L O S SEIS L I B R O SP R I M E R O S DLA G E O M E T R A DE
EVCL.IDES.T r a d u z i d o s e n legua Efpaola p o r Rodrigo
amorano Aftrol goy Mathematco,yCathedratico de Cofm.ographia p o r
fu Magetad en la cafa de la C o n t r a t a d o de Seuilia
Dirigidos al jlkitre feor Luciano de Negro, Cannigo dla fania
ygk-ia de Seuilia.;
m
Con licencia del Confejo R e a l . En Seuilia en cafa de Aonfo
de la Barrera.
Efta taflado ea o cijo p e z e t a s
i"
i
& | L 1 P P E . Por la grjw Lea deBios.Rey de^Ca jftilla, de
Lecn^de & ra i gn de las dos Sicilias de Ierufaen, de aua r r a
, d e G r a n a d a , de T o l e d o , de Valencia, de"Galizia,de
Mallorcas de Seuilla,de Cerdea, de Cordoua,de Crcega , de Murcia,
de Iaen, Duque Mil ende Fdes y de Tirol.eet.Por quato por parte de
vos R o drigo ^amorano nos fue fecha relaci dizido q v o s auiades
traduzido los feys libros primeros de Ja geometra de Eucli des en
nueftra legua efpaolapoique hauan fido muydeTea d o s de muchas
gentes p o r ia gran vtihdad qu trayan afia los que liguen las
matlematicas cmo a todos los artfices^ y. en traduzir le n o folo
auiads pafado mucho trabajo en que materia tan dificil y
obfcura,eftuuiefle clara en -nuelra lengua,pero a la repblica fe le
hauia hecho n o pequeo beneficio p o r la neceflidad que de ella
obra tenia. Suplicando nos lo tnandaflemos Veer y dar os licencia
para lo poder im p r i m i r , o e o m o lanueftra mercedfuefle. Lo
qual villo p o r l o s d e l n u e f t r o C o n f e j , p o r q u
a n t o e n e l d i c h o libro fe h i zieronlas diligencias que la
prematica por nos hecha fobre la ymprefion de los libros difpoiie
,fue acordado que d e niamos mandar dar efta nueftra carta para vos
en la dicha r a z n & nos touimos lo por b i P o r la qual
damos licencia mm y facultad para que p o r efta vez
qualquierymprebr deftos nuetrosreynos pueda imprimir el dicho libro
fin que p o r ello cayga ni yncurra en pena alguna. Y mandamos que
defpues de ympreo n o fe pueda vender ni venda finque p r U-
A%
* -tk
W
Tnroe traya a nuetro Confejo juntamente con el original que fue
vifto,que va rubricado y firmado de lun gallo deAndrada nueft.ro
fcriuano de cmara de Sos que reiden en el nuetro Gnejo^para
queladichaimpreTion fe vea li eta conforme al original y fe de
licencia para lo poder vend e r ^ fe taTe el precio a que le
huuiere de vender cada pliego defjfopena de caer & incurrir en
las penas contenidas en la dicha pregmaticay leyes de nueftros
Reynos y mas de la nueftra merced y de diez mili marauedis para la
nueftra cmara. Dada Madrid a v e y n t e y q u a t r o das del mes
de mar co de mili & quinientos y fet'enta y q u a t r o a o s .
D.EpsSegobie. El Licenciado E l d o c l o r Francifco Perogafco. ,
. fcerndez de lieuana El doctor luys . demUna. El D o c t o r
Aguilera,
E Licenciado Coutreras.
Yo lun gallo de Andrada fcriuano de cmara d e f u M a g e ftad
la fize fcreuir por fu mandado con acuerdo de los del fu* Confejo.
. < \'. ' I . , A i o n f o d e V a r g a s ~. Pecellin y,-... P
o r chanciller Jilonfo de Vargas Pecellin
AL ILL VSTRE SE O R -L-VCINO DE N E G R O N cannigo
delaaric?tayp-Ieia de Seuilia. (.*0 3j| B L I G M E(l!lulre feor)
*%%M lo mucho quc.V.M.merece, li^^^ffl i | y la deuda particular
enc|uc todas lasbuenas artes a.V.M |5|i||j le e.fta,adtdicarlc
como'a p tro a y tan etdiofo de todas ellas,etos feys libros dla
Geometra de Euclides traduzidos en nueftra lengua Epaola para
comericar con cito a feruir alguna parte de lo mucho q a.V.M.deuo y
deTeo: como a p r ^ ib na que no folo en fus principales e iludios
dlas letras fagradas^pero aun en efte g e a e ^ ro de
profesiontiene tarnbuna parte, que bailara dar nombre no folo a e l
e / p e r o a otros mas Illulres trabajos. El qual co'nfio que fera
gratamente recebido de todos los curiofos de las Mathematicas,
tanto por yr debaxo de tal proteccin y amparo^ quanto por5
por el titulo de fu proprio authorprincipe de la Gcometria,tan
celebrado en todas las lie dades .El qual fi en nueftra lengua
a.V.M. die re alguna atisacion,eftare cierto que podra contentar a
todos los que guftan de tan loables eftudios. Suplico a.V.M.le
admita, que aunquepara el merecimiento de.V.M.el don feapequeo,le
ofrece vna voluntad muy gra de para feruirle en cofas mayores.
Iiluftre fenor.
Bfalas manos de.v.m.fuferuidorJ
Rodrigo ^amorano.
CA curilo ie&or.
4
.
Rimero q la Geometria( curio fo Ictor)fc reduxefe al fer q ao ra
tiene,anduuo vfo entre las getes.Cuyos inutores dizha uer ido los
Egyptios por la gr de ncceldad q 3. ella teni.Porq como el rio Nilo
enel eftio crecia tato q fu creciere les re gafle y aun anegae
todos los capos venia a deshacer y borrar los trminos y linderos
delas heredades de toda la tierra. Y ai obre la aueriguacion de lo
q a cada vno defpues de la meguante le perteneca, auia
ordinariamte, no pequeos peytos y ctiendas entre los vnos y los
otros , ecogiendo cada vno para i lo mas y mejor.Por lo qual es era
forcado ca da ano acudir de nueuo a los juezes y gouernadores
delatierra,para qlos concertaTen. De aqui vino q los juezes median
por las reglas que cada vno halaua mas ciertas yverda leras o que a
cada vno le perteneca = De los quales el primero que fe lee hauer
dado r e glas para la medida fue Mers Rey de Egypto al qual fe
atribuyela inuencon de la Geomc4 tria.3
tria. Decle ele vino la facultad del medir puco a poco crefciedo
ennueuas inuencio nes haftalos tiemposde Pythagoras philofo pho
natural de la lila de Samo : el qual defpues dicen haber inuentado
enella las delineationes las frmaseos nter ualls, las di-; lantias
y las quantidades. Y acab muchas cofas de efta fcientia, entre las
quales hall la virtud opotencia del triangulo rectangu lo, con
tanto contentamientoy fatiffatioa de haberle halado,que fe dice
del, en pago de la merced recebida haber ofTrecido ala Diofa
Minerua elacrificio Hecatombe que entonces llamaban,ene qual
facrific cien vacas.Defpuesde Pythagoras hubo muchos hombres
excelentes enefta facultad y profe fiondela Geometria.Deos quales
fue vno excelentifsimo entre todos Archimedes na tu ral de Sarago^a
en Sicilia. Fueron tabica principales ela Anaximclro Mieio y Par
menides,elcp por razo Geomtrica affm q la tierra era redonda y de
figura fpherica yf queeftaiaaerrtada en el medio del vniuerfo.LLego
el negocio de la Geometra cnton ees a tanta cumbre, que entre los
antiguos pare-
to.
f.
pareca que e competencia por general inci^^jo^lcmpuinodosatratar
dla medida* ^airvnos 2 otros eipoa diueras preguntas y
difcultades*y qualqicra coa qu les pare
taqeiliua'bieanallada,laguardaua enecri ptQ y^fli la eomncua no
folamte enEgip tojpero poco a poco fe vino tibie, a tratar en
relasgetes afli apaxtadas^oniOY2nas.Ata q entre todos
Euclidesphlofoplio natural de Megara Grecia^que fue el que
masfloreeoj toimndoniuy muchas desaquellas inuenebns antiguas/es
anadio co u agudeza y fubt leza de ingenio otras muchas. Yporqueno
fe peidiefsen los trabajos y eudios dlos antfe guosdas junto todas
en qunze libros,os cjua les llamo Elmetos;porque iendoclas fign as
de efta obralas primeras demftratones que de Geometra fe hazen,
todas las de mas que deftaydelas otras fcientas proceden^ fe ha,
dereduziraeftascomo aprincipiosropor que afi como de los quatro
elementos fe hazen y penden todas las cofas afi de aqu pen d todas
las artes y eencias.Enlas quales ca rifllmamente fe vee la
necefidad q tienen de la Geometria.Pcrq fi procedemos de vna eii
iil B otra5
otra hallaremos que lo principal que tiene en las artes
laArchite&ura el defear de las pa tas y conftitucion de los
aleados de loshedifl cios;,y de donde mas fe ayudares dla Geome
tra.Y afi fevee claro qu por falta de efta fci enca e han caydo
muchos hediricis,por no les hauer dado la forma deuida y que les
era ncefaria.La pintiira y efeulptura en fis def& nos y debujos
(como parebe por Alberto D a xero en el libro d Symmetria
corporishum ni,y por Len Baptifta Alberto en los de pittura) tienen
tanta neceffidad de ella, que lo principal de fu arte efta puefto y
cofifte en el buen conofcimiento.de la Geometra fin la cjual a
ninguna cofa de las que hazen fe epue de dar buena proportion y
medida.Muy nial puede eINibelkdor deaguas traerlas' bien al faigar
dde deea in ayuda de la Geometra. N i el Ingeniero aflenla guena
como ca paz dar bienfio.Geometra la proportion que a fus machinas
le deue.Ei capitn y el foldadoj? foera de otras muchas cofas en que
cada; di experimenta efto,lo echan de vtyi Guanta hazelafgura para
la fortaleza del efquadro i El artillero tamb cb la G comeara mide
las a difta5 3 3
fo.
6.
idiftrias ointeruallos 'fegtt la potentia dlas piezas coque tira
y haze las minas pata volar loi fuertes.Pet mucho mas Te echa de
ver ef tenlascientiastdelas quales la Alronomia podriarhuy.mal
probar y demonftrar las qua tidades y proporciones dlos cuerpos
ceetia des y de la tierra para el conofcimiento de los
anoimieficosy eeripfes del Sol y Luna, i to das Tus demontrationes
no las hiziefe Geo metria:de la qual en la Aftronomia fe han lacado
tanta multitud de coiasdignas de admi raciony iubtiezaqueparecen
trafcender la capacidad humana.LaComographia bi ca
ramentedaaentenderquanto'e aproueche ;de cita fcientia enla
defeription de las proua cas y fitio de los ugares,y ambas a dos en
a compolicion de tantos inftrumtos comotie nen por medio c
intercedi dla Geometra. La cientia de la Perpectiua con Geometra
;rueua todas fus c6cluiones,y por-medio de la no folo inueftigay
efcudria los interio ~ res fecretos de las obras de natura,pero
tambin faca aquella fubtil inuention de los cipe jos vfcorios
o/cburtes.La philofophia nata ral q efciiuiero Plato, Aleteles y
todos los B 2, ant
antiguos eta ta llena deexcmplos Geometri cos,q fia eta fcitia
es imponible poder phi lofophia aber el dia de oycofa alguna.Tbi Ja
philofophia moral es cofa clara la necefll ~ dad de Geometra q
tiene,pues -Alateles las Eticas copara las dos partes dla
jufticiadi flributiuay Comutatiuaalas dos propordo nes, Geomtrica y
Arithmetica, Quintiliano haze la Geometra necefaria al Orador,yRar
tolo al Iuperito.Y generalmte a todas las dems artes y (ciencias fe
les hecha de ver la necefidad,pues vnas fin ella nopued paTar, y a
las dems les es vtil en grande manera, co mo lo vera quien a ello
vn poco atender qui fiere.Ha fido fiempre tan tenida y elimada
eftafcicntia que Platn madaa ninguno- de fus difcipulos entrafe a
oyrlephilofophia fino fupiefe primero Geometra.Hyppocrates eferuio
vn libro de el quadrar el circulo,Auice na otro de lneas y nmeros,
Archimedes mu chosjdelos quales algunos fe han perdido co la
injuria del tiempo,y otros andan aun elda de oy entre las manos
dlos curiofos . Hypflces criuio dos libros de Geometra que tra*>
tan de la proporcin de los cinco cuerpos re guiares
fo.
7.
gulareSjIosquacs con algunos de ios quince de Euclides traduxo
en latn ScucrinoBoetio Apolonio Pergeo iolia r llamado diuino por
los ocho libros que ccribio de las fc&io nes ConicaSjdc los
quales alcn tanta diueridad de fubtilczas en los Rclogcs folares,
en los inftrumentos MathcrnaricoSjy principalmente en aquella
delicada y admirable mu tion de el Aftrolabio 4 Y finalmente a
nadie podemos juzgarpordcCp,anacl;icprperito y ejercitado en u
fcienta o en arte alguna:l carece del conocimientode la Geometria
ba jfs y fundam.ento de todas elas^Por lo qual fiendo efta fcitia
tan antigua^necefaria y no ble jpeure de comunicar la atoaos para
que fe puedan vniuerfalmente aprouecnar della en todas las artes y
Icientias.Y no me ha pare cido facar aora a luz mas de osprimeros
feys libros por er eftos mas neceTarios que los otro?.Ni he querido
poner en ellos comenta rios,fcholios ni additones(que pudiera) por
que el audor fue en efto ran ingenilo que el que quifiere,con
facilidad puede, atendiendo bien a la letra.percebir el fentido
ydemon tracion de lo que el enfea. Y aunque efte B 3 mi3
mi pequeo trabajo entiendo ha. defer agradable a muchosjpero a
otros no les parecer tambienyporqiie auhnoie hauiabiencomen^ado
quahdome dixeron *ms bien y otros mal de mi dilrgecia.^asderpues
perfuadido: por ruegos dealgunos amigos,y de la necel dad que de f
andar efte libro en nueftra- legua
vulgar'h^miaiteiiiendo^ra^lcadalamano delittadu^ioif^uievoiuclr a
ella,afta.acabarlos ey^prirnroslifeosyqe ion los mas necearlos det
dos iosquEucides eferibio Pareciendo me mejor el proUeeho que a los
^nos bzia que noa murmuracin que por fuerza trg 'd fufrir de los
dems, que lespa reoe,que el andar las cieririas en lengua vulgar es
hazer las Mechanicas,no mirando que los uthores que al principio
las cribieron, las dexarOnfcripts en lengua que entonces eratau
vulgar cmoaor Ib es la nueftra,y que no buferon otras ages nque
crebrr porque fu intencin fue mas^de aprouechar a todos que no de
encubrir a nadie la fcitia. Pero poique eftas gentes me parece que
van fuera de buen camino,no curare degaftar pa labras en efto,mas
de encomendar a criofo;
lector
fo. Ic&or.,tenga por-bueno m i trabmo^I^rtial i C yo
entendiere q u e Je es abepto Tacare O H Bfeuerhenteicque f i l a d
l e Eucli Ci des,con otras cofas tocantes t a la 'Atrnbmia,trolo- t
. giay Colmogra^snfaycjq 13 *&>i *-5^>entieclo
aplacerYw->c" OJH/ .1 7- a t s curiofos. .rnut>?in
V^lt\r-ini~2A ? 3 I. KL -i . 3OJSIJg ; r
zaomuim
,5ni fibbconimisi 20J ..zob-nuq-GL --y 5jp EI 23.i313n! J 4. *ol
stip o 23 3 i 3 r h s q n 2 * .LJis3i3i.33nom/.I .^indanfi y - : c
3 n i i '*oi s b f h s q u ! s b b s o n i n m i . a o J * z-r.
