Matteo Villani Elementi di Metodi Matematici della Fisica Integrale di Lebesgue Distribuzioni e Trasformata di Fourier Università di Bari Corso di Laurea in Fisica A.A. 2003 - 2004
Matteo Villani
Elementi di
Metodi Matematici della Fisica
Integrale di Lebesgue Distribuzioni e Trasformata di Fourier
Università di Bari Corso di Laurea in Fisica
A.A. 2003 - 2004
INDICE
L'integrale di Lebesgue 1. Introduzione pag. 01 2. lo spazio ( )0C R pag. 03
3. L'integrale di Lebesgue in R pag. 07 4. Operazioni di limite nell'integrazione di Lebesgue pag. 11 5. Misura di sottoinsiemi di R pag. 14 6. Integrali su un sottoinsieme di R pag. 14 7. Funzioni a valori complessi pag. 15 8. L'integrale di Lebesgue in ( )dR d 2,3...= pag. 16
9. Gli spazi ( )d1L R e ( )d
2L R pag. 18
10. Lo spazio ( )d1,locL R pag. 25
Distribuzioni 1. Nozioni basilari pag. 27 2. Esempi di distribuzioni pag. 29 3. Differenziazione delle distribuzioni pag. 34 La trasformata di Fourier 1. Introduzione pag. 43 2. Trasformata di Fourier pag. 44 3. Lo spazio ( )S R pag. 49
4. Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier pag. 53 5. Trasformata di Fourier in diverse variabili pag. 62 6. Convoluzione pag. 64 7. Convergenza distribuzionale pag. 72
L'INTEGRALE DI LEBESGUE 1. Introduzione Def. Si dice che una famiglia α αεΣ
A di insiemi ricopre un dato insieme A, oppure che è un
ricoprimento di A, quando A AααεΣ⊆ ∪ .
Teorema di Heine-Borel (compattezza degli intervalli limitati e chiusi): Sia [ ]a, b un intervallo limitato e chiuso di R e αA una famiglia di insiemi aperti di R che
ricopra [ ]a, b ; esiste una sottofamiglia finita di αA che è ancora un ricoprimento di [ ]a, b
( )>b a .
Dim. Supponiamo che nessuna sottofamiglia finita di αA ricopra [ ]a, b . Introducendo
+=
a bc
2, si può affermare allora che almeno uno degli intervalli [ ]a,c ,[ ]c, b non è ricoperto da
alcuna sottofamiglia finita di αA . Sia 1I uno di questi due intervalli, per esempio [ ]=1I c, b .
Introduciamo +
=1 c bc
2; almeno uno degli intervalli ⎡ ⎤⎣ ⎦
1c,c , ⎡ ⎤⎣ ⎦1c , b non è ricoperto da alcuna
sottofamiglia finita di αA . Sia 2I uno di questi due intervalli. Procedendo in questo modo,
costruiamo una successione di intervalli 1 2 nI , I ,...I , ... con [ ]n 1 nI I a, b+ ⊂ ⊂ . In questa
costruzione si è sfruttata la limitatezza di [ ]a, b , con l'introduzione dei punti 1c,c ... Sia 0x il
punto dato da = ∩ ∩ ∩ ∩0 1 2 nx I I ... I ... Poiché [ ]a, b è chiuso, abbiamo [ ]∈0x a, b . Il punto 0x
deve appartenere ad almeno uno degli aperti di αA . Sia 0α
A un tale aperto e >r 0 tale che
= − <r 0B x : x x r sia incluso in 0α
A (per definizione di aperto). Abbiamo allora che per n
sufficientemente grande nI è incluso in rB e 0α
A è una sottofamiglia finita di αA (costituita
da un unico elemento) che ricopre nI . Ma ciò è assurdo, se si tiene presente il procedimento di
costruzione di nI .
Def. Si dice che un sottoinsieme ⊂A R è di misura nulla (secondo Lebesgue), quando, per ogni ε > 0 , esiste una famiglia numerabile di intervalli aperti ( )kI k = 1,2,... che ricopra A e sia
tale che
kk 1
I∞
=
< ε∑ ( kI : lunghezza dell'intervallo kI )
Elementi di metodi matematici della fisica
2
Segue immediatamente dalla definizione che ogni sottoinsieme di un insieme di misura nulla, è di misura nulla. Inoltre l'unione di un numero finito o di una famiglia kA numerabile di
insiemi di misura nulla, è di misura nulla. Infatti sia ε > 0 e kk 1
A A∞
== ∪ . Per ogni k, esiste una
famiglia numerabile ( )kjI j = 1,2,... di intervalli aperti tale che
k kjj 1
A I∞
=⊆ ∪ kj kj 1
1I
2
∞
=Σ < ε
Considerata allora la famiglia di tutti gli intervalli kjI , ottenuta al variare di entrambi gli indici,
che è numerabile, A è incluso nell'unione di questa famiglia kjk 1 j 1
A I∞ ∞
= =
⎛ ⎞⊆⎜ ⎟⎝ ⎠
∪ ∪ e risulta
kj kj kk, j 1 k 1 j 1 k 1
1I I
2
∞ ∞ ∞ ∞
= = = =Σ = Σ Σ < ε Σ = ε
Se A è costituito da un singolo punto di R, allora evidentemente A è di misura nulla. Ne segue che ogni insieme finito o numerabile di punti di R è di misura nulla. In particolare l'insieme di numeri razionali è di misura nulla. Esistono tuttavia insiemi non numerabili che hanno misura nulla (insiemi di Cantor). Def. Si dice che una certa proprietà vale quasi ovunque (q.o.) in R, oppure che vale per quasi ogni ∈x R , se l'insieme degli x in cui la proprietà non è verificata è di misura nulla. Per esempio, si dice che una successione di funzioni ( ) nf x , definita in R, converge q.o. a una
funzione ( )f x , e si scrive
( ) ( )
→∞=nn
lim f x f x (q.o.)
se l'insieme degli x per i quali non è vero che ( ) ( )→∞
=nnlim f x f x , è di misura nulla. Tale insieme è
composto da tre sottoinsiemi, eventualmente vuoti: quello degli x per i quali il limite esiste, è finito, ma è diverso da ( )f x ; quello degli x tali che il limite è infinito; quello degli x per i quali
il limite non esiste. Si dice che due funzioni ( )f x e ( )g x , definite in R, sono uguali quasi ovunque in R, e si scrive
( ) ( )=f x g x (q.o.), se l'insieme degli x tali che ( ) ( )≠f x g x è di misura nulla.
Per esempio la funzione di Dirichlet ( )xχ , definita da
( ) 1x
0
⎧χ = ⎨
⎩
se x è razionale
se x è irrazionale
è una funzione quasi ovunque nulla.
L'integrale di Lebesgue
3
2. Lo spazio ( )0C R
Sia ( )0C R l'insieme delle funzioni continue definite in R, a valori reali, con supporto compatto.
Ciò significa che ( )0C Rϕ∈ se e soltanto se : R Rϕ → è continua ed esiste un intervallo
limitato [ ]a, b (chiuso), che in generale dipende da ϕ , tale che ( )x 0ϕ = per [ ]∉x a, b . ( )0C R è
uno spazio vettoriale reale: se ϕ e ψ sono due funzioni in ( )0C R e α e β sono due numeri
reali, la funzione ( ) ( )x xαϕ +βψ appartiene a ( )0C R . Ad ogni elemento di ( )0C R possiamo
associare un numero reale, dato dal suo integrale (di Riemann) su R:
1) ( ) ( )b
a
x dx x dx+∞
−∞
ϕ→ ϕ = ϕ∫ ∫
Questa corrispondenza definisce un funzionale lineare su ( )0C R :
2) ( ) ( )( ) ( ) ( )b d
a c
x x dx x dx x dx+∞
−∞
αϕ+βψ→ αϕ +βψ = α ϕ +β ψ∫ ∫ ∫
(con ( )x 0ψ = per [ ]∉x c,d ).
Lo spazio ( )0C R ed il funzionale che abbiamo definito, posseggono due proprietà importanti
che costituiranno il punto di partenza per la costruzione dell'integrale di Lebesgue. Teorema I Sia ( ) n xϕ una successione decrescente di funzioni non negative in ( )0C R ( )n 1 n0 +≤ ϕ ≤ ϕ ,
tale che ( )nnlim x 0→∞
ϕ = (q.o.).
Abbiamo allora:
3) ( )nnlim x dx 0
+∞
→∞−∞
ϕ =∫
Dim. Sia 0A l'insieme dei punti in cui ( ) n xϕ non converge a zero ed ε > 0 (fissato, ma
arbitrario). 0A può essere ricoperto da una famiglia numerabile di intervalli aperti ( ) 00 kIΣ = ,
tale che ( )0kk 1
I∞
=Σ < ε . Per (0)
kk 1
x I∞
=∉ ∪ , ( )n
nx 0
→∞ϕ → . A ciascuno di questi punti, diciamo 0x ,
possiamo assegnare un n tale che ( )n 0xϕ < ε ed un intervallo aperto contenente 0x in cui risulti
ancora ( )n 0xϕ < ε ( in virtù della continuità di ( )n xϕ ). Variando 0x , l'insieme di questi
intervalli formano una famiglia ( ) 0
11 xIΣ = di intervalli aperti, a ciascuno dei quali è attaccato un
indice n. Notiamo che [ ]⊂0 1 1A a , b ( ( )1 x 0ϕ = per [ ]∉ 1 1x a , b ) e che Σ ∪Σ0 1 ricopre evidentemente
questo intervallo. Applicando il teorema di Heine-Borel all'intervallo [ ]1 1a , b , abbiamo che esiste
una sottofamiglia finita di Σ ∪Σ0 1 che è ancora un ricoprimento di [ ]1 1a , b . Questa
Elementi di metodi matematici della fisica
4
sottofamiglia finita sarà formata da un insieme ( ) ( ) ( )1 2
0 0 0k k kI , I ..., I
l di intervalli aperti appartenenti a
Σ0 e da un insieme ( ) ( ) ( )1 1 11 2 mI , I ..., I di intervalli aperti appartenenti a Σ1 . A ciascuno degli intervalli
( ) ( )1jI j 1,...,m= è associato un intero n. Sia N il più grande di questi interi. Abbiamo allora che
( )N xϕ risulta < ε in ciascuno degli intervalli ( )1jI ; ciò è vero anche per ( )n xϕ , per ogni n > N.
Per ogni n N≥ , abbiamo allora
( ) ( ) ( )( )
1
01 ki
b
n n ni 1a I
x dx x dx x dx+∞
=−∞
ϕ = ϕ ≤ Σ ϕ +∫ ∫ ∫l
( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )( )(1)
1 1j
0n 1 ki 1 1 1 1 1i 1
I a ,b
x dx max x I b a max x b a=
∩
ϕ ≤ ϕ Σ + ε − ≤ ε ϕ + −∫∪
l
Data l'arbitrarietà di ε , abbiamo che ( )nnlim x 0
+∞
→∞−∞
ϕ =∫ .
Teorema II Sia ( ) n xϕ una successione crescente di funzioni non negative in ( ) ( )0 n n 1C R 0 ...+≤ ϕ ≤ ϕ ≤ ,
tale che
4) ( )n x dx K+∞
−∞
ϕ <∫ ( )n K 0∀ >
Si ha allora che ( )n xϕ , per n →∞ , tende quasi ovunque a un limite finito.
Dim. Sia 0A l'insieme dei punti in cui ( ) n xϕ non converge ad un limite finito. Supporremo
che 0A non sia vuoto. Per convenzione l'insieme vuoto è di misura nulla. Se 0x A∈ ,
( )nn
x→∞
ϕ → +∞ .
Fissato 0ε > , consideriamo gli insiemi
5) ( ),n n
Kx : xε⎧ ⎫Σ = ϕ >⎨ ⎬ε⎩ ⎭
Poiché ( ) ( )n 1 nx x+ϕ ≥ ϕ , abbiamo
6) ,n ,n 1ε ε +Σ ⊂ Σ
( ),n m
Kx , x m nε
⎛ ⎞∀ ∈Σ ϕ > ∀ ≥⎜ ⎟ε⎝ ⎠. Se x è un fissato punto di 0A , allora in corrispondenza di
K
ε deve esistere un intero ( )n x;ε tale che ( ) ( )m
Km n x; x∀ ≥ ε ϕ >
ε.
Ciò implica che x deve appartenere a ( ),n x;ε εΣ . Possiamo allora affermare che
7) 0 ,nn 1
A∞
ε=
⊂ Σ∪
L'integrale di Lebesgue
5
Per la continuità di ( )n xϕ , abbiamo che ,nεΣ è un insieme aperto di R. Ora ogni insieme aperto
di R è l'unione di una famiglia numerabile di intervalli aperti disgiunti. Abbiamo allora
8) ( )n,n k
k 1I
∞
ε=
Σ = ∪
dove ( )nkI sono intervalli aperti disgiunti. La 7) costituisce quindi un ricoprimento di 0A
mediante una famiglia numerabile di intervalli aperti. Notiamo che ( ),n n na , bεΣ ⊂ , dove [ ]n na , b
è l'intervallo chiuso e limitato associato a ( )n xϕ ( ) [ ]( )n n nx 0 per x a , bϕ = ∉ . Utilizzando
ora la 4), abbiamo
9) ( ) ( )( )
( ) ( )n
nnk
bN Nn
k n nk 1 k 1aI
NK
I x dx x dx K= =Σ ≤ Σ ϕ ≤ ϕ < ∀
ε ∫ ∫
Quindi
10) ( )n,n kk 1
I n∞
ε =Σ = Σ < ε ∀
In virtù della 6) possiamo scrivere
11) ( ) ( ) ( )N
,n ,n ,n 1 ,n ,n 1 ,N ,0N Nn 1 n 1 n 1lim lim con
∞ ∞
ε ε ε − ε ε − ε ε→∞ →∞= = =Σ = Σ −Σ = Σ −Σ = Σ Σ =∅∪ ∪ ∪ .
Ora (a meno di un insieme numerabile di punti e quindi di un insieme di misura nulla)
12) ( )n,n ,n 1 k
k 1J
∞
ε ε −=
Σ −Σ = ∪
con ( )nkJ intervalli aperti disgiunti tra di loro e disgiunti dagli intervalli ( )n 1
kI − , e quindi dagli ( )n 1kJ − . Ne segue che
13) ( ) ( )NN n
k ,N kk 1 n 1 k 1NI J
∞ ∞
ε= = =Σ = Σ = Σ Σ < ε ∀
Pertanto
14) ( )n0 k
n 1 k 1A J
∞ ∞
= =⊂ ∪ ∪
con
( )nkn 1 k 1
J∞ ∞
= =Σ Σ ≤ ε
Data l'arbitrarietà di ε , concludiamo che 0A è di misura nulla. Siano ( ) n xϕ e ( ) n xψ due successioni crescenti di funzioni non negative in ( )0C R , tali che
Elementi di metodi matematici della fisica
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15) ( )n 1x dx K+∞
−∞
ϕ <∫
( ) ( )n 2 1 2x dx K K ,K , n 1,2,...+∞
−∞
ψ < < +∞ =∫
Poiché
( ) ( )n n 1x dx x dx+∞ +∞
+−∞ −∞
ϕ ≤ ϕ∫ ∫ e ( ) ( )n n 1x dx x dx+∞ +∞
+−∞ −∞
ψ ≤ ψ∫ ∫
esistono e sono finiti, in virtù della 15), i limiti
( )n 1nlim x dx J
+∞
→∞−∞
ϕ =∫ ( )n 2nlim x dx J
+∞
→∞−∞
ψ =∫
In base al teorema II esistono due funzioni ( )f x e ( )g x definite in R, tali che
16) ( ) ( )nn
f x lim x→∞
= ϕ (q.o.)
( ) ( )nn
g x lim x→∞
= ψ (q.o.)
Se 0A è l'insieme dei punti in cui non converge ( ) n xϕ , e 0B è l'insieme dei punti in cui non
converge ( ) n xψ , ( )f x e ( )g x sono definite univocamente soltanto per 0x A∉ e 0x B∉
rispettivamente. Supponiamo che 17) ( ) ( ) 0 0g x f x per x A B≥ ∉ ∪
(sicché ( ) ( )g x f x≥ (q.o.)) e consideriamo la successione ( ) ( ) m nx xϕ −ψ con m fissato e
n=1, 2,.... Sia ( ) ( )( ) ( )m nx x n 1,2,...+
ϕ −ψ = la successione delle parti positive delle funzioni
( ) ( )m nx xϕ −ψ (Se ( )F x è definita in R, la sua parte positiva è ( ) ( ) ( )( )1F x F x F x
2+ = + e la
sua parte negativa è data da ( ) ( ) ( )( )1F x F x F x
2− = − ; abbiamo ( )F x 0+ ≥ , ( )F x 0− ≥ e
( ) ( ) ( )F x F x F x+ −= − ). Dalla 17) segue allora che ( ) ( )( ) m nx x+
ϕ −ψ , a fissato m, decresce a
zero in modo monotono quasi ovunque. In virtù del teorema I, abbiamo
18) ( ) ( )( )m nnlim x x dx 0
+∞+
→∞−∞
ϕ −ψ =∫
D'altra parte
L'integrale di Lebesgue
7
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )m n m n m nx dx x dx x x dx x x dx+∞ +∞ +∞ +∞
+
−∞ −∞ −∞ −∞
ϕ − ψ = ϕ −ψ ≤ ϕ −ψ∫ ∫ ∫ ∫
Passando al limite per n →∞ , otteniamo
19) ( )m 2x dx J m+∞
−∞
ϕ ≤ ∀∫
Segue infine per m →∞ 20) 2 1J J≥
Da questo risultato deduciamo immediatamente il seguente Corollario Se ( ) ( )f x g x= (q.o.) , allora 1 2J J= .
Infatti, in questo caso, abbiamo simultaneamente ( ) ( )f x g x≤ (q.o.) e ( ) ( )f x g x≥ (q.o.).
3. L'integrale di Lebesgue in R Una funzione ( )f x , definita in R, a valori reali e non negativa q.o.
21) ( )f x 0≥ (q.o.)
è detta integrabile secondo Lebesgue in R, se esiste una successione crescente
( ) n xϕ (n=1, 2,...) di funzioni non negative appartenenti a ( )0C R , tale che
a) ( ) ( )nn
lim x f x→∞
ϕ = (q.o.)
22)
b) ( )n x dx K n+∞
−∞
ϕ < ∀∫
Se ( )f x 0≥ (q.o.) è integrabile secondo Lebesgue, il limite ( )nnlim x dx
+∞
→∞−∞
ϕ∫ , che senz'altro
esiste, è detto integrale di Lebesgue di ( )f x :
23) ( ) ( ) ( )nnL f x dx lim x dx
+∞ +∞
→∞−∞ −∞
= ϕ∫ ∫
Dal corollario già visto, segue che, se ( ) n xψ è un'altra successione crescente di funzioni non
negative in ( )0C R , tale che
a') ( ) ( )nn
lim x f x→∞
ψ = (q.o.)
Elementi di metodi matematici della fisica
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b') ( )n x dx+∞
−∞
ψ < Λ∫ n∀
(l'insieme in cui nψ non converge può essere in generale diverso dall'insieme in cui nϕ non
converge), allora
24) ( ) ( ) ( ) ( )n nn nL f x dx lim x dx lim x dx
+∞ +∞ +∞
→∞ →∞−∞ −∞ −∞
= ϕ = ψ∫ ∫ ∫
La definizione precedente è motivata essenzialmente dai Teoremi I, II che abbiamo dimostrato. Più in generale consideriamo una funzione ( )f x a valori reali definita in R. Come abbiamo visto
possiamo scrivere 25) ( ) ( ) ( )f x f x f x+ −= −
con ( ) ( ) ( )( )1f x f x f x
2+ = + e ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1
f x f x f x f x 0, f x 02
− + −= − ≥ ≥ .
La funzione ( )f x è detta integrabile secondo Lebesgue in R, se le funzioni ( )f x+ e ( )f x− sono
integrabili secondo Lebesgue in R. L'integrale di Lebesgue di ( )f x è definito da
26) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L f x dx L f x dx L f x dx+∞ +∞ +∞
+ −
−∞ −∞ −∞
= −∫ ∫ ∫
L'insieme delle funzioni a valori reali, integrabili secondo Lebesgue verrà indicato con ( )1 RL .
Alcune proprietà dell'integrale di Lebesgue:
a) se ( ) ( )1f x R∈ L e ( )f x 0≥ (q.o.), allora ( ) ( )L f x dx 0+∞
−∞
≥∫
b) se α e β sono due numeri reali e ( ) ( ) ( )1f x , g x R∈ L , allora ( ) ( ) ( )1f x g x Rα +β ∈ L .
Inoltre
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )L f x g x dx L f x dx L g x dx+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
α +β = α +β∫ ∫ ∫
c) se ( ) ( ) ( )1f x , g x R∈ L e ( ) ( )f x g x≤ (q.o.), allora
( ) ( ) ( ) ( )L f x dx L g x dx+∞ +∞
−∞ −∞
≤∫ ∫
( la (c) è una conseguenza immediata della (a))
d) se ( ) ( )1f x R∈ L , anche ( ) ( )1f x R∈ L .
Infatti se ( ) ( )1f x R∈ L , allora ( ) ( ) ( )1f x , f x R+ − ∈ L . La d) segue dalla b) osservando
che ( ) ( ) ( )f x f x f x+ −= + . La d) è una proprietà caratteristica dell'integrale di Lebesgue
L'integrale di Lebesgue
9
(e) se ( ) ( )1f x R∈ L , allora
( ) ( ) ( ) ( )L f x dx L f x dx+∞ +∞
−∞ −∞
≤∫ ∫
Infatti, poiché f f 2f 0++ = ≥ e f f 2f 0−− = ≥ , dalla a) e b) deduciamo che
( ) ( )L f x dx+∞
−∞∫ risulta ≥ sia di ( ) ( )L f x dx
+∞
−∞∫ che di ( ) ( )L f x dx
+∞
−∞
− ∫
f) se ( ) ( )1f x R∈ L e ( )f x 0≥ (q.o.), allora ( )f x 0= (q.o.) se e soltanto se
( ) ( )L f x dx 0+∞
−∞
=∫ .
