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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano
Anno Accademico 2019/2020
Elettromagnetismo
Batteria ricaricabileCircuiti elettrici
Carica e scarica del condensatoreGeneratori di tensione e di
corrente
Generatori ideali e reali
Lezione n. 18 – 13.12.2019
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 392
Cella elettrolitica• Consideriamo un recipiente contenente
acqua• Abbiamo detto che l'acqua pura ha un numero
piccolo di molecole dissociate → bassa conduttività• L'aggiunta
di un sale o di un acido aumenta di
molto il numero di ioni presenti nell'acqua• Ad esempio
aggiungendo acido solforico H2SO4
• La soluzione rimane comunque neutra• Se aggiungiamo due
elettrodi e stabiliamo fra di essi una differenza di
potenziale nella soluzione si stabilisce una corrente• Gli ioni
e gli elettroni sono i portatori di carica• Le loro densità e
mobilità determinano la conducibilità della soluzione• Il
dispositivo così realizzato prende il nome di cella elettrolitica•
La soluzione prende il nome di soluzione elettrolitica• La sostanza
disciolta in soluzione prende il nome di elettrolita
• Il materiale di cui sono composti gli elettrodi è importante•
Può causare comportamenti diversi della cella elettrolitica• In
particolare la cella può comportarsi come una pila (generatore di
forza
elettromotrice)
+ --2 4 4H SO 2H +SO
V
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 393
Batteria ricaricabile• Descriviamo una pila reversibile a base
di piombo• Reversibile significa che può essere ricaricata• È
utilizzata nelle automobili, nelle moto (accumulatore)• La cella
elettrolitica è una soluzione di H2SO4 in acqua• I due elettrodi
sono• Uno fatto di piombo puro (Pb), l'elettrodo negativo• Uno
fatto di biossido di piombo (PbO2), l'elettrodo positivo•
Esaminiamo quello che avviene nell'elettrodo di piombo• In
particolare nella regione a contatto con la soluzione• Un certo
numero di atomi di Pb metallico delloelettrodo perde 2 elettroni e
passa alla soluzione• Nella soluzione lo ione piombo Pb++ si
combina con lo ione SO4−− formando PbSO4
• Combinandosi con SO4−− il Pb++ in soluzione lascia due ioni H+
non neutralizzati• Questa reazione avviene perché energeticamente
favorita• Il Pb in soluzione ha un'energia inferiore a quella del
Pb nel metallo • Complessivamente due elettroni sono nell'elettrodo
e due ioni positivi H+ sono
nella soluzione• Elettrodo e soluzione non sono più neutri, si
sono caricati
Pb2PbO
+−
+2 4 4Pb+H SO PbSO +2H 2e
−→ +● Complessivamente
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 394
Batteria ricaricabile• Pertanto l'elettrodo Pb si carica
negativamente• Gli ioni H+ si dispongono molto vicini alla
superficie
dell'elettrodo • Si forma il cosiddetto doppio strato•
Osserviamo che i due strati di carica generano un
campo elettrico (elettrostatico)• Per passare in soluzione lo
ione Pb++ deve vincere la forza del campo
elettrico che lo spingerebbe a rimanere dentro l'elettrodo•
L'energia che lo ione Pb++ perde passando in soluzione è maggiore
di quella che guadagnerebbe spostandosi in direzione opposta campo
elettrico
• Naturalmente man mano che il piombo va in soluzione la carica
del doppio strato aumenta• Ad un certo punto il campo elettrico è
diventato così intenso che il passaggio di ioni Pb++ alla soluzione
si arresta• L'energia che lo ione di piombo perderebbe passando in
soluzione è diventata minore di quella che guadagnerebbe
spostandosi in direzione opposta campo elettrico
• Il sistema elettrodo-soluzione ha raggiunto l'equilibrio• C'è
una differenza di potenziale fra l'elettrodo e la soluzione
−− −− −−+ + + + + + E
Questa è l'origine della forza elettromotrice
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 395
Batteria ricaricabile• All'elettrodo positivo (PbO2) hanno luogo
reazioni simili†• In particolare il piombo tetravalente del PbO2 si
riduce
a piombo bivalente
• Anche in questo caso avviene la reazione energeticamente
favorita• Questa reazione "consuma" elettroni del metallo•
L'elettrodo si carica positivamente• Vengono attratti ioni negativi
nella soluzione• Si forma un doppio strato• Gli ioni H+ che hanno
