Page 1
บทท 1 เซต (Sets)
1. เซต (Sets) เปนคำ�ในท�งคณตศ�สตรทไมนย�มคว�มหม�ย คำ�อนย�ม “ ” แตใชเซตบงบอกถงกลมของสงต�งๆ เชน หม เหล� ฝง ชด
สำ�รบ คณะ ซงคำ�เหล�นแสดงถงก�รรวบรวมสงของหรออะไรกไดทรวมกนเปนกลมๆ และเมอกล�วถงกลมใดแลวส�ม�รถทร�บไดแนนอนว�สงใดอยในกลม และไมอยในกลม เร�จะเรยกสงทอยในเซตว� สมาชกของเซต
เชน เซตของจำ�นวนเตมบวกคทไมเกน 10 หม�ยถง กลมของตวเลข 1, 3, 5, 7 และ 9ซงสม�ชกของเซตน คอ 1, 3, 5, 7 และ 9
เซตของสของธงช�ต หม�ยถง .................................................................................................ซงสม�ชกของเซตนคอ ..................................................................................................................................
เซตของคนสวยในหอง ม.4/3 ..................................................................................................……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..ตวอยางท 1 พจ�รณ�เซตตอไปนว�ขอใดเปนเซต
1) อ�จ�รยกลมส�ระคณตศ�สตร 2) นกเรยนชน ม.4/4 ทหน�ต�ด
3) นกเรยนหญงชน ม.4/5 4) ภ�พเขยนทสวยง�ม
Page 2
2. การเขยนเซต
เร�ส�ม�รถเขยนเซตได 2 แบบ คอ
- ถ�สม�ชกของเซตมนอยใหเขยนใหครบทกตว เชน A = ………………………………………………. , B
= …………………………………………………- ถ�สม�ชกของเซตมม�ก และทร�บตวสดท�ย เชน C = ………………………………………………. , D
= …………………………………………………- ถ�สม�ชกของเซตมม�กไมสนสด เชน E = ………………………………………………. , F
= …………………………………………………
ตวอยางท 2 จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสม�ชก
- เซตของจำ�นวนเตมบวกทนอยกว� 6 เขยนแทนดวย .................................................................
- เซตของตวอกษรในภ�ษ�องกฤษ เขยนแทนดวย .................................................................
- เซตของจำ�นวนนบทม�กกว� 20 เขยนแทนดวย .................................................................
หมายเหตในก�รเขยนเซตแบบแจกแจงสม�ชกนนจะใชจดส�มจด ( . . . )
เพอแสดงว�มสม�ชกอนๆ ซงเปนทเข�ใจกนทวไปว�มอะไรบ�งทอยในเซตนน
1) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก (Roster method or tabular form)
เปนก�รเขยนเซตโดยก�รเขยนสม�ชกทกตวลงในเครองหม�ยวงเลบปกก� { } และใชเครองหม�ยจลภ�ค ( , ) คนระหว�งสม�ชก
Page 3
ตวอยางท 3 A = {x | x เปนชอวนในหนงสปด�ห}อ�นว�
…………………………………………………………………………………………………………………
B = {x | x เปนจำ�นวนเตมลบทม�กกว� -5}อ�นว�
…………………………………………………………………………………………………………………ตวอยางท 4 จงเขยนเซตตอไปนใหอยในรปแบบบอกเงอนไข
1) A = {ก, ข, ฃ, ...., ฮ} เขยนแบบบอกเงอนไขไดA =
……………………………………………………………………………………………………………………..
2) B = {1, 3, 5, 7, 9} เขยนแบบบอกเงอนไขไดB =
……………………………………………………………………………………………………………………..
B = ……………………………………………………………………………………………………………………..
B = ……………………………………………………………………………………………………………………..
2) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไข (Builder form)เขยนตวแปรแทนสม�ชกทกตวในเซต แลวบอกสมบตของสม�ชก
ทอยในรปของตวแปร โดยเครองหม�ย “ | ” แทนคำาวา โดยท “ ”
Page 4
3) C = { } เขยนแบบบอกเงอนไขไดC =
……………………………………………………………………………………………………………………...
ตวอยางท 5 ใหนกเรยนเตมคำ�ตอบในชองว�งใหสมบรณและถกตองเซต แบบแจกแจง
สมาชกแบบบอกเงอนไข
1. เซตของเดอนทม 28 วน
{กมภ�พนธ} {x | x เปนเดอนทม 28 วน}
2. เซตของจำ�นวนเตมบวกทอยระหว�ง 1 กบ 503. เซตของจำ�นวนเตมลบ
4. {a, b, c, …, z}
5. {2, 3, 5, 7, 11, 13}
6. {5, 4, 3, 2, …}
7. {x | x เปนเดอนทมชอขนตนดวย ธ“ ”}
8. {x | x เปนพยญชนะในคำ�ว� ครบ“ ”}
9.
Page 5
10. {x | x เปนเซตของจำ�นวนนบทห�รดวย 7 ลงตว}
ขอสงเกต1. เซต {1, 2, 1, 3, 1, 2, 3} เปนเซตทไมต�งจ�กเซต {1, 2,
3} เร�จะเขยนเซตทมสม�ชกในเซตเดยวกนซำ�กนแคครงเดยว เชน {1, 2, 1, 3, 1, 2, 3} เขยนแทนดวย {1, 2, 3}
2. ก�รสลบทระหว�งสม�ชกในเซตเดยวกน ไมทำ�ใหเซตเปลยนแปลง เชน{3, 4, 5} เปนเซตเดยวกบ {5, 3, 4} หรอ {4, 3, 5}
3. ก�รนำ�เซตม�เขยนเซตแบบบอกเงอนไข อ�จเขยนไดม�กกว� 1 เซต เชน{7, 8, 9} เขยนเปนเซตแบบบอกเงอนไขไดเปน {x | x เปนจำ�นวนนบทอยระหว�ง 6 กบ 10} หรอ{x | x เปนจำ�นวนเตมบวกตงแต 7 ถง 9
Page 6
Worksheet1 ความหมายของเซตและการเขยนเซต
ชอ น�มสกล– ........................................................................................
ชน ม.4/.............. เลขท ...............คำาชแจง ใหนกเรยนเตมคำ�ตอบลงในชองว�งแตละขอตอไปนใหถกตองสมบรณ
ตอนท 1 จงพจ�รณ�เซตตอไปน โดยทำ�เครองหม�ย หน�ขอทใชเซตไดถกตอง
และทำ�เครองหม�ย หน�ขอทใชเซตไมถกตอง
_____1. เซตของจำ�นวนเฉพ�ะ _____2. เซตของคนด _____3. เซตของน�งส�วไทยป พ.ศ.2555-2560 _____4. เซตของเพลงทไพเร�ะ _____5. เซตของสบทมกลนหอม _____6. เซตของนกฟตบอลทเกง _____7. เซตของจงหวดทขนตนดวย สมทร “ ” _____8. เซตของจำ�นวนเตมบวก _____9. เซตของนกเรยน ม.4 _____10. เซตของนกรองเก�หลทหลอ โรงเรยนส�ธตร�ชภฏสวนสนนท�
ตอนท 2 จงตอบคำ�ถ�มตอไปน
ขอท
คำาถาม คำาตอบ
1. จงเขยนเซตต อไปน แบบแจกแจงสมาชก …………………………………
……..
