-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1
ELEKTROMAGNETIZAM
1. Uvod
Magnetske pojave u svom najosnovnijem vidu bile su poznate jou
antikoj Grkoj, kada jezapaeno da komadi gvozdene rude magnetita
(Fe3O4) privlae sitnije komadie gvoa. Mehanikesile usled kojih
nastaje to privlaenje nazvane su magnetskim silama, verovatno po
maloazijskomgradu Magneziji (dananja Maniza), uijoj su blizini bila
nalazita te rude. Komadi magnetita pred-stavljaju prirodne magnete,
a pojave praene magnetskim silama zovu se magnetske pojave.
Kasni-je je primeeno da kada se predmeti od gvoa nau u blizini
prirodnih magneta i sami postajumagneti, poto se spontano
namagnetiu. Tako dobijeni magneti zovu se vetaki magneti. I
kodprirodnih i kod vetakih magneta postoje dve zone uijoj blizini
je najizraenije dejstvo magnet-skih sila.Te zone zovu se polovi
magneta. Osobinu privlaenja magneti ne ispoljavaju samo premagvou i
njegovim legurama, vei prema kobaltu i niklu. Magnet u obliku tanke
horizontalno po-stavljeneipke ili igle obeene o tanku nit tako da
se moe obrtati oko vertikalne ose, uvek zauzimapravac sever-jug.
Pol magneta okrenut ka severu zove se severni (N) (N "North"), a
pol okrenutka jugu, zove se juni pol magneta (S) (S"South").
Interesantno da je sve do Viljema Dilbertameu istraivaima vladalo
uverenje da se magnetska igla postavlja u pravcu sever-jug pod
utica-jem zvezde Severnjae, a ne prirodnog magnetskog polja Zemlje.
Slinost meusobnog mehanikogdejstva naelektrisanja i magnetskih
polova dala je povod za istovetan pristup u analizi elektrinih
imagnetskih pojava. Usled toga je stvorena predstava o magnetskoj
masi kao specifinom fizikomagensu rasporeenom na krajevima magneta,
koji je smatran uzronikom magnetskih dejstava.Takoe, konvencionalno
je usvojeno i da je magnetska masa oko severnog pola pozitivna, a
onaoko junog negativna.U to vreme nije se jonasluivalo postojanje
dublje veza izmeu elektrinih imagnetskih pojava.
injenica da se raznoimeni polovi magneta privlae, a istoimeni
odbijaju navela je istraivaena pokuaj da seenjem magneta razdvoje
magnetske polove, kaoto se, recimo, odgovarajuim po-stupcima mogu
razdvojiti raznorodna naelektrisanja. Meutim, rezultati svih tih
pokuaja pokazalisu da se seenjem magneta uvek dobijaju magneti sa
oba pola. Tainjenica, kao i osobina magnetada deluju samo na
pokretna naelektrisanja, utemeljila je do poetka 19. veka stav da
izmeu elek-trinih i magnetskih pojava ne postoji veza. I pored
toga, nauka o magnetizmu se dugo oslanjala navesteena znanja o
elektrinim pojavama. Prvi kvantitativan zakljuak o delovanju
magnetskih si-la izveo je Kulon 1785. godine, iste godine kada je
otkrio i zakon o meusobnom dejstvu naelektri-sanih tela.
Eksperimentiui sa dva dugaka magneta u oblikutapa i
pretpostavljajui da su polovimagneta locirani na krajevima
tihtapova, on je doao do zakljuka da je intenzitet magnetske
sileobrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja izmeu polova, a
direktno proizvodu "magnetskih ma-sa" polova, koje mogu biti istog
ili razliitog znaka. Naalost, u prirodi nije dokazano
postojanjeizolovanih magnetskih polova (tj. magnetskih masa), tako
da je uspena analogija izmeu elektri-nih i magnetskih pojava bila
propraena i nizom fiziki neutemeljenih definicija i pojmova.
Moda je najvanije otkrie u istoriji magnetizma uinio 1820.
godine danski fiziar HansKristijan Ersted (1777-1851). To otkrie
opisano je udbeniku (videti odeljak 3.4 poglavlja podnaslovom
"ELEKTROKINETIKA" i videti fusnotu na str. 271).
Ubrzo posle Erstedovog otkria, niz sjajnih fiziara uspeo je da u
vrlo kratkom roku otkrijeosnovne zakone magnetizma i njegovu blisku
povezanost sa elektrinom strujom. Francuski fiziarAmper Andr Marie
Ampre (1775-1836), fascinantnom intuicijom i izvanrednim
eksperimentimapronaao je zakon o magnetskoj sili izmeu dva strujna
elementa (za definiciju strujnog elementa
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 2
videti str. 164 u udbeniku, ili na str. 1 u PREDAVANJU 4) tj.
zakon o sili meusobnog dejstva dvadelia kvazilineinih strujnih
provodnika u vakuumu. Taj zakon vrlo priblino vai i kada se
strujnielementi nalaze u vazduhu. Godine 1820. Amper je otkrio, ne
samo postojanje elektromagnetskihsila izmeu provodnika sa strujom,
veje i dokazao slinost u pogledu magnetskih osobina
izmeusolenoidnog namotaja sa vremenski konstantnom strujom i
cilindrinog magnetskog tapa slinihdimenzija. Takoe, pokazao je i da
dva "solenoidnatapa" sa strujnim navojcima, meusobno uvekdeluju
mehanikim silama na slian nain kao i dva prva magnetskatapa.tavie,
Amper je poka-zao i da se svaki slobodno obeen strujni navojak (ili
elektrina kontura), u magnetskom polju po-naa kao magnetska igla.
