ELEKTROMAGNETSKI VALOVI 1. dio 11. siječnja 2017. Odjel za fiziku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek
ELEKTROMAGNETSKI VALOVI1. dio
11. siječnja 2017.
Odjel za fiziku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.1 Valna jednadžba
VAL = poremećaj kontinuiranog medija koji se širi stalnom brzinom i uz nepromjenjivi oblik
f (z , t)= f (z−vt ,0) = g (z−vt)
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.1 Valna jednadžba
ZADATAK 9.2 (Griffiths ItE 4th)
v = √ Tμ∂
2 f∂ z2 =
1v2
∂2 f
∂ t 2
Δ F = T sinθ '−T sin θ ≈ T ( tanθ '−tan θ)≈ T (∂z f|z+Δ z−∂ z f|z)≈ T∂
2 f∂ z2 Δ z
Δ F =(Δm)a = (μ Δ z )∂
2 f∂ t 22.N.Z.
∂2 f
∂ z2 =μ
T∂
2 f∂ t 2
klasična valna jednadžba
f (z , t)= g (z−vt )dobije se i derivacijom po u ≡ z−vt
f (z , t)= g (z−vt )+h( z+vt )opće rješenje:
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.2 Sinusni valovi
k =2πλ
ω =2π
Tv = λ
T
v = λT
= λ2π
2 π
T= ω
k
f (z , t)= A cos [k ( z−vt)+δ ]
od svih valnih oblika, najpoznatiji je sinusni val
fazaamplituda
fazna konstanta
valni broj brzina vala kutna frekvencija
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.2 Sinusni valovi
e iθ= cos θ+i sinθ
e iπ+1 = 0
zadivljujuća povezanost matematičkih konstanti
Eulerova formula
uobičajen je zapis pomoću kutne frekvencije
f (z , t)= A cos (kz−ω t+δ)
f (z , t)= A cos (−kz−ω t+δ)
val putuje slijeva nadesno
val putuje zdesna nalijevo
KOMPLEKSNA NOTACIJA
f (z , t)= Re ( A ei (kz−ωt+δ)) = Re ( Ae iδ e i(kz−ω t )) = Re (~A ei (kz−ω t) ) = Re (~f (z ,t ))kompleksna amplituda kompleksna
valna fukncija
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.3 Rubni uvjeti: refleksija i transmisija
Pretpostavimo da je u točki z = 0 uže (čija je masa po jedinici duljine μ1)
vezano za drugo uže (čija je masa po jedinici duljine μ2).
Napetost T je ista, ali su brzine valova različite:
v1 = √ Tμ1
v 2 = √ Tμ2
ODBIJANJE PRIJENOS
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.3 Rubni uvjeti: refleksija i transmisija
upadni val (z < 0)~f I (z ,t )= ~A I ei (k1 z−ω t )
reflektirani val (z < 0)~f R (z ,t )= ~A R e i(−k1 z−ω t )
transmitirani val (z < 0)~f T (z , t) = ~AT e i(k2 z−ω t )
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.3 Rubni uvjeti: refleksija i transmisija
kutna frekvencija je ista: ω = k1⋅v1 = k2⋅v2 ⇒v1
v2
=k2
k1
ukupni val (z < 0):~f (z , t)= ~A I e i(k1 z−ω t )
+~AR e i (−k1 z−ωt )
ukupni val (z > 0):~f (z , t)= ~AT ei (k2 z−ω t )
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.3 Rubni uvjeti: refleksija i transmisija
na spoju (z = 0) nema prekida krivulje: f (0 - , t) = f (0+ , t)
na spoju (z = 0) je krivulja glatka: ∂z f |0- = ∂ z f|0+
https://www.brightstorm.com/science/physics/vibrationandwaves/waveinversion/
δT = δ I
δR = δ I za μ2<μ1 tj. v2>v1
δR = δ I+180 zaμ2>μ1 tj. v2<v1
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.3 Rubni uvjeti: refleksija i transmisija
AT =2v2
v1+v 2
A I
AR =v2−v 1
v 1+v2
A I za v2>v1
AR =v1−v 2
v 1+v2
A I za v1>v 2
μ2=μ1 ⇒ AT = A I AR = 0
μ2≫μ1 ⇒ AT = 0 AR = A I
9.1 Valovi u jednoj dimenziji9.1.4 Polarizacija
transverzalni val - smjer titranja okomit je na smjer širenja
ravninu titranja određuje vektor polarizacije
~f (z , t)= n~A e i (k z−ωt )
n
∇⋅E =ρϵ0
∇⋅B = 0
∇×E =−∂t B
∇×B = μ0 J + μ0 ϵ0 ∂t E
GAUSSOV ZAKON
GAUSSOV ZAKONza magnetizam
FARADAYEV ZAKON