Page 7
1.1 เซตของจำ�นวนเตมลบทห�รดวย 5 ลงตว1.2 เซตของจงหวดในประเทศไทยทขนตนดวยพยญชนะ ม“ ”1.3 เซตของจำ�นวนเตมบวกคท น อยกว� 201.4 เซตของจำ�นวนเตมทม�กกว� 2 แตนอยกว� 101.5 เซตของพยญชนะในคำ�ว� MATHEMATICS1.6 เซตของจำ�นวนเตมลบทม�กกว� -1001.7 เซตของจำ�นวนเตมทสอดคลองกบสมก�ร x + 2= 51.8 เซตของจำ�นวนเตมทสอดคลองกบสมก�ร x2−4=01.9 เซตของจำ�นวนทสอดคลองกบสมก�ร
1.10 เซตของจำ�นวนเตมทสอดคลองกบสมก�ร x<¿21.11 { 4 และ x เปนจำ�นวนเตม}
1.12 { เปนจำ�นวนนบ และ }1.13 { เปนจำ�นวนเตม และห�รดวย 3 ลงตว}
…………………………………………………………………………..……….....................................................................................................................................................................................................…………………………………………..……………………………………………………………………….....…………………………………………………………………….....................................................................................................................……………………………………………..……………………………………………………………………….....………………………………………………………………….............................................................................................................……………………………………………………………………….
Page 8
ขอท
คำาถาม คำาตอบ
1. 1.14 { เปนเลขโดดของจำ�นวน 13,513,0071.15 { }1.16 { , n เปนจำ�นวนนบ}1.17 { เปนจำ�นวนเตมทอยระหว�ง 0 กบ 1}1.18 { เปนจำ�นวนเตมตงแต 1 กบ 7}1.19 { เปนจำ�นวนเตมลบทอยระหว�ง -5 กบ 1}1.20 { เปนจำ�นวนเตมลบและ }
.........……………………………………………………..…………………………………………………………………….....……………………………………………………………............................................................................................................…………………………………………………..........................……………………………………………………….....…………………………………………………………………..…………………
2. จงเขยนเซตตอไปนแบบบอกเงอนไขของสมาชก2.1 A = {2, 4, 6, 8, 10}2.2 B = {1, 3, 5, ... , 99}2.3 C = {1, 2, 3, ... }2.4 D = {1, 4, 9, 16, ... }2.5 E = {1, 3, 5, 7, ... }2.6 F = {ตะวนออก, ตะวนตก,
…………………………………………………………..……………………………………………………………….....................................................................................................................................................
Page 9
เหนอ, ใต}2.7 G = {100, 101, 102, 103}2.8 H = {กมภ�พนธ}2.9 I = {10, 20, 30, ... }
2.10 J = { }2.11 K = {…, -6, -4, -2}2.12 L = {a, e, i, o, u}2.13 M = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }2.14 N ={-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}2.15 O ={อ�ทตย, จนทร, องค�ร, ..., เส�ร}
.........................................
............……………………………………………..……………………………………………………………………….....………………………………………………………………..........................................................................................................................................................................................................………………………………………….....………………………………………………………………….....……………………………………………………………………..........................................................................................................................................................................................................…………………………………….....……………………
Page 10
3. สญลกษณของเซต
ขอตกลงเกยวกบสญลกษณของเซต
1) ในก�รเขยนเซตโดยทวไป จะใชอกษรภ�ษ�องกฤษตวพมพใหญแทนเซต
เชน ............................ และใชอกษรภ�ษ�องกฤษตวพมพเลกแทนสม�ชกของเซต เชน ……………………………
2) ใชวงเลบปกก� { } แทนเซต เชน A = ……………………………………………..
3) ใชสญลกษณ “ แทนคำ�ว�” “เปนสมาชก หรอ อยใน ” “ ”และจะใชสญลกษณ “ แทนคำ�ว� ” “ไมเปนสมาชกของ หรอ ไมอย” “ใน”เชน จะไดว� ........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................
........................................................................................................................ตวอยางท 6 กำ�หนดให
.....................................................................................................
Page 11
.....................................................................................................
.....................................................................................................
.....................................................................................................*** สญลกษณแทนเซตทควรทร�บ
แทน ………………………………………………………………………………………………………………..………
แทน ……………………………………………………………………………………………………………..…………
แทน ……………………………………………………………………………………………………………..…………
แทน ……………………………………………………………………………………………………………..…………
แทน ……………………………………………………………………………………………………………..…………
Page 12
แทน ……………………………………………………………………………………………………………..…………
แทน ……………………………………………………………………………………………………………..…………
ตวอยางท 7 จงเตม หรอ ลงในชองว�ง
1) 2)
3)
4)
5) 6) เปนสระในคำ�ว� “apple”
7) เซตของจำ�นวนจรงทอยระหว�ง กบ
8) เสอด�ว เสอ
4) จำ�นวนสม�ชกของเซต ใช แทนคำ�ว� จำานวนสมาชก“ของเซต ” ซงจะนบสม�ชกทแตกต�งกนถ�สม�ชกซำ�กนจะนบเปนตวเดยว
เชน …………………………………………………………………………………………………………………………
Page 13
ตวอยางท 8 ในแตละขอตอไปนมจำ�นวนสม�ชกกตวและมอะไรบ�ง1)
………………………….2) ………………..……….3) ………………………….
4) เปนเซตของพยญชนะในคำ�ว� mangosteen ……………………………………..
ตวอยางท 9 จงบอกจำ�นวนสม�ชกของเซตตอไปน 1)
........................................................................................
........................................2)
........................................................................................
....................................3)
........................................................................................
..................4) อยระหว�ง 10 และ
20}.......................................................................................
5) เปนจำ�นวนเตมบวกทนอยกว� 10}..............................................................................