Podstaknut tim zapaanjima (a ne poznajui atomsku teoriju), Amper
jepostavio vrlo smelu hipotezu za to vreme o postojanju veoma
malih-struja unutar stalnih, odnosnopermanentnih magneta, koje je
oznaio kao prve uzronike svih magnetskih pojava. Istina, tada
jebilo dosta potekoa sa usvajanjem pomenute hipoteze, poto ona nije
na zadovoljavajui nain ob-jasnila mehanizam permanentnog odravanja
-struja bez utroka energije. U dananje vreme po-stojanje
Amperovih-struja vie se uopte ne dovodi u pitanje, jer zna se da
one potiu od orbital-nog kretanja i spina elektrona, kao i spina
jezgra u atomima supstancije.
Amperovi zemljaci i savremenici Bio [Jean-Baptiste Biot
(1774-1862)], Savar Flix Savart(1791-1841)i Laplas [Pierre-Simon
Laplace (1749-1827)], formulisali su matematiki izraz zamagnetsku
indukciju kao vektorsku veliinu koja opisuje (definie) magnetsko
polje. Britanski fizi-ar i eksperimentator Majkl Faradej [Michael
Faraday (1791-1867)] 1831. godine otkrio je zakonelektromagnetske
indukcije (str. 8, PREDAVANJE 6) i pojavu da je vremenski
promenljivo magnetskopolje uvek praeno vremenski promenljivim
elektrinim poljem. Profesor fizike sa Univerziteta uPetrogradu Lenc
prvi je dao praktino pravilo za odreivanje smera struje povezane sa
elektromag-netskom indukcijom (videti Lencov zakon, ili Lencovo
pravilo str. 11-12, PREDAVANJE 6).
Svi pomenuti briljantni istraivai nepobitno su dokazali
postojanje veze izmeu elektrinih imagnetskih pojava, ali je, ipak,
tek atomska teorija omoguila da se shvate i mehanizmi te
veze.Elektrino i magnetsko polje u tolikoj meri su meusobno
povezani da se s pravom moe govoriti ojedinstvenom
elektromagnetskom polju, a elektrostatiko i vremenski konstantno
magnetsko poljesamo su njegovi specijalni sluajevi.
Elektrine i magnetske pojave potiu od elementarnih
naelektrisanih estica. Jedina razlikaizmeu njih je u tome to se
elektrini efekti javljaju i dok estice miruju, a magnetski samokada
se one kreu u odnosu na posmatraa. Magnetske sile izmeu
permanentnih magneta surezultante sile koje nastaju usled meusobnog
dejstva elementarnih, naelektrisanih esticakoje se kreu u atomima
(elektroni). Dakle, kao jedini uzrok nastanka magnetskog polja
moese oznaiti makro- i mikroskopsko kretanje naelektrisanja,
ukljuujii spin elektrona u atomu.
Kulonova sila meusobnog dejstva dva mala naelektrisana metalna
tela u miru moe se di-rektno meriti pomou torzione vage. Meutim,
sila meusobnog dejstva dva mala pokretnanaelektrisana tela ne moe
se direktno izmeriti, vesamo posredno i to kod dobrih provod-nika.
Naime, kod takvih provodnika za odravanje struje potrebno je
relativno slabo elektri-no polje, pa zbog toga na njihovim povrima
praktino nema ni elektrinog polja ni naelektri-sanja. Usled toga,
sila meusobnog dejstva dva dobra strujna provodnika ima magnetski,
ane elektrini karakter. Rezultantna magnetska sila u tom sluaju
predstavlja makroskopskistatistiki izraz meusobnih dejstava svih
elementarnih naelektrisanja u kretanju.
Jednostavnim eksperimentom sa dva permanentna magneta moe se
uoiti njihovo meusob-no dejstvo na daljinu zbog postojanja
magnetskog polja u fizikom prostoru u kojem se magnetinalaze; moe
se, takoe, zapaziti i poveavanje intenziteta magnetske sile sa
smanjivanjem rastoja-nja izmeu magneta; pored toga, karakter
magnetskih sila moe biti i privlaan i odbojan, zavisnood meusobnog
poloaja magneta. Te sile su obino znatno veeg intenziteta od
elektrinih i kaotakve sreu se kod galvanometara, instrumenata sa
kretnim kalemovima i kod elektromotora.
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 3
Izuavanje magnetskih pojava poinje obino od magnetske sile izmeu
dva kvazilineina strujnaprovodnika u vakuumu, ili jopreciznije, od
elementarne magnetske sile izmeu strujnih elemenatatih provodnika.
Matematiki izraz za elementarnu magnetsku silu kao vektor, znatno
je sloenijegoblika od Kulonovog zakona i on vai ne samo u vakuumu,
veveoma priblino i u drugim nefero-magnetskimi sredinama (to su
sredine gde nema gvoa, kobalta, nikla i njihovih legura).
Amperov zakon za magnetsku silu (koji je plodiste intuicije),
pandan je Kulonovom zakonu.Strujni element je pandan punktualnom
naelektrisanju, a magnetski moment strujne konture je pan-dan
elektrinom momentu dipola u vakuumu. Videli smo da se ponaanje
supstancije u elektrinompolju moe opisati preko mnotva dipola u
vakuumu, a ponaanje supstancije u magnetskom poljumoe opisati
skupom elektrinih -kontura u vakuumu okarakterisanih magnetskim
momentima.Dakle, elektrina struja i magnetsko polje nerazdruivo su
povezani.
