-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1
1. Supstancija u magnetskom polju
Sva dosadanja razmatranja odnosila su se na magnetska polja
vremenski konstantnih struja uvakuumu. Pokazano je i da se dobijeni
rezultati sa dovoljnom tanou mogu primeniti i na sve onesupstancije
koje neznatno utiu na strno magnetsko polje i ponaaju se slino
vakuumu. U takvespada pre svih vazduh, ali iitav nizvrstih, tenih i
gasovitih materija, osim feromagnetika.
Sve supstancije, bez obzira na kvalitativne razlike u efektima,
podlone su magneenju i svo-jim prisustvom u razliitoj meri
doprinose promeni magnetskog polja u kojem se nalaze. Namagne-enost
supstancije potie od elementarnih magnetskih momenata elektrona i
jezgara atoma u razlii-toj meri. Kretanje elektrona u atomima je
sloeno i moe se razloiti na orbitalno kretanje i rotacijuoko
sopstvene ose (spin elektrona). Spin elektrona je njegova primarna
karakteristika koja se nemoe svesti na neto elementarnije i on igra
prvorazrednu ulogu u objanjenju ponaanja elektronau atomima,
molekulima i kristalima, kao u i nizu makroskopskih pojava. Posebno
vanu ulogu spinelektrona ima u prouavanju feromagnetskih
pojava.
Elektroni zajedno sa svojim orbitama obrazuju ravne
superprovodne strujne -konture, a sva-koj od njih odgovara po jedna
-struja kojoj se moe pridruiti odgovarajui elementarni
orbitalnimagnetski moment m (PREDAVANJE 8, II deo, str. 18)
antiparalelan momenatu koliine kretanja L (toje tzv.
magneto-mehaniki paralelizam. Kolinik modula magnetskog momenta
elektrona i momen-ta koliine kretanja |m|/|L| zove se orbitalni
iromagnetski kolinik, koji je ravan |e|/(2m), ak i zaeliptine
orbite. Da bi objasnili odreene anomalije u spektrima zraenja atoma
u magnetskom po-lju, Ulenbek (Uhlenbeck) i Gaudsmit (Gaudsmit)
jo1925. godine postavili su hipotezu da elektroniposeduju, pored
orbitalnih, i sopstvene magnetske momente ms (ili magnetske momente
spina) i mo-mente koliine kretanja Ls, koji su isto
kvantno-mehanikog karaktera. Kolinik modula |ms|/|Ls |zove
seiromagnetski kolinik spina. Njegovim indirektnim merenjem
(Richardson-Einstein-de Ha-asov i Barnettov efekat) utvreno je da
je njegova vrednost |e|/m, dakle, dvostruko vea od
orbital-nogiromagnetskog kolinika |m|/|L| (ova pojava zove se
magneto-mehanika anomalija).
Sa druge strane, protoni imaju svoje magnetske momente, koji su
znatno manji od orbitalnihmomenata elektrona, paak i do 650 puta
manji od sopstvenih magnetskih momenata elektrona ms.
Sve supstancije mogu se podeliti na dijamagnetike, paramagnetike
i feromagnetike. Kod dija-magnetika i paramagnetika namagneenost
iezava uklanjanjem stranog magnetskog polja, dok sekod
feromagnetika ona zadrava. Feromagnetici, ne samo da svojim
prisustvom znaajno menjajumagnetsko polje u kojem su nalaze, vemogu
da ga i samostalno stvaraju (permanentni magneti).
U dijamagnetike spadaju, npr., bakar (Cu), srebro (Ag), cink
(Zn), bizmut (Bi), olovo (Pb),sumpor (S), kremen, grafit, teni azot
i voda. Prefiks "dija" je grkog porekla, a jedno od njegovihznaenja
je "popreko". Kovanica "dijamagnetski" potie od naina ponaanja
dijamagnetskihtapo-va u magnetskom polju: oni tee da se postave
popreko na linije magnetske indukcije. Dijamagneti-zam je osnovno
magnetsko stanje materije i javlja se kod svih supstancija. S njim
u vezi je i dija-magnetski efekat, odnosno pojava indukovanih
struja i magnetskih momenata u atomima, koji teeda anuliraju
magnetski fluks strnog polja i da to polje oslabe. Dijamagnetski
efekat moe se objas-nitiak i pomou klasine teorije i Borovog
poluklasinog modela atoma (zainteresovani studenti otome mogu da
proitaju u udbeniku, str. 406-410).
U paramagnetike spadaju npr. aluminijum (Al), platina (Pt),
kiseonik i vazduh. I prefiks "pa-ra" je grkog porekla, a jedno od
njegovih znaenja je "uporedo". Kovanica "paramagnetski" potieod
naina ponaanja paramagnetskih tapova u magnetskom polju: na njih
deluje mehaniki mo-ment koji tei da ih postavi paralelno sa
linijama magnetske indukcije. Paramagnetici spadaju usupstancije sa
slabom magnetskom interakcijom izmeu atoma i molekula, pa je to i
razlog zbogkojeg kod paramagnetika dolazi samo do deliminog
usmeravanja magnetskih momenata atoma imolekula u smeru strnog
magnetskog polja, a to usmeravanje je izraenije ako je strno polje
jae.Usled toga se intenzitet magnetske indukcije kod paramagnetika
u strnom magnetskom polju ne-
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 2
znatno poveava, a taj efekat postaje sve manje izraen sa
porastom temperature. Paramagnetizamza razliku od dijamagnetizma
nije osnovna osobina supstancije, veposledica interakcionog
dejstvasila koje favorizuju orijentaciju elementarnih magnetskih
momenata u jednom pravcu i smeru. Naparamagnetike u magnetskom
polju sile deluju uvek u smeru porasta polja. Magnetsko polje
izrazi-tije deluje na paramagnetike nego na dijamagnetike: npr.
dejstvo polja na bakar-hlorid je 45 puta,a na teni kiseonik 3040
puta jae nego na tipine dijamagnetike.
U feromagnetike spadaju gvoe (Fe), kobalt (Co), nikal (Ni), dve
retke zemlje (danas jouvek bez odreene primene u elektrotrotehnici)
gadolinijum (Gd) i disprozijum (Dy) i vei brojlegura i jedinjenja u
kojima nema nijednog od navedenih elemenata. Kod feromagnetika
postoji ja-ka interakcija izmeu atoma i molekula, koji inae imaju
velike magnetske momente. Jaka interak-cija izmeu molekula sree se
joi kod antiferomagnetika i ferimagnetika. U feromagneticima
une-tim u strno magnetsko polje dolazi do pojave magnetske
indukcije velikog intenziteta, mada porasttemperature taj efekat
veoma mnogo naruava.
U pogledu magnetskih efekata i uticaja na magnetsko polje, svaki
atom ili grupa atoma moese zameniti ekvivalentnom strujnom konturom
u vakuumu, sa magnetskim momentom koji odgova-ra ukupnom magnetskom
momentu atoma ili grupe atoma. Na osnovu toga, uzorak supstancije
mo-e se zameniti mnotvom elementarnih kontura (-konture) u vakuumu
sa odgovarajuim Ampero-vim -strujama i magnetskim momentima. U
supstanciji koja prethodno nije bila namagneena i na-lazi se izvan
stranog magnetskog polja, magnetsko polje Amperovih -struja
makroskopski se naj-ee i ne moe zapaziti, jer je ono primetno smo u
neposrednoj blizini atoma. Ta pojava objanja-va se injenicom da su
svi elementarni magnetski momenti orijentisani potpuno statistiki,
dakle, usvim pravcima podjednako, te zato i ne postoji rezultantno
makroskopsko magnetsko polje. Meu-tim, kada se supstancija unese u
strno magnetsko polje (npr. nekih makroskopskih strujnih kontu-ra),
tada sve elementarne strujne konture tee da se pod dejstvom
elektromagnetskih sila postave ta-ko da njihovi magnetski momenti
budu kolinearni sa strnim poljem (videti PREDAVANJE 8-II
deo,str.17).Toj tendenciji suprotstavljaju se termiki uticaji,
usledega dolazi smo do delimine orijen-tacije-kontura i vektora
magnetskih momenata,to za posledicu ima pojavu namagneenosti
uzor-ka supstancije, odnosno pojavu sopstvenog magnetskog polja.
Kod dijamagnetika i paramagnetikanamagneenost iezava ukidanjem
strnog magnetskog polja,a kod feromagnetika ona se zadrava.Smo kod
njih se u odsustvu stranog magnetskog polja ne ponitavaju
elementarni magnetski mo-menti atoma i molekula, tako je kod
feromagnetika uoljivo prisustvo sopstvenog magnetskog polja.
Kao to se elementarna strujna kontura u potpunosti moe
okarakterisati svojim magnetskimmomentom, tako se i element
namagneene supstancije, koji je predstavljen mnotvom
Amperovih-struja, moe okarakterisati vektorskim zbirom momenata
svih elementarnih strujnih konturamu fiziki maloj zapreminiV.
