme totale en deux termes, otr appli-quera les formules précédentes, et on opérera de même sur chaqueterme jusqu'à ce qu'il n'y ait plus que des lignes des arcs simplesqui figurent dans la formule. Exemple :
cos (a + b - c) : cos l(" + b) - cl: cos (a
*ô) cos c
*sin (a
+ b) sinc: (cosa cosb = sina sinÔ) cos c * (sina cosb + cosa sinô) sinc
- sin a sin b cosc.
s 5. - MULTIPLES D'UN AHC.
97. Fornnules de Simpson. - Dans les formules de (a +0>faisonsb--a,.Ilvient
sin 2 a,,
-2 sin a, cos'a,.
cos2a, - cosza, -sinza,- I - 2sinza -Zcosza,- I(au moyen de la relation sinza f cosza, : l.)
NoITTBRES TRrcoNouÉrnreuns DES sous-MULTIpLES D'uN aRc. 47
lo. Arc tg à + arc *g * + arc r* à :74,1,1 ,lArc tgi,,-l - arc tï,àp + L
ll. coszæ -Z costr cosa cos (a * n) + cosz (a * æ)
est indépendant de n.
12. Calculer tg 3a en fonction de sina (a est du 3u quadrant).
CHAPITRB Y
Nombnes tnigonométr.iques des sous-multiples d'un erc,
S f. cAs eÉn ÉRAL.
Représentons un nombre trigonométrique quelconquc de l'arc o,
par la notation générale l((a).
98. Problème. - Catculer les sin nombres îC( *\ t" fonction\rn/du nombre lÇ\a).
Règle. - On pose a, - mb oa * - b. On écrit la formule donnantrnïLr(a): T(rlttzb) en fonction des TqD. On joint à cette formuleles cinq formules fondamentales entre les 97,(b). _On a" ainsi unsystème ds six équations à six inconnues, les 9I(b), que I'on résoud.
Discussion. Il y aura, pour chaqtre )L(b), 2M ou /yt, valeursréelles et diftrentes. En effet, à un lÇ(a) donné, correspondentles arcs : qr : Zkæ * q.
Az:2kæ, { P,
p ayant une des trois valeurs : (æ - a), - a. ou (tt * a), suivantque 9(r(a) est sin 0,, cosA ou tga.,.
Donc, b - #a pour expressions :
br-&r.:k'n + a'rnlnrn
ri
b, -0'' : ltzn + P.ernnù'ln
â peut prendre m valeurs différentes pour lesquelles Ô, prend m,valeurs diftrentes ; il suffit de faire successivement :
NoMBRES TRrcoNouÉrnreuEs DES sous-r\[ULTIpLES D'uN ARc, 56
20 DrscussloNTRIGoNoUÉrnreuE.
- On donne tga. On ne donnepas o. Les arcs a, sont représentés par les formules :
Soit OT : tg a. Les extrémités des arcs
a sont Ar et Az I donc, les moitiés ontpgur extrémités Br et Br, Bs et 84.
Donc
wl=: orr et rsl- orr.
B, Bn est perpendiculaire à Br Br; en efiet,
tOAr: OAr +
;circonférence ;
donc
OBr-OBr+lquadrant.-adonne ;, une seule valeur est admissible
102. Problème IV. - Calcu,ler les nombres tri,gonométri,ques de
.aa a ,
i,;, fr etc., e% foncti,on de I'otn des nombres trigonométriquesde a.
L'application de la méthode générale conduit à des équations d'undegré supérieur au second, qu'il n'est pas possibld de résoudre parles procédés de I'Algèbre élémentaire.
on calculera les 9[(a\ ' rction des '*
/a\lZ ) en fonction des *l; )r QUo I'on connaît
en fonction de !X,(a) ; puis les *G) en fonction des *(i), êt
ainsi de suite.
103. Théorème. Les nombres trigonométri,ques de a, sont
d,es foncti,ons rationnelles d,e tg?,.
: I2kæ* a
d,où g:\u"'+i d,cù r*g-l rgi:I zlzn | æ * t' 2: I n, +T, +îu
Ùu t8 z: I - cots$.
30 DtscussloN cÉouÉrRleun. - Soit tga:r/ù, et par exemple> 0 (fiS. 25).
5. Calculer les nombres trigonométriques de i sachant quel6tgZa - Ë.
6. De la relation cos a
déduire WlrlD fonction de Wg.
7. Les angJ.es 0 et u vérifiant l'égalité :
(1 +ecos0)(l-ecoseo)démontrer la formule :
w,*:-w,1.8. Démontrer que l'on a : Zarc tg à f arc tg
+: î.
CHAPITR}] YI
TnarnsfoFlnation de sommes en pnoduits.
S I. TFANSFORMATION EN SOMME D'UN PRODUITDE SINUS ET DE COSINUS,
104. Des formules :
sin (a + b) : sin a, cosb + cos a sinbsin (a
- b):sina cos
b -eos
a sinbcos (,t * b) : cosa cos b - sina sinô
on déduit ,tos (a - b):- cos(' cosb + sina sinÔ
sirr (a * ô) + sin (a - b) : Zsina cosô.sin(a +b) - siin (a-b): sin(a + b) * sin (b - a):2sinb cosa.
cos (a + b) + cos (a - b): Zcosa cosô.cos (a - b) - cos (a + b) : 2 sin a sinb.
l. Un doub'le produi,t de cosinus est égat à la sornwùe d,ucosinus de la solnrne et du cosinus de la d,ifférence d,es a,rcs.2. Un double prod'uàt de sinus est égat ù ta d,ifférence d,u
cosinus de la différence et du cosinus d,e ta somme d,es a,rcs.
s 2. TRANSFORMATTON EN PRODUITS DE SOIYIMESET DE DrFrÉnENcEs DE stNUs ET DE costNUs.105. Si dans les formules précédentes on pose
a*b:P et a-b:Id'où e,--P!q et b-P-q2 eu u:
2
on trouve : sinp + sing :2 r6t-8.cos ry
sinp-sing:2sin rycos +)
cosp f cosq : 2cos rycos rycos q
-coslo:2 si"ff rtoÇ.
l. La sorn?ne de deua s'inus est égate au do,uble produit dusinus de la demi,-sorn???,e par le cosinus de la demi-différencedes a?"cs.
2. La di,fférence de deun sinus est égale e,u double. produi,tdu si,nus de la demà-dàfférence par le cosinus de la demi-sornrnedes a,rcs.
3. La solnrne de deun cosinus est égale a,u double pt"odui,td,u cosànus de la demi-sorn'me pa?" le cosinus de la dem'i,-
différence des a,rcs.
4. La différence de deun cosi??,uE est égale au double produitdu si,nus de la demi,-somme per le sinus de la demi-différencedes a,rcs (en ayant so'iu, de soustraire le [ut' erc du 2d).
106. Ces règles permettent de transformer des expressions tellesque les suivantes :
si lal. ll5. Problème. - Rendre monômes les ra,cines de l'équatianaxz * bx * c -- 0, dans taquette x est',un nombre trigonomé-trique d,'un a?"c inconh%, e,t a, b, c, des rnonôtnes tl"igonomé-trùques, foncti,ons d'ar'cs conn'Lcs.
:ïi
,>.t _-b +Vb, - Aac -b -Vm:-r*W ,,:10 bz - 4ae
calcule pas.
20 bz - 4:e,c :0 : ût : firt - - !. Le problème est résolu.2a
30 b2 - 4ac
Ire MÉrHonn. I. c
d'abord monôme le binôme R : bz - ac : bz ( , - g). \^ br)
4acPosons :
d,où #:sinzcs' eû
ï:î:î:;:sre'pr.risque0 ( ff .-I;
I
-bftgglr er nn: ! -bcos?u ær :
-za- z(L
b l-cos? h eouencore (nr:-AX
-
"nsing lb ' lfcosg b _"?fr>:-à x ---:-Acos'..â.
I[. c
posons W:-tgr?; d'où R: bz
cos2g
, lbl , lbl
par suite : :xt - - ' -l *lt et n": --a : t*tl2a 2a
ou ûr: --4 cos? * â et ûz: - Q c:oz? - b2a cosy 2a cosg
l,ll . Déffnitlon. On appelle table trùgonométrique untableau donnant les nombres trigonométriques des arcs. Ceux-ciy fi.gurent mesurés en degrés ou en grades. Dans les calculscourants on ne se sert pas de tables trigonométriques; on emploieptutôt des tables de logat"'i,thmes, qui donnent, en regard desarcs, les logarithmes de leurs nombres trigonométriques. IJne table
de logarithmes trigonométriques se construit à I'aide d'une tabletrigonométrique et d'une table de logarithmes pour les noinbres.Nous allons exposer la construction d'une table trigonométriQuerdans laquelle les arcs sont exprimés en grades. La constructiondes tables repose sLrr les théorèmes suivants :
ll8. Théorème I. - [In a,rc a cornpris entre 0 et f, est compris
entre son sirrus et sa, tangente.
r Soit OA - (L (fiS . 26).I{ous pouvons écrire les inégalités
surf . triangle CAOsect. CAO
Passant aux aires :
11l;CO.BA <:CO.OA <:CO.OTzzz
ou BA<t <orou sina
, sina -,tga?"epports ff tt T ont pou?" limi,te IFrc. 26.
Faisons croître n sans limite. Le ler membre est une différence de.deux termes ayant chacun une limite :
/ M-,-r\ r gn. æ\ sir filim (B',srn ,r?? / : lim ( **rin $) - ntim -o
s""* \- "t'"/n*a \* tr "n *) w tLu
T- fr i
r- I /r\z rl\ n,-tl I 'nlim l-r + ô + [r, + ... + (r, )**_:,-T _Ë. v \v/ \v/ J, r_o
Donc, ce I"" mernbre a une limite, égale à la différence des limites'de ses 2 termes; or, cette limite ne saurait être sinæ,car la différence>t- > croît avec rL.
on a ennn : æ - 4(i)'$ . sinr ( û,
ou y-fr E\ II22. Théorème IV. Les cas'inus d'u,n a'rc cornpris entre A et
I est tui,-même cornvris entî e r -T et I
-I *#.
Nous saYons que cosa-_l-Zsint*;Z'
et en vertu du théorème précédent :
a, I (a\t a, -az- 4\z)D'où rc -ot\'Z-gz) \v^s z \
4
.et 1- Q'*t-ÆTT i6-@ou enfin r - 4z n2.T
Corollair - &2'€. L - 1 est une valeur approchée par défaut de
.coso, aYec une erreur moindre 6aque16'
tLg. Le dêveloppement de cos rr en série, fonc[ion de fr, est
cos û -g -{ *ry! -guLes premières valeurs approchées de coser sont donc ration-
c r-par le procédé utilisé au no ,,22 qui précède, en employant les.valeurs approchées de sin r trouvées au no 1,21,, au lieu de celles"trouvées au no 1.20.
124, Caleul des nornbres trigonométriques de 26en 26 secondes eentéslmales.
Yoici comment, en se hasant sur ces théorèmes on peut établir
les tables trigonométriques. IrTous avons établi précédemment lesformules de Simpson, qui permettent de calculer les sinus etcosinus d'arcs en progression arithmétique, connaissant le sinuset le cosinus de I'arc raison.
Si nous prenons cette raison suffisamment petite, les corollaires.des théorèmes III et IV nous donnent des valeurs approchées dusinus et du cosinus de cette raison ; supposons que la raison'choisie soit I'arc 0o,0025 ou 25tt.
Nous avons trouvé (Introduction, S 4) pour mesure en radians de
cet arcq - 0.00003 92699 08169 8724L 548...
Si nous adoptons cette valeur pour sinus Zl",l'erreur comrûise par"
excèssera €<*.(o'oooo4)B lr 4\3 16'4 - 4 oua(m/ oumc'
Donc o< q-sinaa#r. (l)
Si à la valeur a, longueur exacie de I'arc 0o,0025, nous substituons'la valeur approchée
nous commettons
Des conditionsà membr.
:
er :0,00003 92699 0816une nouvelle erreur, par défaut cette fois,
JgI0l5- w *rlOrb
(l) et (2) nous déduisons, en soustrayant membre'
d,-sina ( **-# ou #sinz - drt
L'erueur définitive, par excès par défaut, est doncI
formules (3) et (4) donnent les difiérences successives deset cosinus de 25 en 25 secondes centésimales.
??e calcule pas au delù de 50 grades.effet, sin (50c + A) : cos (50" -,.A)
cos (50"
+A) : sin (50"
-A).
des formules de Simpson accumule les erreurs ;
directen-rent les sinus et cosinus des arcs deL'emploi répété
aussi calcule-t-on5c en 5":
---tti
coszo"-Vto+zVb et sin2o":V5, I,4
vv v'r'-v4
)
d'où sin I0" et cos l0', puis sin 5" et cos 5";sin 30" - sin (50" - 20"),
d'où sin 15" et cos 15", puis sin 35o et cos 35";
sin 40" - sin (2 x 20').
Pour les tangentes on se sert de la formule tgA - *"+.o -- cosA
t25. Caleul des logarithrnes des nornbres trigotlormétrlques.
Pour établir la table des logarithmes des nombres trigonométri-ques, on peut calculer ces logarithmes par la lormule de Koralek :
log (a
*n):log a*m,
dans laquelle a est le nombre formé par les quatre premiers chiffresà gauche du nombre (& + n) ; a > 103 et n { l;le module M - log e - 0,43429 448L9 0325L 82765....
log tgA : log sinA - log cosA.
log cotgA : log cosA - log sinA.Pour les arcs supérieurs à I00", on fait la réduction au 1"" quadrant.
il existe à la bibliothèque de I'Observatoire de Paris des tablesinédites
etmanuscrites dues
àProny, donnant les logarithmes
des nombres trigonométriques avec 14 décimales.
Remarque. En pratique, I'Analyse infinitésimale met d'autresmoyens à la disposition du calculateur pour l'établissement d'unetable logarithmique.
1,26. Tables cle Bouvart et Ratinet, Ces tables sontcelles adoptées pour I'examen d'entrée à l'École militaire. C'estune reproductioq, sous un format plus pratique, des Tables duService géographiqr-re cle I'armée f rançaise, lesquelles sont uneréduction des Tables de Prony. Elles donnent avec cinq décimales leslogarithmes des nombres trigonométriques des arcs du I"" quadrantde minute en minute centésirnale (centigrade). Pour trouver leslogarithmes des nombres trigonométriques d'arcs compris entre 0
et 50 grades, or prend les grades au haut des pages, les minutesdans la première colonne de gauche, et les logarithmes des sinus,tangentes, cotangentes et cosinus, respectivement dans les colonnesmarqltées en haut.'Sin., Tang., Cotg. et Cos. Ainsi I'on a:
Iog sin 34c,67 - l,7l4ggtog tg 34.,67 - 1,78225log cotg 34,67log cos 34c,57
La caractéristique et le premierreproduits que de lOt en l0'.
Pour trouver les logarithmes des nombres trigonométriquesd'arcs compris entre 50" et 100o, on prend les grades au bas despages, les minutes dans la colonne de droite et les logarithmes dessinus, tangentes, cotangentes et cosinus, dans les colonnes marquéesen bas.' Sin., Tang., Cotg. et Cos. Ainsi I'on a:
log sin 72",24 : t,95ZBglog tg 72",24 - 0,8g164
log cotg 72",24 : t,OOggOlog cos 72",24 : T ,6}b6g.
Les colonnes marquées D donnent les différences qui existententre deux logat'ithmes consécutifs; it y a une colonne D pour leslogsin et une pour les logcos ; pour les logtg et les logcotg lacolonne D est commune et marquée D.C. En efiet, de la formule
tgA cotgA : I on déduit log tgA * log cotgA : 0.Donc, si A augmente de I centigrade, log tg A augmente de D et
log cotg A diminue de D.
De même log sin A * log coséc A : 0log cos A + log sécA : 0.
Les tables ne contiennent pas les log séc ni les log coséc.
et flnalement, en remplaçant les cosinus en fonction des sinus :
sinzA * gi12h: sinzA,
ce qui est faux, à moins que la soit nul.Si I'on représente (fig. 27) la courbe y : log sinX, I'application du
principe de la proportionnalité revient à remplacer, entre les valeursXl - A et Xz: À + l', la courbe par une droite.
On commet donc de ce
fait une erreur surX log sin (A + h).
L'opération de calculqtri consiste à détermi-ner la valeur numérique
d'une fonction F(X) pour une valeur X2' comprise entre deux valeurs X, et X, suffi-
samment rapprochées et pour lesquelleson connaît les valeurs numériques F(Xt)
et ts(Xr), constitue ce qu'on appelle une
roà.
I
rA
___)
NI
àntet"polation,Le procédé d'interpolation adopté pour les calculs
de logarithmes est appelé interpolatian linéa'ire,précisérnent parce que ce procédé revient à remplacerla courbc A : log 9T(X) par une droite entre lespoints Mr et M2.
I[. Procédô des petits ûr€sot28. pour les arcs voisins de 0, les différences tabulaires pour
les logarithmes des sinus et des tangentes sont très grandes et trèsvariables d'un intervalle au suivant. La corde MrM, est presque
parallèle à I'axe A ; par suite, I'erreur commise en prenant le pointD au lieu du point C affecte les logarithmes jusque dans la troisièmedécimale.
il faut donc abandonner le procédé d'interpolation linéaire.On démontre (r'oir Note I, annexe) que ce dernier procédé peut êireconservé jusque I",05 pour les logarithmes des sinus, jusque Ic,07pour les logarithmes des tangentes.
Sans raison plausible on abandonne cependant ce procédé à partirde 3c,0O. En deçà de 3c,00 on interpole de la manière suivante.
Soit A la mesure de I'arc en centigrades.sina-sinaa-s^.a
AA---d'où log sin A - log So -F log A.
t'o ÀDe mêrne, tgA:ïA-To.À
d'où log tg A : log To * log A.l2g. Remarque f. - Lorsque A augmente, log S diminue et log T
augmente.
Log S et log T sont donnés avec 6 décimales ; de 0 à 8", ils ontles trois premiers chiffres communs : 4,19.En effet, si a, est la mesure de A en radians,
logll - logag 3c - log300 : 4,19644.Ces chiffres oommuns 4,19 ont êté placés dans la table, en hautdes colonnes des log S et log T ; Ies quatre chiffres variables seulsfigurent en regard des centigrades. Les logA se calculent à I'aidede la table des logarithmes des nombres de 103 à 101.
130. Remarque IL - I{ous avons dit que log S diminue lorsque Aaugmente ; il en résulte Quê, pour calculer log Se+h, on prendradans la table log S^ *, auquel on ajoutera le terme correctif(1 - h)D,
ËleIIappelantDlladifférencetabulaire;celle-cir'autO ou 0.1 ; donc,
calculer logT..*z on prendra dans la table logTo auquel on ajoutera
le terme co " ^ hD'rrectif ït I on constate que D, vaut 0, 0.1 ou 0.2.
CHAPITBE IIGalculs loganithmiques.
S | . nÈe LEs DE cALcu L. AppRoxt MATtoNs.
I. Interpolation linéalre.A. Caleul des logarithrn€sol3f . Problème f. - Déternt'i,net" l'appronimation que I'on peut
attei,nd,t"e d,ans le calcul de log %(L + h) en apptiquant Ieprincipe de la proporti,onnalité. (A : nombt"e entier de centi-grades; 0 < h
D'une étude trop étendue pour trouver sa place ici, mais que I'ontrouvera annexée à Ia fin de cet ouvrage, il résulte qu'en se servantdes tables à cinq décimales, on peut toujo't/,?"s obtenir log fL6 + h)
avec une erreur moinr' rlre que fr, si I'on a soin de suivre les règles
énoncées ci-dessous.
|BègIe pour calculer log sin (A + h).3",00<A et A+lf<100",00.
lo On prend dans la table log sinA - Er.; diff. tab.: p;20 On forme le produit lt.D au moyen des tables de parties
proportionnelles ;
30 On fait la somme Er*H;40 Si la partie décirnale qui suit le 5e chiffre est :
a) inférieure ou égale à r (t), otr la supprime ;
p) comprise en 6 et 0.5, on la rernplace par 0.5 ;
y) égale ou supérieure à 0.5, or Ia supprime et on ajoute I àla 5e décimale.
R,ègIe pour calculer log tg (A + h).
I'rcas: 3",00<À et A+trt<50',00.Même règle que pollr le sinus, €D remplaçant 6 par I (t).
(t) Voir les valeurs de o et de s au tableau de la page 81.
qn?'d ca,s: 50c,00<A et A+lf <97t,00.On peut écrire :
log tg X - colog tg (100" - X) ;
On calcule le cologarithme de la tangente du complément.Ou bien :
lo, 2o, 3o, comme pour le sinus ;
40 Si la partie décimale qui suit le 5e chiffre est :
a) inférieure ou égale à 0.5, otr la supprime ;
p) comprise entre 0.5 et"
(t), on la remplace par 0.b;ï) égale ou supérieure à i, on la supprime et on ajoute I au
5e chiffre décimal.
1,32. I{ous croyons utile de formuler ici la règle pour le calculdu logarithme d'un nombre compris entre 103 et l0o, règle telle,
que I'erreur soit également moindre que #,.RègIe pour calculet" log (l{ + â).
103<I{ et }i+l<104; 0(h<1.10 On prend dans la table logl{: Er; diff. tab. : D.2', 3o, 4o, comme pour log sin (A + fL), e tr remplaçant r par tr (t).{33. Remarque f. Afin de pouvoir appliquer facilement les
règles précédentes, le lecteur aura soin d'inscrire dans sa tablede logarithmes, eD tèLe et au bas de chaque pâge, les valeurs de6, r et I données dans le tableau ci-contne.
Remarque IL Le but du tableau cn question est de restreindrele plus possible le nombre des cas où I'on doit conserver une6e décimale. Mais si I'on jugerque son emploi, simplifié considéra-
blement pourtant par la Remarque f, est fastidieLtx, oû prendrao - 0.4; a:0.4 en deça de 50"; î == 0.6 au delà de 50"; et I: 0,4.
134. Exemple I. Calculer log sin 54" ,73469.tog sin 54",73 : 1,879+Z D : 5
A cet effet, on suivra la rôgle suivante :10 On calculei I'approximation sur laquelle on peut compter, au
moyen de la formule (l) ;
20 On calcule la différence
30 On calcule la valeur du
40 On ajoute cette valeurcentigrades).
Remarque f. La formule (l) n'est
donne pour %ù une valeur négative.Dans ce cas on peut déterminer pour
telles, que log fqx) - 13 - J.Iû et
ces logarithmes étant supposés exacts.
Remarque IL - si m- 0, x - x, ou x, suivant que { a} oo ,*.Remarque III. La même méthode s'applique au calcul d'un
nombre dont on connaît une valeur approchée d.u loganithme.
2. Cas du cosinus et de la cotangente.
La même règle est applicable, en remarquant que d-(Er-f,;tgtet que I'arc par défaut est Xr. Mais il est plus simple de transformerles cosinus en sinus et les cotangentes en tangentes.