Page 14
Worksheet2 สมาชกของเซต
ตอนท 1 จงเตม หรอ ลงในชองวาง
1.1) 0____ เซตของจำ�นวนเตมลบทนอยกว� 11.2) ก ____ เซตของพยญชนะในคำ�ว� มกร�คม“ ”1.3) ____ เซตของจำ�นวนจรงทอยระหว�ง 3 กบ 4
1.4) -2____เซตของจำ�นวนเตมบวกทสอดคลองกบสมก�ร
1.5) 0____ เซตของจำ�นวนเตมบวกทสอดคลองกบสมก�ร
1.6) 1____ เซตของจำ�นวนเฉพ�ะ
1.7) 0____ เซตของจำ�นวนนบ
1.8) -1 ____ เซตของจำ�นวนเตมลบทมค�นอยทสด
1.9) ____ 1.10) 1____ {3,2,1,0}
ตอนท 2 จงพจ�รณ�ว�ขอใดตอไปน ถกหรอผด โดยทำ�เครองหม�ย หน�ขอทถกและทำ�เครองหม�ย หน�ขอทผด
2.1) _____ 2.2)_____ เซตของจำ�นวนคทอยระหว�ง 20 และ 30 2.3) _____ ส�มเหลยมมมฉ�ก เซตของส�มเหลยม
2.4) _____ เซตของจำ�นวนจรงทอยระหว�ง 3 กบ 5 2.5) _____ นกกระจอกเทศ เซตของนก
2.6) _____
Page 15
2.7) _____ รถไฟฟ� {รถ} 2.8) _____ 15 เซตของจำ�นวนเฉพ�ะ
2.9) _____ โลก เซตของระบบสรยะ
2.10) _____ เซตของจำ�นวนจรงทอยระหว�ง 1 กบ 2
Page 16
ตอนท 3 จงบอกจำ�นวนสม�ชกของเซตตอไปน
คำาถาม คำาตอบ
3.1) 3.2) 3.3)
3.4) มค�นอยกว�
3.5) เปนจำ�นวนเฉพ�ะ
ค และมค�นอยกว�
3.6) เปนจำ�นวนเตมบวก
ทนอยกว�
3.7)
3.8)
3.9)
3.10)
……………………………………………………………….…………………………………………………………………………….…………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………….…………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………….………………………………………………………………….……………………………………………………………………….…………
Page 17
………………………………………………………………………….
Page 18
4. ชนดของเซต
โดยทวไปส�ม�รถแบงเซตออกเปน 2 ชนด คอ
1) เซตจำากด (Finite sets) หม�ยถง เซตทส�ม�รถระบจำ�นวนสม�ชกของเซตไดแนนอนว�มจำ�นวนเท�ใด ซงจำ�นวนสม�ชกจะเปนจำ�นวนนบ หรอจำ�นวนเตมศนย
เชน ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................
** เซตทไมมสม�ชก เรยกว� เซตวาง“ ” (Empty set หรอ Null set)เซตว�งเขยนแทนดวยสญลกษณ “{ }” หรอ “ ” ......................................................................................
2) เซตอนนต (Infinite sets) หม�ยถง เซตทไมใชเซตจำ�กด กล�วคอ เปนเซตทไมสามารถระบจำ�นวนสม�ชกทแนนอนได ว�มจำ�นวนเท�ใดเชน ....................................................................................................................................................................ตวอยางท 10 ใหนกเรยนพจ�รณ�เซตทกำ�หนดใหท�งซ�ยมอของต�ร�งว�เปนเซตชนดใด
เซต เซตวาง เซตจำากด
เซตอนนต
1)2)
………………
………………
………………
Page 19
3)4) เปนจำ�นวนจรงระหว�ง
5 กบ 85) เปนจำ�นวนเตมระหว�ง
5 กบ 86)7)8)9) 10)
…..…………………..…………………..……….………….…………………..…………….…….………………..………………..…….……………….…..…………..…….…
…..…………………..…………………..……….………….…………………..…………….…….………………..………………..…….…………………..…………..….…
…..…………………..…………………..……….………….…………………..…………….…….………………..………………..…….……………….…..………….…….…
ตวอยางท 11 จงพจ�รณ�และเตมคำ�ลงในชองว�ง
Page 20
เซต จำานวนสมาชกของเซต
ชนดของเซต
1)
2)
3)
4) เปนจำ�นวนเตมระหว�ง 5 กบ 7}
5) เปนจำ�นวนเตมระหว�ง 5 กบ 6}
6)
7)
8)
……………………………………………………………………
…………………………………
…………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
…………………………………
…………………………………
……………………………………………………………………
……………………………………………………………………
Page 22
Worksheet3 ชนดของเซต
ขอท
คำาถาม คำาตอบ
1. เซตตอไปนเปนเซตจำ�กดหรอเซตอนนต
1.11.21.31.4 เปนจำ�นวนค 1.5 เปนจำ�นวนเตมทม�กกว� 01.6 เปนจำ�นวนคทนอยกว� 1,000
1.7 โดยท เปนจำ�นวนนบ
1.8 โดยท เปนจำ�นวนนบทนอยกว� 999
1.9 เปนจำ�นวนเตมทห�รดวย 3 ลงตว
1.10 เปนจำ�นวนเตมทห�รดวย 3 ลงตวและมค�ไมเกน 200
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Page 23
…………………………………………………………………………………………………
2. เซตตอไปนเซตใดเปนเซตวาง2.1 สระในคำ�ว� “WOMAN”2.2 เซตของจำ�นวนเตมทสอดคลองกบสมก�ร
2.3 เซตของจำ�นวนเตมทสอดคลองกบสมก�ร
2.4 เซตของจำ�นวนเตมทสอดคลองกบสมก�ร
2.5 เซตของจำ�นวนเฉพ�ะทลบดวย ห�รดวย
ลงตว2.6 เซตของตวประกอบของ 2.7 เซตของพยญชนะในคำ�ว� “MISSISSIPI”
2.8 และ และ
2.9 2.10 เซตของจำ�นวนนบทนอยกว� -1
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. เซตทเทากนและเซตทเทยบเทากน
Page 24
เซตทเทากน (equal set)
เชน
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….ตวอยางท 12 เซตตอไปน เซตใดบ�งเปนเซตทเท�กน
1. ให คอเซตของอกษรไทย
แทนพยญชนะในคำ�ว� กรรมก�ร“ ”} ………………………………………………………………
แทนพยญชนะในคำ�ว� มรรค�“ ”} …………………………………………………………………..
แทนพยญชนะในคำ�ว� มกร�คม“ ”} ………………………………………………………………..
แทนพยญชนะในคำ�ว� ร�กไม“ ”} ………………………………………………………….……….
........................................................................................
........................................................................
เซต A เทากบ เซต B กตอเมอ ทงสองเซตมสมาชกเหมอนกนทกตว เขยนแทนดวย A = B แต ถ�มสม�ชกอย�งนอย 1 ตว ของเซต A ไมเปนสม�ชกของเซต B
Page 25
2. และ และ }
……………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Page 26
เซตทเทยบเทากน (equivalent set)
เชน…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ขอสงเกต 1. ถ� A และ B เปนเซตจำ�กด เรยกว� A เทยบเท�กบ B เมอ n(A) = n(B)
2. ถ� A และ B เปนเซตอนนต เรยกว� A เทยบเท�กบ B เมอส�ม�รถนำ�สม�ชกทกตว ของ A และ B ม�จบคกนแบบหนงตอหนงได
ตวอยางท 13 จงพจ�ณ�ว�เซตทกำ�หนดใหตอไปนเซตใดบ�งทเท�กนหรอเทยบเท�กน
1) ,
……………………………………………………………………………………………………………………………………………...