Makroskopska veliina koja karakterie stanje namagneenosti u
ele-mentuV definisana je kolinikom:
Mm
V
V, (*)
i zove se vektor magnetizacije. U svakoj taki nenamagneene
supstancije vektor magnetizacije jenula-vektor. Ako u svakoj taki
namagneenog tela vektor M ima isti pravac i smer, za to telo kaese
da je homogeno namagnetisano, pa je M=N'm, gde je N' koncentracija
-kontura u okolini po-smatrane take, a m magnetski moment svake od
kontura. Intenzitet vektora magnetizacije M=|M|oigledno da ima
dimenzije [A/m]. Ispostavlja se da su kod dijamagnetika i
paramagnetika vektoriM i B kolinearni (MB) i da M linearno raste sa
porastom indukcije strnog magnetskog polja B,pa su zato te
supstancije linearne i izotropne u magnetskom pogledu. Kod
grupacija atoma u fero-magneticima takva kolinearnost izmeu M i B
ne postoji, kao ni linearna zavisnost izmeu M i B,pa se na tom
nivou feromagnetici ponaaju magnetski nelinearno i anizotropno.
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 3
Veliina koja karakterie namagnetisanost supstancije u nekoj
taki, odnosno koja izraavastepen orijentisanosti Amperovih-struja u
okolini te take, zove se vektor magnetske polarizacije ion je
definisan kao J=0M. Jedinica za J=|J| je [N/(Am)] (=) [T].
Na osnovu definicione relacije (*) za M, mnotvo elementarnih
magnetskih momenata u fi-ziki maloj cilindrinoj zapremini V=Sh
unutar namagneene supstancije (sl. 1a), uvek smoezameniti
ekvivalentnim magnetskim momentom MV. Ako je izvodnica cilindrine
zapremine Vkolinearna sa vektorom magnetizacije M i normalna na
malu ravnu povrveliine S, tada se zapre-minaV moe predstaviti na
ekvivalentan nain u magnetskom pogledu, vrlo tankom trakom (h0),
koja se podudara sa omotaem cilindra (sl. 1b) u kojoj postoji
Amperova -struja oznaenogsmera i intenzitetaIA, za koji su
magnetski moment trakem (m=IAS=IASn) i zapremine V,MV (MV=MSh)
jednaki (n-jedinini vektor normale na S; |n|=1). Odatle se dobija
da je M==(IA/h)n, a poto je M=Mn, to sledi da je M=|M|=IA/h.
S
S n SM
h
M
h
l
0 0S n SC
Ik
k-ta makroskopskastrujna kontura
IA
(a) (b)V
X
Obr
a~un
skism
erza
sabi
ranj
em
akro
skop
skih
iAm
pero
vih
stru
jau
vaku
umu
"+"
Sl. 1
Posmatrajmo sada proizvoljno usvojenu orijentisanu konturu C u
supstanciji, gde pored Am-perovihstrujaIA postoje i makroskopske
konture sa strujama Ik ( 1 )k , n , koje se kao beouzina lancu
zahvataju sa konturom C (sl. 1b). Naravno da u posmatranom sistemu
mogu postojati idruge makroskopske strujne konture koje se uopte ne
zahvataju sa konturom C, pa njihove strujene figuriu u Amperovom
zakonu o cirkulaciji vektora B u vakuumu, kada se ovaj primeni na
sistemmakroskopskih i Amperovih -struja. Ako jel-orijentisan
linijski element konture C, tada s obzi-rom na M=|M|, M=Mn i h=dln
(sl. 1b) sledi, Mh=Mln=Ml=IA. Ovaj rezultat se reimamoe iskazati
ovako: skalarni proizvod vektora magnetizacije M i orijentisanog
linijskog elemental u taki X proizvoljne konture C u magnetskom
polju u supstanciji, jednak je Amperovoj -strujiIA oko elementa u
taki X raunatoj u referentnom smeru vezanom po pravilu desne
zavojnicesa usvojenim smerom orijentacije konture (, "+", videti
sl. 1b). Kada je fiziki element l vrlomalil 0), tada se moe
napisati dal dl, pa na osnovu prethodnog i Stoksove teoreme
sledi:
0 0
A A AKroz
d d dUkupna Amperova struja krozkonturu C u referentnom
smeruvezanom po pravilu desne zavojnice
C S C Ssa usvojenom orijentacijom konture C
I I M l M S J Srot
0 00 0
A A0 00 0S
1 1lim d lim d Ova relacija vai u svakoj taki
magnetskog polja u sup s tan cijiS SSS S
M S J S J Mrot rot ,
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 4
gde je S0 proizvoljna povroslonjena na konturu C i orijentisana
u smeru vezanom po pravilu desnezavojnice sa usvojenom
orijentacijom konture, dok je JA vektor lokalne povrinske gustine
Ampe-rovih -struja u takama povri S0.
Poto se Amperove-struje i makroskopske struje nalaze u vakuumu,
toemo prvo primenitiintegralni oblik Amperovog zakona o cirkulaciji
vektora B u vakuumu na konturu C i sve struje:
0 A k 0 k( ) ( )Kroz
d dPo strujama svih makroskopskihk kC C C
kontura koje se zahvataju sa konturom C
I I I
B l M l
k( )0 0
0d : )(Po strujama svih makroskopskihkC
kontura koje se zahvataju sa konturom C
I , ,
B BM l H B HM M ,
k( )
d
(Po strujama svih makroskopskihkC
kontura koje se zahvataju sa konturom C
Integra ln i oblik generalisanog
Amperovog zakona.I
Zove se i teorema o cirkulaciji vektora , ili
zakon ukupne ili
H l H)tota lne struje.
. (**)
Vektor H u prethodnoj relaciji definisan kao B/0-M zove vektor
jaine magnetskog polja ili mag-netizaciono polje. Jedinica za jainu
magnetskog polja H=|H| je [A/m]. U sumu struja makroskop-skih
kontura [relacija (**)] struja Ik unosi se: (1) sa predznakom "+",
ako je istog smera sa obraun-skim smerom za sabiranje struja, koji
je vezan po pravilu desne zavojnice sa usvojenom orijentaci-jom
konture C (, "+", videti sl. 1b) i (2) sa predznakom "-", ako je
suprotnog smera od obraun-skog smera za sabiranje struja (sl.
1b).
Sada emo primeniti diferencijalni oblik Amperovog zakona na
makroskopske struje sa lokal-nom povrinskom gustinom J i
Amperove-struje sa lokalnom (povrinskom) gustinom JA:
0 A 0( ) ( ) B J J J Mrot rot
rot rotB
M H J0FHG
IKJ
( )Diferencija i ili loka i oblikgeneralisanog Amperovog
zakona
ln ln. (***)
Integralni i diferencijalni oblik generalisanog Amperovog zakona
vae, kako u vakuumu, ta-ko i u bilo kojoj materijalnoj sredini (u
dijamagneticima, paramagneticima i feromagnetici-ma). Tako npr. ako
se teorema o cirkulaciji vektora H primeni na toruse sa sl. 23 i
sl. 24(PREDAVANJE 8, II deo), ali u sluaju kada su njihova jezgra
od feromagnetika, dobija se:
H l FHG
IKJ z z zd d d [ ](0 ) ( )C C CH l H l H x
N I x ax a b
20 , ,b
, , ,l q
HN I
xx a H x a b 2 0 , ,b , , ,[ ] [0 ) ( )l q ,
pri emu se pravac i smer vektora H odreuje isto kao i vektora
B-po pravilu desne zavojnice(ti vektori su kolinearni u sluaju kada
je torusno jezgro magnetski izotropno). Integralni
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 5
oblik generalisanog Amperovog zakona izveden je za proizvoljnu
konturu C u vremenski kon-stantnom magnetskom polju. Takoe je i
diferencijalni oblik generalisanog Amperovog zako-na izveden za
vremenski konstantno magnetsko polje. Meutim, u sluaju kada je
magnetskopolje vremenski promenljivo, generalisani oblici Amperovog
zakona u integralnom i diferen-cijalnom obliku dobijaju sledei
sloeniji oblik:
d dd d ,
d dC S t t
D DH l J S H Jrot ,
gde je D vektor elektrinog pomeraja u posmatranoj sredini sa
magnetskim poljem H, dok jeS proizvoljna povroslonjena na konturu C
i orijentisana u smeru vezanom po pravilu desnezavojnice sa
usvojenim smerom orijentacije konture. Integralni oblik prethodne
jednaine po-znat je kao jedna od etiri integralne Maksvelove
jednaine makroskopskih elektromagnetskihpolja.
U vakuumu je M=0, pa izmeu vektora B i H postoji veza B=0H to
znai da za karakteri-zaciju magnetskog polja u vakuumu nisu
potrebna dva, veje dovoljan samo jedan vektor (B ili H).
U supstancijama koje su linearne i izotropne u magnetskom
pogledu (a takvi su praktino svidijamagnetici i paramagnetici),
vektor magnetizacije M uvek je kolinearan sa vektorom jaine
mag-netskog polja H, pa je zbog toga kod njih M=mH, gde jem
magnetska susceptibilnost (m je ne-imenovan broj). Poto je u svakoj
sredini B=0(H+M), to kod linearnih i izotropnih sredina
imamoB=0(H+M)=0(1+m)H. Ako se relativna magnetska permeabilnost
supstancije definie kao r==1+m, a apsolutna permeabilnost kao =0r
(r=0), tada je B=0(1+m)H=0rH=H. Je-dinica za magnetsku
permeabilnost je ista kao i za permeabilnost vakuuma [N/A2] ili
[H/m]. Koddijamagnetika jem 0, ali je r=1+m neznatno manje od
jedinice. Meutim, kod paramagnetikajem 0, dok jer=1+m neznatno vee
od jedinice.