ridotto il Pb tetravalente hanno attraversato il doppio
strato contro il campo elettrico• Ancora una volta è comparsa
una forza elettromotrice
• Per finire il piombo bivalente si combina con gli ioni solfato
formando un sale che precipita
• Complessivamente al catodo è avvenuta la seguente reazione
• †Barak M. ed. – Electrochemical Power Sources -The Institution
of Engineering and Technology (1980) p. 188
−− −− −−+ + + + + +
E+ ++
2 2PbO +4H +2 Pb +2H Oe− →
++4 4Pb +SO PbSO−− →
+2 4 4 2PbO +4H +SO +2 PbSO +2H Oe
−− − →
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 396
Batteria ricaricabile• Anche all'elettrodo positivo si raggiunge
una condizione di equilibrio• Il campo elettrico del doppio strato
diventa molto intenso e il passaggio di
ioni H+ all'elettrodo PbO2 richiederebbe un'energia maggiore di
quella guadagnata dalla riduzione del Pb tetravalente
• In queste condizioni fra gli elettrodi della batteria c'è una
differenza di potenziale di circa 2 V• Se adesso colleghiamo una
resistenza fra gli
elettrodi comincia a scorrere una corrente• Dall'elettrodo
positivo a quello negativo• Gli elettroni passano dall'elettrodo Pb
al PbO2• I campi elettrici dei due doppi strati si indeboliscono•
Le reazioni riprendono• La batteria mantiene la corrente e cede
energia al sistema esterno
• Durante il funzionamento la batteria consuma Pb metallico e
biossido PbO2• Questo processo può essere invertito• Se si collega
un generatore agli elettrodi con una forza elettromotrice
maggiore di quella della batteria tutte le reazioni hanno luogo
in senso inverso• La batteria si ricarica
2VPb− +2PbO
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 397
Forza elettromotrice• Abbiamo descritto un generatore di forza
elettromotrice• Nella batteria descritta ci sono portatori di
carica che si
muovono contro il campo elettrico• La reazione chimica rende
questo passaggio conveniente energeticamente• Possiamo
schematizzare l'aumento di energia come il lavoro fatto da un campo
che chiamiamo campo elettromotore CE
• Ritorniamo alla nostra schematizzazione di generatore•
Indichiamo i poli positivo e negativo• Il campo elettrico è diretto
come in figura
• Calcoliamo il lavoro fatto sulla carica in un ciclo• La forza
che agisce sulla carica è• Nel circuito esterno al generatore F =
qE• Dentro il generatore F = qE + qCE
• La grandezza E prende il nome di forza elettromotrice della
batteria• È simile a un potenziale; si misura in Volt
q≡ E
W d= ⋅∫ F l ( )B A
A Bq d q d= ⋅ + + ⋅∫ ∫E l E C lE
−
+
EE C
A
B
A
Bd q d= ⋅ + ⋅∫ ∫E l C lE
A
Bq d= ⋅∫ C lE
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 398
Circuiti elettrici• Nell'elettronica si utilizzano conduttori
che hanno una resistenza ben determinata• Le resistenze o
resistori• Chiamiamo circuito elettrico un sistema
in cui più resistori e generatori di forzaelettromotrice sono
collegati insieme• In futuro introdurremo anche altri elementi
di circuito come condensatori e induttori• Le resistenze e i
generatori di forza elettromotricesono rappresentati mediante i
seguenti simboli• Sottolineiamo che si tratta di elementi con due
terminali• La corrente che entra da un terminale esce
dall'altro
• La figura mostra un esempio di circuito• In un circuito si
definiscono due strutture importanti• Il nodo: un punto nel quale
sono collegati più elementi del circuito• La maglia: una
successione di elementi del circuito connessi fra di loro e che
realizzanoun cammino chiuso
+R E
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 399
Circuiti elettrici• Introduciamo le relazioni Volt-Ampere• Un
elemento di circuito stabilisce una relazione fra la differenza
di
potenziale fra i suoi terminali e la corrente che passa
attraverso l'elemento stesso• Per il resistore è la legge di Ohm•
Occorre fissare delle convenzioni• Si indica, arbitrariamente, con
+ il terminale che haun potenziale più elevato• La tensione V del
resistore è V = V2 – V1• Si considera positiva la corrente che
entra nelterminale definito +
• Con queste convenzioni si ha
• Nel caso del generatore la relazione è estremamente semplice•
Si indica con + il terminale positivo del generatore• La tensione V
