Elementos de Análise Numérica Aproximação de funções -objectivo de aproximação de funções -Interpolação: -interpolação polinomial -polinómio interpolador de Newton -polinómio interpolador de Lagrange -”splines” [-regressão: -regressão linear -coeficiente de regressão -regressão não linear] Aproximação de funções Pontos mais importantes: 1
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções -objectivo de aproximação de funções -Interpolação:-interpolação polinomial -polinómio interpolador.
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-objectivo de aproximação de funções
-Interpolação: -interpolação polinomial
-polinómio interpolador de Newton
-polinómio interpolador de Lagrange
-”splines”
[-regressão: -regressão linear
-coeficiente de regressão
-regressão não linear]
Aproximação de funções
Pontos mais importantes:
1
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Motivação
-dados são frequentemente disponíveis como um conjunto discreto
de pontos (experiências, tabelas) ----> pretendem-se estimar valores
entre os pontos
-pretende-se uma forma simplificada de uma função complicada ----->
calculam-se os valores da função só para alguns pontos discretos no
intervalo de interesse e usar uma função mais simples (e.g. linear)
para estimar os outros valores (tabelas, gráficos de engenharia)
2
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Métodos de aproximação de funções
-pontos muito precisos (erros associados são desprezáveis) ----> a função de aproximação deve passar por cada um dos pontos----> interpolação
-pontos afectado por um erro apreciável----->o que têm importância é a tendência geral dos dados por isso a função não precisa de passar necessariamente por todos os pontos-----> regressão
interpolação
regressão
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Interpolação polinomial
-em princípio podemos usar qualquer função como função
interpoladora
-polinómios são excelentes candidatos, porque dados n+1 pontos, há
apenas um e só um polinómio de grau n, ou inferior, que passa em
todos os pontos: -2 pontos----> n=1 (recta)
-3 pontos----> n=2 (parábola)
-a interpolação consiste em determinar os parâmetros do polinómio de
grau n a partir de n+1 pontos dados ({x1;y1}, {x2;y2},…, {xn+1;yn+1})
sabendo que p(xi)= yi
-forma geral dos polinómios:
p x a a x a x a xnn( ) ... 0 1 2
2
4
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-aplicando os pontos conhecidos {xi;yi} resulta um sistema linear com n+1 incógnitas
Interpolação polinomial
n
1
0
n
1
0
nn
n1
n0
2nn
211
200
y
y
y
a
a
a
x
x
x
xx1
xx1
xx1
-a matriz de coeficientes é tanto mais mal condicionada tanto maior for n
-embora o polinómio p(x) seja único, ele pode ser expresso de variadas
maneiras: -polinómio de Newton-polinómio de Lagrange
5
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Interpolação linear (n=1): 2 pontos {x1;y1}, {x2;y2}
)xx()xx(
)yy(yy
x)xx(
)yy(ya
)xx(
)yy(a
xaay
xaay
112
121
112
1210
12
121
2102
1101
aprox. da primeira derivada 6
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Interpolação quadrática (n=2): 3 pontos {x1;y1}, {x2;y2}, {x3;y3}
-procuramos o interpolador na forma:p x b b x x b x x x x( ) ( ) ( )( ) 0 1 1 2 1 2
-aplicando as condições conhecidos, os parâmetros de polinómio podem ser determinadas:
p x b y x y
p x b b x x y by y
x xx y
p x b b x x b x x x x y
b
y yx x
y yx x
x xx
( ) ; )
( ) ( ) ; )
( ) ( ) ( )( )
;
1 0 1 1 1
2 0 1 2 1 2 12 1
2 12 2
3 0 1 2 1 2 3 1 3 2 3
3
3 2
3 2
2 1
2 1
3 13
(
(
( y3)7
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Interpolação de grau n (forma geral): n+1 pontos {x0;y0}, {x1;y1},... {xn;yn}
-procuramos o interpolador na forma:p x b b x x b x x x x b x x x x x xn n( ) ( ) ( )( ) ... ( )( )....( ) 0 1 0 2 0 1 0 1 1
