Elektronstrukturbaserad magnetiseringsdynamik632474/FULLTEXT01.pdf · 3 Teori För att utföra elektronstrukturberäkningar effektivt används en...

TVE 13 013

Examensarbete 15 hpJuni 2013

Elektronstrukturbaserad magnetiseringsdynamik

Niklas Fejes

Teknisk- naturvetenskaplig fakultet UTH-enheten Besöksadress: Ångströmlaboratoriet Lägerhyddsvägen 1 Hus 4, Plan 0 Postadress: Box 536 751 21 Uppsala Telefon: 018 – 471 30 03 Telefax: 018 – 471 30 00 Hemsida: http://www.teknat.uu.se/student

Abstract

Elektronstrukturbaserad magnetiseringsdynamik

Electron Structure Based Magnetization Dynamics

Niklas Fejes

In this project a method used for performing accurate simulations on magnetizationdynamics based on constrained field density functional theory has been validated andused for performing computations on a few magnetic materials. The method has beenshown to simulate systems consisting of iron well, but there are still problems withsimulations of alloys containing both magnetic and non-magnetic materials.

ISSN: 1401-5757, TVE 13 013Examinator: Martin SjödinÄmnesgranskare: Teresa Zardán Gómez de la TorreHandledare: Anders Bergman

Innehåll1 Populärvetenskaplig sammanfattning 4

2 Introduktion 52.1 Problembeskrivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Simuleringsprogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Simuleringsmiljö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Teori 73.1 Landau–Lifshitz–Gilberts rörelseekvationer . . . . . . . . . . . 73.2 Atomistic Spin Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Constrained Field Density Functional Theory . . . . . . . . . 93.4 Täthetsfunktionalteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Resultat 114.1 Metodvalidering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1.1 Fe-B2-systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Simulerade system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2.1 Legeringar av järn-platina . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.2 Legering av järn-palladium . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.3 Nickel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Diskussion 155.1 Fe-B2-systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Järn-platina-systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Järn-palladium-systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.4 Nickel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Slutsatser 166.1 Vidareutveckling och förbättringar . . . . . . . . . . . . . . . 17

3

1 Populärvetenskaplig sammanfattning

Inom många forskningsområden innehållandes magnetiska material är detav intresse att veta hur magnetiseringen i materialet förändras med tiden.Exempel på dessa områden är lagringsmedium som t.ex. hårddiskar, där mag-netiseringens riktning avgör om en bit är en etta eller en nolla.

Fysiken bakom detta är mycket komplicerad att räkna på, då varje enskildatoms magnetiska egenskaper påverkar materialet på makronivå. Genom attutföra storskaliga simuleringar på atomkluster kan man förutspå hur dennamagnetiseringsdynamik går till. En metod för sådana simuleringar har imple-menterats i en simuleringskod kallad UppASD , som idag är en väl etableradmetod för att utföra dessa beräkningar.

Denna rapport redovisar ett projekt som har gått ut på att validera ett al-ternativt tillvägagångssätt till den metod UppASD använder för att utföradessa beräkningar. Den metod UppASD använder har nämligen ett antal be-gränsningar gällande vilka system som kan simuleras, då vissa antagandengörs som inte kan appliceras på alla system. Dessa begränsningar kan över-kommas genom att en mer noggrann metod används, som dock medför attberäkningarna tar ca 10 000 till 100 000 gånger så lång tid att genomfö-ra.

Bland de system som inte fungerar med UppASD, men bör fungera medden nya metoden finns bland annat ren nickel och legeringar innehållandesplatina eller palladium. Dessa metaller är intressanta för forskning inom da-talagring, då legeringar med dessa ämnen experimentellt har visats sig hamycket intressanta magnetiseringsegenskaper.

Projektet har visat att den nya implementationen fungerar väl för vissa sy-stem, men att det fortfarande finns problematik som måste överkommasför att programmet ska fungera med några av de intressantare legeringar-na.

4

2 Introduktion

Magnetiseringsdynamik – teorin om hur magnetiseringen i material ändrasmed tiden – är ett relevant ämne inom alla forskningsområden där god kon-troll över magnetisering är viktigt. Bland dessa områden finns t.ex. elkrafts-teknik, olika typer av sensorer, och datalagring så som hårddiskar.