139. Exemple f. }alculer X sachant que log sin X - 2,8248,g
ù moins d r,tO. Pr"es.
On a 4,25 <X
D_LOzd'où to* < HIog sin 4c,25 : 2,82419
Fzo= 0t.7
dn:D
x - 4",267
Calculer Xgtrès.
70r02
d:(E_8,)lou;-^^-^r d r , -. " I rrapport D a moms d.e ffi près ;
50 On écrit le nombre de deux chiffres ainsi trouvé à la suite des
centigrades de I'arc obtenu au 2o.14r,. Exemple [. - Calcu,ler X sachant que log sinX - 2,82489.
489log sin 4,25 - 2,824L9 D: L02.......:-
d' := 7O
pour 0.6 6I.2
8.80pour 0.09 9.18
x -- 4,2569.Exemple II. - Calculer X sachant'qzce log tgX :0,2L411.
411
log tg 65",09 : 0,21406 D : 15
=our 0.3 4.5
0.5pour 0.03 0.45
X: 65",0933.142. Remarque. - On aura plus vite fait de prendre les deux
derniers chiffres de X au hasard. Le résultat est tout aussi bon (r).
1t1 Si cette affirmation n'était pas justifiée par ma théorie d"es approximations,iI me suffirait peut-être de signaler les résulats suivants :
Cal,culer X sachant que log sinX - t,g8tgl :
Les Tables de BouvaRr et RerrNnr donnent, en appliquant Ia règle pratique
x - 8Ic,?533 et X - J$o ${t {Qr.
Les Tables de Cer,r,nr, à 7 décimales, donnent d.'autre part :
, x:81c,?525 et X - 730 34 38fr,l.
Dans ces dernières tables, pour la subdivision sexagésimale, I'intervalled'interpolation est de l0ff, et lcs résultats obtenus dans les dettx subdivisionssont concord,ants, ce qui permet de leur reconnaître plus d'exactitude qu'auxrésultats di.scord,ants obtenus par les tables à 5 décimales.
D'ailleurs, la formule
L0*< 3rr'dans laquelle D - 3 pour les tables à 5 décimales d'où vv1- Q
D-201,, ,,
7, d.'où.Yv-l
indique que les tables à 5 décigrales ne donneront pour X que l'approximation ded",01 tandis que les tables à ? décimales donneront l'àpproximation de 0c,0001.,'' Encore ai-je supposé que le log sinX donné était exact, ce qui n'arrioe
A. Caloul des logarithmesot,4g. Problème III. Déterm'i,ner I'appronàmati,,on que I'on
peut atteind,re d,ans te calcul de log fL(L + h) par Ie procédé
"d,et petàts arcs. (A - nombre entier de centigrades; 0 ( h < l.)
Nous rapportant toujours à l'étude annexée à la fin de I'ouYrage,
n6us pouvons dire que l'erreur est mOind Ilre que ftt lorsque I'on
.;procède comme suit :
ft,ôgle pour calculer log sin (A * lt) ou log tg (A + h)7t'ca,,s.' 0",00<A et A+lt<3c,00.10 On calcule log S ou log T correspondant à L * h;20 On prend dans la table log A (diff. - D) ;
Bo On forme le produit h.D au moyen des tables de parties
proportionnelles ;
40 on fait ra somme log s + log a + H'
i r ^ . h.D.ou IogT+logA+F;50 Si la partie décimale qui suit le 5e chiffre est :
a) inférieure ou égale à 0.44, on la supprime;
P) comprise entre 0.44 et 0.56, oû la remplace par 0.5;
T) égale ou supérieure à 0.56, on la supprime et I'on ajoute Ià la 5e décimale.
Fxemple IL Calculer log t92c,9l387.log T (2c,91) : +,t9612.3 Dr : 0.2 t
pour 0.387 . . .0,0774logZgl,S:2,46434 D:15
pour 0.8 . , .12.00,07. , . 1.05
2,66099.4274
log tg}c,9l387
-2,66089 Ie<IoÉ
Exempte II[. Calculer log sin 0"68752.
log s (0",69) : +,19il 1.1 Dt - 0.1 ; h -- 0.752; I h: Q. Z4gp0ur0.248. . . 0.0248
1og 69,75: ],83727 D - 7
g)ouro.Z. . . 1.4
2,03339.5249
log sin 0'6 8752:2,0g339.5 e t
{ 2"ogg4o soulz,ogaag e<zJo'
145. I3ôgfe preticlrtre. - Habituellement on ne se préoccupepas de I'approximation. On procède alors d'a,près la règle du no t43,en observant au sujet du 1o, que I'on ne doit faire aucun calculpour écrire immédiatement log S ou log T en tenant compte de h,Quant au 4o,, il devient :
40 Si la partie décimale qui suit le 5e chiffre est :
a) inférieure à 0.5, on Ia supprime ;
P) égale ou supérieure à 0.5, on la suppriffic, et I'on ajoute I à.la 5u décimale.
1,46. Exemple I. Yoir no 1,44.
, Exemple II. Calculer log tg 2c,91387
log T (2'915) : 4,L96+2,4 Dr = 0.2log 29L,3 :2,46434 D : Jb
150. Remarque, - Connaissant une valeur approchée de log tgX,si I'on constate à I'aide de la table que 97'< X < 100o, on rentredans le cas précédent en posant :
log tg (100c - X) : colog tgX.
{5{. RègIe pratique. - Habituellement on ne se préoccupepas de I'approximatiorr. On opère d'après la règle du no ,,49, saufque dans le calcul du nombre X on ne tient aucun compte de
I'approximation, et que I'on calcule deux chiffres supplémentairespar la table des parties proportionnelles, comme it a étê vu
au no t40.,,52, Exemple f. - Calculeî X sachant que log sinX :237569.
X est compris entre I',20 et L,?L.log sinX :2,2?569
log S (1",20) :2,19609_.4
log X - 2,07959.6
log 120,1 : 2,07954 D :36.05.6
3.6our 0.1 .
pou?" 0.0ô.
2.02.16
X : 1201,116 ou I",20I16.Exemple II. - Calculer X sachant q.ue log tgX -=- !,.
le calcul des deux derniers chiffres est une fumisterie.On a en efiet :
F :0 et L}ri. < fr a l0*+ r d,où yy, _ e.
h:q6tl.7'2Par suite
Y-63t,66:0",6366
et X-9g",9694. e(0",0001.,'54, Remarque II. n peut arriver que I'on ait à calculer un
arc X connaissant son sinus ; lorsque le nombre sin X est voisin del, il ne faut pas calculer X par l'intermédiaire du logarithme deson sinus, car on ne trouverait qu'une valeur très grossièrementapprochée de X.
On posera
sinX - a:
H#-coszy.D'où I'on déduit :'tg'Y :!; o
t *a (I)
et X-100"_Zy. (Z)
Si, au lieu dc connaître sinX : a, on connaît log sinX : f ,on posera
sinX: cos Zy - llg'YI + tg,y :tgz
d'où I'on déduit
log tgZ = log sin X : !3 (l)
ts,y :LiH- tg(bo" _z) (z)r --|- û8I'
X : l00o - 2Y. (g)
155. Exemple f. - Calculer X sachant que sinX : 0,gg74g.Le calcul direct donnerait
g5c,4\ < X < 95",45.
Tandis qu'en appliquant le procédé signalé dans la remarqueprécédente, oD aura
156. A I'examen d'entrée à l'École militaire, les caudidats ont à
effectuer deux calculs logarithmiques, I'un en utilisant la subdivisioncentésimale, I'autre en utilisant la subdivision sexagésimale de lacirconférence.
Le problèmepcut
toujours êtreramené à la forme finale suivante :
Calculer l'ar"c x en grades et d,,éei,males (ou en degrés, mi,nuteset secondes), a,lbrnoyen de lu, formule sui,uante :
fL@): F(4, B, C, ... N1, N, ...)
dans laquelle la fonction F esL Lrn monôme, A, B, C,... sont des
arcs donnés ou calculés au préalable, et N,, Nr, ... des nombres
donnés.
Au lieu de cornrnencer par uouloir prendre étourdàment leslogarithmes des deun nzembî es, on a,ut"a so'i,n de suit:re scrz,cf)u,-
leusentent la règle suiuante :,,57. RôgIc génératre.10 Réduction d,es arcs connus. - On réduit tous les nombres
trigonométriques des arcs A, B, C, ... à des sinus et des tangentesd'arcs' du I*" quadrant. A cet effet :
On remplace d'abord les sécantes et cosécantes en foaction des
cosinus et sinus; les cotangentes du dénominateur deviennent des
tangentes au numérateur.
Ensuite, considérant un fL6) quelconque, on le transforme en
un sinus ou une tangente du Iu" quadrant en observant Ie mécani.smesuivant :
a) On détermine les multiples consêcutifs de 100" (ou 90") quicomprennent A ;
30 Réduction de I'inconnue. Après lc Io et le 2o on peLlt mettreen évidence le signe résultant pour fL@\ On réduira alors fL@)en un sinus ou une tangente d'un arc du Iu" quadrant en suivan t lemécanisme énoncé au lo, sauf que l'on doit intervertir p) et a) :
connaissant le signe de 7Y(n) on peut en effet établir, âu moyen de
la circonférence et des axes trigonométriques, à quel quadrantappartient û0, la plus petite valeur positive de fi (t).
(r) Les élèr'es peu habiles peuvent procéd.er comme suit :
L" Remplacer cosn pa?' sin (I00c - u); cotgû par* ou pq,r tg (100c - æ)bË .ta
20 s'i la fott.ction réstcltante de æ est < 0, chanyTer le si,gne d,e tr,arc.sinæ
l. Déterminer en grades et en degrés les valeurs générales de fr,qui satisfont aux formules suivantes, ainsi que les valeurs particu-lières comprises entre les limites indiquées.
et secondes, par la formuleIogYsrnt"r - cos3Ai A:101c,3176.31. Calctrler fr en grades et décirnales par la formule
cossç - logVslnrA; A : 242o3'r.
32. Calculer X en degrés, minutes et secondes, par la formulesinæf -- (losts'À)n
fr est dans cette formule la mesure en radians de l'arc X;
A - 162o27'Ltt.33. Calculer A en degrés, minutes et secondes à I'aide de la
formule du no précédent, sachant que la mesure en radians de I'arcfi est fi - 0,039 146.
Àf. B. Dans ces deux exercices. on se servira dr_r rapport S -ttg-x'f
CIIAPITRN IIRésotution des équations tnigonornétniques,
16l. Définition. On appelle équatiotz trig onométrique, uneéquation qui contient des lignes trigonométriques d'arcs inconnus,et qui ne devient une identité que pour certaines valeurs de cesarcs, valeurs appelées solutions.
En général, une équation trigonométrique admet une infinité desolutions.
En effet,si fi- a estune solution, fi-Zkrc + a est aussi unesolution; or k pouvant recevoir toutes les valeurs entières que l'on
veut, il y a autant de solutions que I'on veut i û :2kæ * a s'appellesolution générale; il n'y a qu'un nombre limité de solutionsgénérales.
s t. nÉsoLUTtoN D'uNE ÉOUAT|ON A UNE tNCONNUE,
L'équation contient en réalité autant d'inconnues que de lignestrigonométriques de I'inconnue ou de fonctions de I'inconnue.
Seulement ces inconnues ne sont pas indépendantes I'une de I'autre.
Il existe entre elles des relations qui, jointes à l'équation proposée,constituent un système algébrique d'autant d'équations que d'incon-nues, lesquelles sont les nombres trigonométriques en question.
Donc les conditions de grandeur sont satisfaiies.Solutions étrangères.
.Stnffr : SlfICfz mafs COStrr :-
COSffiz.
Donc on ne peut avoir simultanémentasinnrfbcosnt:c
et asinrr*bcosnz:c.IJne des 2 solul,ions est donc à rejeter. De même pout ûs et frn.rt y a donc en tout 2 solutions i frr orr fiz et æB ou fr*1,64. 2" Méthode. a sinn + b cosr - c.
S 2. ÉguATloNS stMULTAr.rÉes A pLUslEURsINCONNUES.
{69. I{ous ne traiteions que le cas où te nombre des équations estégal au nombre des inconnues. Les autres cas conduisent à desconclusions dont Ie développement fait partie du cours d'Algèbre.
Deux cas peuvent se présenter, suivant que les arcs inconnusfigurent ou non dans les équations.
I"" oosr Les équat'ions ne conti,ennent les inconnues que
sous forme de nombres trigonométriques.BôgIe génénale. on complète te système d,,'équationsdonné a,u moyen des formules qui rel'ient entre eufr lesnontbres tr''i,gonométri,ques de chaque inconnrr,e. On obtientains'i un syçtème contenant autant d'équatiotts que de nombres
nÉsor,urroN DEs ÉeuatroNs rnlcoNouÉrnreuns, lfztrigonométriques inconn?rs. On dëtermine ù I'aide de,ce
système un des nombres trigonométriques de chaque i,nconn,ue,et on est ramené à, un certain nornbre de systèmes tels que :gLt (aræ * br) -- Izrlq (aræ * br) : tp,g
que l'on résout faciletnent.il faut aooir so'i,n de aérifi,er si toutes les solutions sont
admissibles.
Remar(lue. Cette règle n'est qu'un pis-aller.On cherche le plus souvent des procédés particuliers plus rapid,es.,
170. Exemple I. Soit le systènre
tsæ+rsy -2 (l)2 cosæ cos U : I. (2)
lléthode générale. Ajoutons au système les équations
coszæ-= ,1- = cos?y:i--.1 + tg'æ --- '7 I + tg,y
L'équation (2) élevée au camé devient après l'élimination decosfi et de cos7
DmcussloN. Cottd,iti,on d,e grand,eur.- - L < #< + Di
a2 ' I 42ou ffiç <r i or, coszg: r _l_tgz.g:A&E'La condition devient
q' + b' ..,- r4-s174. 3e Méthode. Élevons (l) et (2) au carré.
sinsei * cosry + 2 sinæ cos T : az
coszæ * sinzq + 2 siny cos fi - b2.
Additionnons et soustrayons m. à m.
2+2sin(n+y):424fi2
ou sin(r +a):a'*2'-2cos 2y-cos 2æ*2sin (r-A):a2-bz
I
ou 2 sin (æ + y) sin (n-ù + 2 sin (n -A): az
-b2;en vertu de (6)sin(r -A\:q1 , ??/ qzqfiz (7)-
D'où æ et y.
DrscussroN. Condi,ti,on de grandeur :
-r ary(J-t ou a,z+bz<A
et -l aaz-bz<*L quip ( * f qui est toujours satisfaite.
Solutions étrangères. L'élévation au carré a introduit des"
solutions étrangères qu'il faut éliminer, en vérifiant les solutionssur les équations proposées.
Remarque. - Ces exemples montreut la multiplicité des procédésparticuliers. Lorsque les équations sont symétriques eî û et U, le-procédé qui consiste à calculer la somme fr + y et la différencefi - y est parfois simple.
erplicitementdans les équations, en même temps que leurs nombrestrigonornétriques .
fl n'y a pas de règle générale à suivre, sauf dans Ie cas particulierde deux équations à deux inconnues, lorsque I'une des équations estde la forme æ * A:4, et I'autre équatioû, symétrique en t et y.On calcule dans ce ca s fr T y, comme il a été fait dans les exemplesprécédents. Dans les résolutions de triangles, ce 2u cas se présentefréquemment.
S g. - ÉeuATtoNs ct Rcu LAt REs.
L76. I!éfinitions. - On appelle équation circulaire, une relationentre des arcs dont certains nombres trigonométriques sont desfonctions d'une ou plusieurs inconnues, et qui ne devient uneidentité que pour certaines valeurs de ces inconnues, valeursappelées solutions.
On appelle fonction c'ir"culaire inaerse, une fonction de la forme
U: àrcJL(aæ + b)en langage ordinaire : y est un arc dont Ie 9I, (sin, cos , tg, etc.)est (aæ + b).
Dans les équations circulaires on ne considère que la aaleurpri,ncipale de la fonction, c'est-à-dire le plus peti,t arc positi,fdont le fL est (an + b).
l'17. RôgIe générale. lo On prend, les a,rcs colntneinconnues auniliaires et on écrit les équations entre ces a,rcs.
2" On écrit les équations a,urciliait"es, trigonométriques, entreles lùgnes des arcs et les ,i,nconn?,0es.
3" On élimine les a,res enh"e les équations obtenues ; on obtientai'nsi, les équations algébt"iques entre les inconnues ; ort résoutpat' les procédés connus.
178. Théorème f. La sornrne des sinus de deun a,rcsr.compris entre 0 et æ et dont la so?nnle est canstante, estmaximum lorsque ces a,l"cs sont égaun, si cette égalité estgtossi,ble.
Soient d.eux arcs fi et A compris entre 0 et n, et tels quen*a:û.sinæ f sin y < 2, donc le maximum existe.
sinæ f sin a -2 sin ry cos T - z sinfrcos ryLe maximum de sinæ * siny a lieu en même temps que le
maximum ' æ -I c'est-à-dire lo'sque cos ry - Ie cos2
d'où *:a -zkn.m et y étant compris entre 0 et æ, la seule valeur admissible pour
k est 0; d'où $ - A.Si cette égalité n'est pas possible, le maximum a lieu en même
temps que le minimum de læ - yl.torollaire f. La sornrne des sinus d,'tut nonobre quelconque
d'arcs, cornl)r'is entre 0 et 7r et d.,ottt la sol?xylùe est constante,est maximum lorsque ces a,rcs sont égauæ, si cette égalité est
possi,ble.Soient n arcs dont la somme æ * y + z * ... - e,.
sinæ f siny + sinz +...donc cette somme a une limite.
sinæ * sin y +sin.s + ... Ë 2 sin rycos ry*- sin z + ...
Siæfa,coSry.l,etlaSomInedessinusestinférieureà
2sinry*sinz+...Donc, aussi longtemps q,.'il y a dans la somme {tr + A* : * ...
deux arcs différents, il y a moyen d'augmenter la somme des sinusen remplaçant chacun des deux arcs inégaux par leur demi-somme.
Lorsque tous les arcs sont égaux, lâ somme des sinus est
maximum et vaut n sin ?. no effet, Ie maximum existe ; il n'est pasn
atteint aussi longtemps qu'il y a des arcs inégaux, et il n'y a qu'un
seul système d'arcs égaux puisque leur somme vaut a.Corollaire II. - La sovnrne des cosinus d'u,n nombre quelconque
d'a,rcs, cornpris entre 0 et i et d,ont la sornrne est constante,
est maximum lorsque ces oriæ sont égauæ, si cette égalité estpossible.
;-n *;-v + "' lYLæ: _-=-
q,;.)
*irruJ u lieu lorsque les arcsonc le maximum de la somme dessont égaux, c'est-à-dire lorsque
æ4-av 'JL av
ô-s)- tt-l-^.-etrC.É,242
l7g. Théorème II. Le prçduit d,es s'inus de deun a,rcs,conopris entre 0 et æ, et dont la solzùrha est constante, estmaximum lot"sque ces a,rcs sont égauæ, si cette égali,té est
Tlossible. i
Soient n arcs dont la somme fi -l y * z *... - (t.
cos æ *cos y +cos z ... E -t'(; --) f sin (;-r) + ...
êæv av
|- n, f-a, etc., sont compris entre 0 et T,; leur somme est
Le maximum a lieu en même temps que Ie maximum de cos (æ -y'est-à-dire lorsque cos (æ - U) : + I.D'où û - U :2kæ. Si l'égalité entr e æ et A est possible, puisque
ces arcs sont tous deux compris entre 0 et æ, la seule valeur admis*
sible pour & est 0.D'où y.de sin r sin y sin.a ..., lorsque
?, sa cette-Y:Z:.?.:n
Corollaire I. É Le maximum
x * y * 2... - à, a, lieu I)oL,cîég ali,té est possible .
sinr siny,sin z ..
Laissant 3, t, etc. constants, remplaçons chacun des arcs # et yn*upar
or sinr siny sina ... Eà [.o. (a - y) -cos (æ +y)] sin z ...
^.\i n <y, cos (æ - y)
Donc sin r siny sin.a ,.. 'sz
L'r
C'est-à.dire eue, aussi longtemps qu'il y a des arcs difiérents, orpeut augmenter Ie produit des sinus en remplaçant deux des arcspar leur demi-somme.
Le maximum aura donc lieu pour æ - U : z ... =-g.n
Corollaire II. Le maximum du produi,t des casinus d'u,n,
nombre quelconque d,'a,,rcs, co?npris entre 0 et i et d,ont tasornrîùe est constante, a lieu lorsque ces a,rcs roît égaun, sicette égalité est possi,ble.
180. Théorème III. - La slrnlne des tangentes de deuæ arescompr'is entre 0 et T, et d,ont l,a sornrne est constante, est
minimum lorsque ces a,rcs sont égauæ, si cette égu,ti,té estpossible.
gæ * tBU :Le minimum de tgr + tgy a lieu en même temps que le maximum
'de cos fi cosy, c'est-à-dire pour fr - y (Thêor. rI, coroll . rr).Corollaire f. - La sornrne des tangentes d,'un nombre quel-
conque d,'arcs, coî??,pris entre 0 et * et d,ont la solnrùe est?,
constante,.est minimum lorsque ces &rcs sont égazcæ, si cette,égalité est possible.
Soit æ*y+.sJ-...:d,.tgtn + tgy * tga ...Laissons z, t, etc, constants; donc û + A est constant.c.t:sin;u, Igu+tgvDonc, aussi longtemps qu'il y a des arcs difiérènts, le minimum
'o'est pas atteint; et comme il n'y a qu'un seul système de valeurs",égales, lê minimum a lieu pour fi - y: i -.!. - q.
nCorollaire II. - La sornftce des cotangentes d,'u,n notnbre
quelconque d'arcs, cornprùs entre 0 etiet d,ont ta soy/ù//ùe est"constante, est minimum lot"sqzce les arcs sont égaur, si cetteégali,té est Ttossible.
l8l. Théorème IV. Le produzt des tangentes d,e cleun a,rcs
Ttositifs, dont la sotn?vle est constante et modnd,r n''e que
j,est
maximum lorsque ces a,l"cs sont égaur, si cette égatité esf,gtossible.
Le maximum de y a lieu en même temps que le maximum desin (ar f ?), c'est-à-dire pour fi + ?- 2hæ +it
d'où ffi-Zkn r JV
-1- z- ?'
tg?
183. Problème II. Détermzner la plus peti,te aaleut" ltositùaede x qtti, rende Y : a tgx {- b cotgx minimuvn (a et b
Le produit atgn x b cotgm - a,b.
Le minimum a donc lieu pour a, tgfi - b cotgn _ \,1 ab.
Ï,gtr -\Ælhro: arc tg V i et Un,
t84. Problème III. Détermdner le maximum de l'eæpressùon
U : sin'nffi cosnffi.
Nous saYons que sinzr f eoszffi : 1.
