Elementary Circuits Enumeration in Graphs

Mestrado em InformáticaPrograma de Pós Graduação em Informática

Universidade Federal do Espírito Santo

Teoria dos Grafos 2014-1Seminário: enumeração de ciclos elementares

Professora: Maria Claudia Silva Boeres

Luiz Kill

Vitória, Junho de 2014

Trabalho apresentado na disciplina “Teoria dos Grafos”, integrante do Programa de Pós Graduação em Informática da Universidade Federal do Espírito Santo, período 2014-1.

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Agenda

• Definição do problema

• Revisão de conceitos

• Modelagem do problema

• Revisão bibliográfica

• Implementação

• Conclusão

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Agenda

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• Implementação

• Conclusão

Definição do problemaCadastro de serviços compostos do ERP SAP

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Definição do problema

Quando o Insumo X tem seu preço atualizado:– Recalcular o preço do Serviço 3– Recalcular o preço do Serviço 2– Recalcular o preço do Serviço 1

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Cadastro de serviços compostos do ERP SAP


Quando o Insumo X tem seu preço atualizado:– Recalcular o preço do Serviço 3 -> preço errado!– Recalcular o preço do Serviço 2 -> preço errado!– Recalcular o preço do Serviço 1 -> preço errado!

7

Cadastro de serviços compostos do ERP SAP


8

Como detectar a existência de ciclos na estrutura?

DFT, ordenação topológica...

Como listar todos os ciclos existentes? ???

Agenda

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• Implementação

• Conclusão

Revisão de conceitos

CicloPercurso fechado sem repetição de arestas, pode repetir vértices.

Ciclo elementarPercurso fechado sem repetição de arestas e com repetição apenas do vértice inicial.

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Revisão de conceitos

Componente fortemente conexo

Subgrafo onde todos os vértices são acessíveis a partir de qualquer vértice.

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Subgrafo induzido por vértices

Subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V'.

Agenda

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• Implementação

• Conclusão

Modelagem do problema

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Grafo de serviços compostos:

- Desconexo- Direcionado- Insumos nos vértices

terminais- Número de vértices: 21319- Número de arestas: 115227


14

Grafo de serviços compostos:


15

•

* http://stackoverflow.com/questions/14146165/find-all-the-paths-forming-simple-cycles-on-an-undirected-graph

1019*


16

Número de ciclos elementares em um grafo direcionado completo [1]


17

http://flowproblem.ru/cycles/all-simple-cycles

Número de ciclos elementares em um grid nxn


18

NP-completo [4]


19

http://people.mpi-inf.mpg.de/~mehlhorn/ftp/EriceTalks.pdf

O problema de enumeração de ciclos possui muitas aplicações práticas:

• Reconstrução de superfícies


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• Prevenção e recuperação de deadlocks em SOs e RDMSs

http://en.wikipedia.org/wiki/Wait-for_graph



• Problema do isomorfismo de grafos [7]

• Análise da estrutura de compostos químicos [8]

• Design e análise de redes de comunicação confiáveis

• Análise de causa em redes de relacionamento celular [9]

• ...

21


22

Ciclos é uma

área ativa da

teoria dos

grafos!

Agenda

23





• Implementação

• Conclusão

Revisão bibliográfica

Classificação dos algoritmos:

• Search space algorithms• Backtrack algorithms• Adjacency matrix algorithms

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Search space algorithms

• Nessa abordagem os ciclos são investigados em um espaço de busca apropriado

• Para grafos não direcionados o cycle space vector foi a estrutura mais abordada ao longo do tempo [6]

• Cycle space -> contém todos os ciclos do grafo

• Cycle basis -> contém todos os ciclos elementares a partir dos quais todos os ciclos do espaço podem ser derivados

25Revisão bibliográfica

Search space algorithms• Algoritmo construtivo:

– Gere uma cycle basis

– Gere todos os vetores (ciclos) do cycle space vector a partir da

cycle basis ([21])

• Esses algoritmos são exponenciais no tamanho do espaço de busca, logo são exponenciais em

• No caso especial de grafos planares foi proposto em [10] um algoritmo com tempo


