Page 1
1
A rezgések és tulajdonságaik 3. (III.11)
Tartalom
Szinuszos rezgések, Rezgések szuperpozíciója, lebegés.Kényszerrezgés, csillapított rezgés.Lánc, húrok, rudak, lemezek, hártyák rezgései.Rezgő légoszlopok rezgései.
ELTE IV. Környezettudomány2010/2011 II.félév
AKUSZTIKA és ZAJSZENNYEZÉS
Page 2
2
Hullám: A hullám egy zavarási állapot továbbterjedése. Alapvetően akusztikai (hang) és elektromágneses hullámokat különböztetünk meg. A harmonikus rezgés által létrehozott zavarás továbbterjedése
esetén harmonikus hullám alakul ki.
Rezgés: Általánosságban rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai jelenséget, amelynél a rendszert leíró jellemzők egy egyensúlyi érték körüli ingadozást mutatnak. Rezgés olyan rendszerben alakul ki, amelynek van tehetetlensége, és az egyensúlyi állapotából történő kitérítésre mindig az eredeti állapotának visszaállítására törekszik. Általában mechanikai rezgéseket tekintünk. Ha a visszatérítő erő arányos a rezgést végző tömeg kitérésével harmonikus rezgés alakul ki. A harmonikus rezgés jellemzőit szinusz függvény írja le.Szilárdtestbeni rezgés a testhang.
Page 3
3
RezgésekRezgések
• Csillapítatlan
• Csillapított
• Periodikus
• Aperiodikus
• Kváziperiodikus
Page 4
4
D
m
x
xm
D
td
xd
2
2
xxm
D
td
xd 22
2
x(t) = A sin(ωt+ϕ)
mD
RezgésekRezgésektömegpont
Harmonikus rezgések
Kitéréssel arányosarányos visszatérítés.
Page 5
5
x(t) = A sin(ωt+ϕ)
v(t) = A ω cos(ωt+)
a(t) = -A ω2 sin(ωt+ϕ)
x(t) = A/2 (e i( t +ϕ) - e -i( t +ϕ))
ω= 2 fa = - ω2 x
Page 6
6
RezgésekRezgések
elmozdulás (x,t)
gyorsulás a =2 /t2
tömeg mx = V= = A x
Newton egyenlet
F = m a= ( A x) 2 /t2
F / (A x) = 2 /t2
Hooke törvény
= E = E ( / x) = ’- / x = /E
Eredő erő F = (’-) A F = A F /(A x) = / x
Hullámegyenlet: ( 2 / t2 )= E ( 2 / x2 )
E -rugalmassági modulus
-sűrűség
L
E, x (x)
rugalmas
kontinuum
Page 7
7
Mozgás egyenlet:
( 2 / t2) = E ( 2 / x2)A hullámegyenlet megoldása:
= o e i( t -q x) ; q = 2/
( /q )2 = E /def.: v = ( / q) = /q
v = E/
L ’
’
A x x+x
(x) ’(x+x)
x
rugalmaskontinuum
= o e i( (t - x/v)) ;
vf = /q fázissebesség,vcs = ( / q) csoportsebesség.
Page 8
8v = a ( k/m)
k k k k k a
m m m m m m
uj-3 uj-2 uj-1 uj uj+1 uj+2
Lineáris atomlánc
ahol a kontinuum modell szerinti jelöléssel :k = E/a - rugalmassági modulus; = m/a – a tömegsűrűséghiszen x = j a ; és E u / x = E u / a = k u
( k/m) qa
/rácsállandó: a/
m uj = k (uj+1 -uj) - (u j –uj -1 )
2u / t2 = (k/m) 2 u / x2
v = ( E/)
Page 9
9v = a ( k/m)
Határfeltétel : uj = uj+N (L- a méret ) /L= Na/
ei q Na = 1 qNa = 2 n (n= 0, +1 ,+2, + 3 ,... ,+ N/2 -1)
A megoldás keresése:u j = C e i( t -q a j)
m2 = k (2 - (ei qa + e
-i qa) )
m2 = 2k (1- cos qa )
m2 = 4k sin 2 (qa /2)
= 2 ( k/m) sin( qa /2)
( k/m) qa
! qa 1 ; a , ekkor sin x x miatt:
1D-lánc v /2a q
Diszperziós reláció
Page 10
10
Rezgések Rezgések
t (idő)
x (hely)atom
atomlánc
Fonon Atomok kollektív, korrelált mozása.
Adott frekvencián!Zavarterjedés.