Dim f) Se ( )f x 0= (q.o.), allora ( )f x è il limite quasi ovunque della successione crescente
( ) n xϕ ( ) ( )( )n 1 nx x 0+ϕ ≥ ϕ ≥ di elementi di ( )0C R , dati da ( )n x 0ϕ = (n=1,2,...) x R∀ ∈ . In
base alla nostra definizione ( )f x è integrabile secondo Lebesgue e ( ) ( )L f x dx 0+∞
−∞
=∫ .
Viceversa, supponiamo che ( ) ( )1f x R∈ L , ( )f x 0≥ (q.o.) e ( ) ( )L f x dx 0+∞
−∞
=∫ . Esiste allora una
successione crescente ( ) n xϕ di elementi di ( )0C R , tale che ( ) ( )nnlim x f x→∞
ϕ = (q.o.) con
( )n x 0ϕ ≥ . Abbiamo allora
( ) ( ) ( )n0 x dx L f x dx 0 n+∞ +∞
−∞ −∞
≤ ϕ ≤ = ∀∫ ∫ ,
cioè ogni ( )n xϕ è identicamente nulla in R. Ne segue che ( )f x 0= (q.o.). La proprietà precedente implica la seguente: se ( ) ( ) ( )1f x , g x R∈ L , allora
( ) ( )f x g x= (q.o.)
se e soltanto se
( ) ( ) ( )L f x g x dx 0+∞
−∞
− =∫
Naturalmente se ( ) ( )f x g x= (q.o.), con ( ) ( ) ( )1f x , g x R∈ L , risulta
( ) ( ) ( ) ( )L f x dx L g x dx+∞ +∞
−∞ −∞
=∫ ∫
Elementi di metodi matematici della fisica
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Esempio I. Se ( )x 0ϕ ≥ appartiene a ( )0C R , allora ( ) ( )1x Rϕ ∈ L e
27) ( ) ( ) ( )L x dx x dx+∞ +∞
−∞ −∞
ϕ = ϕ∫ ∫
(Basta prendere la successione ( ) ( ) ( ) ( )1 2 nx x ... x ... xϕ = ϕ = = ϕ = = ϕ ).
Esempio II. Se ( )xϕ appartiene a ( )0C R , allora ( ) ( )1x Rϕ ∈ L e vale la 27) ( ( ) ( )x e x+ −ϕ ϕ
sono funzioni non negative appartenenti a ( )0C R e ( ) ( ) ( )x x x+ −ϕ = ϕ −ϕ ,....)
Esempio III. Sia ( )f x una funzione a supporto compatto ( ( )f x 0= per [ ]x a, b∉ ), non
negativa, limitata e continua a tratti in (a,b) (vedi figura).
Come è noto ( )f x è integrabile secondo Riemann. In questo caso
( ) ( )b
a
f x dx f x dx+∞
−∞
=∫ ∫
E' facile vedere che ( )f x appartiene anche a ( )1 RL . Infatti, siano n
1a a
n= +α , 1n 1
1c c
n= − γ ,
2n 2
1c c
n= + γ , n
1b b
n= −β ( 1 2n 1,2,..., , , , 0= α γ γ β > e tali che 1 2a c , c b+α < − γ + γ < −β ) e
( )n xϕ le funzioni di ( )0C R definite da
( ) ( ) [ ] [ ]n n 1n 2n nx f x per x a ,c c , bϕ = ∈ ∪
0 per x b, x a, x c= ≥ ≤ =
= funzioni lineari in x per [ ]nx a,a∈ ,
[ ] [ ] [ ]1n 2n nc ,c , c,c , b , b (vedi figura precedente)
L'integrale di Lebesgue
11
Abbiamo allora
( ) ( )n 1 nx x 0+ϕ ≥ ϕ ≥ e ( ) ( )nnlim x f x→∞
ϕ = (q.o.).
Inoltre
( ) ( ) ( )b
n
a
x dx K f x dx n 1,2,...+∞
−∞
ϕ < = =∫ ∫
Si conclude allora che ( ) ( )1f x R∈ L e
28) ( ) ( ) ( ) ( )nnL f x dx lim x dx f x dx
+∞ +∞ +∞
→∞−∞ −∞ −∞
= ϕ =∫ ∫ ∫
Questo risultato è ancora valido se ( )f x assume valori negativi: ( )f x+ e ( )f x− sono funzioni
non negative, limitate e continue a tratti in (a, b). Più in generale se ( )f x è a supporto compatto ( ) [ ]( )f x 0 per x a, b= ∉ , limitata e continua
quasi ovunque in (a, b), allora ( )f x è integrabile secondo Riemann. Si dimostra che ( )f x
appartiene anche a ( )1 RL e che i due integrali, di Lebesgue e di Riemann, coincidono.
Esempio IV. Si consideri la funzione di Dirichlet
( ) 1 x razionalex
0 x irrazionale
⎧χ = ⎨
⎩
( )xχ non è integrabile secondo Riemann. ( )xχ è invece integrabile secondo Lebesgue:
( )x 0χ = (q.o.), sicché
( ) ( )L x dx 0+∞
−∞
χ =∫
Nel seguito ometteremo la lettera L che precede gli integrali di Lebesgue. Ogni integrale sarà inteso nel senso di Lebesgue. 4. Operazioni di limite nell'integrazione di Lebesgue Partendo dalla classe ( )0C R si è esteso, mediante un certo procedimento, la nozione di integrale
ad una classe più ampia ( )1 RL . Si potrebbe tentare di estendere ulteriormente la nozione di
integrale ad una classe ancora più ampia, che includa ( )1 RL , applicando lo stesso procedimento.
Si può dimostrare che ciò non è possibile. Abbiamo il seguente:
Elementi di metodi matematici della fisica
12
Teorema (di Beppo Levi o della convergenza monotona) Sia ( ) nf x una successione crescente ( ) ( )( )n 1 nf x f x+ ≥ di funzioni non negative, appartenenti
a ( )1 RL , tali che
29) ( ) ( )nf x dx K n+∞
−∞
< ∀∫
La successione converge allora quasi ovunque a una funzione ( ) ( )1f x R∈ L e
30) ( ) ( )nnf x dx lim f x dx
+∞ +∞
→∞−∞ −∞
=∫ ∫
Questo teorema stabilisce da un lato la validità del passaggio al limite sotto il segno di integrale (nelle condizioni stabilite dal teorema), dall'altro una proprietà di "chiusura " dell'insieme ( )1 RL
rispetto a processi di limite che coinvolgono successioni monotone. Dal teorema di Beppo Levi si può dedurre un'altro risultato che riguarda successioni non monotone di funzioni appartenenti a ( )1 RL
Teorema(lemma di Fatou) Sia ( ) nf x una successione di funzioni non negative , appartenenti a ( )1 RL , convergente quasi
ovunque a una funzione ( )f x e tale che
( ) ( )nf x dx K n 1,2,...+∞
−∞
≤ =∫
Si ha allora che ( ) ( )1f x R∈ L e
( )f x dx K+∞
−∞
≤∫
Il lemma di Fatou stabilisce una condizione sufficiente di integrabilità (nel senso di Lebesgue) di una funzione ( )f x .
Uno dei risultati fondamentali della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue è il seguente teorema, che riguarda successioni non monotone ed il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema (di Lebesgue o della convergenza dominata) Sia ( ) nf x una successione di funzioni appartenenti a ( )1 RL , convergente quasi ovunque a
una funzione ( )f x :
L'integrale di Lebesgue
13
( ) ( )nnf x lim f x
→∞= (q.o.)
Se esiste una funzione ( )g x 0≥ , appartenente a ( )1 RL , tale che
( ) ( )nf x g x≤ n∀ (q.o.)
allora anche ( ) ( )1f x R∈ L , il limite ( )nnlim f x dx
+∞
→∞−∞∫ esiste ed è finito e
( ) ( )nnf x dx lim f x dx
+∞ +∞
→∞−∞ −∞
=∫ ∫
Un utile corollario del teorema di Lebesgue, che afferma soltanto l'integrabilità della funzione limite e non dice niente sul passaggio al limite sotto il segno di integrale, è il seguente Corollario Se la successione ( ) nf x , con ( ) ( )n 1f x R∈ L (n=1,2,....), converge quasi ovunque
a una funzione ( )f x tale che
( ) ( )f x g x≤ (q.o.)
dove ( ) ( )1g x R∈ L , allora anche ( ) ( )1f x R∈ L .
In relazione al corollario precedente, è utile introdurre la seguente nozione. Una funzione ( )f x definita in R, è detta misurabile, se esiste una successione di funzioni
( ) n xϕ , appartenenti a ( )0C R , tale che
( ) ( )nn
f x lim x→∞
= ϕ (q.o.)
Le funzioni appartenenti a ( )1 RL sono quindi misurabili. Non tutte le funzioni misurabili sono
però integrabili nel senso di Lebesgue: la funzione ( )f x c= ( )c 0≠ , è misurabile, ma non
appartiene a ( )1 RL .
Dalla proprietà d) (pag. 8) e dal corollario precedente discende immediatamente il seguente teorema: Teorema (misurabilità ed integrabilità) Se ( )f x è una funzione misurabile in R, ( ) ( )1f x R∈ L se e solo se esiste una funzione
( ) ( )1g x 0 R≥ ∈ L , tale che
( ) ( )f x g x≤ (q.o.)
Elementi di metodi matematici della fisica
14
(Per le funzioni misurabili le due nozioni di integrabilità e assoluta integrabilità sono equivalenti) Si può quindi tener presente che se ( )f x è misurabile, nulla all'esterno di un intervallo limitato
(a,b), e all'interno di (a,b) gode della proprietà ( )f x K≤ (quasi ovunque in (a,b)), allora
( ) ( )1f x R∈ L . Più in generale abbiamo la seguente proprietà: sia ( )f x una funzione misurabile
in R e a e m due numeri reali maggiori di zero; indichiamo con a,mf la funzione che coincide con
( )f x se ( )x a e f x m≤ ≤ e risulta nulla per gli x tali che ( )x a e f x m> > . La funzione
( )f x è sommabile se e soltanto se
( ) ( )a,mf x dx K a,m+∞
−∞
< ∀∫
(per questo risultato si può utilizzare il lemma di Fatou). 5. Misura di sottoinsiemi di R Se A R⊂ è un sottoinsieme di R, possiamo considerare la sua funzione caratteristica ( )A xχ ,
definita da
31) ( )A
1 x Ax
0 x A
∈⎧χ = ⎨ ∉⎩
Se A è un intervallo (a,b), allora la sua lunghezza (o misura) è data dall'integrale della sua funzione caratteristica. In generale un insieme A di R è detto misurabile (secondo Lebesgue) se la sua funzione caratteristica è misurabile. Se ( )A xχ risulta anche integrabile, il suo integrale (di
Lebesgue) si chiama misura di A e si indica con mis A:
32) mis A= ( )A x dx+∞
−∞
χ∫
Se ( )A xχ è misurabile, ma non integrabile, si dice che A ha misura di Lebesgue +∞ .
Se A è un insieme di misura nulla (in base alla definizione che abbiamo dato), la sua funzione caratteristica Aχ risulta nulla quasi ovunque . Abbiamo allora
mis A= ( )A x dx 0+∞
−∞
χ =∫
(una funzione quasi ovunque nulla, come abbiamo visto è integrabile (e quindi misurabile)). 6. Integrali su un sottoinsieme di R Sia A un sottoinsieme di R e ( )f x una funzione reale definita su A.
L'integrale di Lebesgue
15
Se la funzione ( )0f x , che coincide con ( )f x per x A∈ ed è nulla per x A∉ , appartiene a
( )1 RL , si dice allora che ( )f x è integrabile (secondo Lebesgue) su A. L'integrale di ( )f x su A,
in tal caso, è definito da
33) ( ) ( )0
A
f x dx f x dx+∞
−∞
=∫ ∫
L'insieme delle funzioni integrabili su A è indicato con ( )1 AL . In pratica, tenendo presente che
0f non è altro ( )A xχ nel caso di una funzione ( )f x cos t 1= = su A, si considerano sottoinsiemi
misurabili. La 32) si può allora scrivere nella forma 34) mis A=
A
dx∫
Se ( )A a, b= , l'integrale di f su ( )a, b è indicato con ( )b
a
f x dx∫ .
Se A è di misura nulla, allora per ogni funzione f definita su A abbiamo ( )
A
f x dx 0=∫
7. Funzioni a valori complessi Tutte le nozioni ed i risultati relativi al caso di funzioni a valori reali, si estendono immediatamente al caso di funzioni a valori complessi. Se ( ) ( ) ( )f x u x iv x= + è definita in R,
( )f x è detta integrabile (secondo Lebesgue) se parte reale ( )u x e parte immaginaria ( )v x sono
integrabili (secondo Lebesgue). In tal caso si pone
35) ( ) ( ) ( )f x dx u x dx i v x dx+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
= +∫ ∫ ∫
( )f x è detta misurabile se ( )u x e ( )v x sono misurabili.
Sostituendo i valori assoluti con i moduli, abbiamo le stesse proprietà già viste per funzioni a valori reali. Se ( )f x è misurabile e ( )f x è integrabile (secondo Lebesgue), allora
( )f x è integrabile (secondo Lebesgue) e si ha
36) ( ) ( ) ( )f x dx u x iv x dx+∞ +∞
−∞ −∞
≤ +∫ ∫
Elementi di metodi matematici della fisica
16
8. L'integrale di Lebesgue in ( )dR d 2,3,...=
Sia dR lo spazio euclideo d-dimensionale, i cui punti, che indicheremo genericamente con x, sono costituiti dalle d-uple ordinate di numeri reali ( )1 2 dx , x ,..., x :
37) ( )1 2 dx x , x ,..., x=
Se ( )1 2 da ,a ,..., a e ( )1 2 db , b ,..., b sono tali che
( )i ia b i 1,2,...,d< =
possiamo considerare l'insieme dei punti di dR definito da 38) ( )i i ix : a x b 1,2,...,d< <
Questo insieme definisce un d-rettangolo o un rettangolo d-dimensionale aperto. Analogamente 39) ( )i i ix : a x b 1,2,...,d≤ ≤
definisce un d-rettangolo chiuso e limitato.
Se ( )dI è un d-rettangolo chiuso e limitato e aA è una famiglia di insiemi aperti di dR che
ricopra ( )dI , resta valido il teorema di Heine-Borel. Se ( )dI è il d-rettangolo aperto:
( ) ( ) di i iI x : a x b i 1,2,...,d= < < =
per misura di ( )dI , che indicheremo con mis ( )dI , s'intende la grandezza
40) ( ) ( ) ( ) ( )d1 1 2 2 d dmis I b a b a ... b a= − − −
(la stessa grandezza può essere associata a un d-rettangolo chiuso o semi chiuso). ( )dmis I è un'area per d 2= , un volume per d 3= ,... Un sottoinsieme dA R⊂ è di misura nulla (secondo Lebesgue), quando per ogni 0ε > ,
esiste una famiglia numerabile di d-rettangoli aperti ( ) dkI k=1,2,...) , tale che
41) ( )dk
k 1A I
∞
=⊆ ∪ e ( )d
kk 1mis I
∞
=Σ < ε
Nel caso di dR , oltre a insiemi numerabili di punti di dR , sono insiemi di misura nulla insiemi del tipo curve, superficie,...di dimensione 1d d 1≤ − , se sufficientemente regolari (se hanno, per esempio retta tangente, piano tangente,..., che varino con continuità). Come nel caso di 1R R= , si può parlare di una proprietà valida quasi ovunque in dR . E' utile precisare la nozione di supporto di una funzione ( ) ( )1 2 df x f x , x ,..., x= definita in dR
d 1,2,...= : il supporto di ( )f x , supp f, è la chiusura dell'insieme ( ) x : f x 0≠ . Una funzione
a supporto compatto è una funzione il cui supporto è un sottoinsieme chiuso e limitato di dR . Se
L'integrale di Lebesgue
17
( )f x è a supporto compatto, esiste un d-rettangolo chiuso e limitato ( )dI tale che ( )f x 0= per ( )dx I∉ .
Analogamente al caso unidimensionale, possiamo considerare lo spazio vettoriale ( )d0C R ,
costituito dalle funzioni continue definite in dR , a valori reali, aventi supporto compatto. Ad ogni funzione ( ) ( )d
0x C Rϕ ∈ possiamo associare il suo integrale di Riemann
42) ( ) ( )d
1 2 d 1 2 d
R
x dx ... x , x ,..., x dx ,dx ,...,dx+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
ϕ = ϕ∫ ∫ ∫ ∫
( ( )1 2 d 1 2 ddx dx ,dx ,...,dx , x x , x ,..., x= = ).
Partendo dalle funzioni appartenenti a ( )d0C R , tutto il procedimento seguito per le funzioni di
una variabile reale può essere ripetuto, senza alcuna novità e si perviene allo spazio vettoriale reale ( )d
1 RL delle funzioni integrabili secondo Lebesgue su dR . Se ( ) ( )d1f x R∈ L , l'integrale
di Lebesgue di ( )f x sarà indicato con
43) ( )dR
f x dx∫ oppure ( )d
1 2 d 1 2 d
R
f x , x ,..., x dx ,dx ,...,dx∫
oppure con
( )1 2 d 1 2 d... f x , x ,..., x dx ,dx ,...,dx+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞∫ ∫ ∫
Le proprietà e i teoremi enunciati precedentemente nel caso di 1R R= conservano la loro validità. In modo analogo al caso unidimensionale si possono dare le nozioni di funzioni misurabili, sottoinsiemi misurabili di dR , integrali di Lebesgue su sottoinsiemi di dR . Per gli integrali di Lebesgue su dR ( )d 2≥ , si pone il problema della loro riduzione a integrali su
1dR , con 1d d< . Considerando per semplicità il caso di 2R , possiamo enunciare il seguente teorema Teorema (di Fubini) Sia ( )f x, y una funzione appartenente a ( )2
1 RL . Si ha allora che la funzione ( )y f x, y→ per x
fissato è integrabile rispetto a y, ad eccezione di alcuni valori particolari di x che formano un insieme di misura nulla in R. La quantità
( ) ( )0I x f x,y dy+∞
−∞
= ∫
è quindi una funzione di x definita quasi ovunque. Indicando con ( )I x una qualsiasi funzione
definita in R e che coincida con ( )0I x nei punti in cui ( )0I x è definita, si ha che ( ) ( )1I x R∈ L e
Elementi di metodi matematici della fisica
18
44) ( ) ( )I x dx f x,y dx dy+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
=∫ ∫ ∫
Poiché un risultato analogo vale scombinando i ruoli di x e y, si ha quindi:
45) ( ) ( ) ( )2R
f x, y dx dy dx f x, y dy dy f x, y dx+∞ +∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞ −∞
= =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Il teorema di Fubini estende alle funzioni di ( )2
1 RL , una nota proprietà dell'integrale di
Riemann per funzioni ( ) ( )20x, y C Rϕ ∈ .
Per le funzioni misurabili si può invertire il teorema di Fubini: Teorema (di Tonelli) Sia ( )f x, y definita in 2R e misurabile. Se esiste almeno uno dei due integrali
( ) ( )dx f x,y dy dy dx f x,y+∞ +∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞ −∞∫ ∫ ∫ ∫
allora ( ) ( )21f x, y R∈ L e vale la 45).
I due teoremi precedenti si possono estendere in modo naturale al caso di dR , con d 2> .
Tutti i risultati e le nozioni precedenti per funzioni a valori reali definite in dR , si estendono immediatamente al caso di funzioni a valori complessi, in modo analogo al caso unidimensionale. 9. Gli spazi ( )d
1L R e ( )d2L R
Nel seguito considereremo in generale funzioni a valori complessi. Una funzione continua, a valori complessi e a supporto compatto, definita in dR , ha per parte reale e parte immaginaria funzioni continue, a supporto compatto e a valori reali. In questo caso il supporto della funzione coincide con il supporto del suo modulo. L'insieme di queste funzioni lo indicheremo ancora con
( )d0C R , supposto che siano definite in dR . Analogamente indicheremo ancora con ( )d
1 RL
l'insieme delle funzioni a valori complessi, definiti in dR , aventi parte reale e parte immaginaria integrabili secondo Lebesgue. Gli elementi di ( )d
1 RL sono anche detti funzioni sommabili.
( )d1 RL può essere anche definito come l'insieme delle funzioni, in generale a valori complessi,
misurabili in dR , tali che il loro modulo sia sommabile su dR . Sia ( )d0C R che ( )d
1 RL sono
spazi vettoriali complessi. Def. Uno spazio vettoriale (lineare) complesso X è un insieme di elementi (detti anche vettori) in cui sono definite due operazioni (una operazione di somma che associa a due elementi u e v di X
L'integrale di Lebesgue
19
un elemento di X, indicato con u v+ , ed una operazione di prodotto per un numero complesso, che associa ad un numero complesso α e ad un vettore u X∈ , un elemento di X indicato con
uα ) che soddisfino le seguenti proprietà ( )u,v,w X , , C∈ α β∈ :
a) u v v u+ = + b) ( ) ( )u v w u v w+ + = + +
c) esiste un unico vettore, detto il vettore nullo e indicato con 0, tale che u 0 u+ = u X∀ ∈ d) ad ogni vettore u è associato un unico vettore indicato con -u tale che
( )u u 0+ − =
e) ( u) ( )uα β = αβ f) 1u u= g) (u v) u uα + = α +β h) ( )u u uα +β = α +β
Se f e g sono sommabili in dR , le due operazioni usuali
46) ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +
( )( ) ( )f x f xα = α
forniscono ancora funzioni sommabili e soddisfano le proprietà a)..., h). Analoga proprietà vale per ( )d
0C R . Sia per ( )d1 RL , che per ( )d
0C R , il vettore nullo è la funzione identicamente nulla
in dR . Def. (spazi normati) Uno spazio normato X è uno spazio vettoriale in cui ad ogni elemento u X∈ è associato un numero reale, indicato con u e detto norma di u, che abbia le seguenti
proprietà: a) u 0≥
b) u 0= se e soltanto se u coincide con il vettore nullo dello spazio: u 0=
c) u uα = α per ogni numero complesso α e ogni u X∈
d) u v u v+ ≤ + (diseguaglianza triangolare), per ogni coppia u, v di elementi di X.