2) ,
……………………………………………………………………………………………………………………………………………... 3) , ,
เซตเทยบเทากน คอ เซต A เทยบเท�กบเซต B หม�ยถง กตอเมอ
Page 27
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) เปนจำ�นวนเตมคทนอยกว� 10} ,
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) ให เปนเซตของอกษรไทย
แทนพยญชนะในคำ�ว� ซอกซอน“ ”} แทนพยญชนะในคำ�ว� ซอนกน“ ”}
…….………………………………………………………………………………………………………..………………………………
6) , …….
……………………………………………………………………………..…………………………………………………………
Page 28
Worksheet4 เซตทเทากนและเซตเทยบเทากน1. พจ�รณ�เซตตอไปนเปนเซตเท�กนหรอไม
1) และห�รดวย ลงตว , ตอบ …………………………………………………………...................................................................................................................... 2) , ตอบ …………………………………………………………......................................................................................................................
3) และ และ
ตอบ …………………………………………………………...................................................................................................................... 4) และ , ตอบ …………………………………………………………...................................................................................................................... 5) โดยท
ตอบ ………………………………………………………
Page 29
…......................................................................................................................
6) ตอบ …………………………………………………………...................................................................................................................... 7) เปนตวประกอบของ
ตอบ …………………………………………………………...................................................................................................................... 8) ตอบ …………………………………………………………...................................................................................................................... 9) เปนเลขโดดทใชในระบบเลขฐ�นสบ }
ตอบ …………………………………………………………......................................................................................................................
Page 30
6. เอกภพสมพทธ (Relative Universe)
ตวอยางท 14 กำ�หนดให จงเขยนเซต แบบแจกแจงสม�ชก เมอกำ�หนดเอกภพสมพทธใหในแตละขอ
1)
…………………………………………………………………………………………………………………………
2)
…………………………………………………………………………………………………………………………
3)
…………………………………………………………………………………………………………………………
เอกภพสมพทธ คอ เซตทกำ�หนดขนเพอกำ�หนดขอบเขตของสงทเร�สนใจ จะกล�วถงสงใดนอกเหนอจ�กเอกภพสมพทธไมได เขยนแทนดวยสญลกษณ
Page 31
Worksheet5 เอกภพสมพทธ
2. จงเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสม�ชก
1) เมอ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2) เมอ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3) เมอ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4) เมอ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
5) เมอ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
6) เมอ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
7) เมอ
Page 32
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
8) เมอ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
9) เปนอกษรในภ�ษ�องกฤษ เมอ
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
10) เปนชอประเทศในทวปเอเชย
เมอ เปนชอประเทศทมพรมแดนตดกบประเทศไทย
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Page 33
7.สบเซต (Subset)
เชน…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….ตวอยางท 15 จงเตมเครองหม�ย และ ลงในชองว�งใหสมบรณ
กำ�หนดให ,
1) ________ 2) A ________B 3) B ________C
4) B ________ E 5) C ________D 6) C ________E
7) D ________ E 8) D ________F 9) B ________B
10) F ________ E 11) F ________D12) ________F
ตวอยางท 16 จงห�สบเซตของเซตทงหมดของเซต
วธทำา เซตทมสม�ชก 1 ตว ไดแก ……………………………………………………………………………………………………….
เซต A เปนสบเซตของเซต B กตอเมอ สม�ชกทกตวของเซต A เปนสม�ชกทกตวของเซต B เซต A ไมเปนสบเซตของเซต B กตอเมอ มสม�ชกอย�งนอย 1 ตว
Page 34
เซตทมสม�ชก 0 ตว ไดแก ……………………………………………………………………………………………………….
สบเซตทงหมดของเซต คอ ……………………………………………………………………………………………………….ตวอยางท 17 จงห�สบเซตของเซตทงหมดของเซต
วธทำา เซตทมสม�ชก 2 ตว ไดแก ……………………………………………………………………………………………………….
เซตทมสม�ชก 1 ตว ไดแก ……………………………………………………………………………………………………….
เซตทมสม�ชก 0 ตว ไดแก ……………………………………………………………………………………………………….
สบเซตทงหมดของเซต คอ …………………………………………………………………………………………………………….
ตวอยางท 18 จงห�สบเซตของเซตทงหมดของเซต
Page 35
วธทำา เซตทมสม�ชก 3 ตว ไดแก ……………………………………………………………………………………………………….
เซตทมสม�ชก 2 ตว ไดแก ……………………………………………………………………………………………………….
เซตทมสม�ชก 1 ตว ไดแก ……………………………………………………………………………………………………….
เซตทมสม�ชก 0 ตว ไดแก ……………………………………………………………………………………………………….
สบเซตทงหมดของเซต คอ …………………………………………………………………………………………………………….
ตวอยางท 19 จงห�สบเซตของเซตทงหมดของเซต
วธทำา เซตทมสม�ชก 3 ตว ไดแก ………………………………………………..…………………………………….……………….
เซตทมสม�ชก 2 ตว ไดแก ………………………………………………..…………………………………….……………….
Page 36
เซตทมสม�ชก 1 ตว ไดแก ………………………………………………..…………………………………….……………….
เซตทมสม�ชก 0 ตว ไดแก ………………………………………………..…………………………………….……………….
สบเซตทงหมดของเซต คอ ………………………………………………….…………………………………..…………………….
ตวอยางท 20 จงห�สบเซตของเซตทงหมดของเซต
วธทำา เซตทมสม�ชก 4 ตว ไดแก ………………………………………………..…………………………………….……………….
เซตทมสม�ชก 3 ตว ไดแก ………………………………………………..…………………………………….……………….
เซตทมสม�ชก 2 ตว ไดแก ………………………………………………..…………………………………….……………….
เซตทมสม�ชก 1 ตว ไดแก ………………………………………………..…………………………………….……………….
Page 37
เซตทมสม�ชก 0 ตว ไดแก ………………………………………………..…………………………………….……………….
สบเซตทงหมดของเซต คอ ………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
ทฤษฎบทเกยวกบสบเซต กำ�หนด A,B และ C เปนเซตใดๆ แลว
1. 2. 3. ถ� และ แลว 4. ถ� และ แลว 5. ถ� แลว
สบเซตแท (proper subset)
ขอสงเกต เกยวกบสบเซตแท
จำานวนซบเซต ถ�เซต A เปนเซตจำ�กด และมสม�ชก n ตว แลวเซต A มสบเซตทงหมด ตว
สบเซตแท ของ A คอ สบเซตทงหมดของ A ยกเวนตวมนเอง (ยกเวน A) เขยนแทนดวย A B
Page 38
1. เซตทไมมสบเซตแท คอ ……………………………………………………………………………………………….……..
2. จำ�นวนสบเซตแท ………………………………………………………………………
………………………………………
3. A เปนสบเซตแทของ B กตอเมอ
1) …………………………………………………………….
2) ……………………………………………………………. 4. A ไมเปนสบเซตแทของ A (......................................................................................)
