Emboitement des surfaces de Fermi ky kx (a) ky kx (b) kx (c) ! p+Q = ! ! p clef: emboitement autour de E F Cas 2D • dépend de la topologie de la surface de Fermi • souvent plusieurs bandes au niveau de Fermi: emboîtement entre bandes différentes vecteurs d’onde d’instabilité?
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Emboitement des surfaces de Fermi
44 LECTURE 4. ITINERANT ELECTRONS
ky
kx
(a) ky
kx
(b)
kx
(c)
Figure 4.2: Possible scenarios for nesting in 2D. (a) Typical,
circular Fermi surface, for which a given wavevector only cou-
ples isolated points on the Fermi surface. (b) Half filling, so
(±π,±π)/alattice wavevector generically leads to nesting. (c)
Fermi surface in which a region is nested, so that the same spin-
density-wave wavevector couples many points on the Fermi surface
4.3 Reduction of interaction for strongcorrelations
The other main objection to mean field theory ferromagnetism is that,
as discussed in lecture 1, interactions that are strong enough to favour
ferromagnetism should also be strong enough to distort the wavefunction.
What we have done in our mean field theory is like first order perturbation
theory, we must therefore now consider the next order effect, which means
mixing of wavefunctions.
We will proceed in two steps, first considering the changes of wave-
function for two electrons, and then using the method found in this simple
problem to discuss the many electron case.
Two-particle scattering matrix
We consider the same Hamiltonian as always, but choose yet another way
to rewrite the interaction term for convenience:
Hint =U
V
�
q
nq↑n−q↓, nqσ =
�
k
a†k+qσakσ.
We are interested in the possible energetic gain of a ferromagnetic state,
and although for two particles the ground state is a singlet, to understand
ferromagnetic type wavefunctions we should instead consider triplet wave-
!p+Q = !!pclef: emboitement autour de EF
Cas 2D
• dépend de la topologie de la surface de Fermi • souvent plusieurs bandes au niveau de Fermi: emboîtement entre bandes différentes
vecteurs d’onde d’instabilité?
onde de densité de spin
n!j =n2+"(! )m0 cos(Q
!". j")
terme de Hubbard champ moyen HCMU =U n!j n j
!! !U nj! nj
!!
j"
j,!"
!Un 2
4!m0
2 (1+ cos(2Q!". j"))
2j" = !UN
n 2
4!m02
2
#
$%%
&
'((= E0
=U nj! n2+"(!! )m0 cos(Q
!". j")
"
#$
%
&'
j,!( !U
n 2
4!m2
0 cos2(Q!". j")
"
#$$
%
&''j
(
champ moyen: potentiel périodique du à l’autre population de spins
les électrons « up » sont sous l’effet d’un potentiel périodique dus aux électrons « down »
V
j
HUCM =U nj
! n2!"(! )m0 cos(Q
!". j")
"
#$
%
&'
j,!( +E0
description de la phase onde densité de spin à Q
onde de densité de spin sinusoidale
VQ ( j)
! =! /"!(!) = +1!(!) = "1
nouvelle ZB
onde de densité de spin
nouvelle périodicité: nouvelle zone de Brillouin
repliement de bandes sur la nouvelle ZB
HCM = !kck+ck
k! + nj
"VQ ( j)j,"! +E0
interaction entre les bandes: croisement évité
gain en énergie si demi-remplissage (EF=0)
Cas 1D AF: périodicité 2a
nouvelle zone de Brillouin: k ! "!2a, !2a
#
$%&
'(
!k = !2t cos(ka)
repliement
dispersion de départ
k ±Q! k
!Um0
N!(" )cos(Q
!". j")ck1
+ck2ei j".(k"1!k"2 )
k1k2 , j,!" +E0
onde de densité de spin
HUCM =U
n21N
ck1+ck2e
i j!.(k!1!k!2 )
k1k2
"j,!"
nj = cj+cj =
1N
ck1+ck2e
i j!.(k!1!k!2 )
k1k2
"
calculs des nouvelles bandes dans l’espace k
=Un2
ck+ck
k,!!
électrons dans un potentiel périodique HUCM =U nj
! n2!"(! )m0 cos(Q
!". j")
"
#$
%
&'
j,!( +E0
= !Um0
2N!(" )ck1
+ck2 (ei j!.(k!1!k!2!Q"!)
k1k2 j,!" + ei j
!.(k!1!k!2+Q"!) )
= !Um0
2!(" ) ck
+ck!Q + ck+ck+Q"# $%
k,"&
HUCM =
U n2
ck+ck
k,!! "
Um0
2"(! ) ck+Q
+ ck + ck+ck+Q#$ %&
k,!! +E0
couplage entre états k et k+Q
onde de densité de spin
dk = ck+Q
HUCM =
U n2
ck+ck
k,!
NZB
! + dk+dk "Um0 "(! ) dk
+ck + ck+dk#$ %&
k,!
NZB
! +E0
nouvelle zone de Brillouin (NZB): 2 fois plus petite dans le cas AF (commensurable)
H = !kck+ck +!k+Qdk
+dkk,"
NZB
! +HUCM +E0 = Hk" +E0
k,"
NZB
!
Hk! = Ekck+ck +Ek+Qdk
+dk !Um0"(! ) dk+ck + ck
+dk"# $%
Hamiltonien total
opérateur « bande-repliée »
Ek = !k +U n2
Ek+Q = !k+Q +U n2
2 bandes d’électrons libres et un terme de couplage