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Elementos de Máquinas

Elementos de MáquinasEngrenages Cilíndricas de Dentes Retos e Helicoidais

Ramiro Brito [email protected]

Departamento de Engenharia MecânicaUniversidade Federal de Pernambuco

2013.1


Introdução

Considerações Gerais

Apenas o dimensionamento mecânico;Cinemática e dinâmica já visto em Mecanismos;Revisão mais do que indicada (Cap. 13 Shigley);Engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais, odimensionamento é idêntico;Dois procedimentos: Lewis e AGMA.


Equação de Lewis

Lewis – 1892

Procedimento básico para análise preliminar.

σ =MI/c

=6W t lFt2

Semelhança detriângulos:

t/2x

=l

t/2

ou

x =t2

4l


Equação de Lewis

Lewis – 1892


σ =MI/c

=6W t lFt2


t/2x

=l

t/2

ou

x =t2

4l


Equação de Lewis

Lewis – 1892


σ =MI/c

=6W t lFt2


t/2x

=l

t/2

ou

x =t2

4l


Equação de Lewis

Lewis – 1892 (Cont.)

Tensão na base do dente:

σ =6W t lFt2

=W t

F1

t2/4l=

W t

F1

t2/4l146

Como x = t2/4l ,

σ =W t

F 23x

=W tpF 2

3xp

Denominando y = 2x/3p

σ =W t

Fpy


Equação de Lewis



σ =6W t lFt2

=W t

F1

t2/4l=

W t

F1

t2/4l146

Como x = t2/4l ,

σ =W t

F 23x

=W tpF 2

3xp


σ =W t

Fpy


Equação de Lewis



σ =6W t lFt2

=W t

F1

t2/4l=

W t

F1

t2/4l146

Como x = t2/4l ,

σ =W t

F 23x

=W tpF 2

3xp


σ =W t

Fpy


Equação de Lewis



σ =6W t lFt2

=W t

F1

t2/4l=

W t

F1

t2/4l146

Como x = t2/4l ,

σ =W t

F 23x

=W tpF 2

3xp


σ =W t

Fpy


Equação de Lewis



σ =6W t lFt2

=W t

F1

t2/4l=

W t

F1

t2/4l146

Como x = t2/4l ,

σ =W t

F 23x

=W tpF 2

3xp


σ =W t

Fpy


Equação de Lewis



σ =6W t lFt2

=W t

F1

t2/4l=

W t

F1

t2/4l146

Como x = t2/4l ,

σ =W t

F 23x

=W tpF 2

3xp


σ =W t

Fpy


Equação de Lewis


Usando o passo diametral P = π/p, e Y = πy

σ =W t

Fpy=

W tPFY

, onde Y =2xP3.

Esta equação considera apenas a flexão!Considera carga na ponta do dente, que não necessariamente éa situação mais crítica.


Equação de Lewis



σ =W t

Fpy=

W tPFY

, onde Y =2xP3.



Equação de Lewis



σ =W t

Fpy=

W tPFY

, onde Y =2xP3.



Equação de Lewis

Fator de Forma Y de Lewis (P = 1)


Equação de Lewis

Fatores de Velocidade

Existe um aumento de carga em função da velocidade de operação:Para velocidades em pés/minuto:

Kv =600+ V

600, perfil fundido

Kv =1200+ V

1200, perfil cortado ou fresado

Kv =50+

√V

50, fresado em caracol ou conformado

Kv =

√78+

√V

78, rebarbado ou retificado


Equação de Lewis

Fatores de Velocidade

Para velocidades em metros/segundo:

Kv =3,05+ V

3,05, perfil fundido

Kv =6,1+ V

6,1, perfil cortado ou fresado

Kv =3,56+

√V

3,56, fresado em caracol ou conformado

Kv =

√5,56+

√V

5,56, rebarbado ou retificado


Equação de Lewis

Equação de Lewis

σ =KvW tPFY

(US); σ =KvW t

FmY(SI).

Recomendação de Projeto: 3p ≤ F ≤ 5p.

