EME311_CAPITULO6

7/26/2019 EME311_CAPITULO6

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EME 311Mecânica dos Sólidos

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Profa. PatriciaEmail: [email protected]

IEM – Instituto de Engenharia Mecânica UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá

6 – FORÇAS DISTRIBUÍDAS

6.1 – Forças em Superfícies Submersas; 6.1.1 – Embarcações; 6.1.2 – Pressão de fluidos;

–

Capítulo 6 - Forças Distribuídas 2

. . 6.1.4 – Placas ou barragens curvas;

6.2 – Forças em Linhas; 6.2.1 – Vigas isostáticas rotuladas.

6.1 – Forças em Superfícies Submersas

São resultantes das pressões hidrostáticasexercidas por um líquido sobre um corposubmerso, através das diversas áreaselementares consideradas.


São portanto proporcionais à profundidade delocalização e dirigidas segundo as normais(perpendiculares) de cada elemento de área em

questão.

6.1.1 – Embarcações

Definição:

Corpos estáticos, parcialmente submersos

(flutuantes), que atingem uma dada posição deequilíbrio estável.


dV z

x

p dA




O corpo submerso apresenta um número infinitode elementos de volume:

dA – área elementar de contato com o líquido,

dV zdA=


z – profundidade de dA, tomada na vertical.

dV z

x

p dA


Para um líquido homogêneo, o peso específicoé constante. Logo, a força total na embarcação

será:( )F dF dV dV V γ γ γ = = − = − = −∫ ∫ ∫


o sinal negativo indica que o sentido da força évoltado para cima;

V é o volume do fluído deslocado pelo corpo; Esta força é conhecida como força de empuxo.


As coordenadas de um ponto da linha de ação daforça de empuxo podem ser determinadas por:

O centro de em uxo ou flutua ão or:

c

V V

x xdV dV =

∫ ∫ c

V V

y ydV dV =

∫ ∫


Estas coordenadas coincidem com o centróide de volume

deslocado.

c

V V

z zdV dV = ∫ ∫


Estabilidade do corpo flutuante:

A posição estável é atingida quando a linha deação do peso P do corpo coincide com a linha deação da força de empuxo F ;


P

F

G

C




Estabilidade do corpo flutuante:

Caso contrário, existirá um momento que girará ocorpo, tendendo a colocá-lo na posição estável.

P


P

F

G

C

M

F

M C

G

Exemplo 1

Apresentado em aula no quadro!


6.1.2 – Pressão de fluidos

Pela lei de Pascal, um fluído em repouso criaem um ponto uma pressão p que é a mesmaem todas as direções.

A pressão de um fluído pode ser determinada


por:

– peso específico do corpo;

Z – profundidade do ponto até a superfície do fluído;

p zγ =

γ

Ponto B

6.1.2 – Pressão de fluidos

A pressão varia linearmente com a profundi-dade

1 1 p zγ =


Ponto C e D

2 2 p zγ =



6.1.3 – Placas ou barragens planas

Definição:

As barragens são estruturas estáticas e rígidas demateriais diversos, usados para represar as águas

de um curso ual uer.


Normalmente possuem comportas de escape dofluído, para o devido controle do nível adequado.


A distribuiçãode pressãosobre asuperfície da


do diagrama decarga quedepende do tipoda barragem.

C – centroide do volume


A força resultante: igual ao volume desse diagrama de carregamento; linha de ação passa pelo centróide do volume (centro

de pressão ).



Para barragens ou comportas retangulares(onde a largura L é constante), a forçaresultante pode ser calculada como:

F A L= =


A DP – área do diagrama de pressão; L – largura.




A área do diagrama de pressão será:

R DPF A L=


γh

h 21 1

2 2 R

F hh L h Lγ γ

= =

F R


Barragens inclinadas e retangulares:

R DPF A L=


γh

h

θ

2 sen 2 sen R

hh h LF L

γ γ

θ θ = =


Comporta abcd :

1 2

R DP oF A L

h hγ γ

=

+

Largura da comporta


γh2

h2 γh1

h1

h0 ( )1 2

2

2

R o o

o oh L

h hγ

= =

= +

F Ra

b

a

b


Se a barragem for plana, mas não retangular( L não constante), as equações definidasanteriormente não são mais válidas.