In uno spazio normato X si può introdurre la nozione di "distanza" u v− tra due elementi u e v
di X. Utilizzando la "distanza" si può dare la nozione di convergenza. Si dice che la successione ( )nu n 1,2,...= di elementi di X converge a u X∈ , e si scrive nn
lim u u→∞
= , se
nnlim u u 0→∞
− = .
In relazione alle proprietà di convergenza di successioni di numeri reali o complessi, per i quali la norma è costituita dal loro modulo, è utile introdurre la nozione di una successione fondamentale o di Cauchy in uno spazio normato X. La successione nu di elementi X è detta
Elementi di metodi matematici della fisica
20
fondamentale se, per ogni 0ε > , è possibile trovare un N tale che, per ogni m e n N> , risulti
n mu u− < ε .
Se nu è una successione convergente, nnlim u u→∞
= , ( )u X∈ , allora la successione è
fondamentale. Infatti n m n m n mu u u u u u u u u u 0− = − + − ≤ − + − → per n,m →∞ . In
uno spazio normato generico non è detto però che una successione fondamentale converga ad un elemento dello spazio. Uno spazio normato è detto completo se per ogni successione fondamentale formata da suoi elementi, esiste un elemento dello spazio a cui la successione converge. E' utile tener presente che, in virtù delle diseguaglianza triangolare, il limite di una successione convergente è unico. Uno spazio normato completo è detto uno spazio di Banach. Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi sono spazi normati completi. L'insieme di numeri razionali, considerando soltanto la struttura metrica data dal valore assoluto della differenza di due numeri razionali, non è completo. Possiamo introdurre una norma nello spazio vettoriale ( )d
0C R nel modo seguente:
associamo ad ogni ( ) ( )d0x C Rϕ ∈ il numero non negativo dato da
47) ( )
d1
R
x dxϕ = ϕ∫
Questa corrispondenza definisce una norma in ( )d0C R , poiché soddisfa i quattro assiomi di uno
spazio normato. Lo spazio normato così ottenuto lo indicheremo con ( )( )d0 1
C R , ϕ .
In questo spazio la "distanza" tra due funzioni ( )xϕ e ( )xψ dello spazio, è una "media" della
distanza puntuale 48) ( ) ( )
d1
R
x x dxϕ−ψ = ϕ −ψ∫
( )( )d0 1
C R , ϕ non è completo: esistono successioni fondamentali in ( )( )d0 1
C R , ϕ che non
convergono a un elemento dello spazio, cioè ad una funzione continua a supporto compatto in dR .
Dim. Sia ( )f x una funzione sommabile. Mostriamo che esiste una successione nϕ di elementi
di ( )d0C R convergente "in media" a ( )f x :
49) ( ) ( )
d
nnR
lim f x x dx 0→∞
−ϕ =∫
Infatti se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f x u x iv x u x iv x u x iv x+ + − −= + = + − +
esistono successioni ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2n n n n, , ,ϕ ψ ϕ ψ crescenti di funzioni non negative, appartenenti a
( )d0C R , con integrali limitati, convergenti quasi ovunque a u ,v , u ,v+ + − −
( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 2n n n nu , v , u , v+ + − −ϕ → ψ → ϕ → ψ →
L'integrale di Lebesgue
21
Consideriamo la successione nϕ data da:
50) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2n n n n nx x x i x xϕ = ϕ −ϕ + ψ −ψ
Abbiamo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d
1 2 1 2n n n n n
R R
f x x dx u x iv x u x iv x x x i x i x dx+ + − −−ϕ = + − − −ϕ +ϕ − ψ + ψ ≤∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d d
1 1 2 2n n n n
R R R R
u x x dx v x x dx u x x dx v x x dx+ + − −≤ −ϕ + −ψ + −ϕ + −ψ =∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d d
1 2n n
nR R
u x x dx ... v x x dx 0+ −
→∞= −ϕ + + −ψ →∫ ∫
in virtù del fatto che ( ) ( ) ( )d d
1nn
R R
u x dx lim x dx...+
→∞= ϕ∫ ∫ , e ( ) ( )1
n u x+ϕ ≤ (q.o.), .....
La successione nϕ è di Cauchy in ( )( )d0 1
C R , ϕ . Infatti
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d d
n m n m n m
R R R R
x x dx x f x f x x dx f x dx f x x dx 0ϕ −ϕ = ϕ − + −ϕ ≤ ϕ − + −ϕ →∫ ∫ ∫ ∫
per n,m →∞ . D'altra parte ( )f x , in generale, non appartiene a ( )d
0C R .
Questo risultato mostra che si vuole "completare" lo spazio normato ( )( )d0 1
C R , ϕ , dobbiamo
aggiungere agli elementi ( )d0C R almeno le funzioni sommabili su dR e considerare quindi lo
spazio ( )d1 RL in cui ( )d
0C R è incluso. Ma nello spazio ( )d1 RL il numero associato a
( ) ( )d1f x R∈ L :
51) ( )
dR
f x dx∫
cessa di essere una norma, poiché non soddisfa l'assioma b) di uno spazio normato. Infatti, come abbiamo visto,
( )dR
f x dx 0=∫
è soddisfatto per tutte le funzioni quasi ovunque nulle in dR , che, in generale, sono diverse dal vettore nullo dello spazio (costituito dalla funzione identicamente nulla in dR ). Ciò implica che, se vogliamo soddisfare l'assioma b) di uno spazio normato, dobbiamo identificare tutte le funzioni definite in dR che si annullano quasi ovunque in dR . A tal fine possiamo considerare come elementi dello spazio, non le singole funzioni, ma classi di funzioni che sono eguali quasi
Elementi di metodi matematici della fisica
22
ovunque. In modo equivalente si può introdurre una nuova definizione di eguaglianza di funzioni: due funzioni sono uguali se i loro valori coincidono quasi ovunque. In pratica, poiché è più conveniente operare con funzioni che con classi di funzioni, viene utilizzata la nuova definizione di eguaglianza di funzioni (principio di identificazione). Nell'ambito di questo principio, poiché le funzioni non cambiano se i loro valori cambiano arbitrariamente su un sottoinsieme di dR di misura nulla, è naturale assumere che le funzioni siano definite quasi ovunque. L'insieme che otteniamo da ( )d
1 RL mediante il principio di identificazione è indicato con
( )d1L R . ( )d
1L R è uno spazio vettoriale complesso; il vettore nullo di ( )d1L R è costituito dalla
classe di funzioni q.o. nulle in dR . Nell'ambito del principio di identificazione, indicheremo ancora con ( )f x gli elementi di questo spazio. Diremo anche che ( )f x appartiene a ( )d
0C R se
coincide quasi ovunque con una funzione definita su tutto dR , continua e a supporto compatto. In questo modo ( )d
0C R costituisce un sottospazio di ( )d1L R . Se ( ) ( )d
1f x L R∈ , poniamo
52) ( )
dR
f f x dx= ∫
Con questa associazione abbiamo che ( )d1L R è uno spazio normato. Sulla base dei teoremi
fondamentali della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue (in particolare del teorema di Beppo Levi) si dimostra che ( )d
1L R è uno spazio normato completo. ( )d1L R rappresenta il
completamento dello spazio normato ( )( )d0 1
C R , ϕ . Sulla base della 49) si dice che ( )d0C R è
un sottospazio di ( )d1L R denso in esso, così come l'insieme dei numeri razionali è denso
nell'insieme dei numeri reali. Consideriamo ora un'altro spazio vettoriale che ha un ruolo importante nelle applicazioni.
Indichiamo con ( )d2 RL l'insieme delle funzioni definite in dR , misurabili e tali che il loro
modulo al quadrato sia sommabile su dR . Chiameremo gli elementi di ( )d2 RL funzioni a
quadrato sommabile. Per esempio la funzione definita in R da:
( ) 1f x
1 x=
+
è misurabile, non è sommabile su R, ma è a quadrato sommabile su R. Mostriamo che ( )d
2 RL è uno spazio vettoriale complesso. A tal fine dimostriamo anzitutto che
se ( ) ( ) ( )d2f x , g x R∈ L , allora ( ) ( )f x g xi è sommabile su dR , cioè appartiene a ( )d
1 RL :
Poiché ( ) ( )f x e g x sono misurabili, il loro prodotto è misurabile. E' sufficiente allora mostrare
che ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x=i è sommabile su dR . Ciò è senz'altro vero se una delle funzioni è
nulla quasi ovunque. Supponiamo allora che sia f che g siano quasi ovunque diverse da zero. Tenendo presente che vale la diseguaglianza
L'integrale di Lebesgue
23
( ) ( )( )22 21ab a b a b 0
2≤ + − ≥
abbiamo
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
d d
d d
2 2
1 2 1 2 2 22 2
R RR R
f x g x f x g x1
2 f y dy g y dyf y dy g y dy
⎛ ⎞⎜ ⎟
• ≤ +⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫∫ ∫
Ne segue immediatamente che ( ) ( )f x g xi è sommabile e
53) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d d
1 2 1 22 2
R R R R
f x g x dx f x g x dx f x dx g x dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≤ ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
(diseguaglianza di Schwarz). Se , Cα β∈ , abbiamo che ( ) ( )f x g xα +β è misurabile e
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22 2f x g x f x g x f x g x f x g xα +β = α +β α + β = α + β +
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 Re f x g x f x g x 2 f x g x+ αβ ≤ α + β + αβ
Da questa diseguaglianza e dalla 53) deduciamo che ( ) ( ) ( )d2f x g x Rα +β ∈ L .
Utilizzando la 53), abbiamo anche
54) ( ) ( ) ( ) ( )d d d
21 2 1 22 2 2
R R R
f x g x dx f x dx g x dx⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
cioè
55) ( ) ( ) ( ) ( )d d d
1 2 1 2 1 22 2 2
R R R
f x g x dx f x dx g x dx⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
Questa diseguaglianza suggerisce che anche in ( )d
2 RL possiamo introdurre una norma,
associando ad ogni ( ) ( )d2f x R∈ L il numero
56) ( )d
1 22
R
f f x dx⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ,
che si presenta come una generalizzazione della norma "euclidea" degli spazi ordinari
( )1 2n 2n
1 2 n ii 1R se x x ,x ,..., x , x x
=
⎛ ⎞⎛ ⎞= = Σ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠.
Anche per ( )d2 RL si presenta però il problema dell'assioma b) degli spazi normati. Questo
problema si supera anche in questo caso mediante il principio di identificazione. Otteniamo
Elementi di metodi matematici della fisica
24
allora, con questo principio, l'insieme ( )d2L R . ( )d
2L R è uno spazio normato con la norma
definita dalla 56). Sulla base di teoremi fondamentali della teoria della integrazione secondo Lebesgue, si dimostra che ( )d
2L R è uno spazio normato completo. Poiché ogni funzione
continua su dR , a supporto compatto, è a quadrato sommabile, abbiamo che ( )d0C R ,
nell'ambito del principio di identificazione è un sottospazio di ( )d2L R . ( )d
2L R rappresenta il
completamento dello spazio normato ( )( )d0 2
C R , ϕ , in cui è definita la norma "euclidea":
( )d
1 22
2R
x dx⎛ ⎞
ϕ = ϕ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫
E' utile tener presente che nel caso di ( )d2L R , la norma discende da un'altra grandezza che è
possibile definire in questo spazio. Abbiamo visto che se ( ) ( ) ( )d
2f x , g x L R∈ il loro prodotto è sommabile. Questa proprietà non si
verifica in ( )d1L R . Per esempio le due funzioni definite in R
( ) 1 3
1x 1
xf x
0 x 1
⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩
( ) 2 3
1x 1
xg x
0 x 1
⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩
sono sommabili su R; il loro prodotto però non è sommabile (si può notare che ( )f x è sia
sommabile che a quadrato sommabile, mentre ( )g x non è a quadrato sommabile).
Tornando a ( )d2L R , se ( ) ( ) ( )d
2f x , g x L R∈ abbiamo che ( ) ( )f x g x è sommabile.
Associamo allora ad ogni coppia ordinata f, g di elementi di ( )d2L R il numero che indicheremo
con <g,f>, dato da 57) ( ) ( )
dR
g, f g x f x dx< >= ∫
<g,f> gode delle seguenti proprietà: è in generale un numero complesso tale che a) <g,f>=<f,g>
58) b) ( )( )d1 2 1 2 1 2 2<g,f +f >=<g,f >+<g,f > g,f , f L R∈
c) <g, f>= <g,f> Cα α ∀α∈ d) <f,f> 0 ≥
L'integrale di Lebesgue
25
e) <f,f>=0 , se e soltanto se f coincide con il vettore nullo dello spazio. <g,f> prende il nome di prodotto scalare o prodotto interno. Ogni spazio vettoriale in cui sia definita una corrispondenza che associ ad ogni coppia ordinata di vettori un numero (in generale complesso se lo spazio vettoriale è complesso) che soddisfi le proprietà 58), è detto spazio unitario o spazio pre-hilbertiano. La norma in ( )d
2L R è indotta dal prodotto scalare. Abbiamo infatti
59) 2
<f,f>= f
In ogni spazio unitario il prodotto scalare induce una norma. Se lo spazio normato che ne risulta è completo, allora lo spazio unitario è detto uno spazio di Hilbert.
( )d2L R è quindi uno spazio di Hilbert.
In generale se Ω è un sottoinsieme misurabile di dR , si considerano in modo del tutto analogo gli spazi ( )1L Ω e ( )2L Ω . Nelle applicazioni gli insiemi Ω sono del tipo: intervalli
(a,b), semiretta ( )0,+∞ ,... nel caso di 1R , e d-rettangoli,..., nel caso di dR .
10. Lo spazio ( )d
1,locL R
Sia ( )f x una funzione, in generale a valori complessi, definita in dR e sommabile su dR e Ω
un sottoinsieme misurabile∗ di dR (per esempio un d-rettangolo). Se Ωχ è la funzione
caratteristica di Ω la funzione 60) ( ) ( )f x xΩχ
è sommabile su dR . Infatti è misurabile (prodotto di due funzioni misurabili) e
( ) ( ) ( )f x x f xΩχ ≤ . L'integrale di ( ) ( )f x xΩχ su dR , è per definizione, l'integrale di ( )f x su
Ω (indicato con ( )f x dxΩ∫ ):
61) ( ) ( ) ( )
dR
f x dx f x x dxΩΩ
= χ∫ ∫
Evidentemente questo integrale coincide con l'integrale su Ω della restrizione di ( )f x a Ω
(vedi definizione a pag. 15). In generale se ( )f x è definita in dR , si dice che ( )f x è sommabile su un sottoinsieme
Ω di dR , se è sommabile su dR la funzione ( ) ( )f x xΩχ .
In tal caso, si pone come nella 61)
∗ Si dimostra che tutti gli insiemi aperti e gli insiemi chiusi di dR sono misurabili.
Elementi di metodi matematici della fisica
26
( ) ( ) ( )dR
f x dx f x x dxΩΩ
= χ∫ ∫
Si ha quindi che se una funzione è sommabile su dR , allora è sommabile su ogni sottoinsieme misurabile di dR . Una funzione definita in dR e misurabile, è detta localmente sommabile se è sommabile su ogni sottoinsieme compatto di dR . L'insieme della funzioni localmente sommabili definite in dR , è indicato con ( )d
1,locL R (si applica anche in questo caso il principio di identificazione).
( )d1,locL R è uno spazio vettoriale complesso. Abbiamo ( ) ( )d d
1 1,locL R L R⊂ . Nel caso
unidimensionale, per esempio, le funzioni ( )f x cos t= , ( ) 2xg x e ,...= , sono funzioni localmente
sommabili, ma non sommabili su R. Ogni funzione continua in dR è localmente sommabile. La nozione di funzione localmente sommabile può essere considerata come l'ultimo stadio della nozione classica di funzione. La corrispondenza 62) ( )x f x→
viene sostituita con 63) ( )f x dx
Ω
Ω→ ∫
dove Ω è un generico sottoinsieme compatto di dR , e ( )f x dxΩ∫ rappresenta una "media" di
( )f x su Ω . Questa sostituzione diventa particolarmente significativa se ( )f x è definita soltanto
quasi ovunque. D'altra parte la 63) è più aderente, da un punto di vista operativo, al procedimento di misura di una grandezza fisica descritta da una funzione. Occorre però notare che la corrispondenza 62) è alla base delle altre operazioni dell'analisi, come la derivazione. E' possibile introdurre una nozione di derivazione sulla base di una corrispondenza del tipo 63)? Vedremo che la risposta è affermativa, se la 63) viene riformulata in modo appropriato.
DISTRIBUZIONI 1. Nozioni basilari Sia ( )n
0C R∞ l'insieme delle funzioni ( )1 2 nx , x ,..., xϕ definite in nR , in generale a valori
complessi, infinitamente derivabili rispetto a 1 2 nx , x ,..., x e aventi supporto compatto. Per ogni
( )n0C R∞ϕ∈ esiste un n-rettangolo K limitato e chiuso tale che per ( )x K x 0∉ ϕ = .
Naturalmente K non è lo stesso per tutte le funzioni di ( )n0C R∞ . ( )n
0C R∞ è uno spazio
vettoriale complesso: se ( ) ( ) ( )n0x , x C R∞ϕ ψ ∈ , anche ( ) ( ) ( )n
0x x C R∞αϕ +βψ ∈ , con , Cα β∈ .
Esempio I. Se n=1, la funzione ϕ definita da
1) ( )2
1
1 x
0 x 1x
e x 1−
−
⎧ ≥⎪ϕ = ⎨⎪ <⎩
appartiene a ( )10C R∞ . Il suo supporto è l'intervallo [ ]1, 1− + . È infinitamente derivabile per
x 1> , poiché è identicamente nulla, e per x 1< , poiché è l'esponenziale di una funzione
infinitamente derivabile. Inoltre tutte le derivate di ϕ nei punti 1± esistono e sono nulle. In n dimensioni un esempio analogo è dato da
2) ( ) ( )( )2 2 2
1 2 n
2 2 21 2 n
11 2 n
1 x x ... x 2 2 21 2 n
0 per x x ... x 1x x ,x ,..., x
e per x x ... x 1−
− + + +
⎧ + + + ≥⎪ϕ = ϕ = ⎨⎪ + + + <⎩
Il supporto di ϕ in questo caso è la palla chiusa in nR , con centro nell'origine e raggio uno.
Moltiplicando ( )xϕ per una funzione ( )u x infinitamente derivabile, per esempio un polinomio
nelle variabili 1 nx ,..., x , otteniamo ancora un elemento di ( ) ( ) ( ) ( )n n0 0C R : u x x C R∞ ∞ϕ ∈ .
Nel seguito sarà utile la seguente notazione: se ( )1 2 n, , ...,α = α α α è un n-upla di interi 0≥ e
1 2 n...α = α +α + +α , indicheremo con Dα l'operazione di derivazione
1 2 n
1 2 n
....x x x
α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
sugli elementi di ( )n0C R∞ . Porremo cioè
Elementi di metodi matematici della fisica
28
3) 1 n
1 n 1 2 n
...
1 n 1 2 n
Dx ... x x x ... x
αα + +αα
α α α α α
∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
;
α è detto anche un multiindice di ordine n. Poiché le funzioni ( )n0C R∞∈ sono continue con tutte
le loro derivate, l'ordine delle derivazioni parziali non ha importanza. Porremo anche ( ) ( )0D x xϕ = ϕ .
Def. 1 Un funzionale lineare T su ( )n
0C R∞ è un'applicazione lineare di ( )n0C R∞ in C, cioè una
corrispondenza che associa ad ogni ( )n0C R∞ϕ∈ un numero (in generale complesso), che
indicheremo con ( )T ϕ o anche con T,< ϕ > , tale che
4) ( ) ( ) ( ) ( )n
0T T T , C, , C R∞αϕ+βψ = α ϕ +β ψ ∀α β∈ ∀ϕ ψ∈
Se si introduce una nozione di limite nello spazio ( )n
0C R∞ , allora è possibile caratterizzare i
funzionali lineari in base a qualche ulteriore proprietà, come, per esempio, quelle di continuità. In ( )n
0C R∞ possiamo considerare vari tipi di convergenza. Alla base della teoria che verrà
sviluppata c'è una scelta del tipo di convergenza, che deriva dalla seguente nozione di limite: Def. 2 Si dice che una successione kϕ di elementi ( )n
0C R∞∈ , converge in D alla funzione
( )n0C R∞ϕ∈ , e si scrive
5) kklim→∞
ϕ = ϕD
oppure kϕ ⎯⎯→ ϕD
se e soltanto se a) i supporti delle funzioni ( )k xϕ sono tutti contenuti in un n-rettangolo chiuso e limitato K
b) per ogni fissato multiindice ( )1 n k, ..., Dαα = α α ϕ converge uniformemente a Dαϕ su
K, cioè
( )( ) ( )( )kx K
max D x D x 0 per kα α
∈ϕ − ϕ → → +∞
Lo spazio vettoriale ( )n
0C R∞ , munito della nozione di limite precedente viene indicato con
( )nRD . Gli elementi di ( )nRD sono anche chiamati funzioni test.