AMPEREOV ZAKONs Maxwellovim članom
9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.1 Valna jednadžba za E i B
Maxwellove jednadžbe
∇⋅E = 0
∇⋅B = 0
∇×E =−∂t B
∇×B = μ0 ϵ0∂t E
GAUSSOV ZAKON
GAUSSOV ZAKONza magnetizam
FARADAYEV ZAKON
AMPEREOV ZAKONs Maxwellovim članom
9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.1 Valna jednadžba za E i B
Maxwellove jednadžbe(u praznom prostoru, bez naboja i bez struja)
Primijenimo rotaciju na zadnje dvije ∇×(∇×v )= ∇ (∇⋅v )−∇2 v
9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.1 Valna jednadžba za E i B
∇2 E = μ0 ϵ0
∂2 E
∂ t 2 ∇2 B = μ0 ϵ0
∂2 B
∂ t 2
v =1
√μ0ϵ0= 3⋅108 m /s
μ0 ϵ0 =1
c2
zadivljujuća povezanost fizičkih konstanti
∂2 f
∂ x2 +∂
2 f∂ y2 +
∂2 f
∂ z2 =1v2
∂2 f
∂ t 2svaka od tri komponente svakogpolja zadovoljava 3D valnu jednadžbu
9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.2 Monokromatski ravni valovi
ODREĐENE FREKVENCIJE
ravni val – širi se u jednom smjeru (npr. z), a nema ovisnosti u druga dva smjera (npr. x i y) tj. polja su stalna u ravninama okomitima na smjer širenja
~E(z , t) =~E0 e i(k z−ω t )
~B(z , t) =~B0 e i(k z−ω t )
9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.2 Monokromatski ravni valovi
mora vrijediti ∇⋅E = 0 ∇⋅B = 0
pa je stoga (~E0)z = 0 (~B0)z = 0
odnosno EM valovi su transverzalni
9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.2 Monokromatski ravni valovi
Faradayev zakon povezuje amplitude električnog i magnetskog polja
~B0 =1c
( z×~E0)
dakle, polja su u fazi i međusobno okomita
za realne amplitude vrijedi B0 =E0
c
realna polja za ravni val koji putuje u pozitivnom smjeru osi zi polariziran je u x smjeru
po dogovoru, smjerpolarizacije je smjerelektičnog polja
E(z , t)= x E0cos (kz−ω t+δ)
B(z , t)= yE0
ccos(kz−ω t+δ)
9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.2 Monokromatski ravni valovi
ZADATAK 9.9 (Griffiths ItE 4th)
E(r , t) = E0 ncos (k⋅r−ω t+δ)
B(r , t) =1c
E0( k× n)cos (k⋅r−ω t+δ)
općenito, za polarizaciju i valni vektor polja EM ravnog vala sun k
B =1c
k×E
9.2 Elektromagnetski valovi u vakuumu9.2.3 Energija i količina gibanja EM valova
ZADATAK 9.10 (Griffiths ItE 4th)I ≡ ⟨S ⟩ =
12
cϵ0 E02
za EM ravni val (koji putuje u pozitivnom smjeru osi zi polariziran je u x smjeru) Poyntingov vektor je
S =1μ0
E×B
S =1μ0
zE0
2
ccos2
(kz−ω t+δ)
intenzitet – prosječna snaga po jedinici površine koju prenosi EM val
∇⋅E = 0
∇⋅B = 0
∇×E =−∂t B
∇×B = μ ϵ∂t E
GAUSSOV ZAKON
GAUSSOV ZAKONza magnetizam
FARADAYEV ZAKON
AMPEREOV ZAKONs Maxwellovim članom
Maxwellove jednadžbe(u tvari, ali bez slobodnih naboja i bez slobodnih struja)
9.3 Elektromagnetski valovi u tvari9.3.1 Širenje u linearnom mediju
v =1
√μϵ =cn
indeks loma I =12
v ϵE02
9.3 Elektromagnetski valovi u tvari9.3.2 Refleksija i transmisija za normalni upad
ZADATAK 9.14 (Griffiths ItE 4th)
R+T = 1
R ≡IR
I I
T ≡I T
I I
koeficijentrefleksije
koeficijenttransmisije
R = ( n1−n2
n1+n2)
2
T =4n1n2
(n1+n2 )2
za svjetlost koja iz zraka (n1 = 1) ulazi u staklo (n
1 = 1,5): R = 0,04 i T = 0,96
9.3 Elektromagnetski valovi u tvari9.3.3 Refleksija i transmisija za kosi upad
ZADATAK 9.16 (Griffiths ItE 4th)
Tri temeljna zakona geometrijske optike: (1) valni vektori upadnog, reflektiranog i transmitiranog vala leže u ustoj ravnini
(2) zakon odbijanja
(3) zakon loma (Snellov zakon)
θI = θR
sin θT
sin θ I
=n1
n2