Kod feromagnetika vai relacija B=0(H+M), ali kolinearnost M=mH
ne postoji. Meutim,kod njih se, ipak, mogu koristiti relacije M=mH
i B=H (B=|B|, H=|H| i M=|M|), vodei raun otome da je=0r,r=1+m i dam
ir nisu konstante, vevieznane funkcije intenziteta polja H.
Tela nainjena od linearnih, izotropnih i homogenih supstancija
(a u takve spadaju homogenidijamagnetici i paramagnetici), homogena
su, takoe i u magnetskom pogledu (odnosno homogenosu namagneena),
kada je vektor magnetizacije M u svim takama isti. Nehomogeno
namagneenotelo od homogenog feromagnetskog materijala nije homogeno
u magnetskom pogledu. Poto je kodhomogeno namagneenog tela M=Cst,
to je u svakoj njegovoj unutranjoj taki rezultantna
gustinaAmperovih struja JA=rot M=0. Ako jeC fiziki mala kontura
unutar homogeno namagneenog te-la u kome ne postoje makroskopske
struje (J=0), tada je:
d d d 0C S S
H l H S J Srot Ad d d 0C S S
M l M S J Srot ,
gde je S proizvoljna povrunutar tela, oslonjena na konturuC i
orijentisana u smeru vezanom popravilu desne zavojnice sa
orijentacijom konture. Magnetsko polje namagneene supstancije u
kojojnema makroskopskih struja (J=0) potie iskljuivo od
Amperovih-struja. Meutim, kako je u sva-koj taki unutar homogeno
namagneenog tela bez makroskopskih struja JA=0, to se zakljuuje
darezultantno magnetsko polje potie iskljuivo od Amperovih struja
na povri tela. Sadaemo odre-diti podunu gustinu JsA tih struja na
povri homogeno namagneenog tela. Posmatrajmo jedan jakouveani
delipovri takvog tela oko take X (sl. 2a). Vektori magnetskih
momenata m Amperovih-kontura oko te take su kolinearni, pa je
vektor JsA normalan na vektor magnetizacije M (koji jekolinearan sa
m) i vektor jedinine normale n povri oko take X. Za malu
pravougaonu konturuCmoe se napisati:
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 6
A sA0 0 0 0lim d cos sin , lim d lim d lim dh h h h
C C S S
M l M l J l
M l M l M S J Srot ,
sA sAsinJ M J M n (Amperove struje postoje u vakuumu),
ime smo doli do vane relacije koja povezuje vektore podune
gustine povrinskih Amperovihstruja i magnetizacije u svakoj taki
povri homogeno namagneene supstancije.
M
J sA
nPovr{inske Amperovestruje
l
0
(a)
X
l | |l
Sh/2h/2
C
I > 0 (struja navojaka)
(b)
N'
M
n
J sA
Sl. 2
Posmatrajmo veoma dug i tanak solenoid sa jezgrom od homogenog
materijala permabilnosti(sl. 2b). Pretpostavimo da je solenoid
ravnomerno i gusto motan, da je poduna gustina nje-govih navojaka
N' i da je struja navojaka vremenski konstantna sa intenzitetom I.
Magnetsko polje usolenoidu je homogeno intenziteta H=N'I i
indukcije B=N'I. Do ovog formalno dobijenog rezul-tata mogue je doi
i na sledei nain. Intenzitet vektora magnetizacije u solenoidu je
M=mH==(r-1)H=(r-1)N'I. Kako je gustina Amperovih struja u jezgru
JA=0, to se koristei sl. 2b moezakljuiti da se u bliskim delovima
dve susedne Amperove struje kompenzuju, a da jedino struje napovri
jezgra ostaju nekompenzovane i da se svode na rezultantnu povrinsku
Amperovu struju po-dune gustine JsA=Mn i intenziteta
JsA=|JsA|=M=(r-1)N'I. Zbog toga rezultantno magnetsko po-lje B u
solenoidu nastaje superpozicijom polja BI=N'I struje I i polja
BM=(r-1)N'I struje JsAu vakuumu, odnosno B=BI+BM=N'I+(r-1)N'I=N'I.
Kada je relativna permeabilnost jezgrasolenoida velika (r1), tada
je i poduna gustina dopunskih struja na njegovoj povri velika;
onajer-1 puta vea od podune gustine primarne struje solenoida
N'I.
Posmatrajmo homogeno namagneen permanentni magnet u obliku
neogranienog, pravogkrunog cilindra, koji se nalazi u vakuumu. U
takama u unutranjosti magneta je M=Cst i B=0M,dok je u vakuumu M=0.
Meutim, ako je takav magnet konane duine, u takama unutar
magnetasmerovi vektora B i H=B/0-M su suprotni, kao i |B|
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 7
na razdvojnoj povri dijamagnetika i/ili paramagnetika nisu od
interesa, poto izmeu tih sredinanema neke znaajnije razlike.
Dijamagnetici i paramagnetici vrlo slabo utiu na magnetsko polje
ukojem se nau, dok feromagnetici utiu jako.
Pretpostavimo da na razdvojnoj povri izmeu sredina 1 i 2 nema
makroskopskih struja (sl.3a), a zatim bilo gde postavimo
orijentisanu cilindrinu povrSc vrlo male osnovice S u
fizikompogledu i izvodnice koja normalno proseca povrDa bi se
izveli granini uslovi na smoj povripotrebno je pretpostaviti da u
graninom sluaju duina izvodnice cilindra h 0Neka su B1 i B2vektori
magnetske indukcije, a H1 i H2 jaine magnetskog polja u sredinama 1
i 2 respektivno napreseku S cilindra Sc i povri Normalne komponente
vektora B1 i B2 su B1n=B1n i B2n=B2n,respektivno, gde je n vektor
jedinine normale orijentisane povri S=Sn. Na osnovu zakona
okonzervaciji magnetskog fluksa imamo:
lim d ( ) ( )c
1 2 1n 2n 1n 2nhS
S B B S B B
z0 0B S B n B n .
Sc n
n
h
B1
B2
S
B1n
B2n
B1t
B2t
1
Sredina 1
Sredina 2
h
Sredina 1
Sredina 2
K
l
l
H1
H2
2
1
2
B1t
B1B1n
B2n
B2t
B2
(a)
(b)
(c)
Sl. 3
Pretpostavimo da je K orijentisana pravougaona kontura u ravni
vektora H1 i H2, vrlo malei-rine=|l| u fizikom pogledu i visine h
koja u graninom procesu tei nuli (sl. 3b). Takoe, nekaje i pravac
vektoral paralelan ravniNeka su tangencijalne komponente vektora H1
i H2 respek-tivno H1t i H2t. Poto na graninoj povri sredina 1 i 2
nema makroskopskih struja, tada u takama tepovri mora biti rot H=0,
pa i cirkulacija vektora H po konturi K mora biti ravna nuli:
1 2 1t 2t 1t 2t0lim d 0hK
H H l H H
H l H l H l .Poslednje dve relacije ukazuju na neprikidnost
normalnih komponenti magnetske indukcije i
tangencijalnih komponenti vektora jaine magnetskog polja na
razdvojnoj povri dve sredine. Tedve relacije zovu se granini
uslovi. Koristei ih zajedno sa sl. 3c moe se izvesti zakon
prelamanjalinija magnetskog polja na razdvojnoj povri dve sredine
bez makroskopskih struja:
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 8
tgtg
1
2
1t 1n
2t 2n
1t
2t
1 1t
2 2t
1
2
B B
B BBB
HH
//
.
Pri prelasku iz sredine vee, u sredinu manje magnetske
permeabilnosti, linije magnetskogpolja priklanjaju se ka normali na
razdvojnu povr. U posebnom sluaju kada je sredina 1 vazduh
ilivakuum, a sredina 2 izrazit feromagnetik () iz poslednje
relacije zakljuuje se da e linijemagnetskog polja u vazduhu ili
vakuumu praktino biti normalne na razdvojnu povr, tj. da 0,u sluaju
kada je 02 /2.
3. Feromagnetski materijali i neke njihove osobine
Feromagnetski i njima slini materijali danas imaju veliku i
raznovrsnu primenu u elektroteh-nici za izradu: (1) jezgara
elektrinih maina (obrtnih generatora, motora i transformatora) i
(2) stal-nih magneta i jezgara elektromagneta. Magnetska
permeabilnost r feromagnetika obino je veomavelika i zajedno sa
intenzitetima magnetizacije M=|M| i indukcije B=|B| predstavlja
sloenu i vie-znanu funkciju jaine polja H=|H|. Meutim, M i B ne
zavise jedino od jaine polja H u odree-nom trenutku, vei od jaine
tog polja kojoj je materijal ranije bio podvrgnut, odnosno M i B
zaviseod tzv. "istorije magneenja" materijala. Ta pojava svojstvena
je smo feromagneticima i zove sehisterezis (grki:=zakanjavam). Sada
emo prvo ukratko objasniti poreklo feromagne-tizma i opisati
Vajsovu fenomenoloku teoriju domena, a zatim emo razmotriti krive
magneenjaferomagnetskih materijala, koje imaju veliki znaaj u
elektrotehnici. Napominjemo da je formiranjedomena i prirodu
unutranjih sila koje dovode do spontane namagneenosti supstancije,
uspenoobjasnila tek kvantna teorija.