Def. 3 Un funzionale lineare T su ( )nRD è detto continuo, se
kϕ ⎯⎯→ ϕD implica ( ) ( )kklim T T→∞
ϕ = ϕ ( )( )nk 0, C R , k 1,2,....∞ϕ ϕ∈ =
Def. 4 Una distribuzione T è un funzionale lineare e continuo su ( )nRD .
Distribuzioni
29
Le distribuzioni formano a loro volta uno spazio vettoriale che è indicato con ( )dR'D . La
somma 1 2T T+ e il prodotto Tλ sono definiti da
6) 1 2 1 2T T , T , T ,< + ϕ >=< ϕ > + < ϕ >
( )1T , T, C< λ ϕ >= λ < ϕ > λ∈
2. Esempi di distribuzioni Esempio II. Consideriamo il caso n 1= e supponiamo che ( )f x sia una funzione definita in R
e continua. La funzione definisce una distribuzione fT mediante
7) ( ) ( ) ( ) ( )fT , f x x dx x R+∞
−∞
< ϕ >= ϕ ∀ϕ ∈∫ D
L'integrale esiste, poiché l'integrazione riguarda un intervallo limitato e chiuso [ ]a, b , che
contiene il supporto di ( )xϕ ( ) [ ]( )x 0 per x a, bϕ = ∉ .
Ovviamente il valore dell'integrale è un funzionale lineare su ( )RD . fT è continuo: supponiamo
che kϕ ⎯⎯→ ϕD per k →∞ . Sia K un intervallo limitato e chiuso che contenga i supporti di
tutte le funzioni ( )k xϕ . Abbiamo
8) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )f k f k k
K K
T , T , f x x x dx f x x x dx< ϕ > − < ϕ > = ϕ −ϕ ≤ ϕ −ϕ ≤∫ ∫
( ) ( ) ( )kx K
K
f x dx max x x∈
⎛ ⎞≤ ϕ −ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠∫
Poiché ( ) ( )kx K k
max x x 0∈ →∞
ϕ −ϕ → , abbiamo f k fklim T , T ,→∞
< ϕ >=< ϕ > .
E' utile osservare che, per le funzioni continue in R, il funzionale fT definisce univocamente la
funzione. Teorema 1 Se ( )g x è una funzione continua in R, tale che g fT T= (ciò significa ( ) ( )g fT Tϕ = ϕ
( )R∀ϕ∈D ), allora ( ) ( )g x f x= .
Dim. Supponiamo che ( ) ( )g x f x− non sia identicamente nulla. Esiste allora almeno un punto
0x tale che ( ) ( )0 0g x f x 0− ≠ . Per la continuità di ( ) ( )g x f x− esiste un intervallo (a,b)
contenente 0x , in cui ( ) ( )g x f x− non cambia segno.
Se consideriamo la funzione
Elementi di metodi matematici della fisica
30
( ) ( )( )1
b x x ae a x bx0 x a,x b
−− −
⎧⎪ < <ϕ = ⎨⎪ ≤ ≥⎩
che appartiene a ( )RD , abbiamo che senz'altro
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )b
a
g x f x x dx g x f x x dx 0+∞
−∞
− ϕ = − ϕ ≠∫ ∫
cioè ( ) ( )g fT Tϕ ≠ ϕ . Ma ciò è assurdo.
Pertanto, per funzioni continue, la corrispondenza ( )fTϕ→ ϕ fornisce un modo equivalente per
definire le funzioni, alternativo alla corrispondenza tradizionale ( )x f x→ , basata sui valori
numerici di ( )f x .
Questa proprietà si estende immediatamente a nR . Ogni funzione continua in nR
( ) ( )1 nf x f x ,...., x= , definisce una distribuzione ( )nfT R∈ 'D :
9) ( ) ( ) ( ) ( )
n
nf
R
T , f x x dx x R< ϕ >= ϕ ∀ϕ ∈∫ D
Se ( )f x è continua, fT data dalla 9) determina univocamente ( )f x .
Esempio III. Consideriamo più in generale una funzione ( )f x definita in nR e localmente
sommabile. In modo del tutto analogo all'esempio precedente ( )f x definisce una distribuzione
fT mediante
10) ( ) ( ) ( ) ( )
n
nf
R
T , f x x dx x R< ϕ >= ϕ ∀ϕ ∈∫ D
L'integrale esiste, perché se indichiamo con K un n-rettangolo limitato e chiuso contenente il supporto di ϕ , abbiamo ( ) ( ) ( ) ( )
n KR
f x x dx f x x dxϕ = ϕ∫ ∫
e ( ) ( )f x g x è sommabile su K in quanto è misurabile e ( ) ( ) ( )f x x C f xϕ ≤ per x K∈ , con
( )x K
C max x∈
= ϕ . La continuità di fT discende da una diseguaglianza del tipo della 8).
Per funzioni localmente sommabili si dimostra il seguente teorema, che è l'analogo del teorema 1.
Distribuzioni
31
Teorema 2 Due funzioni localmente sommabili ( )f x e ( )g x definiscono la stessa distribuzione f gT T= se e
soltanto se ( ) ( )f x g x= (q.o.).
Se applichiamo il principio di identificazione, possiamo dire allora che le distribuzioni rappresentano una generalizzazione del concetto di funzione localmente sommabile. La
corrispondenza ff T→ da ( )n1,locL R in ( )nR'D è iniettiva, sicché ( )n
1,locL R può essere
identificato con un sottospazio lineare dello spazio lineare ( )nR'D . Pertanto nel seguito
identificheremo una funzione localmente sommabile f, definita quasi ovunque in nR , con il funzionale fT che essa definisce e scriveremo
11) ( ) ( )
n
f
R
f, T , f x x dx< ϕ >=< ϕ >= ϕ∫
In particolare il funzionale che assegna l'integrale ( )dR
x dxϕ∫ ad ogni funzione ( )nRϕ∈D
definisce una distribuzione che verrà identificata con la funzione f 1= . Esempio IV. Se f è una funzione localmente sommabile, definita quasi ovunque, per ogni fissato multiindice ( )1 n, ...,α = α α il funzionale
12) ( )( )( ) ( )
n
n
R
T, f x D x dx Rα< ϕ >= ϕ ∀ϕ∈∫ D
è una distribuzione. In generale il funzionale definito dalla 12) non è identificabile con una funzione localmente sommabile (vedi esempio successivo), cioè non possiamo scrivere in generale ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
R R
f x D x dx f x x dx Rαϕ = ϕ ∀ϕ∈∫ ∫ D
dove f è localmente sommabile. Una distribuzione è detta regolare se identificabile con una funzione localmente sommabile. Una distribuzione non identificabile con una funzione localmente sommabile è detta singolare. Esempio V. Consideriamo la funzione di Heaviside ( )xϑ , definita da
13) ( ) 1 x 0x
0 x 0
>⎧ϑ = ⎨ <⎩
( )xϑ è localmente sommabile (non è necessario definirla per x 0= , che è un insieme di misura
nulla). Il funzionale
14) ( ) ( )dT, x x dx
dx
+∞
−∞
ϕ< ϕ >= − ϑ∫
Elementi di metodi matematici della fisica
32
è una distribuzione. Mostriamo che è una distribuzione singolare. Abbiamo
( ) ( ) ( ) ( )1
0
T, x dx 0 x R+∞
< ϕ >= − ϕ = +ϕ ∀ϕ ∈∫ ' D
Se T fosse regolare, esisterebbe una funzione localmente sommabile ( )f x , tale che
15) ( ) ( ) ( ) ( )1f x x dx 0 R+∞
−∞
ϕ = ϕ ∀ϕ∈∫ D
Sia a un numero positivo. Consideriamo, la funzione test
16) ( )2
22
a
a x
aex
0
−−
⎧⎪ϕ = ⎨⎪⎩
x a
x a
<≥
Abbiamo: ( ) ( )a a1 10 , xe eϕ = ϕ ≤ . Quindi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a
a a
a a
1 1f x x dx f x x dx f x dx a 0e e
+∞ + +
−∞ − −
= ϕ = ϕ ≤ ∀ >∫ ∫ ∫
cioè
( )a
a
f x dx 1 a 0+
−
≥ ∀ >∫
In particolare, per a fissato
17) ( ) ( )a n
a n
f x dx 1 n n 1,2,...+
−
≥ ∀ =∫
Ma ciò è assurdo. Sia ( )a n xχ la funzione caratteristica dell'intervallo a a
xn n
⎛ ⎞− < < +⎜ ⎟⎝ ⎠
e
( ) ( ) ( )n a nf x f x x= χ ; abbiamo
18) ( ) ( ) ( )( )a n
n n
a n
f x dx f x dx 1 f x 0 n 1,2,...+ +∞
− −∞
= ≥ ≥ =∫ ∫
( ) nf x forma una successione monotona decrescente di funzioni non negative sommabili,
convergente quasi ovunque a zero per n →∞ . La successione ( ) ( ) ( ) ( ) n a nf x f x x f x= χ − è
monotona crescente e ( )nf x 0≥ ; inoltre ( )nf x converge quasi ovunque a ( ) ( )af x xχ .
Applicando il teorema di Beppo Levi a ( ) nf x si conclude che
( ) ( )a n
nn na n
lim f x dx lim f x dx 0+∞
→∞ →∞−∞ −
= =∫ ∫
Distribuzioni
33
Confrontando questo limite con la 18), abbiamo che non esiste una funzione localmente sommabile ( )f x che soddisfa la 15).
Esempio VI. L'esempio precedente porta a considerare il funzionale δ n-dimensionale definito da 19) ( ) ( )n, o R< δ ϕ >= ϕ ∀ϕ∈D
Il funzionale della 19) è lineare e continuo. La distribuzione definita da questo funzionale è chiamata la distribuzione δ di Dirac (n-dimensionale). Più in generale la distribuzione di Dirac n-dimensionale, con polo in un punto ξ fissato di nR ,
che è indicata con ξδ , è definita da
20) ( ) ( )n, Rξ< δ ϕ >= ϕ ξ ∀ϕ∈D
Risulta quindi oδ = δ .
In base alle considerazioni dell'esempio precedente, si ha che la distribuzione di Dirac è singolare. In modo analogo si possono definire le distribuzioni 21) ( )( ) ( )nT, D 0 Rα< ϕ >= ϕ ∀ϕ∈D
per ogni fissato multiindice α . Se una distribuzione è regolare, allora, come abbiamo visto, possiamo rappresentarla mediante la formula 11). Se una distribuzione è singolare è conveniente talvolta usare la 11) simbolicamente: se T è una distribuzione singolare, associamo a T una funzione generalizzata o simbolica ( )T x e
scriviamo simbolicamente 22) ( ) ( )
nR
T, T x x dx< ϕ >= ϕ∫
I simboli T e ( )T x possono essere usati scambievolmente. Naturalmente una funzione
generalizzata o simbolica ( )T x è una vera funzione (localmente sommabile) se T è regolare.
Nel caso della distribuzione di Dirac, si scrive simbolicamente 23) ( ) ( ) ( )
nR
, x x dx 0< δ ϕ >= δ ϕ = ϕ∫ ,
introducendo la funzione generalizzata ( )xδ . Analogamente si scrive
24) ( ) ( ) ( )
nR
, x x dxξ< δ ϕ >= δ − ξ ϕ = ϕ ξ∫ ,
in termini della funzione generalizzata ( )xδ − ξ .
Elementi di metodi matematici della fisica
34
3. Differenziazione delle distribuzioni
Def. 5 Proveremo a definire 1
T
x
∂∂
, la derivata rispetto alla variabile 1x di una distribuzione T su
nR , in modo tale che, se T è identificabile con una funzione f che sia continua, dotata di derivate
continue, ritroviamo 1
f
x
∂∂
nel senso usuale.
Se f è una funzione con derivate continue, abbiamo
25) ( ) ( ) ( )n
n
1 1R
f f, x x dx R
x x
∂ ∂< ϕ >= ϕ ∀ϕ∈∂ ∂∫ D
Poiché l'integrale è esteso ad un n-rettangolo limitato K, possiamo scrivere (Teorema di Fubini)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )n
2 n 1 1 n1 1R
f fx x dx dx .... dx x x dx x x ,...., x
x x
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
∂ ∂ϕ = ϕ =
∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫
Integrando per parti su 1x e tenendo presente che ( )xϕ è nulla all'esterno di K, otteniamo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
2 n 11 1 1R R
fx x dx dx .... dx f x x dx f x x dx
x x x
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
∂ ∂ϕ ∂ϕϕ = − = −
∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,
sicché
26) ( )n
1 1
f, f, R
x x
∂ ∂ϕ< ϕ >= − < > ∀ϕ∈∂ ∂
D
Quindi, la derivata 1
f
x
∂∂
può essere definita univocamente in modo alternativo, mediante il
funzionale 1
f,x
∂ϕ− < >
∂.
Queste considerazioni sono alla base della definizione della derivata 1
T
x
∂∂
di una
distribuzione T: 1
T
x
∂∂
è la distribuzione che associa ad ogni ( )nRϕ∈D , il numero ottenuto
considerando 1
T,x
∂ϕ− < >
∂.
Questa definizione è valida perché 1
T,x
∂ϕ− < >
∂ rappresenta un funzionale lineare e
continuo. La distribuzione 1
T
x
∂∂
è quindi definita da
Distribuzioni
35
27) ( )n
1 1
T, T, R
x x
∂ ∂ϕ< ϕ >= − < > ∀ϕ∈∂ ∂
D
Analogamente la distribuzione i
T
x
∂∂
( )i 1,2,..., n= è definita da
28) ( )n
i i
T, T, R
x x
∂ ∂ϕ< ϕ >= − < > ∀ϕ∈∂ ∂
D
Dalla definizione discende immediatamente che possiamo definire
2
j i j i
T T
x x x x
∂ ∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
Infatti
29) 2
j i i j i j
T T, , T,
x x x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ϕ< ϕ >= − < >=< >∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
.
Analogamente
2 2
i j j i
T, T,
x x x x
∂ ∂ ϕ< ϕ >=< >∂ ∂ ∂ ∂
.
Poiché
2
i j j ix x x x
∂ ϕ ∂ϕ=
∂ ∂ ∂ ∂,
abbiamo
30) 2 2
i j j i
T T
x x x x
∂ ∂=
∂ ∂ ∂ ∂
Questa operazione di derivazione può essere ripetuta in modo del tutto arbitrario. Pertanto abbiamo il seguente Teorema 3 Ogni distribuzione T in nR possiede derivate di qualsiasi ordine e l'ordine di derivazione può essere cambiato. Si ha:
31) ( )D T, 1 T, Dαα α< ϕ >= − < ϕ >
In particolare ogni funzione continua o, più in generale, ogni funzione localmente sommabile possiede derivate di qualsiasi ordine, nel senso della teoria delle distribuzioni; ma, in generale, queste derivate non sono funzioni.
Elementi di metodi matematici della fisica
36
Se associamo alla distribuzione T la funzione generalizzata o simbolica ( )T x , si può dire che
( )T x possiede derivate di qualsiasi ordine (e l'ordine di derivazione non ha alcuna importanza)
( )( )D T xα . ( )( )D T xα è la funzione simbolica definita da (vedi 22)):
32) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )n nR R
D T x x dx 1 T x D x dxαα αϕ = − ϕ∫ ∫
( )( )D T xα è la funzione simbolica associata alla distribuzione D Tα .
E' utile considerare la seguente generalizzazione. Sia L un operatore differenziale in n-variabili d'ordine p, con coefficienti costanti aα :
33)
pL a Dα
αα ≤= Σ
L'operatore L*, definito da
34) ( )p
L* 1 a Dα α
αα ≤= Σ −
è chiamato l'aggiunto formale di L. Per il carattere vettoriale di ( )nR'D , possiamo considerare la
distribuzione p
LT a D Tααα ≤= Σ . Abbiamo allora:
35) LT, T, L*< ϕ >=< ϕ >
Se p 2= e 2,0,...0 0,2,0...0 0,0,...0,2a a ... a 1= = = = e tutti gli altri coefficienti sono nulli, L coincide con
il Laplaciano 2n
2i 1ix=
∂∆ = Σ
∂. In questo caso
36) T, T,< ∆ ϕ >=< ∆ϕ > Esempio VII. Sia n 1= . Se indichiamo con ϑ la distribuzione definita dalla funzione di Heaviside ( )xϑ (Es.5), abbiamo
( ) ( ) ( )d, , x x dx 0
dx
+∞
−∞
ϕ< ϑ ϕ >= − < ϑ ϕ >= − ϑ = ϕ∫' ' (Es. 5)
Pertanto se δ è la distribuzione di Dirac unidimensionale con polo nell'origine, risulta
37) ϑ = δ' Usando le funzioni simboliche, la 37) si può scrivere nella forma
38) ( ) ( )dx x
dx
ϑ= δ
Le derivate successive della distribuzione δ sono determinate da
Distribuzioni
37
39) ( ), , 0< δ ϕ >= − < δ ϕ >= −ϕ' ' '
( ) ( ) ( ) ( )mm m, 1 0< δ ϕ >= − ϕ
Analogamente la distribuzione definita da ( )x aϑ − ha per derivata aδ .
In termini di funzioni generalizzate:
40) ( ) ( )d x a
x adx
ϑ −= δ −
Per aδ , abbiamo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mm m ma a, 1 , 1 a< δ ϕ >= − < δ ϕ >= − ϕ .
Sia ( )f x una funzione definita per ( )1 1 2 2 1x a , a x a a a< < < > e 2x a> . Supponiamo che, per
questi valori di x, ( )f x sia derivabile due volte con continuità. Assumiamo inoltre che esistano e
che siano finiti i limiti da destra e da sinistra nei punti 1 2a e a , sia di ( )f x che delle sue
derivate.
Poniamo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )m m m 0i i if a f a f a m 0,1 f f∆ = + − − = = .
La derivata prima di ( )f x in senso distibuzionale, che indicheremo con f' , è definita da
41) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2
a a
a a
f , f, f x x dx f x x dx f x x dx+∞
−∞
< ϕ >= − < ϕ >= − ϕ − ϕ − ϕ =∫ ∫ ∫' ' ' ' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2
a
1 1 1 1 2 2 2 2
a
f a a f x x dx f a a f a a f a a f x x+∞
−∞
= − − ϕ + ϕ + + ϕ − − ϕ + + ϕ + ϕ +∫ ∫' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1
a0 0
1 1 2 2
a
f x x dx f x x dx f a a f a a+∞
−∞
+ ϕ = ϕ + ∆ ϕ + ∆ ϕ∫ ∫ i i' '
Come si può notare, la funzione localmente sommabile ( )f x' non può essere identificata con la
derivata distribuzionale di f. Se indichiamo con f' la distribuzione definita della funzione
localmente sommabile ( )f x' (che è definita per 1 1 2 2x a , a x a , x a< < < > ) possiamo dedurre
dalla 41)
42) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
0 01 a 2 af f f a f a= + ∆ δ + ∆ δ' '
Procedendo in modo analogo deduciamo dalla 42) che
43) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
0 0 1 11 a 2 a 1 a 2 af f f a f a f a f a= + ∆ δ + ∆ δ + ∆ δ + ∆ δ'' '' ' ' ,
dove f'' è la distribuzione definita dalla funzione localmente sommabile ( )f x'' .
Elementi di metodi matematici della fisica
38
Esempio VIII. Sia 0x un punto fissato di 1R . La funzione
44) ( ) 0f x log x x= −
è localmente sommabile. La derivata nel senso usuale di ( )f x non gode però di questa proprietà:
( ) ( )00
1f x x x
x x= ≠
−' non è localmente sommabile.
In generale, l'integrale del tipo di Cauchy
45) ( )
0
xdx
x x
+∞
−∞
ϕ−∫
con ( ) ( )0x C R∞ϕ ∈ , non esiste (tranne nel caso eccezionale in cui ( )0x 0ϕ = ).
D'altra parte se consideriamo la ( )f x come una distribuzione, ( )f x possiede in senso
distribuzionale una derivata, che è un funzionale ben preciso definito su tutte le funzioni di ( )0C R∞ . Determiniamo la derivata distribuzionale di ( )f x .