Posons
d'où
et
X-sinzr et Y-cosznx+Y:1
lnn;
!/ : Xz Y2.
En vertu d'un théorème d'Algèbre, A es[ maximum pour
X Y \ r. sinzr coszrçrtu+n??, n
sinz.iu :
t77, I
coszfi :tn*n rn+nd,ot\ max ?t - (-?-.1i x ( ry, \î ' I
'nmnn---ù' \m +n/ \nx+n)":VW
185. Problème général. Déterrni,ner les manimutns et mi,ni-m,urns d,'?trne fonction càrcula,ire.
Il n'y a pas de règle fixe pour résoudre ce problème; il pourra se
faire que les maximums et minimums s'obtiennent en utilisantsimplement des théorèmes d'Algèbre, comme dans les Problèmes IIet III ci-dessus ; il pourra aussi se faire que I'on ait I'occa siond'appliquer les quatre théorèmes démontrés précédemment.
Si I'on n'aperçoit aucun moyen d'arriver au résultat de cettemanière, on pourra appliquer le procêdé général suivant.
Soit ! - F (n) I'expression dont on désire le maximum ; etsoit fio la plus petite valeur positive de n qui rende y mafimum.On aura F (ro)
h étant un nombre positif sufLsamment petit et qui a" pour limite 0.De ces relations ou cléduit :
F (no + h) - F (nùF(no-h)-F(nù
Par des transformations trigonométriques, oo peut obtenir
d'où
On pcut transformer ? (no, h) de manière à pouvoir diviser tousles termes par une fonction circulaire de h,, qui ait pour limite 0lorsque h * 0. Le quotient * (nr, h) a une limite f (æù lorsqueh*0; d'où f(nù
La relation (2) traitée de la même manière fournit Lrne relation
f (rùDe (3) et (4) on déduit f (rù : 0.
L'équation (5) donne les valeurs de rno qui rendent F (r) maximum.On opère de même pour le minimum,,êt I'on constate que l'équa-
tion (5) donne également les valeurs de fr pour lesquelles F (r) estminimum. Il faut ensuite, par l'étude de la fonction, distinguer lesmaximums et minimllms. '
Un exemple fera mieux comprendre ce procédé.
{86. Problème IV. - Déterminer le manim?/,n?, de l'enpress'i,on
187. Discussion. - Les racines sont réelles ; pour qu'elles convien-nent il faut et iI suffit qu'elles soient comprises entre - I et + l.f (- L): r + cosa
f(+l):l-cosAr;l-tet+lsontextérieursauxracines'ScosA.,ll;: i qui est compris entre - i rL + i.
il s'agit maintenant de déterminer pour quelle valeur de æ il y amaximum et minimum.
A cet effet nous allons étudier la variation de la fonction, ot nousreprésenterons la courbe y : sinr (cos û - cosA) dans un systèmed'axes rectangulairæ frA (flg. 28).
' Lafonction est périodi;;.; la période est Zn.y s'annule pour fr -. krc et pour t - 2kæ * A.Deplus, F(tr* h):-F(n-lt).
ffiDonc it suffira de faire varier fi de 0 à æ.
Nous pouvons supposer 0Bxaminons la position de A par rapport à" æ, et fir.
/(A) - 2 coszA - coszA - I : - sinzA
Donc cosfizLorsque æ croît de 0 à A, sineiLorsqu e fr croît de A à *, sin æ
La fonctioo passe par un maximum entre 0 et A, c'est-à-dire pour* : ûr, et par un minimum entre A et æ, c'est-à-dire pour fi : tz.
Lorsque æ varie de 7r à 2æ, la courbe est symétrique de lal"e branche, par rapport au point s : rc.
Donc la fonction passe par un maximum pour æ : 2æ - û2,
et par un minimum pour, fi - 2æ - fi1.188. Problème V. Étudier la aa,t"'icr,ti,on d,e ta fanction
y est une fonction périodique de n; la période est 2n;de
plus
,(:+fr,): F(:-b)\z/\z),(+:b):r(+-h).\z / \z )
Donc, si nous représentons la courbe y: 3 + 5 sinr - 2 sinzæ,dans un système d'axes rectangulaires ûA (fig. 2g), nous voyons.'qu'elle est symétrique par rapport aux droites
n-(2k+l);.
I1 suffira par conséquenr d* f;;*îuri. r æ de
Cherchons les valeurs de û qui rendent yrrésoudre l'êquation
Recherche des manitnu,lns et minimirnts.A toute valeur de fi correspond une valeur pour A; on ne peut.
donc attribuer arbitrairement à y que les valeurs qùi peuvent être"obtenues par des valeurs réelles de fi, c'est-à-dire telles, Qûo si I'onrésout par rapport à æ, on trouve des solutions réelles.
Pour que r soit ré,el, il faut qlil y ait au moins une des racines.de I'équation
2 sinzr - 5 sinr - 3 + A :0comprise entre
-I et + l.
F(-1):2+5-3+V:4+Ar(+t) -2-5- 3+ U: -6 +y.
S524
SDeï
zgrande que + l, et que la plus petite doii donc être seule comprise"entre
-I et + l, c'est-à-dire que + I doit être compris cntre les
racines, et : I extérieur aux racines.D'où f (+l): y-6
et 'T'(- t)
Ces valeurs sont obtenues, la première, pour û - Ç; la seconde-
3æpotn' fr - T-On complète le tracé de la courbe en remarquant que pour
ly - b* !/: + 3Conclusions.
Lorsque fr croît de 0 à i,, y croîtde+3à+6,maximum."
cos 2n * tgr tg 2n, sin r coszr (I + sinar) , tT ?* .tg'æ
2. Déterminer le maximum de sinr { siny, sachant quecostr | cosy est constant et que n et y sont compris entre 0 et I-
23. Étudier les variations des fonctions :
(t + sinr)zlI- sinar (I - sinæ)
y:sécæ+tgn/'- A: sinrf cosr
U: fi
-sinr
sinrtt:vû
u : *'ll*5 ?' 'o" + '' 'a, sin n + b, cosfr * cz
Cas particulier i at: I , a2.:2, bt - 2, bz: l, ct: I, cz:3.N. B. Les exercices suivants ne peuvent être traités qu'après
l'étude des triangles rectilignes.4. Dans un triangle on donne a et b * c; déterminer le maximum
de I'angle que forment la médianc et la bissectrice issues de A.5. Trouver parmi les rectangles ayant les mêmes diagonales :
lo celui de plus grand périmètre ;
20 celui de plus grande surface.
6. Parmi les quadrilatères ayant mêmes diagonales, quel est celuide plus grande surface ?
7. Étant donnés deux cercles qui se coupent aux points A et B,mener par B une sécante DBC, de manière: lo que DC soit maximum;Y que DB x BC soit maximur, et 30 que le triangle ACD ait une
aire maximum.8. Trouver le triangle de plus grande surface parmi tous les
triargles qui ont: Io même périmètre et un angle commun ; 2o mêmepérimètre; 3o même base et même angle au sommet.
limites varient : L.ry ; 2o S et Zq,si a, + h est constante ; 3o b * ca
si I'hypoténuse est donnée.
I0. Dans uû cercle donné, inscrire le triangle dont le périmètreou la surface soit maximum.
I l. A un cercle donné circonscrire le triangle dont le périmètreou la surface soit minirnum.
L2. Déterminer le maximum et le minimum de I'angle du sommet
d'un triangle dont on connaît la base a et 10 la somme des deuxautres côtés ; 2" la difiérence de ces côtés ; 3o la médiane AD.
13. Étant donné un angle dièdre dont I'arête est tangente à unesphère, déterminer la position de cet angle pour laquelle la sommedes zones interceptées est minimum.
L4. Étant donné un triangle ABC, mener 10 la droite minimumqui le divise en deux parties équivalentes ; 2o une droite AD telle,qLle le rectangle des perpendiculaires abaissées des points B et C
sur cette droite soit maximum.15. Trouver le minimum du rapport du rayon du cercle circonscrit
au rayon du cercle inscrit à un même triangle.
16, Trouver le quadrilatère maximum que I'on peut former avecquatre côtés donnés.
L7. On donne les bases d'un trapèze isocèle, déterminer le mini-mum du rayon du cercle circonscrit.
18. L'arête latérale d'un pyramide régulière est donnée, déter-
lniner pour quelle valeur de I'angle au sommet des triangleslatéraux le volume est maximLlm.
19. Dans un secteur circulaire, inscrire le rectangle de plusgrande surface.
CHAPITRA IILirnites ou vFaies valeurs.
189. Étant donnée une fonction d'une, variable indépendantey - F(r) on peut en général, en appliquant les théorèmes particuliersde la Théorie des limites, écrire la relation
Mais I'application de ces théorèmes particuliers est soumiseàquelques restrictions. On ne peut pas écrire la relation qui précède,
lorsque F (a) se présente sous I'un des symboles non définis :
0ooO' ;ô, oo - oo, 0 X oo, et0.
Dans ce cas la limite vers laquelle tend F (n), lorsq ue fr a pourlimite a, doit être déierminée par d.'autres procédés. On lui donneparfois le nom de ura'ie u&leur", mais cette expression n'est pasheureuse et doit être évitée ; elle est d'ailleurs sans signilication.
La limite en question s'appelle la aaleut" n?,crnérique de F (æ)pOUf æ - A.
il est difficile dans un cours élémentaire de donner une règlegénérale pour la détermination des limites.
Parfois il suffit de transformer I'expression de la fonction en uneautre équivalente à laquelle la relation précitée est applicable.
La limite de cebte nottvelle fonction sera la limite de la fonctionproposée en vertu du principe :
Lorsque deuæ fonctions d'une même uariabte i,nd,éltend,ante
x prennent des oaleut^s égales quelle q.ue soit ta aatèur ath",i,-buëe ù x, si' l'ttne tend, oers une timzte lorsque x tend, Ders a,l'autre tend également aers une timite égate ù ta pre//?,,ùère.
Dans cette recherche on fera utilement usage du théorème (llg),€n vertu duquel
rim @\\ t ./*-*oelques exemples.
ssionpOUf fi *4.
Si I'on fait û : A on trouve A :
lim
190. Nous allExemple
f. -
Or I
/sinæ\ rl-f-L\ fr /æ+oons développer qu
Limite de I'expreI - costr,t
- xgfi
00'
cosrt - - sin2æ
I f cosæosmrt cosfr
et tgn : sln ffcosfr
lim A**o : 0.'où
Exemple If.
Y - ï +- cos# et
v
Limite de I'expressionsin (a + ffi) - sina: pour fi*A.
t9 se présentait n - ;, A se présente sous forme 0 x oo,
IU:@ et IimU: l'
Exemple IV. Limite de I'expressionI
p et q. satisfaisant aux relations
P_=# et l-ecosa-o'POur t,r-d.) à:.ooX0.
or E-4sin(g-a)-I - I
costo
p sin(o - a)_ _U X
. (-r)
Z srn Z cosTpe
(cos coso)e . CI
*a. t)-æ
z srn 2 stn -7-
Q:
limà
(')-d-cos--pz,e' . tùJFr--
SID: .)'h)
pl=: -.T-.ù)->c e SlIl a
l9l. Dléthode générale. Lorsque I'on n'aperçoit pas les
transformations à opérer sur la fonction F (r) dont on cherche lalimite pour lim ffi - a.,, on remplace fi par a * h. La limite cherchéeest fournie par la relation
1,92. Notations. Nous représentons les mesures des angles engrades par A, B et C (A:100"); les mesures des côtés opposés,l'étalon êtant quelconque, par &, b et c ; a est donc la mesure deI'hypoténuse.
193. Théorème f. Dans tout triangle rectangle la soTyùrnedes angles B et C aaut 1æ grades.
On admettra ce théorème pour le moment.
On en trouvera la démonstration aux nos 205 et 206.
On a donc B+C:100".194. Théorème II. Dans tout tràangle rectangle u,n côté
quelconque de l'angle droi,t est ëgal aoc produàt de I'hypoténusepar le cositzus de l'angle adjacent ou paî le sinus de l'angleopposé.
En eftet, m est la projection orthogonale de BC sur A (flg. 30).
195. Théorème II[. Davts tout triangle rectangle u,n côtéguelconque de l'angle droit est égal a,u ltrodui,t de l'autrecôté pa?" la tangente de I'angle opltosé, ou par la cotangentede l'angle adjacent.
Desformules b:asinB et c-acosBon déduit b: c tgB ou c - ô cotgB. (6)
D'autre part tgB : cotgC;
donc b-ecotg0 ou c-btgC. (7)
f96. Théorème IV. Dans tout tri,angle rectangle le caméde I'hypoténuse est égal ù la slrlrorne des cat"rés des deuæautres côtés.
Desformules b:asinB et c-acosBon déduit bz + cz - az (sinzB f coszB)
lg7. Théorème V. S, a, b, c, B et C
positifs, solution du système d'équations
( B*C:100"I{ b:asinBI( c - a, cosB,
ces nomby'es sont les éléments d'ttn trdangle rectangle.
Bn efiet, sur les deux côtés d'un angle A - 100', portons b et cet joignons BfOr. Soient &', Bt et Ct les trois autres éléments dece triangle.
On aura a.tz : bz + c2.
, Or sz - bz * c, en vertu du système (2) (3)
donc atz - gz et puisque a et at sont
Deplus c-4rcosBt:acosBlet c-acosB; \
donc cosBr : cosB; et puisque B et B' sont conpris entre 0 et 100",Br: B.
Enfln, Br+Cf :100" ou B+Ct:100";or B + C - l00o;
donc Cr - C
et, par suite, a,b,c,B et C sont les élémenfs cl'un triangle bectangle.
198. Conelrrsion. Entre les cinq éléments variables d'un
triangle rectangle existent les trois formules suivantes, indépen-dantes I'une de I'autre
B+C-100"b: a sinBc - a cosB.
Toute autre formule peut se déduire de ce groupe; en effet, s'ilexistait entre les cinq éléments quatre relations indépendantes I'unede I'autre, il serait possible d'en calculer quatre en fonction du
cinquième, et tous les 616psnts d'un triangle rectangle seraientdéterminés lorsque I'on connaît I'un d'eux ; ce qui est faux.
199. Alre dtun triangle reelangle.Les diftrentes évaluations de I'aire en fonction de deux éléments
sont :
a2 sin?B : olffi
s 2. RESOLUTTON DES TRTANGLES RECTANGLES.
s :àbc _f,0, cotgB:1 1
,)
200. A I'aide du groupe des trois formules
( B*c:roo"{ b: a sinBI( c - a cosB
on peut calculer trois étéments lorsque l'on connaît les deux autres,sauf lorsque les deux éléments donnés sont B et C ; dans ce derniercas, ou bien l'équation B * C : 100" est une identité, et alors le
système se réduit à deux équations à trois inconnues, ou bieu cetteéquation n'est pas vérifiée par les données, et alors le système estincompatible.
, Discussion. Pour qu'il y aitsoit inférieur à 100".
SiB
solution, iI faut eû iI sufût que B
solution.
e - b cotgB.
CHAPITRT) IITniangles quelcongues.
s t. FoRMULES.
205. Considérons (flg.31) utt triangle ABC, ces trois lettres étantplacées de telle sorte qu'un observateur situé à I'intér'ieur du trianglevoie tourner dans le sens direct un mobile parcourant le contour
de A en B, de B en C, et de Cen A.
Adoptons comme sens positifsur chacun des trois axes quiportent les côtés, précisémentle sens suivant lequel ce mobilese meut.
Désignons par û, b, c les mesu-res des côtés par rapport à unétalon arbitraire, et par A, B et
C les mesures des angles engrades.tr'rc. 31.
Les vecteurs AB, BC etpositifs AB : c, BC - a,,
CA auront porlr mesures les nombreset CA : b.
Quant aux angles des axes, on aura
iU:K.400o+(200"-C),^.AZ: K.400 +(200"-A)
^-f{.400"+(zoo"-B).nfin, oD peut écrire r_BC:BA+AC.
Remplaçant ces expressions dans les formules(l) et (Z), et prenantles racines carrées, nous obtenons
Les racines négatives
Divisant ces formules
:irysont à rejeter, ", !
'
membre à membre, on obtient
v@ -b)(p-c)p(p - a),,ct tg , s'écriront par analogie.4/
2t2. Conelusion. Par les théorèmes qui précèdent nousavons établi entre les six éléments du triangle quatre systèmes deformules. Le 1"" système ne comporte qu'une seule formule reliantles trois angles ; le second comporte deux formules reliant chacunedeux angles et les deux côtés opposés ; le troisième est peu impor-tant ; il comporte trois formules reliant chacune les trois côtés et
deux angles; le quairième compo rte également trois formules, reliantchacune les trois côtés et un angle.
Si nous réunissons le l'" et le 2c1' système, nous obtenons troisgroupes de trois formules chacun :
.Asmz:bc
Acos z
,Bt8z
Atgz:
IsinA _ sinB _ sinC \aI( & o c il<b
(a+B+c-200" (t:ôcosC+ccosB
bz * c,
-Zbc cosA
qz * c, - Zac cosB62 + fiz - 2ab cosC
Dans chaque groupe, les trois formules sont indépendantes lesunes des autres.
Toute formule reliant les éléments d.'un triangle peut se déduire deI'un des trois groupes I, II ou III; sans cela,quatre relations indépen-dantes les unes des autres pourraient exister entre ces éléments, etpar suite, on pourrait en déterminer quatre en fonction des deux
autres, cê qui est évidemment faux.Les trois groupes précités sont appelés groupes fondatnenta,u,n.Nous allons démontrer explicitement que chacun de ces groupes
peut servir à démontrer les formules des deux autres.
S 2. - ÉgulvelencE DES cno.upEs.213. Définition. - Deux groupes de trois formules indépendantesles unes des autres, et reliant les élémenis d'un triangle, sont ditséqui,oalents, lorsqu'ils admettent les mêmes solutions répondant aux.conditions suivantes : a, b et c positifs, A, B et C compris entre0 et 200".
214. Théorème I. - Les trois groupes f, If et III sontéguiaalents.
Pour démontrer ce théorème, nous allons prouver que chaque
groupe peut se déduire de chacun des deux autres.Io Du groupe I déduire les groupes II et IILGnoupn IL - Du groupe I on déduit
sinA _ sinB cosC _ sin0 cosBa, ôcosC ccosR
sinB cosO + cosB sinC sin (B + C)
A et B + C étant supplémentaires, sinA : sin(B + C)
-donc a-Ôcosc+ccosB.Gnoupn III. Du groupe I on dédnit encore
inzA sinzB sinz0 2 sinB sinC cosA cln"a sln"5 slfl'L,,:-:æ:
,-:æz bz 62' Zbc cosA
_ sinzB * sinzC -2 sinB sinO cosAbz + ç2,-2bc cosA
On peut aussi obtenir cette équation en exprimant la conditionpour que le système de trois équations du groupe If, homogènes ena, b etc admette une solution autre que Ia solution zêro. Cette condi-tion est que le déterminant du système soit nul. D'où
- I cos0 cosB
cosO - I cosAcosB cosA - I
:0
ou coszA * coszB + coszC + 2 cosA cosB cos0 - I - 0.
On déduit facilement de là :
^^_a+B+c ^^^A+B-C ^^_Il+C-A - À+C_BosT' cos T. cos tr. cos--: 0.
D'oùles4solutions: A + B + C:200"À+B-C:200"B+C-A:200"a+c-B:200".
Les solutions de la forme A + B
-C : 200" sont incompatibles
avec les conditions de signe et de grandeur imposées aux nombresa b c A B C; en effet, introduisons une telle solution dans l'équation
cr,=-ÔcosC+ccosB.Il vient, en remplaçant B par 200" - (A - C) :
e, : ô cosO - c cos(A -- C)
ou a- ô cosc - ccosA cosc - c sinA sinC.
a, - cosC (b * c cosA) - c sinA sin0
aetenfin a sin?C: - c sinAsinOce qui est impossible.
Laseulesolutionacceptableest A + B + C - 200o.
Gnoupn IIf. Pour démontrer la formulea2: bz + cz - Zbc cosA
il faut éliminer B et C.
Multiplions la Ir" par a, la 2e par b, et la Be par c.
La démonstration de ce théorème sera faite dans Ia 3"du cours (Triangles sphériques).
a>-
rDD
partie
Nous laissons alr lecteur le soin d'adapter cette démonstrationau cas particulier des triangles rectilignes.
Corollaire f. Si parmi les trois formules considérées flgure la'formule A + B -f C : 200', la condition exigée pour l'équivalenceest satisfaite.
2t6. Théorème III. 8, a, b, c, a, B et c sont sin notnbrespositifs, solution du g?"oupe f , ces sin nombres sont les
rytesul'es des sin éléments d'un triangle.En effet, A, B et C étant positifs et leur somme étant égale à200", chacun d'eux est moindre qLle 200c.
Au moyen des quatre éléments a,A, B et C, on peut construire untriangle, puisque A + B + C - 200". Soient ltt et ct les deuxderniers éléments du triangle. on pourra écrire
sin A sin B sin CT:T _T'Or, par hypothèse, on a aussi
sin A sin B sin Ca:T:T'
Donc b:bt et cLes éléments a,, b, c, A, B et C sont donc bien les éléments d'un
triangle.2L7. Théorème IV. Les solutions d,u gt"oupe fff , répond,ant
auffi conditions; a,. b et c positifs, A, B et C to*piùt erztre'0 et 200", sortt les éléments d,un triangle.
lo Au moyen de trois côtés ayant pour mesures a, b et c, onpeut construire un triangle.En effet , 0,2 : b, + c2 _ Zbc cos A
ou a2: (b * c), - 4bc cos2 +.
Donc a,2
Prenant les racines positives :
De mêmea
b
Les conditions nécessaires et suffisantes pour la construction d,'untriangle étant satisfaites, le triangle peut ôtre construit.
20 Soient At, Br et Cf ses angles.On aura a: - b, + e - Zbc cos Ar.
, B, C 7 , A, Ctr) - a, - p tst tgz p - o: ptg ? tg2,
P-c:PI
abc cos= a)U
AtST
Icos
z
,Btg2
B cos lc-p
cosA+cosB+cosC R-l-r
4>r : abc
It,l,ll,l,lr:%-Po*Po:ErEtE
4R: p" J- p, * pr- r.ap, ç ôp, * cp,:2p (2R - r).
2. trn appelant a, P et 1, lcs angles sous lesquels on voit du centredu cercle inscrit les trois côtés d'un triangle, prouver que I'on a
4 sina sinp sinT - sinA f sinB * sinC.
3. Si dans un triangle on a : b - & - flc, prouver que I'ona aussi
cos(a + àrl: zù coslc cotgà,t -a) -- I * z cosBæ sinB
4. q, p, 1, étant les distances du eentr"e du cercle inscrit auxtrois sommets, prouver qLle I'on a
"Pi':@Tp5. On donne cosL:F,ho:,F + çI;c- 1+pq.. Calculer &
et les cosinus de B et de C.