Magnetiseringsegenskaperna hos ett material bestäms av dess egenskaper påatomär nivå, så för att kunna förutspå dessa egenskaper och den dynamikde ger upphov till i ett material krävs följaktligen detaljerad och noggrannteori.

För att möjliggöra simuleringar av de processer som sker på atomär nivåi magnetiska material har det under de senaste åren utvecklats en beräk-ningsmetod som har implementerats i simuleringskoden UppASD (UppsalaAtomistic Spin Dynamics Package) . Metoden kan göra effektiva och i bästafall noggranna beräkningar, och klarar av studier på system innehållandesallt mellan 2 atomer till 1 miljard atomer på en tidsskala från hundratalsfemtosekunder upp till nanosekunder. Implementeringen är en etablerad ochvälavvägd metod för att simulera magnetiseringsdynamik på atomär nivå,men metoden har vissa begränsningar.

En av dessa är att metoden inte är helt tillförlitlig för vissa system, då deapproximationer som görs för att effektivisera metoden inte är lämpliga föralla system. Bland dessa finns ren nickel och legeringar innehållandes platinaeller palladium, som är mycket intressanta för forskning inom bland annatdatalagring.

Genom att utföra delar av den ovan nämnda metoden på ett mer direktsätt kan man förbättra noggrannheten för de system för vilka metoden intefungerar på bekostnad av att simuleringarna blir mer beräkningstunga. Dettakan implementeras genom att man beräknar det effektiva magnetiska fältsom påverkar varje lokalt spinnmoment med en iterativ metod föreslagen avB. Újfalussy et al [1].

Implementationen kommer vara mycket begränsad i jämförelse med UppASDpå grund av att den blir så pass beräkningstung, men för mindre systemkommer den ändå kunna vara användbar. Med metoden kan man förutom attstudera dynamiken också hitta grundtillståndet för den magnetiska ordningenvid ändliga temperaturer, vilket kan göras utan att man behöver gå upp isamma systemstorlekar som de UppASD klarar av.

5

2.1 Problembeskrivning

Projektets främsta mål har varit att verifiera och se över en implementa-tion av den iterativa metoden genom att jämföra denna med simuleringarbaserade på andra metoder för några enkla modellfall. Efter att detta gjortsundersöktes också ett par olika system innehållandes material som simulerasdåligt med den gamla metoden.

2.2 Simuleringsprogram

För att simulera spinndynamiken används idag ett programpaket som kallasUppASD . Detta program simulerar ett systems spinndynamik enligt Lan-dau–Lifshitz–Gilberts rörelseekvationer (LLG) utgående från ett antal para-metrar som beskriver systemets Hamiltonian, som i sin tur bestämmer deteffektiva fält som ingår i LLG:s rörelseekvation. Dessa parametrar beräknasinnan simuleringarna med ett program kallat RS-LMTO-ASA (Real SpaceLinear Muffin-Tin Orbitals within the Atomic Sphere Approximation). Somtidigare nämnt gör man dock här en approximation, nämligen att paramet-rarna till denna Hamiltonian (speciellt elektronkonfigurationen) inte ändrasmed tiden utan är konstanta medan tidsstegningen av systemet pågår. Förde system där man inte kan göra denna approximation måste alltså en alter-nativ metod användas, och det är implementeringen av en sådan metod somhar studerats och validerats i detta projekt.

Det nya programmet, som fortfarande är under utveckling, är en samman-slagning av UppASD och RS-LMTO-ASA, där dynamikdelen från UppASDhar satts in i RS-LMTO-ASA. Denna implementation kallas härefter förRS-ASD . Istället för att beräkna det effektiva fältet genom en Hamiltoni-an (så som UppASD gör), så används i detta program den tidigare nämndaiterativa metoden föreslagen av Újfalussy et al.

2.3 Simuleringsmiljö

De simuleringar som gjorts under projektets gång har till större delen ge-nomförts på resurser tillhandahållna av SNIC genom Uppsala Multidiscipli-nary Center for Advanced Computational Science (UPPMAX) under projektp2012186, och sammanlagt har över 2000 CPU-timmar använts.