Atomi i molekuli feromagnetika u sutini su paramagnetski, jer
poseduju nekompenzovanemagnetske momente (kao i atomi i molekuli
paramagnetskih materijala). Izuavanjeiromagnetskihpojava kod
feromagnetika jasno ukazuje da su za pojavu feromagnetizma
najodgovorniji nekom-penzovani magnetski momenti spina elektrona u
nepopunjenim unutranjim ljuskama, a da valentnielektroni nisu
nosioci jakih magnetskih momenata zbog slabe veze sa atomskim
jezgrom i njihovepodlonosti sadejstvu sa elektronima susednih atoma
u obrazovanju molekula i kristala. Pri takvimmeusobnim dejstvima
hemijskog karaktera sopstveni magnetski momenti spina valentnih
elektro-na se kompenzuju. Dakle, orbitalni magnetski momenti
elektrona nisu od primarnog znaaja zanastanak
feromagnetizma.Magnetska sprega izmeu atoma i molekula kod
paramagnetika je relativ-no slaba, a kod feromagnetika vrlo jaka.
Usled toga se u feromagneticima formiraju velike grupacijeod po
10121015 molekula sa magnetskim momentima savreno orijentisanim u
istom pravcu i sme-ru (sl. 4a). Takve grupe molekula zovu se
Vajsovi domeni i oni u sutini predstavljaju stalne magne-te
namagnetisane do zasienja. Linearna dimenzija Vajsovih domena kod
gvoa kree se od 10-3[cm] do nekoliko [mm], pa ak i do nekoliko [cm]
uistim monokristalima. Osim toga, na granica-ma domena postoje vrlo
jaka magnetska polja, zahvaljujui kojima su Vajsovi domeni
eksperimen-talno i uoeni jo1931. godine (F. Bitter). Ako se uzorak
feromagnetskog materijala lepo izbrusi ipremae koloidnim rastvorom
finog praha oksida gvoa (npr. magnetita), ija su zrnca
prenikamanjeg od 1 [], tada dolazi do sakupljanja tih zrnaca na
granicama domena, usledega se obrazujufigure koje odgovaraju
oblicima domena i mogu se posmatrati mikroskopom. Kada
feromagnetiknije namagneen, magnetski momenti domena su haotino
orijentisani u svim pravcima (kao i kodparamagnetika sl. 4b), pa je
rezultantna makroskopska namagneenost ravna nuli. Izmeu
susednihdomena sa razliitim pravcima rezultantnih magnetskih
momenata postoje prelazni slojevi (ili gra-nice domena) debljine
10-810-6 [m] u kojima je promena pravca magnetskih momenata
postepena.Ti slojevi zovu se Blohovi zidovi.
Prvo objanjenje spontane namagneenosti feromagnetika na nivou
domena dala je kvantnateorija. Naime, Hajzenberg je pokazao da su
za orijentaciju magnetskih momenata atoma unutar do-
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 9
mena odgovorne tzv. sile razmene, koje nemaju objanjenje u
klasinoj fizici, a analogne su silamakoje obezbeuju stabilnost
molekula. Radijus dejstva tih sila je mali i praktino ogranien samo
nabliske atome. Kada se posmatra uzorak feromagnetika (svi
feromagnetici su kristalne strukture), ta-da u oblasti koja
odgovara Vajsovom domenu linearne dimenzije reda 10-2 [mm] sa
priblino 1015atoma supstancije izmeu elektrona u susednim jonima
deluju vrlo jake elektrostatike sile kojeutiu na orijentaciju
magnetskih momenata elektrona i ekvivalentne su dejstvu magnetskog
poljaindukcije B=105 [T]. Kristalna zrna, odnosno Vajsovi domeni,
anizotropni su u magnetskom pogle-du, a njihove kristalografske ose
orijentisane su statistiki. Zbog toga se u feromagnetskim telima
samnotvom domena anizotropija kompenzuje i tela se ponaaju
makroskopski magnetski izotropno.
(a) (b)
Sl. 4
Usmeravajue dejstvo prethodno pomenutih sila naruavaju termike
oscilacije kristalne re-etke. Iznad temperature TCf koja se zove
Kirijeva feromagnetska temperatura, termike oscilacijepotpuno
onemoguavaju paralelnu orijentaciju magnetskih momenata jona
kristalne reetke i fero-magnetik tada poinje da se ponaa kao obian
paramagnetik.
M
M2M1
(a) (b)
(c) (d)
M
M 0m
m
m
m
Sl. 5
Magnetska polarizacija kod feromagnetskih materijala ostvaruje
se sa maksimalnom uree-nou magnetskih momenata atoma i molekula,
koja u okviru domena postojiak i u odsustvu str-nog magnetskog
polja. Meutim, istraivanja pokazuju da pored magnetskih momenata
karakteris-tinih za atome dijamagnetika, paramagnetika i
feromagnetika postoje i drugi specifini tipovi pola-rizacije
karakteristini za neke druge materijale sa velikom primenom u
elektrotehnici (kao to su,recimo, feriti). Na sl. 5a prikazan je
deo prostorno centrirane kubne kristalne reetke -gvoa sajednim
atomom u sreditu elementarne elije kristala. Magnetski momenti
atoma m (crni kruii samalom strelicom) pokazuju visok stepen
usmerenosti, tako da u zavisnosti od temperature T, re-
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 10
zultantna gustina magnetskog momenta M (koja makroskopski
karakterie stanje namagneenosti),moe biti vrlo velika. Meutim, kada
temperatura T dovoljno poraste (TTCf), tada zbog
haotineorijentacije magnetskih momenata m i rezultantna gustina
magnetskog momenta opadne (M 0).
Na sl. 5b prikazana je orijentacija magnetskih momenata m kod
antiferomagnetskih supstan-cija (MnO, FeO, CoO, MnF2, FeF2, NiF2,
MnS, CuCl2, itd.). Kod njih su magnetski momenti "su-sednih" atoma
naizmenino antiparalelni, tako da je rezultantna magnetizacija M=0.
Pri odreenojtemperaturi (Nelova temperatura) antiferomagnetizam kod
ovih materijala nestaje, a pojavljuju separamagnetizam i
dijamagnetizam. Antiferomagnetici danas jouvek nemaju znaajniju
primenu uelektrotehnici.
Poseban tip antiferomagnetskih materijala su tzv. ferimagnetski
materijali, ili feriti. U tim ma-terijalima postoji antiparalelna
orijentacija magnetskih momenata susednih atoma i grupa
atoma.Meutim, zbog nesimetrine strukture, ekvivalentni momenti
susednih grupa atoma nisu isti, takoda ovakva antiparalelna
orijentacija, ipak, rezultuje u formiranju Vajsovih domena sa
intenzivnomnamagneenou (sl. 5c). Premda magnetizacija zasienja kod
ferita dostie samo 20 % magnetiza-cije zasienja gvoa, feriti ipak
imaju ogroman znaaj u savremenoj elektrotehnici visokih
frek-vencija, pre svega zbog velike specifine elektrine
otpornostireda 1031010 m. Obini pro-vodni feromagnetski materijali
(kao to je gvoe) ne mogu se koristiti na visokim frekvencijama,poto
usled elektromagnetske indukcije u njima dolazi do intenzivne
pojave vrtlonih ili Fukoovihstruja koje slabe visokofrekventno
magnetsko polje i proizvode nepotrebno zagrevanje materijalausled
Dulovog efekta. Velika grupa ferita ima tipinu hemijsku formulu
oblika MeFe2O3, gde jeMe-oznaka za dvovalentni metal (Mn, Fe, Co,
Ni, Cu, Zn, Mg, Cd).
Metamagnetici su antiferomagnetski materijali kod kojih pod
dejstvom jakog magnetskogpolja dolazi do prelaska
antiferomagnetskog ponaanja u feromagnetsko.
Parazitski feromagnetizam je antiferomagnetizam kod koga
razliiti smerovi magnetizacijeM1 i M2 (sl. 5d) nisu antiparalelni i
ne ponitavaju se.
J sJReverzibilno zaokretanje domena
Ireverzibilno pove}anjei zaokretanje domena
Reverzibilno pove}anje domena
0H
12
34
Uve}an detaljgornje krive
1-2 i 3-4 - reverzibilno zaokretanje
2-3 - ireverzibilno zaokretanje
(a)
N SPermanentni magnet
Sol
enod
safe
rom
agne
tskim
jezg
rom
Zvu~
nik
Poja~ava~
(b)
Fe-{ipka
Sl. 6
Kada se prethodno nemagneen feromagnetik unese u strano
magnetsko polje Hiji se inten-zitet postepeno poveava, na magnetske
domene deluju momenti koji tee da ih postave u pravcu ismeru polja.