del generatore è V = V2 – V1• Un generatore di tensione ideale
mantiene latensione data fra i suoi terminali quale chesia la
corrente che lo attraversa
RI+2V
1V
V RI=
+E
2V
1V
V = E
+
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 400
Circuiti elettrici• Veniamo adesso a due importanti leggi che
governano il comportamento dei circuiti• Le leggi di Kirchhoff per
le maglie e per i nodi• La legge per le maglie• Fissiamo un senso
di percorrenza della maglia• Misuriamo le tensioni Vk sugli
elementi di circuitodella maglia considerando positive le tensioni
suiterminali in cui "si entra"
• La legge di Kirchhoff per le maglie afferma:
• È legata alla natura conservativa del campo elettrico e alla
definizione di campo elettromotore†
• Un modo equivalente ( più semplice) di enunciare la legge è
che la somma di TUTTE le differenze di potenziale degli elementi
del circuito è nulla• Si misura anche la ddp ai capi delle fem
secondo la convenzione
• †Si veda ad esempio Reitz J., Milford M. - Foundations of
electromagnetic theory – Addison Wesley 1960 § 7.5
k lk l
V =∑ ∑E
2V
3V
1V+−
−+
−+
La somma delle differenze di potenziale Vk ai capi degli
elementi è uguale alla somma delle forze elettromotrici presenti
nella maglia
0kk
V =∑
1 2 1V V+ = E
1 2 1 0V V+ − =E
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 401
Circuiti elettrici• La legge di Kirchhoff per i nodi• Definiti i
sensi positivi delle correnti del nodo• La legge di Kirchhoff per i
nodi afferma: La somma algebrica delle correnti ENTRANTI (o
USCENTI) nel nodo è nulla• Alternativamente: la somma delle
correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti
• È una conseguenza dell'equazione di continuità
• In condizione stazionaria dQ/dt = 0• Consideriamo in dettaglio
il nodo• La densità di corrente J è nulla escluso nelle basi
dei
cilindri (evidenziate in azzurro chiaro)• Il flusso attraverso
la sfera è uguale alla somma
dei flussi di J attraverso le superfici evidenziate è la somma
delle correnti che escono dal nodo
0kk
I =∑
1I 2I
3I
tρ∂
∇ ⋅ = −∂
J ˆV
S
dQda dv
t dtρ∂
⋅ = − = −∂∫ ∫J n
ˆ 0S
da⋅ =∫ J n 1 2 3 0I I I− − − = 1 2 3 0I I I+ + =
1I
3I
2I
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 402
Carica e scarica del condensatore• Consideriamo un condensatore
di capacità Ccaricato ad una tensione V• Sulle armature ci sarà una
carica Q = CV• Scarichiamo adesso il condensatore collegandolo ad
una resistenza R tramite un interruttore che viene chiuso a t = 0•
Appena collegata al condensatore chiudendo l'interruttore
la resistenza ha ai suoi capi una tensione V = Q/C• Inizia a
scorrere una corrente I = V/R• Notiamo innanzitutto che la corrente
ha un valore finito• Occorre pertanto un tempo finito per scaricare
il condensatore • In un tempo dt la carica sul condensatore
diminuisce di dQ = −Idt• La diminuzione della carica implica la
diminuzione della differenza di potenziale fra le armature del
condensatore• Diminuisce anche la corrente che circola nella
resistenza• In un successivo intervallo di tempo dt la carica dQ' =
−I'dt
che viene rimossa dalle armature del condensatore è minore di
quanto fosse all'inizio• La velocità con cui si scarica il
condensatore diminuisce
• Notiamo che la tensione V, la corrente I e la carica Q sono
diventate funzioni del tempo: V(t) I(t) Q(t)
C RI
V V
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 403
Carica e scarica del condensatore• Sottolineiamo il fatto che le
correnti non sono più stazionarie• In linea di principio il
problema diventa elettrodinamico• Tuttavia finché le velocità di
variazione delle correnti e delle tensioni non
sono grandi non compaiono fenomeni nuovi che abbiano effetti
apprezzabili• Definiremo in seguito cosa intendiamo per velocità di
variazione non grandi
• Un'altra precisazione• Quando abbiamo discusso la legge di
Kirchhoff per i nodi abbiamo utilizzato
l'equazione di continuità assumendo una condizione
stazionaria
• Avevamo detto che non si accumulava carica sul nodo
• Le leggi di Kirchhoff continuano a valere con una
precisazione• I nodi (e tutti i conduttori di un circuito) hanno
capacità trascurabili• Non si accumulano cariche anche se non siamo
più in una situazione stazionaria