Page 11
11
Csillapodó rezgések
td
dxx
td
xdo 22
2
2 Fékezés, Sebességgel arányossúrlódás (Fs = 2βv ).
β – csillapítási tényező
T – 2 /ω csillapított periódus idő
Page 12
12T0 – 2 /ωo eredeti periódus idő
Page 13
13
Kényszerrezgések
Két (nem egyenlő) rezgő rendszer kölcsönhatása
•Kényszer rendszer, gerjesztő rendszer (Ω)•Gerjesztett rendszer (ω, β, ωo) /nincs visszahatása/.
A→∞ ; Ω = ωo rezonancia
ω = Ω ; t→∞
Page 14
14
KényszerrezgésekRezonancia
Teljesítmény
Amplitudó
Page 15
15
t
f1, f2
f1 + f2
f = f1 + f2 szuperpozíció
I = f 2 = f1
2 + f22 + 2 f1 f2
I1 I2
1.intenzitás 2.intenzitás INTERFERENCIA
Rezgések összetevéseRezgések összetevése Egyirányú szuperpozíció
Ha f1 és f2 időbe elválik:
Ha f1 és f2 átlapol:(konstruktívan, erősítés)
f1, f2
f1 + f2
Ha f1 és f2 átlapol:(destruktívan, kioltás)
ω1 = ω2
Volt: 1 dB + 1 dB = 4 dB,Most: 1 + 1 = 4 ; v. 1 + 1 =0
Page 16
16
Ie = I1 + I2+ 2I1 I2 cos(1-2 )
(Ii = Ai2/2)
az interferencia tag
cos22
1)( 21
22
21
221 AAAAff
)(cos 111 tAf )(cos 222 tAf
)(cos)(cos2)(cos)(cos)( 2121222
2122
12
21 ttAAtAtAff
2
)22(cos1)(cos 1
12
t
t
)(cos)2(cos2
1)(cos)(cos 212121 ttt
)(cos)2(cos
)22(cos12
)22(cos12
)(
212121
2
22
1
212
21
tAA
tA
tA
ff
)(cos22
)( 2121
22
212
21 AAAA
ff
Időbeli átlagoláskor:(1/T) ∫cos(2 t)dt = 0
InterferenciaInterferencia
Geometriai összegzés
Page 17
17
22121
22
21 2
12
2
1AAAAAAI
22121
22
21 2
12
2
1AAAAAAI
0cos
1 = 2 + (2k+1) ( = (2k+1) ) – ellentétes fázis
= teszőleges – véletlen fázis . (A fázisok időátlaga és annak cosinusa =
0)
Ie = I1 + I2
22
212
1AAI
(Az intenzitások ilyenkor szuperponálódnak!)
1 = 2 + 2k ( = 2k ) – azonos fázis
Ie = I1 + I2 + 2I1 I2
Ie = I1 + I2 - 2I1 I2
InterferenciaInterferencia
Itt: 1 + 1 = 4
Itt: 1 + 1 = 0
Itt: 1 + 1 = 2
Page 18
18
Egyirányú szuperpozíció
ω1 - ω2 = ω ; ω/ ω << 1
Eltérő frekvencia (kissé) ω1 ≈ ω2
Rezgések Rezgések Lebegés
Itt: 1 + 1 = 0 → 4
Időben fluktuál!
Page 19
19
Rezgések Rezgések Egyirányú szuperpozíció
Eltérő frekvencia, deracionális frekvencia arány: n ω1 = m ω2
Harmonikus marad !
Eltérő frekvencia,irracionális frekvencia arány:
Nem harmonikus
Page 20
20
Rezgések Rezgések Egymásra merőleges szuperpozíció
Harmonikus
Nyitott görbékNem harmonikusak
n ωx = m ωy
Page 21
21
egyirányúszuperpozíció
Rezgések Rezgések
Page 22
22
Rezgések Rezgések
Page 23
23
v = E/ = -1 ( E/) 1 /2 = l
Állóhullámok
korábban
Page 25
k =1,875100
k =4,694091
k =7,854762
k =10,99553
k =14,13714
l
0 , 7 7 4 l
0 , 5 0 1 l
0 , 8 6 8 l
0 , 3 5 6 l
0 , 64 4 l
0 , 9 0 6 l
0 , 2 7 9 l 0 , 7 2 3 l
0 , 5 0 0 l 0 , 9 2 6 l
.)()cos()cos()(
)sin()()sin()( x
l
kchx
l
k
kkch
kkshx
l
kx
l
kshxZ ii
ii
iiiii
Lemez torziós rezgése
minta
Pálcák rezgése Nemharmonikus
...3,2,1,0
,21
2
2
i
q
I E
l
kii
abqabIab ;12
1 3
25
Page 26
26
Membránok, lemezek rezgése Csomó vonalakÁlló hullámok
Chladni féle ábrák
Gong: Koncentrikus csomó vonalak
felhangok: o , 2.07 o, 3.90 o, 5.98 o
2
1
2
2
2
2
, 2
b
m
a
ncmn
Téglalap: