ELETTROTECNICA Ingegneria Industriale - BIPOLI E TRASFORMATE- Stefano Pastore Dipartimento di Ingegneria e Architettura Corso di Elettrotecnica (043IN) a.a. 2013-14
ELETTROTECNICAIngegneria Industriale
− BIPOLI E TRASFORMATE−
Stefano Pastore
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Corso di Elettrotecnica (043IN)
a.a. 2013-14
• Dipende dalle equazioni costitutive del modello del componente, se è lineare o no, dinamico (con derivata) o algebrico, con parametri costanti o variabili nel tempo
o Lineari
o Non-lineari
Classificazione dei componenti
2
o Resistivi
o Dinamici
o Tempo-invarianti (T-I)
o Tempo-varianti (T-V)
• Le scelte non sono mutuamente esclusive, ma vanno applicate una alla volta a ogni componente
• v(t) = R i(t) (resistenza) bipolo, lineare, resistivo, T-I
• i(t) = I0 (e v(t)/vT − 1) (diodo) bipolo, nonlineare, resistivo, T-I
Classificazione: esempi
3
• v(t) = R(t) i(t) (p.e. interruttore) bipolo, lineare, resistivo, T-V
• i(t) = C dv(t)/dt (condensatore)bipolo lineare (Q = C V), dinamico, T-I
• I circuiti si classificano in base ai componenti
• Una sorgente ideale di tensione mantiene il valore della tensione costante qualunque sia la corrente erogata
Sorgenti ideali di tensione e corrente
4
• Una sorgente ideale di corrente mantiene il valore della corrente costante qualunque sia la tensione
• Le resistenze sono componenti a due terminali che dissipano l’energia elettrica. L’equazione costitutiva è chiamata “legge di Ohm”, dove il coefficiente R è detto resistenza
Legge di Ohm
v(t) = R i(t)
• L’inverso della resistenza è chiamata conduttanza (G = 1/R)
i(t) = G v(t)
5
• Il coefficiente di proporzionalità R è chiamato “resistenza” e si misura in [Ω]. Per un conduttore cilindrico, vale la relazione
Legge di Ohm (2)
S
lR ρ=
• Dove ρ è la resistività del materiale, lla lunghezza e S la sezione
• La conduttanza G si misura in [Ω-1] o in [S]
• La potenza dissipata vale
p = vi = Ri2 = Gv2
6
S
• Abbiamo scritto le equazioni topologiche (IK e IIK) di un circuito:
2 b incognite
b equazioni di Kirchhoff
• Mancano ancora b equazioni per
Metodo del Tableau
• Mancano ancora b equazioni per completare il sistema, ovvero le equazioni costitutive dei componenti
• Il sistema complessivo che si ottiene si chiama Tableau. Se i componenti sono lineari e resistivi, il Tableau è descritto da una matrice
7
• Circuito lineare resistivo T-I
Tableau: esempio
8
• Circuito lineare resistivo T-I
• 3 nodi, 4 rami (4 c, 4 ddp) ⇒ 8 incognite
• 2 IK, 2 IIK, 4 costitutive ⇒ 8 equazioni
=−=−
=−=
=−=−−=++−
=+
00
0
000
0
333
222
111
32
21
321
1
iRviRviRv
Vvvv
vvviii
ii
ss
s
s
• Il sistema lineare in forma matriciale (matrice T) è
Tableau: matrice
=
−−−
−
0
0
0
0
00010000
11000000
01110000
00001110
00000011
3
2
1
s
Vv
i
i
i
i
• Il circuito è ben posto se si ha
detT ≠ 0
9
−−
−
0
0
0
1000000
0100000
0010000
00010000
3
2
1
3
2
1
ss V
v
v
v
v
R
R
R
44444444 344444444 21T
• Se aggiungo un componente nonlineare come il diodo, il sistema tableau diventa nonlineare, non più esprimibile quindi con una matrice
• Se aggiungo un condensatore o un induttore, devo aggiungere alle variabili le derivate delle tensioni o
Sistemi Tableau
10
variabili le derivate delle tensioni o delle correnti, o entrambe, e le relative condizioni iniziali. Il sistema sarà dinamico
• Se aggiungo un interruttore ottengo un sistema T-V
• Ci occuperemo di sistemi lineari, resistivi o dinamici, T-I (LRI, LDI)
• E’ il principio fondamentale dei circuiti lineari
Principio di sovrapposizionedegli effetti (PSE)
Sia N un circuito LRI con un’unica soluzione, alimentato da N sorgenti indipendenti di tensione e M sorgenti indipendenti di corrente.