Abbiamo:
46) ( ) ( ) ( )0x
0 0f , f, log x x x dx log x x x dx+∞
−∞ −∞
< ϕ >= − < ϕ >= − − ϕ = − − ϕ∫ ∫' ' ' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0 0
x
0 0 00 0
x x
log x x x dx lim log x x x dx lim log x x x dx+ +
−ε+∞ +∞
ε→ η→−∞ +η
− − ϕ = − − ϕ − − ϕ =∫ ∫ ∫' ' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00
0 0
xx
0 00 0
x0 0x
x xlim log x x x dx lim log x x x dx
x x x x+ +
−ε +∞ +∞−ε
ε→ η→+η−∞ +η−∞
⎡ ⎤⎡ ⎤ϕ ϕ⎢ ⎥= − − ϕ − − − ϕ − =⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0
x
0 00 0
0 0x
x xlim log x dx lim log x dx
x x x x+ +
−ε ∞
ε→ η→−∞ +η
⎡ ⎤⎡ ⎤ϕ ϕ= − ε ϕ − ε − − − η ϕ +η −⎢ ⎥⎢ ⎥
− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
Poiché i due limiti, 0+ε → e 0+η→ , esistono separatamente, possiamo considerare l'unico limite (che naturalmente esiste) dato da
47) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0
0
x
0 0o
0 0x
x xf , lim dx dx log x x
x x x x+
−ε +∞
ε→−∞ +ε
⎡ ⎤ϕ ϕ< ϕ >= + + ε ϕ + ε −ϕ − ε⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫'
D'altra parte ( ) ( ) ( )( )0 0 0
0lim log x x 0
+ε→ε ϕ + ε −ϕ − ε = ,
Distribuzioni
39
sicché possiamo concludere che esiste il limite
48) ( ) ( )0
0
x
o0 0x
x xlim dx dx
x x x x+
−ε +∞
ε→−∞ +ε
⎡ ⎤ϕ ϕ+⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
Questo limite prende il nome di integrale a valor principale di Cauchy e viene indicato con
49) ( )
0
xP.V. dx
x x
+∞
−∞
ϕ−∫
Possiamo quindi scrivere
50) ( )
0
xf , P.V. dx
x x
+∞
−∞
ϕ< ϕ >=
−∫'
E' utile tener presente che la non esistenza dell'integrale 45), deriva dal fatto che i due limiti,
( )0x
00
xlim dx
x x+
−ε
ε→−∞
ϕ−∫ ,
( )0
00x
xlim dx
x x+
+∞
η→+η
ϕ−∫ ,
presi separatamente, non esistono (come è evidente dai calcoli precedenti). La teoria delle distribuzioni fornisce un modo per dare significato all'integrale divergente 45), prescrivendo una forma particolare di limite (che esiste), che è quella data dalla 48). La distribuzione che fa corrispondere ad ogni ( )Rϕ∈D il numero dato dalla 49) è indicata con
0
1P.V.
x x−
51) ( )
0 0
x1P.V. , P.V. dx
x x x x
+∞
−∞
ϕ< ϕ >=
− −∫
La 50) si può scrivere nella forma
52) ( )00
1log x x P.V.
x x− =
−'
nel senso della teoria delle distribuzioni.
Esempio IX. Se ( )1 2 3x x , x , x= è un punto di 3R , poniamo 2 2 21 2 3r x x x= + + .
La funzione 1 r è localmente integrabile in 3R . Infatti se consideriamo una palla ( )0B r , con
centro nell'origine e raggio 0r finito, abbiamo
( )
0
0
r 2 221 2 3 0
B r 0 0 0
dx dx dx 4 rr sin d ddr d d
r r 2
π π πϑ ϑ ϕ= ϑ ϕ =∫ ∫ ∫ ∫
Elementi di metodi matematici della fisica
40
Per r 0≠ , 1 r è derivabile in senso classico e soddisfa l'equazione di Laplace nello spazio
tridimensionale. Se ( )f r è una funzione derivabile due volte, abbiamo
i
i i
xf df r df
x dr x dr r
∂ ∂= =
∂ ∂i i
2 22 2
i i2 2 3i
x xf d f df 1
x dr r dr r r
⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
53) 2 23
2 2i 1i
f d f 2 dff
x dr r dr=
∂Σ = ∆ = +∂
Dalla 53) segue immediatamente che, per r 0≠ , 1 r 0∆ = . Ovviamente 1 r non è derivabile
nell'origine in senso classico. D'altra parte 1 r definisce una distribuzione in 3R , sicché possiamo determinare il suo laplaciano in senso distribuzionale. Dalla 36) abbiamo:
54) ( )( )3
3
R
1 1, , dx R
r r r
∆ϕ< ∆ ϕ >=< ∆ϕ >= ϕ∈∫ D
Poiché l'integrale è convergente (vedi calcolo su ( )0B r ; 0ϕ = all'esterno di una sfera di raggio
finito), possiamo scrivere
55) ( )3
0rR
dx lim dxr r+ε→
≥ε
∆ϕ ∆ϕ=∫ ∫
Utilizzando la formula di Green ed il fatto che 0ϕ = all'esterno di una sfera di raggio opportuno, abbiamo:
( )r r
1 1 1 1dx ds
r r r n n r≥ε =ε
∂ϕ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤∆ϕ−ϕ∆ = −ϕ⎜ ⎟ ⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫
dove n è la normale uscente al dominio r ≥ ε . Tenendo presente che 1 r 0∆ = per
r 0 en r
∂ ∂≠ = −
∂ ∂, otteniamo
56) ( )
2r r
1dx ds
r r r r≥ε =ε
∆ϕ ∂ϕ ϕ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫
Poiché ( )3
0C R∞ϕ∈ , risulta
( )1 2 3M x x ,x ,xr
∂ϕ< ∀ =
∂
Distribuzioni
41
e ( )2
r r
1 M Mds ds 4 4 M
r r=ε =ε
∂ϕ≤ = πε = πε
∂ ε ε∫ ∫ ,
sicché
0r
1lim ds 0
r r+ε→=ε
∂ϕ=
∂∫
D'altra parte:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2r r r r
0 x 0 x 0ds ds ds 0 4 ds
r r r r=ε =ε =ε =ε
ϕ ϕ −ϕ ϕ −ϕϕ= + = ϕ π+∫ ∫ ∫ ∫
e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2r r 0
r r
x 0 dsds max x 0 4 max x 0 0
r r +=ε =ε ε→=ε =ε
ϕ −ϕ≤ ϕ −ϕ = π ϕ −ϕ →∫ ∫
per la continuità di ( )xϕ . Concludiamo allora che
( )
( )0
r
lim dx 4 0r+ε→
≥ε
∆ϕ= − πϕ∫ ,
sicché
57) 1
4r
∆ = − πδ
o in notazione simbolica
58) ( ) ( )314 x x R
r∆ = − πδ ∈
Quindi il potenziale elettrico di una carica puntiforme q che si trova nell'origine,
( )00
q 1V x
4 r=
πε
soddisfa l'equazione
59) ( ) ( )00
qV x x∆ = − δ
ε
Più in generale il potenziale elettrico di una carica puntiforme q che si trova in un punto ξ di 3R ,
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 2 2 3 30
q 1U x x x x x
4 xξ⎛ ⎞= − ξ = − ξ + −ξ + −ξ⎜ ⎟
πε − ξ ⎝ ⎠
Elementi di metodi matematici della fisica
42
soddisfa l'equazione
60) ( ) ( )0
qU x xξ∆ = − δ −ξ
ε
Come è noto, il potenziale elettrico di una distribuzione continua di carica ( )xρ , soddisfa
l'equazione di Poisson:
61) ( ) ( )0
1V x x∆ = − ρ
ε
Le distribuzioni matematiche che abbiamo introdotto consentono di descrivere in modo rigoroso distribuzioni fisiche come quelle associate a cariche puntiformi. Da qui nasce l'appellativo di teoria delle distribuzioni.
LA TRASFORMATA DI FOURIER Studieremo ora, nell'ambito della teoria delle distribuzioni, un'altra operazione che ha un ruolo importante nelle applicazioni. 1. Introduzione Sia ( )f x una funzione definita in R e non periodica. Sia ( )Tf x una funzione periodica di
periodo T e tale che ( ) ( )Tf x f x= per T T
x ,2 2
⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠
. Sotto opportune condizioni ( )Tf x può
essere sviluppata in serie di Fourier:
1) ( ) ( )0in xT n,T 0n
2f x c e x
T
+∞ω
=−∞
π= Σ ω = −∞ < < +∞
con
2) ( ) 0
T 2in x
n,T
T 2
1c f x e dx
T− ω
−
= ∫
In tal caso, poiché ( ) ( ) ( )TTf x lim f x x
→∞= −∞ < < +∞ , possiamo scrivere
3) ( ) ( )0 0
T 2in x in t
T nT 2
1f x lim e f t e dt
T
++∞ω − ω
→∞ =−∞−
= Σ ∫
su tutto l'asse reale. Per effettuare il limite T →∞ nella 3), procediamo in modo euristico introducendo un secondo parametro τ , indipendente da T, e sostituendo il limite nella 3) con il seguente:
4) ( )0 0
2in x in t
T n2
1lim lim e f t e dt
T
τ+∞ω − ω
→∞ τ→∞ =−∞−τ
Σ ∫
Se assumiamo che ( )f x sia sommabile su R, abbiamo
( ) ( )0 0
2in t in t
2
lim f t e dt f t e dtτ +∞
− ω − ω
τ→∞−τ −∞
=∫ ∫
Tutti questi integrali esistono in virtù del fatto che ( ) ( )0in tf t e f t− ω = .
Se supponiamo di poter effettuare il limite τ→∞ termine a termine, otteniamo
Elementi di metodi matematici della fisica
44
5) ( ) ( ) ( )0 0
0 0
in x in t0 0 0n n0 0
1 1f x lim e f t e dt lim F n
2 2+ +
+∞+∞ +∞ω − ω
=−∞ =−∞ω → ω →−∞
= Σ ω = Σ ω ωπ π∫
con 6) ( ) ( )i xF e cωω = ω
e
7) ( ) ( ) i t1c f t e dt
2
+∞− ω
−∞
ω =π ∫
Tenendo presente che 0ω rappresenta l'ampiezza degli intervallini... ( )0 02 ,− ω −ω , ( )0 ,0−ω ,
( )00,ω , ( )0 0,2ω ω , ..., possiamo dedurre che il limite 0 0+ω → nella 5) coincide con l'integrale
( )1d F
2
+∞
−∞
ω ωπ ∫ .
Concludiamo allora che
8) ( ) ( )i x1f x e c d
2
+∞ω
−∞
= ω ωπ ∫ ,
con ( )c ω data dalla 7).
La 8) unita alla 7), è detta formula integrale di Fourier. L'integrale a secondo membro della 8) è detto integrale di Fourier della funzione ( )f x . Per funzioni definite su R e non periodiche
l'integrale di Fourier sostituisce la serie di Fourier. La 8) è stata dedotta euristicamente senza alcuna pretesa di rigore. Studieremo ora in modo più approfondito il legame tra ( )f x e la grandezza ( )c ω definita dalla 7).
2. Trasformata di Fourier La grandezza ( )c ω che compare nella 8) ed è data dalla 7), è ben definita se ( )f x è sommabile
su R. Def. 1 Sia ( )f x una funzione a valori complessi definita in R e sommabile su R. La funzione di
( ) ( )fω −∞ < ω< +∞ ω , data da
9) ( ) ( )i x1f e f x dx
2
+∞− ω
−∞
ω =π ∫ ,
si chiama trasformata di Fourier di f; ( )f ω è anche indicata con ( )fF , o ( )( )f xF , oppure
( )( )f ωF .
La trasformata di Fourier
45
Dalla 9) segue immediatamente che
10) ( ) ( )1f f x dx,
2
+∞
−∞
ω ≤ ∀ωπ ∫
Utilizzando i teoremi sui limiti della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue, si dimostra che
( )f ω , sempre supponendo che ( )1f L R∈ , è una funzione continua di ω e gode della proprietà
(lemma di Riemann-Lebesgue):
11) ( )ˆlim f 0ω→+∞
ω =
Dalla 9) segue anche che la trasformazione di Fourier F : ˆ: f f→F é lineare. Infatti: se ( )1f, g L R∈ e , Cα β∈ , abbiamo
12) ( ) ( ) ( )f g f gα +β = α +βF F F
Stabiliremo ora una delle proprietà più importanti della trasformazione di Fourier. Teorema 1 Se ( )f x , supposta sommabile , è derivabile con continuità m volte e se le sue derivate di ordine
m≤ sono sommabili, allora
13) ( )( ) ( ) ( ) ( )kk ˆf i f k 1,2,..., m= ω ω =F
Dim. ( ) ( ) ( ) ( )N N
k k 1i x i x
M M
1 1e f x dx e f x
2 2−− ω − ω
− −
= +π π∫
( ) ( )N
k 1i x
M
1i e f x dx
2−− ω
−
+ ωπ ∫
Nel limite N, M →+∞ , tenendo presente che, in virtù della sommabilità di ( ) ( )k 1f x− ,
( ) ( )k 1
N,Mlim f x 0−
→+∞= , otteniamo
14) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 kk k 1 k 2f i f i f ... i f− −= ω = ω = = ωF F F F .
Come si può notare la trasformazione di Fourier sostituisce l'operazione di derivazione con una semplice operazione algebrica di moltiplicazione. In virtù di questa proprietà, la trasformazione di Fourier è uno strumento molto utile nello studio delle equazioni differenziali. Dalla 13) discende anche
Elementi di metodi matematici della fisica
46
15) ( ) ( ) ( )m m1f f x dx
2
+∞
−∞
ω ω ≤π ∫
Pertanto, quanto più ( )f x è derivabile con continuità, con derivate sommabili, tanto più
rapidamente ( )f ω decresce a zero per ω → +∞ .
E' utile studiare la derivabilità di ( )f ω . Consideriamo quindi il rapporto incrementale:
( ) ( ) ( )
i xi x
ˆ ˆf f 1 e 1f x e dx
2
+∞ − ∆ω− ω
−∞
ω+ ∆ω − ω ⎛ ⎞−= ⎜ ⎟∆ω ∆ωπ ⎝ ⎠
∫
Abbiamo
( ) ( )i x
i x i x
0
e 1f x e ixf x e
− ∆ω− ω − ω
∆ω→
⎛ ⎞−→ −⎜ ⎟∆ω⎝ ⎠
e
( ) ( ) ( ) ( )ix
ixixi x 2 2i x 2
sin xe 1 e e 2f x e f x xe f x x x f xx
2 x2 2
∆ω ∆ω−∆ω− ∆ω −ω
∆ω⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞− −
= = ≤⎜ ⎟⎜ ⎟ ∆ω ∆ω∆ω⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
i
Se supponiamo allora che anche ( )xf x sia sommabile, possiamo applicare al limite 0∆ω→ il
teorema di Lebesgue della convergenza dominata e concludere che il limite
( ) ( )
0
ˆ ˆf flim∆ω→
ω+ ∆ω − ω∆ω
esiste e può essere ottenuto facendo il limite sotto il segno di integrale. Si ha quindi
16) ( ) ( ) ( ) ( )i x i x1 1 df e ix f x dx f x e dx
d2 2
+∞ +∞− ω − ω
−∞ −∞
⎛ ⎞ω = − = ⎜ ⎟ωπ π ⎝ ⎠∫ ∫'
Più in generale abbiamo il seguente teorema. Teorema 2 Se ( )f x , supposta sommabile, gode della proprietà che anche ( )mx f x è sommabile, allora
( )f ω è derivabile m volte con continuità e
17) ( ) ( ) ( ) ( )( )mmf ix f xω = −F
Pertanto ( )f ω è tanto più derivabile quanto più rapidamente ( )f x decresce a zero per x →+∞ .
Questa proprietà è complementare a quella dedotta dalla 15).
La trasformata di Fourier
47
Esempio I. Sia ( ) 1f x
0
⎧= ⎨⎩
( )( )
x a
x a
≤
>
( )a 0>
La sua trasformata di Fourier è data da
18) ( )a
i x
a
1 2 sin af e dx
2
+− ω
−
ωω = =
π ωπ ∫
( )f ω è infinitamente derivabile. Tuttavia non decresce a zero rapidamente per x →+∞ , in virtù
del fatto che ( )f x non è derivabile con continuità.
Esempio II. Sia 0α > .
19) ( ) ( ) ( )0
x x x i x ii x
0
1 1 1e e e dx e dx e dx
2 2 2
+∞ +∞−α −α α− ω − α+ ω− ω
−∞ −∞
= = + =π π π∫ ∫ ∫F
2 2
1 1 1 2
i i2
α⎡ ⎤= + =⎢ ⎥α − ω α + ω π α +ωπ ⎣ ⎦
Esempio III. Sia 0α > .
20) ( )2
2 2x i x x 41 1e e dx e
2 2
+∞ ω−−α − ω −α α
−∞
= =π α∫F
(Questo risultato è stato stabilito utilizzando il teorema di Cauchy). In questo caso la trasformata di Fourier è infinitamente derivabile e decresce rapidamente a zero per ω → +∞ , in virtù del
fatto che 2xe−α è infinitamente derivabile e tutte le derivate sono sommabili.
Esempio IV. Sia ( ) ( ) ( )ax 1f x x e x 0,a 0− α−= ϑ α > >
Abbiamo
( ) ( )a i x 1
0
1f e x dx
2
+∞− + ω α−ω =
π ∫
Per determinare ( )f ω , consideriamo l'integrale
( ) ( )R
a i x 1e x dx 0 R− + ω α−
ε
< ε < < +∞∫
e la funzione ( ) z 1F z e z− α−= ,
Elementi di metodi matematici della fisica
48
prendendo la determinazione principale di zα . ( )F z è olomorfa nel campo complesso tagliato
lungo il semiasse reale negativo. Per il teorema di Cauchy, l'integrale di ( )F z esteso alla curva
mostrata in figura è nullo:
( ) ( ) ( )1 2
Rx 1
C C
F z dz e x dx F z dz F z dz 0− α−
Γ ε
+ + + =∫ ∫ ∫ ∫
Applicando i teoremi di Jordan abbiamo ( )2
0C
lim F z dz 0+ε→
=∫ e ( )1
RC
lim F z dz 0→+∞
=∫ . Sia
( ) ( )z x a i x= + ω ( )x Rε ≤ ≤ l'equazione parametrica di −Γ .
Abbiamo allora
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )R R
1a i x a i x 1F z dz F z dz e a i x a i dx a i e x dxα− α− + ω − + ω α−
Γ −Γ ε ε
= − = − + ω + ω = − + ω∫ ∫ ∫ ∫
Possiamo concludere allora che
21) ( ) ( ) 1f
a i2
αΓ α ⎛ ⎞ω = ⎜ ⎟+ ωπ ⎝ ⎠
dove
( ) x 1
0
e x dx+∞
− α−Γ α = ∫
è l'integrale di Eulero di seconda specie (la funzione ( )Γ α interpola i fattoriali dei numeri interi
positivi: si ha infatti, integrando per parti, ( ) ( )n n 1 !Γ = − ).
Questo esempio mostra esplicitamente che , dal fatto che ( ) ( )1f x L R∈ , non segue
necessariamente che anche ( ) ( )1f L Rω ∈ . Per 0 1< α < , la ( )f ω data dalla 21) non è
sommabile. Pertanto la relazione 8) che riscriviamo nella forma
22) ( ) ( )i x1 ˆf x e f d2
+∞ω
−∞
= ω ωπ ∫
La trasformata di Fourier
49
può non aver significato, in generale, nell'ambito della teoria usuale delle funzioni (osserviamo
anche qui che ( ) ( )i x ˆ ˆe f fω ω = ω ).
Mostreremo però che la 22) è del tutto valida nell'ambito di una classe particolare di funzioni che ha un ruolo importante per le considerazioni che verranno sviluppate. 3. Lo spazio ( )S R
Def. 2 ( )S R è lo spazio delle funzioni definite su R, a valori complessi, che sono infinitamente
derivabili e che, insieme a tutte le loro derivate, decrescono a zero per x →+∞ più
rapidamente di ogni potenza di 1
x.
Le funzioni di ( )S R sono dette funzioni regolari a decrescenza rapida . Un elemento tipico di
( )S R è la funzione ( )2axe a 0− > . Naturalmente anche ( ) 2axP x e− , con ( )P x polinomio
generico, appartiene a ( )S R . ( )S R è uno spazio vettoriale complesso.
Se ( ) ( )x S Rϕ ∈ abbiamo
23) ( ) ( ) ( )q
p n
x n 0lim 1 x x 0 p,q 0,1,...→+∞ =
+ Σ ϕ = ∀ =
Dalla 23) segue che
24) ( ) ( ) ( )q
p np,q n 0x R
M sup 1 x x=∈
= + Σ ϕ
è sempre finito per ogni coppia di p,q 0,1,2,...= Si deduce allora che sia ( ) ( )mx xϕl che
( )( )( )mx xϕl sono limitate e sommabili su R, per ogni coppia di interi ,m 0,1,2...=l Lo spazio
( )S R è munito anche di una nozione di limite.
Def. 3 Una successione ( ) k xϕ di elementi di ( )S R converge in S a una funzione
( ) ( )x S Rϕ ∈ , e si scrive
25) S
kϕ →ϕ ,
se per ogni coppia di interi non negativi l,m, la successione ( ) ( ) mkx xϕl converge
uniformemente in R alla funzione ( ) ( )mx xϕl .
In modo equivalente la 25) si può esprimere nella forma
Elementi di metodi matematici della fisica
50
26) ( ) ( ) ( ) ( )( )p n nkk x R
lim sup x x x 0 p, n 0,1,2,..→∞ ∈
ϕ −ϕ = ∀ =
Def. 4 Un'applicazione (operatore) ( ) ( )A : S R S R→ è detta continua se S
kϕ →ϕ implica
( ) ( )S
kA Aϕ → ϕ .
Dai teoremi 1, 2 discende il seguente Teorema 3 La trasformazione di Fourier F è un applicazione lineare e continua di ( )S R in ( )S R .
Dim. La linearità è immediata. Se ( ) ( )x S Rϕ ∈ , ( )x xϕl è sommabile per ogni intero 0≥l . Dal
teorema 2 segue allora che ( )ϕ ω è infinitamente derivabile. D'altra parte, poiché
( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ix xϕ ω = − ϕF ll ,
dal teorema 1 abbiamo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )mm ˆi ix x⎛ ⎞ω ϕ ω = − ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠
F ll ,
cioè
27) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )mm 1ˆ x x dx m 0,1,2,...
2
+∞
−∞
ω ϕ ω ≤ ϕ =π ∫
l l
Segue allora che per ogni fissato 0≥l , ( ) ( )ϕ ωl decresce a zero per ω →∞ più rapidamente di
ogni potenza di 1
ω. Pertanto ( ) ( )ˆ S Rϕ ω ∈ .