33n3inln^^ap 23'f;rtli 3ion43q2 c ,23nil znl.siina MmnhtvpZ
niii-^aonjiH-.JngA ' i l?.c
Ltiqw n-.i* c bt57.il} no-i:
LB O P I E O I R R MR
D E
LOS E L E M E N T O SDE EV C LI.DE S P H I L d S O P H O
Megarenfe. De tres gneros de principios El primero las
difinitiones. i. Puntoxs cuya parte es. ^L i n a r e a 3
ninguna..
z. Linea es logitudque no. fe puede enfanchaf. %Los terminosdela
linea. fonpun&os., Liaea tortuofa. 4. Linea recta es la que
ygualmete efta entrefus; puntos.. Superficie liana. S up erficie es
lo que fo < lamente.tiene lgitud y anchura. . 6'
Losterminosidelafuperficiefon lineas. 7 Superficie
llana^esja.queygualmente efta cntre.fus lineas. Superficie c r a uu
. & Angulollano es, la n; clinaciode doslneas qfe toca en vn
plano y no. efta en derecho *
Lineacurua,
E G I R. V LD S9
f. 9 a .
7ngulo rectilneo fe llama quandoias lineas que ctienen el ngulo
fueren rectas4 g ! r& nu e o o
10 Q ando eftando vna linea re ta fobre otra linea recta hi
zicre ngulos de ambas par tes yguaes entre i, es recto cada vno
dlos ngulos ygua les j y la linea que fobre efta fe dize
perpendicular fobre la que eftuuiere.3
r -g
1
Obtufo
agnd
i i ngulo obtufo es el mayor que recto, i ngulo agudo es el
menor que recto. 13 Termino esjl i4.Figufa es lasque es contenida
dealguno, o e algunos trminos, en tuern-n Cu-cuio. i s Girculo es
vna figurallana ctenida devna linea,quc ellama circfercia, afta ala
qual todas las lineas q flieren devn p unto | ele :
LIBRO PRIMERO D E . dentro cayendo enlacircferentia aelmifmo
circulo ion entre l yguales. 16 Centro del mimo circulo fe llama
aquel puncto. 17Diamet.ro Sesmero de : circulo,e| k.figu
Sepmeno.
I
i
i-
t&&mtU^Jk&3&J&&& tecla v de vna
circunferehciade , circulo mayor o menor q medio circulo. ..
:-;> %o Figuras rectilneas fon las que fon conten das de lineas
rectas.2,
i
Figuras de tres lados fon lascte Triltera, nidas debajo de tres
lineas rectas v ^ ^ S ^
EVCLIDES. xx
f:
i J
Figuras quadriktcras fon las que fe comprehcnd.cn debajo de
quatro lineas rectas.
Quaratera.
I
x 3 Figuras de muchos lados fo las q fe copreheden debajo de mas
que quatro lineas re
De muchos lados
L
ft ja&ti>
L-b*
9
xnK*? Cd-
i Equiltero.
2,4 t r o i dlas figuras de treslados triangulo equiltero es.el
/ q fe c.6tiene debajo de tres lados yguales. x .? Yfofceles es el
q es cotenido folamete debajo de doslados ' yguaie's. i6 Efcaleno
es el que es conteni do debajo de tres lados del *gukles. ~ttrtg
.ns ule tja**n-2c#7 x ? Dems deliro delasfip-uras d tres lados
trieulo rectgulo es el que tiene ngulo recto.t
izy^^:
.8 Pero.amblygon.ro es,el quetene'aiguloobtufo .y , ;
Amh^onlo.
LB O P I E O I R RM R .TK t*i efi j/ -
f- V 1 9 Oxigonio el que tienetres anr
Oioi. J x n g o
^ T v * ^ ' * o Pero dalas figuras quadrila/ teras,quadrado es
elquc es e/* /* * **7 . quilatero y rectngulo.2 A
^
Q ar d . u ta o l
11 Quadrangulo es,e que es re^P
Quadrgulo ^ 1 Rombo.
^
4H
^
tangulo po no es equ-ilatefo
f t f *
*J
1
1 1 Rombo es la figura q es equilatera, pero no es rctgula. \
\Romboyde.
Romboyde es la figura q tie ?ara*f4*A>*v ^ TIC los lados y
ngulos contra *u* a/eq'i** yg aIes,peroniesequila t re tera ni
rectngula.3 3ros u
; *$jfy*"
:
fr a
. 7~ " C "o
d e f t o s
dems quadrilateros fue llamauc trapezias.
Trapera?.
/ l U
r e ^ s parallelas olas iah*> 2p*** ' q citado vn mimo llano,
y ^^f^ eftedidas de abas partes cin-, H ba.x0J.J4LH***> finito,
ningaparte coeufe .
frl* 'txzi*"^
%L m e a s
Prlls aaea
LB O P I E O I R RM R .
fo.
^ El femando genero de principios . las peticiones, rrj ;:;
-Tirar vna linca reda defdc qualquer pun d o afta qual quier p
undo. Vna linea reda termina da eftender a cotinuay derechamente..
- I
Sobre qualquier centro Jj y diftancia decribir vn .circulov .
iup -:./. >fi Todos los ngulos redos fer entre l yguales.
Sicayedovna linea reda ib bre'dosineasA
\ B
los ngulos interiores y de vna mima par te menor es-que dos
redos, aquellaslineas redas eftendidas en nfinito,es neceTario que
concurra azia aquella parte ena qual eftanlos ngulos menores que
dos redos
LB O P I E O D I R RM R E
El tercero genero de principios | las comunes fentencias. i Las
cofas que a vna mifmafon yguaes tambi entre l fon yguales. ' % Si a
coas yguales feles aaden cofas y%
"
A.
~
5
ly
gualesjlos todos fe ran yguales. | Y i de cofasygualeSjfe quita
cofas yguales las que quedar feran yguales. *
4 Y l a deigiiales fe
a juntan cofas ygua g=====|f les los todosfera de * guales. \X-.
... ;' j . i * Y i de deiguales e quitan co las yguales las reftas
feran deip-uales. ., ;
Las cofas q fon dobladas avna mima fon yguales entre l
t B
EOS ELEMENTOS.? f
fo,f
n
}
j Las cofas que fon de vna mifma ion mi " .ta,d on.yguales.
ntre.u, % Las que entre l conuinn oyguaes en trei. ... . ..._ . ..
, j,..y , 'nv (
j El todo es mayor que fu parte
-
v
10 Dos lineas redas no cierran fuperfice.
i
LIB R O
P I E OD RM R E
LOS EL E M E N T OSGEOMTRICO S DEVCLIDES philobpho Megarenfe.
J\P b m pnmero,propoition primer*, r l a oe
Sabr vna linca r e d a dada terminada hazer y n triangulo
equiltero,^4, Sea la linea r fa dada terminada.A B.cSuiene
defcreuif ei fobre A Bv trigulo equi .n l a t e r o . Sobre e
cetro. k:y l feg elefpacio. A. B . deferi bafe ecrcuo. B.C.D. (por
la tercera petiti )Y tm i a b ( o la mifma)fobre el tenpr t oBy
efpacio.B A.def r. .el criuafe el o t r o crculo. A.C. E.Y(por!a
primera petici) d e el pun&o.C.donde los circuios fe cortan,
tirenfe las lie d neas r e a s , C A,C Bat l s pun&os.A.B. Y
porque el p n . a o u to.A.es centro d l circulo.C.B.D. lera yuU
linea. A. C. e ga a a l linea. AB( o l decima quinta dcnniti)It
porque el a . .p r a punto.B.es centro d l circulo.C A E. fera
ygual l linea.B C e a a la linea. A B. luego ambas. C A. y la.C
B.cn Yguales a la linea. A.B. Y las colas q e a vna foii
Yguales,trefiIon y u u ga les(por la primera comn fentencia) luego
la linea. C. et ygual a l linea.C B.luego las tres lineas C A . A B
. B C. fon a yguales entre i.Sera pues equiltero el triangulo. A B
C . y fabricado fobre la linea reta dada terminada. A B.lo qual
conuino hazerfe.
~ ESCUDES.V ' ' - - ' ' ' __
r
r r
i
f
0>
'. i. ..- Sea elfrigu'o yfoceles. A B C. que tenga el lado. A B.
y g u a l a l l t . A C. y triendaafederechameteCpor la fecd p e t
i t i o n ) laslineas, B .C E. alas lineas. A B. A C, digo que f l
n g u l o . A-B C.es.ygual^la.ngnl-o. A C B.y el ngulo,CB D al
ngulo., B C E , Tonee e.a la linea.B E>, vnptso a,cafo y A
ea.Z.ycortefedekJinea.A / k ^ a y o r (por la tercera p r o p O ' .
/ \ .. . jici) vna ygual a la. A Z . me j \
jaoryfea.A.Ly:f^atenfe..Z'.G , . /. \ j ^ J i l . y p o r q u e .
A.Z.al.A I. ^/ .y A B.ala. A C . fon yguales, / \ luego lasdos ZA.A
CloygUa les a las dos.I A .A B.la vna a Ja otra,y cierran el ngulo
co mun que es cotejado debajo / \ 4 e Z A i yego la b f s Z C, , ai
7* . spojfA :
l^EVCLIDES. ' fo. i> es( por la.4. propofici) ygual a la
bais.I B .y el triangulo. A Z C . f e r a ygual al triangulo. A I B
. y los dems ngulos a los de mas ngulos elvno al o t r o fer
yguales .debajo d e l e ; quales fe'eftienden yguales lados efto es
el ngulo,A C Z. al ngulo,A B l/y el angulthA Z C.al'angulo.A I B .
y p o r q t o daa.A Z.es ygual a toda la.AI.de las.qualesla jinea .
A B . es ygual ala linea. A C.luego l a q u e realB Z. es ygual
(por la.j.com fentencia)aa. C I.q refta. Y ella demoftrado que. 2
G.es ygual ala miima.B Lluego las dos. B Z. Z C.fon ygu Resalas
dos.C I. TBJa vna ala otra^y el anguo.B Z C. es y gual alanguo.C I
B .(por a^.^ppofici^y la.B C. esbafis co munduego eltriangulo.B Z
G.feraygual al triangulo.GIB y o s dems angiies.:alos dems ngulos
elvno al otro fer tambin yguales debaxo delos-quales fe
eftiendenyguaes lados:(po lafnifm}Itrego el a-hgulb.Z B G.es ygual
al angu loil CB.y elanguo. B CZ al ngulo C B I.fn yguales.Pues p o
r q t o d o el gulo. A B L c o m efta demoftrado es ygual a t o d o
el gulo. A CZ.dlos. quales.CB Les ygual al angulo^B C Z.luego el
ngulo.A B C.q refta es ygual (por la.3,com fentcia) al ngulo
relate, A C B.y fon fobre la bais del tri ang'ulo.A BC.pero
efta.ck-inoftrado,queel_angulo,Z B.G,es ygual al ngulo.IC B,y eft
debaxp dla bafis .Luego dlos m n g a l o s y fo'fcles les ngulos
que eftan fobre Jaba-s fc'4 yguales entre il,y eftendidas las
lineas reclas-y guales.leraa tambin iguales entre fi les ngulos que
eftan debaxo de la ba s lo qualfe auia dedemoft;ar, Theorema.j.,
PropoMciou.6,} :
>. - '; *
C Si los dos n g u l o s del t r i g u l p f u e r c . y g u a J
^ f e n t r e l ^ r a m b i c h los l a d o s q e t a n d e b a x o
e:yg;uaesangulGsery.guales e n t r e , ';^S.a'l triangulo. A B C.q
tenga al angulo.A BC.ygual al ngulo. A GB.Digo tambin el lado, B,
es ygual al lado, C p p r q l u j es yguall lado.AB.alado.A C,elvno
delloa & t a rnyer/eaVAB.may'or(YporTa.
j.'propoficn^cortefe
[LIBRO P I E O D RM R E del mayor. AB.vna h n e a y g u a l a
la. AC.y ella fea. D B. y tirefe la linea. j \ D
C(porla.3.petiti)Puespcrcj el la do.DB.es ygual al lado.AC.y com
lalinea,B Ciuegolos dos lados . D B.B C. fon yguales a los dos
lados. A C C B.e vno al otro^y el ngulo. D E C a i gulo. ACB. p o r
la fuppofi ci, luego ia bafisD.C.(porla.4.pro poficioa) es ygual a
la bais. AB.y el trigup.DBC,feraygual porlami ma, al triangylo,ACB.
es a.faber el menor al iriayor lo qual e s impoli; ble.Luego el
Lado. AB^noesjiefigual al l a d o . A C , Sera pues y g u a l .
Luego filos dos ngulos de vn triangulo fuere yguales entre.
fi,tarbi ferar ygualslo's lados^ntre finque fe elienden debaxo .de
yguales ngulos, lo qual fe hauja de demotrar. i .A 3 a r
ji
Theorema.4.