11
indipendenti di corrente.
Allora ogni potenziale di nodo, tensione o corrente di ramo può essere espressa come combinazione lineare delle sorgenti indipendenti, con coefficienti costanti che dipendono dai parametri omogenei del circuito, ma non dipendono dai valori delle sorgenti stesse.
• Circuito LRI con 2 sorgenti di tensione indipendenti
PSE: esempio 1
12
• Applicando PSE alla tensione v3(t) si ottiene
v3(t) = α1 vs1(t) + α2 vs2(t) =
= v3’( t) + v3” ( t)
• Dove
v3(t) = v3’( t) = α1 vs1(t) se vs2(t) = 0 V
v3(t) = v3”( t) = α2 vs2(t) se vs1(t) = 0 V
• Sorgente di tensione nulla corto circuito
• Sorgente di corrente nulla circuito aperto
PSE: esempio 1 (2)
13
• Quindi (coefficienti αk sono numeri puri)
+=
==
+=
==
312
31
12
32
321
32
21
31
//
//
0)()(
)(
//
//
0)()(
)(
RRR
RR
tvtv
tv
RRR
RR
tvtv
tv
ss
ss
α
α
• Circuito LRI con 1 sorgente di tensione e 1 di corrente indipendenti
PSE: esempio 2
14
• Applicando PSE alla tensione v3(t) si ottiene
v3(t) = α1 vs1(t) + r2 is2(t) =
= v3’( t) + v3” ( t)
• Il coefficiente r2 ha le dimensioni di una resistenza
Rappresentazione implicita
del bipolo:
• Rappresentazione esplicita di Thevenin:
Bipoli LRI
)()()( thtibtva s=+
• Rappresentazione esplicita di Norton:
15
)()()(
)0( )(
)()(
tvtiRtv
aa
thti
a
btv
s
s
+=⇒
≠+−=
)()()(
)0( )(
)()(
titvGti
bb
thtv
b
ati
s
s
+=⇒
≠+−=
• Se esistono entrambi (a ≠ 0, b ≠ 0), sono due rappresentazioni diverse dello stesso bipolo
Modelli di Thevenin e Norton
• Modello di Thevenin: v(t) = Ri(t) + vs(t)
• Modello di Norton: i(t) = Gv(t) − is(t)
16
• Supponiamo che esista la rappresentazione esplicita di Thevenin (vs(t) = Vs > 0, R > 0):
• Max potenza erogabile (potenza disponibile):
Analisi della potenza
[ ] )()()()()()()( 2 tiVtiRtiVtiRtitvtp ss +=+==
R
Vp s
d 4
2−=
17
Rpd 4
=
• Tengono conto delle perdite interne del generatore
1) Di tensione: modello di Thevenin
2) Di corrente: modello di Norton
Generatori reali
• Rendimento:
18
e
u
P
P==erogata pot.