2. Amperov zakon za magnetsku silu izmeu strujnih elemenata u
vakuumu
Posmatrajmo dve tanke (kvazilineine) strujne konture u vakuumu:
C1 sa vremenski konstant-nom strujom I1 i C2 sa vremenski
konstantnom strujom I2, koje se nalaze u proizvoljnom meusob-nom
poloaju prikazanom na sl. 1a.Naravno, za odravanje struja u tim
konturama moraju biti pri-kljueni i elektrini izvori. Ako su
elektrine otpornosti ovih kontura male, toe za odravanje stru-je u
njima biti dovoljno malo elektrino polje, te na povrima provodnika
nee biti naelektrisanja.Usled toga e i sila kojom jedna strujna
kontura deluje na drugu bitiisto magnetskog karaktera, aona se za
bilo kakav oblik i i bilo koji meusobni poloaj kontura uvek moe
izmeriti.
0C1
C2
r
I2I1
dl2
dl1
(a)
r2 2dI l
1 1dI l
r 2v1v
dQ2
dQ1
(b)
0
Sl. 1
Meutim, ako je potrebno izraunati magnetsku silu meusobnog
dejstva dve strujne konture,primenjuje se diferencijalno-integralni
metod: prvo se svaka kontura predstavi preko svojih nado-vezanih
strujnih elemenata I1dl1 i I2dl2, zatim se odrede sve elementarne
magnetske sile meusob-nog dejstva tih elemenata i konano se izvri
vektorska integracija dobijenih elementarnih sila kakobi se
odredila rezultantna magnetska sila meusobnog dejstva tih strujnih
kontura. Poto, naalost,izolovani strujni elementi fiziki ne
postoje, to se ni elementarne magnetske sile ne mogu
izmeriti.Umesto toga ide se sledeim putem: (a) na osnovu merenja
makroskopskih sila za razliite sluaje-ve strujnih kontura moe se
doi do ideje kako bi trebalo da izgleda izraz za silu izmeu
strujnihelemenata, (2) zatim se koristei taj izraz u novim
primerima izraunavaju rezultantne sile i (3) takodobijeni rezultati
potom se eksperimentalno verifikuju. I tako, primenjujui korake
(1)(3) utvrenoje da se u svim sluajevima strujnih kontura u vakuumu
dobija taan izraz za rezultantnu makro-skopsku magnetsku silu ako
se pretpostavi da su elementarne magnetske sile dF12 kojom strujni
ele-ment I1dl1 deluje na element I2dl2 i dF21 kojom strujni element
I2dl2 deluje na element I1dl1 slede-eg oblika:
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 4
d d (d ) d d (d ) ,F l l r F l l r r12 0 1 2 2 13 210 1 2 1
2
34 4
I I
rI I
rr | |, (*)
gde je 0=410-7 [N/A2] ili [H/m] ("H"-jedinica za induktivnost)
tana vrednost za magnetskupermeabilnost vakuuma (a veoma priblino i
vazduha), rvektor poloaja strujnog elementa I2dl2 uodnosu na
strujni element I1dl1, a -r vektor poloaja strujnog elementa I1dl1
u odnosu na strujnielement I2dl2. Izraz (*) zove se Amperov zakon
za magnetsku silu izmeu strujnih elemenata u va-kuumu, uprkos tome
to on ne zadovoljava zakon akcije i reakcije kao originalan izraz
formulisanod strane smog Ampera s obzirom na to da je:
d dF F12 21 0 Zakon akcije i reakcije za strujne elementeb g d
(d ) -d (d )l l r l l r2 1 1 2 0
d (d ) - (d d ) - d (d ) (d d ) tj. , d (d ) -d (d ) , ilil l r
r l l l l r r l l l l r l l r1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 0 0,
r l l (d d )1 2 0 Ekvivalentan oblik zakona akcije i reakcije za
strujne elemente. (**)U pogledu generisanja elementarne magnetske
sile strujni element I1dl1=I1v1dt=dQ1v1 ekvivalen-tan je
naelektrisanju dQ1=I1dt koje bi se u nekom trenutku nalo na istom
mestu gde i taj element, abrzina naelektrisanja v1=dl1/dt tada bi
imala pravac i smer elementa (sl. 1b). Ponavljamo da sestrujni
elementi orijentiu uvek u referentnom smeru struje provodnika, bez
obzira na njenu vre-mensku varijaciju. Poto isto vai i za strujni
element I2dl2, zakljuujemo da se problem uzajamnogdejstva dva
strujna elementa u sutini svodi na problem meusobnog dejstva dva
naelektrisanja kojase kreu u odnosu na posmatraa. Drugim reima, to
je problem meusobnog dejstva tri tela: dvanaelektrisanja i
vremenski promenljivog elektrinog polja sa njegovim inercijalnim
svojstvima us-led konane brzine prostiranja i promene gustine
energije u razliitim takama tog polja. Prema to-me, logino je i
oekivati da u optem sluaju za elementarnu silu meusobnog dejstva
strujnih ele-menata ne vai zakon akcije i reakcije. Naravno, iz
relacije (**) vidimo da u specijalnom sluajukada su posmatrani
strujni elementi kolinearni, zakon akcije i reakcije vai.
Uloga Amperovog zakona u magnetizmu (*) ista je kao i uloga
Kulonovog u elektrostatici.Poto izolovani strujni elementi ne
postoje, to se ni Amperov zakon ne moe direktno proveriti, alise
njegov intuitivno pretpostavljeni oblik moe iskoristiti kao
sredstvo da bi se dolo do rezultata omeusobnom makroskopskom
dejstvu dve strujne konture u vakuumu. Celokupno
eksperimentalnoiskustvo pokazuje da magnetske sile meusobnog
dejstva takvih kontura uvek zadovoljavaju zakonakcije i reakcije.
Naravno,injenica da taj zakon ne vai za fiziki nepostojee strujne
elemente, nebi trebalo daudi.
Sledei primer pokazuje nam da se magnetske sile, a pogotovo one
velikog intenziteta, moguznatno efikasnije generisati od Kulonovih
istog intenziteta. Jer, u tim sluajevima elektrostatikopolje u
pojedinim takama, kao i u delovima prostora, obino postane toliko
velikog intenziteta dajopre pojave Kulonove sileeljenog intenziteta
nastupi elektrini proboj dielektrika.