Propofition. 7-., :
- -
Sobre vna mifma linea recta no fe claran dos lneas rectas
yguales a otras dos Imeasrectas, la vna a la otra q concurra en
Otro pnelo di uerfojteniendo vnos mimos.terminos.c61a5 primeras
lineas recias.-/ ; i . . 1qrPorq fi es poible dfe fobre vna mifma
linea recia. A B'.a las-dos liheasrectas. AC.CB.otras dos
lineasretlas.AD.D B yguales la vna a ia otra, q c'ocurr endiuer s
potos q fea C P.hazia vnas mil"mas p a r t e s cuiene a aber hazla.
CD.te njdo irnos mifmos trminos q fon. AB.De mera q.CA. fea y g y a
l a la.DA.tenido eimifmo termino q es.A.y iCB.ala TClB.tenido'el
miino t e r m i n o q es.B.jte le.CD(por .i.p? i ' '** fif?
F. V C L I D E S . tlei}Pues porq. A C es ygual a l a . A D .
fertbienygual elar.guio.ACD al angtiio.ADC.Es pues el gulo A D
C.menorq eangulo.BDC. luego me or es el anguloACD. q el gilo.BD
C.Serapues mucho-menor el ngulo BCD^q el gulo. BDC. luego mucho
esmenor el anguo.BCD. Q el ngulo BDG. De mas deftop orque. BC.es
yguai a la, DBjEslifegdyguai rabien e angulOjB CD^aianguloXDBjY
efta ya demoftrado q es mucho menor , lo qual es impoffible^Luego
fobre vna mifma'recia lineaba dos mifmas i " neas recias no fe dar
o t r a s d o s lineas recias yguales la vna a ia otra q ccurr en
diuerfos pclos haziavnas mifmaspar tesjtemdo ios mifeaos termiios
conls primeras lineas re- t-as.Lp qual cnuino demonftrarfe,
Theorema.f. Propoficion.8.
C Si dos triguos tuuier los dos lados ygua les a los dos ldos,el
vno al otio:y la bais tabi ygual a la bais^dran rabi el ngulo co
tenido de yguales lincas recias ygual al gulof Sean d p s t r i n g
u l o s . I g C . D E Z . q u e tgalos dos lados B C. A C.ygu'ales
a los fa dos.~Z' D Z.el vno al o t r o efto es.C B.ala Z E.y A C a
a D Z. y tengan la bafis.B A,ygual a la bais E D , d i g o quel
ngulo.B C A-es ygual al ngulo.E Z D.porque puefto el tri atiglo.A B
C.fobre el triangulo.D E Z.ypuefto e l p u n t o . B fobre el
puato.E.y la linea recla.B A.fobre.E D.cae tambin " C 4 elpunt
LIBRO
PRIMERO DE
e punto.C.fobre el p u n t o . Z . p o r q u e . B C.es ygual a
la.E 2 b l caen cambien.C/A. A B . f o b r e . E Z . j D Z . p o r
q u e filabaus B A.eae fobre la b a i s . E D . p e r o los lados.B
C; A C.no cae fka bre osL-uios.E Z. D Z.fino q fi difieren c n m o
. E Z . E C.DZi D C.dare han fobre vna mifma linea recta dos lineas
recias yguales a otras dos lineas rectas la vna ala otra q ccurr i,
difrerentes puntos h . i z i a v a a iniiina parte tenido vnpsmif
mos trminos.Pero no fe clan eas(por la.7.propoficio)me go caydo la
bafis.B A . f o b r e l a bafis-E D caer tbin ios la dos.B C. A
C.ibbrelos l a d o s . E Z. D Z.por to'ql tambin, el ngulo.B C
A.caera f o b r e e l gulo. E Z P ; y le feraygual Luegoi dos
tringulos t u u i e r e n los dos lados yguales al los dos lados el
yuo_aiatro y la bais rabien-ygual aja bais,tendrn el ngulo tambin y
g u a l a! ngulo ccenido de yguales, recias lineas^que ralo qfe
auiadedemoilrrvi! -i,i . Problema.^. Propofi.tion,9;'.:>..
v.'
o:.ve:
... >:
Diuidir vn ngulo-dado retMineo:en dc's partes yguales,' '
,'"'l,V : ; .. .;. :, m 1?
f
*Sea el ngulo reclt lineo J a d o . B A C.cpnieae ddire en dos
partes vguales.TomT-ei linea, A'B'.vn puclo' afoy fea. D.Ydelalmea.
AG-CporLa,}; pro pofici) cortefe. A E.ygual ala. A D.
y(poria.;.petici)tirce la l i n e a . D E y
baga'fe.(p'or-U.i'.propc)ici)viitri ' guio d vguales k d o s b b r
e . D E. y fea
D Z E.'y (por la. i. peticionare fe laA Z.Dgo q el gulo.B A C.es
cortad o coa la !iaea.A Z.en d o s parees ygales.Porq.A D.es ygual
ala.A.E.y 'coman la. A Z.luego las- dbs . D A. A Z ib yguales alas
dos.E A. A Z.lavaa ala otra^y la bafis^D Z.es Fgaal(por k.,pro3J
icJ.)aaba'.is,E Z J a : ^ ( porla,S)elgulo,DAZ sygaaUl! v
:i - i EATCIilD/E'S. O . " * ! ' 1 fb gulojZ A E E l a l u e g o
cortado endos partes yguales con la linea'. A Z.el ngulo da Jo de
lineas reVas.B A C.lo qual coa uino all hazerfel \ --" ~ "
7
Problema.jy
Propocion.'
:
.10.
^ Diuidt en s pwes^guales vna iraca re .cadadaterminada,.
-V,...,_..;. . V,,. ..,'s
S e a dada. laHpjsa;rec^a-terr^da,AB.pnienediusdir fa,
i'n6a.4,B.'edos^ fobi e eia el magui- de .ygnaies lados;, ,
AB.C,fvppria.9,.^poici^cartefe \ dos parces ygnal^. i,angula-., A
C-B < cdajine recta: CQ digqq.ialinea >o recia, A
.B^es.cortad'; en dos artes jy guales eneipun-So,^par^^-g.or lasy;
pr,opoici)AC".,esygiiaLa ia;CB -yla. /A. C D es comn Juego las dos
A C. C D fon yguales alas uo B C.C D J a v a a f a l a . p t r a ^
l gulcvA CD es ygual al gul O BC,dD/.|Uuegp(poria-AJja b^isA.D..
teror.D C B.y esygual(por la.? / propoicion)el ngulo. A D B . al
\g- >' ~ \' ngulo. A B D.prq el lado. A B. ~ ~ e'sygux :
w>
LIBRO PRIMERO DE es ygual al. A D.luego mayor es ej angulo.A E
D/que. el aaguio. A C PJiego Hiucho mayor es e ngulo. A B C .que el
angulo.A C B.'Iuego el mayor lacio de todo triangulle cli de dchaxo
de mayor angulo.que ccmy'no demeftrarfe Thorema.12, prcpoicion.
ij.
^"Debaxo de! mayor ngulo de todo triangu lo e eftiende mayor
lado . S e a el triangulo. A B C. que tga el angulo.A B C. mayor q
el angulo.BC A.digo que el lado. A C.es mayor q el lado. A B.porquc
fino lo es, o fera el Iado.A Cyguai al lado .A B. o menor que
el.Ygual no lo es el lado. A C. ai lado .A B.que feria(por
ia.$\prpofici) ygual el angulo.A B C. al ngulo A C 3 . n o es ygual
Juego el lado. A C.en ninguna manera es ygual al Iado.A B.Tpoco el
Iado.A C es menerque el lacio. AB.porque el angulo.A B C.ieria
menor q el uguo.A C B.pcro no lo es,lue< g o el Iado.A C.en
ninguhamanera es menor que el Iado.A B Luego mayor es el lado. A
C.q el Iado.A B.Uegodebaxo del iriaybr'ngulo de todo triangulle
eende mayor lado.L qual conuino detnotrare.Theorema.13. Propofcr'o.
20.
^Los dos lados de todo triagulo tomados qualquier manera fon
mayores q. el q reta.^gSea el triangulo. A E C.Digo que los lados
del rnfmo tri angulo.A B C.fon mayores que el que refta de
qualqmierma era
era que fe tomen, e s a f a b e r . B A. A C.mayores que. B C .
y B C. A B. que.A C. y B C. C A.queel mifmo.A B.tienda fe (por
la,2, petiti),B A,kafta e i p u n t o ^ y ( p o r la.z,propo->
iti)pongafe,A'D,yguaIaa,A ! C.y tirefe.D C.Pues p o r q u e - D
A.es ygual ala. AC.esygualyel S guio. A DC.(por Ia.f .propofiti
on)al angulo.A C D y el ngulo. B C D.es mayer que el angu
lo.ACD.luego el ngulo. B C D es mayor que~elanglo.A.DC y p o r q es
l triangulo.. D C B. que tiene myorelanglo.B G D.q el angulo.A D-
C. y-a m a y o r ngulo fe le eftid mayor _
lad(porla.i8;propoici)lueg0.l3B.esmayor qB C . p o ee y g u a f D B
alas dos. A G.AB.luego mayores f los ladosi.B A A C q el-numo.BC*De
la mima forma demoftraremos q t bienlosladsA'B.BC.foivmayores q'C
A. y t a m b i n . B C C A.q ABiluegolosd-os lados de t o d o
tringulo tomados en qua]quier%aera fon mayores que eque reft , lo
qual (souinodemftfajrfe; T" '1 1
-i'
; Thcorema.14.
, Propoficion.il."'
:
frSi dlos trminos del vn lado de vn triagulo fe diere dentro del
dos lineas rectas^:lasque fe diere feran menores1 que los dos lados
del triangulo y contendrn mayor ngulo, ,,,;
< ^Soiueelkdo.pG.dekna^^ dla mifma.B C Jenfe dos lineas rlas
dentro del.B jf>, C D digo que.B D. C FJ.fon menores que los
lados. B A. A C . j refaa detriangulo^y que el angulo.B D C.es
nayor que.B
- D
A C .
i
'
LB O P I E O DE I R RM Rr
porque efti^af(pOr la. z-pehci) " laliaea.B D.afta.E. y porque (
p o r l.z.propoficio} lo^doslados de t o d o triangulo fon mas
largos qu el reftante,feran los dos lados. A B AE.deltriangulo. A B
E , mayores que.B E.y puelta comn la nea.E C.luego las lineas.B A.A
Cdon m y ores que las lineas.B E.E C.Y p o r que p o r la
mifma.losdos lados.CE E D del triangulo.C E D.fonmayo S_ res
que.PC.pueftapues com.BD.feramay-ores laslineasC E.EB.que las
lineasC D.DB.y efta den-olrado que B A , A C f o n mayores que.B
E.E C. L u e g o - m e h o mayores fon' B A.A.C.que las lineas.B P
- D C . Dems ctefto p o r q ( p o r la i6q)ropoficion)e ngulo
exterior de qualtjuiera triangulo es mayor que el opufto
inerior,Iuego el angiilo.B D C . e x tenor, del triangulo . C D E.
es mayor que e ngulo:. C E ; D . P o r lo qual tambin el ngulo e x
t e r i o r a R B - d e l t r i a n g u l o A B E . e s mayor que
el angulo.B A C . P e r o efta demoftrado qu elngulo.B DC.es mayor
q u e . C E B . L e g o . m u c h o m a y or es el angulo.B DC.que
el angulo.B A C . L-aego fi d los trminos del yn lado de vn
triagulo le d i e r e n dentro del dos lineas-reftasTas.que fe
dieren feran m e n o r e s q u los dos lados-qne reftan del
triangulo, y c o n t e n d r n m a y o r ngulo. L o o ual conuino
demoftrarfe.: f
''
' ;'probema.S.
prprlcin..: z z .
\ ...
CHaervntTarfgoiodetreslineas re&asque ieany^uales artes
lineas reatas- dadas:peroc i'ene^ueias doslineas fcaiimayares que
la que relia tamadas de qualquier manera por que-los dos lados de
todo triangulotamados ^ dey
EVCLIDES. '
1
fo.
2
de qualquier manera fon mayores rje/rclte*Setres lineas recias
da das. A.B.C.dos dlas quales tomadas en qualquier m a era fea
mayores q la refta te,es a faber.A. B. mayor q C.yA.C.mayor q.B.y C
B , mayor q.A.cuiene de tres lineas rectas, yguales a las
tres.A.B.C.hazer vn triagu lo.Defle vna linea termina da da
parte.D.per o no ter minada p o r la parte.T.y(por
la.2.propoici)ponga fe a lnea.D Z.ygualala-A.y ala.B.lalinea.Z L P
e r o ala.C.la lnea T I,y fobre el cetro,Z.y efpacio.Z D ( p o r
la.2.petic)defcri bafe el circulo, L K D.y tbien fobre elcenrro.I.
y el eipacio. I T ( p o r la mifma petici)del el circulo T L K.y
tirfe(por la primera petici)Z K.IK.Digo q el triagulo.K Z I. fe ha
he cho de tres lineas recias yguales a las tres.A.B.G.Porque el
pdlo.Z^es cetro del circulo.D K L.es ygual(por a.iy. defL= nici")Z
D . ala.Z K.y la A.es ygual a la.Z D.luego tbien, Z K.es ygual(por
la.i.com fentcia)a la.A.It porq elpcfo . I,es cetro del circulo.L K
T.es ygual.IK a la.l T.y la.C. es y gual a la.l T.luego la.l K.es
ygual(por la.i.com ftcia )ala C.y la Z Les ygnal a la,B.(por la
fuppofici)luego las tres H nes rectas.I Z.Z K.K I.fon yguales a las
tres A. B.C. luego detres lineas realas q fon. I Z . Z K;K I.q lo
ygualcsa las tres lineas dadas A.B.C.efta hechp el triagulo. K Z I
. lo qual fue ceite hazerle.r
~
r
i
Ploblema.g,
Propoficion.23.
/ .