Sia ora ( ) k xϕ una successione di elementi di ( )S R convergente in S a ( ) ( )x S Rϕ ∈ . Poiché
( ) ( ) ( )k x x S Rϕ −ϕ ∈ e la trasformazione di Fourier è lineare, sicché
( )k k kˆ ˆϕ −ϕ = ϕ − ϕ = ϕ −ϕF F F , dalla 27) abbiamo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )mm
k k
1ˆ ˆ x x x dx2
+∞
−∞
ω ϕ ω −ϕ ω ≤ ϕ −ϕ =π ∫
l l l
( ) ( ) ( )( )( )( )m2
k2
11 x x x x dx
1 x
+∞
−∞
= + ϕ −ϕ ≤+∫ l
( ) ( ) ( )( )( )( )m2
kx R
cos t sup 1 x x x x∈
≤ + ϕ −ϕl
Tenendo presente la 26) si può concludere che
La trasformata di Fourier
51
28) ( ) ( ) ( ) ( )( )m
kk R
ˆ ˆlim sup 0 m, 0,1,2,...→∞ ω∈
ω ϕ ω −ϕ ω = =l l l
Pertanto S
kˆ ˆϕ →ϕ ( ) ( )
S
k⎛ ⎞ϕ → ϕ⎜ ⎟⎝ ⎠F F . Quindi F è continua.
Teorema 4 La trasformazione di Fourier F in ( )S R è un'applicazione biiettiva.
Dim. Siano ( )xϕ e ( )xψ due elementi di ( )S R . Abbiamo
29) ( ) ( ) ( ) ( )i x i x i t1ˆ e d e e t dt d2
+∞ +∞ +∞ω ω − ω
−∞ −∞ −∞
⎛ ⎞ϕ ω ψ ω ω = ψ ω ϕ ω =⎜ ⎟
π ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i t x1 ˆdt t e d dt dt t t x2
+∞ +∞ +∞− ω −
−∞ −∞ −∞
⎛ ⎞= ϕ ψ ω ω = ϕ ψ − =⎜ ⎟
π ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
( ) ( )ˆ t t x dt+∞
−∞
= ψ ϕ +∫
(Si è applicato il teorema di Fubini, osservando che ( ) ( ) ( ) ( )i x tF t, t e ω −ω = ψ ω ϕ è sommabile su 2R in virtù del fatto che ( ) ( ) ( )F t, tω = ψ ω ϕ ).
Sia ora 0ε > e ( ) 2 2x 2x e−εψ = . Usando la 20) e 29) otteniamo
30) ( ) ( ) ( )22 2 2
2
t ti x 22 2
1ˆ e e d e t x dt e t x dt∞+ ∞+ ∞+ε ω −− −ω ε
−∞ −∞ −∞
ϕ ω ω = ϕ + = ϕ ε +ε∫ ∫ ∫ .
Osserviamo ora che
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2i x t 2 t 22
y R
ˆ ˆe e , e t x sup y eε ω
− ω − −
∈ϕ ω ≤ ϕ ω ϕ ε + ≤ ϕ
Possiamo allora applicare il teorema della convergenza dominata ed eseguire quindi il limite 0+ε → sotto il segno degli integrali.
Tenendo presente che ( )2t
1 22e dt 2∞+
−
−∞
= π∫ , abbiamo
31) ( ) ( )i x1 ˆe d x2
+∞ω
−∞
ϕ ω ω = ϕπ ∫
Pertanto in ( )S R è valida la relazione 22).
Elementi di metodi matematici della fisica
52
E' utile osservare che l'operazione che conduce a ( )xϕ a partire da ( )ϕ ω , è dello stesso tipo
della trasformazione di Fourier, salvo il cambiamento di i in –i. Questa operazione è chiamata antitrasformata di Fourier ed è indicata con F . La 31) può essere scritta nella forma 32) ( )ϕ = ϕF , oppure
33) ( ) ( )( )ϕ ≡ ϕ = ϕFF F F , ( )S R∀ϕ∈
F è un'applicazione lineare e continua in ( )S R . Partendo da
34) ( )( ) ( )i x1e x dx
2
+∞ω
−∞
ϕ ω = ϕπ ∫F
e scambiando i in –i nelle considerazioni precedenti, otteniamo in modo analogo 35) ( )ϕ = ϕFF , ( )S R∀ϕ∈
Dalla 35) segue che F suriettiva. Inoltre, per la linearità, se ( ) ( )ϕ = ψF F , allora
( ) 0ϕ−ψ =F (la funzione identicamente nulla su R).
Quindi, dalla 33), ( )( ) 0ϕ−ψ = ϕ−ψ =F F , cioè F è iniettiva.
Considerando allora l'applicazione inversa 1−F di F , dalla 33) e 35) otteniamo 36) 1− =F F . Dalla 29) segue un'altra proprietà importante. Per x 0= , abbiamo
37) ( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ d t t dt+∞ +∞
−∞ −∞
ϕ ω χ ω ω = ϕ χ∫ ∫ F ( ), S R∀ϕ χ∈
Poniamo ( )1−χ = ψF . Risulta
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 i x i x1 1 ˆe x dx e x dx2 2
+∞ +∞− ω − ω
−∞ −∞
ψ ω = ψ = ψ = ψ ω = ψ ωπ π∫ ∫F F
Pertanto
38) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ d x x dx+∞ +∞
−∞ −∞
ψ ω ϕ ω ω = ψ ϕ∫ ∫ ( ), S R∀ϕ ψ∈
In particolare
39) ( ) ( )2 2ˆ d x dx
+∞ +∞
−∞ −∞
ϕ ω ω = ϕ∫ ∫ ( )S R∀ϕ∈
(eguaglianza di Parseval).
La trasformata di Fourier
53
Poiché gli elementi di ( )S R sono ovviamente funzioni a quadrato sommabile, possiamo dire
allora che il prodotto scalare di due funzioni appartenenti a ( )S R è invariante rispetto alla
trasformazione di Fourier. 4. Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier Come abbiamo già osservato, se ( ) ( )1f x L R∈ , non necessariamente ( ) ( )1f L Rω ∈ , sicché
l'inversione della trasformazione di Fourier tramite ( )( )f f=F F può non aver significato.
Mostreremo ora che questo problema non si presenta se la trasformazione di Fourier viene estesa dalle funzioni sommabili su R alle distribuzioni. Questa estensione si basa sui risultati ottenuti in
( )S R e può essere realizzata, come vedremo, per un sottospazio di ( )R'D .
Se ( ) ( )1f x L R∈ , ( )f ω è continua e limitata (e quindi localmente sommabile). Pertanto ( )f ω è
definita univocamente dal funzionale
40) ( ) ( ) ( )f d f ,+∞
−∞
ω ϕ ω ω =< ϕ >∫ F ( ) ( )R∀ϕ ω ∈D
D'altra parte procedendo come nella 29) (applicando quindi il teorema di Fubini) si ha che
41) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆf d f t t dt+∞ +∞
−∞ −∞
ω ϕ ω ω = ϕ∫ ∫ ( )R∀ϕ∈D
Quindi la trasformata di Fourier di ( ) ( )1f x L R∈ può essere definita in modo equivalente
considerando il funzionale:
42) ( ) ( )ˆf t t dt+∞
−∞
ϕ→ ϕ∫ , ( )R∀ϕ∈D
Questa osservazione suggerisce che si potrebbe definire la trasformata di Fourier di una
distribuzione ( )T R∈ 'D mediante la relazione
43) ( ) ( )T , T,< ϕ >=< ϕ >F F ( )R∀ϕ∈D
Occorre però notare che, per una generica distribuzione ( )T R∈ 'D , la 43) non ha significato.
Infatti se ( )Rϕ∈D , non c'è alcun motivo perché anche ( ) ( )Rϕ ∈F D (vedi Es. I: la trasformata
di Fourier di una funzione a supporto compatto non è una funzione a supporto compatto). Questo problema però può essere superato considerando una classe particolare, ma importante, di distribuzioni. Osserviamo che lo spazio di ( )RD è un sottospazio di ( )S R :
44) ( ) ( )R S R⊂D
Elementi di metodi matematici della fisica
54
e che se ( )( )k k , Rϕ →ϕ ϕ ϕ∈D
D , a fortiori abbiamo S
kϕ →ϕ .
Def. 5 Una distribuzione T (un funzionale lineare e continuo su ( )RD ) è detta una distribuzione
temperata, se può essere estesa ad un funzionale lineare e continuo su ( )S R (S
kϕ →ϕ implica
( ) ( )kT Tϕ → ϕ ).
Lo spazio delle distribuzioni temperate è indicato con ( )S R' .
Esempio V. Una funzione sommabile f è temperata. Infatti: è ben definito l'elemento di ( )S R'
dato da:
45) ( ) ( )f, f x x dx+∞
−∞
< ϕ >= ϕ∫ ( ) ( )x S R∀ϕ ∈
Esempio VI. Una funzione ( )f x definita in R è detta a crescita lenta se valgono le condizioni:
i) ( )f x è localmente sommabile, ii) esistono costanti positive C, n, M tali che ( ) nf x C x< per
x M> .
Un polinomio ( ) k0 1 kp x a a x, ... a x= + + + è una funzione a crescita lenta (in particolare ( )f x 1= ).
Analogamente all'esempio precedente, ogni funzione a crescita lenta determina una distribuzione temperata tramite la 45).
Esempio VII. Le funzioni 2x xe ,e ,..., localmente sommabili, sono distribuzioni, ma non sono
temperate. Esempio VIII. La distribuzione ξδ di Dirac è temperata:
46) ( ),ξ< δ ϕ >= ϕ ξ ( )S R∀ϕ∈
Se ( )T S R∈ ' , anche ( )m
m
d TS R
dx∈ ' . Infatti
dT
dx (è sufficiente considerare questo caso) è definita
da
dT d
, T,dx dx
ϕ< ϕ >= − < > ( )R∀ϕ∈D
Ora se ( )S Rϕ∈ anche ( ) ( )x S Rϕ ∈' , sicché se T è temperata T,< ϕ >' ha significato per ogni
( )S Rϕ∈ . Ne segue che dT
,dx
< ϕ > ha significato ( )S R∀ϕ∈ .
Anche per le distribuzioni temperate possiamo usare la notazione simbolica e scrivere
La trasformata di Fourier
55
47) ( ) ( )T, T x x dx+∞
−∞
< ϕ >= ϕ∫ , ( )S R∀ϕ∈
in termini della funzione generalizzata o simbolica ( )T x .
Osserviamo ora che, se ( )T S R∈ ' , ( )T,< ϕ >F ha significato per ogni ( )S Rϕ∈ , poiché
( ) ( )S Rϕ ∈F (teorema 3). Inoltre se S
kϕ →ϕ , allora, per lo stesso teorema, ( ) ( )S
kϕ → ϕF F . Ne
segue, per la continuità di T, che S
kϕ →ϕ implica ( ) ( )kT, T,< ϕ >→< ϕF F . Pertanto
( )T,< ϕ >F definisce un funzionale lineare e continuo su ( )S R , cioè una distribuzione
temperata. Tornando alla 43) possiamo enunciare il seguente: Teorema 5 Se T è una distribuzione temperata, ( )TF può essere definita mediante l'equazione
48) ( ) ( )T , T,< ϕ >=< ϕ >F F , ( )S R∀ϕ∈
Si ha allora che ( )TF è una distribuzione temperata.
La distribuzione ( )TF è detta trasformata di Fourier di T. In modo analogo si può definire
l'antitrasformata di Fourier di una distribuzione temperata T, ( )TF . ( )TF è la distribuzione
temperata definita da: 49) ( ) ( )T , T,< ϕ >=< ϕ >F F , ( )S R∀ϕ∈
Se associamo a ( )TF la funzione simbolica ( )T ω , possiamo dire che ( )T ω è definita
simbolicamente da:
50) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆT , T d T t t dt+∞ +∞
−∞ −∞
< ϕ >= ω ϕ ω ω = ϕ∫ ∫F ( )S R∀ϕ∈
Naturalmente se T coincide con una funzione sommabile ( )f x , ( )T ω è una funzione classica e
coincide con la funzione ( )f ω già introdotta:
51) ( ) ( )ix1f e f x dx
2
+∞− ω
−∞
ω =π ∫
La funzione classica ( )f ω della 51) soddisfa concretamente l'equazione
52) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆf d f t t dt+∞ +∞
−∞ −∞
ω ϕ ω ω = ϕ∫ ∫ ( )S R∀ϕ∈
(per le stesse considerazioni che hanno condotto alla 41).
Elementi di metodi matematici della fisica
56
In virtù della 51) e 52) il legame tra ( )T ω e ( )T x , definito per una generica distribuzione
temperata dalla 50), verrà scritto in generale nella forma simbolica
53) ( ) ( )ix1T e T x dx
2
+∞− ω
−∞
ω =π ∫ ,
oppure nella forma ( )( )( ) ( )ˆT x Tω = ωF .
E' utile tener presente che per una funzione simbolica ( )T x , associata ad una generica
distribuzione ( )T R∈ 'D , può essere definita l'operazione di moltiplicazione per una funzione
( )a x infinitamente derivabile. Si parte dell'osservazione che se ( )f x è localmente sommabile su
R, tale è anche ( )a x ( )f x . Possiamo introdurre allora la distribuzione regolare ( )a x ( )f x data da
54) ( ) ( ) ( )af, a x f x x dx+∞
−∞
< ϕ >= ϕ∫ ( )R∀ϕ∈D
D'altra parte se ( ) ( )x Rϕ ∈D , anche ( ) ( ) ( )a x x Rϕ ∈D . Possiamo allora scrivere la 54) nella
forma
55) ( ) ( ) ( )( )af, f,a f x a x x dx+∞
−∞
< ϕ >=< ϕ >= ϕ∫ ( )R∀ϕ∈D
Sulla base della 55) che è un'equazione valida nel caso in cui ( )f x sia una funzione localmente
sommabile, possiamo definire il prodotto ( ) ( )a x T x nel caso di una distribuzione generica:
( ) ( )a x T x è la funzione simbolica definita da
56) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )a x T x x dx T x a x x dx T,a+∞ +∞
−∞ −∞
ϕ = ϕ =< ϕ >∫ ∫ ( )R∀ϕ∈D
Per esempio se ( )xδ − ξ è la funzione simbolica associata a ξδ , ( ) ( )a x xδ − ξ è definita da:
57) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )a x x x dx x a x x dx a+∞ +∞
−∞ −∞
δ − ξ ϕ = δ − ξ ϕ = ξ ϕ ξ∫ ∫ ,
sicché possiamo scrivere 58) ( ) ( ) ( ) ( )a x x a xδ − ξ = ξ δ −ξ .
Nel caso di una distribuzione temperata occorre notare che in generale il prodotto ( ) ( )a x xϕ ,
con ( )a x infinitamente derivabile e ( ) ( )x S Rϕ ∈ , non appartiene a ( )S R . Appartiene però
sempre a ( )S R il prodotto di un polinomio ( )p x per una funzione ( )xϕ di ( )S R . Pertanto
possiamo definire per le distribuzioni temperate il prodotto ( ) ( )p x T x tramite:
La trasformata di Fourier
57
59) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )p x T x x dx T x p x x dx T, p+∞ +∞
−∞ −∞
ϕ = ϕ =< ϕ >∫ ∫ ( )S R∀ϕ∈
In particolare ( ) ( )k ˆi Tω ω è definito da
60) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )k kˆ ˆi T d T i d+∞ +∞
−∞ −∞
ω ω ϕ ω ω = ω ω ϕ ω ω∫ ∫
Abbiamo allora:
61) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )k kˆi T d T t ix x t dt+∞ +∞
−∞ −∞
ω ω ϕ ω ω = ϕ =∫ ∫ F
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k kˆ1 T t ix x t dt 1 T t t dt+∞ +∞
−∞ −∞
= − − ϕ = − ϕ =∫ ∫F
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )k k
k
k k
d dˆT t t dt T x d T ,dt dx
+∞ +∞
−∞ −∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ϕ = ω ϕ ω ω = < ϕ >⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ F F
Pertanto per le funzioni simboliche associate alle distribuzioni temperate si ha sempre l'equazione
62) ( ) ( ) ( ) ( )
kk
k
d T x ˆi Tdx
⎛ ⎞ω = ω ω⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠F , ( )k 1,2,...=
che avevamo dedotto per le funzioni ordinarie sotto certe condizioni. In modo analogo, si dimostra che è valida sempre l'equazione
63) ( ) ( )( )( ) ( )m
m
m
d ˆix T x Td
− ω = ωω
F ( )m 1,2,...=
Lo spazio ( )S R' consente di dare una risposta generale al problema dell'inversione della
trasformazione di Fourier. Abbiamo il seguente teorema: Teorema 6
La trasformazione di Fourier in ( )S R' , definita dalla 48) è un'applicazione di ( )S R' in ( )S R'
lineare e biiettiva.
Dim. Siano , Cα β∈ e ( )T,U S R∈ ' . Abbiamo ( ( )S R' è uno spazio vettoriale):
( ) ( ) ( )T U , T U, T,< α +β ϕ >=< α +β ϕ >= α < ϕ > +F F F
( ) ( ) ( )U, T , U ,+β < ϕ >= α < ϕ > +β < ϕ >F F F ( )S R∀ϕ∈
Pertanto
Elementi di metodi matematici della fisica
58
64) ( ) ( ) ( )T U T Uα +β = α +βF F F
Per ogni ( )T S R∈ ' , considerando anche la trasformazione F definita dalla 49) abbiamo
( ) ( ) ( ) ( )T , T , T, T,< ϕ >=< ϕ >=< ϕ >=< ϕ >FF F F FF
in virtù della 35). Quindi
65) ( )T T=FF ( )T S R∀ ∈ '
Procedendo in modo analogo si ottiene
66) ( )T T=FF ( )T S R∀ ∈ '
Si conclude allora che F è biiettiva e che 1− =F F . Quindi se ( )T U=F , allora ( )U T=F . Le equazioni 7) e 8) che abbiamo dedotto
euristicamente sono del tutto valide nel contesto delle distribuzioni temperate. Si può osservare che il carattere biiettivo di F implica che ( )T 0=F se e soltanto se T 0= .
Esempio IX. Consideriamo la trasformata di Fourier della distribuzione di Dirac ξδ . Abbiamo:
( ) ( ) ( )( ) ( )ix1, , e x dx
2
+∞− ξ
ξ ξ−∞
< δ ϕ >=< δ ϕ >= ϕ ξ = ϕ =π ∫F F F
( )i1e d
2
+∞− ωξ
−∞
= ϕ ω ωπ ∫ .
La trasformata di Fourier di ξδ è la funzione a crescita lenta ie 2− ωξ π :
67) ( )( ) ( )ieˆ2
− ωξ
ξ ξδ ω = δ ω =π
F
In particolare
68) ( ) 1ˆ2
δ ω =π
In forma simbolica
69) ( ) ( )i
i xe 1ˆ x e dx2 2
+∞− ωξ− ω
ξ−∞
δ ω = = δ −ξπ π ∫
Viceversa, consideriamo la funzione a crescita lenta (ξ fissato)
La trasformata di Fourier
59
( )ixe
f x2
ξ
=π
La sua trasformata di Fourier è data da
( ) ( )( )ix ix
ixe e 1, , dxe x
2 2 2
+∞ξ ξξ
−∞
⎛ ⎞< ϕ >=< ϕ >= ϕ =⎜ ⎟
π π π⎝ ⎠∫F F F
( ) ( )i1 ˆd e2
+∞ωξ
−∞
= ω ϕ ω = ϕ ξπ ∫
Quindi
70) ixe
2
ξ
ξ
⎛ ⎞= δ⎜ ⎟
π⎝ ⎠F
In particolare la trasformazione di Fourier di ( )f x 1= e data da
71) ( ) ( )1 21 2= π δF
Se utilizziamo la funzione simbolica ( )xδ − ξ , la 70) si può scrivere in forma simbolica:
72) ( ) ( )iy x1e dy x
2
+∞− −ξ
−∞
= δ − ξπ ∫
In particolare
73) ( ) ( )i xe d 2 x+∞
− ω
−∞
ω = π δ∫
Dalla 62) segue che
74) ( )( )( ) ( )i
kk ei
2
− ωξ
ξδ ω = ωπ
F
In particolare
75) ( )( ) ( ) ( )kk2 iπ δ ω = ωF
Viceversa dalla 63) e 71) deduciamo
76) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 m mmx 2 i= π δF ( )m 1,2,...=
La trasformata di Fourier di un polinomio è data quindi da
77) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 2 n2 n2 n0 1 2 n 0 1 2 na a x a x ... a x 2 a ia i a ... i a+ + + + = π δ+ δ + δ + + δ'F
Elementi di metodi matematici della fisica
60
Esempio X. Sia ( )f x sommabile su R e tale che anche ( )f ω sia sommabile. In tal caso ( )fF
è data da
78) ( )( ) ( )i x1ˆ ˆf x e f d2
+∞ω
−∞
= ω ωπ ∫F ;
( )( )f xF è una funzione continua di x.
In virtù della 65) abbiamo
79) ( )f , f,< ϕ >=< ϕ >F , ( )S R∀ϕ∈
cioè f e ( )fF sono eguali come distribuzioni. Dal teorema 2 (pag. 31) segue allora che ( )( )f xF
e ( )f x sono quasi ovunque eguali.
Poiché ( )( )f xF è continua, si può dedurre che la funzione ( )f x è eguale quasi ovunque ad una
funzione continua. Se ( )f x è continua risulta allora
80) ( )( ) ( )f x f x=F x R∀ ∈
Esempio XI. La trasformata di Fourier in ( )2L R .