6. Quelle relation existe-t-il entre les angles d'un triangle dontles côtés sont en progression arithmétique ? Même question pourles hauteurs, ou les rayons dcs cercles ex-inscrits.
7. Si dans un triangle on a
sinA :tine
tsinc r^
', rectanqle cosn a. *g' le triangle est rectangle en A.8. Si dans un triangle on a
9. Si, dans un triangle, on a g : *'BTge - ti;u6 'Ie triangle est isocèle ou rectangle.
10. Calculer I'aire d'un triangle en fonction des trois-des trois médianes, des trois bissectrices intérieures,rayons des cercles ex-inscrits.
16I
hauteurs,des trois
s 4. RESOLUTTON DES TRTANcLES QUELCONQUES.cAs cLASStQUES.
226. On entend par ca,s classi,ques,les cas où parmi les données"'ne flgurent que des côtés et des angles du triangle.
Il résulte de l'étude faite dans le paragraphe précédent que la,connaissance de trois éléments est nécessaire et suffisante pourpouyoir résoudre un triangle, sauf lorsque les trois données sont lestrois angles. Dans ce cas, or bien l'équation A + B * C : 200"est une identité, et le système I se réduit à deux équations à troisinconnues, ou bien cette équation n'est pas vériflée, et le système
est incompatible. Il faut donc connaître au moins un côté pour quele système soit déterminé.
D'où résultent quatre cas classiques :
On donne lo les trois côtés i &, b, c; calculer A, B, C.
20 deux côtés et I'angle compris :
a, b, C; calculer
30 deux côtés et I'angle opposé à I'una,b, L; calculer
: 40 un côté et deux angles :
a, A, B; calculer
227. L'" caelo Ré,soudre un triangle connaissant les trois^côtés : a, b, c (4, B, C).
Résolution. - Les inconnues sont calculées au moyen des formules
que I'on peut établir directement, en partant dugroupe
III,par
la formule
cos At-,ry**I +@r*
Discussion, Pour que les angles trouvés répondent aux condi-tions de grandeur et de signe, il faut et it suffit que les valeurs de,ABIICtg;, Ig; et tg; soient réelles, c'est-à-dire que I'on ait
La condition de réalitô devient : p - a,
Si cette condition est satisfaite, on trouve pour * 'X et $ au*
valeurs comprises entre 0 et 100"; donc, pour A, B et C, des valeurscomprises entre 0 et 200".
228. pe cas. Résoudr"e un trôangle connadssant deurcôtés et l'angle qu'ils coînprennent :
a) b, B (4, B, c).
Résolution. l. CAlcur, DIREOT.
Du système d'équationsIt c2: a,2 + bz -Zab cos0
, ) sinA sinBl'\ e :TIt A+B+C:200".
On déduit :
sinA _ sin (4.-l- C) d.,où cotgAArb
sin (B * C) sin Ba, . =- T d'où cotgB
e _ Va, +b, _ Znh cos}.
Ces formules doivent être rendues calculables par logarithmes.
(l) Onpose b:axcosC d'où cotgA-(I-l)cotg0.(2) On pose a, - b\tcosC d'où cotgB : ()"- I) cotgC.
En vertu des équations (l) (2) et (3),ces conditions se réduisent àsin B
A+BsinB est obtenu sous forme d'un produi! du deux facteurs, dont
I'un, sinA < l. Examinons I'atrtre facteu, o.
r.2a
admet deux valeurs BrBlou
d'où on tire200" - Bl
A+B'a+Bft> 200..
Br satisfait à la condition (5)'.
Bttn'y satisfait pâs, donc il est à rejeter.CoNcr-,usloN. Le problème admet une solution unique corres-
pondant à la valeur Bf (l'angle de la table).hII. \a
admet deux valeurs Bn : A et Bz : 200c - A ; ces valeurspeuvent être confondues si A - 100".
f.,a solution Bo - 200" - A est à.rejeter, parce que A + Bz : 200".
La solution B, convient si A * B, ou 2A < 200" c'est-à-dire A < 100".
CoNcr,usroN : Si ASiA
hill. :'
Si A - 100", sinA - t, €t puisque sinBSi L + 100", on ne peut rien affirmer quant à I'existence de B.Mais, sd B eæi,ste, otr aura Br et Brf tous deux compris entre
Les racines sont ou bien réelles et de même signe, ou bien.,imaginaires.
Si leur somme, 2b cosA, est négative ou nulle, c'est-à-dire siA > I00", elles ne sont certainement pas réelles et positives ; doncil n'y a pa,s de solution.
SiAil y a donc, dans ce cas, autant de solutions que de racines.
Le réalisant R - Ô2 coszA _ (bz _ az) : 62 _ ô2 sinzA: (a - ô sin L) (a + b sinA);
-or a*ôsinA"donc, si a, - ô sinA
si a - D sinA : 0, il y a une solutiore : c - ô cosA;si a - ô sinA
Remarque I. Ces conclusions sont identiquement celles de la
-discussion précédente.Remarque II. Pour calculer c par ce procédé :
sibct:g\mtg?cz: eVm; cotgg
z:
? se calcule par la relation
eNb'z - a, (tgf * cotg?) : 2b cosA
r67
sin2pa
e : bcosA d'où sinpo :':On prend e - + I ou - I suivant que A
gVd'z-W a , r. \ , ^ gVmou W: Ôcosa d'où ts??: Ë"il-On prend. encore Q : * t suivant que A
294. {e câ,so Résoudt"e lrn tri,angte conna.,issant un côtêet deuæ angles : e, A, B (C, b, c).
Résolution. Les inconnues sont calculées à I'aide du système"
( sinA sin B sinC) e:T:T( a+B+c-zoo"
d'où C - 200'- (A + B) (l), a, sinB
o- dna Q)
c: a sinCsinA (3)
Discussion. Pour que les solutions conviennent, il faut et iI1
suffit qLre I'on ait A + B
CoNcr-,usroN. Le problème admet dans ce cas une soluti,onunique.
S s. nÉsoLUTroN DEs TRTANcLEs.cAs NoN GLASS|QUES.
235. Définitisp. - On entend par ca,s ngn classiques, les cas de
résolution de triangles où les données ne comportent pas unique-ment des côtés et des angles du triangle. Ces données non ciassiquespeuveqt être :
10 Des éléments tels que hauteur, médiane, bissectrice, aire,rayon du cercle inscrit. etc. ;
T Des relations entre des éIéments; telles que la somme ou ladifférence de deux côtés, de deux angles, le produit de deux côtés,.deux côtés égaux, un angle triple d'un autre, le rapport des bissec-trices extérieure et intérieure d'un angle, etc.
236. Pour résoudre un triangle dans un cas non classique, on aurasoin de suivre rigoureusernent la rôgle générale suivante :
10 On eupriffir, pou?" chaque donnée non classie%e, unerelation enistant entre elle et les éléments du triangle (côtéset angles) ;
20 On adjoi,nt a,,un équations ai,nsi., obtenues le groupe I(des si.nus) ;
30 On résout le système total d'équations obtenu.Remarque I. Il faut avoir soin de vérifier que ce système
comporte autant d'équations que d'inconnucs; si cette vérificationn'a pas lieu, cela prouve qu'on a mal suivi la règle.Remarque IL
À + B + C : 200', garantit l'équivalence du système et des groupesfondamentaux, êt permet par conséquent d'accepter toutes lessolutions positives (218).
237. Pour résoudre le système d'équations obtenu on aura soinde suivre la rôgle suivante (sauf cas exceptionnels) :
1o On élimi,n e les côtés inconn?.t,s ;
2,' On calcule les a,ngles ;30 On calcule un des côtés (ù nzoins qLc'L(,n côté ne soit
donné) ;40 On calcule les deur a,u,tres côtés par la proportion des
s'i,nus ;50 On discute les résultats obtenus.Remarque. Pour le 2o on aura soin d'examiner. si les données
sont symétriques par rapport à deux angles. Dans I'affirmative,les équations obtenues après l'élimination des côtés doivent
également être symétriques.On pourra alors utiliser les méthodes qui ont êtê exposées dansla théorie des équations (somme et difiérence de d.eux angles).
238. Problôme f. - Résoudre un tr"iengle connaissaret umangle, l'aire et le périmètre :
Comme ce sont deux arcs du premier quadrant, cela devientsin l a.
d'où
La condition (12) rentre dans (f4).
CoNcr,usroN. Si les conditions (13) et (14) sont vérifiées, leproblème admet une solution.
Si ces conditions ne sont pas vériflées, le prollème n'admet pas
de solution.
240. Problôrne fff. Résoudre ?,,cn triangle connaissantu,n. côtë, la hauteur correspondant au deuni,ème- côté et labissectr'ice de l'angle opposé a,u troisièrne côté, :
a,, ho, d, (4, B, C, b, c).
f. Résolution. (flg. 35)
dffi
h - a sinC
a
dsinlrag;:
h-r
sin A_:a
A+B
d'ot\
(5),
d*a
-:a,-a
Isin (A +;C)
tu
sin B siri:î (3)
+ C : 200'.
tg (a * Ï.,tg 19
- fc.
(14)
(6)
c
(r)
(2>
(4)
(5)
lo ÉUminons les côtés b et c. Il suflit de ne pas tenir comptedes équations (3)
(t) fournit a, ; (a) et (5) donnent b et c ; (7) donne S.
I[. Discussion. Io Pour que B et C soient compris entre 0 et
zoo", il raut que lfl soit
B le plus grand des deux angles inconnus B et C, puisque les.
données sont symétriques en B et C ;
d'où 0
ou0
Zo Pour que sin, f soit réel it faut que dz - hz ooit positif oum2-hzvnul, c'est-à-dire
D'où h extêrieur aux racines; mais comme on a déjà la conditionh
On doit aussi avoir 0
acceptables, puisque A ne peut être égal ni à 0 ni à 200').
f (0) : ha (tn' - d') même signe que (m - d)'Le le" terme est positif, mais (m - cl) peut être
1"" cas i ?yù
produit et leur somme sont positifs. .
/e cAS i rn - d. Une racine est nulle ; I'autre est positive et'
, 2h2vaut ,tr, si ln
3e cas : ln
pour qu'une racine positive convienne, il faut qu'elle soit ( l.Formons / (l) : (do * zhzdz) (tn' - h') + ha (ttzz - d,') donton ne peut pas déterminer le signe.
D'autre part, une autre condition de grandeur résulte de ce que C
"(h'\ læ ): tua (v7* - h') - 2h4 (m' - h') + tud (vvÛ - d')
ou h4 (m, - dz -yytrz + hr) -- |rt çhz - dz
nooc ff est compris entre les racines ; et par conséquent laplus
grande ne convient jamais; Ia plus pctite seule peut convenir sielle est positive, c'est-à-dire si ln
TRIANGLES QUELCONQUES. 179
Leproblèmepeutdoncadmettreunesolutionsih<Mais si h: d
vertu de (l l).Or I n'est pas acceplable, comme it a êté dit plus haut.
Donc on ne pcut avoir que lù
Si h : d - m, I'équation (10) devient une identité 0 - 0.
L'équation (2) donne B : C, et le triangle est isocèle.
L'équation (3) transformée en (10) rentrc dans les autres équationsdu système. Celui-ci est indéterminé. On peut prendre pour A toutevaleur comprise entre 0 et 20A"; les autres inconnues se calculentalors au moyen des formules :
B-c:roo"-l b-e- h A
z b-c--ffi &-zltiSÇ S:
Remarqlue. On rend monôme la solution acceptablemanière suivante:
Posons g-- h:,n : coszo
ce que I'on peut faire puisque h
d'ori sin,f : #(I - cosg) :# sin'!
etalt'osrtrz :
Y2.dsrnâ.
Conclusion.-Leproblèmeadmetunesoltrtionsih<L'-ne inlinité de solutions si h : d'
Remarque. Nous avons résolu le triangle en suivant la règlegénérale. Lorsque I'on a acquis quelque habileté, on peut trouverdes solutions plus rapides.
Ainsi, Si I'on désigne par Al et Az les angles BAM et MAC,
ona A1 -l-Ar:,{et h : m sin(a', + c) - jn sin (a, * B) (r 9) et (20)
ou 2h - za[sin(A, + B) + sin(A, + C)]
d'où
car
d'où
On'déduit de là :
h sinAcr - sinB sine
déduites de (1) (4) et (b),
h : rn cos(A' : t'-L B - c)\ 2 '. 2)B+C-lAr*Ar:200".
(21)
Cette équation permet de
B_Cî par l'équation (2).
calculer L7& puisqu'on connaît
D'autre part, on a aussi dans les triangles AMB et aMC :
sin A,a, rn a, rn22
sin A, sin Bsinf;
:sinc '
, A , B+Ctsz ts-f, A,-4.' B_CtSzrgz
-A , A,-Ao , B-Cotr g=;: tg=-f cotg- Z- . (22)
Cette équation permet de calculer A, et remplace avantageusementl'équatioq (tI) .
ayant *: Sè et +, olr calcule a, et Ar, puis
B et C à I'aide de (19) et (20) , a, b et c se c rlculent enfi.n par leséquations
On aurait pu obtcnir immédiatement ce résultat par la considéra-tion du triangle GCA| , G étant le centre de gravité du triangle ABC,
et A', le symétrique de G par rapport au point M, milieu de BC.L'aire du triangle GCA|est le Il3 de I'aire du triangle ABC, et sescôtés sont,les 213 des 3 médianes.
I)ans ce triangle GCA|, oo calculera les angles
6et T dr, GOC: dz, et câ,.t =T crs
au moyen des mêmes logarithmes qui ont servi au calcul de S.
Si I'on désigne les angles déterminés par les médianes d.ans A, Bet C, par A, et Ar, B, et Br, C, et C, dans le sens direct de rotation,
on voit aisément qued2: Br + Cz a.2- Az J- C, q.z- Ar * Br.Appliquant la formule (24) du no 225, otr aura :
tgA'tc': WryEl.ces formules nous permettent de calculer Ar, ar, Br,Br, c, et cr.trinalement a : Ar * ar, B'- B, * Brl c : cr + cz.On pouma vérifier si A +- B + Ç -; 200c.
25. Les volumes engendrés par un triangle rectangle, en tournantautour de ses trois côtés, forment une progression géométrique.Calculer ld plus petit angle aigu.
Résoudre le triangle orthopédique d'un triangle donné.
CITAPITRI] III
Quad ni latènes eonvexes.
245. Notations. - Nous représentons par A, B, C et'D les mesuresdes angles en grades, les lettres se suivant dans un sens déterminéde rotation ; par Ar et Ar, Br et B, etc., les deux parties déterminéesdans chaque angle par les diag'onales; par a, b, c et d les mesuresdes côtés, I'unité de longueur étant quelconque, le côté a, suivantle sommet A ; par rn et n les mesures des diagonales , m, partantde A et n de B ; par 0 I'angle aigu des diagonales. Les autres notationsR, î', S, 2p, etc., ont la même signiflcation que pour les triangles.
246. Tout quadrilatère peLrt être décomposé en deux triangles
ayant un côté commun; la détermination de chacun de ces deuxtriangles exige la connaissance de trois éléments, ce qui fait untotal de six: à cause du côté commun, un quadrilatère sera déterminépar la connaissance de cinq conditions, éléments ou relations entreéléments.
247. Formules générales (flg. 86).C nzz:qz+bz_
S
I: z*n
,?,2-cz *dz-
n2: Az+dz-y1z _Cz +bz_A+B+C+D
(ad sin A
Zab cos B (1)
Zdc cos D (2)
Zad, cos A (3)Zbc cos C (4)
- 400" (5)
* bc sin C)
sin 0. (6) et (T)Fra. 36.
Il y a sept équations contenant douze éléments. La connaissance
de [cinq d'entre eux, ou I'adjonction au système de cinq nouvelleséquations, en feront généralement un système déterminé.
Remarçlue. - En général, pour i'ésoudre un quadrilatère, il trefaut pas s'en tenir exclusivement aux équations du système; sopvent
f. Résolution. - Si nous menons par le sommet C (flg. 3S) uneparallèle au côté BA, nous obtenons un triangle CDE clans lequelles côtés valent respectivement cL) bL: d - b, êt c.
On peut donc calculer lesangles par les formules
tsBz- tsâ
g-r-d*b---->.Frc. 38.
ou, en posant 2p : a., + b +
B-200"-A et
t/ù2 : a2 + b2
-Zab cosB
n2 : a,2 + dz - Zact cosA
A,-2sin:rY u,b
et, en posant +- sinrpe+o '
rn
-(a + b) cos?
IS:;(b+d)asina:
(p, - c) (P, - br\.
Pr (P, - a)
(p-c-b)(p-d>(p-a-b)(p-b)
E|.: Ic*d,
ts!z: V et ts|: V
ona
c-200c-D;: &z + bz + Zab cosA
A4ab sinz Ir): (a - d,), + 4ad, sint *
{2sin ï Y ad)
la-dlet *,
-1"- Ios
(P
(b + d) asinâ.0'â
d'où s-Hlm -d)(p- a-b)(p-c-b)2Srnn
in 0
II. Discussion. Il n'y a qu'une condition de réalité, c'est
On peut remarquer que (29) et (30) donnent, en éliminant S,
R
condition que I'on peut aussi obtenir par la condition
sin A sin Bmais qui ne peut être substituée à aucune des conditions précédentesqui seules sont suffisantes pour que le problème admette une solution.
On prendra pour A et pour B; les angles aigus obtenus par leséquations (24). Toutes les autres solutions rentrent en effet danscelles-là, au point de vue géométrique.
EXERCICES.
I. Résoudre un quadrilatère circonscriptibte connaissant le rayondu cercle inscrit, les diagonales et leur angle. f)iscuter.
2. Résoudre un parallélogramme connaissant une diagonale, lepérimètre et I'aire.
3. Résoudre un quadrilatère circonscriptible connaissant I'aire,le rayon du cercle inscrit, utr côté et un des angles adjacents.
4. .L'aire d'un rectangle est S ; elle devient Sr quand l'angle desdiagonales devient double sans que les diagonales changent de
longueur. Calculer les diagonales et leur angle primitif.5. On donne les bases et la hauteur d'un trapèze, ainsi que I'angle
des côtés non parallèles. Calculer ces côtés.
6. Résoudre un trapëze connaissant les angles et les diagonales.
7. Calculer les angles d'un quadrilatèr'e quelconque connaissantl'aire et les quatre côtés .
8. Résoudre un quadrilatère inscriptible connaissant deux côtés,leur angle, et la différence des deux autres côtés.
9. D'un point P on mène à une circonférence O une sécante PAB.
un arc en deux parties telles, que la somme, ou lesomme des carrés des cordes soient maximum ou
10. Résoudre un trapèze inscrit dans un cercle de rayon donné R,
connaissant I'aire et un angle.l1 . Étant donné un quadrilatère ABCD, inscrit et circonscrit,
on prolonge les côtés opposés AD et CB jusqu'à leur rencontreen E ; démontrer que le rayon du cercle inscrit dans le quadrilatèreest moyen proportionnel entre le rayon du cercle inscrit dans letriangle ABE et le rayon du cercle ex-inscrit au triangle DCE dansI'angle E.
12. Inscrire un carré dans un parallélogramme donné.
13. Résoudre un quadrilatère quelconque connaissant les angleset les diagonales.
T4. On rnène les bissectrices des quatre angles d'un quadrilatèreconvexe ; calculer I'aire du quadrilatère ainsi formé, en fonctiondes côtés et des angles du quadrilatère donné.
15. Si dans un cercle on inscrit un quadrilatère convexe dontun côté soit un diamè[re, et un triangle dont deux des anglessoient égaux aux angles du quadrilatère adjacent au côté diamètre,ces deux figures auront même aire.
16. ÉtaUtir pour un quadrilatère quelconque la formule(b' + t) - (a' * c') : Zmn cos 0.
L7. ÉtaUtir les formules suivantes donnant I'aire d'un quadrilatèrequelconque :
S-
(a,-b'+ç2-d,\WA
S
18. Partagerproduit, ou laminimum.
19. Le produit des distances d'un point quelconque d'une circon-férence à deux tangentes à cette circonférence, est égal au carré deIa distance du même point à la corde des contacts.
20. D'un point P on mène à une circonférence une tangente PC etune sécante PAB. On mène le diamètre COD; on joint DA et DB quicoupent le diamètre PO en M et N. Démontrer que OM - ON.
Caloul des hauteurso253. Problème f. - Calculer la hauteur d'une tour d,ont le
pied est a,ccessible.
Soit AB la hauteur d'une tour verticale(fig. 40) dont le pied A est accessible.
D'un point O, situé à une distance d dupoint A, on vise le point A et le point B, etI'on mesure ainsi les angles ct, et F qu. fontles droites OA et OB avec I'horizontale OC.
Dans le triangle OAB on a" :
ædffim:r6
d sin(p - ")-'A'/ cos p tr'rc. 40.
d'wne montagne ou
,^.
A, et on mesure ainsi
c
254. Problème II. - Calculer la hauteurd'une tour dont le peed, est 'inaccessible.
fie.1.{1,
Appelons ;
d'où
ou
d'où
Soit S le sommet de la montagne; A et Bdeux points du terrain environnant, dont onpuisse mesurer la distance rectiligne d,; soientC et D les projections orthogonales de S et Bsur le plan horizontal de A.
Du point A on vise successivement S et B,et ou mesure ainsi les angles (fig. 4L) :
^.AS - a DAB
De B on vise S etI'angle horizontal
CDi\ : $.
la hauteur de S au-dessus du plan horizontal de A,AC AD
:^r1æ ..^'-sinCDA sin ACD
h cotgd d cosp-ffi5-: sinÇ+DL d cosp sinô tgaIL:@'
Si I'on joint les points qui se voient deux i deux, on obtientun certain nombre de triangles. On mesure directement un côtéde I'un de ces triaugles ; ce côté mesuré s'appelle base ; on mesureégalement les angles de tous les triangles; on peut alors de'proche en proche calculer les côtés de tous les triangles, parles procédés de calcul de la Trigonométrie que nous avonsexposés précédemment.
Cette façon d'opérer I'emporte de beaucoup sur un tracé graphiquereposant uniquement sl)r la' base et des angles, parce QUe, pour
construire les triangles par ce secondprocédé,
il faut se servirdu rapporteur qui donne toujours des erreurs notables sur lesangles. Au contraire, on peut construire une échelle des longueurssur le papier avec une très grande précisiorl. C'esf pour cette raisonque le calcul des côtés snimpose.
258. Lorsque la triangulation est faite, et qu'on a reproduit surle papier, à tiéchelle adoptée, des triangles semblables aux trianglesdu teruain, il reste à placer sur le plan les autres points du terrain.
Soit M un point du terrain, situé à I'intérieur du triangle ABC
(fig. 43). Les points A, B et C sont supposés visibles du point M;on peut donc mesurer les angles d., p et ï soLls lesquels on voitde M les trois côtés a, b et c du triangle.