Ij" Sobre vna linea recta y en vn puncto enela calado hazcr vn
ngulo de lineas rectas y gual a vn ngulo dado de lineas
rec"tas3
(ra
D
z
Sea
L R I O P I E O DE B RM RS^Sea-Ia linea dada.A B.y.elpunto dado
en ella fea. A. y el ngulo d a d o rectilneo fea.D CE-cuiene poner
la linea re ta dada.AB.yenelpcfo ella dado.A.vn ngulo r&ilineo.
ygual al anguloreciilineo da do. D C .Se a ca ib enla vna y
otralinea.CDCE.vnos punctos^y lean titos.D E . y tirefe.D E(por
la.i. petici) Y de l a s tres lineas rectas Z A ' . Z I . I A , que
fon yguales a las. tres lineas recias dadas G D . D E . E C.haga
fe(por la precedente vutrianguio y fea A Z l. D e manera que la
linea.CD.fcaygual a la linea. A Z.y.C E.a la Iinea.A I.Ttam h i e n
. D E.a la,Z I.y porque las dos lineas-D C.G E. fon ypua les a l a
s dos lineas. Z A-A LJ vna a la tra,y la bais . D E . (por Ja
uppoition)a la bafis.Z I.Luego el ngulo. D C E.es ygual al angulo.2
A I(por la.8.propoficion)lue.go enla linea recta dada. A B.y enel
pnelo en ella fealad. A. efta dado el ngulo rectilneo.Z A I.ygual
al ngulo recfilinco.D C E . queconuinobazerfe.. ' ' 1 x a
Problema, iy
Propolti.za;.
][
j|S dos triagulos tuuierenJas dos ladosygua les a l o s dbs
lados, el vno al otrojpero mayor e l v n ngulo contenido de yguales
lineas reatas que el anguojtendran tambin la bais mayor que la
bais., .^ i S a n los dos tringulos. A B C . D E Z.'que tengan los
dos: iados.A.B.A.C.yguls a los.dosados.D.ED Z.el vno a l o tro
r
EWfDES.
fo.
zj
6tro,conuiene fabef,el lado. A B.allado.D E.y el lado. A C . al
lado.D Z.pero el angulo.B A C.fea mayor que el ngulo E D Z.Digo que
tambin la bais. B C.es mayor que la bais EZ.porque fendo el
angulo.B A C . mayor que el ngulo. E D Z-pongafe(por la
propoicion.Z3)enla linea recta. D E. y enl punto. D . en ella el -
ngulo. E D I.ygual al ngulo. B A C . y ponga fe l a . D I . ygual a
lavna de las dos. A C.D.Z .y tirenfe(por la priBera peticin. I E .
Z I .Pues porque.A B es ygual a la.-D E . y A C.a la-D I-fon
yguales las dos Eneas, B A. A C. a las dos lineas.E D*D I. Ja vna
ala otra,y el angulo.B A C(por la veyntey tres propoicion)ygual al
angulou E D I.Luegola bais.B.C;(por la quarta propofici) es ygual a
la bafis.E I. Iten porq es yguaLD La la.D-Z. luego elangu l o . D I
Z.es ygual al ngulo. Z LLuegoel angulo.D ZI. es 'mayor qu el
anguIo.E I Z . ^ p u e s m u c h o mayor el ngulo . E Z I que el
angulo-EJ Z . Y porque es el triangulo E Z Lque tiene elangulo. E Z
I . mayor el gulo-E 'ZY em i y or ngulo tiene opuefto . mayor
lado(pr la.i8.pro. pofcion) luego mayor es ' el lado, E I.que
ellado E Z y es ygul ellado.E'L alia - dBC.iuegoellado-B C. mayor
es q el.lado.EZ Jue go fi dostriangulostuuiere '.: z losdos lados
yguales alos dos lados,ylo que dems fefigue
omoenlapropoficion.Loqualconuinodemofl:rar. . . - > . - ' , X f
a e o r . e m a . i 6 . Propocion.z?.;
^"Si dos trigulos tuuier los dos lados yguales a los dos lados
el vno al otro: pero la bais mayor q la bais tcdr tabi el ngulo c o
te do de yguales lineas redas mayor q el gulo.' D 3 ', Siendo
.-
i L I B R O P R I M E R O T) E Sidoxlos triangulos.'A B C Q E ;
Z . p {rr
. '
'
'
V" "
'Y
ygual al aHglo.EIJZ.ni-ta pocotes menor el angulo.B A G.
qiieel'aguloE D Z P o r q u e k t - '" tfis.B G. feria m^nr
fyteh^fc&ttohi&o^stiisg l it guio. B A C . n o es menor-q
el ang{jf;EB:Z-. ft de4ipfta do qniygual.Luego mayor es el
5guc.BA:Gl que ebanguo E D Z.Luego fi dos tringulos tuiryJo
fJ^ie'fig como enel^theoreina que equino d ^ n i o t r a r : '
ibq'it.hfj . v;.rs f I ' Theorema.iy. ^opbt.z ^.^ angMpsyguales
alos do>agulos:>evnG al orre :y el vn lado ygual al vn
lado^': abra el'^ eta entre "io'sos ngulosygtiles-;o el
euiefe,opone'al vno drds'y^nais anf^lsteftdrantamfeien los
derasrlados/jg^icS' 'Tasrdmas lados el yrijD al Qtrp:y ejgu recat
a! aglh ritate.r a j
J
^ S e a n lbs dostriagulcs. A B, C.D E Z.que tengan los dos
anguloslA BCB C A.yguales los dos angulosD E Z . E Z D el vnb
alotro,'s a faberyeaigulo.A B C a l ngulo, p E Z.y elagulo:B CA.al
gulo.E Z D - y el vn lado ygual al vn lado y quanto a l o primero
fea el q u e efra entre ios des ngulos, ' ello es
lEVetDES
r- :n .: fb.
eo e s t i l a d 0 . B C a l lado.E Z.Digo q los dems latoslos t
dr'hibifi^uides'a los. de iras lados, el vno al otro?efto
eseiladc'A B o l l a d o D E . Y :eMadoi-Callado.DiZ. y el
ngulo q refta ygual a l angu fo qiea^es a a b n B A C l mfmo.E D
C . P o r q fi.AB.no es ygual a D E J e r a iavnama yor,fea m a y o
r u l B . y p o n g a fe(pria.s.prGpofici^ ^ . RasIBiygaai-ls-fc.
linea.D E.yti 'efe.l C:pues porq.I B .es y gualala'.D E . V j l ^ C
a l ^ Z;luep las dosHneasl:IB.' B C fon
yguales.s'dos.DE>E'Z':avn*i* l'-u o u a y t ngulo 1B' C a l
angio.-D E Z;s y^aljiuegta bafis.I G ( p o r la. 4 . pfopoficib^es
ygual ala. >as.DZ.y el triangulo.IBC.es y^a r :
Luego ygual es ebanglo. C B . a f a n g u l a - D Z E.Y el ngulo
D Z E.fe upene r ygua al mifimo.B C A . Luego el ngulo I ( p o r
la.:i.cp.m fentcia)es yguaJ al angulo.B C A.el tn ibraimayor,q
simpo.lible,Luego.AB.noes defigla Ja D-E.fera pues ygul.y es
tibien. B C y g u a l a a . E Z . L u e g o y a A.B.'B C fon
yguales a.D E.E Z.la vna a l a otra, y l ngulo. A B C e s ygua
aangulo.D EZ.Luego(porla.4.propofiti6) la bais. A C.fera ygua a la
bais.D Z y el angulo.B i C.reft e,ygual
aiangulo.EiDZ.relante.DeiTias dfto feanyguales JSs lados qfe
eltiden a yguales nguos,y feas. A B DE.Dig o otra vez que los^demas
lados feran yguales a l o s dems lados,es afaljer^ef lado.AC al
ado.D2.y el lado.B C a l lado E Z,y dems deftoelgal^ reftte.B AC.al
gulo q rea.ED Z.ierayga.Forq . B C n o es yguaLa EZ.el vno.dellos
fera mayor.SeapAies snayor fi es pcfliblef lado.B C,y (por la.3.
^pofici)p5g.^eyg.uallalinea.BT.alainea EZ.Ytire(por laa.peticib)
AT.Y por q.B T.es ygua-ala.E Z;y A B a l a D E . i " D 4 luego? x
> i f V r
r LIBRO P I E O D RM R E luego las dos-A B.B T.bn yguales a las
dos.D E.E Z. Ia v a n a la otra, y contiene yguales n g u l o s .
Luego la bais l A L , (por la.4.propofici)es ygual a l a
bafis.D.Ziy el trigiilo. A B T.al trinngulo.D EZ-es ygual. Y los de
mas ngulos fon y guales alos dems ngulos debajo dlos quales e
eftienden yguales lados,Luego el angulo.B T A . e s ygual al ngulo.
D Z E.Yel angulo.EZD.es ygual alngulo E C A.fera pues el angulo.B
TA.ygual al angulo.B C A.Iuego el ngulo e x t e rior.B T A-del
triangulo. A T C.es ygual al ngulo interior y opuefto.B C A.Lo
quaI(por Ia.i6.propoficion)es impofible-Luego el Iado.E Z.no es
de/Igual al lado.B C, y es. A B.y gual a la.D E.Luego las dos. A B
. B C . fon yguales a las dos D E.E Z.La vna ala otra y contienen
ygalesangulos,luego labafis-ACCpor la * n r u p o G r < o n ) e
s y g u a l a I a bafis.D Z . Y el triangulo.A B C a l triangulo.DE
Z.y el ngulo que refta. B A C.es ygual al angulo.E D Z.que
refta.Luego fi dos trian gulos tuuieren dos ngulos yguales a los
dos ngulos, y l o de mas como el theorema.Lo qual cuenia
demoftrarfe i-i: Thorema.i8 Fropoficio.zy
CSi cayendo vna linea reda fobre dos lineas redas hiziere los
gulos alternos entre i j guales lasmifmas lineas redas fer entre i
pa rllelas.MPorque cayendo la linea E Z.fobrelas dos lineas recias.
A B.C D.haga entre fi yguales l o s ngulos alternos. A Z . E Z D .
D i g o que es parale V . lla.AB.aIa.CD.porque . fino,eftendidas fe
juntar, o hacia las partes. B D . o . ^ hacia. AC.etiend fe pues y
concurran hacia las par tes.B D.enelpunto.Lfics;
EVCLTDES. fo 2? poflible.Luego el ngulo exterior. A E Z.del
triangulo.! E Z es ygual alangulo.EZI.interior y oppueto.Loqual(por
la i6.propoicion)e's impol'ible.Luego.A B.C D.eftendidas ha
cia-laspartes,B D.en ninguna manera concurren. Tambin de la mifma
fuerte fe demotrara que ni hacia las partes. A C . y las lineas que
en ninguna p a r t e concurren fon parallelas (por la vltima
difinicion)luego.A B.es paralella a la.CD.Lu ego fi cayendo vna
linea reta,y lo dems como enel tneore ma que fe hauia de
demollrar.3
Theorema. 19, Propoficion.S.
^"Si cayendo vna linea recia fobre dos lineas recias hizieren el
ngulo exterior ygual al in terior y oppuefto haciavnas mifmas
partes,o los interiores hacia vnas mifmas partesygua lee a dos
recios,fer par alellas entre i las mif mas lineas retas. :*>Si
cayndola linea re&..E Z \ fobre las dos lineas recias A B.C
D.hicieren el ngulo extenor^E I B . ygual al ngulo interior y
oppuefto.I T D.o los interiores haca vna mifma prteles faber.B 1T.I
T D.yguales a dos recios. Digo que es paralella la linea. - v
AB.alalJnea. C D . P o r q u e el ngulo. E I B(por lafupofici) es
ygual al ngulo. 1 T D.y el ngulo. E l B(por Ia-if)es ygual al
angulo.A I T.luego el ngulo- A I T . es ygual al angulo.ITD.y ion
alternos(por la veynte y fiete propofiN v
LIBRO PRIMERO DE p r o p o i c i o n ) luego'es paralell*.
AB,.aJa;C D . Dems ds-to p o r q u e los anglilps.B I T.I T D.fon
yguales a dos regaos ( p o r l a ltippficin)y los ngulos. A I T . B
IT ( p o r la treze propoicion ) fon yguales .a dos redos . Luego
los ngulos A I T , B I T.lon yguales a l o s angulcs.B I T.I T D .
Quite fe; el ngulo oQ0iun.fiI T.iuegoelreftante.AI T.esygual al re
ftantc.I T D.y.fon alternos. Luego parallela es.AB.ala.CD. luego i
cayendo vna linea reta fobre dos lineas retas,y J.o = dems como en
la propofici olisque e lo q f a uia de demo* s e ftrar.
Theorema.o.; ; Proppfidon.a-'.'d i'
CCayendo vnalinearerafo;bre dos lineaste; ctas .paralellas hara
Jos ngulos altemos en~ trei yguales: y el exterior ygual al
interior y opuefto haciavnas inimas partes : y los dos interiores
hacia vnas mifmas partes yguales. a dos recios. .a
M^Gaya fobre las lineas reptas parallelas:A B.C D- la linea
refi^iE Z.Digoyquebace yguales los ngulos alternos.A IT y I T D.,y
elaugulo exterior.E I B.alinterior y opuefto ha-r ca vnas mifmas
partes,elo es,al angulb.l T D y losinterio r e s y acia vnas mifmas
p a r t e s que foh.BI T.I T D.ygualesa dos rectos-Porqu i.A 1 T.no
es ygual a.l TD.elvno deilo* es m a y o r / e a mayor. A1 T.Pues
porque. A 1 T . es m a y o r q 1 T Depngale por. c o m n el
angulo.B E T ^ u e g o l o s a n g u . los.A 1T.B 1 T.Ion mayores
que.B I T . I T D.ylos ngulos A I T T
lB(porla.i3.propofcion)fonygualesadosrecios, luego los ngulos.B i
T. 1 T D . fon menores q e dos recios* u ' y (p or la quinta
peticin) las lineas que- iiaziendo menores}
qe u
nao
'E-VCLTDES.
que dos rectosfeef tienden en infinito, concurren y ..ellas por
ferparaielasho conctnren(porlau pofci^Juego el a n gulo.A' T . n o
e s dfigualal ngulo. I T D.LuegO fera'ygual ^l-
tgut&A^rT(^o'r'la.tf4>ropfict ri)es ygual ai ngulo - T B .