ตวอยางท 21 กำ�หนด จงพจ�รณ�ว�ขอตอไปน ถกหรอผด
_______1) _______2) _______3) _______4) _______5) _______6)
Page 39
Worksheet6 สบเซต
คำาชแจงขอ 1-3 จงพจ�รณ�ขอคว�มตอไปน ว�ถกหรอผด ใส หน�ขอถกและ ใส หน�ขอผด1. กำาหนดให
1.1 ______ 1.2 ______ 1.3 ______ 1.4 ______ 1.5 ______ 1.6 ______ 1.7 ______ 1.8 ______ 1.9 ______ 1.10 ______
2. กำาหนดให 2.1 ______ 2.2 ______2.3 ______ 2.4 ______2.5 ______2.6 ______ 2.8 ______ 2.9 ______ 2.10 ______
Page 40
3. กำาหนดให
3.1 ______ 3.2 ______ 3.3 ______ 3.4 ______ 3.5 ______ 3.6 ______ 3.7 ______ 3.8 ______ 3.9 ______ 3.10 ______
4. จงห�สบเซตทงหมดของเซตทกำ�หนดใหในแตละขอ
4.1 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
4.2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
4.3
Page 41
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
4.4 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
4.5 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
4.6 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
4.7 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
4.8 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
4.9 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
4.10
Page 42
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...
Page 43
8. เพาเวอรเซต (Power sets)
หลกการเขยนเพาเวอรเซต1.) เขยนสบเซตกอน2.) เขยนเครองหม�ยปกก�คลมหวท�ย
เชน…………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….ตวอยางท 22 จงห�เพ�เวอรเซตทงหมดของเซต
………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………ตวอยางท 23 จงห�เพ�เวอรเซตทงหมดของเซต
………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………ตวอยางท 24 จงห�เพ�เวอรเซตทงหมดของเซต
ถ� A เปนเซตใดๆ เพาเวอรเซตของ A คอ เซตทประกอบดวยสม�ชกทเปนสบเซตทงหมดของ A
1.) ใช “P(A)” แทน เพ�เวอรของเซต A2.) นย�ม P(A) โดยภ�ษ�คณตศ�สตร คอ
Page 44
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………ตวอยางท 25 จงห�เพ�เวอรเซตทงหมดของเซต
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………ตวอยางท 26 จงห�เพ�เวอรเซตทงหมดของเซต
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……ตวอยางท 27 จงห�เพ�เวอรเซตทงหมดของเซต
……………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………
การตรวจสอบการเปนสมาชก และ สบเซต ของ Power sets
ก�รตรวจสอบก�รเปนสม�ชกหรอก�รเปนสบเซต นอกจ�กจะใชวธก�รแจกแจงสม�ชกของ P(A) แลวอ�จใชวธตอไปน ตรวจสอบกได เชน
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.) ใสปกก� ครอบสม�ชกของ A หนงชน จะเปนสม�ชกของ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Page 45
2.) ใสปกก� ครอบสม�ชกของ A สองชน จะเปนสบเซต
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
สมบตของ Power sets
กำ�หนด A และ B เปนเซตจำ�กด 1.) ถ� แลว
2.) จะไมมโอก�สเปนเซตว�ง ไมว� A จะเปนเซตใดๆ กต�ม
3.) เสมอ4.) เสมอ
5.) สม�ชกของ ตองเปนเซต เท�นน
Power set กบ subsetทฤษฎบท กำ�หนด A และ B เปนเซตใดใด1.) ถ� แลว 2.) ถ� แลว 3.) ถ� แลว 4.) ถ� แลว 5.) เสมอ6.) เสมอ และ
Page 46
Worksheet7 เพาเวอรเซตคำาชแจงขอ 1 จงพจ�รณ�ขอคว�มตอไปน ว�ถกหรอผด ใส หน�ขอถกและ ใส หน�ขอผด
1. กำ�หนด จงพจ�รณ�ว�ขอตอไปนถกหรอผด
1.1 _______เซต A เปนเซตอนนต1.2 _______ 1.3 _______1.4 _______1.5 _______1.6 _______1.7 _______1.8 _______ 1.9 _______1.10 _______ เปนเซตอนนต
2. จงเขยนเพ�เวอรเซตของแตละเซตในขอตอไปน
2.1 P(A)=…………………………….…………….…………………… P(P(A))=……………………………………………….………………
2.2 P(B)=………………………………………………………………… P(P(B))=…………………………………………….………………
2.3 P(C)=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Page 47
2.4 P(D)=...………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.5 P(E)=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Page 48
9. แผนภาพเวนนและออยเลอรก�รเขยนแผนภ�พแสดงเซตจะชวยใหคว�มคดเกยวกบเซตชดเจน
ขน ก�รเขยนแผนภ�พมกจะแทนเอกภพสมพทธ ดวยรปสเหลยมผนผ�ใด หรอรปปดใด ๆ สวนเซตอน ๆ ซงเปนสบเซตของ นนอ�จเขยนแทนดวย วงกลม วงร หรอรปปดใด ๆ
1.) สำ�หรบ คอ (เอกภพสมพทธ) ใหเขยนแทนดวย สเหลยมผนผ�
2.) สำ�หรบเซต A, B, C ใดๆ ใหเขยนแทนดวยรปวงกลม หรอ รปวงร หรอ รปปดใดๆ
3.) เมอกำ�หนด และเซต A , B ในขอเดยวกน (เขยนเซตต�งๆ ใหอยภ�ยในกรอบของ )
รปแบบความสมพนธระหวางเซตเมอเขยนลงบนแผนภาพเวนน-ออยเลอร
…………………………………………………………………………………………………….
ถ�เซตทงสองเซต ไมมสวนซำ�กน จะว�ดออกม�ไดเปนสองวง แยกออกจ�กกน
Page 49
A B
…………………………………………………………………………………………………..
ถ�เซตทงสองเซต มบ�งสวนซำ�กน จะว�ดออกม�ไดเปนสองวงทมสวนซอนกน A B
…………………………………………………………………………………………………………………………..
จะว�ดออกม�ไดเปน วงหนงอยข�งในอกวง A B B A
ตวอยางท 28 กำ�หนด จงเขยนเซตดงกล�วดวยแผนภ�พเวนน-ออยเลอรวธทำา พจ�รณ�เซต A และ B ทมสม�ชกรวมกน คอ ...............……. ดงนนส�ม�รถเขยนแผนภ�พไดดงน ……. ……. ……
สม�ชกทมใน A แตไมมใน B
สม�ชกทมใน Bแตไมมใน Aมสม�ชกรวมกน
สองเซต
Page 50
ตวอยางท 29 กำ�หนด จงเขยนเซตดงกล�วดวยแผนภ�พเวนน-ออยเลอรวธทำา พจ�รณ�เซต A , B และ C ทมสม�ชกรวมกน คอ ……………. ดงนนส�ม�รถเขยนแผนภ�พไดดงน
………. ……….
………..
