Elementi di Calcolo delle Probabilità Corso di Calcolo delle Probabilità ed Inferenza a.a. 2013/2014 - Primo Semestre Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata Dipartimento di Economia, Statistica e Finanza Università della Calabria
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Elementi di Calcolo delle
Probabilità
Corso di Calcolo delle Probabilità ed Inferenza
a.a. 2013/2014 - Primo Semestre
Prof. Filippo DOMMA
Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata
Dipartimento di Economia, Statistica e Finanza Università della Calabria
Calendario
- Lezioni: dal 30/09/2013 al 21/12/2013
- Esami (scritti):
1° appello 13 Gennaio 2014 ore 9:00
2° appello 10 Febbraio 2014 ore 9:00
3° appello 9 Giugno 2014 ore 9:00
4° appello 7 Luglio 2014 ore 9:00
5° appello 8 Settembre 2014 ore 9:00
Elementi di Calcolo delle Probabilità 2
- Orario delle Lezioni:
Lunedì, Martedì e Mercoledì
dalle 9 alle 11 in ZENITH 1
- Orario di Ricevimento Studenti:
Giovedì dalle 11 alle 13
(Studio docente: Cubo 0C, ultimo piano)
- Modalità esame: Scritto ed Orale
Elementi di Calcolo delle Probabilità 3
Elementi di Calcolo delle Probabilità
Prova, Evento e Probabilità
Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.
Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di
incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il Calcolo delle Probabilità
sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci.
Evento: è uno dei possibili risultati della prova.
Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e
soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del Calcolo delle
Probabilità.
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
Def.1. Spazio dei Campioni.
E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento
concettuale. Verrà indicato con W.
Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.
L’evento certo è quello che si verifica sempre, W.
L’evento impossibile è quello che non si verifica mai, f.
Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole).
E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di W.
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
Diagrammi di Venn
UNIONE INTERSEZIONE
NEGAZIONE EVENTI
INCOMPATIBILI EVENTI
NECESSARI
A B A
W
A
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
Proprietà Unione Intersezione
Commutativa
Idempotenza
Associativa
Distributiva
ABBA ABBA
AAA AAA
)CB(AC)BA( )CB(AC)BA(
)CA()BA()CB(A )CA()BA()CB(A
Inoltre, si ha:
AA f WWA WAA
ffA AA W f AA
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
Leggi di De Morgan
BABA
Partizione dello Spazio Campionario
BABA
BABA
BABA
(1)
(2)
Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad W formano una partizione
dello spazio campionario se:
(1) k1,...,ji AA ji f
(2) W
k
1i
iA
cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
Esercizio 1
Esercizio 2
Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8},
B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio W={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Determinare i seguenti sottoinsiemi:
)CB(AE1 CBAE2 CBE3
CCE6
BAE4
BAE5
Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline
da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo
spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si
identificano i seguenti eventi:
1. Le due palline estratte sono di colore differente;
2. Le due palline estratte sono dello stesso colore;
3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
Esercizio 3
Esercizio 4
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da
gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con
gli interi dall’1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che
rappresentano i seguenti eventi:
Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e
di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo
all’esperimento e i sottoinsiemi a cui si identificano i seguenti eventi:
1. I numeri portati dalle facce superiori dei due dadi sono uguali;
2. La somma dei due numeri portati dalle facce superiori dei due dadi è 5;
3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello
riportato dalla faccia superiore dell’altro.
1. Testa per la moneta e “numero pari” per il dado;
2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado.
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
Esercizio 5
Esercizio 7
Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a
caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in
questione.
Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’1 al 6, sia A l’evento
“la faccia superiore porta il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore porta un
numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti?
Esercizio 6 Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di “teste” e delle
“croci” che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete.
Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato.
Esercizio 8 Si lancia due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B l’evento
“nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti?
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
A A 0APr
1WrP
f BA
BPAPBAP rrr
Assiomi del Calcolo delle Probabilità.
Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è
considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la
teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:
1.
2.
3. Siano A e B due eventi incompatibili
allora
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
0frP
APAP rr 1
BAPBAPAP rrr
BAPBPAPBAP rrrr
Teoremi fondamentali del Calcolo delle Probabilità
Teo.1.
Teo.2.
Teo.3.
Teo.4.
Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
Def. 4. Classica
La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli
di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.
Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).
In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di
volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si
manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità.
L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.
Def. 6. Soggettivista.
La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente
formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un
evento.
Definizione di probabilità.
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Elementi di Calcolo delle Probabilità
Esercizio 9 Dato un esperimento tale:
5.0)A(Pr 31
r )B(P 41
r )BA(P
Calcolare:
BAPr BAPr BAPr
BAPr BAPr
Esercizio 10 Siano A e B due eventi tali che:
8.0)A(Pr 7.0)B(Pr 6.0)BA(Pr
Calcolare:
BAPr BAPr BAPr
Elementi di Calcolo delle Probabilità
Esercizio 11
Supponiamo di avere un’urna che contiene 8 palline rosse (R),