Luegtvango.E I B ( P o r la.i'. comuh fentencia) es yga'-aangulo.I
T : D Pngale p o r c o m n . B I T Luego os 'angtsTT B i B T i f o
i i yguales a los ngulos. B E T i T D . -y los angulos- I.B.BT
T.Tonyguales a dos reclos(por la; 15 propo!icion)lnego los
anguios.B T . I T D . fon yguales a dos rectos.Luego cayendo vna
linea recia fobre dos lineas rchrs paraiellas,y lo d iras
como-erila propoicion^ que co -a ehia deraQlrar._ ...},-
\:,c.:h',q.r.,-. V. .'. /.: '.ir .vi 'su;. >'-; ^Theoremaz. l
Propoftion. j o v A: r : 1 ; : : ;
^Las; lineas recias-'^ais^-yia^mfia'a'-bn. para 'fieks entre i o
n p a r l e l l a s . " V^ S ^ i i < S C ' | ^ p f r | ^ ^ % ^ ^
^ d i ^ . ( p 2 e . A B.esprale l a a la.G D.caya fobre ellas la
linea recia- T K.v porqtiela linea recta. I T K . A ? caefobre las
lineas rectas paralelas.A E- gual el gulo. AI T . 1 al ngulo. I T Z
, t (por a.zp.propoicion) tem porque fobre las lineas reblas
paralelas.EZ.C p . c a e la linea recla.I K. e s , p o r la niima,
ygual.IT Z.al.1K D. Y eta declarado"q, AT T.es ygual al ango.ITZ.y
queq KD.es ygual a.l.TZ. luego. A I Ivs ygual a,j K D.y fon
alternos Juego paralella es.A B. a laCD.' que
slcquefeauiadedmoftrar.' ' . ProblemaR f
.. -
t
' 5
LIBRO Problema. 1 0
PRIMERO DE F 0 0 i.o3r p fti . i
>, -
^Por vn pundo dado tirar vna inca reda pa rllela a vna linea
reda dada,,^ S e a . A . c l pnelo d a d o , y la 1 inea recta dada
fea.B C. con. uienepor el pnelo d a d o . A. tirar vna linea recia
paralella a la linea reta.B C.Tomefe vn p n l cf en la mifma li e o
a o nea recia.B C.y fea,D.y trefefpor la .1. peticin) la linea. A
,D(y por la propoficio n.z 3)hagafe fobre la linea recia dada A D,y
enelpnelo.A.fealado Sellare! angulo.D A Z.ygual al ngulo dado. A D
B y eftida fe le la linea A Z.derechamente a la linea A E(por
la.z.peticion) Y p o r q u e cayendo: la recia linea. A D.fobre las
lineasrclas.B C E Z . h i z o entrefiy g u a ~ les los ngulos
alternos.E A D.A D C . f e r a p u e s . E Z . parale lia a la.B
C.(porlapropoici.z7)luego por el p n l dado. e o A.fetiro la linea
r e c l a . E A Z . p a r a l e l l a a l a b n e a r e c i a . E
C. L o qual conuino hazerfe. ' ' ' . f , Theorema.z2. Propoicion.
3*.
CEftendido el vn lado de todo triagulo el ati guio exterior es
vgual a los dos interiores de la parte cotraria:y los tres
interiores ngulos deltriangulo fon yguales ados redos, . *!>Sea
el triguo.BCy ef tidafe vn lado luyo^y fea B C a l l a .D. digo que
el an guio.A C D. exterior es y gual a los dos.C A B.A B C.
interiores dla parte cotra ria.-ylos tres ngulos interiore*
EVCUIDES. fo 27 riores.A B C.C B A.B A C.del triangulo fon
yguales a dosre ctos.Trrefe(por la precedente)por el puncto.C.la
linea. C E parallela a lalinearecta=A B.Y porque. A B.esparallela a
l a C E.Ylbbre las mimas lineas cae/A C.los ngulos alternos B A C .
A C E . f o n entrefiyguales.De mas defto porque A B . es parallela
laC E.y fobre ellas cae la lineare6t.B D.el an gulo/,exterior. E C
D ( p o r las.zy. z8. Z9. propoficiones) es ygual al ngulo
interior. A B C.oppuilo . y demoftrofe, que A C E^es ygual al
angulo.B A C.Luego t o d o el ngulo exterior. A C D.es ygua! a los
dos interiores y opueftos^que fon B A C.A.B C^Ypongafe por comn el
angulo.A C B..Luego A C D . A C.B.fori yguales a los tres nguos.A B
C.B C A . C A B.Pero AC D.A C B(por la.i 3. propoicion) fon yguales
a dos r e t o S j l u e g los ngulos. A CT.G A B.GB A-.fonygua l e
s a dos recfos.Lpego elendido el vn lado de t o d o t r i a n g u
lo^y lo de masque fe ligue como enel theorema , q coralino
demotrarfe ,: '. .'' ' Theorema.z3 Fropoficio.3 3.)
^~Las lneas recias que juntan a ygualeslineas recias y
parallelas.hacia vnas mimas partes, ellas mimas tambie.fon yguales
y par alelas;&>Sean las lineas rectas yguales y parallelas.
AB.CD. y jun t l a s h a c i a vnas mifmas partes * lineas rectas.A
C.B D.di go que.AC.y BTJsn yguales y parallelas. Tire fe(por l a p
r i mera peticin) la lnea.B C.Y afi porque. A B.a la.C D.espa
rllela y fobre ellas cae. B C .los ' ngulos alternos.A B C.B CD.f e
n t r e liyguales(por la.zr?. p r o p o icin)y porque.A Bes ygual
ala C D.y comun.B.C. luego las dos A B.B C. fon yguales a las dos.
B C.C D Y el gulo.A B C . es yguala s
LIBRO PRIMERO DE alangnlo:B C D.luego labafis.D B ( p o r l a .
4 p r o p b i c i 5 ) s ygual a la bafis.A C.y el triangulo A B
C.es ygual at triagulo B C D.y los de mas ngulos fon yguales a los
de mas ngulos el vno al o t r o debajo dlos quales fe t i e n d e n
yguales lados.Luego el angulo.A C B.es ygual al n g u l o C B D.y
elari gulo.B A C al angulo.B C D..Y p o r q f o b r e las dos
lineas rectas. A C B D . c a e la linea reta.B C . h a z i e n d o
yguales los an gulos alternos A C B.C B D.entrei^luego. A
C.parallela es a la.BD(por la.z7.propoicion)y efta demoftrado q
tambi le esygual.Luego las lineas rectas q junta a yguales lineas
re a s y parallelas bacia vnas mifmas partes^ellas mefirias t bien
fon yguales y paralleias,lo qual c o r m i n o demoftr'arfe.
Theorema.z4. Propoitio.34,
CLos lados oppueflos y los gulos dlos efpa. cios de lados
parallelQSjo yguales entre i: y la diagonal los corta en dos partes
yguales,el efpacio de lineas parallelas. A D B.y fu diagonal
lea.EC.digo q u e l o s a d o s y l o s ngulos contrarios delelp pi
A C D B de lados parallelos fon e n t r e i yguales, y la dia
gonal.B C e diuide en dos yguales p a r t e s . P o r q p o r fer.
B parallela a 1'aX D.y fobre ellas cae la lnea recta.B C(prjr la
Z9.propofici)los ngulos alternos. A B C B C D.Ion entre fi
vguales^Demas defto porque. A C.es parallela a la.B D ? Y fobre
ellas cae ladinea recta.E C.los n g u l o s alternos.AC B C B D.fon
entre i yguales.Luego flos dos tringulos.A B C.B C D-quetienen los
dos ngulos. A B C,A C B.yguales a los dos ngulos.B C D . C B D el
vno al otro,y elvn lado ntrelos dos ngulos yguales ygua al vn lado
y eornun. B C, aentramb'JS,luego(por la^z-propofi
cione&Sesit
* E V L T D ES. C ' fo z8 dore) los lados redantes- feran
yguales a los lados' reirn-: tes el vno al otro,y el ngulo que
refta ygual al angnlo que reft .Luego el lado-.A B. es ygual al
lado.C D.y el lado. A C. al lado.B D.y el angulo.B C.es ygual al
ngulo. B D C . Y porque el ngulo A 3 C.es ygual al ngulo B C D . y
el angu lo.C B D.al ngulo. A C B.Lnego t o d o el angulo.A B D.es y
gual a c o d o el ngulo-A C D(por la.z.comuu fentencia) y ef ta
demoftrado que el angulo.B AC.es ygual al angulo.CDB luego los
lados oppueftos y los ngulos dels epacics de ladsparateos fon
yguales eutremDigotbien que la diagonai-fc diside en dos partes
yguaies. Porque. A B.esygtul a la; C Dvy la.BC.es corriunduego
lasados. A B .B C.fn yguales a las dos.B C.C D.la vna a l a otra, y
el angulo.A B C. es ygual' al angulo.B C D.luego(por la.4 p r o p o
k i j l a bais. A C . es ygual ala bais.BD.y el triangulo. A B C.es
ygual al triagulo BCD.luego la diagonal. B C e n dos partes yguales
diuide al paralleiogramo. A B D C.q era lo que fe hauia de
demoftrarThcorema.zj.;
Propoition, 37...
^Los paralIcogramos que eftan en vna mimabais yeii vnas mimas
lineas parallelas ion yguales entre
fi,^4#Selosparalleogramos.ABCD.EB=CZ.que eftan e n vna mifma
bais,efto es,B C.y en vnas mifmas parallelas, es a faber.A Z . B .
C . Digo que clparalelogramo. ABC D es ygual al paraileogramo E E C
Z.Por que es paralle lgrame,A B C D . es ygual AD.ala.B.C.(por
la.34.pro poiicion)ypor la mifma ra
LIBRO PRIMERO D E z o n tambien.E Z.es ygual a Ia,B C.y afi
tambin A D.es ygual a la.E Z.y es comn la.D E.luego t o d a la. A E
es ygual a t o d a Ja.D Z.Yla.A B.es ygual a la.D C.iuogolasdos. E
A. A B.fonyguales a las dos.Z D . D C a v n a ala otra y el angu
lo.Z D C.es ygual al gulo.E A B.el e x t e r i o r alinterior. le
go(por la.4,propoficion)la balis.E B.es ygual a la bafs.Z. C y
eltriangulo.E A B.es ygual al triangulo.Z D C. quitefe el comn
triangulo.DI E.Luego el t r a p e z i o . E I C Z.: es ygual
altrapezio.A B I DJPongae pues c o m n el triangulo.I B C. Luego, t
o d o elparaJlelogramo. A B C D.es ygual a t o d o el
prallelogratno, E B C Z X u c g o los paralelogramos que ef tan en
vna mifma bas,y lo de mas que fe igue,Io qual coa^. Sino
demoftrarfe. Theorema.z. Propoicion.36. , ;...3 ;
^"Los parallelogramos que eftan enygualesbais y en vnas mifmas
parallelas foh yguales entre i.. : .. :JT;
r&Sean los parallel^gramps. A B C D . E Z I T . P u e f t o
s las yguales bafes.B C, Z L y en vnas mifmas parallelas; A T.B I.
digo que el paraUepgramo,; A B G D > es ygua al parallelo
gramo.E Z I T . Tire.nfe. . B E.T C. Y porque es y,
gua.BCalaZI.YjaZI es ygual a la.E T.Luego tambin.B C .es yguala
la,. E T.yio paralleas/y juntan las la,BEi. Q T . y las lineas que
juntan a li neasyguleiyparalleks fon eias tambii yguales y
paral'eIa3(por la propo/icio, 3*3) Luego.E B.T C i yguales y
parallelas.Es puese parallelo gramo.EBCT.ygualalparallelogrmo. A B
C D . p o r q tiene B
EVCLIDES. fo. i ; tiene la mifma bais, efto es.B C.y en vnas
mifmas paralellas es a faber.B C E T.y tambin p o r efto.E Z I T.es
ygual a . E B C T , p o r I c q u a l e l p a r a e l o g r a m o .
A B C D.esygual alpa rallelogramo.E Z I T.Iuego los paralelogramos
que eft en yguales ba.(es y lo de mas que fe figue como en el
theoreraa que era lo que fe hauia de demoftrar,9 }
Theorema.zy.
Propoicion.
37.
^"Los tringulos que efta en vna mifma bais y cvnas mimas
paralelasrbn yguales entre l^ E f t e n l o s tringulos.A B C.D B
C.pueftos en vna mifma bafis.B C.y las mifmas lineas parallelas. A
D.B C.digo que el trianguio.A B C.es ygual al triangulo. D B C.
eftienda fe ( p o r la.z.petici) A D.de vna y otra p a r t e afta
en.E.Z.y pee el punlo.B.tirefe lalinea B E . paralella a la. C A.
(por lapropoieion.3i.)y p o r elpunro.C.tirefe. C Z.(por la mifma)q
fea pa ralela a la.BD. Son pues parallelogramos.EB C A D B C Z . (
y p o r la.3f.pr0 poficion>s ygual el parallelogr3mo.E B C A.al
paraleogra m o . D B C Z.porque eftan en vna mifma bafis.B C.y
elasmif mas parallelas.B C.EZ.y el trianguio.A B C.es la mitad del
parallelogrmo.EB C A.(por la.34.propoficion)porq la dia gonaLA B.le
diuide por rriedio,y el triangulo.D B C.es ( p o r la mifma)la
mitad delparallelogrmo.DB CZ.porq la diagonal.D C.le diuidepor
medio y las cofas que fon mitad d e cofas yguales,entre fi fon
yguales(por Ia.7,ccmun fenttcia) luego el trianguio.A B C.es ygual
al triangulo.DB C.Luego los tringulos que eft en vna mifmas bais, y
lo quefe figue c o m o enel theorema q era lo que fe hauia de
demoftrar. E Theo
LIBRO PRIMERO DE Tdieorema.zg Froponci.38.
^"Los tringulos q u e ean en yguales bafes y e n vnas mimas
parallelas fon yguales entrei^ E f t e n los tringulos. A B C.D E Z
. e n bafes yguales , ello es,en.B C E Z.y en vnas mifmas
parallelas^es a faber .B Z.A D D i g o que el trianguio.A B C.es
yual al triangulo. E D Z. eftenda le(por la.z.peticion)A D.de vna y
otra parte afta-' | I T . y p o r el pnelo, B.tirc fe B I parallela
a la C A. p p r la.3 r. propolcionr) y porepunclo.Z.tirefe.ZT
parallela a la.D E ( p o r l a VI Vi \ f rnifma)lt!egoparalelogra .
m o es. 1B C A . y t a m b i n . D E Z T . y ( p o r la.3.)el
paralielogrmo.I B C A. es ygual a! p a r a l l e l o g r m o . D E
Z T , p o r q eftan yguales bafes,efto es> B C E Z . y en vnas
mifmas parallelas que fon.BZ. 1 T.y el tri ngulo A B C.es(por
la.34.prcpoficioii)mitad del parallelo g r a m o . I B C A . P o r
q l a diagonal-A.-B.le diuidepor mechoyy el triangulo.D E Z . e s (
p o r la miima)mitad del parallelogr n i o . D E Z T . P c r q u e
ia diagonal-D Z.le diuidepor rnedio,y las cofas que fon mitad d e
cofas yguales,fon yguales entren ( p o r la.7.comnfentencia)luego
el trigulo.AB C. es ySea.A B.la linea re&adada y f e a . C e l
triagulo dado,pero el ngulo dado re'&iineo fea. D.cuienepues
fobre la linea ifta.A B.hacer vh parelleog r l m o ygual al
triagulo dado C.vm gulo ygual al gulo. D Hagafe(porla.4)elpalelogr
eil guk>,B.l.q es ygual al guio, D.yfporla.z.p etici )ha
JD.