0tρ∂
=∂
0dQdt
=
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 404
Carica e scarica del condensatore• Ritorniamo al condensatore
che si scarica• Analizziamo in modo quantitativo il circuito• In
ogni istante le tensioni ai capi del condensatore
e ai capi della resistenza devono essere uguali
• Per semplicità non indichiamo più esplicitamente la dipendenza
dal tempo• Inoltre la corrente che attraversa la resistenza è
legata alla diminuzione
della carica sul condensatore
• Il segno meno indica che la carica Q diminuisce
• Osserviamo che [R] = [V] [A]−1 = [V](Coul T−1)−1 [C] = Coul
[V]−1• Pertanto [RC] = [V](Coul T−1)−1×Coul [V]−1 = T• Il prodotto
RC ha le dimensioni di un tempo: RC = τ• È la costante di tempo
caratteristica della carica/scarica del condensatore
C RI
V
( ) ( )R CV t V t= ( )( )Q t
RI tC
=
dQ Idt= −
dQ QRdt C
− =dQ dtQ RC
= −dQ
Idt
= −
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 405
Carica e scarica del condensatore• Ritorniamo all'equazione
• Indichiamo con Q0 la carica presente sul condensatore al tempo
t = 0• Abbiamo
• Uguagliando l'esponenziale di entrambi i membri
dell'equazione
• Passando alle tensioni (Q0/C ≡ V0)
dQ dtQ τ
= −
( )
0 0
Q t t
Q
dQ dtQ τ
= −∫ ∫( )0
lnQ t tQ τ
= −
( )0
expQ t tQ τ
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
( ) 0 expt
Q t Qτ
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
( ) 0 expt
V t Vτ
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠scarica
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-1 0 1 2 3 4 5/t τ
0
VV
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 406
Il condensatore elemento di circuito• Interpretiamo le equazioni
viste in modo leggermente differente• Vogliamo trovare la legge che
lega tensione e corrente
nel condensatore• In analogia con legge di Ohm per le
resistenze• Una relazione Volt-Ampere
• Il condensatore ha una carica sulle armature Q(t)• La sua
tensione è V(t) = Q(t)/C• Se il condensatore è collegato ad un
circuito esterno comincia
a fluire una corrente• Con la convenzione indicata la corrente
positiva aumenta la carica sulle
armature del condensatore• La tensione aumenta
• Analizziamo nuovamente il circuito• La corrente che fluisce
nella resistenza è uguale alla
corrente del condensatore cambiata di segno
+VI
dQdV
C=
IdtC
=dV
I Cdt
=
C RI−
V
V RI= −dV
RCdt
= −dV
Vdt
τ= − 0 expt
V Vτ
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 407
Scarica del condensatore• Notiamo che inizialmente nel
condensatore era immagazzinata energia elettrostatica
• Al termine del processo il condensatore è scarico• Dove è
finita l'energia?• È stata dissipata per effetto Joule nella
resistenza• Nella resistenza viene dissipata una potenza P(t)
• L'energia totale dissipata è
20
12
W CV=
( ) ( )2V t
P tR
=20 exp 2V tR τ
⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
( )0
W P t dt∞
= ∫20
0exp 2
V tdt
R τ
∞ ⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫ ( )20
0
1exp
2V
x dxR
τ∞
= −∫20 12
VW RC
R= 20
12
W CV=
-
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 408
Carica del condensatore• Consideriamo adesso un problema
leggermente differente• Carichiamo un condensatore ad una tensione
V0
utilizzando un generatore di tensione• La resistenza R può
essere introdotta diproposito oppure può essere la resistenza
interna del generatore• In quest'ultimo caso indesiderata ma
inevitabile in un circuito reale• L'interruttore viene chiuso al
tempo t = 0• È equivalente ad un generatore che fornisce
una tensione come nel grafico• Notiamo che la stessa corrente I
circola sia nella
resistenza sia nel condensatore• L'equazione della maglia è
• Otteniamo l'equazione differenziale
C
RV
CV+ R0V I
0 0R CV V V+ − = RV RI=CdVI Cdt
=
0C
C
dVV RC V
dt= + 0
CC
dVV V
dtτ + =
gradino
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-1 0 1 2 3 4 5
C
0
VV
/t τ
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 409
Carica del condensatore
• La condizione iniziale è VC(0) = 0 • Il condensatore
inizialmente è scarico
• Si verifica immediatamente che l'equazione è soddisfatta dalla
funzione
• Confrontiamo la tensione del condensatore conla tensione
applicata alla resistenza ("ingresso")• Possiamo dire che il