Primer 1: Dva kolinearna "strujna ele-menta" 1 i 2 duine 5 [cm]
sa istimstrujama od po I=50 [A] nalaze u vazdu-hu na rastojanju a=1
[m] (sl. 2). Da li seista privlana sila sa kojom ovi
elementimeusobno deluju moe ostvariti i sa dvemetalne sfere
poluprenika R=0,5 [cm],koje se nalaze u vazduhu na rastojanju ai
naelektrisane su raznoimenim koliina-ma elektricitetaQ ?
0
a
I I
2R 2R
0Q -Q
F21 F12
1 2
Sl. 2
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 5
Kako su strujni elementi kolinearni i a , to je prema Amperovom
zakonu (*) privlanamagnetska sila izmeu njih intenziteta,
F=|F12|=|F21| [0/(4)](I/a)2=0,625 []. PrivlanaKulonova sila istog
intenziteta moe se ostvariti sa dve metalne sfere u vazduhu,
poluprenika R (Ra) ako se ove raznorodno naelektriu koliinama
elektricitetaQ sa modulom |Q|=a(40F)1/28,34 [nC] (010-9/36[F/m]).
Tada e intenzitet elektrinog polja E0 u vazduhu na povrima tihsfera
biti priblino jednak:
2 2
0 2 20 0
kV30
cm4 4| Q | | Q | a F a
ER | Q | RR a
,
to pokazuje da se privlana sila F uopte i ne moe ostvariti pomou
ovih naelektrisanih sfera, jerelektrino polje u vazduhu na povrima
sfera prevazilazi elektrinuvrstou vazduha, zbogega do-lazi do
njegovog elektrinog proboja. Sa druge strane, udvostruavanjem
intenziteta struje elemena-ta (I=100 [A]) i njihovim smetanjem u
sredinu magnetske permeabilnosti40 , dobija se pri-vlana magnetska
sila izmeu strujnih elemenata intenziteta od oko 25 [mN].
Usnopljavanjem pro-vodnika, a time i strujnih elemenata, intenzitet
magnetske sile i dalje se moe uveavati. Iz prethod-nog zakljuujemo
da se promenom intenziteta struje i permeabilnosti sredine, u optem
sluaju mo-gu daleko lake ostvariti magnetske sile odreenog (pa i
velikog) intenziteta, nego kada se koristeelektrostatiki postupci.
Zato se danas elektrostatike (Kulonove) sile preteno koriste kod
elektron-ske merne instrumentacije, a magnetske kod analogne merne
instrumentacije, u deflekcionim siste-mima katodnih cevi TV
prijemnika i panel pokazivaima, kod elektromotora itd.
U narednom razmatranju zadraemo se i dalje na magnetskim poljima
u vakuumu, a za strujeelektrinih kontura usvojiemo da su vremenski
konstantne i/ili sporo promenljive. Rezultati koji sebudu dobili sa
velikom tanou bie direktno primenjivi, ne samo za vakuum kao
sredinu, veikod dijamagnetika i paramagnetika&). Meutim, kod
feromagnetika ti rezultati nee biti primenjiviu direktnom obliku,
pae njihovo ponaanje u magnetskom polju morati da se posebno
proui.
3. Vektor magnetske indukcije. Bio-Savarov zakon i njegova
primena
Strujni elementi u Amperovom zakonu za magnetsku silu (*) nalaze
se u vakuumu. S obziromda ljudskomulnom iskustvu i pojmanju nije
prihvatljivo da moe postojati bilo kakvo meusobnodejstvo strujnih
elemenata bez "vidljivog" fizikog posrednika, to se upravo
magnetskom polju kaoobjektivnoj fizikoj realnosti pridaje uloga tog
posrednika u posmatranom dejstvu. Dakle, ak i uvakuumu kao fiziki
linearnoj sredini smatraemo da elementarna magnetska sila dF12
nastaje usleddejstva magnetskog polja struje I1 linijskog elementa
dl1 konture C1 na strujni element I2dl2; ada elementarna sila dF21
nastaje usled dejstva magnetskog polja struje I2 linijskog elementa
dl2konture C2 na strujni element I1dl1. Na osnovu toga, a u cilju
definisanja vektorske funkcije kojakarakterizuje magnetsko polje u
vakuumu, relaciju (*) pogodno je napisati u sledeem obliku:
0 01 1 2 212 2 2 21 1 13 3
d d ( )d d d d .
4 4I I
I Ir r
l r l rF l F l (***)
&) Relativna magnetska permeabilnost dijamagnetika jer:=/01
(manje, ali priblino jednako). U takve sup-stancije spadaju, npr.
Ag, Cu, Zn, Bi, grafit, voda itd. Relativna magnetska permeabilnost
paramagnetika je r1 ( vee, ali priblino jednako). U takve
supstancije spadaju, npr. Pt, Al, O2, vazduh itd. U feromagnetike
spadaju Fe,Co i Ni zajedno sa svojim legurama, kao i dve retke
zemlje: gadolinjum (Gd) i disprozijum (Dy) koje nemaju primenuu
savremenoj elektrotehnici. Uobiajeno je da se za dija- i
paramagnetike kae da su supstancije linearne u magnetskompogledu, a
da su feromagnetici nelinearni u tom pogledu.
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 6
Iz prethodne relacije vidi se da elementarna magnetska sila
dF12, koja deluje na strujni ele-ment I2dl2, zavisi samo od tog
elementa i njegovog poloaja u odnosu na strujni element I1dl1.