W
X1
y
cftiendefe.Z I.afta n.T. y p o r elpfto.A porla^i.jppoficio,
tircfe la linea. A T.pai alela a las dos.B LE Z.y tirefe ( p o r l
a primera peticin) T B.Y.pcrquefobre las parallelas . A ' T ,
EZ.cae la linea i-eT I Z. XI L.y los angulos.M T I.T I L.por la
mifma,bnygues a dos relos,luego enderecho eftalalinea.Z
I.delalinea.IL.ypor que.K Z.(por la-34)es ygual y galela ala.T l.y
k . M L.alaT luego p o r la.i.com fentcia.Z K.es ygual ala.M L.y
gllela p o r la.jojppolici. Y juta las las dos lin eas
re&as.KM.Z L
\\
f
leo ug
E V C L T D E S. 3 3 luego las lineas.KM.Z L.(por l a p r o p o
i l c t o n ^ f q i i yguales y paelas.luego.K Z.L M.es
pallelogramo,y porquefpor Ia.42.)el tringulo. A B D.es ygualal pa
llelogramo.Z T.y el triulo.DB C,alpalelogramo.IM.luego
todoelretilmeo A B C D.esygual a t o d o elpalelogramo.KZ L M.Luego
ef ta hecho elpaletgrm.K Z L M.ygual al rectilneo dado A B
CD.erieLangulo. K M L . q p o r la. 34. es ygual al ngulo
dado.E.kfqual. conuino hazerfe. ' ^ p . O ? ! . Problema 1 4 / ' \
Propofcion.46:
,;JI5c yna linea re ta hazer, vn
quadrario.fSelalinearecla.B.conuiene d&tibir vn quadrado de
lalinea recta. A B.faquefe,pr la.ii.propoici, ngulos re t o s fobre
la linea recta. A B. defde el punto dado. A .la hnea A C.y cortefe
(por la.3.propoficion ) la linea.A D.ygua ala. A B.y ( p o r l a p
r o -poicio.3i)porelpunto.D.trefe.DE.pa lela ala. A B.y p o r la
mifma, p o r el p u n to.B.tirefe.B E.palela ala.A D.Iuego es
pallelogramo.A D E B . l u e g o esygualla A B. ala D E.y la A
D.ala.B E.por la. 34 y la.A Bvestambien ygual ala.A D . luego las
quatro. A B.A D.'D E.E B.fon eh< trefi yguales luego
elpallelogramo.AD _ E B.es equilatero.Digoque tambi es rectngulo, p
o r q u e las palelas. A B.DE.cae la linea recta. A D.Iuego los
angu los.B A D . A D E.por Iaprbpofici6,29.fonyguales a dos r e c t
o s ^ el angulo.B A D.esrecto.luego l angulo.A D E . t a m bien es
re oto,;/los lados y ios ngulos opueftos d los efpcios palelogramos
fonyguales entre i.(por la.^.propofcio luego los ngulos contrarios.
A B E.B E DVbos tambi fon retos.luego. A B E D.es retanguo,y efta
demoftrado que tambin equilaterojego es qadrado,y hecho dla Hnea.
AB.que conuino hazerfe. Theorema.33. Propofitio.47.
Els o
LIBRO PRIMERO DE
[Eri Jos tringulos rectngulos .el quadrado que es hecho de el
adoq efta opuefto al angu lo recio es ygual a los dos quadrados q
fon he chos de los lados q cotienen el ngulo recto,&Sea el
triangulo f ectgulq. A B C.q tenga recto el angulp B A C a i g o
que ei.quadrado q es hecho delIado.EC.esygual a losquadrados q l e
h a z e n deB.y de.A C.Defcribafe.,'pGjr la;4
4*i
'
f
~
p
r
EVCLIDES, 3 4. porq tiene vna mifma bais q es. B D . y e a en
vnas mifmas parallelas. es a faber.D B.A L.y tbi el quadradod B.por
la mifma es doblo del trigulo.Z B C.porq tiene la mifm bais a es B
Z.y ella en vnas mifmas parallelas,es a faber.Z B. 1C. y las cofas
q fon doblo de cofas yguales,por Ia..comun fe teda entre fi fon
yguales,Lnego elparallelogrmo.B L. e s y
giialalqLiadrado.lB.Semejtemente fi,por la.i.peticion, fe
tir.AE.BK.fe demolrara elparallelogrmoiCL-.fer ygual alqudradOjTC,
Luego todo elquadrado.B DEC,esygual a losdos quadrados,1B J C , Y
el quadrado,B D E C, es hecho d l a B C , y los quadrados,! B,C
T,fon hechos dela,B A A C , Luego elqudrado q d e elladoBC. fe
hizocs ygual a los quadrados qfon hechos dlos ados,B A; A C , luego
en los tringulos reciangulcsel quadrado q e s hecho del lado q
elaoppuefto al ngulo recio y lo que mas fe figue como el
theorema,que fe hauia de demoftrar, Theorema.34..
Fropoficon.48.5
^Si el quadrado que es hecho de vno de los 1ados del
triagulofuereyguala aqllosquadra dos quede los dems lados del
triguloxl an guio comprehendido de los dos lados reftaa tes del
triangulojfera recia,El quadrado que es h e c h o del vn l a d c B
C.del triangnlo A B C . fea ygual a aqllos quadrados que fon hechos
d los dos.B A. A C.digo que el an gulo.B A C . e s rel .Saquefe j
(por la.n.propofiti)defde e l pnelo. A. la.A D. en ngulos r e c l o
s i n la linea r e c i a . A C. y(por la.^.prpoficion) ponga"] fe.A
D.ygual a la.A B,y(por la < .i.petici)tire fe.D C.y p o r q u e
s y g u a l . D A,a la.AB.el qua drade: e
LIBRO PRIMERO DE drado q u e es hecho de.D A.es ygual al
quadrado de la. A B. pngale c o m n el quadrado dela.A C.Luego
losquadrados dela.D A.y de la. A C.fon yguales a l e s quadrados
dela.B A. y de la. A C.y(por la precedente)a los quadrados dla. D A
y de la.A C.es ygual el quadrado dela.D C . porque es rero el
ngulo.DA C.y a los quadrados dela.A B.y dela.A C(por la uppofici)es
ygual el q t u d r a d o dela.BC.porque efto afi fe admiti. Luego
el quadrado de la.D C e s ygual al quadra d o dela.B C.por lo qual
el l'ado.D C.es ygual al lado.B C . Y porque. A D.es ygual a la,A
B.y comn la.A C.luego las dos D A,A C . fon yguales a l o s d o s .
B A.A C.y la bafis.B C. ala bais. D C. es ygual. Luego el angulo.D
A C("porla octaua propoicion ) es ygual a l angulo.B A C, y el
ngulo. D A C. es r e c i o , luego tbien el ngulo B A C.es recio,
Luego fil quadrado que es hecho de vno de los lados d o s del
trigulo,fuere ygual a aquellos qua drados qdelos de mas lados del
trian gulo,el ngulo cprehendido dlos dos lados reftantes del trianV
-, guio, fera r e c i o , que fe auia de demoftrar.
.JFIN D E
L
PRIMER LIBRO.
EVCLIDES,
3
y.
LIBRO S G y N D ODLOS E L E M E N T O S DEEVCLI des Megarenfe
philofopho,Griego. Parallelogrmo rectngulo.
f p f o d o parallelogrmo rectngulo fe dize ef tar contenido
debajo de las dos lineas r e d a s que comprehenden el ngulo r e c
i o . Q u e fea g n o m o n , ffCada vno de aquellos paralelogramos
de t o d o parallelogrmo que eft en la diagonal. fuya:co los dos
fupplemtos fellama g n o m o;
T e rm. i. ho a e
Po oi i n ju r p co .
^"Si fueren dos lineas rcctasry la vna dellas fe cortare en
algunas partes,el rectngulo cora prehendido debajo de las dos
lineas rectas es ygual a aquellos rectngulos que fon cora prehdidbs
de ella n o cortada y qualquiera parte .c " Sean
LIBRO SEGVNDODE cfe&aij las des lineas recias. A.y la.B C.y
corte fe la vna delias.B C.cmo quiera.efto estenios ptos.D.E.digo
que ehe tangido cprehendido dela.A,y dela.BC.es ygua ai recir.n
guio cprehendido dla.A.y dela.B D.y a aquel que dela.A. y d e l a .
D E,y tambin a aquel que dla. A.y dla. EC.Porcj, (porla.i
.propoicion de.i)faquefedefde.B.la.B2.en angu los rectos con k i B
C . ( y p o r a , 3 . " "" ~ " del.i.)p6gafe tambin la.B-LyguaP a
la. A.y por.I.tirefe Ialinea.I T.pa rllela ala.B C(por la.31. del
primero y ( p o r la msfma)por los pun tos. D.E,C.tirenfe a a B J .
k s paraileias.D K.EL.CT.espues.ygua B T . a ! . B K . D L : E T .
y el.BT.es y gual al que de. A.y dela.B C-Porque es comprehendido
dla I B.y de Ia,B C. y es ygual.B i,a|a. A.y B E . e s yguala que
de la. A.y dela.B D porque es comprehendido de ia .B I. y de la B
D.y es ygual.B I.a la. A.Pero. D L.es ygual al que de l a . A. y
dela.D E.porque.D K,efto es,B Les ygual a l a . A .-Y de mas defto
dla mifma manera.E T.es ygua al que de la. A.y de la EG.Luego el
que es comprehendido de l a . A , y d e l a . B C.es ygual al que
dla. A.y dela.B D.y; al que dla. A.y de la. E y tambie"n a aquel
que dela.A., y deia.EC.Luego fi fuere dos lineas recias y la vna de
ellas fe ccrtare,y lo que de mas e fi gue^que fe hauia de
demoftrar. " TheQrema.z. . . Propoficipn.z.
S" Si vna linea r e d a fe cortare como quiera; los redanglos
que de roda ella y qualq.uic.ra de us partes fon comprehendidosrfon
yguales a aquel quadrado que es de toda ella.Corte
E VC LIDES, ' g el gno&5 C M i j y J L / o n y|uales*al
reftangillp^ cprehendido deba xodi'aj A D ; D B,y arquadrado que
le'h'az d e , C D , y| gnomon.C M Ly el,L l.fontodo el quadrado, C
E ZB,ques dela,B C,luego.el re&guo cprehdido debaxo dela,A D y
dla: D B,junramte con elqadrdo'q fe hace dela,C D, .es-ygual
al.quadrado que.fehaze deIa,CB,lueg fivna linea recia y lo deas que
fe figue" como en el theorema lo qual oninodemoftrarfe, gfir- >
- '"> ' - >* Fropoficion .8. .
Theorema.8. -
^ S i vna linca recia e corta cmbquicra,clrc g l b q fe
coprenede quatro Veces debajo Me toda-ellay'de vna ci^iirpries cbh
ef qua i r a d o que esdejagarteqjelt^esygual qua I r a d o q l e i
^ ^ R ^ ^ y J ^ i k ^ a par re -como 'de vaai; * b b a ? aoi- >
>.-.-< > t =f
^Crtele la linearecia:A B . c o m o quiera eiiep5cr.o.C dge g e
i rectngulo'qqnatra vezes fe cprehde debajo d. A B.
y;dIa.B"G:iuntamte:co e i q u a d r a d o dela.A C. es ygual'
quas
HCEVeLIDES. ' . fo. 40 q u a d r a d o ?] fe dcribed l a , B,y
del, B C.como de vna. sPor'laz.petici,tdafe en derechera 1>
i'jji. A ' B . Ia'linea? B*D. y pgafe le ygual la. B D . a
laC'B(por la.3.deLi0y para.4:dl,i,defcribale el qudrado.A E Z D . d
e la. A p, ,. k D-yhagafela figura dobla-; da.Eues p o r q es
ygual. C.B H s. o alajB D.y C Baa.I E> es fj> R /
gul.l-uegofporla. 34.de!.!) y * i B D . e s ygual a !a.K Ni, LueJr
. go tibi.LK.es ygual a l a ; K - \ t -i * "i N-Y tbien-P R.a la. R
O . e s ygual,Yporq.BC. es ygual / T a l a , E D , y la. IK. a la.K
N Luego ygual es.CK.a K D.y-eLIR.'.a.RN(por la. 36. del.f)y p o f k
: 4 3 l d e I . i C C e s ygual a.R^,porqGwi bpplementos del
parallelogrmOjC O P D.luego,K D.es ygual a.R N.lue go.C K , p K.l R
R.fon entrefi yguales. Luego t o d o s q u a t r o fon quat.ro
veces t a t o que,C K. ten p o r q es ygual. C B.a la B D , y
la.BD.es ygual a la.B K.efto esala.Cl.Luego.CB. ef t o e s . I K.es
ygual a la.R P.luego.C Les ygual a l a P.y p a r que yguales.C
K.al.K P,y.P R,a la.R 0 , e s ygual,A I, a,L P . y , L P , a l , R
T,y,M O ( p o r la, 43, del,i)es ygual a 0 L,porq
onfupplemtosdelparaelogrmo,M L.luego tbien, A I. es ygual al.R
Z,por la.,43,del mifmo,Luego los q u a t r o , A 1, o. fon
i
3
;
>PR>J J uv^WiUO ^ _ M \J CJ cL \) XA
gnal gnom.S QJF,fon el quadrupulo de,A K,Y p o r q A K, es el q
dla, A E,y dela,B D,porque, B K , es vguala la.B D Luego el q q u a
t r o veces es dla, A B,y de l a , B D , es el quadrupulo de,A
K,Pero ella demoftrado q elgnom 6,S QJ,e* quadruplo de,AK quatro
doblado,Luego lo q quatroveces es hecho de,A B^y de,B D,es ygual a
l g n o m o , ? CLE,pgafe , F 4 pues: ?
p
u
LB O S G N O E I R E V D D
pues com,X T,q es ygual al quadrado del, A C , Luego e l quatro
vezes comprehendido de la. A B.y de la.B D.con el quadrado dela.A
C.esygual algnom,S Q-f- alquadrao xT.y elgnom.S Q,F.yXT.y f todo el
quadrado.AE2D. q es dea. D,uego lo q quatro vezes es dla , A B, y
dla,B D,juntamte con aquel quadrado que fe hace dla, A C , es ygual
al quadrado q fe haze dla,A D^Y l a , B D , es ygual ala B C,luego
el rectngulo cprehendido quatro vezes de laj, A B,y dela,B Cjutamte
c aquel: quadrado q fe haze da A C,es ygualal quadrado que fe haze
de la, AD,efto es dla B y dela,B C,comode vna.Luego fi vna linea
rel:a,y lo j dornas fe figue, que era lo qfe ama de demoftrar. ?