carico sul pot.η
• Chiudendo un gen. tens. Su un carico Ru si ottiene:
• Se Rs << Ru, allora ηV ≈ 1 e il generatore è
Generatori reali (2)
10
2
≤≤+
=+
===
V
us
u
s
u
us
s
s
u
s
uV RR
R
V
R
RR
Vi
V
R
iV
iR
η
η
• Se Rs << Ru, allora ηV ≈ 1 e il generatore è detto di tensione
• Chiudendo un gen. corr. Su un carico Gu si ottiene:
• Se Gs << Gu, allora ηI ≈ 1 e il generatore è detto di corrente
19
10 ≤≤+
=
I
us
uI GG
G
η
η
• Componente lineare dinamico
• Rappresentazione differenziale:
Condensatore
=
=
0)0(d
)(d)(
Vvt
tvCti
20
• Rappresentazione integrale
• Energia immagazzinata (V0 = 0 V)
∫+=t
diC
Vtv0
0 )(1
)( ττ
∫∫ ===)(
0
2
0 2
1dd)()(
tvt
C CvvvCptE ττ
Induttore
• Componente lineare dinamico
• Rappresentazione differenziale:
• Rappresentazione integrale
=
=
0)0(d
)(di)(
Iit
tLtv
21
• Rappresentazione integrale
• Energia immagazzinata (I0 = 0 A)
∫+=t
dvL
Iti0
0 )(1
)( ττ
∫∫ ===)(
0
2
0 2
1dd)()(
tit
L LiiiLptE ττ
• Sono definiti per le funzioni sinusoidali come:
• Il vettore U in campo complesso è
Fasori
( ) ( )
( )C∈=+=
=ℜ=ℜ= +
U
U
j
U
tjtj
eUU
tU
eUeUtu
ϕ
ϕωω
ϕω:dove
cos
)(
• Il vettore U in campo complesso è detto FASORE. (N.B. L’angolo ϕU si misura sempre in rad)
• ω è la frequenza angolare (rad/s)
22
fTf
T
1,2,
2 === πωπω
• Consideriamo l’insieme delle funzioni sinusoidali isofrequenziali (ω)
• Ogni u(t) è identificata da una ampiezza A e da una fase ϕ
• Possiamo allora associare a ogni u(t)
Trasformata di Steinmetz
( )ϕω += tAtu cos)(
• Possiamo allora associare a ogni u(t) un fasore U e viceversa
• Trasformata di Steinmetz:
• NB: sin(x) = cos(x−π/2), cos(x) = sin(x+π/2)
(e −jπ/2 = − j)
23
ℜ=⇒
+==⇒
tj
U
eUtutuU
kAUUtu
ω
πϕϕ
)(:)(
2,:)(
• La funzione sinusoidale u(t) è la proiezione del vettore rotante sull’asse delle ascisse. Il fasore U rappresenta il vettore per t = 0
• (Ricordiamo che: |e jωt| = 1)
Interpretazione geometrica
24
• Comporre linearmente due o più sinusoidi nel tempo equivale a comporre i fasori corrispondenti
u1, u2: sinusoidi isofrequenziali (U1 e U2)
λ1, λ2 ∈ R
Proprietà di linearità
2211 )()()( tututu λλ =+=
• Abbiamo trovato il fasore U di u(t) come combinazione lineare dei singoli fasori
25
( )
2211
2211
2211
2211
:dove UUU
eU
eUU
eUeU
tj
tj
tjtj
λλ
λλλλ
ω
ω
ωω
+=ℜ=
=+ℜ
=ℜ+ℜ=
• Derivare una sinusoide equivale a moltiplicare il fasore corrispondente per jω
• u: funzione sinusoidale (U)
Proprietà della derivata
tut
ty == )(d
d)(
• Abbiamo trovato il fasore Y di y(t) moltiplicando il fasore U per jω
26
( )
UjY
eYeUj
et
UeUt
t
tjtj
tjtj
ωω ωω
ωω
=ℜ=ℜ
=
ℜ=ℜ=
:dove
d
d
d
dd
• Per l’integrazione si procede analogamente, dividendo U per jω:
N.B. moltiplicare per j equivale a ruotare un vettore di +π/2, mentre dividere per
Proprietà dell’integrale
ωjU
Y =
un vettore di +π/2, mentre dividere per j equivale a ruotare il vettore di –π/2, mantenendo in entrambi i casi il modulo costante.
(j = e jπ/2, 1/j = −j = e −jπ/2)
• Applicheremo le trasformate ai circuiti LRI e LDI
27
• Le trasformate sono strumenti che permettono una analisi matematica semplificata di un problema
Utilità delle trasformate
u(t) = u1(t) + u2(t)
U = U1 + U2
• Dove u(t) = ℜ Uejωt
28
• Un circuito LRI (sorgenti sinusoidali isofrequenziali ) può essere descritto con il tableau
• Per PSE tutte le variabili del circuito sono sinusoidali.
Circuiti resistivi e fasori
=+==
)()()(
0)(
0)(
s ttt
t
t
hNiMv
Bv
Ai
• Per PSE tutte le variabili del circuito sono sinusoidali. Applicando Steinmetz, per la proprietà della linearità, si ottiene
• Si risolve il sistema nelle variabili complesse (fasori) e poi si anti-trasformano i risultati.