10. การดำาเนนการระหวางเซตในหวขอนเร�จะศกษ�ถงก�รนำ�เซตตงแต 2 เซตขนไปม�สร�งเปน
เซตขนม�ใหมหนงเซต ม�เชอมกนดวย operation ท�งเซต โดยม 4 ชนด คอ
1. …………………………………………………………………………
2. …………………………………………………………………………
3. …………………………………………………………………………
Page 51
4. …………………………………………………………………………
บทนยาม ยเนยนของเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสม�ชกซงเปนสม�ชกของเซต A หรอของเซต B หรอของทงสองเซต ยเนยนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย
หรอ หรอ เปนสม�ชกของทงสองเซต
ดในแงแผนภ�พ คอ เอาพนทของวง A และพนทของวง Bตวอยางแผนภาพและแรเงา
ตวอยางท 30 กำ�หนด จงห�
1. = …………………………………………. 4. = …………………………….………….
2. = …………………………………………. 5. = …………………………….………….
3. = …………………………………………. 6. = ……………………………………………….
ก า ร ย เ น ย น
A B AB
A
A
B
BB
B
A
A
Page 52
ขอสงเกต จ�กตวอย�งของ Union (∪) จะไดว�1. มสมบตก�รสลบท ……………………………………………………..2. มคณสมบตก�รจดหม ………………………………………………..3. ถ� แลวจะได 4. 5. ………………………………………………………………….6. ………………………………………………………………….
อนเตอรเซกชน (Intersection)
บทนยาม อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอ เซตทประกอบดวยสม�ชกซงเปนสม�ชกของเซต A และ เซต B อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย
และ
ดในแงแผนภ�พ คอ เอาพนทของวง A และวง B ทซำากน
ตวอยางแผนภาพและแรเงา
A B B
B B
C
A
A, B
A
A
A
B
Page 54
ตวอยางท 31 กำ�หนด จงห�
1. = ………………………………………….. 6. = …………………………….…………….………..2. = …………………………………………... 7. = …………………………….………….…………..3. = …………………………………………. 8.
= …………………………………………….4. = ………………………………..... 9. = …………………………………………….5. = …………………………………... 10. = ………………………………………………………….ตวอยางท 32 กำ�หนด จงห� และ
1. = ………………………………..….…………… 2. = …………………...........……………..………
= …………………………………………… = …………………………………..…………
ขอสงเกต จ�กตวอย�งของ Intersection (∩) จะไดว�
1. มสมบตก�รสลบท ………………………………………………………………….………..
2. มคณสมบตก�รจดหม …………………………………………………………………………..
Page 55
3. มสมบตก�รกระจ�ย คอ …………………………………………………………………………
……………………………
เชน = ………………………………… และ = …………………………………………..
4. ถ� แลวจะได
5. 6.
………………………………………………………………..……………
7. ………………………………………………………….………………….
Page 56
คอมพลเมนต (Complement)
บทนยาม คอมพลเมนตของเซต A ซงเปนสบเซตของเอกภพสมพทธ U คอเซตทประกอบไปดวยสม�ชก ซงเปนสมาชกของ U แตไมเปนสมาชกของ เขยนแทนดวย อ�นว� เอไพรม
แต ตวอยางแผนภาพ complement
ตวอยางท 33 กำ�หนด จงห�1. = ……………………………………………….. 6. = …………………………………...………..………..2. = ………………………………………..….. 7. = …………………………………..….…..…………3. = ………………………………..……….. 8. = ……………………………………………….……..4. = ……………………………….…………. 9. = ………………………………………….………...5. = ……………………………….…………. 10. = ………………………………………………....………
A
A
A B B
A A,BB
A B
Page 57
ขอสงเกต จ�กตวอย�งของ complement จะไดว�
1. 5. ถ� แลวจะได
2. ………………….. 6. .3. …………………. 7. = ………………..…4. มสมบตก�รกระจ�ยคอมพลเมนตเข�ไปใน ยเนยนและอนเตอรเซกชน
เปนจำ�นวนค
เชน = ………………………………………….. และ
Page 58
ผลตาง (Difference) บทนยาม ผลต�งระหว�งเซต A และ เซต B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A ซงไมเปน สมาชกของเซต B ผลต�งของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย อ�นว� ลบ = และ = และ ตวอยางแผนภาพ A – B และ B – A
ตวอยางท 34 กำ�หนด จงห�1. = ……………………………….….. 7.
= …………………………….…………….….2. = …………………………..…….. 8. =
…………………………….………….3. = ……………………..………….. 9. =
………………………………….……..4. = …………………..……….……. 10.
= ………………………………..5. = ………………………….….…. 11.
= ………………………………6. = …………………………….…..
ขอสงเกต จ�กตวอย�งจ�ก ผลต�ง จะไดว� 1. ไมจำ�เปนตองเท�กบ
A BA B A
B AA-B
AA
A B BBBA
B-A
B
Page 59
2. มสมบตก�รกระจ�ย คอ ………………………………………………………………………………….…….. เชน = ………………..…….………… และ = ………………………….………….3. ……………. และ ………………4. ……………. และ ………………
สรปสมบตของเซตกบ Operationให A,B และ C เปนสบเซตของเอกภพสมพทธ1. กฎการมเอกลกษณ (Identity Laws)
2. กฎไอเดมโพเทม (Idempotem Laws)
3. กฎการสลบท (Communitive Laws)
4. กฎการเปลยนกลม (Associative Laws)
5. กฎการแจกแจง (Distributive Laws)
6. Absorption Laws
7. De Morgens Laws
8. Complement
9. ผลตาง (Difference)
Page 60
และ
10. สบเซต (subset) ถา แลว 11. เซตวาง (empty sets) แลว และ แลว หรอ
Page 61
Worksheet8 แผนภาพเวนน-ออยเลอร 1. จ�กแผนภ�พทกำ�หนด จงห�เซตตอไปน U 1. A = ……………………………………………………… 2. B = ……………………………………………………… ………………………………………………………
2. จ�กสงทกำ�หนดใหตอไปน จงเขยนแผนภ�พเซตเหล�นน เมอกำ�หนด U เปนเซตของจำ�นวนนบ 2.1 A= { 1,2,3,4, … ,10} 2.2 U= { 1,2,3,4, … ,10} B = {1,3,5,7,9} A= {1,3,5,7,9} , B = {1,3,5}
2.3 U= { 1,3,5,7,9,11,13} 2.4 U= { 1,3,5,7,9,11,13}
A = {1,7,11} , B = {5, 7, 9} A = {1,5,11} , B = {3, 7, 9}
2.5 U= { 1,2,3,4, … ,10} 2.6 U= { 1,2,3,4, … ,10} A= {1,3,5,9 } , B = {2,3,5,10}, A= {2,5,6,8,9 } , B = {3,5,7,8},
Page 62
C= {2,4,8} C= {4,5,7,9}
2.7 U= { 1,2,3,4, … ,10} 2.8 U= { 1,2,3,4, … ,10} A= {1,3,4,5,7,8} , B = {4,5,6,8,9}, C= {4,5,8} A= {6,8,9 } , B = {1,3,4,5,7},
C= {4,5,8} C= {2,4,5,6,8,9}
3. จงเขยนเซตใหสอดคลองกบแผนภ�พ และเตมสญลกษณ หรอ ใหถกตอง
3.1 3.2
A = …………………………………………. A = ……………………………………………. B = …………………………………………. B = ……………………………………………. U = ……………………………………………….. C = ………………………………………………. A…………B , A…………..U C…………….A , C…………………B
Page 63
3.3 3.4
A = ………………………………………….