Base para o projeto pela AGMA, e para o projeto manual.

O projeto manual deve ser feito considerando a resistência estáticae e a resistência à fadiga.


Equação de Lewis

Equação de Lewis

σ =KvW tPFY

(US); σ =KvW t

FmY(SI).





Equação de Lewis

Equação de Lewis

σ =KvW tPFY

(US); σ =KvW t

FmY(SI).





Equação de Lewis

Equação de Lewis

σ =KvW tPFY

(US); σ =KvW t

FmY(SI).





Equação de Lewis

Durabilidade Superficial

Os dentes podem falhar sob fadiga superficial também!A tensão Hertziana entre dois cilindros é dada por:

pmax =2Fπbl

onde F : força de compressão, l : comprimento dos cilindros e asemilargura b é:

b =

{2Fπl

[(1− ν21)/E1] + [(1− ν2

2)/E2]

(1/d1) + (1/d2)

} 12

com d1,2: diâmetros dos cilindros.


Equação de Lewis

Durabilidade Superficial (cont.)

Usando F = W t/ cosφ, d = 2r e l = F ,

σ2C =

W t

πF cosφ(1/r1) + (1/r2)

[(1− ν21)/E1] + [(1− ν2

2)/E2]

r1,2: raios de curvatura instantâneos no ponto de contato.

Lembrança: só há rolamento puro exatamente no ponto primitivo.

Os raios de curvatura no ponto primitivo são

r1 =dP sinφ

2e r2 =

dG sinφ2


Equação de Lewis



σ2C =

W t

πF cosφ(1/r1) + (1/r2)

[(1− ν21)/E1] + [(1− ν2

2)/E2]




r1 =dP sinφ

2e r2 =

dG sinφ2


Equação de Lewis



σ2C =

W t

πF cosφ(1/r1) + (1/r2)

[(1− ν21)/E1] + [(1− ν2

2)/E2]




r1 =dP sinφ

2e r2 =

dG sinφ2


Equação de Lewis


Agrupando as constantes elásticas no Coeficiente Elástico

Cp =

1

π(

1−ν2P

EP+

1−ν2G

EG

) 1

2

,

Adicionando também um coeficiente dinâmico,

σC = −Cp

[KvW t

F cosφ

(1r1

+1r2

)] 12

,

Que também deve considerar a fadiga!


Equação de Lewis


Agrupando as constantes elásticas no Coeficiente Elástico

Cp =

1

π(

1−ν2P

EP+

1−ν2G

EG

) 1

2

,

Adicionando também um coeficiente dinâmico,

σC = −Cp

[KvW t

F cosφ

(1r1

+1r2

)] 12

,

Que também deve considerar a fadiga!


Equações de Tensão da AGMA

Equações de Tensão AGMA

O projeto moderno de engrenagens é feito com base nas equaçõesda AGMA.

Claramente inspiradas nas eq. clássicas;Vários fatores de correção experimentais;Tensões chamadas números de tensão;Consideração detalhada de fadiga (superficial e flexional);Equações para flexão e desgaste superficial.



Equações para Flexão

USA:

σ = W tKoKvKsPd

FKmKB

J

SI:

σ = W tKoKvKs1

bmt

KHKB

YJ

W t : força tangencial, lbf(N);Ko : fator de sobrecarga;Kv : fator dinâmico;Ks : fator de tamanho;Pd : passo diametral transversal;F (b): largura da face, in(mm);Km(KH): fator de distribuição de carga;KB : fator de espessura de borda;J(Yj): fator geométrico;mt : módulo transversal.



Equações para Crateramento Superficial

USA:

σc = Cp

√W tKoKvKs

Km

dPFCf

I

SI:

σc = ZE

√W tKoKvKs

KH

dw1bZR

ZI

W t : força tangencial, lbf(N);Ko : fator de sobrecarga;Kv : fator dinâmico;Ks : fator de tamanho;F (b): largura da face;Cp(ZE ): coeficiente elástico,√

lbf/in2 (√

N/mm2);Cf (ZR): fator de condiçãosuperficial;dp(dw1): diâmetro primitivo dopinhão, in(mm)I (ZI ): fator geométrico paracrateramento.