29
=+==
sHINVM
VB
IA
0
0
• Un circuito LDI (sorgenti sinusoidali isofrequenziali) può essere descritto con il tableau aggiungendo le derivate delle tensioni sui condensatori e delle correnti nelle induttanze. Supponiamo che le sorgenti siano sinusoidali isofrequenziali
Circuiti dinamici e fasori
=t 0)(Ai
• Per PSE e per la proprietà della derivata dei fasori, tutte le variabili a regime del circuito saranno sinusoidali
30
=
=
=+=
t
tiLtv
t
tvCti
ttt
t
qqq
ppp
d
)(d)(
d
)(d)(
)()()(
0)(
shNiMv
Bv
• Applicando la trasformata di Steinmetzalle variabili sinusoidali (i(t), v(t)) del circuito si ottiene
==+
==
s
VCjI ωHINVM
VB
IA
0
0
Circuiti dinamici e fasori (2)
• Il sistema lineare va risolto nei fasori (I, V) delle variabili del circuito. Si può procedere infine alla operazione di anti-trasformazione per trovare le funzioni sinusoidali nel dominio del tempo
31
==
pp
ILjV
VCjI
ωω
• Le impedenze (ammettenze) sono definite come estensione del concetto di resistenza (conduttanza), ovvero come rapporto dei fasori della tensione e della corrente di un bipolo e viceversa
Impedenze e ammettenze
ϕjezjXRV
z =+==
• z: impedenza R: resistenza
X: reattanza
• y: ammettenza G: conduttanza
B: suscettanza
32
ϕϕ
ϕ
jj
j
ez
eyjBGzV
Iy
ezjXRI
Vz
y −==+===
=+==
11
• Con i fasori, applicando le proprietà viste precedentemente, si ha
=
=
ICj
V
VCjI
ω
ω1
=
=
VLj
I
ILjV
ω
ω1
Elementi dinamici e trasformate
33
Cjω
Ljω
LjyLjz
CjyCj
z
LL
CC
ωω
ωω
1,
,1
==
==
• Nel dominio dei fasori, la relazione tra l’impedenza e l’ammettenza è
−=
=⇒=
11
zy
yz
ϕϕ
Impedenza e ammettenzacon i fasori
34
+−=+
=⇒=
−=
22
221
XR
XB
XR
RG
zy
yy ϕϕ
• Bipolo resistivo: ϕ = 0 (z = R)
• Bipolo capacitivo: ϕ = −π/2 (z = 1/jωC)
• Bipolo induttivo: ϕ = +π/2 (z = jωL)
• Bipolo resistivo-capacitivo: −π/2 < ϕ < 0
• Bipolo resistivo-induttivo: 0 < ϕ < π/2
(Nel semipiano sinistro il bipolo eroga potenza)
Fase dell’impedenza
35
• Due bipoli sono connessi in serie quando sono percorsi dalla stessa corrente (le loro tensioni si sommano)
• v = v1 + v2, i = i1 = i2• v1 = R1 i1, v2 = R2 i2,
• v = R1 i + R2 i = (R1 + R2) i = Rs i
Rs = R1 + R2
• L’espressione sopra si estende a un numero n
Serie di bipoli
• L’espressione sopra si estende a un numero ndi resistori (resistenze)
• Nel caso di due soli componenti
• 1/Gs = 1/G1 + 1/G2 = (G1 + G2)/G1G2
• NB: R --- cc R, R --- caca
• NB: R --- R ---… --- R nR
36
21
21
GG
GGGs +
=
Parallelo di bipoli
• Due bipoli sono connessi in parallelo quando sono sottoposti alla stessa tensione (le loro correnti si sommano)
• i = i1 + i2, v = v1 = v2
• i1 = G1 v1, i2 = G2 v2,
• i = G1 v + G2 v = (G1 + G2) v = Gp i
Gp = G1 + G2
• L’espressione sopra si estende a un numero n
37
• L’espressione sopra si estende a un numero ndi resistori (conduttanze)
• Nel caso di due soli componenti
• 1/Rp = 1/R1 + 1/R2 = (R1 + R2)/R1R2
• NB: la Rp sarà sempre più piccola delle resistenze R1 e R2