A = ……………………………………….. B = …………………………………………. B = …………………………………………. A……………B , B……………..A C = ………………………………………..
C…………A , C…………B
B…………A , C…………..U
3.5 3.6
A = …………………………………………. A = ………………………………………..
B = …………………………………………. B = …………………………………………. C = ………………………………………….
C = ……………………………………….. U = ………………………………………………..
U = …………………………………………
B…………A , C…………..A A…………B , B………..U, C………U
4. จงแรเง�ลงในพนทใหถกตอง 4.1 พดเดลเปนสม�ชกของเซตอะไร 4.2 13 เปนสม�ชกของเซตใด
สนข แมวจำานวนเฉพาะ เลขค
Page 64
4.3 1 วน เปนสม�ชกของเซตใด 4.4 17 เปนสม�ชกของเซตใด
Worksheet9 การดำาเนนการระหวางเซต1. จงแรงเง�แผนภ�พแทนเซตทกำ�หนดใหในแตละขอตอไปน
1.1 1.2 A B 1.3 1.4
1.5 1.6
จำานวนจรง
3600 วนาท9600 นาท
24 ชวโมง
เศษสวน
จำานวนเตม
ทศนยมซำา
B A
Page 65
1.7 1.8
ขอ
คำาถาม คำาตอบ
2. ให
จงพจ�รณ�ว�ขอตอไปนถกหรอผด6.1 6.2 6.3
……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………….
3. ถ� , , และ
จงห�เซต
Page 66
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………5. กำ�หนดให , , และ จงห� 5.1 5.2 …………………………………………………………. …………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… 5.3 5.4 …………………………………………………………. …………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………… 5.5 5.6 …………………………………………………………. ………………………………………………….………… ………………………………………………………… ……………………………………………….…………… 5.7 5.8 …………………………………………………………. ……………….…………………………………………… ………………………………………………………… ……………………………………………….…………… 5.9 5.10
Page 67
…………………………………………………………. …………………………………………………………… ……………………………………………….………… ……………………………………………………………
บทท 2 ตรรกศาสตรเบองตน
1. ประพจน
*** ขอความทไมเปนประพจน ไดแกคำ�ถ�ม เชน ใครกนนะคำ�สง เชน จงนงลงคำ�ขอรอง เชน ชวยปดประตใหหนอยคำ�ออนวอน เชน โปรดเมตต�ดวยเถดคำ�แสดงคว�มปร�รถน� เชน ฉนอย�กเปนนกคำ�อท�น เชน อยสภ�ษตคำ�พงเพย เชน นำ�ลดตอผดประโยคปด เชน เข�เปนนกรอง
ตวอยางท 1 จงเขยนเครองหม�ย ข�งหน�ขอคว�มทเปนประพจน และ
เขยนเครองหม�ย หน�ขอคว�มทไมเปนประพจน
...............1) ประเทศไทยอยในทวปอเมรก�
...............3) สวสดปใหม
...............5) ฟ�ใสใจสว�ง
...............7) ในป พ.ศ. 2518 เกดแผนดนไหนใน ประเทศไทย
บทนยาม ประพจน คอ ประโยคบอกเล�หรอปฏเสธทมค�คว�มจรง เปนจรงหรอ เทจอย�งใดอย�งหนง
Page 68
...............9) เปนจำ�นวนอตรรกยะ
...............11) หม�กบแมว
...............13) มจำ�นวนจรง
บ�งตว ซง
...............15) รกดห�มจว รกชวห�มเส�
...............2) โปรดแกทผดใหดวย
...............4) เปนจำ�นวนตรรกยะ
...............6) คณตศ�สตรง�ยกว�ภ�ษ�องกฤษ
...............8) ไกง�นเพร�ะขน คนง�มเพร�ะแตง
...............10) พระอ�ทตยขนท�งทศตะวนตก
...............12) อย�ต�มม�นะ
...............14) หนงป ม เดอน
...............16) เปน เท�ของ
2. การเชอมประพจน
ในวช�คณตศ�สตรหรอในชวตประจำ�วน จะพบประโยคทไดจ�กก�รเชอมประโยคต�ง ๆ ดวยคำ�ว� และ หรอ ถ�“ ” “ ” “ ...แลว...” “กตอเมอ หรอพบประโยคทแปลงม�จ�กประโยคเดมโดยเตมคำ�ว� ไม ซงคำ�” “ ”เหล�นเรยกว� ตวเชอม (connectives) เชน
- ...................................................... และ ...................................................................
- ถา ................................................ แลว ...................................................................
- รปส�มเหลยม ABC จะเปนรปส�มเหลยมด�นเท� กตอเมอ รปส�มเหลยม ABC มด�นย�วเท�กนทกด�น
Page 69
- -...................................................... หรอ ..................................................................
จะสงเกตเหนว�เพอคว�มสะดวกในก�รเชอมประพจน จะใชอกษร เชน p, q, r, s, … แทนประพจนทนำ�ม�เชอมกน และกอนทจะพจ�รณ�ค�คว�มจรงของประพจนทมตวเชอม จะตองพจ�รณ�ค�คว�มจรงทเปนไปไดทงหมดของประพจน และ ดงต�ร�งน
กำ�หนดให T แทน ค�คว�มจรงทเปน จรง“ ”
F แทน ค�คว�มจรงทเปน เทจ“ ”
T TT FF TF F
2.1 การเชอมประพจนดวยตวเชอม และ“ ”
.ในก�รเชอมประพจนดวย และ มขอตกลงว�ประพจนใหมจะมค�“ ”คว�มจรงเปนจรง ในกรณทประพจนทนำ�ม�เชอมกนนนเปนจรงทงค กรณอนๆ เปนเทจทกกรณ
ถ� และ เปนประพจน ประพจนใหมทไดจ�กก�รเชอม กบ ดวย และ “ ”
Page 70
คอ “ และ เขยนแทนดวย ” และต�ร�งค�คว�มจรง (truth table) ของ เขยนไดดงน
T T TT F FF T FF F F
T T TT F TF T TF F F
*** จำา .................................................................................................................................ตวอยางท 4 ให แทน
แทน เปนจำ�นวนตรรกยะ
แทน จงห�ค�คว�มจรงของ , , และ
วธทำา
Page 71
ตวอยางท 5 ถ�กำ�หนดค�คว�มจรง และ เปน T, T และ F ต�มลำ�ดบ
จงห�ค�คว�มจรงของ (q r) (p q r)วธทำา
2.3 การเชอมประพจนดวยตวเชอม ถา“ ...แลว...”