Equações de Resistência da AGMA

Equações de resistência da AGMA

Números de tensão admissível:Não são usadas as propriedades “normais” do material;Gráficos e fórmulas específicas para engrenagens;Dadas em função da dureza superficial e qualidade do aço;Fatores de correção para flexão e compressão que consideramefeitos de fadiga;

Os números de tensão admissível valem paraCarregamento unidirecional;10 milhões de ciclos de carregamento;Confiabilidade de 99%.



Flexão

Resistência à Flexão – Aços Endurecidos por Completo

S = 0,533HB + 88,3MPa, grau 1S = 0,703HB + 113,3MPa, grau 2



Flexão

Flexão – Aços Endurecidos Totalmente por Nitretação

S = 0,568HB + 83,8MPa, grau 1S = 0,749HB + 110MPa, grau 2



Flexão

Flexão – Aços Nitretados



Flexão

Flexão – Aços Nitretados (cont.)

S = 0,594HB + 87,76MPa, Nitralloy grau 1S = 0,784HB + 114,81MPa, Nitralloy grau 2S = 0,7255HB + 63,89MPa, 2,5% cromo grau 1S = 0,7255HB + 153,63MPa, 2,5% cromo grau 2S = 0,7255HB + 291,9MPa, 2,5% cromo grau 3



Flexão

Flexão – Outros Aços



Flexão

Flexão – Outros Materiais



Flexão

Flexão Bidirecional

Quando houver carregamento bidirecional, a AGMA recomenda queseja usado 70% do valor da resistência Sl encontrada nas fórmulas,gráficos ou tabelas.



Compressão

Resistência à Compressão – Aços Endurecidos por Completo

S = 2,22HB + 200MPa, grau 1S = 2,41HB + 237MPa, grau 2



Compressão

Nitretação – Dureza Resultante



Compressão

Resistência à Compressão – Outros Aços



Compressão

Resistência à Compressão – Outros Materiais


Tensões Admissíveis

Flexão – Tensão Admissível

USA:

σall =St

SF

YN

KTKR

SI:

σall =St

SF

YN

YθYZ

St : tensão de flexão admissível,lbf/in2(N/mm2);YN : fator de ciclagem de tensão;KT (Yθ): fator de temperatura;KR(YZ ): fator de confiabilidade;SF : fator de segurança da AGMA;


Tensões Admissíveis

Contato – Tensão Admissível

USA:

σc,all =Sc

SH

ZNCH

KTKR

SI:

σall =Sc

SH

ZNZW

YθYZ

Sc : tensão de contato admissível,lbf/in2(N/mm2);ZN : fator de ciclagem de tensão;CH(ZW )): fatores de razão de dureza;KT (Yθ): fator de temperatura;KR(YZ ): fator de confiabilidade;SH : fator de segurança da AGMA;


Fatores

Fatores Geométricos

Fatores Geométricos I e J (ZI e YJ)

Usados para introduzir a forma do dente na equação de tensão(analogamente ao fator geométrico Y .)Dependem da razão de contato de face:

mF =Fpx

onde, px : passo axial, F : largura da face.Para ECDR, mF = 0.


Fatores


Fatores Geométricos para Flexão J (YJ)

J =Y

Kf mN

onde,Y : fator de forma (dado, não Lewis);Kf : fator de concentração de tensão para fadiga;mN : razão de compartilhamento de carga no dente.

Para ECDR, mN = 1,0.Para ECDH,

mN =pN

0,95Z

onde,pN : passo de base normal;Z : comprimento da linha de ação.


Fatores


Comprimento da Linha de Ação


Fatores


Fator J, ECDR


Fatores


Fator J ′, ECDH

Para engrenagens de 75 dentes.


Fatores


Multiplicadores de J ′ para ECDH

Para engrenagens com números de dentes diferente de 75.