• NB: R//cc cc, R//ca R
• NB: R//R//…//R R/n
21
21
RR
RRRp +
=
Si può applicare
quando ho due o più
(N) bipoli in serie
Partitori di tensione
38
vRRR
Rv
vRR
Rvv
RR
Rv
iRRviRviRv
iiivvv
N
kk +++
=
+=
+=
+=====+=
K21
21
22
21
11
212211
2121
,
)(,,
,
• Se ho solo 2 bipoli in serie, posso usare le ammettenze
vG
v
vGG
Gv
GG
Gv
1
21
2
21
11 /1/1
/1
=
+=
+=
Partitori di tensione (2)
• N.B. i componenti devono essere percorsi dalla stessa corrente perché la regola del partitore sia applicabile
39
vGG
Gv
21
12 +
=
Si può applicare
quando ho due o più (N) bipoli in parallelo
Partitori di corrente
40
iGGG
Gi
iGG
Gii
GG
Gi
vGGivGivGi
vvviii
N
kk +++
=
+=
+=
+=====+=
K21
21
22
21
11
212211
2121
,
)(,,
,
• Con due bipoli in parallelo, posso usare le resistenze
Partitori di corrente (2)
iR
i
iRR
Ri
RR
Ri
1
21
2
21
11 /1/1
/1
=
+=
+=
• N.B. Scorre più corrente nel ramo con resistenza minore (vedi sistemi di terra)
41
iRR
Ri
21
12 +
=
• Consideriamo la serie di una resistenza e di un condensatore (R, C > 0)
Bipoli dinamici notevoli
CjR
CjRz
ωω11 −=+=
42
• Consideriamo il parallelo di una resistenza e di un condensatore (R, C > 0)
Bipoli dinamici notevoli (2)
43
222
2
222 11
11
1
RC
CRj
RC
R
CRj
R
CjR
CjR
z
ωω
ω
ωω
ω
+−+
+=
=+
=+
=
• Consideriamo la serie di una resistenza e di un induttore (R, L > 0)
Bipoli dinamici notevoli (3)
LjRz ω+=
44
• Consideriamo il parallelo di una resistenza e di un induttore (R, L > 0)
Bipoli dinamici notevoli (4)
45
222
2
222
22
LR
LRj
LR
LRLjR
LjRz
ωω
ωω
ωω
++
+=
=+
=
• Consideriamo la serie di una resistenza, di un induttore e di un condensatore (R, L, C > 0)
Circuiti risonanti reali serie
11
• La reattanza si annulla in ω0, frequenza di risonanza
46
−+=++=C
LjRCj
LjRzω
ωω
ω 11
cap)-res ento(comportam per 0
ind)-res ento(comportam per 0
10
1
0
0
0
ωωωω
ωω
ω
<<>>
=⇒=−=
s
s
s
X
XLCC
LX
• In ω0 abbiamo il minimo dell’impedenza (z = R), il cui modulo tende all’infinito per ω 0 e per ω ∞
• Se alimentiamo il circuito risonante con una sorgente di tensione sinusoidale costante in ampiezza, otteniamo il massimo della corrente alla frequenza di risonanza
• È il più semplice filtro passa-banda
Circuiti risonanti serie reali (2)
47
• Rappresentazione grafica dei fasori relativi a un circuito risonante serie reale, dove la corrente è:
i(t) = |I| cos(ωt + ϕi) A
Circuiti risonanti serie reali (3)
• Conta lo sfasamento relativo tra tensione e corrente (angolo ϕ), non il valore assoluto della fase che dipende dall’origine (arbitraria) dell’asse temporale
48
• Alimentiamo il bipolo con una sorgente di tensione sinusoidale con fasore Vs e calcoliamo la ddp sulla resistenza in rapporto alla tensione di alimentazione
Circuiti risonanti serie reali (4)
LCLj
CL
R
jCj
LjR
R
V
V
S
R
11
1
11
11
ω
ωωω
ω
=
−+
=
=
−+=
++=
• ω0: frequenza di risonanza
• Q: fattore di qualità
49
CRR
L
CR
LQ
LC
jH
jQ
LCLC
CR
Lj
0
00
0
0
1,
1:con
)(
1
1
11
ωωω
ω
ωω
ωω
ωω
====
=
−+
=
−+