Naslian nain i elementarna magnetska sila dF21, koja deluje na
strujni element I1dl1, zavisi samo odtog elementa i njegovog
poloaja u odnosu na strujni element I2dl2. Na osnovu prethodnog
mogueje uvesti jedinstvenu vektorsku veliinu B koja karakterie
magnetsko polje i koja se zove vektormagnetske indukcije, a u
literaturi joi vektor gustine magnetskog fluksa. Od 1956. godine
jedinicaza jainu, ili intenzitet B=|B| magnetske indukcije nosi
naziv Tesla ([T]) po genijalnom pronalazauNikoli Tesli
(1856-1943).
Zamiljene orijentisane linije u magnetskom polju sa osobinom da
je u svakoj njihovoj takipravac vektora B tangencijalan na liniju
koja prolazi kroz tu taku i koje su orijentisane naisti nain kao i
B, zovu se linije magnetske indukcije, ili linije magnetskog polja.
Skup svih tihlinija obrazuje spektar ili sliku polja, a njegov
intenzitet u nekoj taki srazmeran je (povrin-skoj) gustini linija u
toj taki. Poto je vektor magnetske indukcije B jednoznana
vektorskafunkcija koordinata taaka, to sledi da se linije magnetske
indukcije ne mogu presecati.
Na osnovu relacije (***) (videti i sl. 1a) sada je mogue na
sledei nain definisati vektoreelementarnih indukcija dB1 i dB2
magnetskih polja koje na mestima gde su locirani strujni
elementiI1dl1 i I2dl2 stvaraju strujni elementi I2dl2 i I1dl1,
respektivno:
0 02 2 1 11 2 12 2 2 2 21 1 1 13 3
d (- ) dd : , d : d d d , d d d
4 4I I
I Ir r
l r l rB B F l B F l B .
rX
0dl
I dB
(a)
I
dl
X
0C
r
(b)Sl. 3
Iz prethodne relacije sledi da se u optem sluaju vektor
elementarne indukcije dB magnetskog po-lja koje u bilo kojoj taki X
(sl. 3a) stvara strujni element proizvoljne strujne konture C (sl.
3b) savremenski konstantnom ili sa sporopromenljivom strujom I, moe
odrediti iz sledee relacije:
03
dd
4I
r
l rB ; 0 2
d sind d d (d )
4I l
B , l | |, ,r
l l r , (#)
odakle je jasno da je pravac vektora B u taki X normalan na
ravan vektora r i dl. Veliina uglana sl. 3a oznaenog strelicom,
nije algebarska, jer strelica oznaava smo da je smer vektora
Bpovezan sa vektorima dl i r po pravilu desne zavojnice. To znai da
je vektor B orijentisan u smerunapredovanja te zavojnice kada se
ona okree u smeru koji najkraim putem dovodi do poklapanjavektora
dl i r (tj. drugim reima, kada se dl okree u smeru orijentacije
ugla ). U sluaju na sl. 3avektor elementarne indukcije dB usmeren
je kao odlazea strela ("") kada je I0, a kao dolazea("") kada je I
0. Zbog toga se za smer vektora dB odreen na ovaj nain kae da je
algebarski,to znai da je dB zaista orijentisano kao na sl. 3a kada
je I0, a u suprotnom smeru kada je I0.
Izraz (#) za vektor magnetske indukcije dB strujnog elementa
zove se Bio-Savarov zakon.
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 7
Magnetska indukcija B koju u taki X stvara strujna kontura C u
vakuumu (sl. 3b) moe seodrediti vektorskom integracijom indukcija
pojedinih strujnih elemenata te konture:
o o0 03 2
d d sin(1 ) ( ); (2 )
4 4C C
I I lC B
r r
l r
B ,pri emu su u sluaju (1o) oblik konture i poloaj take X
proizvoljni, dok su u sluaju (2o) kontura itaka u istoj ravni. U
sluaju (2o) vektor rezultantne magnetske indukcije B u taki X je
normalan naravan crtea (videti sl. 3b), a njegov algebarski
intenzitet B raunat u smeru ka crteu (ili od njega),moe imati
pozitivan ili negativan predznak.
U praksi se red veliine intenziteta vektora magnetske indukcije
kree u vrlo irokim granica-ma. Horizontalna i vertikalna komponenta
vektora indukcije prirodnog magnetskog polja Zemlje nateritoriji
Srbije iznose Bh 20 [T] i Bv 35 [T], respektivno. Intenzitet
magnetske indukcije uokolini strujnih provodnika u vazduhu kree se
od 1 [T] do 10 [mT], a u feromagnetskim jezgrimai vazdunim
procepima elektrinih maina on je u opsegu 0,1-1 [T]. Najvei
intenzitet magnetskeindukcije u dananje vreme ostvaren je pomou
elektromagneta i iznosi par desetina [T], a joveiintenziteti (30
[T]) mogu se realizovati sa tzv. superprovodnim magnetima.
Sada emo se baviti odreivanjem raspodele indukcije B magnetskog
polja u vakuumu, kojestvaraju kvazilineine strujne konture
proizvoljnog oblika. Vakuum je linearna sredina u fizikompogledu,
pa u njemu vai princip superpozicije. Strujna kontura proizvoljnog
oblika moe se uvekdekomponovati u konaan broj linijskih (ili dunih)
i lunih segmenata ili sekcija, pa se indukcija Bu bilo kojoj taki
magnetskog polja, u optem sluaju dobija vektorskom integracijom
indukcija ko-je u toj taki stvaraju strujni linijski i strujni luni
segmenti konture ponaosob, odnosno indukcijakoje stvaraju "strujne
dui" i "strujni lukovi". Zato je potrebno da se prvo odrede opti
izrazi za ras-podelu indukcije magnetskog polja usamljene "strujne
dui" i usamljenog "strujnog luka", naravno,uvek imajui u vidu da
takvi strujni elementi fiziki ne mogu da egzistiraju izolovano.