6

3 Teori

För att utföra elektronstrukturberäkningar effektivt används en kvantme-kanisk modell kallad täthetsfunktionalteori (DFT), som utgår från att manbetraktar elektronerna i ett system som en elektrontäthet istället för våg-funktioner. Utifrån denna modell kan man med god noggrannhet räkna utegenskaper så som energier och krafter för material, men också magnetis-ka egenskaper som grundtillståndskonfigurationer och magnetiska växelverk-ningar kan beräknas. Denna modell används flitigt inom forskning kringmagnetiska material, och ett tecken på att modellen har haft stor betydelseär att Walter Kohn, som hade en ledande roll i utvecklingen av DFT, ficknobelpriset i kemi år 1998.

Utöver beräkningar av dessa grundtillståndsegenskaper är det av stort in-tresse att undersöka hur de magnetiska egenskaperna förändras när materialutsätts för externa magnetiska fält eller elektriska strömmar. Detta områ-de kallas magnetiseringsdynamik, och är viktigt för tillämpningar där maneftersträvar kontroll över magnetiseringen av material.

3.1 Landau–Lifshitz–Gilberts rörelseekvationer

Magnetiseringsdynamiken i ferromagnetiska material har länge studerats medmetoder baserade på Landau–Lifshitz–Gilberts rörelseekvationer (LLG), därtidsutvecklingen beskrivs av ekvationen

dM

dt= −γM×B+ α

γ

MM× [M×B]. (1)

I ekvationen beskriver den första termen precessionsrörelsen som momentenutför i dynamiken, som till storleken bestäms av den gyromagnetiska faktornγ. Den andra termen beskriver en fenomenologisk dämpning som sker tillföljd av att olika mekanismer gör att momenten tappar energi och vinkelmo-ment med tiden. Hur stor dämpning denna term ger bestäms av α-faktorn,och realistiska värden för denna är för järn i storleksordningen 0,005 – 0,1[2].

7

3.2 Atomistic Spin Dynamics

Med dessa metoder betraktas vanligen M som ett kontinuerligt magnetfält,vilket fungerar när man räknar på längdskalor i mikrometerstorlek. Vill mangå ned på atomnivå måste man dock gå ifrån den kontinuerliga modellen ochistället se systemet som att varje magnetisk atom har ett eget lokalt spinn-moment. Detta tillvägagångssätt med atomisk upplösning kallas atomisticspin dynamics (ASD), och även med denna metod kan magnetiseringsdyna-miken beskrivas av en LLG-ekvation.

En härledning av en ASD-baserad beskrivning av LLG:s rörelseekvation görsav B. Skubic et al. i [2], och leder fram till ekvationen

dMi

dt= −γMi ×Beff

i + αγ

Mi

Mi × [Mi ×Beffi ]. (2)

I (2) beskrivs tidsutvecklingen för varje enskilt spinn Mi, och ekvationengäller enbart om magnetiseringen kan beskrivas som lokala moment. För attkunna använda (2) måste man beräkna det effektiva fält Beff

i som verkar påvarje atom i, vilket kan göras på ett antal olika sätt.

Det är på den här punkten RS-ASD skiljer sig från UppASD , då man iRS-ASD använder en metod som är noggrannare men samtidigt mer beräk-ningstung än UppASD.

Det tillvägagångssätt UppASD använder är mycket effektivt, och går ut påatt Hamiltonianen som beskriver spinnsystemet i fråga används för att tafram det effektiva fältet. Om man har en Hamiltonian H för ett system kannämligen fältet räknas ut enligt

Beffi = −∂H

∂Mi

.

Att ställa upp en Hamiltonian för ett system är dock inte alltid trivialt, utanockså detta kan göras på ett antal olika sätt. Det vanligaste tillvägagångs-sättet är att använda Heisenberg-Hamiltonianen med ett antal extra termertillagda för att fånga upp diverse växelverkningar.