Una funzione ( ) ( )2f x L R∈ , definisce una distribuzione temperata mediante
81) ( ) ( )f, f x x dx+∞
−∞
< ϕ >= ϕ∫ ( )S R∀ϕ∈
L' integrale esiste perché il prodotto di due funzioni a quadrato sommabile è sommabile. Ogni funzione infinitamente derivabile e a decrescenza rapida è a quadrato sommabile, oltre ad essere sommabile: se ( ) ( )x S Rϕ ∈ , allora ( ) ( ) ( )1 2x L R L Rϕ ∈ ∩ . Il funzionale lineare 81) è continuo:
si ha infatti, per ( )k, S Rϕ ϕ ∈ ,
( ) ( ) ( )( )k kf, f, f x x x dx+∞
−∞
< ϕ > − < ϕ > = ϕ −ϕ ≤∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2k k 2
x R
f xf x x x dx sup 1 x x dx
1 x
+∞ +∞
∈−∞ −∞
⎡ ⎤≤ ϕ −ϕ ≤ + ϕ −ϕ⎣ ⎦ +∫ ∫
e l'integrale esiste perché 21 1 x+ è a quadrato sommabile. Una funzione a quadrato sommabile non necessariamente è sommabile. E' questo il caso, per
esempio, della funzione ( ) 2f x 1 1 x= + .
La trasformata di Fourier
61
Pertanto in generale, la trasformata di Fourier di una funzione ( )2L R∈ esiste in senso
distribuzionale. E' possibile caratterizzare completamente la distribuzione temperata ( )fF con ( )2f L R∈ . Un
primo risultato è dato dal seguente teorema Teorema 7 Se ( ) ( ) ( )2 1f x L R L R∈ ∩ , allora ( ) ( )2f L Rω ∈ e
82) ( ) ( )2 2
f d f x dx+∞ +∞
−∞ −∞
ω ω =∫ ∫ ( )f f=
Abbiamo già dimostrato questa eguaglianza nel caso di una funzione ( ) ( )x S Rϕ ∈ , che , come si
è osservato, appartiene a ( ) ( )2 1L R L R∩ . Generalizzando opportunamente il procedimento che
ci ha condotti alla 39), si dimostra che la 82) è valida per ogni ( ) ( )2 1f L R L R∈ ∩ .
Se ( ) ( )2f x L R∈ , consideriamo la funzione
83) ( ) ( )N
f xf x
0
⎧= ⎨⎩
per x N
per x N
≤>
( )N 0>
Abbiamo:
84) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2N
2 2 2
N NN
N
f f f x f x dx f x dx f x dx 0+∞ − +∞
→∞−∞ −∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫
Ovviamente ( )Nf x è a quadrato sommabile. Tenendo presente che [ ] ( )N,N
1x
0−
⎧χ = ⎨
⎩
x N
x N
≤>
è a quadrato sommabile e che ( ) ( ) [ ] ( )N N,Nf x f x x−= χ (prodotto di due funzioni a quadrato
sommabile), si ha che ( )Nf x è anche sommabile: ( ) ( ) ( )N 2 1f x L R L R∈ ∩ . Possiamo allora
applicare a ( )Nf x il teorema 7. La trasformata di Fourier ( )Nf ω di ( )Nf x , che è definita in senso
classico, è data da:
85) ( ) ( ) ( )N
i x i xN N
N
1 1f f x e dx e f x dx
2 2
+∞ +− ω − ω
−∞ −
ω = =π π∫ ∫ ,
e gode della proprietà
86) N Nf f=
Dalla 86) discende che
Elementi di metodi matematici della fisica
62
87) N M N Mˆ ˆf f f f− = −
Dalla 84) segue che ( ) ( )Nf x N 1,2,...= è una successione di Cauchy in ( )2L R . Abbiamo
allora, in virtù della 87), che le ( )Nf ω date dalla 85) formano una successione di Cauchy in
( )2L R . Per la completezza di ( )2L R , si conclude che esiste uno e un solo elemento ( )f ω di
( )2L R , tale che
88) ( ) ( )1 22N
i xNN N
N
1ˆ ˆ ˆlim f f lim f e f x dx d 02
+∞ +− ω
→∞ →∞−∞ −
⎛ ⎞⎜ ⎟− = ω − ω =⎜ ⎟π⎝ ⎠∫ ∫
Dalla 84) e 86) segue che la ( )f ω data dalla 88) gode della proprietà
89) f f=
La ( )f ω determinata dal limite 88) è definita soltanto quasi ovunque in R. Si dimostra che
questa funzione a quadrato sommabile, che è una distribuzione temperata, coincide con la distribuzione temperata trasformata di Fourier di ( )f x ; ( ) ( )( )f fω = ωF .
In conclusione la trasformazione di Fourier in ( )2L R è un'applicazione lineare di ( )2L R in
( )2L R . Questa applicazione è biiettiva e gode della proprietà 89) (più in generale si ha (vedi
38)):
90) ( ) ( ) ( ) ( )ˆg f d g x f x dx+∞ +∞
−∞ −∞
ω ω ω =∫ ∫ ( )2f, g L R∀ ∈
cioè, usando la notazione di prodotto scalare, 91) ˆg, f g, f< >=< >
La trasformazione F in ( )2L R è un esempio di un operatore unitario in uno spazio di Hilbert.
La trasformazione F in ( )2L R gode delle stesse proprietà. La funzione ( )f x è determinata dal
limite
92) ( ) ( )1 22N
i x
NN
1 ˆlim f x f e d dx 02
+∞ +ω
→∞−∞ −
⎛ ⎞⎜ ⎟− ω ω =⎜ ⎟π⎝ ⎠∫ ∫
5. Trasformata di Fourier in diverse variabili Sia ( ) n
1 2 nx x , x ,..., x R= ∈ , ( ) n1 2 n, , ..., Rω = ω ω ω ∈ . Se ( ) ( )n
1 2 n 1f x , x ,..., x L R∈ , la sua
trasformata di Fourier ( )1 2 nf , , ...,ω ω ω è la funzione definita da
La trasformata di Fourier
63
93) ( )( )
( ) ( )1 1 2 2 n ni x x ... x1 2 n 1 2 n 1 2 nn 2
1f , , ..., ... e f x ,x ,..., x dx dx ...dx
2
+∞ +∞− ω +ω + +ω
−∞ −∞
ω ω ω =π ∫ ∫
Introducendo il prodotto scalare in n1 1 n nR ,x x ... x< ω >= ω + +ω , possiamo scrivere la 93)
brevemente nella forma:
94) ( )( )
( )n
i ,xn 2
R
1f e f x dx
2− <ω >ω =
π ∫
con 1 2 ndx dx ,dx ,...,dx= . La ( )f ω è anche indicata con ( )fF .
La ( )f ω gode di proprietà analoghe a quelle del caso di una sola variabile. Se D fα esiste, è
continua ed è sommabile su nR , abbiamo (teorema 1):
95) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 n
1 n 1 2 nˆD f ,..., i i ... i f
α α αα ω ω = ω ω ω ωF
dove ( )1 2 n, , ...,α = α α α e 1 n
1 n
...
1 n
Dx ... x
α + +αα
α α
∂=∂ ∂
In particolare se f∆ esiste, è continua ed appartiene a ( )n1L R , risulta
96) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 2 n
ˆ ˆf ... f f∆ = − ω +ω + +ω ω ≡ − ω ωF
Il teorema 2 si generalizza nella forma
97) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 n1 2 n
1 n
...
1 n 1 2 n1 n
f, ..., ix ix ... ix f x
...
α + +αα α α
α α
∂ω ω = − − −
∂ω ∂ωF
Se 0α > e ( ) ( )2 2 21 2 nx x ... x
f x e−α + + +
= , abbiamo (vedi eq. 20)
98) ( )( )
2 2 21 2 n2 2 2
1 2 n
...x x ... x
4n 2
1e e
2
ω +ω + +ω−−α + + + α⎛ ⎞ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ αF
Lo spazio ( )nS R è lo spazio vettoriale complesso delle funzioni ( ) ( )1 2 nx x , x ,..., xϕ ≡ ϕ a
decrescenza rapida, cioè delle funzioni ( )xϕ che soddisfano le due condizioni:
i) ( )xϕ è infinitamente derivabile, cioè Dαϕ esiste per ogni multiindice
( )1 2 n, , ...,α = α α α
ii) per ogni coppia di multiindici α e ( )1 2 n, , ...,β = β β β si ha
( )1 2 n1 2 nx
lim x x ...x D x 0β β β α
→∞ϕ = ( )2 2
1 nx x ... x= + +
Una successione kϕ in ( )nS R converge in S a ( )nS Rϕ∈ , e si scrive S
kϕ →ϕ , se
Elementi di metodi matematici della fisica
64
( ) ( )( )1 2 n
n1 2 n kk x R
lim sup x x ...x D x x 0β β β α
→∞ ∈ϕ −ϕ =
per ogni coppia di multiindici α e β .
La trasformazione di Fourier F definita dalla 94) è un'applicazione di ( )nS R in ( )nS R lineare,
continua e biiettiva. L'antitrasformata F , che è dello stesso tipo della F salvo il cambiamento di i in –i, fornisce la trasformazione inversa 1−F . In modo del tutto analogo al caso unidimensionale si considera lo spazio vettoriale delle
distribuzioni temperate su nR , che è indicato con ( )nS R' , e si introduce la trasformata di Fourier
degli elementi di ( )nS R' . Il teorema 6 e l'equazione 65), 66) si applicano anche a ( )nS R' .
La trasformata di Fourier di una funzione ( ) ( )n2f x L R∈ , che è definita per una generica ( )f x a
quadrato sommabile in senso distribuzionale, è una funzione ( ) ( )n2f L Rω ∈ . Si ha, in ( )n
2L R ,
99) ( ) ( )n n
1 2 1 222
R R
ˆf f x dx f d⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = ω ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
e ( ) ( ) ( ) ( )
n n
1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n
R R
ˆˆg, f g x ,..., x f x ,..., x dx ...dx g ,..., f ,..., d ...d< >= = ω ω ω ω ω ω =∫ ∫
ˆg, f=< >
Nello spazio di Hilbert ( )n2L R , F è una trasformazione unitaria. Se ( ) n
1 2 n, ,..., Rξ = ξ ξ ξ ∈ , e
ξδ è la distribuzione di Dirac in nR con polo ξ , abbiamo:
100) ( )( )
i ,
1 n n 2
eˆ ,...,2
− <ω ξ>
ξδ ω ω =π
( )( )( )n 22 1π δ =F , e
101) ( ) ( )n 2i x,e 2< ξ>ξ= π δF
6. Convoluzione Teorema 8 Siano ( )f x e ( )g x sommabili su nR . Allora, per quasi ogni nx R∈ , la funzione
( ) ( )y f x y g y→ − è sommabile su nR . Posto per tali x
102) ( )( )
( ) ( )n
n 2
R
1h x f x y g y dy
2= −
π ∫ ( )( )1 1 n nx y x y ,..., x y− = − −
si ha che ( ) ( )n1h x L R∈ .
La trasformata di Fourier
65
Dim. La funzione ( ) ( ) ( )F x, y f x y g y= − è misurabile in n nR R× .
Controlliamo che ( )F x,y è sommabile. Abbiamo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nR R R R R R
dy dx F x,y dy g y f x y dx g y dy f x dx⎛ ⎞⎛ ⎞
= − = < +∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Dal teorema di Tonelli discende allora che ( )F x, y è sommabile su n nR R× .
Applicando il teorema di Fubini a ( )F x, y si conclude che ( )h x , definita per quasi ogni x, è
sommabile su nR . La funzione ( )h x è detta convoluzione (o prodotto di convoluzione) di ( )f x e ( )g x e si
scrive 103) ( ) ( )( )h x f g x= ∗ o ( )h f g= ∗
Si verifica immediatamente che 104) f g g f∗ = ∗ Teorema 9 (della convoluzione) Siano ( ) ( ) ( )n
1f x , g x L R∈ . Risulta
105) ( ) ( ) ( )f g f g∗ =F F F
Dim. Per il teorema di Fubini abbiamo:
( )( ) ( )
( ) ( )n n
i ,xn 2 n 2
R R
1 1h e dx f x y g y dy
2 2− <ω >ω = − =
π π∫ ∫
( )
( )( )
( )n n
i ,y i ,x yn 2 n 2
R R
1 1e g y dy e f x y dx
2 2− <ω > − <ω − >= −
π π∫ ∫
Con il cambiamento di variabile ( )x y dx d− = ξ = ξ nell'ultimo integrale, otteniamo
( ) ( ) ( )ˆˆ ˆh f gω = ω ω .
E' utile tener presente che l'operazione di convoluzione può essere definita anche in situazioni non contemplate dal teorema 8. Non è però garantita la sommabilità del prodotto di convoluzione. Si ha, per esempio, il teorema Teorema 10 Siano ( ) ( ) ( )n
1,locf x , g x L R∈ e si supponga che sia soddisfatta una delle seguenti condizioni
Elementi di metodi matematici della fisica
66
i) ( )g x ha supporto compatto
ii) ( )f x ha crescenza lenta e ( ) ( )ng x S R∈
Allora, per quasi ogni nx R∈ , la funzione ( ) ( )y f x y g y→ − è sommabile e la convoluzione
( )( )f g x∗ , data
106) ( )( )( )
( ) ( )n
n 2
R
1f g x f x y g y dy
2∗ = −
π ∫
appartiene a ( )n1,locL R .
Un altro risultato riguarda le funzioni a quadrato sommabile. Teorema 11 Siano ( ) ( ) ( )2f x , g x L R∈ . Allora, per quasi ogni x la funzione ( ) ( )y f x y g y→ − è sommabile
e la convoluzione ( )( )f g x∗ gode della proprietà che esiste una costante M 0> tale che
( )( )f g x M∗ ≤ q.o. su nR
Si dimostra anche che Teorema 12 Se ( ) ( )1f x L R∈ e ( ) ( )2g x L R∈ , ( )( )f g x∗ è definita ed appartiene a ( )2L R .
Per quanto riguarda il teorema di convoluzione, si dimostra che, utilizzando la trasformazione di Fourier in senso distribuzionale, il teorema conserva la sua validità nei casi in cui entrambi i membri della 105) abbiano significato: i) ( ) ( )1f x L R∈ e ( ) ( )2g x L R∈ , ii) ( ) ( ) ( )2f x ,g x L R∈ ,
iii) ( )f x a crescenza lenta e ( ) ( )ng x S R∈ , iv) ( )f x a crescenza lenta e ( ) ( )n1,locg x L R∈ ed ha
supporto compatto. Esempio XII (Equazione di Helmholtz). Consideriamo l'equazione differenziale alle derivate parziali 107) ( ) ( ) ( )2u x u x x−∆ +µ = ρ , in ( )3R 0µ >
dove supponiamo che ( )xρ sia continua e sommabile su 3R . Studieremo la 107), considerando
in generale le funzioni dal punto di vista delle distribuzioni temperate. Associamo alla 107) l'equazione 108) ( ) ( ) ( )2g x g x x−∆ +µ = δ
Vedremo che questa equazione ha un ruolo importante per la determinazione di una formula esplicita della ( )u x soluzione della 107).
La trasformata di Fourier
67
Per risolvere la 108), applichiamo ad entrambi i membri la trasformata di Fourier (ricordando che ( )T 0=F se e soltanto se T 0= ). Abbiamo
109) ( ) ( )( )
2 23 2
1ˆ ˆg g2
ω ω +µ ω =π
con 2 2 21 2 3ω = ω +ω +ω . Nel seguito porremo anche 2 2 2
1 2 3r x x x= + + . Otteniamo quindi
110) ( )( )3 2 2 2
1 1g
2ω =
π ω +µ
e
111) ( )( )
( )( )3 3
i ,xi ,x
3 2 3 2 2R R
1 1 eˆg x e g d d2 2
<ω ><ω >= ω ω = ω
π π ω +µ∫ ∫
Introducendo coordinate sferiche per ( )1 2 3, ,ω = ω ω ω , otteniamo
112) ( )( ) ( )
2 2 1i r cos i r cos
2 2 2 22 20 0 0 1
d d1 1g x sin e d d cos e
2 2
+∞ π +∞ +ω ϑ ω ϑ
−
ω ω ω ω= ϑ ϑ = ϑ =
π ω +µ π ω +µ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )2 2 2 2 22
0
sin r2 1 1 t sin rtd dt
r t2 r 2
+∞ +∞
−∞
ω ω= ω = =
+µπ ω +µ π∫ ∫
( ) ( )
( )( )
irt r
2 2 22 2
i 1 te i 1 i 1 e idt 2 iR i 2 i
r t r r 2i2 2 2
+∞ −µ
−∞
µ= − = − π µ = − π
+µ µπ π π∫
In conclusione la distribuzione temperata ( )g x soluzione della 108) è data dalla funzione
sommabile
113) ( )r1 e
g x4 r
−µ
=π
( )0µ >
Questa funzione è detta soluzione fondamentale dell'equazione di Helmholtz o anche funzione di Green dell'operatore differenziale 2−∆ +µ , che soddisfa la condizione di annullamento all'infinito. Per 0µ = , ( )g x coincide con il potenziale di Coulomb di una carica unitaria puntiforme che si
trovi nell'origine. Per 0µ ≠ , ( )g x è detta anche potenziale di Yukawa; è un potenziale a corto
raggio di azione che descrive le forze nucleari a basse energie.
Elementi di metodi matematici della fisica
68
La ( )g x consente di ottenere una formula esplicita per la soluzione della 107). Se ( )ρ ω , ( )u ω
sono le trasformate di Fourier di ( )xρ e ( )u x , applicando la trasformazione di Fourier alla
107), otteniamo
114) ( ) ( )2 2
ˆu
ρ ωω =
ω +µ
Se poniamo ( ) ( )( )3 2
uv
2
ωω =
π, possiamo scrivere
115) ( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆv g gω = ω ρ ω = ∗ρ ωF
Abbiamo allora
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )1
3 2
u xˆv x v g x
2−= = ω = ∗ρ
πF
cioè
116) ( ) ( )3
x y
R
1 eu x y dy
4 x y
−µ −
= ρπ −∫ ,
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 2 2 3 3x y x y x y x y⎛ ⎞− = − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
che fornisce per 0µ = , la ben nota soluzione dell'equazione di Poisson per una distribuzione di
carica ( )xρ .
Esempio XIII (Equazione di diffusione). Consideriamo il problema della diffusione di una sostanza in un mezzo continuo. Indichiamo con ( ) ( )1 2 3x , x , x , t x, tρ = ρ la densità della sostanza
all'istante t. Se ( )j x, t denota la densità di corrente (quantità di sostanza che passa per unità di
tempo attraverso un'unità di area perpendicolare alla direzione in cui diffonde la sostanza), si ha, nella cosiddetta approssimazione lineare, 117) j D grad= − ρ , ( )D 0>
dove D è una costante che prende il nome di coefficiente di diffusione. Se la sostanza non è né assorbita né prodotta dal mezzo, deve valere l'equazione di continuità
118) div j 0t
∂ρ+ =
∂
Combinando 117) e 118) otteniamo l'equazione di diffusione
La trasformata di Fourier
69
119) ( ) ( )x, t D x, tt
∂ρ = ∆ρ
∂
La 119) è detta anche equazione del calore, perché è l'equazione per la temperatura ( )T x, t in un
solido di densità ν , coefficiente di conducibilità termica k e calore specifico c, con
k
Dc
=ν
Da un punto di vista fisico la ( )x, tρ sarà determinata se conosciamo la densità ad un istante
iniziale, che possiamo far coincidere con t 0= . Considerando il caso generale di nR , studieremo allora il seguente problema (problema ai valori iniziali) per l'equazione di diffusione
120) ( ) ( )
( )0
D 0tx,0 x
x, t 0
∂ρ⎧ − ∆ρ =⎪ ∂⎪ρ = ρ⎨⎪⎪ρ =⎩
( )
n
2 2
2 21 n
x R , t 0
t 0
t 0 ...x x
∈ >
=
⎛ ⎞∂ ∂< ∆ = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
dove ( )0 xρ è una funzione assegnata su nR , per esempio continua e sommabile. La 120) si può
scrivere in forma equivalente nella forma (ricordando che ( ) ( )dt t
dtϑ = δ )
121) ( ) ( ) ( ) ( )0x, t D x, t x tt
∂ρ − ∆ρ = ρ δ
∂ nx R , t R∈ ∈
Associamo alla 120) o 121) l'equazione
122) ( ) ( ) ( ) ( )g x, t D g x, t x tt
∂− ∆ = δ δ
∂
o, equivalentemente, il problema
123)
( ) ( )
( ) ( )( )
ng x, t D g x, t 0 x R , t 0t
g x,0 x
g x, t 0 t 0
∂⎧ − ∆ = ∈ >⎪∂⎪= δ⎨
⎪ = <⎪⎩
Per risolvere la 123), consideriamo la trasformazione di Fourier rispetto alle variabili spaziali, trattando t come un parametro. Applicando questa trasformazione alla 123), otteniamo
124)
( ) ( ) ( )
( )( )
2 n1 n
n 2
ˆ ˆg , t D g , t 0 ,...., R , t 0t
1g ,0
2
∂⎧ ω + ω ω = ω = ω ω ∈ >⎪∂⎪⎨⎪ ω =⎪ π⎩
Elementi di metodi matematici della fisica
70
Abbiamo quindi
125) ( )( )
2tD
n 2
1g , t e
2
− ωω =π
t 0>
Usando la 98), otteniamo
126) ( )( ) ( )
2x
4tDn 2 n 2
1 1g x, t e
2 2tD
−=
π t 0>
con
2 21 nx x ... x= + + ( )( )g x, t 0 t 0= <
La ( )g x, t è detta soluzione fondamentale dell'equazione di diffusione. Se consideriamo il
problema di partenza 120) e applichiamo la trasformazione di Fourier rispetto alle variabili spaziali, otteniamo, invece della 124),
127) ( ) ( )
( ) ( )
2
0
ˆ ˆ, t D , t 0 t 0t
ˆ ˆ,0 ,
∂⎧ ρ ω + ω ρ ω = >⎪∂⎨⎪ρ ω = ρ ω⎩
che ha per soluzione
128) ( ) ( )2
tD0
ˆ ˆ, t e− ωρ ω = ρ ω ,
cioè
( )
( )( ) ( )0n 2
ˆ , tˆ ˆg , t
2
ρ ω= ω ρ ω
π t 0>
Concludiamo allora che ( )
( )( ) ( )0n 2
x, tg x, t x
2
ρ= ∗ρ
π,
cioè
129) ( )( )
( )2
n
x y
4tD0n 2
R
1x, t e y dy
4 tD
−−
ρ = ρπ ∫ ( )t 0>
con ( ) ( ) ( )( )2 2 2
1 1 n nx x x y ... x y x, t 0 t 0− = − + + − ρ = <
E' utile tener presente che 130) ( )
nR
g x, t dx 1=∫ t 0∀ >
La trasformata di Fourier
71
Infatti:
( ) ( ) ( )
2
2 2i
n n
x ny y4tD
in 2 n 2 n 2 i 1R R
1 1 1e dx e dy e dy 1
4 tD
+∞− − −
=−∞
= = Π =π π π∫ ∫ ∫
La 130), consente di stabilire che 131) ( ) ( )0
t 0lim x, t x
+→ρ = ρ
La 130) è un caso particolare della seguente equazione 132) ( ) ( )
n n
0
R R
x, t dx x dxρ = ρ∫ ∫ t 0∀ >
Infatti
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
n 2 n 2
0 0
R R
ˆ ˆx, t dx 2 0, t 2 0 x dxρ = π ρ = π ρ = ρ∫ ∫ ,
dove si è usata la 128). Esempio XIV (Equazione libera di Schrodinger). Studiamo ora il problema ai valori iniziali per l'equazione libera di Schrodinger
133) ( ) ( )
n
0
i 0 x R , t 0t 2mx,0 x
∂ψ⎧ + ∆ψ = ∈ >⎪ ∂⎨⎪ ψ = ψ⎩
dove ψ e 0ψ sono a valori complessi e ( ) ( ) ( )n n0 2 1x L R L Rψ ∈ ∩ .