(a) Magnetska indukcija "strujne dui"
Na sl. 4a prikazana je "strujna du" u vakuumu sa vremenski
konstantnom ili vremenski sporopromenljivom strujom I. Odredimo
pravac, smer i intenzitet vektora indukcije u proizvoljnoj taki
Xizvan prave odreene datom dui. Usvojimo da "strujna du" i taka X
lee u ravni crtea i da su zabilo koji njihov meusobni poloaj
veliine uglova 1 i 2 pozitivne, a uglova 1 i 2 algebarske.Veliine
uglova 1 i 2 smatraju se negativnim kada se ovi nanose ispod
normale d (tj. u smerusuprotnom od struje I), a pozitivnim kada se
ti uglovi nanose iznad normale d (tj. u smeru struje I).Neka je
ijedinini vektor x-ose.
Sl. 4
Referentni smerstruje I
Orijentacija linijamagnetske indukcije
Desn
aru
ka
I
0
1d
2d3d
1B
2B
3B
Linije magnetske indukcije orijentisanesu u smeru vezanom po
pravilu desne
zavojnice sa algebarskim smerom struje I
Kru`nice
Neograni~en, prav, kvazilinei~nistrujni provodnik u vakuumu
(b)
10
2 0
d ,B BI d
x-osa
0
X
1 0
2 0
dxi
x
0
(a)
r
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 8
Prema geometrijskim odnosima na sl. 4a i Bio-Savarovom zakonu
(#) dobija se sledee:
1 1 1 1 1 1 10 0, cos cos sin2 2, ,
,
2 2 2 2 2 2 20 0, cos cos sin2 2, ,
,
1 2ctg ctg , d dsin sind dr , x d d x
,
0 0 03 2
d d sind , , d sin d
4 4 4I I Ix x
r | | Bdr r
i rB r dB, B (i, r),
2
1
0 0 01 2 2 1sin d cos -cos sin -sin4 4 4
I I IB
d d d
. (&)
Kada u specijalnom sluaju "strujna du" prerasta u neogranien,
prav, kvazilineian strujniprovodnik, tada1 0, a2 , odnosno1 -/2,
a2/2, tako da se iz prethodne relacijeza B odmah dobija Bio-Savarov
zakon u obliku do kojeg su ovi istraivai doli eksperimentalno:
0
2I
Bd
Eksperimentalni oblik Bio-Savarovog zakona. (##)
Zbog aksijalne simetrije posmatranog sistema, bez obzira na to
da li se radi o "strujnoj dui" ili oneogranienom pravolinijskom
strujnom provodniku, zakljuuje se da spektar magnetskog polja
udatom sluaju mora biti aksijalno simetrinog karaktera.
Za prav, kvazilineian i neogranien provodnik, iz relacije (##)
"zakljuuje" se da Bkada d 0.Meutim, kako jedna fizika veliina
nikada ne moe dostii beskonano veliku vrednost, to sledi
daBio-Savarov zakon vai za take u magnetskom polju koje lee izvan
provodnika, poevi od smenjegove granine povri. Neto docnije
pokazaemo (videti primer 9 na str. 26, ibid) da na osnovuAmperovog
zakona o cirkulaciji vektora magnetske indukcije B (videti na str.
25, ibid.) sledi: (1) da jeintenzitet magnetske indukcije ravan
nuli u takama na osi (ne)ogranienog, pravog provodnika, kru-nog
poprenog preseka, (2) da taj intenzitet linearno raste sa udaljenou
taaka od ose provodnika,sve do njegove granine povri, (3) da
Bio-Savarov zakon u obliku (##) vai u takama izvan provod-nika,
ukljuujui i one na samoj graninoj povri i (4) da su kod takvih
provodnika linije magnetskeindukcije koncentrine krunice, kako
unutar provodnika, tako i izvan njega. Za neogranien,
prav,kvazilineian strujni provodnik u vakuumu, na sl. 4b prikazane
su neke od krunih linija magnetskeindukcije. Njihova orijentacija
odreuje se po pravilu desne zavojnice: palac desne ruke postavi se
ureferentnom smeru struje, a preostali skupljeni prsti odreuju
orijentaciju linija magnetske indukcije.Algebarski intenzitet
indukcije isti je u svim takama jedne od tih linija indukcije [npr.
za tri takve lini-je na sl. 4b algebarski intenzitet magnetske
indukcije u njihovim takama je, Bi=0I/(2di) ( )i 1 3, ].
Primer 2: Odrediti magnetsku indukciju B u centru pravougaone,
kvazilineine konture sastrujom I, koja se nalazi u vakuumu (sl.
5a). Odrediti zatim i indukciju B magnetskog poljakoje u taki X
stvara deo te strujne konture prikazan na sl. 5b.
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 9
a
b
0
22
I
3
4
1
2B B B B1 2 3 4
B
(a)
0I
22
12
2
2
1
B
B2
B1
(b)
1
2
a
X
Sl. 5
Magnetska indukcija B u centru pravougaone, kvazilineine konture
sa strujom I, koja se na-lazi u vakuumu (sl. 5a) odreuje se
superpozicijom magnetskih indukcija B1, B2, B3 i B4, koje u tojtaki
stvaraju "strujne dui" 1, 2, 3 i 4, respektivno. Kako se pravac i
smer indukcije "strujne dui"odreuje po pravilu desne zavojnice, to
se zakljuuje su svi vektori B1, B2, B3 i B4 normalni na ra-van
crtea i da imaju isti smer. Isti pravac i smer ima i rezultantna
magnetska indukcija B=B1+B2++B3+B4, a njen algebarski intenzitet je
B=B1+B2+B3+B4 . Smer rezultantne indukcije u datom sluajumogue je,
takoe, odrediti i pomou pravila desne zavojnice: ako se prstima
desne ruke konturaobuhvati u referentnom smeru struje, tada palac
pokazuje pravac i smer rezultantne magnetske in-dukcije. Prema sl.