Fatores


Fator de Resistência Superficial I (ZI )

Podemos escrever

1r1

+1r2

=2

sinφt

(1dP

+1dG

)onde φt é o ângulo de pressão transversal.A razão de velocidades é dada por

mG =NG

NP=

dG

dP

O que leva a1r1

+1r2

=2

dP sinφt

mG + 1mG


Fatores



Podemos escrever

1r1

+1r2

=2

sinφt

(1dP

+1dG


mG =NG

NP=

dG

dP

O que leva a1r1

+1r2

=2

dP sinφt

mG + 1mG


Fatores



Podemos escrever

1r1

+1r2

=2

sinφt

(1dP

+1dG


mG =NG

NP=

dG

dP

O que leva a1r1

+1r2

=2

dP sinφt

mG + 1mG


Fatores


Fator de Resistência Superficial I (ZI ) (cont.)

A equação para tensão de contato é

σC = −Cp

[KvW t

F cosφ

(1r1

+1r2

)] 12

.

Substituido a soma dos inversos dos raios,

σC = −Cp

[KvW t

F cosφ

(2

dP sinφt

mG + 1mG

)] 12

,

Rearrumando e redefinindo

σc = −σC = Cp

[KvW t

dPF1

cosφt sinφt2

mGmG+1

] 12

.


Fatores




σC = −Cp

[KvW t

F cosφ

(1r1

+1r2

)] 12

.


σC = −Cp

[KvW t

F cosφ

(2

dP sinφt

mG + 1mG

)] 12

,


σc = −σC = Cp

[KvW t

dPF1

cosφt sinφt2

mGmG+1

] 12

.


Fatores




σC = −Cp

[KvW t

F cosφ

(1r1

+1r2

)] 12

.


σC = −Cp

[KvW t

F cosφ

(2

dP sinφt

mG + 1mG

)] 12

,


σc = −σC = Cp

[KvW t

dPF1

cosφt sinφt2

mGmG+1

] 12

.


Fatores



O fator geométrico para crateramento é

I =cosφt sinφt

2mN

mG

mG + 1, para engrenagens externas,

eI =

cosφt sinφt

2mN

mG

mG + 1, para engrenagens internas,

onde a razão de compartilhamento de carga é

mN =pN

0,95Z.


Fatores


Cálculo de mN

O passo normal no círculo de base é

pN = pn cosφn

onde pn é o passo circular normal.O comprimento da linha de contato é dado por

Z =[(rP + a)2 − r2bP

] 12 +

[(rG + a)2 − r2bG

] 12 − (rP + rG ) sinφt

onde, é claro, rb = r cosφt .


Fatores


Cálculo de mN

O passo normal no círculo de base é

pN = pn cosφn

onde pn é o passo circular normal.O comprimento da linha de contato é dado por

Z =[(rP + a)2 − r2bP

] 12 +

[(rG + a)2 − r2bG

] 12 − (rP + rG ) sinφt

onde, é claro, rb = r cosφt .


Fatores

Outros Fatores

Coeficiente Elástico Cp(ZE )

Ou calculado por

Cp =

1

π(

1−ν2P

EP+

1−ν2G

EG

) 1

2

,

ou tabelado.


Fatores

Outros Fatores

Coeficiente Elástico Cp(ZE ) (cont.)


Fatores

Outros Fatores

Fator Dinâmico Kv

Considera o erro de transmisão, causado por:erros no espaçamento, perfil, acabamento;vibração do dente;magnitude da velocidade no círculo primitivo;desbalaceameto dinâmico;desgaste e deformação permanente;desalinhamento devido à deflexões lineares e angulares;fricção entre dentes.

AGMA define números de qualidade Qv , que determinam astolerâncias para uma determinada acurácia especificada.

3 ≤ Qv ≤ 7, engrenagens normais, qualidade comercial;8 ≤ Qv ≤ 12, engrenagens precisas.


Fatores

Outros Fatores

Fator Dinâmico Kv

Considera o erro de transmisão, causado por:erros no espaçamento, perfil, acabamento;vibração do dente;magnitude da velocidade no círculo primitivo;desbalaceameto dinâmico;desgaste e deformação permanente;desalinhamento devido à deflexões lineares e angulares;fricção entre dentes.