CG mF p A

F zAγ

=

=



Força resultante do fluído na

parede da barragem:


Para a barragem plana com L constante:

CG mF p A=


ress o no cen ro e grav a eda área molhada da barragem

Área molhada

2

CG

h p γ =

m A Lh=γh

h F R


Na barragem inclinada:

R CG mF P Ah h

F L

=

=


γh

h

θ

2

2

2 R

sen

h L

F sen

θ

γ

θ =


Ponto de aplicação da força F na barragem:

B

o Como F foi obtida pelaintegração dos elementos


h

C

F

d dy

molhada, os momentosproduzidos num pontoqualquer da barragem

deverão ser os mesmos.



B

o

- devido a força F:

- devido ao elemento dF

o M Fd =

h h

o M ydF y yLdyγ = =


h

C

F

d dy

- igualando

32

3 3

Lh F h

γ = =

2 23 3

DPF Fd h d h y= ⇒ = =





Bo Logo, o ponto de aplicação

da for a resultante coincide


h

C

F

d dy

com o centróide do

diagrama de pressões ,estando localizado sempre

abaixo da área molhada.


Na barragem inclinada:

2 hd y= =

Na direção O’C’

O’


γh

h

θ

sen

Na vertical

C’ 23

DPd y h= =


Comporta abcd :

1 1 2 2

11 2

DP

A y A yd y h

A A

+= = +

+


γh2

h2 γh1

h1

h0

A1 – área do triângulo;

A2 – área do retângulo. F Ra

b


A força resultante F atua sempre na direçãoperpendicular à superfície plana da barragem e,como provado, concentrada no centróide do

diagrama de pressões, ou seja, “passando pelocentróide”.


O conceito mostrado estende-se para o casode barragens inclinadas, mas não para ascurvas que serão mostradas na próxima seção.



Exemplo 2



6.1.4 – Placas ou barragens curvas

Pressão atuantenormal à curva

muda continua-mente de direção.

A intensidade da


força resultante esua direção sãomais difíceis de

calcular do quepara uma placaplana.

Exemplo 3




Contudo, existe um método que requer cálculosseparados para os componentes horizontal e

vertical da força resultante.





Para os casos a seguir, vamos determinar aintensidade e a localização da força resultante

por meio deste método.


(1) (2)


Para os casos a seguir, vamos determinar aintensidade e a localização da força resultante

por meio deste método.


(3) (4)

Exemplo 4



6.2 – Forças em Linhas

São forças distribuídas provindas de certasconsiderações da prática, desde que se possadesprezar a seção transversal do corpo em faceà relevante dimensão de seu comprimento.

Vigas esbeltas, cabos de transmissão de


, ,chaminé alta e delgada, peso nos membros deuma treliça devido suas massas etc.

Unidade: (força/comprimento) Distribuição total fornecerá a resultante do

sistema em unidade de força.




Seja calcular a resultante que atua no sistema

0

( )

( ) L

dF w x dx

F w x dx dA A

=

= = =∫ ∫


l

Intensidade da forçaresultante é igual área

total sob o diagrama decarga.


O ponto de aplicação da resultante

( )( )

( ) R

wO

F

O R

M xdF x wdx xdA

M F x

= = =

=

∫ ∫ ∫


Igualando

R

R

xdA F x

xdA xdA x

F A

=

= =

∫

∫ ∫

Exemplo 5

Determine a intensidade e a localização da força resultante

equivalente que atua no eixo mostrado.


Exemplo 6

O material granuloso provoca o carregamento distribuído

sobre a viga, como mostrado na figura. Determine a

intensidade e a resultante equivalente.




Exemplo 7



6.2.1 – Vigas isostáticas rotuladas

Também chamadas de vigas Gerber: possuem folgas nas rótulas (ex.: juntas de dilatação

em vigas de concreto ou trilhos de aço etc.); na rótula, o momento fletor é NULO, devido à

flexibilidade de giro que cada trecho adjacente à rótula


possui

Número total de equações : três equações da estática +número de rótulas.

6.2.1 – Vigas isostáticas rotuladas

“Mas se a terceira equação da estáticaconceitua ser zero o momento fletor em

qualquer ponto tomado, este conceito nãoabrangeria inclusive a rótula existente no

”


A equação da estática ( ) – viga toda;

A equação na rótula ( ) – apenas um lado darótula.

0i

M =∑

0 R M =∑

Exemplo 8





Exemplo 9


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Capítulo 6 - Forças Distribuídas 47 Capítulo 6 - Forças Distribuídas 48

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