5a, iz relacije (&) na str. 8 odmah se dobijaju svi algebarski
intenziteti indukcija:
B BIb
Ib
I a
b a b1 2
0 0 0
2 24
2
sin -sin(- )sin
,
B BIa
Ia
I b
a a b3 4
0 0 0
2 24
2
sin - sin(- )sin
,
2 20 0 01 3 2 2 2 2
22 ( ) 2
I a I b IB B B a b
a bb a b a a b
,
dok se u posebnom sluaju kada je kontura kvadratna (a=b) dobija,
B=2 20I/(a).Za deo strujne konture prikazan na sl. 5b rezultantna
magnetska indukcija B u taki X odreu-
je se superpozicijom magnetskih indukcija B1 i B2 koje u bi toj
taki zajedno stvarali neogranien,pravolinijski provodnik 1 i
pravougaona strujna kontura 2 sa istom strujom I. Vektori B1 i B2
nor-malni su na ravan crtea, a njihova orijentacija oznaena je na
sl. 5b. Vektor rezultantne magnetskeindukcije B, takoe je normalan
na ravan crtea (sl. 5b), a pri tome je usvojeno da je referentni
smeru kome se rauna njegov algebarski intenzitet usmeren ka crteu.
U odnosu na taj izabrani smer,algebarski intenzitet rezultantne
indukcije u taki X je B=B2-B1, priemu su:
22 20 0 0
1 2 2 1
2 2 1, , 12
I I I aB B a b B B Ba a b a b
.
Videti i primere 2-5 na str. 365-368 u udbeniku.esto se za
algebarski i prvi intenzitet vektorakoristi isti naziv "intenzitet"
(a esto i ista oznaka), a o emu je re, uvek je nedvosmisleno jasno
izkonteksta, s obzirom na meupovezanost smerova fizikih veliina
koje definiu posmatrani vektor.
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 10
(b) Magnetska indukcija u centru krunog "strujnog luka"
Svaki tanak iani strujni provodnik moe se dekomponovati u konano
mnogo "strujnih du-i" i "strujnih lukova". Magnetska indukcija koju
u nekoj taki u vakuumu stvara sistem kvaziline-inih strujnih
kontura odreuje se vektorskom superpozicijom indukcija koje u toj
taki stvara ko-naan skup "strujnih dui" i "strujnih lukova" koji
predstavljaju elemente datih kontura. Magnetskuindukciju "strujne
dui" odredili smo po pravcu, smeru i intenzitetu u prethodnom lanu,
a ostajejoda se to isto uini i za "strujni luk" u ravni.
Elementarna dB i ukupna magnetska indukcija B ucentru 0 takvog
"strujnog luka" (videti sl. 6a) mogu se odrediti iz Bio-Savarovog
zakona. Dobija se:
0 0 0 0 03 2
0
d d sind , d d d4 4 4 4 4
I I II I lB Br r rr r
l rB , ($)
gde je dl=|dl|=rd(r=|r|-poluprenik luka), a =(dl, r)=/2. Ugao
izraen je u[rad]. Vektorrezultantne magnetske indukcije B normalan
na ravan u kojoj luk lei, a njegova orijentacija odre-uje se po
pravilu desne zavojnice: prstima desne ruke luk se obuhvati u
referentnom smeru struje I,a palac pokazuje smer vektora B.
Kada kruni "strujni luk" preraste u krunu strujnu konturu (sl.
6b), tada iz relacije ($) sledi:
20 0
0
d4 2
I IB Pujeov obrazac
r r
.
r
0
[rad]I
I
dB B,dB B,
(b)
Idl
r0
0
(a)Sl. 6
I
Idl
R
0X
d
0
x-osa
y-osa
dB*d
R d2 2r
Konus vektoraelementarnih
magnetskih indukcijad
Ovaj element je dijametra lno
sup rotan od elementa Il
dB**
dB B,
Sl. 7
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 11
(c) Magnetska indukcija na osi normalnoj u centru krune strujne
konture
Odredimo magnetsku indukciju B u taki X na osi normalnoj u
centru O krune strujne kontu-re (sl. 7). Sa slike se vidi da svakom
strujnom elementu Idl koji stvara indukciju dB*
odgovaradijametralno suprotan element koji stvara indukciju dB**
tako da vektorski zbir dB*+dB** nema y-vesamo x-komponentu dB. Skup
svih vektora elementarnih magnetskih indukcija koje u taki
Xstvaraju strujni elementi krune konture, obrazuje elementarni
konus ekvimodularnih vektora sa te-menom u taki X. Odatle se
zakljuuje da vektor rezultantne magnetske indukcije B ima
jedinokomponentu u pravcu x-oseija se orijentacija odreuje po
pravilu desne zavojnice: ako se prstimadesne ruke kontura obuhvati
u referentnom smeru struje, onda palac pokazuje orijentaciju
vektoraB. Na osnovu Bio-Savarovog zakona dalje sledi:
0 0 03 2 2 2
d d sin (d , ) dd , d d4 4 4
I I l I R* B* B**r r R d
l r l rB ,
2 2 , d d d , (d , )2
r | | R d l | | R r l l r ,
2
03 2 2 22 2
dd 2 d sin ; [0, ], sin ,
2 /I R R
B* ort x oseR dR d
B i i i ,
2 2
30 0 03 2 3 22 2 2 2
0
d sin2 2 2/ /
I I IR RRR d R d
B i i i , ($$)
odakle se u specijalnom sluaju kada d 0 dobija Pujeov obrazac,to
se naravno moglo i oekivati.