On pourrait alors reporter lepoint M sur le plan, par I'inter-section de deux segments capa-bles de d. et de p décrits sur aet b; mais, comme il à êtê ditplus hauf, il est beaucoup plus
exact de calculerles distances
MA, MB et MC, et de placer M àI'intersection de trois circon-
g férences décrites de A, B et C
cornme centres, avec MA, MBet MC comme rayons.
Le problème qui se pose est donc le suivant :
259. Problème de la carte. (Pothenot). - Calculer les di,,stancesd'un poi,nt M aun trois sùïnvnets d"u,n triungle LBC, connaissant
les angles d. et p sous lesquels on aoi,t de M les côtés a et b dutràangle,le pointM étant supposé pris à I'intéri,eur de l'anglec.
Dans le cas particulier où a J--P f C : 100", je dis qu'on aura2
aussi tg(50" - ?):0; en effet, le quadrilatère AMBC est alors
convexe et inscriptible ; si R est le rayon du cercle circonscrit,
on auraa,-SRsine I asinSb-znsin[ I d'où t;;;:1 et ?:50''
Donc, I'équation (14), Qui devrait fournit t|l, perd toute signification.
Remontant aux équations initiales (l l) et (I2) on obtient :
sinrt : siny (Ilt)et n + y: 200o- (12')
Ces deuxéquations rentrent I'une dans I'autre et le problème est
indéterminé, c'est-à-dire que le point M n'est pas déterminé par les
angles e f p : tous les points du cercle circonscrit au triangle ABC,
situés dans i'angle C, voient a ex â sous des angles constants a et p.
EXERCICES.
* l. Prolonger une droite AB au delà d'un obstacle.
* 2. Déterminer le rayon d'une tour inaccessible.
* 3. On a mesuré, à un même moment, de trois stations A, B, C,les angles d'élévation d.'un ballon au-dessus de l'horizon. Calculerla hauteur du ballon.
4. Un observateur voit du haut d'une colline deux bornes kilo-métriques consécutives d'une route horizontale sous des angles
e dépression a et 2q.. Quelle est la hautettr de la colline ? (On
admettra que la route et I'observateur sont situés dans un même
plan vertical. )
5. Sur une rive d'une rivière se trouve une colonne surmontée
d'trne statue ; slrr I'autre rive, un observateur voit la statue et legardien placé au pied du monument sous un même angle. On connaîtIes hauteurs de la colonne, de la statue et la taille du gardien.
260. Convention. I{ous représentons les mesures des angles{en grades) par des grandes lettres, et les mesures des côtés (engrades) par des petites lettres.
26t'. Remarque. L'ordre que nous suivrons dans cette partiedu cours n'est pas le même que celui suivi dans Ia deuxième partie.Au lieu d'établir directement les formules des triangles rectanglesavant celles des triangles quelconques, nous les déduirons decelles-ci; la raison de cette modification est la suivante : en Trigo-nomètrie rectiligne, on retient par cæur les formules des trianglesrectangles et celles des triangles quelconques ; mais en Trigono-métrie sphériQuo, on ne retient que les formules des trianglesquelconques ; la règle pratique de Mauduit dispense de connaîtrepar cæur celles des triangles rectangles
;l'établissement de ces
dernières n'a d'autre but que la vérification de cette règle, et doitdonc se faire le plus simplement et le plus rapidement possible.
262. Forrnules r.eliant rrn anglo et trois eôaôs.Théorème f. Dans tout tri,angle sphét"ique te cosinus d,,'u,n
côté quelconque est ëgal ù la son?,ine d.u prod,ui,t d,es cosi,nusdes deu,n o,u,tres côtés et du pyoduit d,es "sinus d,e ces d,euncôtés par" le cosi,nus de l'angle qu',ils couîùpr"ennent.
cosa : cosÔ cos c * sinô sinc cosA.
Soit un triangle sphérique ABC (flg. 44).Adoptons sur I'arc de grand cercle CB le sens positif de C vers B.On aura par déflnition
a*bcos-2 cos (S - B) cos (S - C) cos (S - A) cos (S - C)sinB sin0 sinA sin0
ccos
2
ou
r/v. /cos (S - A) cos (S : B)va*br cos_'
cos(s - c) f coss:sinC
(car coss < 0)c
cos 2 -,,
2 cos(s - g) ro.f,CC
2 sinf cosfA+Bcos 2.Csmz
213, Remarque. On peut encore démontrer ces formules enpartan t des groupes précédents ; on observe que tous les termesdes proportions en question étant positifs, il suffira que I'on démontreles formules obtenues en élevant tous les termes au carré i or, ces
formules peuvent alors s'écriro en fonction des cosinus; par exemple,
pour la première, on obtientI - cos(A + B) l*cos(a-b)
I * cosC
Démontrons cette formule.
On a:
t * cosc
I - cos (A + B) : I - cosA cosB + sinA sinB: I - (cosA cosB - sinA sinB cosc) + sinA sinB (l - cosc)
Ces formules donnent, .A + B a, - brg z sin(p-ô)*sin(to-a)_tot z-; T: a+61tg2 '' \' ' cot
2
277 . DÉrvroxsTRatroN DTRECTE.
Éliminons cos c du groupe fondamental et additionnons membre àmembre les équations résultantes; nous obtenons
sin (a + b) (L - cos C) : sin c (cos A + cos B).
Du grollpe des sinus, otr tiresinA + sinB sinCw:Sinc
Éliminons sin c entre ces deux relations ; nous obtiendrons laformule (l).
278. Remarques. - I. Les formules (l) et (2) sont dites : grandesanalogies.'les formules (3) et ( ) sont dites gtetite,s a,na,logies.
If. Dans le premier membre, deux lignes complémentaires pourles grandes analogies, deux mêmes lignes pour les petites.
Dans le second nembre, toujours deux mêmes lignes.A une diftrence dans le premier membre correspond un sinus
dans le second, à une somme dans le premier membre, un cosinusdans le second.
Dans le second membre flgure toujours le rapport de la demi-différence à la demi-somule des arcs.
Aire du trlangle splrériqr.re.279. Définition, On appelle encès sphérique, l'excès de la
somme des angles du triangle sur deux angles droits
Théorème. L'a'ire d'un triangle sphérique est égale ù lalnesure de l'eucès sphérique ù condi,t'ion de pt"endre respec-ti,aement corwne étalons de surface et d'nngle :
70 le triangle trirectangle et l'angle droit;20 le carué construit sur le ra,yon et l'angle radian.Ce théorème est démontré dans le cours de Géométr,ie.
280. Il en résulté que si nous appelons :
iss I'aire du triangle en prenant pour' étalon le triangle tri,rec-
tangle ;o I'aire en prenant pour étalon le car"ré construit sur le rayonde la sphère ;
s I'aire en prenant pour étalon le carré constt"uit sul'-l'étalonrectiligne (le mètre) ;
2E la mesure de l'excès sphérique en grades ;2, sa mesure en prenant pour étalon l'angle droit ;2e sa mesure en prenant pour étalon l'angle radi,an ;A, B et C les mesures des angles en grades ;
' A1, B, et Cr leurs mesures au moyen de I'angle droit ;q, p et \i leurs mesurcs au moyen du radian;R la longueur du rayon de la sphère en mètres;
nous aurons les relations suivantes :
2E : A + B + C
-200c : 2S
-200"
2Et2e- d. + p + T
,30:2E, 6-2e e[ S:oRzDe plus, nous avons également (37)
2e 28, Ztr',:T, 200 2
d'où
zSL CaIeuI de E. trn- foncti,on des angles :
2F.'
En foncti,on d.,'tr,rz côté et d,es engles adjac;ents I c, A, B.
cosC - - cosA cosB * sinA sinB cosc
c :28 - (A + B) + 200o
cos0: - cos[Zn - (A + B)] : - cosA cosB + sinA sinB cosc
plus simple permettant le calcul de E en fonction des côtes :
De la formule
on tire
A+A+B
Les analogies de Delambre deviennent donc :
22L
formule
B+C-200":28
: looc - (; - E).
fC -\a-lt
COSI ô -,bj I COS-\^, -) 2T:_osz .u, "2
Appliquant le principe connu sur les proportions : la différencedes deux?premiers est à leur somme comme etc,, of tenant comptede la première et de la dernièr'e formule du no ,,07, otr obtient :
287. Remarque II. Si I'on applique au triangle polaire du
triangle ABC les formules (5, 283), (8, 284) et (9, 285), êt si I'onobserve que I'on a
e,t + A : 200", b' + B : 200c,
d'où pt :200" - E, P' .- 61,t -ainsi que Er - 200" - F, on obtient
ct+C:200',A - E, etc.,
sinp :ZsiniA siniB siniO
cow$:v
(10)
(1 l)
(r2)t cos/ocosA+cosB+cosC-l:.
288. Remarque. Les formules (5, 283) et (10, 287) comparéesà la proportion des sinus (27 L) donnent
ô : 2 sinE cos { "orf; "or9,
A - 2 sinp sinf sin| ,in$
sinE _ 2cos*A cos*B cos*CZsinia sin ib srnic sinp[, ). -- '}oA srn4
s 2. EQUTVALENCE DES GROUPES DE FORMULES.
289. Théorème I. Se a) b, c, A, B, C sont si,æ arcs positifs
lnoindres que 200" satisfaisant a,u système des trois formulesfondamentales, ces sir nombr es sont les éléments d'un trianglesphérique.
Sur les deux côtés d'un angle A portons 1ftr : b et Sr - c ;
joignons les poinis Bf et Cr par un arc de grand cercle moindrequ'une demi-circonférence. Appelons &t , Br et Cf les trois nouveauxéléments du triangle ABfCf ainsi formé.
a, et &t sont deux arcs positifs moindres que 200c; ils ont mêmecosinus, donc ils sont égaux : a,t : a,.
n réstrlte alors de (2) et (3) que Bf : B et C' - C.
a, b, c, A, B et C sont donc bien les éléments d'un triangle.290. Corollaire. Si (a, b, c, A, B, Cr) constitue une solution du
groupe fondamental, chacun de ces nombres étant compris entre 0et 200o. a, est la seule valeur comprise entre 0 et 200" attribuableà a, lorsqu'on attribue aux cinq autres variables les valeurs U cL
Ar Br Cr I et de môme pour chacun dcs six éléments.
zgl Remarque. On peut démontrer directement que lesconditions d'existence du triangle au point de vue des côtés sontsatisfaites par les solutions du groupe fondamental.
Soit a,
n faut prouYer que Io
r (aPar hypothèse :
d'où cos a
Donc
et par suite
ou
cos cc
: cosb cos c - sinÔ sinc -l }sin& sinc.or, $.cosa,-cos(ô +c)+2sinôsir A
lC COSZg
cos a, - cos(ô + c) > 0 (2)
2sinb+c*a, b+c-ct,
-sin,ette inégalité exige que I'on ait :
t ^2_a,+b + c \
tsinf(3) J ^,^b+ c-a(sin-Or, on a par hypothèse :
. a+b t-jln2. b + c-a, , ^srn-
0 aa*b*c2\100"
Les inégalités (3) et (4) exigent donc que I'on ait :
Or, (6) donne par soustraction : 200"'contraire à I'hypothèse.
Les inégalités (5) sont donc seules admissibles ;
d.'o,'( 0ula,
2g2. Définition, - Deux groupes de formules sont dits équiaa-,lents lorsqu'ils sont vériflés par les mêmes systèmes de valeurs"comprises entre 0 et 200".
293. Théorème II.
-Tout groupe de trois fornoules ind,épen-
dantes les unes des au,tres, prises parmi. les formules d,,es
tràangles sphériques, est équiaalent a,Lt, gî"oupe fond,amental,à condition que chaque élément, pris individuellement, ne pu,issereceaoir qu'une seule aaleur compl"ise entt"e 0 et 200" pourun systètn'e détermi,né de ua,leut"s co?npq,tibles attribuées a.,ufi,autres éléments.
Si cette condi,ti,on n'est pes renopl'ie, le groupe est équiaatent ù,un ensernble de groupes, parrïùi, lesquels le groupe fond,c(,lnental.
soit un système de trois formules indépendantes :
( F, @bc aBC) - 0
I { F, (abc ABC) : 0( Fu @bc ABC) : o
fo Étiminons C, puis B ; nous obtenons le système équivalent :
( F, (abc ABC) : 0ili Fn(abcAB)-0
( E', (abc a) - o
L'équation Fb - 0 permettra de tirer A en fonction de abc :
A chaque valeur de A, de B ou de C, comprise entre 0 et 200c"
ne correspOnd qu'un cosinus, et rëci,proquernent.
Le système I proposé est donc équivalent à I'ensemble des sys!èmes(n : l, 2, .,. rn)(y : l, 2, ... n)(z : l, 2, .., p)
ffil:::l -T;'e?t
Zo parmi tous cgs systèmes figure le groupe fondamental.En efiet, le groupe fondamental a servi à obtenir les trois formules
du système I. Donc toute solution du groupe fondamental est solution
du système I et doit être fournie par un des systèmes III. D'un autre
côté,cette solution ne peut pas être sQlution d'un des systèmes III
autre que le groupe fondamental, parce qu'elle est constituée parles éléments d'un triangle (2Sg) ; et s'il existait entre les éléments
d'un triangle une formulecosA -- ft (abc)
autre que Ia formule fondamentale coruespondante, a, b et c ne
seraient Pas indéPendants.
Donc les solutions du groupe fondamental ne peuvent être fournies
que par lui, et, par suite, ce groupe fi.gure parmi les systèmes III.
go Si le système I est équivalent au groupe fondamental, il fautque I'on ait rn : n - Pgtoupn fondamental, d.onc ne peut vérifi"er aLrcun autre système III.par conséquent, iI n'y a qu'un seul système III, et c'est le groupe
fondamenbal
Alors, à un système de valeurs comprises entre 0 et 200' attribuées
à cinq des éléments, ne peut correspondre dans le groupe I qu'une
seule valeur pour Ie sixième élément, puisqu'il en est ainsi dans le
groupe fondamental (290)..
40 Si, dans Ie système I, chaque élément pris individuellementn'est susceptible que d'une seule valeur comprise entre 0 et 200c
pour un système déterminé de valeurs comprises entre 0 et 200"
âttriUoées aux cinq autres éléments, Ie système I sera équivalent au
En effet, alors ryù - lt : F : l, sans quoi à un système devaleurs 4r brc,B, C, par exemple, pourraient conespondre2valeursdistinctes pour A, fournies par deux équations cos A - f^(abc)et cos A : fr(abc), celles-ci ne pouvant donner deux valeurségales quels que soient arbl cr sans être indentiques, puisque, sinon,on aurait fr(arbrcr) : fi(a,,,brcr), relation impossible entre les3 nombres arbitraires a,L bL et c1.
Le théorème est donc démontré.
294. Théorème [II. SueI que soit le système considéré, un
élément quelconque ne peut receuoit" au manitnurl que deuæaaleurs comprises entt"e 0 et 200" pour un ensemble déterminéde ualeurs attribuées a,ufr autres éIéments.
L'examen des différentes formules des triangles permet de
conclure qu'un élément peut prendre plusieurs valeurs lorsqu'il ne
fi.gure dans le système que par son sinus, otr bien lorsqu'il ne fi.gureque dans une seule équation du système, par son siuus et soncosinus. Dans tous les autres cas, ut élément ne peut prendrequ'une seule valeur comprise entre 0 et 200" pour un groupe
déterminé des autres éléments.Dans le premier cas, l'élément en question peut prendre deux
valeurs dont la somme vaut 200". '
Le groupe étranger qui en résulte s'obtient en remplaQant cetélément par son supplément dans le groupe fondamental.
Dans le second cas, Ia théorie des équations nous a ntontré qu'uneéquation de la forme
Msinæ*cosç:P
perytadmettre au plus deux solutions positives pour ET, c'est-à-diredeux Valeurs comprises entre 0 et 200" poul' ,t. Â
Corollaire. Le nombre total des groupes III, dont l'ensemblefournit les solutions d'un système, est au maximum une puissancede 2 dont I'exposant est le nombre d'éléments susceptibles dedeux valeurs.
295. Conclusion. - LorsQue I'on doit résoudre un triangle, il fautexaminer si Ie groupe de formules employé est équivalent au groupefondamental, or se basant sur le Théorème II (293).
Dans ce cas, toute solution du système est acceptable et estconstituée par les éléments d'ult triangle.
Dans le cas où le groupe en question est équivalent à un ensemblede groupes (parmi lesquels le groupe fondamental), on pourra
ensemblede solutions dont tous les éléments sontcompris entre 0c et 200".
On pourrait trouver les mêmes solutions en résolvant séparémentles différents gl'oupes du système. Il s'agit d'éliminer de cet ensemblede solutions celles qui ne sont pas les solutions du groupe fonda-mental, sans pour cela devoir résoudre ce groupe ni vérifier toutesles solutions. En effet, une solution dont les éléments conviennentà un triangle doit être solution du groupe fondamental.
On peut à priori éliminer les solutions qui ne vériflent pas les
conditions d'existence des triangles au point de vue'des côtés etau point de vue des angles.
On peut également vérifler les conditions établies par lesThéorèmes IY et Y ci-après.
Dans certains cas, on pourua encore vérifler des conditionsspéciales (exemple : Triangles rectangles).
Mais, êtr général, iI arrivera que I'on ne puisse pas se débarrasserdes solutions êtrangères , et par conséquent on cherchera autant
que possible à n'utiliser que des groupes équivalents au groupefondamental.
296. Théorème IV. Dans tout tri,angle sphér,i,que, la dàffé-rence entr"e deuæ côtés a le nzênze si,gne gue la di,fférence entreles angles opposés.
de deuæ côtés et la sornrne des deun angles opposés sont demême nature par ragtpot"t ù 200c.
Considérons la formule de I.[éper :
, I t^ . h\ I ttsà(a + B) cos à(" - b)
cots| c
Dans cette formule cotg| CI\)
parce qrre 0
Donc, te* fa f B) et
6
Or,
(æ + ô) ont le même signe;_"
(a
(a
Icosz
1
I
IIDonc. : (A + B)
"t ; (a + b) sont de même nature par rapportzà 100", ou A + B et a * ô de même nature par rapport à 200".
298. Bemarqrre.Dans les applications, otr se servira du groupe
11ê: lgl: r19sln a srno sm c
que I'on complétera au moyen d'une des formules IIr, IIr, [r, ouune analogie, une formule de I'excès sphériQu€, ou du périmètre,suivant les données de la question.
EXERCICES.
l. Transformer différents groupes de trois formules, de manièreà reproduire le groupe fondamental et les groupes étrangers s'il ya lieu; exemple :
2. La bissectrice d'un angle divise le côtê opposé en segments
dont les sinus sont : 1o proportionnels aux sinus des côtés adja-cents ; 2" réciproquement proportionnels aux sinus des anglesadjacen ts.
3. La médiane divise I'angle au sommet en deux angles dont lessinus sont : lo réciproquement proportionnels aux sinus des côtésadjacents ; 20 directement proportionnels aux sinus des anglesvoisins.
4. Démontrer les formules
,rnlsin!sinE:ff sinAcosg
abccost cos 2cosz
tgA tgB tg0 cosÔ cosc - tgA + tgB cosc * tg0 cosÔ.5. Démontrer que si A et (B + C) *ooi constants, il en est de
urême du produit te*b tgic.6. Si At, Br et Cr sont les points de rencontre des côtés d'un
triangle sphérique avec une circonférence de grand cercle, on a :
sinAtB sinBfC sinOrÀffia-o'ffi.'*ffi l'
Au contraire, si les arcs AAt, BBt, CCt sont concourants en un
point 0, ce produit vaut - 1.7, Étabtir entre les côtés, les diagonales et leur angle, dans un
quadrilatère sphérique convexe, Ia relation suivante
cos a, cos.c - cosÔ cos d : sinm sinn cos0.
8. On donne un petit cercle et un point P. Par ce point on mèneun grand cercle qui coupe le petit cercle en A et B. Démontrer quele produit
tg* tET est constant'229. Dans un triangle sphériQu€, I'al'c de grand cercle qui passe
par les milieux de deux côtés détermine sur le troisième côté deuxarcs supplémentaires.
300. Rôgte de Maudult. IJne règle pratique permet deretrouver facilement ces formules (fig. 4O).
too'- c too"-b
C
Frc. 46.
Si, dans la succession des éléments du triangle, on fait abstractiond,e I'angle droit A, et si I'on remplace c et b par 100'-c et t00e-fi,,on peut dire que:
Le cos,i,nus d,'un étément quelconque est égal au produi't des
cotangentes d,es éIéments adjacents, et a,u ytroduôt des sinusdes éléments ogtgtosés.
Par conséquent, prenant au hasard trois éléments quelconques,
pour trouver la formule qui les relie, onexamine
s'ilssont consé-
cutifs ou non ; dans le premier cas, le cosinus de l'é,\é,ment durnilieu est égal a,u produi,t des cotangentes des deun autres ;dans le second cas , le cos'inus de l'élément qui est seul est éga|a,u prod,uit des si'nus des deun a,zttres.
ggt. Théorème f. - Dans tout triangle rectangle, le nombredes côtës ai,gus est i,,mPair.
Cela résulte de la formule cos Q, - cosb cosc.
Théorème I[. Dans tout triangle rectangle, un côté de
I'angle droit et l'angle opposé, sont de même nature parragtport ù 100".
cela résulte de la formule tsb - sinc tgB.
. 302. Exeôs sphérique. Dans la formule du no 282
/ A -\ cos'#, ats(t-E):WtsicosT
faisons A- 100". ilvient:
tg50" - tgEb*ccos--i-
+tg$Oci of, tg50o-l;.o-ccosTg(50" - E) : I + t950" tgE
On donne un côté et un angle û,8; calculer b, c, C;
: :: ?,2; _1,,7,1"deux angles B, C; a) b, c.
309. f u" Gos. - Résoudre un tri,angle rectangle, conna'i,s-sant I'hypoténuse et un côté de l'angle droi,t :
(1, b (c, B, C).
Résolution. La règle de Mauduit donne les trois formules :
(cosc-##sin ô : sin a sin B (2) d'où l'on tire { sin B --
gI SLD'AI
coso - cotg a tgb (3) ( ,orc : !P^rge
Discussion. Le système d'équations utilisé est équivalent à unensemble de deux groupes : le groupe fondamental et un groupeobtenu en y remplaçant B par 200" - B.
La condition: b et B de ntême nature, permet d'écarter lessolutions de ce groupe étranger'
Pour qu'il y ait solutiôn it faut que
-IC'est-à-dire : & compris entre b et 200" - b.
Si cette condition est satisfaite, iI y a pour B deux valeurs :
( B, de même nature que b,I
I B, : 200"
-Br'
Pour C et c iI n'y a qu'une valeur.Le système d'équations admet donc deux solutions :
Br C c et Bz C c.
La première est solution du groupe fondamental , of Ia deuxièmeest solution du groupe étranger puisqu'elle ne vérifi.e pas la condi-tion b et B de mêrne na,t?tr?"e. La 1"" solution seule convient donc.