La 133) si ottiene dalla 120) con
134) D2m
= e la sostituzione di t con it.
Abbiamo allora dalla 129)
135) ( ) ( )2
n
n 2 x yi m
2t0
R
2mx, t e y dy
4 i t
−⎛ ⎞ψ = ψ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ∫ nx R , t 0∈ >
(l'integrale senz'altro esiste se ( ) ( ) ( )n n0 2 1x L R L Rψ ∈ ∩ ).
Riscriviamo la 135) nella forma
136) ( ) ( )2 2
n
n 2 x y mx,y mi m i i2t t 2t
0
R
2mx, t e e e y dy
4 i t
< >−⎛ ⎞ψ = ψ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ∫
Tenendo presente che la trasformazione di Fourier in ( )n2L R conserva la norma, dalla 136) si
deduce
Elementi di metodi matematici della fisica
72
137) ( ) ( )n n
2
0
R R
x, t dx x dxψ = ψ∫ ∫ t 0∀ >
Quindi l'applicazione: 138) ( ) ( )t 0U : x x, tψ →ψ
è un operatore lineare unitario in ( )n2L R , per ogni fissato t.
La funzione
139) ( )2n 2 x
i m2tm
G x, t e2 i t
⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ( )nx R , t 0∈ ≠
è detta la soluzione fondamentale dell'equazione libera di Schrodinger. Osserviamo che la 135) ha significato per ogni t 0≠ , anche per t 0< . Quindi, in realtà abbiamo risolto il problema
140) ( ) ( )
n
0
i 0 x R , t Rt 2mx,0 x
∂ψ⎧ + ∆ψ = ∈ ∈⎪ ∂⎨⎪ ψ = ψ⎩
L'equazione di Schrodinger è reversibile nel tempo, a differenza dell'equazione di diffusione che è irreversibile nel tempo. La diffusione è un tipico processo di aumento dell'entropia. La 139) è associata alla condizione iniziale ( ) ( )G x,0 x= δ . Se consideriamo la condizione
iniziale ( ) ( )G x,0 x y= δ − (y fissato punto di nR ), otteniamo
141) ( )2n 2 m x y
i2tm
G x, t;y e2 i t
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟π⎝ ⎠
La funzione di ( )G x, t;y è il propagatore dell'equazione libera di Schrodinger.
7. Convergenza distribuzionale Per le distribuzioni si può introdurre una nozione di convergenza, che risulta utile sotto vari
aspetti. Considereremo lo spazio ( )nR'D ; le nozioni e i risultati che otterremo si possono
estendere alle distribuzioni temperate. Consideriamo una famiglia Tα di distribuzioni dipendente da un parametro α che
appartiene ad un insieme di indici I. Supponiamo che ( )nT Rα ∈'D , I∀α∈ . Si dice che Tα
converge distribuzionalmente alla distribuzione ( )nT R∈ 'D per 0α→α , e si scrive
142)
0
T Tα α→α→
se
La trasformata di Fourier
73
143) 0
lim T , T,αα→α< ϕ >=< ϕ > ( )nR∀ϕ∈D
Questo tipo di convergenza è detta anche convergenza debole. Se l'insieme degli indici I è discreto e si considera una successione kT di distribuzioni,
scriveremo 144) kk
lim T T→∞
= ,
se 145) kk
lim T , T,→∞
< ϕ >=< ϕ > ( )nR∀ϕ∈D
Questa nozione si applica anche a serie di distribuzioni 146) 1 2 nT T ... T ...+ + + +
La serie 146) converge distribuzionalmente alla distribuzione T, se
147) k
ik i 1lim T , T,→∞ =
< Σ ϕ >=< ϕ > ( )nR∀ϕ∈D
Si scriverà in tal caso
148) nn 1T T
∞
== Σ
Una proprietà importante di questo tipo di convergenza è espressa dal seguente teorema Teorema 13 Se
0
lim T ,αα→α< ϕ > esiste per ogni ( )nRϕ∈D , esiste una ed una sola distribuzione T tale che
0
T Tα α→α→ , cioè
0
lim T , T,αα→α< ϕ >=< ϕ >
Un'altra proprietà significativa riguarda la possibilità di scambiare sempre l'operazione di derivazione con quella di limite distribuzionale: se
0
T Tα α→α→ , allora
0
m mD T D Tα α→α→ , per ogni multindice n-dimensionale m. Si ha infatti (è
sufficiente considerare le derivate prime):
0i i i i
T T, T , T, ,
x x x xα
α α→α
∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂< ϕ >= − < > → − < >=< ϕ >∂ ∂ ∂ ∂
,
sicché
149) 0i i
T T
x xα
α→α
∂ ∂→
∂ ∂
In particolare abbiamo che ogni serie convergente di distribuzioni, può essere derivata termine a termine, tante volte quanto si vuole.
Elementi di metodi matematici della fisica
74
La nozione di convergenza distribuzionale è particolarmente utile nelle situazioni in cui si vuole dare significato a procedimenti di limite che non hanno significato nell'ambito delle nozioni classiche. Essa consente altresì di stabilire un legame tra le distribuzioni, in particolare quelle singolari, e le funzioni ordinarie. Se una famiglia ( ) f xα di funzioni localmente sommabili
converge distribuzionalmente a una distribuzione T, scriveremo
150) ( ) ( )0
d
f x T xα α→α→ (o anche ( ) ( )
0
d
lim f x T xα→α
= )
dove ( )T x è la funzione generalizzata o simbolica associata a T.
Esempio XV. Sia ( )nf x sin nx= ( )x R n 1,2,...∈ =
La successione ( ) nf x , tranne in x 0= , non converge puntualmente.
Abbiamo però
151) d
nsin nx 0
→∞→
Infatti, per ogni ( ) ( )x Rϕ ∈D , abbiamo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1sin nx x dx x d cos nx cos nx x
n n
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
⎛ ⎞ϕ = ϕ − = − ϕ +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )1 1cos nx x dx cos nx x dx
n n
+∞ +∞
−∞ −∞
+ ϕ = ϕ∫ ∫' '
Quindi
( ) ( ) ( )1sin nx x dx x dx
n
+∞ +∞
−∞ −∞
ϕ ≤ ϕ∫ ∫ '
Passando al limite per n →∞ otteniamo la 151).
Esempio XVI. Abbiamo visto che la trasformata di Fourier di ( )ixe
f x2
ξ
=π
è la distribuzione ξδ .
Questo risultato lo abbiamo espresso simbolicamente nella forma
152) ( ) ( )iy x1e dy x
2
+∞− −ξ
−∞
= δ − ξπ ∫
Alla 152) si può dare in realtà un significato preciso e diretto nell'ambito della nozione di convergenza distribuzionale. Consideriamo l'integrale ( )N 0>
La trasformata di Fourier
75
( )N
iy x
N
1e dy
2
+− −ξ
−π∫
A fissato N, l'integrale esiste e fornisce una funzione ben precisa di x:
153) ( ) ( )( )
Niy x
N
sin N x1e dy
2 x
+− −ξ
−
− ξ=
π π − ξ∫
Per N →∞ questa funzione non ammette limite (tranne per x = ξ ) nel senso ordinario. Esaminiamo il limite dal punto di vista distribuzionale.
( )
( ) ( ) ( ) ( )N
iy x
N
sin N x 1x dx dx e dy x dx
x 2
+∞ +∞ +− −ξ
−∞ −∞ −
⎛ ⎞− ξϕ = ϕ =⎜ ⎟
π −ξ π⎝ ⎠∫ ∫ ∫
( ) ( )N N
iy iyx i i x
N N
1 1 1dye e x dx d e e x dx
2 2 2
+ +∞ + +∞ξ − ωξ − ω
− −∞ − −∞
= ϕ = ω ϕ =π π π∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )N
i i
NN
1 1ˆ ˆe d e d2 2
+ +∞ωξ ωξ
→∞− −∞
= ϕ ω ω → ϕ ω ω = ϕ ξπ π∫ ∫ ( )R∀ϕ∈D
(ogni ( )Rϕ∈D appartiene anche a ( )S R ). (E' da notare che abbiamo scambiato l'ordine
d'integrazione di x e y, in virtù del fatto che l'integrale in y è esteso ad un intervallo limitato). Possiamo quindi concludere che
154) ( ) ( )( ) ( )
N diy x
N NN
sin N xlim e dy lim x
x
+− −ξ
→∞ →∞−
− ξ= =δ −ξ
π − ξ∫
In particolare
155) ( )d
N
sin Nxlim x
x→∞=δ
π
Esempio XVII. Un risultato analogo al precedente può essere ottenuto nel modo seguente. Consideriamo l'intervallo ( )0,2π e le funzioni di classe ( )0C R∞ e a supporto compatto contenuto
in questo intervallo. Questo insieme forma lo spazio ( )( )0,2πD . I funzionali lineari e continui
su ( )( )0,2πD sono le distribuzioni su ( )0,2π , che formano lo spazio ( )( )0,2π'D . Siano x e ξ
(ξ fissato) punti di ( )0,2π . La serie di funzioni
156) ( )in x
n
1e
2
+∞−ξ
=−∞Σ
π
non converge nel senso usuale (il termine n-simo non tende a zero). Dal punto di vista distribuzionale abbiamo, per ( ) ( )( )x 0,2ϕ ∈ πD ,
Elementi di metodi matematici della fisica
76
( ) ( )2 2inN N
in inx inx
n N n N0 0
1 e 1e e x dx e x dx
2 2 2
π πξ+ +ξ − −
=− =−Σ ϕ = Σ ϕ
π π π∫ ∫ ;
i coefficienti di Fourier:
( )2
inxn
0
1c e x dx
2
π−= ϕ
π ∫
sono funzioni rapidamente decrescenti per n →±∞ , in virtù della infinita derivabilità di ( )xϕ .
Dalla teoria delle serie trigonometriche di Fourier abbiamo
157) ( )in
nn
ec
2
ξ+∞
=−∞Σ = ϕ ξ
π
Concludiamo allora
158) ( ) ( )d
in x
n
1e x
2
+∞− −ξ
=−∞Σ =δ − ξ
π in ( )( )0,2π'D
Esempio XVIII. Sia ( ) ( )1 2 nf x f x , x ,..., x= una funzione non negativa localmente sommabile
su nR , tale che 159) ( )
nR
f x dx 1=∫
Per 0α > , definiamo
160) ( ) 1 2 nn n
x x x1 x 1f x f f , ,...,α
⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟α α α α α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dimostriamo che
161) ( ) ( )d
0lim f x x
+ αα→
=δ
Anzitutto, con il cambiamento di variabile x
y =α
, otteniamo ( )2 21 nx x .... x= + +
a) ( )nR
f x dx 1α =∫ 0∀α >
b) ( ) ( )0 0
x y
lim f x dx lim f y dy 0αα→ α→ρ>ρ >α
= =∫ ∫ fissato 0∀ ρ >
c) ( )0
x
lim f x dx 1αα→<ρ
=∫ fissato 0∀ ρ >
In virtù della a) la 161) afferma che 162) ( ) ( ) ( )( )
0 nR
lim f x x 0 dx 0αα→αϕ −ϕ =∫
La trasformata di Fourier
77
Dividiamo nR in due insiemi x B, x B≤ > sicché
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )n x B x BR
f x x 0 dx f x x 0 dx f x x 0 dxα α α≤ >
ϕ −ϕ ≤ ϕ −ϕ + ϕ −ϕ∫ ∫ ∫
Sia
( ) ( )nx R
M sup x 0∈
= ϕ −ϕ , ( ) ( ) ( )x B
P B sup x 0≤
= ϕ −ϕ
Abbiamo, usando la non negatività di fα e la a),
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n x BR
f x x 0 dx P B M f x dxα α>
ϕ −ϕ ≤ +∫ ∫
Sia 0ε > . Per la continuità di ( )xϕ possiamo scegliere B (indipendentemente da α ) in modo
tale che ( )P B2
ε< . Per le proprietà b) esiste un γ tale che, per ogni 0 < α < γ
( )x B
f x dx2Mα
>
ε<∫
Quindi, fissato ε , esiste γ tale che per 0 < α < γ
( ) ( ) ( )( )nR
f x x 0 dxα ϕ −ϕ < ε∫
Ciò dimostra la validità della 162) e quindi della 161). Osserviamo che per ξ fissato, facendo un cambiamento di variabile, si deduce immediatamente
163) ( ) ( )d
0lim f x x
+ αα→
− ξ =δ − ξ
(è questo il motivo per cui si indica la funzione simbolica associata a ξδ con ( )xδ − ξ ).
Per esempio se consideriamo in R la funzione ( ) ( )2
1f x
1 x=π +
, questa soddisfa la 159).
Abbiamo allora
164) ( ) ( ) ( )d
2 2 20 0 0
2
1 1 1lim f x lim lim x
x x1+ + +ε
ε→ ε→ ε→
ε= = =δ
ε π π + ε+ε
La funzione ( )g x, t , con D 1= data dalla 126) (vedi anche 130))
Elementi di metodi matematici della fisica
78
165) ( )( )
2x
4tn 2
1g x, t e
4 t
−=
π ( )t 0>
è del tipo di una famiglia ( )f xα , con 2t = α . Abbiamo quindi
166) ( )
( )2
x d4t
n 2t 0
1lim e x
4 t+
−
→=δ
π in nR
Esempio XIX. Sia 0x un punto fissato di R. La funzione
167) ( )0
1f x
x x=
−,
come abbiamo già osservato, non è localmente sommabile. Pertanto l'integrale
168) ( )
0
xdx
x x
+∞
−∞
ϕ−∫ con ( ) ( )x Rϕ ∈D
non può definire una distribuzione in quanto non ha significato. Abbiamo visto che si può dare significato all'integrale 168), considerando la derivata distribuzionale di 0log x x− , che ha
condotto all'integrale a valor principale di Cauchy e alla distribuzione
0
1P.V.
x x−
169) ( ) ( )0
0
x
00 0 0x
x x1P.V. , lim dx dx
x x x x x x+
−η
η→−∞ +η
⎡ ⎤ϕ ϕ< ϕ >= +⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
Affronteremo ora il problema del significato che possiamo dare a 0
1
x x− in modo più diretto,
nell'ambito della convergenza distribuzionale. Osserviamo che, se diamo a 0x una parte
immaginaria i+ ε ( 0ε > , per esempio), la funzione
170) ( )0
1f x
x x iε =− − ε
è localmente sommabile. Quindi ( )f xε definisce una distribuzione. Il limite 0+ε → , considerato
puntualmente, ci riporta alla ( )f x (e quindi non risolve il problema di dare un significato a
0
1
x x−). Consideriamo invece il limite 0+ε → dal punto di vista distribuzionale. Abbiamo per
ogni ( ) ( )x Rϕ ∈D
La trasformata di Fourier
79
( ) ( )( )
( ) ( )( )
02 22 2
0 0 0
x x dxx xf x , dx x dx i
x x i x x x x
+∞ +∞ +∞
ε−∞ −∞ −∞
ϕ ϕ−< ϕ >= = ϕ + ε
− − ε − + ε − + ε∫ ∫ ∫
Dalla 164) deduciamo
171) ( )
( )( )02 20
0
x dxlim i i x
x x+
+∞
ε→−∞
ϕε = πϕ
− + ε∫
Resta da esaminare il primo integrale. Abbiamo
( )( ) ( ) ( )( )2 20
02 20
x x 1x dx x d log x x
2x x
+∞ +∞
−∞ −∞
−ϕ = ϕ − + ε =
− + ε∫ ∫
( )( ) ( ) ( )2 20 0
0
1log x x x dx log x x x dx
2 +
+∞ +∞
ε→−∞ −∞
= − − + ε ϕ → − − ϕ =∫ ∫' '
00
d 1log x x , P.V. ,
dx x x=< − ϕ >=< ϕ >
−
Considerando anche il caso in cui diamo a 0x una parte immaginaria i− ε ( )0ε > , concludiamo
che
172) ( )d
00
0 0
1 1lim P.V. i x x
x x i x x+ε→= ± πδ −
− ε −∓
Le due distribuzioni che abbiamo ottenuto vengono indicate con 0
1
x x i0+− ∓
173) ( )00 0
1 1P.V. i x x
x x i0 x x+ = ± πδ −− −∓
Abbiamo anche trovato che
174) ( )
d0
2 2000
x x 1lim P.V.
x xx xε→
−=
−− + ε
Sia ( )F z la funzione olomorfa definita da
175) ( ) ( )1
11
a
f xF z dx
x z
+∞
=−∫
dove ( )1f x è continua e sommabile e z non appartiene alla semiretta ( )a, .+∞ ( )F z è olomorfa
nel piano complesso privato della semiretta ( )a,+∞ . Sia ( )x a,∈ +∞ . Poiché 0
1P.V.
x x− e
Elementi di metodi matematici della fisica
80
( )0x xδ − possono essere estesi, come funzionali, alle funzioni continue e sommabili su ( )a,+∞ ,
abbiamo che
176) ( ) ( ) ( ) ( )1
110
a
f xF x i0 lim F x i P.V. dx i f x
x x+
+∞+
ε→± = ± ε = ± π
−∫
La ( )F z presenta quindi una discontinuità sulla semiretta ( )a,+∞ , data da:
177) ( ) ( ) ( )F x i0 F x i0 2i f x+ ++ − − = π ( )x a,∈ +∞
Esempio XX. Sulla base della nozione di limite distribuzionale possiamo dare un significato alla funzione simbolica ( )( )a xδ , se ( )a x è una funzione derivabile con continuità ed ammette
zeri semplici e isolati. Dare significato a ( )( )a xδ , significa definire una distribuzione
rappresentata simbolicamente da ( )( )a xδ .
Abbiamo visto che
( ) ( )
d
2 20lim x
x+ε→
ε=δ
π ε +
Possiamo allora definire ( )( )a xδ come limite distribuzionale
178) ( )( ) ( )d
2 20
1a x lim
a x+ε→
εδ =
π ε +
Siano 1 2 kx , x ,..., x ,... gli zeri di ( )a x . L'andamento di ( )2 2
1
a x
επ ε +
è dato in figura (per ε
sufficientemente piccolo).
La trasformata di Fourier
81
Per ε sufficientemente piccolo l'integrale ( ) ( )2 2
1x dx
a x
+∞
−∞
εϕ
π ε +∫ riceve contributi finiti soltanto
in piccoli intervallini contenenti i punti 1 2 kx , x ,..., x ,... che cadono nel supporto di ϕ . In questi
intervallini possiamo scrivere
( ) ( )( )k ka x a x x x= −'
e
( )2 2
1
a x
επ ε +
≅( )( ) ( )
( )( )( )d
k k2 022k k
1a x x x
a x x xε→
ε→ δ −
π ε + −
''
Resta da dare un significato a ( )cxδ . Abbiamo:
( )
( )2 d
2 2 2 2 2 220 0 0
1 1 c 1 1 1lim lim lim x
c x c x ccx+ + +ε→ ε→ η→
ε ε η= = = δ
π π ε + η + πε +i
Quindi:
179) ( ) ( )1cx x
cδ = δ (su ( ) ( )n
n
1R cx x
cδ = δ ) ( )c 0≠
Pertanto otteniamo, in virtù dell'ipotesi che gli zeri siano semplici (sicché ( )ka x 0≠' )
180) ( ) ( )( )
k
kk
x xax
a x
δ −δ = Σ
'
Per esempio
i) ( ) ( ) ( )2 2 1x a x a x a
2a⎡ ⎤δ − = δ − + δ +⎣ ⎦ ( )a 0>
ii) ( ) ( )k
sin x x k+∞
=−∞δ = Σ δ − π
BIBLIOGRAFIA
1) Riesz F., B. Sz. – Nagy, Functional Analysis, New York (1955). 2) Laurent Schwartz, Mathematics for the Physical Sciences, Hermann ed. Paris (1966). 3) Ivar Stakgold, Green's functions and boundary value problems, Wiley – Sons (1998), Second Edition. 4) E. Zeidler, Applied functional analysis (Applications to Mathematical Physics), Springer (1995).