Heisenberg-Hamiltonianen skrivs som

H = −1

2

∑i,j,i6=j

Jij Mi ·Mj, (3)

8

där kopplingen mellan Mi och Mj bestäms av Heisenberg-växelverkan Jij,d.v.s. den energi som krävs för att rotera två spinn relativt varandra. Tilldenna kan man sedan lägga till ett antal andra termer som gör att övrigaväxelverkningar tas med, som exempelvis dipolinteraktioner och magnetiskaanisotropier som beskriver energin som krävs för att rotera momenten gente-mot kristallstrukturen. Dessa termer finns mer noggrant beskrivna i [2].

Vid simuleringar med UppASD kan man bestämma vilka av växelverkning-arna som ska räknas med, och parametrarna till Hamiltonianen kan gene-reras genom DFT-beräkningar. Genom att inkludera fler växelverkningar iberäkningarna och göra DFT-beräkningarna mer noggranna kan man väganoggrannhet mot beräkningstid, men det finns dock problem med modellensom man inte kan ta sig runt genom att göra detta.

Den stora nackdelen med Heisenberg-modellen är att växelverkningarna Jiji (3) antas vara oberoende av den magnetiska konfigurationen och vinkelnmellan de magnetiska momenten hos atomerna i och j. Denna approximationstämmer sällan överens med de simulerade systemen, men den har visat sigfungera bra för många metalliska magnetiska system. För system där denmagnetiska konfigurationen kan ändras drastiskt kan detta antagande dockgöra att Hamiltonianen inte blir tillräckligt noggrann för systemet.

3.3 Constrained Field Density Functional Theory

Ett alternativt tillvägagångssätt som inte har detta problem är att helt und-vika användandet av en Hamiltonian och istället använda DFT-beräkningarför att direkt räkna ut det effektiva fältet för varje atom. Att göra dettaär jämfört med att beräkna fältet från en Hamiltonian mycket mer beräk-ningstungt, men för att komman ifrån den problematiska approximationen iHeisenberg-modellen är detta ett nödvändigt val.

Det är detta som görs i implementationen av RS-ASD , där den iterativametoden föreslagen av Újfalussy används för att beräkna momenten och deteffektiva fält som påverkar dessa i varje tidssteg.

Metoden som föreslagits baseras på constrained field DFT (CF-DFT), ochgår ut på att man för varje atom hittar det magnetiska fält som stabili-serar atomen till ett jämviktsläge. Detta tvingande fält (eng. constrainingfield) kan sedan identifieras som att vara det effektiva fältet med omvänttecken. Med metoden beräknar man i varje tidssteg genom en iterativ algo-ritm moment och fält för varje atom tills dess att både momentet och fältetkonvergerar.

9

3.4 Täthetsfunktionalteori

Oberoende av vilket tillvägagångssätt man väljer kommer dock simulering-arna alltid innehålla någon form av DFT-beräkning. För att utföra dessafinns ett flertal olika implementationer som kan användas, där den huvud-sakliga skillnaden är effektiviteten och noggrannheten i beräkningarna. Föratt simuleringarna inte ska bli alltför beräkningstunga används en DFT-implementation som är mer effektiv än noggrann i bådeUppASD och RS-ASD .

Täthetsfunktionalteorin kommer från att man kopplar isär den snabba elektron-rörelsen från atomkärnans långsammare rörelse, samt att man betraktargrundtillståndsenergin som en funktion av elektrontätheten istället för elektro-nernas vågfunktioner. Genom att göra detta kan man härleda en DFT-variantav Schrödingerekvationen, som går under namnet Kohn-Sham-ekvationenoch ser ut som följer.

[−∇2 + veff(r)]ψi(r) = εiψi(r). (4)

Här har den effektiva potentialen veff formen

veff = vext + 2

∫n(r)

|r− r′|dr′ + vxc(r), (5)

där vext är den externa potentialen från kärnan. Den andra termen i (5)kommer från Coulomb-interaktionen med elektrondensiteten, och den tred-je från ”exchange-correlation”-potentialen. Mer detaljerade härledningar ochbeskrivningar av teorin läggs fram av W. Kohn och L. J. Sham i [3].

Basfunktionerna ψi(r) för elektrontätheten kan väljas fritt bland ett stortantal baser, där den Gaussiska basen är vanlig för kvantkemiberäkningar påmolekyler, och planvågs-basen är vanlig vid beräkningar på oändliga perio-diska fasta material.