Zbog toga se pri malom intenzitetu strnog polja prvo orijentiu
domeni koji zaklapajunajmanje uglove sa pravcem polja, usled ega se
poveava njihova zapremina i proiruju granice naraun susednih
domena. Ako se zatim strno magnetsko polje iskljui, dolazi do
uspostavljanjaprvobitnog stanja, pa se tada za proces magneenja kae
da je reverzibilan (videti sl. 6a). Meutim,u sluaju ako se i dalje
nastavi sa poveanjem intenziteta strnog polja H dolazi do
ireverzibilnogpoveavanja granica domena i njihove relativno nagle
rotacije u pravcu polja. Taj proces ne teekontinualno, vese odvija
u malim skokovima. Izdvojeni detalj na krivoj J(H) (sl. 6a)
pokazuje da
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 11
je u delovima 1-2 i 3-4 poveanje intenziteta magnetske
polarizacije reverzibilno, dok je u delu 2-3ono vrlo naglo i
ireverzibilno. Takva skokovita promena magnetske polarizacije J i
indukcije B uferomagnetskim materijalima zove se Barkhauzenov
efekat. On se moe registrovati jednostavnomaparaturom prikazanom na
sl. 6b. Kada se permanentni magnet prinese solenoidu, usled
Barkhauze-novog efekta magnetska indukcija u gvozdenoj ipki naglo
se menja, a time i magnetski fluks kroznavojke ravnomerno i gusto
motanog solenoida (broj navojaka je vrlo veliki). Usled promene
fluksau namotaju se indukuju kratkotrajne (impulsne) elektromotorne
sile koje u kolu generiu strujne im-pulse. Ovi se prvo pojaavaju, a
zatim registruju u oblikuuma u zvuniku. Ako se i dalje nastavi
sapoveanjem strnog magnetskog polja, u jednom trenutku dolazi do
magnetskog zasienja materija-la (M=Ms=C st). Tada su svi magnetski
momenti orijentisani u smeru strnog polja, nema vie nikak-vih
skokovitih promena, a reverzibilno zaokretanje domena odvija se
postepeno sa promenom polja(sl. 6a). Magnetska indukcija u
feromagnetiku sa zasienjem je B=0H+Js=0(H+Ms). U sluajukada je H Ms
imamo da je B 0H, pa se intenzitet magnetske indukcije jako sporo i
priblinolinearno poveava sa porastom polja H.
U svim feromagneticima postoji neka vrsta trenja. Usled toga
nastaju sledee pojave: Zaokretanje domena uvek je praeno
pretvaranjem energije magnetskog polja u toplotu. Ovi
gubici zovu se histerezisni gubici. Promene magnetizacije uvek
kasne za promenom strnog polja, koje tu magnetizaciju izaziva.
Takvo ponaanje zove se histerezisno ponaanje. Iskljuivanjem
strnog polja domeni se vie ne vraaju u prvobitno stanje u kojem su
bili hao-
tino orijentisani. Rezultat toga je da u feromagnetiku i dalje
postoji magnetsko polje, uprkosinjenici da je strano polje
iskljueno. Indukcija polja u feromagnetiku zove se remanentna(ili
zaostala) indukcija i njome se objanjava postojanje permanentnih
(ili stalnih) magneta.Feromagnetski materijali najee se u praksi ne
opisuju na prethodni nain, vepomou kri-
ve magneenja B(H), koja se snima jednostavnom aparaturom
prikazanom na sl. 7a. Uzorak fero-magnetika koji se ispituje obino
je formiran u obliku tankog torusnog jezgra.
(a)A
ER
N R2 2,
N R1 1,
lS
BG
+
e, Q
I I,
0
1
2
35
46
7
Hm
H
B
Hm
(b)
1'
1''
Sl. 7
Namotaj feromagnetskog torusa permeabilnosti (H) sa N1
ravnomerno i gusto namotanihzavojaka ukupne termogene otpornosti R1
vezan je na red sa ampermetrom A i naponskim izvoromems E, ija se
struja I regulie promenljivim otpornikom R. Oko torusnog namotaja
nalazi se drugigalvansko izolovani namotaj sa N2 zavojaka termogene
otpornosti R2, povezan sa balistikim galva-nometrom BG, koji meri
koliinu elektriciteta proteklu kroz kolo. Torusno jezgro nije
prethodno bi-lo magneeno, duina njegove srednje linije je l, a
veliina poprenog preseka je S (sl. 7a). Intenzi-tet magnetskog
polja u takama na srednjoj liniji torusa prema generalisanom
Amperovom zakonuje H=N1I/l. Ako se za vremet struja namotaja (N1,
R1) promeni zaI, tada se intenzitet polja u to-
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 12
rusu promeni se za H=N1I/l, a kroz balistiki galvanometar
protekne koliina elektriciteta Q==et/R2, gde je e indukovana ems u
namotaju (N2, R2), e= -N2t, aprirataj magnetskogfluksa kroz torus,
odnosno kroz svaki njegov navojak. Poto je torus tanak, to je
flukspraktinoravnomerno rasporeen po S, pa je prirataj magnetske
indukcijeB=/S= -R2/(N2S)Q. Krivamagneenja snima se polazei od take
(H, B)=(0, 0), takoto se struja I postepeno menja u odree-nim
koracima I koji se mere ampermetrom A. U svakom od njih prvo se
izrauna H=N1I/l, azatim se na osnovuQ izmerenog pomou BG izrauna i
B= -R2/(N2S)Q. Na taj nain dolazise do diskretnog skupa taaka na
krivoj magneenja. U sluaju kada je torusno jezgro prethodno vebilo
namagneeno, ono se mora razmagnetiti takoto se ponovo izvri njegovo
magneenje pomoujakog naizmeninog polja,ija amplituda veoma
postepeno opada do nule. Feromagnetik se, takoe,moe razmagnetiti i
jakim potresima i udarima.
Ako feromagnetik prethodno nije bio magneen, tada se sa porastom
jaine polja H, indukcijau torusu menja po krivoj 0-1 od 0 do
prevojne take na toj krivoj (sl. 7b). Posle toga je porastfunkcije
B(H) jako usporen jer potie od lana 0H, a sama funkcija pribliava
se pravoj vrlo ma-log nagiba prema H-osi. Materijal torusa tada
ulazi u magnetsko zasienje sa gustinom magnetskogmomenta Ms. Kriva
0-1 na sl. 7b zove se prvobitna kriva magneenja i za nju se definie
poetnamagnetska permeabilnost datog feromagnetika
kao,a=dB/dH|H=0=tg(sl. 7b).
Ako jaina polja posle maksimalne vrednosti Hm pone da opada do
nule, magnetska indukci-ja u torusu menja se po krivoj 1-2 (H 0)
koja se nalazi iznad prvobitne krive magneenja. Kadabude H=0 (taka
1') u torusu ostaje prisutna izvesna remanentna, ili zaostala
magnetska indukcijaBr. Njena pojava objanjava se injenicom da po
prestanku dejstva spoljanjeg polja magnetski mo-menti ne dospevaju
u prvobitan haotian poredak. Ta indukcija jednaka je zaostaloj
magnetskoj po-larizaciji u materijalu. Promenom smera struje i
njenim poveavanjem po veliini, magnetska in-dukcija nastavlja da se
menja po krivoj 1-2 do take 1'' sa koordinatama (H, B)=(-Hc, 0),
gde se Hc0 zove koercitivno polje (ili koercitivna sila).
Materijali sa velikim koercitivnim poljem zovu semagnetski tvrdi, a
oni kod kojih je to polje malo zovu se magnetski meki materijali.
Ako polje H idalje nastavi da opada u negativnom smeru, tada se pri
H= -Hm dolazi u taku 2, gde je indukcija utorusu negativna i
maksimalna po modulu. Pri sledeoj promeni jaine polja od Hm do Hm
indukci-ja se menja po krivoj 2-3 (taka 3 lei malo ispod take 1).
Pri narednoj promeni H od Hm do -Hmindukcija se menja po krivoj 3-4
(taka 4 lei malo ispod take 2), a zatim se indukcija menja:
pokrivoj 4-5 (taka 5 lei malo ispod take 3) pri promeni polja H od
-Hm do Hm, po krivoj 5-6(taka 6 lei malo ispod take 4) pri promeni
polja H od Hm do -Hm, po krivoj 6-7 (taka 7 leimalo ispod take 5)
pri promeni polja H od -Hm do Hm, itd. Ponavljajui tako ciklus
magneenjavie puta, uoava se sve manja razlika izmeu taaka skupa1,
3, 5, ...i taaka skupa2, 4, 6, ....Veposle desetak ciklusa
magneenja kriva B=B(H) prelazi u zatvorenu simetrinu krivu CH
(sl.8a), koja se zove ciklus histerezisa. Oblik te krive zavisi od
vrste materijala i maksimalne jainepolja Hm.
Krive magneenja dobijene pri relativno sporim promenama polja H
zovu se statike krivemagneenja. Meutim, u praksi su od velikog
interesa bakrive magneenja dobijene pri relativnobrzim, ali
periodinim, promenama polja H, a naroito kada su te promene
prostoperiodine ("ciso-idne") sa frekvencijom f=50 Hz. Krive
magneenja koje se dobijaju u ovom poslednjem sluajuzovu se dinamike
krive magneenja, a njihov oblik zavisi od vrste feromagnetika,
maksimalne ja-ine magnetskog polja Hm i radne frekvencije f. Sa
porastom f ciklusi histerezisa simetrino se ire,odnosno "debljaju"
u pravcu H-ose. Ciklus histerezisa predstavlja moda najvaniju
karakteristikuferomagnetskih materijala.
Na sl. 8b prikazani su ciklusi histerezisa koji odgovaraju
razliitim maksimalnim poljima Hm isvi oni su slinog, mada ne
potpuno istog oblika. Najvaniji od tih ciklusa je svakako onaj
najvei(obino se za taj ciklus definiu Br i Hc), jer on reprezentuje
stanje maksimalno mogueg magnet-skog naprezanja koje se u datom
feromagnetiku moe ostvariti, s obzirom da feromagnetik tadaduboko
ulazi u magnetsko zasienje.