condensatore non riesce
a raggiungere V0 con la stessa velocità dellatensione applicata
per caricarlo• Il prodotto τ = RC determina la velocità con cui il
sistema resistenza - condensatore raggiungela tensione di carica
voluta
carica
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-1 0 1 2 3 4 5/t τ
C
0
VV
0
VV
gradino
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-1 0 1 2 3 4 5/t τ
0 0 0 1t t
CV V V e V eτ τ− −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
C
RV
CV+ R0V
0C
C
dVV V
dtτ + =
-
Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 410
Carica del condensatore• Osservazioni• La velocità con cui si
riesce a caricare un condensatore dipende dalla
resistenza del conduttore che trasporta la corrente per
caricarlo• Resistenza interna del generatore• Resistenza dei
conduttori (lunghezza)• Naturalmente a parità delle altre
condizioni capacità più elevate richiedono
tempi più lunghi per raggiungere la tensione voluta• Dispositivi
elettronici molto veloci richiedono capacità parassite piccole
• La tensione fra le armature di un condensatore non può
cambiare istantaneamente di un valore finito• Ci vorrebbe una
corrente infinita tale che Q = Idt (I → ∞, dt → 0)
• Circuiti RC possono essere usati per generare ritardi• Un
circuito elettronico può generare un segnale ritardato quando il
suo ingresso supera un valore di riferimento
carica
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-1 0 1 2 3 4 5
tΔ
CR
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 411
Partitore di tensione• Un circuito molto semplice ma molto
importante è il partitore di tensione• Vogliamo calcolare la
tensione ai capi della
resistenza R2 (fra i punti a e b)• Chiamiamo i la corrente che
circola nella maglia
• Ovviamente
• Il partitore fornisce fra i punti a e b una tensioneinferiore
a quella della forza elettromotrice• Il fattore di riduzione f (o
di partizione) è
• Notiamo che
• La tensione appare ai capi delle resistenze più grandi•
Tuttavia occorre tenere presente la differenza fra partitore e
generatore di forza elettromotrice ideale di valore E/2 • Diversa
resistenza interna. Approfondiamo questo punto
a1R
2R
E i+
b
i
a+
1R
2REb
Lo stesso circuito
1 2
iR R
=+E
2 2V R i=2
1 2
RR R
=+
E
2
1 2
RfR R
=+
Ad esempio se R1 = R2 1
1
12 2R
fR
= =
2 0R → 0f → 2 0V = 1 1V Ri= = E
1V
2V1 2 1 2V V Ri R i= + = +E
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 412
Generatore di tensione ideale
a
+E
b
LR
v
i
E
QV
C=
C
• Ricordiamo la definizione di generatore di tensione ideale• Un
dispositivo capace di mantenere fra i sui due
terminali una differenza di potenziale
costante,indipendentemente dalla corrente erogata
• Supponiamo di effettuare una verifica sperimentale•
Colleghiamo una resistenza di carico RL ai terminali• Misuriamo la
differenza di potenziale v fra a e b• Misuriamo la corrente che
attraversa RL: i = E/RL• Ripetiamo per tanti valori differenti di
RL• Avremo tante correnti differenti
• Riportiamo i risultati in un grafico• La differenza di
potenziale è costante• Non dipende dalla corrente erogata:
Generatore ideale• Un generatore reale: Generatore di Van de Graff•
La tensione fornita è Q/C• La corrente erogata fa diminuire Q: dQ =
i dt• Nel tempo dt la cinghia ricarica il condensatore: dQ'• Se dQ
> dQ' ( i "elevata") la tensione si abbassa• In queste
condizioni non è un generatore ideale
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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 413
Generatore di tensione reale• In un generatore reale la tensione
diminuisce sela corrente erogata aumenta• Un comportamento analogo
al partitore di tensione• Avevamo trovato la tensione fra a e b
• Elaboriamo la relazione per v
• La relazione trovata è una retta nel piano v−i• La pendenza
dipende da ri• L'intercetta all'origine è la forza elettromotrice
ideale E• Un generatore reale è schematizzabile come un generatore
ideale con in serie una resistenza ri: la resistenza interna
a
+
ir
E
b
v
i
E
LR
L
i L
Rvr R
=+
E
iL
i L
ir rRvr R+ −
=+
E
e la corrente in RLi L
ir R
=+E
L i i
i L i L
R r rr R r R
+= −
+ +E E
ii L
rr R
= −+E
E iv ri= −E
resistenza interna ri
tg irα = −
α