AGMA define números de qualidade Qv , que determinam astolerâncias para uma determinada acurácia especificada.

3 ≤ Qv ≤ 7, engrenagens normais, qualidade comercial;8 ≤ Qv ≤ 12, engrenagens precisas.


Fatores

Outros Fatores

Fator Dinâmico Kv (cont.)

Kv =

(A+√V

A

)B

, V em ft/min(A+√200V

A

)B

, V em m/s

onde

A = 50+ 56(1− B)

B = 0,25(12− Qv )23 .

A velocidade máxima para cada número de qualidade é dada por

(Vr ) =

[A+ (Qv − 3)]2, em ft/min[A+ (Qv − 3)]2

200 em m/s


Fatores

Outros Fatores


Kv =

(A+√V

A

)B

, V em ft/min(A+√200V

A

)B

, V em m/s

onde

A = 50+ 56(1− B)

B = 0,25(12− Qv )23 .

A velocidade máxima para cada número de qualidade é dada por

(Vr ) =

[A+ (Qv − 3)]2, em ft/min[A+ (Qv − 3)]2

200 em m/s


Fatores

Outros Fatores


Graficamente,


Fatores

Outros Fatores

Fator de Sobrecarga Ko

São aplicados de acordo com a experiência do fabricante, paracobrir:

variações de torque;reações da carga;

Máquina acionadaChoques Choques

Fonte de potência Uniforme Moderados IntensosUniforme 1,00 1,25 1,75

Choque leve 1,25 1,50 2,00Choque médio 1,50 1,75 2,25


Fatores

Outros Fatores

Fator de Condição de Superfície Cf (ZR)

Aplicado à crateramento apenas.Não é tabelado, depende de:

acabamento superficial devido ao processo de fabricação;tensões residuais;efeitos plásticos (encruamento)

A AGMA recomenda o uso deste fator quando há desconfiança quealgum efeito de superfície possa ser detrimental à vida por fadigada engrenagem.


Fatores

Outros Fatores

Fator de Tamanho Ks

Deveria considerartamanho do dente;diâmetro da peça;razão entre os tamanhos;largura da face;área padrão de tensão;razão entre profundidade da camada e tamanho do dente;capacidade de endurecimento e tratamento térmico.

Infelizmente não há valores tabelados.Pode-se usar Ks = 1, ou fazer uma análise de fadiga e

Ks = 1,192

(F√Y

P

)0,0535


Fatores

Outros Fatores

Fator de Tamanho Ks

Deveria considerartamanho do dente;diâmetro da peça;razão entre os tamanhos;largura da face;área padrão de tensão;razão entre profundidade da camada e tamanho do dente;capacidade de endurecimento e tratamento térmico.

Infelizmente não há valores tabelados.Pode-se usar Ks = 1, ou fazer uma análise de fadiga e

Ks = 1,192

(F√Y

P

)0,0535


Fatores

Outros Fatores

Fator de Distribuição de Carga Km(KH)

Considera a não uniformidade na distribuição de carga na face deuma engrenagem montada não simetricamente.Supondo que

F/d ≤ 2;engrenagens montandas entre mancais;F ≤ 40 in;contato ocorrendo ao longo de todo o elemento mais estreito,;

então podemos usar

Km = Cmf = 1+ Cmc(Cpf Cpm + CmaCe)

onde,


Fatores

Outros Fatores

Fator de Distribuição de Carga Km(KH) (cont.)

Cmc =

{1,0 para dentes coroados,0,8 para dentes sem coroamento

Cpf =

F

10d − 0,025 F ≤ 1 inF

10d − 0,0375+ 0,0125F 1 ≤ F ≤ 17 inF

10d − 0,0207F + 0,000228F 2 17 ≤ F ≤ 40 in

Se F/(10d) < 0,05, F/(10d) = 0,05 deve ser usado no cálculo.