I RS-LMTO-ASA och RS-ASD används dock en lite ovanligare bas som förtillämpningarna i det här projektet är mycket effektiv, och som står bakomförkortningen RS-LMTO-ASA [4]. ”Real Space”-prefixet har att göra med me-toden som utför DFT-beräkningarna, medan ”Linear Muffin-Tin Orbitals”beskriver hur potential-landskapet ser ut för elektronerna med dessa bas-funktioner. Detta tillsammans med approximationen att elektrontätheten ärsfäriskt symmetrisk runt atomkärnorna (Atomic Sphere Approximation) ska-par en mycket specialiserad och effektiv bas för DFT-beräkningarna.

10

4 Resultat

4.1 Metodvalidering

För att verifiera att den nya koden fungerar som den ska är det lämplig attjämföra resultatet av körningar mot resultatet av körningar med andra meto-der på samma system, så att man kan se att de båda metoderna ger sammaeller liknande resultat. I och med att man använder olika modeller för attbeskriva systemens dynamik bör man dock inte förvänta sig att modellernauppför sig på precis samma sätt.

Då vi främst är intresserade av att verifiera att metoderna går mot sammajämviktsläge har samtliga system som har simulerats under projektets gångkörts vid temperaturen 0 K och med dämpningsparametern satt till α = 0,5.Hade vi haft en ändlig temperatur skulle vi fått med en termisk fluktuationi momentrörelserna, vilket skulle göra att resultaten blir svårare att jämföra.Att dämpningsparametern är större än vad som är realistiskt bör inte skapaproblem då parametern ej påverkar jämviktsläget, och att den sätts till dettavärde är för att vi då får snabbare konvergens mot jämviktsläget vilket ärgynnsamt för beräkningarna.

4.1.1 Fe-B2-systemet

För att validera metoden har främst ett system kallat Fe-B2 studerats. Dettaär ett system som beskriver järn i sin naturliga kristallstruktur som kallasbody-centered cubic (bcc). Strukturen visas i Figur 1 och är uppbyggd dels avett kubiskt nät av atomer, och dels av atomer centrerade inuti varje sådankub. I B2-strukturen beskrivs sedan momenten på så sätt att samtliga ato-mer i den kubiska strukturen ges samma moment, medan de kubcentreradeatomerna får samma moment. Systemet simuleras sedan som en kubcell medperiodiska randvillkor, där dynamiken styr hur de två olika momenten rörsig.

Vid simuleringarna initieras de två momenten i olika riktningar, och enligt te-orin vill nu de magnetiska momenten ställa in sig i en ferromagnetisk ordningmed alla moment i samma riktning. Detta sker enligt dynamiken som beskrivsav LLG:s rörelseekvationer vilket ger en spiralformad rörelse av momentenin mot momentens ”genomsnittliga” riktning, som kan ses i Figur 2.

11

-0.200.2 -0.4

-0.20

0.20.4

00.20.40.60.81

z

x y

z0

5

10

15

20

tid/fs

Figur 1: Kristallstrukturen body-centered cubic (bcc).

Figur 2: Den spiralformade rörelse de två momen-ten i Fe-B2 utför under LLG:s rörelseekvationer,simulerade med UppASD.

Fe-B2-systemet beskrivs väl med UppASD, och körningar från dessa är därförbra att använda som referens när man undersöker simuleringar av systemetmed RS-ASD .

Under projektets gång har detta system studerats med RS-ASD med mångaolika kod- och parametervariationer som gett varierande resultat. I börjanav projektet upptäcktes ett problem med att momenten gick mot ett mini-ma som inte stämde överens med UppASD, där systemet ville gå ifrån denferromagnetiska ordningen till en ordning där det var ca 10 graders vinkelmellan de två momenten. Detta ledde till att buggar i koden hittades ochlöstes, och efter ytterligare iterationer av körningar med indikationer på attdelar av programmet inte var helt korrekta har programmet befriats från ettantal mindre buggar.

Den senaste versionen av programmet simulerar nu systemet på ett sätt somstämmer överens med resultaten från UppASD. Dock är resultaten aningenannorlunda vilket kan förklaras med att olika modeller används. För bådakörningarna initieras de två momenten till att vara mitt emot varandra, ochmed samma vinkel från z-axeln som visas i Figur 2. Med denna systemupp-ställning rör sig momenten i samma bana och konvergerar mot samma rikt-ning för både UppASD och RS-ASD , men RS-ASD rör sig långsammare junärmare den kommer z-axeln, vilket kan ses i Figur 3.