Si a n'est pas compris entre' b et 200" - b,, it n'y a pas desolution.
Si a,:boua-200t-bi cde solution.Si e,:b:100": sinB:1 d'où B:100".Les formules donnant cos C et cos c deviennent des identités.
donne cosc-cosO d'où c-C.n est facile de voir géométriquement qu'une inflnité de triangles
répondent aux données.
En résumé :
Remarqlue. Si la diftrence entre a et Ô est relativement faible,de sorte que sinB, cosC et cosc sont voisins de l, au lieu d'employerle procédé de calcul indiqué au no 1,54, il est plus simple d'utiliserles formules suivantes, que le lecteur établira aisément :
.al
's; V,*Tts
z
ts (ro. - 3) :'/r*+cotgry
n faudra choisir le signe de tg (50" - *B) de façon que b et Bsoient de même nature, c'est-à-dire :
::1i :l":
l::"310. Èu easo - Résoudre un triangle rectangle conna.,i,ssant
Il y a pour a,) B et C uns valeur et une seule comprise entreO et 200". il y a donc toujours une solution un'i,que.
3ll. Su rc&se Résoud,re un tiriangle rectangte conna,issantl'hypoténuse et Lcn angle
. a,, B (b, c, C).
Résolutfon. La règle de Mauduit donne les formules :
sinô : sina sinB (I)cosB : tgc cotga (2) d'où
cos a., - cotg B cotg C (3)
sinÔ : sina sinBtgc
-tga cosB
cotgO: cosatgB
Discussion. Le système d'équations utilisé est équivalent àI'ensemble de deux groupes : le groupe fondamental et un groupeétranger obtenu en changeant dans le premier b en 200" - b.
Si B + 100", C et c reçoivent chacun' une valeur.
La condition 0 < sina sin B
" t b, de même nature que B,it y a pour b deux valeurs
J .'rvu^v
I br:200" -br'Le système admet donc les deux solutions
b, C c et b, C c.
La seconde ne satisfait pas à la condition : b et B de mêmena,ture ; donc elle est solution du groupe étranger, et par suite,la première solution est celle du groupe fondamental et est seuleadmissible.
Le problème admet donc alors une solution unique.
Si B-100'et a+I00":On obtient C - c - 0 solution à rejeter. Or, dans ce cas,
sinÔ : sin a
On petrt donc dire que les solutions sont à rejeter parce que b et Bne sont pas de même nature.
Si B : 100" et a: 100' i
(2) et (3) deviennent des identités ; (1) donne : sin b : I et b :100".
Les formules générales se réduisent à
cos0 : cosc et sinC : sinc .d'où Q :, e. It y a dans ce cas une infinité de solutions.
31.2. 4' eas. - Résoudre un tri,angle rectangle connq,i,ssant'u,n côté de I'angle droit et l'angle opposé :
b, B (a, c, c).Résolution. La règle de Mauduit donne les
sinÔ - sina sinB
sin c - t7b cotg B
cosB : sinC cosô (3)
Discussion. Le système d.'équations employé est équivalent àun ensemble de groupes parmi lesquels le groupe fondamental.Les autres groupes s'obtiennent en remplaçant dans le groups
fondamental a, par 200" a, c par 200" c) C par 200" - C.
On obtient donc I'cnsemble des quatre groupes suivants :
cos Q., - e cos b cos c
cos ô
cosc - s cos a cosb + ef sina sinô cos0.
y ait solution il fautque
I'on ait:
(r)
(2) d'où
formules :
sin D----
-in B
tgBcosBcos ô
sin a
sin c
sin C
Pourqu'il
sinô0<-,-tn lJ +1 o<ffi cos B
0cos a
Ces conditions sont satisfaites si I'on a :
, b et B de même nature
I n compris entre b et 200" - b;c'est-à-dire B compris entre b et 100".
Cette condition étant satisfaite, il y aura pour a, deux valeurs
a, eI az) pour c deux valeurs ct et ctt , et pour C deux valeurs Cr et Crr.La condition : le nombre des côtés gtlus petits que 100" doit
être impai,r, permet d'éliminer les solutions des groupes obtenusen faisant e - - 1.
B+B:B:
100" . , o . . . . . lsolution.100" et &- 100" . o . . . 0 solution,100" et a:100" . . . . infi.nité.
- La condition : c et C de même nature permet d'éliminer lessolutions des groupes obtenus en faisant et : - l.II reste donc d,eun solutions qui vérifi.ent le groupe fondamental
puisque I'on a écarté les solutions des autres groupes :
a.,, ct Ct et d, c" Ctt.
(a, et b Sont de même nature.)
Si b:B+100": a,: c-C-100"; unesolution.
Si b + B: 100"
:C
-c
-0
;pas de soluti'on,
Si b -B:l00ci (L- 100c, c et C sont égaux et peuvenù
prendre une infinité de valeurs, puisque cos c - cos0 est la seuleformule qui les relie. Il y a donc alors une i,nft,ni,té de solutions.
En résumé :
Remarque. - Si B et b sont peu différents, de sorte que sinA,sinc et sin0 sont voisins de 1, au lieu d'employer le procédé de
calcul indiqué au no 1,54, on se servira des formules suivantes, que
le lecteur établira aisément :
tg(ro"-):,.Vffisibsib313. 5e Goso - Résoudt"e un h''i,qngle rectatzgle conno,i,ssant
Donc (2) est satisfaite si (6) et (7) le sont.De môro, (3) rentre également dans les conditions simultanées (6)
et (7).Si ces conditions sont satisfaites, il y a pour chacun des nombres
e,, b et c une valeur comprise entre 0 et 200", et par suite il y a untriangle.
Si ces conditions ne sout pas satisfaites, il n'y a pas de solution.
Remarque. Si B + C estpeu
différent de 100", cos a, cos b et^cos c sont peu diftérents de l.Au lieu d'employer le procédé de calcul indiqué au n" 1,54, on se
,servira des formules suivantes, eue le lecteur établira facilement :
cos (B + C)
@ar,gd :V
+o9:ô2
+ob :o2
315. Résolution des triangles reetilatèreso - C'est unereproduction textuelle de la résolution des triangles rectangles.
EXERCICES.
I. La hauteur d'un triangle sphérique divise la base en deuxsegments
dont : Ioles cosinus
sontproportionnels
auxcosinus
des côtés adjacents; 20 les sinus sont proportionnels aux cotan-gentes des angles adjacents.
2. La hauteur divise I'angle au sommet en deux angles dont :lo les cosinus sont proportionnels aux cotangentes des côtésadjacents ; 20 les sinus sont proportionnels aux cosinus desangles voisins.
3. Calculer les hauteurs : lo en fonction des côtés ;
20 en fonction des angles.4. Résoudre un triangle sphérique connaissant
lo la base, la hauteur et I'angle au sommet ;
20 la base, la hauteur et la somme ou la différence desdeux autres côtés.
Clr,cur, rNDrREcT. Pour éviter I'emploi d'inconnues auxiliaires,on peut résoudre le triangle au moyen des formules suivantes, quisont calculables par logarithmes :
Discussion. Le système I n'est pas équivalent au groupe fonda-mental parce que B, C et c peuvent chacun reçevoir individuellementdeux valeurs comprises entre 0 et 200", poltr un système déterminéde valeurs attribuées aux autres éléments. Ce système peut doncadmettre 8 solutions, parmi lesquelles il nous est impossiblede discerner rapidement les solutions qui vérifi.ent le groupefondamental.
En conséquence, or doit abandonner le système I (t).Le système II est équivalent au systèrne fondamental ; la discus-
sion vâ donc porter sur l'existence, dans ce groupe, de solutionsdont tous les éléments soient compris entre 0 et 200".
Pour que ces solutions existent, il faut et il suffit que I'on ait :
sin B
(6) (7) (8)
(') L'auteur anciennemeni recommandé par l'École Militaire donne le sys-tème suivant, transformation du système I en vue d.u caleul par logarithmes :
sin B ;- l* sin Astn 4cos (C - g) - cotg a tgô eos g
cos (c - +): g cos tfcosA '
Or, pour a, - 130c, b 80", A -résultant des combinaisons de :
Br : 96c,5156
Cr : l5lc,32c7 : )54c,L62
(l)(2) cotgg:cosôtgA (2t)
(3) tsg-tsbcosA (s)
123c, ce système admet 8 solutions
Bff : l0ge, 4944
C: : 135c,95
c2 - L40e,482
Ces I solutions vérifient toutes les conditions connues relativement auxéléments des triangles, et pourtant, nous savons par la discussion d.rr système IIque le problème n'admet que d'eun soluti.ons. La question est donc traitée d'unemanière insulfisante par I'auteur précité.
La Tri,gonomëtri,e de BnIor et Bouqunr est plus correcte. Ces auteurs fontobserver que les diflérences C - cg et c - Q doivent être prises de mêmesigne : positives pour A et B de même nature, négatives pour A et B denatures différentes.
Appliquées à I'exemple précédent, ces remarques permettent de ehoisir Iessolutions
Bl, Cr, C7 et Btt, Cs, C2.
Seulement, pour justifi"er ces remarques relatives aux signes de C - g et dec - +, il faudrait faire une assez longue discussion au sujet des pieds de lahauteur issue de C.
Il est beaucoup pltrs simple de résoud,re le problème au moyen d,u système If,
ou 2 cosa sinzi c -'2 sinf c cosf c sina cosAd'où sinf c : 0 et tgic - tga cosA. (lt)La première solution est à rejeter.
En supposant d'abord A + 100", les condi[ions (7) et (8) appli-quées aux équations (10) et (Il) deviennent :
a, et A de même nature par ràpport à 100c. (12)
La solution Bz: 300" - A introduite dans II donne :
cotgiC : oo et tgicce qui ne convient pas.
Pour Adire que dans ce cas, A et a, ne sont pas de même nature.
9) a + b - 200". La solution Br - A introduite dans II donnecotgfC : 0 et tg*c - ce ou C - c : 200., à rejeter.
La solution Bz: 200" - A, introduite dans (4) et (5), donne :
tStC: cosatg/^ (13)
cotg*c : cosA tga (14)d'où la condition (tZ).
CoNclusroN. - Si a, et A sont de nature différente il n'y a, pasde solution.
Si a et A sont de même nature, il y a une solution correspondantà la valeur de B, de même nature que ô.
T) Si I'on a à la fois a, - b et a + b: 200", c'est-à-dire si
a: b -: 100",ni Br ni Bz ne conviennent, à moins que A : I00" ; alorsBr : Bz: 100c.
C et c ne peuvent pas se calculer au moyen des équations précé-dentes qui prennent la forme d'identités ; les seules formules quisubsistent sont :
sinC - sinc et cosO - cosc; donc C - e.
n semble que toutes les valeurs conviennent pour ces deux
nombres; or, géométriquement, il est aisé de voir que tous lestriangles ayant le sommet C Ap pôle du grand cercle AB satisfontaux données, et que C - c. Le problème admet donc une infinitêde solutions.
Si A-100":sinBSi A + 100" : on ne peut rien dire quant à I'existence de B.
Mais si, B eæi,ste, il admet une ou deux valeurs comprises entreA et 200"
-A.
c o nru.ag. c o &
Si a, et A son t d,e nature d,i,fférente, a,
-
b eta
-
B seront de
signes diftrents, et par suite il n'y aura pas de solution.On peut faire rentrer le cas A : I00t sous cette rubrique, car
ayant sin ô
Si a, et A sont de même nature, il suffit que B existe pour quea, - b et A - B soient de même signe ; le nombre de solutions seradonc le même que le nombre de valeurs réelles pour B I il y auraO, I ou 2 soiutions suivant que
log sinô * log sinA - log sina: log sinB
sera supérieur, égal ou inférieur à 0.
320. Tableau résumé de la discussion.
1 solution.
0 solution.I solution.inflnité.
0 solution.0 solution.t solution.2 solutions,
rebet(200"- b). . . . . .
a et A de nature différ'ente (I00.)a et A de même nature. . . ,
32t. 1u oas. - Résoudre un triangle sphéri,que conne,issantdeun atr,gles et le côté opposé ù l'Lcn d'euæ .'
a, A, B (C, b, c).
Résolution. Car,cur DrREcT.
( . , sinB\ sinô: ffi sina d'où ô;II( I cosA - - cosB cos0 + sinB sinC cos ad'où C;I cotga sinc - cosc cosB + sinB cotgA d'où c.
Clr,cur, INDIRECT. Le système suivant est équivalent au groupefondamental ; donc, toutes ses solutions sont acceptables; de plus,les inconnues sont calculables par logarithmes :
sinô :
. o, --brn2
. A+Bsm2_: . A_Bsln2
sera conduite exactement de la même manièreconduira all tableau résumé suivant :
sinB .stn 4
srn A
. cc+bsln2
il,Ccotgt
,c cn-ô2
. A_Brgz
' A,-brgz
Discussion. - Elleque dans le 3' cas et
322.6* oas. - Résoudre un tri,angle sphérique conna,issantdeun angles et le côté adjacent :
a,, B, C (4, b, c).Résolution. Calcur, DrREcr.
t cotgô sin a, -- cosa cos0 + sinC cotgBI { cotgc sina
( cosA - - cosB cos0 + sinB sinC cosa.
I solution.0 solution.
t solution.infinité.0 solution,0 solution.I solution.2 solutions.
Si I'on mène par D une perpendiculaire à SA dans le plan SAB"et si E est le pied de cette perpendiculaire, on sait, en vertu duthéorème des trois perpendiculaires, QuCI CE sera perpendiculaire àSA. L'angle CED sera I'angle plan du dièdre SA, ou .oo supplément.
Si l'on désigne cet angle par. At, on aura
h" : CD - CE sin Ar. (B),D'autre part, I'angle CSE a pour mesure ô ou 200c - b.
Donc, dans le triangle rectangle CSE, on a
CE-CSsinb_qsinb.
On a donc Vs'*,c : l*"q sinô sinc sinAr.
n suffit maintenant de calculer sin Àf .
De S comme centre, décrivons une sphère arbitraire de rayon.Le trièdre SABC intercepte sur cette sphère un triangle sphérique.AfBfcf dont les côtés ont pour mesures a) b, c.
On a donc
sinar:;*7fu7Vr,rp
(2>,
(4)
(5)
sin (p - a) sin ( p - b) sin ( p - c).
Finalement
v - **"oV (6),
Remarque. Par analogie avec la formule qui donne I'aire d'untriangle rectiligne en fonction de deux côtés et de I'angle qu,ils"comprennent, oû a donné au nombre
Vle nom de s'i,nus de l'angle trdèdre SABC.
Ce nombre est le volume du prisure construit sur l'angle trièdre.
obtenu en joignant les sommets d'un triangle sphérique au centrede la sphère. Ce prisme s'obtient en menant par deux des sommets,des arêtes parallèles et égales au rayon du troisième sommet.
Dans le triangle sphérique APB on a :cos fi - cos a cosb * sina sinô cosp.
Sur le méridien de A :
Ap - Mp - MA ou b - g0o _ fl.De môme a,- ggo
- fz.Sur l'équateur :
Ifi'N:,5ÈI-dil{-rz-},
d'où p:l}r_1,[.Finalement
cos æ - singr siugz * cos?r cosg, cos(I, -- Ir).On rendra cette formule calculable par logarithmes par les
procédés connus.
Soit D la distance en lieues de 5 km. On sait qu'un centigradevaut t km; donci
n l0O-f) :
t wt wt Ùrel
c
EXENCICES.
l. Le lieu géométrique du sommet A d'un triangte sphérique, dontle côté o, est flxe et I'aire constante, se compose Oe deùx petits'cercles égaux et symétriques, s€ coupant aux points Bt et Ct diamé-tralement opposés aux points fixes B et C.
2. Si I'Qn prolonge les côtés d'un triangle sphérique jusqu'auxpoints At, Bf et cr symétriques de A, B et c, et si I'on appqlleP, Po, Pa, F' p, Po, Pa, P' les rayons des cercles inscrits et circon-scrits pour les triangles aBc, A|BC, aB'c et ABCI, démontrerles formules :
tgp sinp - tgpo sin (p - a) = tgpu sin( p - b) : tgp,sin( p _ c);
- cotg P cos S -' cotg p6u cos (S - A) : cotg p6 cos (S _ B): cotgp, cos(S - C).
3. Calculer en kms I'aire d'un triangle sphérique ABC tracé
àla
surface de la Terre supposée sphériQuo, connaissalt les coordonnéesgéographiques des trois sommets. ;
4- Calculer le volume d'un tétraèdre en fonction des longueursdes 6 arêtes.
Lès tnlahgles nectilignes limites des tnianEles sphéniqucs,
332. Considérons un triangle rectiligne ABC, dont les côtés ont
pour longueurs les nombres e,, b et c, l'étalon étant arbitraire(le mètre par exemple). Soient A, B et C les mesures des anglesen grades.
Considérons aussi une sphère, dont le rayon ait pour longueurun nombre
R2æ
En supposant a
2æP.
Donc les nombres a,, b et c répondent aux conditions nécessaireset suffisantes à l'eristence d'un triangle sphériQue, tracé sur lasphère de rayon R, et dont les côtés aient pour longueurs leS.
nombres a,, b et c. (L'étalon étant toujours le mètre.)
Des formules relatives au triangle sphérique ArBrCf nous allonsdédtrire les formules relatives au triangle recûiligne A.H,C.
A cet effet, supposons que le plan tangent en At à la sphère restefi.xe, ainsi que
le plan du grand cercle AtBt; et que nous fassionscroître sans limite le rayon de cette sphère . La surface sphériqueq.ui porte le triangle AtBtCr a pour limite le plan tangent en A,;et le triangle sphérique A'BtCr a pour limite un triangle égal autriangle aBC, puisque a, b et c restent constants.
On aura limat - limbt: limct - 0
limAt= A, limBr: B, limC'- C.
262 couRs DE TRIcoNoMÉrnm.
Soit AfBtCI ce triangle ; a,, b,, ct les
radians ; At, Bt, C, , lês mesures de ses
On a (45) a, - Puat b
mesures de ses côtés enangles en grades.
c-Rcl
-4,
: k 200o
cR.
'- k bt: *
,. /sin ar\
lim{+}\ a,,' /a,*0rim(uo'Y)im (R sin a') :
R-> oo
nllimR sina a r:-- tY\t /n *^p' -
gt p- a ^r-----z:;; limRtsË: ff; limRtgæ: ,Çerc.
Dans ce qui suit, nous appliquerons le théorème : si d,euæ fonc-ti,ons d'etne même aariable tnd,épendante (ici R) [)rennent d,esaaleurs nu-tnér'i'ques constantment egales, si l'un'e'a, ?tne limite,l'autre & simultanément la mêvne limàte.
339. Remarque I. - n résulte de là une nouvelle méthode pourétablir les formules des triangles rectilignes, en partant des formulesdes triangles sphériques, puisque cellles-ci ont êté établies indépen-damment de celles-là.. $
I. Calculer les nombres trigonométriques de a, connaissant I'une desconclitions suivantes :
lo 2 sina: tga20 cosa:tga3o m sina,: n, cosa,
2. Sachant qlue a, b, c sont les ttois côtés d'un triangle rectangle, calculer
les angles æ, y et z, sachant que :
rc":* @s:# vu:#3. Même question, sachant que
.bzbc-bcstnû:E srny: a2 coss:L-A
4. Démontrer I'identité :
I I cosa cosDI
I cosa I cos(a :t A) l:0.ttI cosD cos(a ;[ ô) I I
5. Si I'on projette orthogonalement un point d'une circonférence sur deuxdiamètres ûres, la distance entre les projections est inclépenclante tlu pointchoisi.
6. Démontrer l'iclentité
2 sinra: (2 sina f sin 2a) tg] a.
7. Démontrer les formules
sinISo:1rrÆ-l:sin3
-i.l-----=--* i!
coslSo: i VtO + 2 !5 : cos16.8. Dans tout triangle, on a
tgA * tgB * tgC: tsA tgB tgOtgzA f igzB f tga0 : tgzA. tglB tgâC
.A B C A B Ccotgz. + cotg Z t cotgz : cot'gT corgz colgz
par A la droite symétrique de AC par ra,pport à ABpar B BA BCparC - CB CA.
33. Détermirier le lieu géométrique de l'orthocentre d'un triangle inscritdans une circonférence ûIg, le sornmet A et I'angle A restant constapts.
34. Condition pour que trois points At, Ar et As observés de B et C soienfen ligne droite :
br, br, Ds étant les azimuts de BAr, BAr et BAs par rapport à BC,Cb C21 Cg
-CAt, CAr et CAs CB :
I eotg b1 cotg c1|
I eotgb2 cotges l: 0.
t cotg Ôs cotg cr I
35, Si une sécante issue de A rlivise cet angle en deur parties Ar et Az,et le côté opposé & en deux segments a1 et a2, on a
sin Ar . eL _b _sin Bm-6' A: c: sïne '
36. Les symédianes d.ivisent les côtés en segments proportionnels aux ea,rrés- des eôtés adjacents.
37. Si a est I'angle aigu que fait la médiane issue tle A avec le côté BC, on a
cotg d. ---cotg-c :'cotg B
-
38. Si c, F et y sont les angles des *eairnes avec les côtés opposés consi-dérés dans un même sens de parcours, on a
cotga f cotg p + cotgl - 0.
39. Si trois droites issues rles sommefs d'un triangle sont concouranies,leurs isogonales le sont aussi. (Les isogonales sont les symétriques d.e ees
droites par rapport aux bissestrices intérieures correspondantes.)
40. Calculer les coord.onnées normales du point de reneontre de troisdroites concourantes issues des trois sommets d'un triangle. (Les coordonnéesnormales d'un point sont les distances de ce point aux trois côtés du triangle.)
I'bztcrf Tr- r,Application à I'orthocentre, au centre de gravité, &r centre du cercle
inscrit, au point d.e Lnnaotxn (point de rencontre des symédianes).
41. Déterminer, pour un triangle ABC, un point Or tel, que les anglesOrAB, OrBC, OrCA soient égaux; et un point Or tel, que OIAC. O:CB, OzBAsoient égaux.
(Les points Or et Oz sont appelés poi'nts d,,e Bnoceno.)
42. Si p est I'angle constant O1AB: OrAC (l'angle de Bnoceno),
démontrer les formulescots9 -- cotg A + cots B + cotgc -- g+.fg
ltnB:tr' À2 Às
z e, A:6: "(À, : distance du point de LnruoINE au côté a.)
44- Le produit des rayons des cereles circonscrits aux tr iangles AOB"BOC, COA, est égal au cube rl.u rayon du cercle circonscrit au triangte ABC.