onde
b y
b f x x
b f x x x
b f x x x x xn n n
0 0
1 1 0
2 2 1 0
1 2 1 0
[ , ]
[ , , ]
[ , ,..., , , ]
-a função f[ ] é chamada diferenças divididas de ordem n
8
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças divididas finitas)
Diferenças divididas:
-ordem 0: f[ xi]=f(xi)
-ordem 1:
-ordem 2:
-ordem n:
f x xf x f x
x xi j
i j
i j
[ , ]( ) ( )
f x x xf x x f x x
x xi j k
i j j k
i k
[ , , ][ , ] [ , ]
f x x x xf x x x f x x x
x xn nn n n n
n
[ , ,..., , ][ , ,..., ] [ , ,..., ]
1 1 0
1 1 1 2 0
0
-polinómio de interpolador geral de Newton:
p x f x x x f x x x x x x f x x x
x x x x x x f x x xn n n
( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ]
( )( )...( ) [ , ,..., ]
0 0 1 0 0 1 2 1 0
0 1 1 1 0 9
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Polinómio interpolador de Newton (diferenças dividida finita)
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
x3 y3
yy y
x x101 0
1 0
ordem1ª 2ª 3ª
yy y
x x212 1
2 1
yy y
x x323 2
3 2
yy y
x x21021 10
2 0
yy y
x x32132 21
3 1
yy y
x x3210321 210
3 0
-não é necessário que os pontos estejam igualmente espaçados-não é necessário que as abcissas estejam ordenadas por ordem crescente
Tabela de diferenças divididas
10
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-valores da função iguais nos nós interiores (2n-2)
-a primeira e última funções devem passar pelos pontos extremos
respectivos (2)
-o valor das primeiras derivadas nos pontos interiores deve ser igual (n-1)
-o valor de segundas derivadas nos pontos interiores deve ser igual (n-1)
- o valor de segundas derivadas nos pontos extremos é 0 (2)
i1-i3
i2
iii xx xxd+xcxba)x(S
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
-as condições anteriores resultam num sistema de eq. com 4n incógnitas
-um método alternativo resulta só num sistema tridiagonal apenas com
n-1 incógnitas
-a segunda derivada em cada intervalo é uma recta---->pode ser
representada com um interpolador de Largrange de 1º grau:
)x(fxx
xx)x(f
xx
xx)x(f i
1ii
1i1i
i1i
ii
-a expressão anterior pode ser integrada duas vezes, e o resultado é
uma função polinomial de grau 3 com duas constantes de integração
-aplicando as condições para os valores extremos no intervalo i (f(x i) e
f(xi-1)), os constantes de integração podem ser determinadas
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
-o resultado:
f xf x
x xx x
f x
x xx x
f x
x x
f x x xx x
f x
x x
f x x xx x
ii
i ii
i
i ii
i
i i
i i ii
i
i i
i i ii
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
1
1
3
11
3
1
1
1 1
1
11
6 6
6 6
-a expressão para cada intervalo (i=1,2,...,n) só tem duas incógnitas (f´´) em vez de 4
25
Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
-aplicando a condição que:
e derivando a fórmula anterior:
“Splines” (interpolação por segmentos polinomiais)
f x f xi i i i1( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x f x x x f x x x f x
x xf x f x
x xf x f x
i i i i i i i i i
i ii i
i ii i
1 1 1 1 1 1
11
11
2
6 6
-o resultado é um sistema com n-1 equações e n+1 incógnitas-mas considerando que as segundas derivadas são zero nos pontos 1 e n, o sistema (tridiagonal) só envolve n-1 incógnitas---->pode ser resolvido para as segundas derivadas nos nós
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções
Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x f x x x f x x x f x
x xf x f x
x xf x f x
i i i i i i i i i
i ii i
i ii i
1 1 1 1 1 1
11
11
2
6 6
i 0 1 2 3
xi 10 20 30 40
f(xi) -1 1,51 2,56 -3,1
03,4
876,0
56,251,110
656,21,3
10
6
51,1110
651,156,2
10
6
)30(f
)20(f
2010
1020
3002010
1020A 7,22
2003,4
10876,0A1
8,7103,410
876,020A2
239,0)30(f
0758,0)20(f
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Elementos de Análise NuméricaAproximação de funções