12

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.81

0 50 100 150 200 250tid / fs

UppASD

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.81

0 50 100 150 200 250tid / fs

RS-ASD

xyz

xyz

Figur 3: Momentriktningens förändring i tiden för en av atomerna i Fe-B2-systemet, simulerat med UppASD respektive RS-ASD .

Värt att notera är också hur lång tid det tar att köra respektive program. FörUppASD tar simuleringen av Fe-B2-systemet ett par sekunder för att beräknaca 2500 tidssteg. Med samma modelluppställning krävs det med RS-ASDnärmare två dygns beräkningstid för att beräkna samma antal tidssteg.

4.2 Simulerade system

Utöver Fe-B2 har också ett antal system som inte kan simuleras med UppASDundersökts. Vad dessa system har gemensamt är att de lokala spinnmomentensstorlek ändras drastiskt beroende på den globala magnetiska ordningen. Desystem som har studerats är legeringar av järn-platina och järn-palladium,och att magnetiseringen av atomerna förändras i dessa system beror på attplatina och palladium normalt är omagnetiska, men är mottagliga för magne-tisering från andra atomer. Att atomerna tillåts avmagnetiseras helt i dessasystem gör dock att RS-ASD i sin nuvarande form får konvergensproblemi iterationsalgoritmen, vilket leder till att simuleringarna fastnar utan attkunna röra sig framåt i tiden.

13

4.2.1 Legeringar av järn-platina

Ett antal olika system med legeringar av järn-platina har studerats, där an-talet atomer av varje slag i enhetscellen har varierats. Dock så har samtligasystem direkt eller efter ett antal iterationssteg fastnat på grund av tidigarenämnda konvergensproblem. Detta beror troligen på att elektronkonfigura-tionen för platinaatomen ändras så att atomen blir helt eller nästan avmag-netiserad, vilket gör att iterationsalgoritmen inte kan konvergera.

4.2.2 Legering av järn-palladium

Ett system som visat sig simuleras utan konvergensproblem är en legering därenhetscellen innehåller tre järnatomer och en palladiumatom. Simuleringsre-sultatet av en körning med RS-ASD visas i Figur 4, där man kan se attsystemet går mot ett minima där samtliga moment cirkulerar kring en axel,med två av järnmomenten mitt emot det tredje och palladiumets momentroterande vinkelrät runt axeln.

I Figur 4 visas systemets momentrörelse under en tidsperiod på 780 fs, däralla moment initialt är slumpmässigt riktade. För att simulera detta användesfyra kärnor på UPPMAX:s Kalkyl-kluster under ca fyra dygn.

-1-0.5

00.5

1 -1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

zPt

Fe-1Fe-2Fe-3

startpunkter

x

y

z

Figur 4: Momentrörelserna för ett system med järn-palladium, under en tidsperiodpå 780 fs.

14

4.2.3 Nickel

Ett system med ren nickel bestående av 128 atomer har förberetts underprojektet, men inte startats på grund av osäkerheten kring konvergensen ochatt detta system är mer beräkningstungt än de andra.

5 Diskussion

5.1 Fe-B2-systemet

Som visat i Figur 3 ger de två implementationerna liknande resultat närde simulerar Fe-B2-systemet. Då momenten rör sig i samma spår för bådeRS-ASD och UppASD kan man dra slutsatsen att implementationerna åt-minstone konvergerar mot samma värden och att rörelserna som beskrivs ärlika tillförlitliga.

Det som skiljer implementationerna åt är hastigheten på momentrörelserna.Medan UppASD har en konstant vinkelhastighet runt z-axeln avtar vinkel-hastigheten när momenten närmar sig z-axeln för RS-ASD . Detta beror tro-ligtvis på att olika modeller används i beräkningarna, och att det är tidsmäs-sig skillnad är därför mindre relevant. Den viktigaste slutsatsen för systemetär att järn vid 0 K ställer in sig i en ferromagnetisk ordning, vilket är välkänt och därför ett bra första test för metoden. Att vinkelhastigheterna äri samma tidsskala med periodtider i femtosekundsområdet är också ett bratecken, då det tyder på att modellerna är lika varandra.