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 13
Isprekidana kriva linija na sl. 8b koja povezuje vrhove ciklusa
histerezisa zove se osnovna ilinormalna kriva magneenja i obino se
navodi kao karakteristika magneenja materijala. Ta krivase
razlikuje od prvobitne krive magneenja, ali je ta razlika u praksi
obino zanemarljiva.
Pri malim vrednostima Hm i periodinom magneenju histerezisna
petlja veoma lii na vrlomalu elipsu, koja se zove Rejlijeva
histerezisna petlja. Tada se stanje u feromagnetiku moe smatra-ti
kvazilinearnim. Ako je uz to joi magneenje prostoperiodino, jaina
poljae se menjati po za-konu H= 2 Heffcis(2ft+), a indukcija po
zakonu B= 2 Beffcis(2ft+). Kada se redom pree nakompleksne
predstavnike tih veliina, H=Heffeji B=Beffe j(j= 1 ), onda se moe
definisati ikompleksna permeabilnost feromagnetika kao
=B/H=(Beff/Heff)e j(=e-j(-=re-j(sezove ugao gubitaka
feromagnetika).
U praksi jeest i sluaj da se magnetsko polje menja perodino u
vremenu, a da se te promenesuperponiraju sa vremenski konstantnom
komponentom polja (to se sree npr. kod prigunica sapredmagneenjem).
U ovom sluaju ciklusi histerezisa su nesimetrini.
Br
Hm
B
H
Hm
(a)
0Hc
CH
Remanentna indukcijajednaka je zaostaloj
magnetskoj polarizaciji
(b)
B
H0
Osnovna ilinormalna krivamagne}enja
cH
rB
Magnetsko zasi}enje
Veliki ciklus histerezisa
Sl. 8
Sada emo dati nekoliko razliitih definicija permeabilnosti
feromagnetskih materijala podes-nih za njihovo razliito opisivanje
u zavisnosti od uslova primene. Magnetsku permeabilnost
kodferomagnetika oigledno da nije mogue jednoznano definisati kao
odnos B i H, poto jeBH==fHnelinearna i vieznana funkcija polja H. U
tu svhu se koristi normalna kriva magneenja (sl.8b), pomou koje se
definie normalna permeabilnost materijala n kao odnos B/H dute
krive (sl.9a). Jasno je da je n=f1(H) kao i da je poetna
permeabilnosta=limH0 (dB/dH)=f1(0). Maksimal-na permeabilnost max
dobija se pri magnetskom polju H koje odgovara onoj taki na
normalnojkrivoj magneenja u kojoj prava povuena iz koordinatnog
poetka dodiruje tu krivu (sl. 9b). Odsvih vrsta permeabilnosti koje
se mogu definisati, normalna permeabilnost najpodesnija je za
opisi-vanje feromagnetskih materijala, jer se ti materijali najee
koriste u uslovima prostoperiodinepromene polja H.
Diferencijalna permeabilnost d=f2(H) definie se kao odnos dB/dH
dunormalne krivemagneenja (sl. 9a). Oigledno da jed(H=0)=limH0
(dB/dH)=a.
U mnogim praktinim primenama esto se sree sluaj da je malo
prostoperiodino magnet-sko polje superponirano na vremenski
konstantno jako polje. U tom sluaju nastaje mali, vrlo pljos-nati
ciklus histerezisa oko take X (sl. 9c) za koji se moe definisati
inkrementalna permeabilnostferomagnetika kaoinkr=B/H.
Ako se prilikom snimanja krive magneenja jaina polja smanji za
mali iznos H, a zatim seponovo vrati na prvobitnu vrednost (sl. 9d)
indukcija se menja po krivoj koja nije potpuno zatvore-
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 14
na, ali viekratnim ponavljanjem tog procesa ona postaje takva.
Tako dobijeni unutranji ciklusihisterezisa mogu se aproksimirati
vrlo malim elipsama sa glavnim osama nagiba tgkoji priblinoodgovara
nagibu tangente na veliki ciklus histerezisa u taki remanentne
indukcije Br. Magnetskapermeabilnost definisana kao
rev=tg=dB/dH|H=0, B=Br zove se reverzibilna magnetska
permeabil-nost i ona se pored normalne permeabilnostinesto koristi
u projektovanju magnetskih kola.
B
H
O
H
O
Osnovna ili normalnakriva magne}enja
n
max
a
inkr
BH
rev tgdd
r
BH H B B0,
(a)
(b)
(c)
(d)
O
O
B
B
H
H
H
B
Mali ili unutra{njiciklusi histerezisa
Br
X
Sl. 9
4. Magnetska kola
Feromagnetski materijali najee se koriste za izradu jezgara
elektrinih maina i ureaja(elektrinih generatora, motora,
transformatora, elektromagneta, elektromagnetskih relea i slino).Ta
jezgra su obino vrlo razliitog oblika, mogu imati uske vazdune
procepe i barem na jednomsvom delu nose izolovan strujni namotaj.
Magnetski fluks skoro u potpunosti je kanalisan feromag-netskim
jezgrom, slino kaoto je elektrina struja kanalisana elektrinim
provodnicima. Samo ma-li deo ukupnog fluksa koji izlazi iz
feromagnetika (a obrazuju ga linije indukcije koje naputaju
tajferomagnetik), zove se rasipni magnetski fluks. Njegova
maksimalna vrednost obino iznosi 1015% ukupnog magnetskog fluksa i
u prvoj aproksimaciji moe se zanemariti. Glavni magnetski
fluksjednak je razlici ukupnog i rasipnog magnetskog fluksa. Kod
magnetskih kola ti fluksevi ne moguse odrediti tano, vesamo
priblino: tanost je vea kod tankih nego kod debelih magnetskih
kola,a samo u jako malom broju sluajeva ti fluksevi mogu se
odrediti teorijski bez greke. U daljem raz-matranju usvojiemo da se
uticaj rasipnog magnetskog fluksa moe zanemariti. Sada prvo
dajemodefiniciju magnetskog kola.
Magnetsko kolo u irem smislu je skup tela i sredina kroz koje se
zatvaraju linije magnetskeindukcije, odnosno kroz koje se zatvara
magnetski fluks.Magnetsko kolo u uem smislu predstavlja sistem u
kome se pomou feromagnetskih materija-la unapred kanalie magnetski
fluks odreenimeljenim putem.Magnetsko kolo moe biti prosto, ako ima
samo jednu granu i jedan fluks; a moe biti i sloe-no ili
razgranato, ako ima vie grana sa odgovarajuim fluksevima.
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 15
Pod analizom prostog (ili nerazgranatog) magnetskog kola
podrazumeva se odreivanje nje-govog magnetskog fluksa. Pod analizom
sloenog (ili razgranatog) magnetskog kola podrazu-meva se
odreivanje flukseva njegovih grana. Po analogiji sa elektrinim
kolima i mreamabilo bi logino da se razgranata magnetska kola zovu
magnetskim mreama, ali takav terminnije rasprostranjen, pa nije ni
usvojen.Problemi analize prostih i/ili sloenih magnetskih kola sa
specificiranim geometrijskim karak-teristikama jezgara i osobinama
materijala mogu se svrstati u jednu od sledee dve klase:
Problemi I vrste - trae se brojevi zavojaka i struje namotaja u
sluaju kada je poznat flukskola (ili fluksevi grana)
Problemi II vrste - trai se fluks kola (ili fluksevi grana) u
sluaju kada su poznate karakte-ristike namotaja (tj. struje i
brojevi zavojaka pojedinih namotaja)
Feromagnetski materijali nisu linearni i ne mogu se jednoznano
okarakterisati odreenomnormalnom magnetskom permeabilnou n, s
obzirom da ova zavisi od intenziteta magnetizacio-nog polja H.
Meutim, zbog jednostavnijeg prorauna u praksi se ponekad uvodi
aproksimacija daje magnetsko kolo priblino linearno i da se moe
okarakterisati nekom srednjom magnetskom per-meabilnou r 1. Takav
pristup posebno je pogodan za analizu tankih magnetskih kola sa
ma-lom jainom polja u granama, pa se moe usvojiti da je vrlo
priblino B aH. Naalost, kod ta-nijih prorauna moraju se uzeti u
obzir debljina kola i nelinearnost feromagnetika, to jako
kompli-kuje analizu koja formalno podsea na analizu nelinearnih
elektrinih mrea. Elektrine mree seobino nalaze u sredini sa
1018puta manjom elektrinom provodnou od provodnosti granamree, tako
da se uticaj rasipnih struja moe zanemariti i analiza sprovesti sa
velikom tanou. Na-alost, nelinearna magnetska kola obino su u
vazduhu kao sredini sa magnetskom permeabilnousmo 102 puta manjom
od permeabilnosti kola, tako da rasipni fluks ima uticaj na tanost
ana-lize. Analiza ovakvih kola ne moe se sprovesti sa grekom manjom
od 510 %. U daljem tekstuusvojiemo nekoliko sledeih
pretpostavki:(1) Da se kod magnetskih kola rasipanje moe
zanemariti.(2) Da su t kola tanka u odnosu na svoju duinu (ili
duinu grana), pa je po njihovom popre-
nom preseku magnetski fluks ravnomerno raspodeljen, a vektori
magnetske indukcije i jainepolja konstantni i normalni na taj
presek (ovo je uslov kvazilineinosti magnetskih kola).Zbog
nelinearnosti feromagnetskih materijala kod magnetskih kola je,
pored aproksimativnih
pretpostavki (1) i (2), potrebno usvojiti joi sledee:(3) Da su
poznate krive magneenja materijala kola. Pod krivom magneenja
podrazumeva se, ili
prvobitna, ili normalna kriva magneenja, izmeu kojih praktino ne
postoji znaajna razlika.