Cpm =

{1,0 para pinhão montado com S1/S < 0,1751,1 para pinhão montado com S1/S ≥ 0,175


Fatores

Outros Fatores


Cmc =


Cpf =

F

10d − 0,025 F ≤ 1 inF

10d − 0,0375+ 0,0125F 1 ≤ F ≤ 17 inF

10d − 0,0207F + 0,000228F 2 17 ≤ F ≤ 40 in


Cpm =



Fatores

Outros Fatores


Cmc =


Cpf =

F

10d − 0,025 F ≤ 1 inF

10d − 0,0375+ 0,0125F 1 ≤ F ≤ 17 inF

10d − 0,0207F + 0,000228F 2 17 ≤ F ≤ 40 in


Cpm =



Fatores

Outros Fatores



Fatores

Outros Fatores



Fatores

Outros Fatores


Cma = A+ BF + CF 2


Fatores

Outros Fatores


Usar Ce = 0,8, para engrenamento ajustado na montagem, ouquando é lapidado, ou ambos.

Usar Ce = 1, em qualquer outra condição.


Fatores

Outros Fatores

Fator de Razão de Dureza CH

Ideia geral:Diâmetro do pinhão < diâmetro da coroa;Pinhão submetido a mais ciclos de carga;Para uma durabilidade equivalente, o pinhão deveria ser maisendurecido do que a coroa;Tratamentos diferentes também são possíveis;

O fator CH é usado somente para a coroa para compensar estadiferença. CH é dado por

CH = 1,0+ A′(mG − 1,0)

com

A′ = 8,98× 10−3(HBP

HBG

)− 8,29× 10−3 1,2 ≤ HBP

HBG≤ 1,7.


Fatores

Outros Fatores

Fator de Razão de Dureza CH (cont.)

onde,

mG =NG

NP=

DG

DP.

e HBG e HBP são as durezas Brinell da coroa e do pinhão.Além disto,

A′ = 0, paraHBP

HBG< 1.2,

eA′ = 0,00698, para

HBP

HBG> 1,7.


Fatores

Outros Fatores


Graficamente,


Fatores

Outros Fatores


Para pinhões muito duros (Rockwell C48 ou maiores),

CH = 1,0+ B ′(450− HBG ),

ondeB ′ = 0,00075e−0,0112fp

e fp é o acabamento superficial do pinhão, medido como a raizmédia quadrática da aspereza Ra, em µin.


Fatores

Outros Fatores


Graficamente,


Fatores

Outros Fatores

Fatores de Ciclagem de Tensão YN e ZN

Usados para compensar números de ciclos diferente de 10× 106.Para flexão:


Fatores

Outros Fatores

Fatores de Ciclagem de Tensão YN e ZN (cont.)

Para crateramento:

Obs: Não é impossível usar fórmulas diferentes para a coroa e opinhão (para flexão e compressão).


Fatores

Outros Fatores

Fator de Confiabilidade KR(YZ )

Corrige para confiabilidades diferentes de 99%.

Para valores tabelados: 0,5 < R < 0,99:

KR = 0,658− 0,0759 ln(1− R)

0,99 ≤ R ≤ 0,9999:

KR = 0,50− 0,109 ln(1− R)


Fatores

Outros Fatores

Fator de Temperatura KT (Yθ)

Para temperaturas até 120◦C, usar KT = Yθ = 1.

Compensar com fatores maiores para temperaturas superiores.

Considerar refrigeração ativa, se for o caso.


Fatores

Outros Fatores

Fator de Espessura do Aro KB

Compensa uma possível fratura ao longo do aro.

KB =

{1,6 ln 2,242

mB, para mB < 1,2;

1,0 para mB ≥ 1,2,

ondemB =

tRhT,

com ht : altura do dente e tR : espessura do aro.


Fatores

Outros Fatores

Fator de Espessura do Aro KB (cont.)

Na forma gráfica


Fatores

Outros Fatores

Roteiro de Análise – Flexão, Parte 1


Fatores

Outros Fatores

Roteiro de Análise – Flexão, Parte 2


Fatores

Outros Fatores

Roteiro de Análise – Compressão, Parte 1


Fatores

Outros Fatores

Roteiro de Análise – Compressão, Parte 2

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