Alltså verkar båda implementationerna beskriva systemet i fråga väl, menRS-ASD har den stora nackdelen att körningarna tar i storleksordningen10 000 till 100 000 gånger så lång tid att köra. Detta omöjliggör körningarav samma storleksordning som UppASD, som kan hantera system med upptill en miljard atomer. Simulerar man dock enbart mindre system bör dockRS-ASD vara ett lämpligt alternativ om systemet inte beskrivs tillräckligtväl med UppASD.

15

5.2 Järn-platina-systemen

I legeringarna med järn och platina kan momenten från järnatomerna fåelektronkonfigurationen för platinaatomerna att ändras så att dessa blir helteller delvis avmagnetiserade. Detta skapar problem i iterationsalgoritmen,och gör att beräkningen av fältet inte konvergerar.

Detta problem kan möjligen lösas om man lyckas förbättra det sätt som”constraining”-fältet tas fram med i den iterativa algoritmen. Om inte dettagår att åtgärda kan möjligen en alternativ metod till den iterativa algoritmenanvändas, som räknar ut det effektiva fältet på ett mer direkt sätt.

5.3 Järn-palladium-systemet

Att systemet simuleras utan att fastna och går mot något som ser ut som ettminima är tecken på att metoden är stabil för det här systemet. Huruvidaminimat beskriver verkligheten är svårt att avgöra, men att systemet integår mot ett statiskt minima är möjligen (men inte nödvändigtvis) ett teckenpå att något inte är helt korrekt.

5.4 Nickel

Tanken bakom nickelsystemet som förberetts var att undersöka ämnets grund-tillstånd för den magnetiska ordningen vid ändliga temperaturer. Om tempe-raturen är över 0 K kommer nämligen varje atom få temperaturfluktuationer,och för att modellen då ska vara rimlig måste systemet vara större än de 2-och 4-atomiga system som annars har undersökts. Eftersom de magnetiskamomenten för nickel är väldigt känsliga gentemot den lokala magnetiska ord-ningen kommer troligtvis detta system lida av samma problem som uppstårmed Järn-platina-systemen.

6 Slutsatser

Projektet har visat att den metod för beräkning av magnetiseringsdynamiksom implementerats i RS-ASD fungerar för några system som UppASD kanhantera, och några system som den inte kan hantera. Programmet har dockproblem med att vissa system inte kan simuleras då delar av algoritmernasom används ibland inte konvergerar.

16

Den stora nackdelen med att använda denna metod jämfört med UppASDär att de noggrannare beräkningarna tar cirka 10 000 till 100 000 gånger sålång tid att utföra. Vill man dock enbart studera mindre system som intefungerar bra med UppASD kan denna metod vara ett bra alternativ.

Då implementationen inte kommer i närheten av den beräkningskapacitetUppASD klarar av bör RS-ASD ses som en komplementerande, och inte enalternativ metod till UppASD .

6.1 Vidareutveckling och förbättringar

I sin nuvarande form verkar alltså metoden som RS-ASD använder fungerasom den ska, men programmet har fortfarande problem med att ”constraining”-fältet i den iterativa algoritm som används inte konvergerar i alla situationer.Fokus bör därför nu läggas på att förbättra algoritmen som beräknar fältetså att detta kan hittas på ett stabilare sätt, och så att färre iterationer krävsför att nå stationäritet.

17

Referenser

[1] Constrained density functional theory for first principles spin dynamics,B. Újfalussy et al., J. Appl. Phys. 85, 4824 (1999).

[2] A method for atomistic spin dynamics simulations: implementation andexamples,B. Skubic et al., J. Phys.: Condens. Matter 20 (2008) 315203.

[3] Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects,W. Kohn; L. J. Sham, Phys. Rev. 140, A1133 (4A) (1965)

[4] First-principles real-space linear-muffin-tin-orbital calculations of 3d im-purities in Cu,S. Frota-Pessôa, Phys. Rev. B 46, 14570 (1992).

18