(a) Omov zakon za prosto magnetsko kolo. Kirhofovi zakoni za
razgranata magnetska kola
Posmatrajmo prosto i tanko magnetsko kolo na sl. 10a koje se
nalazi u vazduhu. Neke od nje-govih sekcija imaju strujne namotaje,
dok ih druge nemaju pa se za takav sistem namotaja kaeda je
asimetrian. Usled toga e i magnetsko rasipanje kod ovog kola biti
neto vee nego u sluajukada postoji samo jedan strujni namotaj,
ravnomerno i gusto namotan na jezgro. Pretpostavimo, kaoi obino, da
je magnetska permeabilnost materijala svake od sekcija znatno vea
od permeabilnostiokolnog vazduha. Zbog toga se rasipni fluks u
prvoj aproksimaciji moe zanemariti, te se moepretpostaviti da
linije magnetske indukcije ne naputaju jezgro kola. To obezbeuje da
je prethodnonavedeni uslov (1) zadovoljen. Pretpostavimo i da su
preostali uslovi (2) i (3) zadovoljeni. Posma-trajmo sada u jezgru
magnetskog kola zamiljenu srednju liniju (kontura C), koja je
orijentisanaproizvoljno i iji su segmenti normalni na odgovarajue
poprene preseke. Ti preseci su orijentisaniu smeru vezanom po
pravilu desne zavojnice sa orijentacijom konture C. Orijentacija
konture C
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 16
predstavlja algebarski ili referentni smer u kome se rauna
magnetski fluks kola, a ona ujednoodreuje i smer cirkulacije
vektora H po toj konturi kod primene generalisanog Amperovog
zako-na. Simbol praen znakom "+" pokraj njega odreuje obraunski
smer za sabiranje struja kodprimene Amperovog zakona. Neka je li
srednja duina, a Si konstantna povrina poprenog presekai-te sekcije
kola ( )i n1, .
N I1 1,N I2 2,
N Ij j,
N In n,
N I3 3, Sk
C
(a)
Sekcije1, ... n
1
2
3j k
n
0
" "
k
lk
(b)
N I1 1,
N I2 2,
C
1
2
3
4
5
6
A
DF
G
1
2
3
4
56
" "
0
Sl. 10
S obzirom da je u svakoj taki i-te sekcije Bi=iHi i da je
magnetski fluks kroz svaki njenpopreni presekiBiSi ( )i n1, , pri
emu je1n :=0, tada je:
H l H l z z z z z d d d d di ii=1n
i ii=1
ni
ii
i=1
ni i
i ii
i =1
ni
i ii=1
n
i i i iC l l l l
H lB
lB S
Sl
lS 0 ,
gde0 predstavlja magnetski fluks kroz popreni presek kola, ili
fluks po jednom navojku.Sa druge strane, na osnovu generalisanog
Amperovog zakona vai sledee:
n k k 1 1 2 2 3 3 j j n nk=1
d videti sl. 10a- -C
N I N I N I N I ... N I ... N I H l n n
i mk k 0 0
k=1 i=1 i i m
dC
Kap Hopkinsonov zakon, iliOmov z
l FN I
S R akon za magnetsko kolo
H l ,
gde je u optem sluaju:
F N I Magnetomotorna ili magnetopobudna sila magnetskog kolam k
kk =1
n
: [A] ,
imii i
: ( 1 ) 1 H -l
R i ,n / Magnetska otpornost ili reluk tan sa i te sekcije kolaS
, (*)
n ni
m mii=1 i=1 i i
: [1/H]l
R R Ukupna magnetska otpornost ili reluk tan sa prostog
kolaS
.
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 17
Ukupna magnetska otpornost prostog magnetskog kola jednaka je
zbiru magnetskih otpornosti sek-cija. U zavisnosti od broja
zavojaka, naina namotavanja, smerova i intenziteta struja u
namotajima,magnetomotorna sila Fm i fluks kola 0 mogu biti
pozitivni, negativni ili nula. Sledstveno tome,takvi su i
algebarski intenziteti magnetske indukcije Bi i jaine magnetskog
polja Hi ( )i n1, , res-pektivno, koji se raunaju u odnosu na
usvojenu orijentaciju konture C. Magnetomotorna sila Fm,takoe se
odreuje prema orijentaciji konture C: u sluaju kada su orijentacije
te konture i k-tognamotaja vezane po pravilu desne zavojnice,
proizvod NkIk ( )k n1, unosi se u sumu za Fm (*) sapredznakom "+",
dok u suprotnom unosi se sa predznakom "-". Veliinai=1/Rmi ( )i n1,
Hzovese magnetska provodnost ili permeansa i-te sekcije, a
=1/Rm=1/(1/1)+(1/2)+ ... +(1/n)mag-netska provodnost ili
permensaitavog magnetskog kola.
Ovde se mora primetiti sledee. Poto su sekcije kola od
feromagnetskog materijala, tada je zasvaku od njihi=fi(Hi) ( )i n1,
, pa se odatle korienjem odgovarajuih krivih magneenja materi-jala
mogu konstruisati funkcije i=fi*(Bi) i i=fi**(0) ( )i n1, . Tada se
iz Omovog zakona za mag-netsko kolo (*) dalje neposredno
dobija:
0
FR
N I
lS
N I
lf S
m
m
k kk=1
n
i
i ii=1
n
k kk=1
n
i
i**
0 ii =1
n 0
( )
: ( )
,
to znai da se magnetski fluks u tankim feromagnetskim kolima bez
rasipanja praktino mora odre-diti grafoanalitiki, odnosno
numeriko-grafikim reavanjem nelinearne jednaine0=(0).
Posmatrajmo sada tanko i razgranato (sloeno) magnetsko kolo
saetiri "vora" A, D, F i G iest proizvoljno orijentisanih "grana"
16 (sl. 10b). Orijentacije grana ujedno predstavljaju i alge-barske
smerove u odnosu na koje se raunaju fluksevi 16 i algebarski
intenziteti magnetskihpolja H1H6 i magnetskih indukcija B1B6 grana.
U odnosu na te smerove pomenute veliine mogubiti pozitivne,
negativne ili nula. "vor" magnetskog kola je podruje u kojem se
stiu najmanje tri"grane" kola. Zavorove A, D, F i G moe se na
osnovu zakona o konzervaciji magnetskog fluksanapisati sledee:
B S B S
B S B S
z zz z
d d
d d
A D
F G
0 0
0 0
,
,(u optem sluaju) grana
Za bilokoji ~vor
0 .
Jednaina oblikagrana=0, koja se moe napisati za svakivor bilo
kojeg magnetskog kola, zovese prvi Kirhofov zakon za magnetska kola
(IKZM). Taj zakon vai kako za linearna, tako i za ne-linearna
magnetska kola. Slino kao kod elektrinih mrea sa vremenski
konstantnim i sporo pro-menljivim strujama, tako je i za magnetsko
kolo sa nvorova mogue napisati tano n-1 linearnonezavisnih jednaina
po IKZM za proizvoljno odabrani skup od n-1 vorova. Za jedini
preostalivor, jednaina po IKZM dobija se sabiranjem svih prethodnih
jednaina. Prema generalisanom Am-perovom zakonu za svaku konturu
linearnog ili nelinearnog magnetskog kola (na primer, za
konturuCrafiranu na sl. 10b), mogue je napisati sledee:
k k 1 1 2 2( ) Po strujama svih namotaja koji
se zahvataju sa konturom
d videti sl. 10bkC
C
N I N I N I H l
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 18
U prethodnoj sumi: (1) strujni obuhvat NkIk uzima se sa
predznakom "+" kada je smer struje Ik istikao i obraunski smer za
sabiranje struja "" i (2) NkIk se uzima sa predznakom "-" kada je
smerstruje Ik suprotan od obraunskog smera "" (videti sl. 10b).
Pretpostavimo da j-ta grana ima sred-nju duinu lj, konstantan
popreni presek Sj (kada to nije sluaj grana se dekomponuje u
delovekonstantnog poprenog preseka) i normalnu magnetsku
permeabilnostj=fj(Hj)=fj*(Bj)=fj**(j). Ka-ko je magnetsko kolo
tanko i bez rasipanja, moe se smatrati da su u svakoj njegovoj
grani i sva-kom poprenom preseku vektori H i B normalni na taj
presek. Odatle sledi:
j j j j k kd d
C CC
H l , H l N I
H l H lDu` konture Du` kontureDu` j- te Du` konture
grane( j)
,
gde se proizvod Hjlj uzima sa predznakom "+" kada se
orijentacije j-te grane i konture C poklapaju,a sa predznakom "-"
kada su te orijentacije suprotne. U prethodnoj relaciji proizvod
Fmk=NkIk uzi-ma se sa predznakom "+" kada su orijentacije k-tog
namotaja i konture C vezani po pravilu desnezavojnice, dok se u
suprotnom Fmk uzima sa predznakom "-". U tom smislu FmC=Fmk
|Dukonture Cpredstavlja ekvivalentnu, ili ukupnu, magnetomotornu
silu (mms), odnosno magnetopobudnu silu(mps) koja deluje u konturi
C. Relacija oblika:
H l N I F FC C C
Cj j k k mk mCmms
kontureDu` konture Du` konture Du` konture
,
zove se drugi Kirhofov zakon za magnetska kola (IIKZM) sa
vremenski konstantnim i/ili vremenskisporo promenljivim strujama.