Theorema.^ Fropfici. 9 . . : K ' ':
f Si vna linea reta fe diuide yguales y en de igualesprteseos
quadrados qfe hazende las partes delguaies d toda elisin el doblo
de aquel quadrado que fe hace dea mitad ,y del que dla que efta en
medio dlas diuifio:
*Vna linea recia. A B.cortefe en yguales pies en-el punt. C.y en
defiguales en.D.aigo que los quadrados de la.B D. y dela.D A.fonel
doblo de aqullos quadrados que fon de la. B C.y dela.CD.Saquel
dei'de elpto.C.fobre la.AB.vna e a gulos reros qfea-CE(por la. 1 r.
del. 1 ) y haga fe ygu al a cada vna de las d o s . C A. CB.(por Ia
3,dl.i,y(porIa. r; petici,tirenfe, A E.EByp or la.3i.del.i.)por
elpunto.Dfaqfe.DZ.pallelaaIa.EC(:y ^ por la mefma ) por
elpto.Z.ttrefe^Z Lpalela ala. A B.y por la.i,petici,tirefe.B Z.y
porque.B C.es ygual a la.C E.por la quinta deLi.el angulo.E BC.es
ygual al angulo.C E B.yporq^ ngulo de jnnto,a, C.es recto,luego los
dems.angulos.E B; i A
CCEB
' VCL-DES, 4iC.CEB.fon yguales a vn reciojuego cada vno dlos
angu .los.BEC.EB C.es la mitad de vnreto,y por lo mifmo cad^vno
dlos dos.E A C.C E A.es la mitad de vn re&o,luego todo. A E B
es vn recio. Yporque.I EZ. es la mitad de vn re to,y es re&o.E
I Z.porq es ygual al interioryopuefto (por a.29.del.i. efto es al
angulo.E C AJuego.E ZI. q rela es 1 a mitad deretojuego por
la.6.com fentcia^el angulo.IEZ. es ygual al.EZl,por lo
f|lporla;6.cLi.el lado.Z I_.es ygual al l a d o I E.It porq el
gulo.A.es medio rel:o,y el guIo.ZD A es retOjporqs ygua alinteriory
opueto.ECA,(por la,i9 cl .i)Iuego.AZD.es medio recio Juego el
ngulo. A.es ygual al D Z A y afi(por la..del.i.)el lado.D Z.es
ygual al lado.DA y porq B C e s ygual a.CE.y es ygual elqadrdo dla.
E C. al dela.C duego los quadrados dela.CB.y de la.C E. fon do
bldos al dela.B C.y(por la.47.del,i)aIos dela.B C.y de latC E.es
ygual el quadrado q fe hace de l.E B,porq-el angul,B C E, es
recloAuego el quadrado dela,B E,es el doblo 51 de Ia B C,Itporq, E
I,es ygal ala,I Z Jera ygual el qudela, Z I , aqiie dla,I E, luego
los quadrados que fon dla,! E , y dea,IZ,foael doblo del quadrado
de la,IZ,y alos quadra dos q fe haz de Ja E I,y dela,l Z,es ygual
el q de la^EZ^por Ia,47,deL,i,Iuego el quadrado dea,E Z_.es doblado
al de la IZ^yes ygal,lZ,aIa,Ct>,iueg el delayE Z,es edobo de el
dela,CD ys el q fe haze deia,B E,el doblo di q fe hace dea B CJuego
los adrados dela,BE,y dela,E Z fon el doblo de los qdradosqfehac
da, B C,y C D , y alos q fe hace dela,B E,y 51a,E Z esygual el q fe
hace dla,B 2,porla.47 dl.i.porq el gulo.B EZ.es recto,luego el
qdrado de la.B Z.es el d o blo dlos q fe haze deIa,B C.y- dela.C
D.Y al q fe hace dea. -B Z.fonyguales los q fe hace dela.B D.y
dela.D Z. ( por la. 47,del.r;)porq es recio el angulo.B D Z.luepo
losq le hace* dea B D.y dela.D Z.fon el doblo * aqllos aadradosq fe
ha cen cela B C.y dla C D.y es ygualla,D z / l a , D A. Luego los
quadrados dela,B,D,y dela,D A,fon el doblo dlos qua drados
debv.EC^y dela,CD,luegofi vna linea recia fe corta e ; parteas } ;)
? } 3 3 :
LIBRO SEGVNDODE partes yguales y en defigualeslosquadradosq
fehac'de la* parres deiguaes de t o d a e j l a / c n e-Lijoplo de
aquellos q;dra d o s q e haze dea mita d,y del q delaptelj.efta en
medio d las diuiione^.Io qual c o n y u o demcilrar, Theorema.i.o.
Propoitton.io
[Si ynaiixca red:ac diuidc en-partes yguai les,y fe le ajunta en
aerecho vna linea recta el quadrado d t o d a ella co la anadida y
eide la aadida^ambos a dbs,fn el.^ofrlp eixsa drado qfe decribe dla
rita : .'i que fe3
VC L I D ES. 4' queTe hazen d la.B A.y dela.A E. quitefe por
como e! de la A E.Iuego el Rectngulo que refta cprehendido dela.C
Z. y dfa.Z A.es ygual al quadrado que fehace d la.A B.Y el que es
da.CZ.y de la.ZA.es e mimo.Z K.porque.Z A.esygual a l a mifma.Z l.Y
el que fe hace dela.A B.es_el mifmo.ADdue go.Z A-es ygual al
mifmo.A D , Quitefe el com. A.K. luego el que rela.Z T.es ygual
al.T D.y T D.es el que de la. A B. y dela.B T.Porque es ygual, A
B.a la.B D.y el.ZT.es el que de A T.Luego e rectngulo comprehendido
de la.A B. y de la! BT-es ygual a aquel quadrado q fe hace dela.T
A.Efta pues linea recta dada.A B.diuidida en.T.de manera q el
rectan guio cprehendido dela.AB.y dela,B T.fea ygua a aql qua diado
quefe hace dela.A T.o qual conuino hazerfe. Theorema.ir.
Propoicion.n.
^"Enlos tringulos de ngulo obtufo el qua drado que fe hace del
lado opuefto al ngulo obtufo tanto es mayor que aquellos quadra dos
q fe hacen dlos lados quecomprehden el gulo obtufo,quanto es el
rectngulo com prehendido dos veces debajo de vno de los que
comprehenden el ngulo obtufo ( fobre e qual e (tendido cae vna
perpdicular) y del que es tomado fuera debajo dla perpdicu lar aira
el anp-ulo obtufo.raiSea el triangulo de ngulo obtufo. A B C. que
tenga el an gulo.B A C.obtufo y tirefe defJe el pcto,B J a linea.
BD.per pendicular fobr Ia,CB.eftendida.por la.iz.de.i.)Digo q el
qadrdo dela.B.C.es mayor que los dek.B.y dela.A C. por el reftguio
cprehendido dos vezes debaxo d e l a C A. y de la.A D . P u e s p o
r q a l i n e a recta.CD.es cortada comoquiera i. enel
LIBRO SEGVNPODE en t i puncro.A. luego por Ia.^del.*, ei Z\ hace
ciia.CD.es ygual a los qua d i a d o s que fe hacen dela.C A.y de
la A D.y al rectngulo dos veces copre hendido debajo dela.C A.y dla
A D pongafe~por com.el dela.DB.luego los que fe hazen dela,C D.y de
l a . D B.fon yguales a los quadrados quefe hacen de k . C A.y
dela.A D.y dela.D B.y al rectngulo cprehendido dos> vezes debajo
dek.C A.y dela.A D.y a l o s que fe hacen dla C D y de la.D B,es
ygual el que dela.C E ( p o r l a . 4 7 - el. i) p o r q u e es
recio el angulo.D.y a los que fe hacen de la. A D, y de la.D B(por
la mifma)es ygual e que fe hace de i a . ABi luego el quadrado
quefe hace dea.CE,es ygualalosquadra dos que e hacen dela,C A.y
dea,A B.por la niifma,y aireclangulo contenido dos vezes debajo
dea,C A,y dla. A D. P o r lo qual elqadrdo que fe hace d la.C B.es
mayor q los que fe hacen dela.C A,y dela,A B.quanto es el rectngulo
comprehendido dosvezes debajo dela.C A.y dela,A D , le go en los
triaguosde anguloobtufo el quadrado que fe hace del lado opuefto al
ngulo obtufo es mayor.Yio de mas que fe figue.que conuino
demoftrar.Theorema.12. Propofition.13
^"Enlos triaguios oxigonios ei quadrado q fe hace di lado
oppuefto al agulo agudo es tato menor q los quadrados dlos lados q
coprehend el ngulo agudo, quato es ei qecpr.e hende dos vezes
debajo devno de aquellos q eta cerca del ngulo agudo fobre quie cae
la perpendicular, y del tomado dentro debajo dla perpendicular afta
el ngulo agudo," il x ....... O O ' _
Se*
VCLIDS.
44;
\lfk D D' 0 q elqadrdo dela.A C , es menor q los quai 2 drados 1
fe hace de la, C B,y de la.B A.quato es el reftagulo dos Vece?
cprehendido debaj o dla CJB,y deIa,B D,Pues p o r q la linea re
ta,BC,efta cortada comoquiera.D uego(por la,7, de.z)los quadrados
la,C B.y delayB D.fon yguales al r e rgulo dosveces ctenido debajo
de la,C B.y dela,BD,y al qdrado q le ha ce dla.,CD.pgafe com el
quadrado dela,L>A,luego los qdrados dela^C B /&_ y dela-B D
, y dela,DA(por la,7,del,z)fonyguales alrecKgu lo cprehendido dos
vezes,debajo dela,C B,y dela,B,D, y a qos quadrados q fe hacen dla,
A D , y cela D C , YaJos q fe hacen dela,B D , y dea,D ,es ygual'e
q f hace de la, A B porcj el angulo,D,es recto,y a los q f
hacendela,A D , y de l a , D C,es ygual el dela,A C ( p p r L i , d
e l , i 0 eg los q fe hacen de!a,CB,y dela,B A / o n yguales al qfe
hace dla, AG y a aql que dos vezes el hecho debajo de la,C B,y
dela,B D , por lo qual folo el qfe hace de la, A G , es menor q
aquellos quadrados que fe hacen dela_,C"E.y deLa,B A,quanto es el
re etangulo dos vezes comprehendido debajo de C B,B D.Lue go en los
tringulos oxigonios,y lo que mas fe igue,Io cpal eonuena
demoftrar.A l e 4 7 j
...
BoWemaz.
Propoicion. 14.
Kazer vn gdradd-ygual a vn rectilineo dado^ S e a e f r e &
i m e o dado.A.cuiene dar v n q d r a d o y o u a aefte
retiineOjDefevnpalleogrmo retgulo ygual ai re cfimeo.A(p r
la.45-.dei.1Oy fa.B C D-'E.yf es.y:;ua. B E. alaED.Ya efta hecho
eprobleina.poru fe da efquadrdo BD.ygualaireaiiineo.A.per&iofer
ade4as dos.BE.E D . y -. La0 i
LIBRO S;EGVNDODE
La vna mayor,!"ea l a m a y o r . B E.y eftidafe a f t a 2 . y
poga fe EZ,ygualala, E ( p o r la tercera del primero ) y t o r t e
fe. B Z p o r medio en.l.y haciendo centro. I. yepacio l a , IB.
^^^MAyi^ i
"-C.I.B^'.;.'"..';
;
i
q ^pt)o^.A;E;T-e^gni^|ai^^ guloyD A E^al angulOjDB l^fctygo
mayor s e anguIo,lE;B>q l " angu Io.D B % y a may or
.tigulbfm%^r"%dl eta .opuefto ( p o r l a ^ d e / i j L u e g o
mfyor e s ^ B ^ q f l o D E e y ^ o r l a , ^ ^
vna;Hnea-ree^a,4^^^^na/manta-de^^
EfMaJue^oae^^ea^ ^gj^nodmofti-ar^ *f>C Klfii'di5i
.'{.-; ;;':
v ' . ...... '-- s-'jfjji
;:
' ^; !
d;
'.. OKJJ; .,Z E T . y g u 4 a ? 3 g 9 r ^ ^ O R ' ^ r t f
tirefc.Z T.Ps porq^^esyguallE>la,E T poi;la.if.derinici
dea,yda.E . s cmndugls dos,! EjE 2 , ion yguales a las dos.T E , E
Z.Y por la.z^del.^el.angulojIE Z.es ygual al angu lo. T E Z.Lucgo
por la.4 .del.,k bafis.2 Les ygual a la baisjT Z . D i g o tambin q
a la linea, 2 1 . ninguna otra le cae ygua ene! circulo defde
elpuncto,2.porque fi es pofiible ca y a . 2 K . Y p o r q u e . 2
K,es yguala la,Z I,y la^Z T,es ygual ala Z1. Luego.Z K.es ygual a
la,Z Tjluego la que elba mas propincua a l a que paTapor l cetro es
ygual lama apartada que por'b q eft .demoftrado esimpolible. defta
manera por Ia.iq3tici,tirefe,E K.y porq (pbrla.if defiuici deb.) es
ygual.I E.a la,E K y comn la,Z E,yla bafis.I Z,es ygual a la
bafis,Z K X u e g o por la.8.del.i.elangulo,lEZ, es ygual al,
angulo,K E Z,y l anguo.l E 2 , e s ygual al ngulo,TE 2,Lu ego por
a.i.com fentenciajelangulr/.T^E 2.esygua al angulo,K E Z , e l
menor al mayor que/es impoflible. Luego def de el puncto,Z,ninguna
otra caene crculo ygua a la. 1 Z. luego vna fola.Luego fi enel
dimetro de vn circulo,ylo que mas fe figue como cnl eheorema q eslo
q fe au ja f demoftrarf ; ? I r ol ! } 3
Tbeorema.?