Backtrack algorithms•


Backtrack algorithms


DFT é um algoritmo de backtracking:

Adjacency matrix algorithms•


Adjacency matrix algorithms


O algoritmo de Johnson (1975) [1]








O algoritmo de Hawick & James (2008) [15]


• Estende Johnson’s para laços e arestas múltiplas

O algoritmo de Ferreira (2012) [2]


O algoritmo de Ferreira (2012) [2]


Agenda

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• Implementação

• Conclusão

Implementação

39

Implementação

40

• Algoritmo escolhido: Hawick & James [15]

– Queremos identificar a presença de laços e arestas múltiplas no domínio do

problema

• Biblioteca de apoio: JGraphT 0.9.0 (Java)

– DirectedPseudograph

– DefaultDirectedGraph

– addVertex()

– addEdge()

– successorListOf()

– vertexSet()

– edgeSet()

Implementação

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• Benchmark (usando grafos simples): JGraphT

– Johnson

– Szwarcfiter and Lauer

– Tarjan

– Tiernan

Cenário de teste 1

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•

Implementação

Cenário de teste 1

43Implementação

Cenário de teste 2

44

•

Implementação

(Hands on)

Cenário de teste 3

45

•

Implementação

* http://mathworld.wolfram.com/Pseudograph.html

Cenário 3

46Implementação

Cenário 3

47Implementação

Benchmark

48

•

Implementação

Benchmark

49Implementação

Benchmark

50Implementação

Benchmark

51Implementação

Agenda

52





• Implementação

• Conclusão

Conclusão

53

•

Conclusão

54

• O algoritmo implementado deve estar disponível na próxima versão da API

JGraphT

55

Dúvidas

56

Obrigado!

Luiz [email protected]

Referências[1] D. B. Johnson. Finding all the elementary circuits of a directed graph. SIAM J. Comput., 4(1):77–84, 1975.

[2] R. Ferreira, R. Grossi, A. Marino, N. Pisanti, R. Rizzi, and G. Sacomoto. Optimal Listing of Cycles and st-Paths in Undirected Graphs. Eprint arXiv:1205.2766, 2012.

[3] M. Safar, F. Mahdi and K. Mahdi. An Algorithm for Detecting Cycles in Undirected Graphs using CUDA Technology. International Journal on New Computer Architectures and Their Applications (IJNCAA) 2(1): 194-213, 2012.

[4] R. M. Karp. Reducibility among combinatorial problems, Complexity of Computer Computations. Plenum, New York, 1972, 85-103.

57

Referências[6] R. Diestel. Graph Theory (Graduate Texts in Mathematics). Springer, 2005.

[7] J. T. Welch, Jr. A mechanical analysis of the cyclic structure of undirected linear graphs. J. ACM, 13:205–210, 1966.

[8] E.H. Sussenguth. A graph-theoretical algorithm for matching chemical structures. J. Chem. Doc., 5:36–43, 1965.

[9] S. Klamt, A. Kamp. Computing paths and cycles in biological interaction graphs. BMC Bioinformatics 2009, 10:181.

[10 M. M. Syslo. An efficient cycle vector space algorithm for listing all cycles of a planar graph. SIAM J. Comput., 10(4):797–808, 1981.

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Referências[11] J. C. Tiernan. An efficient search algorithm to find the elementary circuits of a graph. Communonications ACM, 13:722–726, 1970.

[12] R. E. Tarjan. Enumeration of the elementary circuits of a directed graph. SIAM J. Comput., 2(3):211–216, 1973.

[13] J. Ponstein. Self-avoiding paths and the adjacency matrix of a graph. SIAM Journal on Applied Mathematics, 14:600–609, 1966.

[14] F. Harary. The Determinant of the Adjacency Matrix of a Graph. SIAM Review, Vol. 4, No. 3. (Jul., 1962), pp. 202-210.

[15] K. A. Hawick, H. A. James. Enumerating Circuits and Loops in Graphs with Self-Arcs and Multiple-Arcs. Computational Science Technical Note CSTN-013, 2008.

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