Poto je magnetska otpornost j-te grane,
Rmj=lj/(jSj)=lj/fj(Hj)Sj==lj/fj*(Bj)Sj=lj/fj**(j)Sj, a kako je njen
magnetski fluksj=BjSj, tada se na osnovu prethodnogIIKZM moe
napisati u alternativnom obliku:
H lB l B S l
SR F
C C C C
Cj jj j
j
j j j
j jmj j mC mmskonture
Du` konture Du` konture Du` konture Du` konture , odnosno
R F Alternativni oblikC
Cmj j mCmms
kontureIIKZM
Du` konture
.
Proizvod Rmjj uzima se sa predznakom "+" ako se orijentacije
j-te grane i konture C poklapaju, asa predznakom "-" ako su te
orijentacije suprotne. Normalne magnetske permeabilnosti grana
(j)koje figuriu u prethodnoj relaciji mogu se odrediti pomou
odgovarajuih krivih magneenja mate-rijala Bj(Hj). Meutim, pokazuje
se da je umesto tih permeabilnosti daleko korisnije raspolagati
safunkcijama oblika j=BjSj=j(Umj), koje se dobijaju mnoenjem
ordinata krivih magneenja Bj sapovrinama preseka grana Sj, a
apscisa Hj tih krivih sa srednjim duinama grana lj. Algebarska
veli-ina Umj =Hjlj koja se na taj nain dobija zove se magnetski
napon grane i on ima smer formalnopridruen usvojenoj orijentaciji
grane. Sistem jednaina koji predstavlja alternativan oblik
IIKZMformalno je linearan, a u sutini nelinearan, zbog nelinearne
zavisnosti izmeu permeabilnosti i ja-ine magnetskog polja kod
feromagnetskih materijala, odnosno zbog takve zavisnosti izmeu
fluk-seva i magnetskih napona grana. Zbog toga analiza prostih i
sloenih feromagnetskih kola ima dostaslinosti sa analizom
nelinearnih elektrinih kola i mrea.
U praksi, grane magnetskih kola vrlo retko su tanke, pa je
njihova duina obino uporediva sa
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 19
dimenzijama poprenog preseka, te se zato te grane moraju
smatrati "debelim". Naalost, tana ana-liza debelih magnetskih kola
za sada ne postoji, ali se, ipak, u tu svrhu koristi odreen
aproksima-tivni postupak pomou kojeg se dolazi do rezultata sa
zadovoljavajuom tanou. Osnovna pretpo-stavka koja se u tom postupku
usvaja jeste da se magnetska otpornost grane ili prostog
magnetskogkola moe definisati kao Rm=ls/(sS), gde je: (1)
ls-srednja duina, (2) S-povrina poprenog prese-ka i (3)s-magnetska
permeabilnost grane ili prostog kola u takama na njihovoj srednjoj
liniji (sl.11a). Kada se odreuje duina ls potrebno je obratiti
panju da se pored linijskih segmenata b, d, f ih, mora uzeti u
obzir i odreeni broj krunih lunih segmenata a, c, e i g (sl. 11a).
Tako, npr. za pro-sto magnetsko kolo na sl. 11a srednja duina grane
"1" je ls1=a+b+c+d+h, a grane "2" je ls2=e+f+g.Veliina greki koje
nastaju pri prethodno uinjenim aproksimacijama vrlo grubo se moe
procenitina primeru prostog magnetskog kola u obliku torusa
pravougaonog poprenog preseka (sl. 11b) sahomogenim feromagnetskim
jezgrom poznate karakteristike magneenja, na koji je ravnomerno
igusto namotano N zavojaka sa strujom I. Prema generalisanom
Amperovom zakonu, magnetsko po-lje H u torusu odreeno je
relacijom:
H H x N Ix
x a H x a b
( ) [ ] [0 ) ( )2
0
, ,b , , ,l q .
Kako je u datom sluaju torusno jezgro feromagnetsko, to je
B=H=f(H)H:=F(x), gde se prekofunkcije F(x), prethodne relacije i
krive magneenja, jednoznano definie dvostruko preslikavanjexHB za x
a, b. Fluks kroz popreni presek torusa 0 i njegova magnetska
otpornost Rmdati su sledeim izrazima:
0 02 2
FHG IKJ
z z z H h x f N Ix N Ix h x F x h x R N Ia
b
a
b
a
b
d d ( ) d , m .
Meutim, ako se uvede jednostavna i gruba aproksimacija da je
permeabilnost svih taaka utorusu priblino jednaka permeabilnostis
dunjegove srednje linije ls, dobija se:
s s ss s s 0
s
, , d ln( ) 2 2
b
a
B N I N I hN I bH B h x
a b H x a Preko krivemagne}enja ,
RN I
h ba
m
s ln
FHG IKJ02
. (#)
Uvedimo sada jogrublji metod odreivanja magnetske otpornosti
torusa, takoto emo pret-postaviti da se ova moe izraunati prema
sledeem jednostavnom aproksimativnom obrascu:
Rl
Sb a
h b amas
s s
( )( )
. (&)
Relativna greka aproksimacije koja se ovim putemini, u odnosu na
Rm dobijeno prema (#) je:
RR
R RR
b ab a
ba
g b amm
ma m
m ( )ln ( )
FHG IKJ //
/12 1
1 .
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 20
Sa grafika funcije g(b/a) prikazane na sl. 12 u opsegu b/a 1,
3.2vidi se da aproksimacija(&) daje dobre rezultate u pogledu
veliine greke,ak i kod vrlo debelih torusa.
I
N
a
b
cd
e
f
gh
l2s
l1s
1 1,S
2 2,S
(a)
Grana 1Grana 2
I
h
N
ab
f H( )
(b)Sl. 11
Sl. 12
Iz prethodnih razmatranja zakljuujemo da se magnetska otpornost
grane i/ili prostog magnet-skog kola moe odrediti, ak i u optem
sluaju sa malom grekom, koristei relaciju Rm=ls/(sS),koja npr. i
kod vrlo debelih torusa (b/a=3) daje procentualnu greku manju od 10
% (videti sl. 12).Sreom, ak i kod mnotva drugih debelih magnetskih
kola koja se sreu u paksi, pristup zasnovanna primeni
aproksimativne relacije Rm=ls/(sS), uglavnom daje dovoljno dobre
rezultate u pogleduveliine uinjene greke.
Poseban sluaj predstavljaju magnetska kola sa vazdunim
procepima, koja se najee sreuu praksi (elektrini motori i
generatori, elektromagneti, relea). Posmatrajmo magnetsko kolo na
sl.13a sa vazdunim procepom irine l0 u kome je jaina magnetskog
polja H0, a indukcija B0=0H0.U feromagnetiku je jaina magnetskog
polja H, a indukcija B=H=f(H)H. Prema Omovom zakonuza magnetska
kola, flukskola na sl. 13a je:
-
PREDAVANJE 9 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 21
m
0m m0
0m0
0 0
reluktansa feromagnetskih delova kola,( )
gde je:
reluktansa vazdunog procepa,
lR
f H SN I ,
R Rl
RS
a S0 efektivna povrina preseka vazdunog procepa. U samom procepu
magnetsko polje priblino jehomogeno, a u blizini ivice procepa ono
je zbog rasipnog magnetskog fluksa nehomogeno. Zbog to-ga je
efektivna povrina preseka vazdunog procepa S0 uvek neto vea od
povrine preseka S fero-magnetskih delova kola (tj. S0S), a izraz za
Rm0 utoliko je taniji ukoliko je l0 manje u odnosu nadimenzije
poprenog preseka procepa. Kako je =f(H)0, to je za razumne
vrednosti l, l0, S i S0reluktansa feromagnetskog dela kola Rm obino
zanemarljiva u odnosu na Rm0 (tj. RmRm0), pa je:
00
00
0
N IR
N I Slm .
Iz poslednje relacije vidi se da je veoma vano da seto
jednostavnije obezbedito bolja pro-cena efektivne povrine vazdunog
procepa S0. Za magnetska kola konstantne debljine i presekanajee
korienog oblika (kruni, pravougaoni i kvadratni), na sl. 13b i 13c
dati su izrazi premakojima se odreuje S0, a na sl. 13d i 13e izrazi
za izraunavanje S0 u sluaju kada se debljine fero-magnetskih delova
kola jako razlikuju.
S0
S
0
l0
l
N
I
ab
l0
D
l0
S a l b l0 0 0 ( ) ( ) S D l0 0 4 ( )2 /
(a) (b) (c)
C
ab
l0
S a l b l0 0 02 2 ( ) ( )
(d)
D
l0
S D l0 02 4 ( )2 /
(e)
Sl. 13