Propoficon. S,
f S fuera de vn circulo Ce t o m a aJg pclro j defde aql puco al
circulo fe tira algas lineas recas, de las quales la vna fe eftieda
p o r cl cetro
E VCLIDES.
?
1
So.
trb,y las dems como;quiera^de las lineas r e fes q caen en Ja
circunferencia conuexa e r sk |>rc la mas prQpnqnaa la q paila
por el cetro es mayor qJarnas r e M o t 3 ; P e r delaslieas re t a
s q caen ela circfercia cu ra.es la menor la qeftacntre el pfco y
el dimetro; y la mas f ifdpinqua a la inenor ip^|s^Venor q u e l |
ias ^p^ao^7flaanEt.os^linea$-recias cae Iguales enl c i r c u ^
.;
' hn'voa'.i
1
'A.c-fif'/^^$tielcfri i
algunalineareclia tocare al circulo y defde el centro al t o c a
m t o fe tirare algalinea rcba,a tirada fera perpdicular a la q
toca.
Alcireulo.AB C.toque le algunalineareaa.DE.enelpu & o . C .
y toinefepor lju1.deL3.el cetro del cireulo.A B C.yfe*
E C I E. V LD S
f7
Z ydefde.Z.aftaen.C.tirefeporla.i.periaon,ZC.digo cjZC es
perpdicoar fobre la.D . Porque mo,tireepor ia.iz.df primero
cefde.Z.fobre . D E . l a " ^etpenicubr.Z LPuesporque ^ ei anguIo.Z
IC.es recto,hiego el guloJ C Z.es agudo.Luegoirt* yor es elanguloZ
1 C.q elangulo.Z C Lydebajode mayor angu lo(por la.19.deL1.) fe
eitide ma ,yor lado,luego mayor es.- Z C.q \ no-Zl.y es ygual la.Z
C.a la.C B por f e r d e l c t r o a l a circunfer cia,luego mayor
es.Z B.que !Z l. la menor q l a mayor,qes impp.mbieXiiego.ZLn o es
perpendicular fobre. D E . Luego fi a l guna linea retatocare al
circulo^y lo q mas fe figue.Lo qua* conuino demoftrarfe.
Theorema.17. Propofcion.iy.
f Si alguna linca re&a tocare al circulo, y d e f de e tocam
lento e le fcare alguna linea re & a en ngulos re Alcirclo.A B
Ctoquelevna linea recta.D E.ene p u n c t o . C . y
defde.C.porla.ii.deLi.Tire fe C A.en ngulos rectos,Digoque enla
mifma.C A.efta el centrof l rculo,Porq fino,fiespoFible efte
en.Z.ypor ia.r.,percion tire fe.C Z. Pues porq ia linea. D E. .
toca al circulo. A B C. y defde el centro al tocamiento fe t i r o
Z G luego
LIBRO T E R C E R O DE IuegoporIa.18.es p e r p e n d i c u l a
r a l a D E.y es recio el angu lo.Z C E , y ei angulo.A C E.es
recio.Lucgo el ngulo. Z CE. es ygual al angulo.A C E.el menor al
mayor,que es impofli be.Luego.Z.no es c e n t r o del circulo.A B
G.Tambien dcma rtraremos de la mifma m a n e r a q ni en otra pa
rte fuera del a AC-Luego fi alguna linea recia tocare al circulo, y
defde el tocamito fe facare v n a linea recia en ngulos reelos
fobre l a q u e tocaren la q u e fe faca eftara el centro del
circulo . L o qual conuino d e m o f t r a r e , Theorerria-i?.
Propoficion.zo
CEncl circulo,el ngulo foore ei cetro, es do Blado al de fobre
la circunfercia,quandoJos ngulos tuuieren ygual
circunferencia,a>Sea el circulo, A B* C.y fobre fu centro elle
el ngulo. B E C.pero fobre la circunferencia el angulo.B A C,y
tenga por vna mifma bais a la circunferencia.B G. Digo que e ngulo
B E C.es d o b l a d o a angulo.B A C.Porque tirada.A E. ( por
]a.2.peticion)efiendafe afta en.Z. P u e s porjque es y g u a l
ala.E B.pr fer del centro a a circunferencia, es ygual el n g u l o
. E A B . al angiir lo.E B A.Luego l o s anguos.C AB, E B A.fon el
d o b l o del ngulo. E A B ( p o r la.j.deLi. ) y es ygual el
angulo.B E Z . ( p o r la.32.deL1.) a los an^uos.E A B . E BA.Luego
el angulo.B E Z.es el d o b l o de.EAB y p o r a mifma m a n e r a
tambin el angulo.Z E C.es el d o b l o del anguI-E A C.por ia
mifma.Lu ego todo.B C.es el doblo de todo-B A C. Yten pongafe o.* t
r o anguio.B D C . y tirefe (por la.i.peticion. D E . y eftienda fe
p o r la.z.peticion afta en.i. Demoftrar emos tambi&n deda*
m a i f m
E y e LID ES. ?8. M --.Ti- i'iupuloil E C.es doblado al ngulo. C
^ T T S s e q n e aebaxo de.l E B.es el doblo del a n I E D ? V
refta.BEC.es el doblo-de . B D C . f e n circulo elangido fobre el
c e n t r o es doblado al de fobX ta circunferencia, quando los
ngulos tuuiei en ygual eircunerencia.Lo qual conuino
demoftrarfe.
r
!
E!
Theorema-r?.
Propoicion, zi.
^E el circullos ngulos cj eftan en vn mirnoegmento/oB yguales
entre l.:
^Efteheneifegmento.B A E D.del circulo.A B C D. los an giosE A
D.B ED.dsgo que los ngulos. B A D.B E D . fon. entre yguales/.
.Toniri'.: por la i.dei.3.)e centrod circulo. A .. B'CDiy fea.Z.y
treme por %i^. .. peticin. B.Z.Z D . y porque el aegulo.B ZD.ejia
fobreei.centro^y c! angulo.B A D. fobre la, circinifereieiajy
teupor bais. \ / lamiima circunferencia. B C D . Sk Luego e
angalo,BZ D , por la precedente,es doblado al angu lo.B A D.Y por
eft'b el ngulo. B Z D . c - s tambeh doblado al angulo.B ED.Lu.ego
ygual es el angulo.B A D. al ngulo B E D ( por a comn fentciaque
dize.Las cofas que devna miima loe mitad entren fon yguales,-Lrego
enel circulo los ngulos que canenvnmifmo legm&o fon yguales
entre fi.. Lo qual conuino dembftrarfe. < " '' ] Theorema.10.
Propoficion.zz. -.
| L o ? ngulos oppaeftosc los quadriateros en ios circuios i o n
yguales. a dos rectos, \Sea
LIBRO T E R C E R O DE ^ S e a el eireulo.A B C D.y efte cnel el
quadrilatero.ABCD Digo que los ngulos oppueftos fon yguales a dos
re&os.Ti renfe(porIa.i.peticion)ACB D.Puesporq(por!a,32.dtl.i)
los tres ngulos de todo triangulo fonyguale a dos re&os' luego
del triangulo. AB C.los tres aiigulos-C A B. A B C.B C A,fon y
guales a dos retos,y el angulo.C. A. B.es ygual al angulo.B D C.por
laz1.deL3.por eftar el mimo fegj mento.B A D C.Y el angulo.CB (por
la mifma) al ngulo. A D B. por eftar en vn mifmo fegmento, A D C B.
luego todo. A D C.es y gual a 1 os dos.B A C. AC B.Ponga fe por
comn e angulo.A B C.luego los ngulos. A B C, B A C.B C A-fon
yguales a lo* anguloj^A B C A D C y los angu j os.AB C B A C C
B.fon yguales a dos recios,luegoiosaa gulos. A B C A D C f o n
yguales a dos re&os.Dea mifma fuerte fe demoftrara que tambin
fon yguales a dos recios. B A D . D C B.Luego los ngulos oppueftos
de los qadrilate ros que eft en los circuios fon yguales a dos
rectos. Lo qal conuenia demoftrarfe.1
T e r r a iu h oea .
Propoficion.13.
CSoBre vna miima linca reda dada, no fe da ra hazia vnas mimas
partes,dos fegmctos de ^ir-culos femei antes y deguales.Porque fi
es polfibIe,haganfe fobre vna mifma lineareta.A B.dos fegmentos.de
circuios femejantes y defiguales A C B . A D B . hazia vnas
mifmas*partes , y tire fe. A C D . ( por la primera peticin) y
defpues tiren f e . C B . D B. Puespor que e fegmento.ACB.es
femejante al fegmento V . ADB.
EVCLIDES fj, ADB.y fon femejantes fegmntos de circuios los que
recibe yguales anguos,por la definido. io.deL$,luego elangulo. A C
B,es ygua! al angulo.A- D B. el exterior a! intenor.Lo qual,por la.
16 del.r.es impofsible. Luego fobre vna mifma linea recta dada no
fe darn hazia vnas mifmas partes dos fegmctos de circuios fe
mejantesy defiguaes.Lo qual conuino demoftrarfe. Theorema.22.
Propoicion.24.
^Los fegmntos femejantes de circulos,pueftos fobre yguales
lineas re tas fon yguales entre LH> Ponga fe fobre las lineas
realas yguales. A B.C D . Ios fem e m o s
decireulos.AEB-CZD,femejantes.Digo queifegmento.A EB.es ygua al
fegmen- t o . C Z D.porque fobre puefto el fegmento. A E B.al
fegmento. E Z D.y puerto elpunto.A.fobre elpu t o . D y la linea
recia. A B. quadr \ \ dofobre la linea reta.D C.tambi en el p u n t
o , B . quadrara fobre el puneo.C.Porque es ygual,A B a Ia,C D,y
quadrado la linea recta A B,fobrela linea recla,C D , qua dra
tambin el fegmento,A E B , . $ alfegmento.C Z D.Porque i la hnea
recta, A B , quadra fobre lalinea r e 6 t a , C D , p e r o el
fegmento,A EB.no quadra fo bre elfegmento,C Z D,fino que
di3ere,como,C 1 D,Y vn cir culo a otro circulo,por la,2,del,3,no le
corta en mas q dos puntos,y el circuIo,CI D , c o r t a a l e i r c
u l o , C Z D , e n mas que .fin dos pnelos que es en,C.l,D,lo qual
p o r la mifina es im 3
9
LIBRO T E R C E R O DE pofibe,Luego no q u a d r a n d o la
linea recta. A B. fobre la linea recla.C D . t a m p o c d quadrara
el fegmento. A E B .fobre el fegmento.C Z D,luego q u a d r a y es
le ygual.Luego los feg mentps femejantes de circulos,pueftos fobre
yguales lineas rectas,fon yguales entre i X o qual fe hauia de
demoftrar. Problema.3, Propoficiomiy.
C D a d o vn fegmento de circulo? defcribir el circulo cuyo f e
g m e n t o es.e-aSea cl fegmento del circulo dado.A B C . conuiene
defer bir el circulo del qual es fegmto.A BC,Cortefe(por la.10,
de.i.)la.AC.por medio e n e l p u n c l o . D . y defde. D .
faquefe ( p o r la.n.)del mifmo)la.B D.en ngulos recios fobre A C,y
tirefe. A B ( p o r a.i.peticion).C6 p a r a d o pues el angulo.A B
D.c el agulo.B A D.oes mayor que e o ygual, o menor.Sea o primero m
a y o r , y p o r Ia.r3.del mifmo,ha ga fe fobre la inea rela.A B.
y el p n e l o , A.el ngulo. B A E . y gual al angulo.A B D . y p o
r Ia.2. petici on,eftiendafe.BD.afta en.E y tire f e ( p o r l a .
i . peticin) E C. Pues p o r q u e el ngulo. A B E. es ygual al
ngulo. B A .luego es ygual,(por la.6.del.i,)Ia inea r e cia. E B. a
la, A E, y porque es y guaL A D . a la,D C, y comn a. D E.Iuego las
dos. A D . D E , fygua les a las dos.C D.D E.la vna a la o tra,y el
anguo,AD E,por la.4.pe ticion, es ygual al ngulo. C D E. p o r q es
recio cada vno. Luego a
E VC LIDES. co. bafis.A E,por Ja.4.dl.i,es ygual a la bais. C E
. y efta derrilirada que la.A E,es ygual a la.BEduego la.B Ejes
ygual ala C E luego las tres.A E,E B,E C,fon yguales entre i, Luego
deferipto vn circulo fobre el punlo.E.fegun el efpacio. A E. oxd^E
B,o el epacio.E C(por la.3.petic,paiara por los de maspiwos y
quedara deferito.Luego dado vn fegmto de circulo deferibiofe el
circulo. Y cofa clara esque el fegmento A B C.es menor que medio
circuo porque el centro. E, cae fuera de.Tambien de la mifma manera
demoftraremos que aunque el ngulo, A B D,fea ygual al angulo.B A
D.Porque fiendo yguaLA D,a cada vna de las dos.B D. DE,luego ias
treSjD A,D B , D C fon yguales entre iLy fera centro el
mifirio.D.del circulo cumplido. Y tambien.A BC .fera medio cir
culo.Pro fi el ngulo, A B D.fuere menor que el angulo.B A Ocharemos
por la, 23.delprimero,fobre la linea recia. A B. enelpunlo, A,vn
anguloygual al angulo,A B D,dentro del fegmento. A B C.yel centro
del circulo caer fobre la,D B.y fera el fegmto,A B C.mayor que
medio eircuo,Dado pues vn fegmento fe defcribe e circulo cuyo es
fegmento,lo qual conuino h a z e r l i .;
Tfieorema.23,'
,Propoficion.2
| L o s ngulos yguales en yguales circuios eftan bbre yguales
circunferencias, aora een fobre los centros o bbre las
circunferencias.H) Sean yguales los cireulos.A B C.D E Z
yenellosfean ygua- / les los ngu