(O
: point de Bnoceno.)45. si a/ est le point de rencontre de Ào et Bc, on a
A'B 62
Âi046- Calculer Ies coordonnées normales des points de Bnoce1.n.47. Si d'un point P on abaisse des perpendiculaires PAr, PBr, pC, sur les
trois côtés d'un triangle ABO, on a
arBf Brcr ctaljffi:PTE:FB.dÂ.48. Les pieds des perpendieulaires abaissées d'un point du cerele cîrconscrit
sur les trois côtés d'ttn triangle appartiennent à une rlroite, que l,on appeped,roi.te de SuvrsoN du point considéré.49. Dans tout quadrilatère, les triangles podaires de chaque sommet par
rapport aux triangles forrnés par les ùrois autres, sont des triangles semblables.50. Dans tout quadrilatère on a
(a, * b2) - (c, * dr) : 2 (alt cosB - cd, cosD).51. Dans tout quadrilatère on a
AB.pr CD __ CD pr À8.52. Dans un quadrilatère inscriptible, calculer l'angle de deux côtés opposés. en fonction des longueurs des 4 côbés.
53- Dans un quadrilatére circonscriptible, les cosinus des moitiés des anglesformés par les cÔtés opposés sont inversement proportionnels âux racinescarrées des rectangles de ces côtés.
54. Dans un quadrilatère circonscriptible, le rectangle de d.eux côtésopposés, multiplié par le carré du cosinus de la moitié de l'angle compris,est égal à la somme des rectangles qu'ils forment avec un d.es deux autrescôtés, multipliés respeetivement par le carré du sinus de la moitié de l,angleadjacent.
55. Dans un quaclrilatère circonscrit, les sinus des moitiés des anglesopposés son[ en raison inverse des racines carrées des produits des côtésqui les comprennent.
56. Résoudre un quadrilatère circonscrit, connaissanb les distances o(, P, ï, âdes sommets A, B, C, D aux points de contaet.
57. Le centre du cerele inscrit dans un quadrilatère se trouve sur la droitequi joint les milieux des diagonales.
58. Dans un quadrilatère eireonscrit, Ia somme des produits des deux côtés
opposés par les sinus des angles adjacents à ces côtés, est égale à la sommedes produits des deux autres côtés par les sinus des angles adjacents.59. Partager un angle d.onné moindre que 20Ac en deux parties telles quc
la somme de leurs sinus multipliés respectivement par deux nombres constantssoit maximum.
60. Démontrer la formule
1T îC 1Icost cosg cos*...
61. La somme d.es carrés des distances d'un point quelconque aux sommetsd'un polygone régulier de n eôtés est constante, si la distance de ce point au
centre est constante.62. La somme des projections du vecteur OP sur les rayons qui passenb
par les sommets du polygone est nulle.63. Étan[* la formule
cosA + cos 2A f cos 3A + ... + cos l7A * g si
64. Calculer la limite de la somme
.A't.A.Q',.A"Arsrn5 secd t srn O secg t ... l- srn gyùsecffipour za croissant sans limite.
pour tn etoissant
66. En partant
tgZa-tgq,- Ytocos 2a cos a
calculer Ia sommeI,1ffi*a;z"*g"+""'+
On démontrera d.'abord le lemme æ nZsinyséeffi -=tgæ -tgâ.65. Calculer la limite de
9'r-^
p av4tr
--_
.
r7
l) a cosnq,
du sommet de .l'angleon aura
[*"(;* h)1*L **î
-lans limite.de I'identité
cos (7L-
67. Si, dans un triangle sphérique reciangle, on mènedroit un grand cercle perpendiculaire sur I'hypoténuse,
68. Si,on aura
sinc/a - tg a1 tg a2
tgrb _- tg a tg a1
eotgzft . cotgtb * cotgxc
tgrb tg a,@:{a'
dans un triangle sphérique, Ie c<)té BC est double de la médiane,
70. Si, d'un point d'un petit cercle, ou mène un arc de g.rap.d. qpfçLe pprpBp,diculaire à un grend cercle passantpar Ie pôle, si ondésigne perp lalonggeïF-de cette perpend.iculaire, par m et n les ares qu'elle détermine sur le diamètfepolaire, on a
tsrl,: rs i rr'i.
7L. Si, d'un point-de la sphère, on mène trois grands cercles perpgndipulriresâux côtes d'un, triangle sphérique ABC, on t
gos A'B cos BtC cos CrAeos7fc' ;6ËEd..' ôoffi : + 1'
"12. Si, dansun triangle sphérique, on a alb+c:tls dénontrer lepformules
sinrf + sins* + sinr*: t.
Cosa:l B ' C
'87-r8 z ' i
73. Calculer les dièdres des einq polyèd,res réguliers convexes.
74. Calculer les rayons des sphères inscrite et circonscrite à un polyèdre
rêgulier conv-exe, en fonction de l'arête a de ce polyèdre, du nombre. r descôiés de ehaque face, €t du nombre m des faees qui forment chaque anglesolid.e.
15. Calculer le volume d'un polyèdre régulier convexe en fonction desmêmes données.
76. Si I'on joint Ie sommet A d'un triangle sphérique ABC à un point Ddu côté BC, en désignant AD pâr d, et I'angle ADB par D, on a
sin a1 sin c: sin Ar@:m.A* /
cos d sin a - cos ô sin at * cos c sin a2
cotgD sin e, - sin a1 cotgC - sinas cotgBcotgd sin a, -- sinAr cotgc f sinA2 cotgbcosD sin.A -;- cosC sinAr - cosB sinAl,
77. Si l'on joint les milieux tT et P des côtés AB et AC d'un trianglesphérique au moyen d'un arc de grand cercle, et si I'on élève au milieu Mde BC un arc perpendiculaire à BC, jusqu'à sa rencontre en 0 avec NP,on aura
sinE : sinl{P sinlllQ.
78. Si I'on mène par le sommet d.'un triangle sphérique ABC un arc A.{| quile d.ivise en deux triangles équivalents, en appelant dr et o,2 les segmentrdéterminés sur a, on aura
sinâar _ cosie .sin * ar cos* ô
79. Les arcs AAr, BBr ei CCt qui divisent chacun le triangle ABC en deurparties équivalentes. sont concourants. (Théorème de Stntxr:n).
80. Calculer les distances du pôle du cercle inscrit aux trois sommets,
ainsi que les distances du pôle du cercle circonscrit aux trois côtés.
81. Si on prolonge deux à deur les côtés d'un triangle sphérique, lasomme des arcs ioignant les milieur de ces prolongements est égale à une-demi-circonférence.
82. Calculer les distances du pôle du cercle inscrit aux pôles des cerclesex-inscrits.
83. Si l'on désigne par c, p. I, ô Ies aires des quatre faces d'un tétraèfueABCD, pat a, ar deux arêtes opposées, par sina, et sinaf les sinus des dièdrescorrespondant à ees arêtes, et par u le volume du tétraèdre, on a
84. Si les arêtes opposées d'un tétraèdre SABC sont égales deux à deux,le tétraèdre est dit isocèle I son volume sera
,:labcvm.85. Une tour de hautevt a est surmontée d.'une flèche de hauteur ô. A quelle
"distance du pied de la tour un observateur doit-it se placer dans le planhorizontal qui contient, eepied, pour qu'il voie la flèche sous I'arrgle maximum?
86. Si e est I'angle des tangentes communes à deux cireonférences, on a
. (R + Rr)' sin a - 4 (R - Rt) VRIrt.
8'1. Dans un parallélépipètle circonscrit à une sphère, chacune d.es irois:arêtes est proportionnelle au sinus de I'angle des deux autres.
88. On donne un cercle et un camé circonscrit; trouver une relation entreles tangentes des angles sous lesquels les deux diagonales du carré sont vuesd'un point quelconque de la circonférence.
89. Étant donné un triangle ABC, mener par le sommet C une droiùe telle{tue la somme des projections de CA et CB sur cette droite soit égale à unelongueur donnée.
90. Un cône dont I'angle au sommet est 2d est circonscrit à une sphère;calculer le rapport des volumes compris entre le sommet du cône et les d.euxcalottes sphériques concave et convexe.
91. A, B, C, D, étant quatre points d'une sphère, on a:I cos DA cosDB cos DC
cos AD I cos AB cos ACcos BD cos BA I cos BC
cos CD cos CA cos CB I-0.
92. Calculer I'angle d.e deux arêtes opposées
les longueurs des six arêtes.93. Calculer le rayon de la sphère circonscrite
94. Calculer I'angle de deux droites en fonetion des angles qu'elles fonùo,Yec trois axes rectangulaires :
eosd,dt - cosd eos qt + cos p cos pr f cos^1 cosyf.
En déduire que la somme des canés des cosinus directeurs d'une droiteest égale à l.' 95. Si l'on désigne par ô la distance polaire entre les pôles des cerclesinscrit et circonscrit à un triangle sphérique ABC, otr a:
96. Si dans un quadrilatère sphérique eonvexe on désigne par ô la distancedes points milieux des diagonales, on a :
eosq, f cosb + cosc f cos d - 4 cos f,m eos]æ cos$ô.
Q7. Si Ar. 81, of C1 sont les angles du triangle rectiligne ôbtenu en joignantles sommets d'un triangle sphérique ABC, on a
. ^a . - b esinz; + sins;+ sinz i
- 2 ginfi rin! cos Cr f sin i -ur| cos 81 f sin ! ,in $ "o*ari.
98. Si deux trianglessnhériques
ABC et AfBrCf sont tels que les arcs AA/,BBr, CCf sont concourants, les points Af/, Btt , C// de rencontre rJes côtés BCet BfCf, AC et AfCf, AB et AtBf, sont situés sur un même grand cercle.
' 99. Les arcs de grands cercles, joignant un point de la sphère aux troissommets d.'un triangle trirectangle, reneontrent les côtés opposés en troispoints qui sont les sommets d'un triangle dont le contour est constant etéquivalent à une demi-eirconférence.
100. Si sru le côté AB d'un triangle sphérique ABC on élève un arc perpen-diculaire DE, qui divise le triangle en deux surfaces équivalentes, oû aura
Déterm'i,ner l'appt"oæi.,mati,on attei,nte d.,ans le calcul delog97, (X), a,?,c moyen de la formule d'interpolation linéa'ire.
34r,. Considérons trois arcs exprimés en centigrades (t) et rangéspar ordre de grandeur croissantc :
Xp X:Xt*h, Xg:Xt*lt.1"" Gâso Calcul de log sinX.
Soient I : log sin X - log sin X,A : log sin Xr- log sin Xr.
342. Dans un système d'axes rectangulaires Xy (fig. 56),représentons lacourbe
A : log sinX.Soient A, B et
C trois points ayant respectivement potrrcoordonnée's :
(X' log sinXr), (Xr, log sinXr),
(X, log sinX).En principe, l'interpolation linéairerevient à remplacer la collrbe AB parla droite AB, c'est-à-dire, le point C parle point D. On aura :
EC:à, FB:A, BD_hA, DC:â_hL.Calculons f)C : ô - hL.
xlT-
C
ltBt
I
I
rôI
I
I
I
I
__l
F
I
IIII
I
tr'rc. 56,
343. De la formule de Newton, complétée par le restede Cauch.y
345. Cette condition est vérifiée pour tous les arcs Xr, satisfaisantà la relation
sinzX, ' 16.108-*ou logsinXti.*logM+log 2log?+tn-4ou encore log sinX,
Pour n-5 Xr2l05tPour %:7 Xr
346. De lànous pouvons conclure que si les logarithmes de la
table étaient exacts, of si h^ êtait un nombre entier d'unites du
(n) Rappelons que X est la mesure de I'arc en centùgrail,es, et æ sa mesure en raùi,ons.M est le module absolu du système décimal de logarithrnes.lg signifie logarithrne népérien ou naturel.
On a soin évidemment de prendre pour p un nombre cornprenantle moins de décimales possible, une seule s'il y a moyen.
354. Remarque II. Pour ze : 5, ce cas n'est pas à considérer,parce que I'on calcule log sin (X, + h) par un autre procédé.
355. Remarque III. - Pour n : 7, il y aurait lieu d'appliquer ces'conclusions aux arcs compris entre 7'r39 et 1O,47. Dans cet inter-valle il faudrait calculer de nombreuses valeurs de e qui varie assezrapidernent. Il est plus simple de se contenter d'une approximationplus faible. En supprimant a ct ajoutant l à la ytriëme décirnale, on a,
,uûo valeur approchée à moins dl'o
est nul, or W; si a est nul, oû conserve lavaleur trouvée : I'approximation est Ia même; si a -remplaçant par l, on a, une valeur approchée à moins
ilI. Max (E hL)
356. On trouve comme précédemment que pour ncondition est vérifiée pour les arcs compris entre 6o,00 et 7c,39.
Par une étude analogue aux précédentes on s'aperçoit qu'il est,
impossible d.'avoir touiours log sin (X, + h) à nnoins de # près.
On doit se contenter d'une erreur moindre que #r.On remplace toujours d. par 1, c'est-à-dire que I'on force la
vtrième décimale.
0.5, en le,loe Tdr'
lo0moindre
1.5 .qlre w,
20 0.5 que 10",35?. Remarque [V. - On peut continuer de la même manière, et
L'on trouve comme valeurs successives de séparation :5"124; 4167;4c,26; etc .
On constate aisément que I'intet'polation linéaire ne donne plus,de résultats satisfaisants. Norts n'entrerons pas dans plus de détailsà ce sujet puisque, pour nos tables à 5 décimales, Itinterpolationlinéaire est admissible jusque 1o,05 comme il a été vu précédemment.
Pe Gos. Calcul de log tg X.
A.De0à50o.358. La courbe U : log tgX est convexe pour I'axe des X, comme
la courbe y - log sinX. Elle coupe I'axo au point (X:50", !/ -=0);au delà de 50", la courbure chgnge de sens (point d'inflexion).
359. Nous obtenons un trinôme du second degré en cos àXr. Les.racines sont réelles, de signes contraires, inverses I'une de I'autreen valeur absolue, la plus grande étant négative. Donc, une desracines est comprise entre 0 et + l, I'autre est inférieure à l.
Pour que le trinôme soit
donc compris entrs - ] et la racine positive; d'ailleurs cos 2X, > 0.Soient îoL et inz les deux racines i Tz
xr360. Conclusion. Lorsque n - 5, pour tous les arcs comprisentre 1c,07 et 50o ; lorsque 2 :, J, pour tous les arcs comprisentre 10c33 et 50" :
Nous pouvons utiliser les résultats auxquels nous sommes arrivédans le premier cas (calcul de log sin X) ; il suffira de remplacer6 par I, donné par la relation
r(o.b-tffi'ffi'On trouvera page 81 les valeurs de r calculées de grade en grade"
pou.r les tables à 5 décimales.
B. Au delà de 50c.
361 . La deuxième branche de la courbe y -- log tgX est symé-trique de la première branche par rapport au centre
(X:5000\, A:0).Le maximum de âA - E dans I'intervalle (Xr, Xr) est le même que
le maximum de E - h^ dans I'intervalle (100" - Xz, l00o - Xr).Donc, on aura max (tlA - S)
t - I deI'intervalle 100" - Xz, I00c - Xr.364. Remarque VI. - On peut substitller à r une valeur supérieure
à0.5+e.On peut donc adopter pour r le complément à I de la valeur trop
faible admise dans I'intervalle complémentaire.On trou vera page 8l la table des valeurs de r calculées de grade
en grade.
Conclusion. Pottr les arcs compris entre 50" r.t 88",93 on
obtiendra log tg(x, + h), à moins de fr nrèr, en opérant commesuit :
Sz dans le produit hD la partie décimale est10 i,nférieure ou égale ù 0.5, on la supp?"i,me;qo comprise entre 0.5 et r) otz lu renzpla,ce pa?" 0.b;30 égate ou supérieure ù r, o?x Ia suppri,me et on ajoute L ù
la partie entière.365. Remarque VII. I\ous n'cxaminerons pas le cas où
là - h^l
de cette étude aux tables à 5 décimales.
366. Remarque VtrII. La méthode qLle nous avons suivie pourétablir les règles du calcul de log sinX et de log tgX, appliquéeau calcul de logn, condr-rit aux conclusions suivantes :
'lPour les nombres supérieurs à ; Vto 10,?
c'est-à-dire : pour n
pour n:7, frz
on obtient log n - log(nr, + h), à moins de # pr,ès, en opérant
comme suit :
,St dans le produit hD, Ia, partie décimale estIo infér;ieure ou égale a, I, on la supprùme ;qo comprùse entre ), et 0.5, on la remplace par 0.b ;
30 égale ou supéràeure èL 0.5, on la rentplace par I.
).<o.b-ry$.8nt'On trouvera, page 81, les valeurs de l calculées de 1000 en 1000,
pour les nombres compris entre 1000 et 10000 (tables à cinqdécimales).
APPRT)XIMATIONS DANS LES CALCULS LOGARITHMIQUES. 287
Problôme II.Détenni,ner l'appronimatiotz gue l'on IJeLtt atteindre dàns le
ca,lcul de log71,(X) par le procédé relatif aun petits (L?"cs.
367. Nous n'examinerons que le cas des tables à cinq décimales,
I{ous avons vu que I'interpolation linéaire était admissible
jusque 1",05 dans le calcul de log sinX,jusque I",07 dans le calcul de log tgX.
Or, dc 3c à I",05 ou I",07, 6 et r diminuent rapidement et ontpour limite 0. Par conséquent, pour les arcs inférieurs à 3 grades,on emploie un procédé spécial que voici :
on i sinx -= Y'x - s.x
er tgX:*?I-*:T.xÀ
d'oti log sinX : logs + logx
log tgX - lugT + logX.Les logS et logT flgurent dans la table avec six décimales; Ies
différences tabulaires valent 0, 0.I ou 0.2; logX se calcule parla table des nombres de 1000 à 10000.
368. L'erreur commise sur log9T (X) comprend trois parties :
10 I'erreur el commise sur logS (ou logT), (non timité à cinqdécimales) ;
2" I'erreur ez commise sur logX (non limité) ;
30 I'erreur es provenant de ce qu'on limite log97, (X) à cinq
décimales (ou évsntuellement à six décimales, comme nous leverrons ci-après).
Les cas les plus défavorables au point de vue de I'approximationse présentent lorsque les trois erreurs sont dans le même sens :
lo par défaut ; T par exr'ès.
Nous allons donc rechercher le maximum de e, et de es par défautet par excès.
A. Cas du sinus.
369. I. Mani.rùuln de er :
lo Si la diftrence tabulaire pour logS est nulle, on aura
aPPROXIMATIONS DANS LES CALCULS LOGÀRrTHMrQUES. 2gg
Le minimum de S a lieu pour B grades.log ?
,d,où e 0'0000 4468 1 0.00005
.donc enfin :
?
\-F-37r* If. Man'i,mum de az.
ona e o'5 r
2
Si E2 est par défaut, max ez se compose de deux parties, I'une'qui vaut ffi' l'autre, ?'flèche maximum de la courbe U -logxentre Xr et X2 (nombres entiers consécutifs).
Par la formule de Newton :
F(X)-logX-M.lgX
F,(X): Il-,r,(X) : _ S.d'où ?'
Finalement: u - 1-I'iIax e2
372. IrTous aurons donc :
par défaut er + ê2105
parexcès
€I
+ez
En conséquence, si nous voulons que la somme er * e, * e3 soit
moindre que *u, nous pouvons commettre une erreur:
par défaut e3 to5 ouf (3)
par excès €3 .,#E ou H. (4)
373. D'où la conclusion :
,Si, dans la son?,rne log s + log x, la gtarti,e déczmale qui suitle 5ième chi,ffre est :Io i,nférieure ou égale ù I - 0.051, orz la suppl"ime;
378. f. Supposons que ces conditions soient satisfaites. Reprenons
lesnotations de
la fig. 57pour les arcs supérieurs
auxlimites
trouvées dans le problème I.L'arc X est déterminé par I'abscisse du point C, intersection de la
courbe A : log sin X et de la droite A : log sin X, parallèle àI'axe des X.
Ce point C est reurplacé par le point D', intersection de ArBf etde T:E(fr9.60).
=Ë"{.,2*
Les positions limites de c -orri'i, :t cr. L'erreur est donc moindre
que DfI par excès ou DrE par défaut. Il est aisé de voir que DfE < DrI.[i. Si nous limitons X à m décimales (X est exprimé en centigrades)^nous remplaçons D/ par un point qui en est étoigné de moins de
38f . A. Les farmules (7), (4) et (8) seî"ont encore (rppli,cables,lnrsque de g ù Ez la "di,fférence tabulaire ne crott Fas, etque de.EL ù.Êttla dàfférence tabula'i,r"e ne décrott pas.
En effet, si de Et à .Ez D ne croÎt pas, le prolongement vers lagauche de la droite AuBu (fig. 60) continue à limiter la positionextrême Cz. De même, si de E L à Et I D ne décroît pâS, le pgolon-gement de ArB, vers la droite continue à limiter la positionextrême Cr i donc, I'erreur par défaut ou par excès est toujoursinférieure à Dff.
382. B. Les formules (7), (4) et (8) ne sont pas appli,cables :
Io lorsque les cond,i,tions énoncées saus le littera A ne sontpas satisfaites ;
20 lorsque la formule (4) donne po?,r,î" m une aaleut" négatiue,c'est-ù-dir"e lorsque D
Dans le premier cas, oû substituera à D la plus petite valeur Dr
de la différence tabulaire dans I'intervalle Êt E" , et on appliquerala formule (4) modifiée :
Lym -p+2(I-o)Dans le second cas, otr peut prendre Xt et Xrf (corre
Et et E") comme valeurs extrêmes de X.
On peut aussi calculer deux arcs Yr et Y z tels, que
logsinY, -!:-#/ (
logsiny, -E+#, 1
Soient D, et Dz les ditrébences tabulaires à considérerYz I on pourra calculer Yr et Y z à moins de # et
't?zL et ffLz étant fournis par les relations
10?l?t
)tw'"#lEn efiet, E-# et E+# sont alors les
exacts de Y, et de Yzi il faut donc faire p - 0 dans laOn aura par conséquent
On trouvera de même, si d t 3 .t sî la cond,ition (17) n,est pas.
vérifiée, que xz est une valeur approchée à moins c Ite Z, Sl
p<zd,-D -z(r-o) (zs>,et p(Bn_Zd_l. (24),
(24) a toujours lieu puisque, en vertu de (rb):p<D-Z(L-o)<D-t
Les conditions(16) et (22), (17) et (23) peuvent être satisfaites.simultanément.
385' Remarque IL, - Les conclusions de la remarque I sont d,unintérêt purement théorique. En pratique, il serait fastidieux devérifi.er toutes ces conditions. D'aiileurt on n'emploie les tables àcinq décimales que lorsqu'on ne désire pas une grande approximalion..
Pe Gû,so On connaît
386. Mêmes conclusions
En decà
lo*<p
log tgX à moins a" ffi près.
que pour log sin X.de 50"
D
+2(l-t)Au delà de b0"
Dr0nP + 2r
(25)
(26)
Pour n : 5,
L0m --p+l.l387. Remarque III. Les diftrences tabulaires pour 1es log tg
valent atr minimum 13, tandis gue pour les log sinus, elles déciois-sent constamment et ont pour limite 0. Il en résulte que I'approxima-tion est plus grande lorsqu'on connaît log tg X que lorsqu,onconnaît log sin X ; cela est surtout sensible au detà de b0 grades.