ประพจนทต�มหลงคำ�ว� ถา เรยกว� เหต สวนประพจนทต�หลงคำ�ว� แลว เรยกว� ผล
ในก�รเชอมประพจนดวย ถ�“ ...แลว...” มขอตกลงว� ประพจนใหมจะเปนเทจในกรณทเหตเปนจรงและผลเปนเทจเท�นน กรณอนๆ เปนจรงทกกรณ
ถ� p และ q เปนประพจน ประพจนใหมทไดจ�กก�รเชอม p กบ q ดวย ถ�“ ...แลว...” คอ ถ� “ p แลว q” เขยนแทนดวย p q และต�ร�งค�คว�มจรงของ p q เขยนไดดงน
p q p qT T TT F FF T TF F T
*** จำา .................................................................................................................................ตวอยางท 6 ให p แทน
Page 72
q แทน
r แทน จงห�ค�คว�มจรงของ p q, p r, q r และ r
pวธทำา
ตวอยางท 7 ถ�กำ�หนดค�คว�มจรง และ เปน T, F และ F ต�มลำ�ดบ
จงห�ค�คว�มจรงของ [(p q) r] (p q)วธทำา
2.4 การเชอมประพจนดวยตวเชอม กตอเมอ“ ”
ก�รเชอมประพจนดวย กตอเมอ มขอตกลงว� ประพจนใหมจะ“ ”เปนจรงในกรณทประพจนทนำ�ม�เชอมกนนนเปนจรงดวยกนทงคหรอเปนเทจดวยกนทงคเท�นน กรณอนๆ เปนจรงทกกรณ
ถ� p และ q เปนประพจน ประพจนใหมทไดจ�กก�รเชอม p กบ q ดวย กตอเมอ “ ”คอ ถ� “ p แลว q” เขยนแทนดวย p q และต�ร�งค�คว�มจรงของ p q เขยนไดดงน
p q p qT T TT F FF T F
Page 73
F F T
*** จำา .................................................................................................................................ตวอยางท 8 ให p แทน เปนจำ�นวนเฉพ�ะ
q แทน เปนจำ�นวนเตมคr แทน ห�รดวย ลงตว
จงห�ค�คว�มจรงของ p q, p r, q r และ r pวธทำา
2.5 นเสธของประพจน
กำ�หนดให p แทนประพจน นเสธของประพจน p เขยนแทนดวย p ซง p และ p มค�คว�มจรงตรงข�มกน ดงต�ร�ง
p pT FF T
Page 74
ตวอยางท 9 จงเปลยนประพจนตอไปนใหอยในรปสญลกษณ
1) เปนจำ�นวนเตม และ เปนจำ�นวนเตมค
........................................................................................
.....................................................................2) ถ� แลว
........................................................................................
.....................................................................3) ถ�แดงสอบตกแลวครจะลงโทษ
........................................................................................
.....................................................................4)ครนชสอนวช�คณตศ�สตรและภ�ษ�ไทย
........................................................................................
.....................................................................5) เปนจำ�นวนเตมค กตอเมอ ห�รดวย ลงตว
........................................................................................
.....................................................................6) หรอ
........................................................................................
.....................................................................7) ถ�รปส�มเหลยมมด�นเท�กนสองด�นแลวรปส�มเหลยมนนเปนรป
ส�มเหลยมหน�จว
Page 75
........................................................................................
.....................................................................8) ไมเท�กบ หรอ ไมนอยกว�
........................................................................................
.....................................................................ตวอยางท 10 กำ�หนดให p q เปนจรง, p s เปนเทจ จงห�ค�คว�มจรงของประพจนตอไปน
1) p s
3) (p q)
5) (p s)
7) (p q) s
2) (p s) q
4) p (q s)
6) (p s)
8) p q
ตวอยางท 11 จงเตมนเสธของขอคว�มตอไปนลงในชองว�ง
1) นเสธคอ .......................................................................................................
Page 76
2) นเสธคอ .......................................................................................................
3) นเสธคอ .......................................................................................................
4) นองน�ยสงกว�พแบมแบม นเสธคอ ...............................................................................................
5) นเสธคอ .......................................................................................................
6) เปนจำ�นวนตรรกยะ นเสธคอ ....................................................................................................
3. การหาคาความจรงของประพจน
ก�รห�ค�คว�มจรงของประพจนใหมทถกเชอมดวยตวเชอมแบบต�งๆ จะตองอ�ศยค�คว�มจรงในต�ร�งทกล�วม�ข�งตนว� ประพจนใดเปนจรง ประพจนใดเปนเทจเพอ จะไดค�คว�มจรงของประพจนใหม
ตวอยางท 12 จงห�ค�คว�มจรงของประโยค เชยงใหมและธนบรเคย“เปนเมองหลวงของไทย”
Page 77
วธทำา
ตวอยาท 13 จงห�ค�คว�มจรงของประพจน ถ�ให และ มค�คว�มจรงเปน T, T, F และ F ต�มลดบวธทำา
ตวอยางท 14 กำ�หนดใหประพจน เปนจรง และ เปนเทจ
จงห�ค�คว�มจรงของของประพจน วธทำา
ตวอยางท 15 กำ�หนดค�คว�มจรงของประพจน และ เปน T, T และ T ต�มลำ�ดบ
จงห�ค�คว�มจรงของประพจน วธทำา
Page 78
ตวอยางท 16 กำ�หนดใหประพจน มค�คว�มจรงเปนเทจ จงห�ค�คว�มจรงของประพจน และ
วธทำา
*** หมายเหต กรณ1 ประพจนมวงเลบ จะห�ค�คว�มจรงของประพจนยอยในวงเลบกอน
กรณ 2 ประพจนนนไมมวงเลบ ใหห�ค�คว�มจรงของตวเชอมในประพจนใหม พจ�รณ�ต�มลำ�ดบดงน
ลำ�ดบท 1 พจ�รณ�ตวเชอม “ ”ลำ�ดบท 2 พจ�รณ�ตวเชอม “ ”, “ ” (พจ�รณ�
ตวใดกอนกได)ลำ�ดบท 3 พจ�รณ�ตวเชอม “ ”ลำ�ดบท 4 พจ�รณ�ตวเชอม “ ”
Page 79
ตวอยางท 17 กำ�หนดใหประพจน เปนจรง (T), เปนเทจ (F) และ เปนเทจ (F)
จงห�ค�คว�มจรงของประพจนตอไปน
1)
3)
5)
7)
9)
2)
4)
6)
8)
10)
Page 80
ตวอยางท 18 กำ�หนดประพจน มค�คว�มจรงเปนเทจ (F) จงห�ค�คว�มจรงของประพจน และ
วธทำา
ตวอยางท 19 กำ�หนดประพจน มค�คว�มจรงเปนเทจ (F) จงห�ค�คว�มจรงของประพจน และ วธทำา
ตวอยางท 20 กำ�หนดค�คว�มจรงของประพจน เปนจรง, เปนเทจ และ เปนเทจ จงห�ค�คว�มจรงของประพจนตอไปน