388. Remarque IV. On aruive aux mêmes conclusions pour ladétermination de I'approximation atteinte dans le calcul de frr
connaissant une valeur approchée de logr à moins ' noe ffi,.n ne faut pas oublier qae fi est supposé compris entre 1000 ef10000. Donc, s'il est inférieur à 1000; I'approximation augmente,puisque Ia virgule se déplace de L, ? .. . rangs vers la gauche.
aPPROXIMATIONS DANS LES CALCULS LOGÀRTTHMIQUES. 297
389. Remarclue V. Toute cette théorie est indépendante dunombre de décimales des logarithmes de Ia table. Plus D est grand,plus I'approximation est grande. Les tables à 5 décimales ne donnentle plus souYent les arcs qu'à moins de I centigrade près. Les tablesà 7 décimales donnent une approximation beaucoup plus grande(parfois le cent-milligrade).
il semble donc qu'il y aurait avantage à rééditer les tables deBorda à 7 décimales, et à les préférer aux tables à b décimales,
Problôqne f û.Déterminet" l'approfrimation atteinte d,ans le calcul d,'un
a'rc x, connaissant une aaleur approchée de log fL 6), p&rle procédé des petits a,l"cs.
390. X est inférieur à 3 grades. Soit 'E compris entre Ê, et .Er.Ona log sinX : logs + logX.On adopte pour logs la valeur approchêe de logS,, I'erreur ainsi
commise êtant moindre que la diflérence tabulaire, c'est - à - dire'
moindre que fr ou ffi puisque les logS sont donnés avec 6 déci-
males et que la différence tabulaire vaut au maximum 2 unités du6ième ordre.
.E logS, est donc une valeur approchée de logX, à moins
rle P*0'4.2. 105
On est ramené au calcul de X.
Si la diftrence tabulaire pour log S est nulle, on aura log X àmoins aeP +o'I \
2.10r pres'
On aruive à des conclusions identiqLres dans le cas de la tangente,
391. Déffniûion. On sait par les considérations généralesqui
constituentle début du cours d'Arithmétique, qu'un élément
générateur, partant d'une position fixe dans I'espace et prise commeposition de repère, engendre une grande?,(,r" directenoent ,)tes'u?^ab\e
lorsqu'il est animé d'un mouvement de translation, d'un mollvementde rotation ou d'un mouvement hélicoïdal. 'Ioute position occupéepar cet êlément dans ce mouvement générateur, détermine. concur-remment avec la position initiale, une grand,eur déterminée d'uneclasse déterminée aussi; réciproqLlement , tor,tte g?"a,ndeur directe-ment n?,esu?"able détertnàne la position de l'une de ses efrtrë-mi,tés pûr rappot"t ù l'aLctr^e prise colnrne repère, si l'on connaît
la position de ce repère et le sens de la génération. On a donnédes noms conventionnels aux deux sens possibles ; I'un s'appellesens poseti,f, I'autre, sens négati,f de la figure illimitée qui porte lagrandeur. La position initiale de l'élément générateur, c'est-à-direl'élément de repère, s'appelle I'origine de Ia grandeur ; la positionfi.nale de l'élément générateur, c'est-à-dire l'élément repéré, s'âppellel'eætrént,ité de la grandeur oLr encore l'élément extrênae. IJnegrandeur donnée pcut toujours être considérée comme engendrée
dans I'un ou dans I'autre sens. Pour distinguer I'ot'igine de I'extré-
mité, on les désigne par deux lettres, A et B par exemple, et I'onreprésente la grandeur par ces deux lettres, cclle de I'origineprécédant celle de I'extrémité, surmontées d'une bart't: horizontale.Ainsi une grandeur G limitéc par deux éléments A et B pourra se
représenter par AB ou par BA suivant que I'on considère A ou Bcomme origine. Lorsqu'on distingue ainsi le sens de la générationdes grandeurs, oû les appelle des grandelul"s dirigées. Dans le casparticulier tles segments de droites, otr les appelle ueCteurs.
392. Conclusion. Une grande?ir dirigée est une synthèse de
trois éléments :
10 La figure iltimitée qui la Porte ;
2" La grandeur particulière, limitée par ses deux extrémités;
IJne grandeur diri gêe détermine la position de son extrémité parnapport à son origine.
Le sens de la génération d'une grandeur s'appelle sens de lagrand,e?rr.
393. (Irandeurs dÊrigées reetiligneso eire ulaires,héIierlid&los. - Nous distinguerons ainsi les grandeurs d'aprèsle mouvcment de l'élt':ment qui les errgendre.
394" EiSaIité, - Deux grandeurs dirigées sont dites égates
lorsque, leurs origines étant mises en coïncidence ainsi que les'figures illimitées qui les portent, les grandeurs et les extrémitéscoïncident aussi.
395. Sornrne elirÊgée de plusieurs gra,?ldeurs dirigéesprises s?.tr' u'ne même figut"e illintitée.
Soient les grandeurs dirigées : A"Br, À"&, ... IF,, découpéessur une même figure illimitée de leur classe. Consiclérons un élémentgénérateur M, partant d'une position initiale O et se déplaçant de
façon à engendrer une grandeur OM,
-
frB, ; puis, à partir de la
position nouvelle N{r, une grandeur 'Mù{, : ArBr:.. gl_finalementà partir de la position atteintê M",-r, une.grandeur Mr-rMn: A*Bn.
La granduo1-:]go_ s'appelle soTnrne d,irigée 4u*_grandeursOMr, MrMr,... Mr-rNlr, et aussi des grandeurs AtBt, ArB,,,. AnB*.
.On écrit :
OM,,: OMt * Mrl\fz + ...+ Mr-rMm: ArB, * ArB, * .'. * L*B*.Le signe + utilisé pour séparer les grandeurs cotnposrtntes
s'énonce plus. II ne représente cependant aucune idée d'ensemble nide collection, mais I'idée de succession: ofi devrait l'énoncer ytct'is.
Nous admettrons que la position flnale de M, et par conséquent,la somme dirigée ô,M", sont indépend.antes de I'ordre d.ans lequelon range les grandeurs composantes (t).
396, Itapport de deux grarrdeurs dirigées.Une grandeur directement mesurable est parfaitement déterminée
en elle-rnême par la connaissance d'un étalon et de la, mesure de lagrandeur par rapport à cet étaton. Cette mesure est ce que nousappelons un notnbre absolu. '
Sur la flgure illimitée q.ui porte la grandeur consid êrée, la posotionde celle-ci ne sera déterrninée que si I'on connaît en outre la positionde I'une de ses extrémités et le sens dans lequel I'autre extrémité
(t) Voir la démonstration, Ari.thmëtiqct,e générale, pp. 87 et suivantes.
se présente par rapport à la première. Nous ferons donc de lagrandeur à mesurer Llne grandeur dirigée ; nous prendrons pourétalon une grandeur dirigée également, et la mesure de la premièrepar rapport à cet étalon sera un nombre absolu accompagné d'uneindication quelconque déterminant le sens de la grandeur par rapportau sèns de l'étalon. Lorsque les deux grandeurs sont dirigées dansle même sens, on ajoute au nombre absolu qui est leur rapport
tel qu'il a ()tê déflni jusqu'ici la qualification de positif.Lorsque les deux grandeurs sont dirigées ên sens contraires, leur
rapport est qualiflé néga,ti,f.Enfin, l'étalon restant constant, ainsi que I'origine de la grandeur
à mesurer, si I'extrémité de celle-ci est supposée mobile, et si I'ondéplace cette extrémité d'une manière continue de telle sorte que lagrandeur ayant primitivement pour mesure un nombre positif.diminue, son extrémité coïncidera à un certain moment avec sonorigine, puis la grandeur croitra à nouveau et aura pour mesureun nombre négatif . Lorsque l'extrémité coïncide avec I'origiûo,la grandeur cesse d'exister. Elle est devenue nulle. Nous d.irons,
pour faciliter le langage, qu'à ce moment sa mesure est lenombre zéro.Le rapport de deux grand.eurs dirigêes A,.8, et erBz se représente
par le symbole ++; c'est un nombre positif ou négatif, suivant queA2Bz'
les deux grandeurs sont dirigées dans le même sens ou en sensopposés,
397. Grandeur-direetniee. On convient de mesurertoutes les grandeurs dirigées portées sur une même figure illimitée,par rapport à un même étalon, auquel on donne le norn degrandeur-directrice de la figure illimitée en question. On convient,également rle choisir comme sens positif sur cette figure celtri quicoTncide avec le sens de la grandeur-directrice. Le plus souventmême, on spécifie à priori le sens positif sur la figure illimitée,et I'on indique l'étalon sans se préoccuper de fairo de celui-ci unegrandeur dirigée. Toutes les grande?ir"s dirigëes, dont le sens'coincide auec le sens. positi,f de la ft,gtre illinti,tée, ont alorspour rnesuî"es des nombres positifs ; les a,utt"es ont poul-
lnesures des nombres négatifs Cela n'empêche pas naturellementde considérer éventuellement le rapport d'une grandeur à uneautre quelconque.
Lorsque nous parlerons de la mesure d'une grandeur dirigée,
sans spécifi.er la grandeur par rapport à laquelle on considère cettemesure, il faudra sous-entendre que celle-ci est la grandeur-directrice.
398. La mesure d'une grandeurgrandeur-directrice, est représentéele même ordre.
Les nombres AB, et BA, mesures des grandeurs dirigées eg et BA,sont égaux en valeur absolue, mais de signes contraires, c'est-à-dire,sont synzétriques.
399. Déftnition (t)o - La mesure d,'?rne son?,rne d,irigée d,egtlusi,eurs grandeut's par rappot"t ù une grande?r?, d,irigéequelconque de leur classe, s'appelle so,ln?ne des nùesures d,eces gr"and,eïffs.
On a donc
AFr+A€Br+...+A,B-
dirigée AB, par rapport à lapar AB, les lettres mises dans
AB@AB
, AnBnl-_
AB
A*8,I-T-
TE--l-...
400. Veetetri'so Définitions. On appelle aecteur un
segment de droite auquel on associe la directi,on de la droite etle sens de la générat'ion du segment.Les vecteurs constituent donc une classe de grandc.urs dirigées.La droite illimitée qui porte un vecteur prend le nom d'ane
lorsqu'on a qualiflé les deux sens suivant lesquels un point mobilepgut la parcourir. Le sens positif est indiqué par une lettre quidésigne en même temps I'axe, et qu'on place vers une des extrémitéslorsqu'on fait un dessin.
Tout axe divise le plan qr"ri le contient en deux régi,ons ou
demi-plans. L'une quelconque est dite régdon ltositi,ue et I'autre,région négatiae.Si I'ott considère deux axes parallèles r et y, et si I'on a qualifié
les régions pour I'un d'eux, fi pàr exemple, on convient de qualiflerles régions pour y de telle sorte que n et y soient dans des régionsde noms contraires I'un par rapport à I'autre.
Un point placé sur un axe le décompose en deu x d,emi,-d,roi,tes.
(t) Cette définition est conforme au principe qui a servi de base à ladéfinition d'une somme de nombres absolus. Voir les Trai,tës d,'Arithméti,quede E. HuMtrnnr, et de A. Tanulrvrr,l,n, ainsi que mon Ari,thmëti,que générale.
8i I'on a défini la somme de plusieurs nombres qualités d.'une autre manjère,la définition ci-dessus doit être transformée en un théorème.
Lorsque deux axes sont parallèles, on convient dc qualifier les
deux sens sur ces axes de telle manière que si I'on joint par unsdroite deux points pris sur ces axes, les deux demi-droites qui se
développent dans des sens de même nom. soient dans une mêmerégion par rapport à cette droite. On dit alors que les deux axesparallèles ont le môme sens positif.
401,. Thtâorème de Chasles ou de Môbius. - ,Si I'on cons'id,èr"e sur?,ct?, a,æe des gloints qccelcorxques A0ArAz . . ! L* on a, I a relatioT?, :
AoA, -l- ArA, + ... + Ar-rA, * A,oAo
Cette propriété réstrlte de ce que la somme dirigée
At, f r\1A, * ... * Ar- r À* * A"Ao
€st nulle puisque son origine et son extrémité sont confondues en
Ào i on sait (399) quc sa mesure, c'est-à-dire le nombt'e 0, esb pardéfinition Ia somme des mesures des vecteurs qui la composent.
4A2. Veeûettt.s éqrEipollents. Dcux vecteurs AB et Ol)sont dits éguipollents lorsque, portés par lrn même axe ou pardeux axes parallèles, ils sont égaur et de même sens.
L'équipollence s'écrit
AI]Deux vecteurs parallèles sonI dits de mênze sens lorsque leurs
extrémitês sont dans des régions de même nom par rapport à deuxplans parallèles (ou deux axes parallèles) passant par leurs originesrespectives.
Deux vecteurs équipollents à un même troisième sont équipollentsentre eux.
403. Remarqlue. Si lion a AB : CD on en décluit ÀB : CD,
puisque les axes qui portent ces vecteurs ont le même sens positif,404. Sornrrre géorrrétriqrreo On appelle sorw??,e géonoé-
tr"'i,que ou résultante de deux ou plusieurs vecteurs :
A,.Br, Ao&... mrangés d,ans cet ord,re, uû vecteur OM,, ayant pour origineun point arbitraire O et pour extrémité le point Mn où aboutit unpoint mobile M eui, parti de Oo engendre successivement des
vecteurs OMr, m;, ... M"-rU *, êquipollents aux vecteurs respectifs
I;E;, ÀFr, .,. W*.Cette succession s'indique au moyen de
s'énoncer glui,s, mais qu'on énonce plus.signes -F qui devraienù
409. Théorème. - La sornrne gé,ométrique d,e ptusieurs aecteurs
est'ind,épendante de l'ot"dre dans lequel on les consid,è? e.Cela résulte de ce clui vient d'êt,re dit aux no' 407 et 408 ci-dessus.
Al'}.Théorème. - La sornrne géoméh'ique d,e plusieurs aecteursparallèles est la solnrne diri,gée de uecteut"s respectiaernentéqui,pollents, ltortés sur un mênze affie.
4t'1,. Mesure des grandeurs eiroulaires. Les grandeurscirculaires présentenl; cette particularité, que l'élément mobile quiles engendre passe, dans son mouvement de rotation, plusieurs foispar des positions
déjà occupées antérieurement. La grandeur engotr:drée par un tour complet du mobile s'appelle : ta gra?1d,eur d,'r,crttour.
On voit que, si I'on se contente de désigner l'origine et l'extrémitéd'une grandeur circulilire, celle-ci n'est pas distinguée de toutes lesautres qui ont la même origine et la môme extrémité . La distinctionne peut être obtenue que si l'on spécifle la mesure de la grandeurpar rapport à une grandeur-directrice connue. Il est d'ailleurs aiséde constater que les mesures de toutes les grandeurs qui ont même
origine et même extrémité peuvent être représentées par une mêmeformule kc * a., quel que soit leur sens de génération , k d,ésignantI'ensemble des nombres enliers qualifiés (y compris 0), c étant Iamesure de la grandeur d'un tour (nombre absolu) et aétant un nombrequaliflé quelconque, constant pour toutes ces grandeurs. LorsqueI'on n'a en vue que de déterminer la position finale du mobile , laconnaissance de I'axe de rotation, de I'origine, du sens positif,et du nombr ê d, y suffisent. C'est pourquoi I'on ne dis[ingue pas lesgrandeurs dirigées circulaires qui ont même origine et mêmeextrémitê; on les appelle grandelu"s cong?"rres,
et I'on désigneleur ensemble par la notation (AB), A désignant l'origine et BI'extrémité ; et I'ensemble des nombres kc -# q., représenté par Ianotation G, est appelé rnesz{r'e d,e (AB). Tous ces nombres sontcongrus (atod. c) à I'un quelconque d'entre eux, a par exemple.On les représente généralement par d. seul et non par kc -F a;de sorte que les relations que I'on écrit entre les mesures de gran-deurs circulaires ne sont jamais que des congruences (ercod . c).
4L2. Si I'on considère un point de l'élément générateur, ce point
décrit autour de I'axe de rotation un arc de circonférence. Ondémontre que toute grandeur circulaire a la même mesure :,errol'arc coruespondant, si I'on prend comme grandeur-directrice cellequi correspond à I'arc-directeur.
Celui-ci est, dans toutes les théories générales, un arc appelérad,i,an qui a la mêne longueur que le rayon (la longueur d'un arcétant la limite des longueurs des lignes brisées inscrites, lorsquechaque côté a pour limite 0). La mesure de la grandeur d'un tourest, dans ces conditions, le nombre 2æ.
Il convient de remarquer que la mesure d'un arc par rapport auradian est, en valeur absolue, un nombre égal à la longueur del'arc par rapport au rayon d.e la circonférence qui Ie porte.
4t3. On appelle aaleur pri,nci'pale ot rési'd,u (enodulo 2r) d'unensemble
AB:2hæ*cr celledesesvaleurs )-æ et (*æ.Si I'origine et I'extrémité corncident, la valeur principale est 0.
on a donc îL:Zhzc.4t4. Si I'on a 1g:zhn + o,
on aura 6À : Zkr, - o..
Ce qui permet d'écrire
6À:--ÂÈ;relation qui exprine que toute oaleur du premier membre estune d,es aaleurs d,u second tnermbre, et réciproquetnent.
til5. Théorème de Chasles ou de Môbius. - Entre les mesuresd,e plusieurs grandeurs circulai,ras (ÀoA,), (À,AJ ... (Ul,r1appartenant à une même fi,gure i.lli,mitée, eæiste la relati,on
ele, +.q,],, + ... * Çeo : g. (rnorl. zæ)Soient dv a,z, ... d.,, d"s les plus petites valeurs positives de
App LtcATtoNs DE LA Tn ÉoR I E DEs NoM BREs cou p LExEs.
4r,6. Cette note ne peut être ' cortrprise que par les lecteurs au
courant desdéfinitions géométriques
des nombres complexes etdes quaternions (t). Jecrois intéressant de présenter ici trois démon-strations très simples des principales formules de Trigonométrie.
I. sin (a + b) et cos (a + b).
417. Considérons dans un plan orienté trois axes 7", ffi et y (flg. 6I).,'\ ,/\ræ-ct, et fiA:b.a,+ b-îà+âù:;ù.
r, n et y el,al* les vecteurs-directeurs des axes en question, on ay nyi rn
Doncgi (afbl
:,gia
. eibou cos(a+b) + i sin(tr,+ b): (cos û,+ i0u encore
+ i sinô)
cos a cos ô ï :?":-? # ;ti-!i hnî cos a sin ô)
finalement:cos (a * b;): cosa cos b - sina sinÔ (1)
sin (a + b) - sin a cos b + cos a sin Ô. (2)
II. Triangle reetiligne.4t8. Considérons le triangle ABC (fig. 62). On a
ÂE+m+ct\-0. ,
frUr --= == eio Y - eibrfi
et Y:'gà(a*btr
Soient
d'où
:D'oti
bo
20
sin a) (cos ô
(,) \roir mon At'itltmétiry,te gënëral,e, 3*" et 4mc pârties.
420. Définition. + Considérons, dans un système d'axes trigono-métriques æ et y (flg. 64), un angle fiu: 0' engendré par un axemobile dont la position initiale est û et la position flnale u ; lamesul'e 0 de cet angle, par rapport au radian, est un nombre positifsi na a été engendré dans le sens positif ; c'est un nombre rrégatifdans Ie cas contraire.
Les nombres trigonométriques cos 0 et sin 0 sont les coordonneescartésiennos d'un point A de la circonférence de centre C et derayon l.
L'équation de cette circonférence estûz+U":l'
Le nombre 0 est aussi la longueur de I'arc dA correspondantà I'angle m, par rapport à l'étalon rectiligne CO; c'est encore le
double de l'aire du secteur ci,rcula'i,,re OCA par rapport au carréconstruit sur I'drtalon rectiligne CO, Ie signe de 0 dépendant toujoursdu sens de la génération d.c I'arc OA et du secteur ôm.
Considrârons l'hyperbole équilatère dont l'équation est
X2-Y?:l'Soit M un point quelconque de la branche de droite de cette
hyperbole, et soit t le double de I'aire du secteut" hyperboliquem-, par rapport au carré constrr-rit sur C0, le signe de t dépendant
du sens de la génération de I'arc OM.Les coordonnéês du point M, c'est-à-dire les nombres
X-CS et Y:SMsont appelés respectivement cos'i,nus hyperbolique et s'inocs
hyperboli,que du nombre t. :
On les représente par'des symboles Aht et Shl.
Les rapports H, H' # et # s'appellent respectivement
tangente, cotangenle, sécante et cosécante hyperboli.ques de.d;on les représente par les symboles Tht, Ctht, Schf, Cschf. '
Les six nombres ainsi détinis deviennent les fonctions hyper-ltoliques de t, si I'on fait varier t.
42r,. La formule fondamentale est
On en déduit
chat _ shzl : l.schzl f That : l,
cthzt _ cschzt:1.
422. Variations.passant par 0, Shl varie de oo à f oo en passant par 0; Ch,varie de lr oo à f oo en passant par + t qui est son minimum;Th, varie de t à + I en passant par 0.
La variable t s'appelle I'a,tgttnzent des fonctions hyperboliquesque nous venons de définir. On I'appelle aussi le pararnètre hyper-bolique du point M.
l
423, Relations entre les fonctions hyperboliques et les fonctions
circulaires.Shl : tgO
s'appelle l'amgtlitude hyperbolique de t ; on émit
429. Remarque f. De I'homothétie des triangles CSM et CONon déduit OI\T : Thl.
Le théorème de Lets^a,Nt permet de diviser géométriquement le,/ secteur hyperbolique OCM en deux parties équivalentes (flg.
.6a):
Soit B le milieu de l'arc circulaire OA. Joignons CB ; soit R larencontre ayec 0T. On aura
oR0t tsà ,h;430, La droitc CB prolongée divise le secteur hyperbolique OCM
en deux parties OCL et LCM. Or le point L a pour paramètre + t.Donc, aire OCt : aire LCM : tt.De plus, cette droite CB passe par le milieu K de la corde OM:soit en effet, Rt le point où cK coupe I'atre or ;
GOLIRT (E.), prolessenr de mâthémâliques supérieures à t'Athénée royaide Huy. - Tnalté d'algèbno él6mentalne, à l'usage de l'enseignementmoyen. (Ou.arage couronné pur l'Acadamie ntyale ile Bel'gique')
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ItUtOtT (E.), capitaine-commandant du génie de réserve, el-professeurde m:rthenrttiques sLtlrérietrres à I'Institut, IlIichot-1\Iongenast. - Arlth.môtiquo gônénato. Grundcurs et No,nbres (ubsol,us, qualifiës, cotnpleaes,tet'ni,ons et quaterlliorB).
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