N,I N,I
R
R
S
R/2
B
0
(a)
0
1 2
X
xx-osa
R
I
N, N'
0
B
x-os
a
0 Xx x+dxR
L
2
1
N, N' I
D (c)
(b)
0
Sl. 8
Za dobijanje praktino homogenog magnetskog polja u odreenom delu
prostoraesto se ko-riste Helmholcovi kalemovi (sl. 8a). To su dva
tanka, jednaka koaksijalna kruna namotaja sa po Nvrlo gusto
namotanih zavojaka, koji praktino predstavljaju krune strujne
konture. Namotaji se na-
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 12
u
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6S (0.5,1.43108)
B2n
Bn
B1n
dBn/du
laze u vakuumu na rastojanju R jednakom poluprenicima namotaja.
Odredimo magnetsku indukci-ju u proizvoljnoj taki X koja se nalazi
bilo gde na x-osix (-, +), a posebno u blizini take Sna sredini
izmeu zavojaka (x=R/2). Prema relaciji ($$) vektori magnetskih
indukcija B1 i B2 koje utakama na x-osi stvaraju kalemovi 1 i 2,
respektivno, kao i vektor rezultantne indukcije B=B1+B2,za u=x/R
(-, +) definisani su sledeim relacijama:
0 0 0
0 1 23 2 3 222: , : , , , (- , )
2 1 1 1/ /
N I B BxB u u
R R u u
B i B i ;
B B B i
RS|T|
UV|W|
1 2 0 2 3 2 2 3 21
1
1
1 1B
u uc h b g/ / ,
1 2
1n 2n n3 2 3 2 3 2 3 22 22 20 0 0
| | | |1 1 | | 1 1: , : , :1 11 1 1 1
/ / / /B B BB B Bu uu u
B B B .
Na sl. 9 prikazane su varijacije funkcija B1n(u), B2n(u) i Bn(u)
u opsegu u-1, +2, odakle se vidida je rezultantno magnetsko polje
"nekako koncentrisano" u delu prostora izmeu kalemova, da jeza
u=1/2 (tj. x=R/2) ono maksimalno ( dBn(u)/du|u=1/2=0) i da se polje
oko take S slabo menja( d2Bn(u)/du2|u=1/2=0). To drugim reima znai
da je magnetsko polje na x-osi u delu prostora okotake S praktino
homogeno.
Sl. 9
Struje namotaja na sl. 8a istog susmera i jednakog
intenziteta.
Struje namotaja na sl. 8a suprotnog susmera. Struja desnog
namotaja dvostruko je
veeg intenziteta od struje levog.
Spektar magnetskog polja.Namotaji se privlae.
Spektar magnetskog polja.Namotaji se odbijaju.
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 13
(d) Magnetska indukcija na osi solenoida
Sada emo odrediti magnetsku indukciju u takama na osi ravnomerno
i gusto namotanogsolenoida (reje grkog porekla; "soln" na grkom
znai "kanal, cev", a dodatak "oid"grki "oi-ds"znai "slian, nalik
na") krunog poprenog preseka poluprenika R (sl. 8b). Solenoid je
spi-ralni namotaj koji se formira ravnomernim i gustim namotavanjem
tankog, izolovanog,ianog pro-vodnika na upalj kartonski cilindar.
Solenoidi se, inae, najee primenjuju kod analogne elektro-dinamike
merne instrumenatacije, koja se koristi u elektrinim mreama i
sistemima za merenjestruje, napona i snage, pri jednosmernim i
naizmeninim radnim reimima. Unutranjost solenoidamoe biti vazduh,
ali i neki feromagnetik. Magnetsko polje vazdunog solenoida
praktino je istokao i magnetsko polje vakuumskog solenoida.
Posmatrajmo vazduni solenoid duine L sa N ravnomerno i gusto
namotanih zavojaka (sl. 8c)i strujom I. Svaki od tesno
priljubljenih zavojaka moe se smatrati jednom krunom strujnom
kon-turom. Na duini dx solenoida postoji (N/L)dx zavojaka (N'=N/L
je poduna gustina zavojaka, ilibroj zavojaka po jedinici duine),
koji se mogu zameniti jednim zavojkom sa strujom I(N/L)dx.Indukcija
magnetskog polja tog zavojka u taki X na osi solenoida, koja se
nalazi na rastojanju D odpoetka solenoida (sl. 8c) prema relaciji
($$) je:
330 0 sind sin d d
2 2N I N I
x x , ort x oseR L L R
B i B i i
Du` osesolenoida
.
Meutim, kako je sa sl. 8c, D-x=Rctgi dx=(R/sin2)d, to iz
prethodne relacije odmah sledi optiizraz za vektor magnetske
indukcije B u takama na osi ravnomerno i gusto namotanog
vakuums-kog ili vazdunog solenoida, konane duine L, sa strujom
I:
B i i i
z
0 0
10
12 2 21
N IL
N IL
N Isin d cos cos cos cos
2
2 2b g b g' ,
0 1 2cos cos2N' I
B Algebarski intenzitet indukcije B raunat u smeru x-ose.
(*)
Kao i u svim prethodnim sluajevima orijentacija vektora B
odreuje se po pravilu desne zavojnice:kada se prstima desne ruke
solenoid obuhvati u referentnom smeru struje I, tada palac
pokazujeorijenataciju vektora B.(a) Za neogranien (tj. beskonaan)
strujni solenoid1 0, a2, pa iz relacije (*) sledi da je usvim
takama na njegovoj osi magnetska indukcija, B=0N'Ii, dok je njen
algebarski intenzitet,B=0N'I.(b) U sluaju kada je strujni solenoid
ogranien, a taka X je na osi solenoida u njegovom centru(D=L/2),
tada je magnetska indukcija Bc u ovoj taki prema relaciji (*):
0 0 0c 1 2 c2 21
cos cos2 1 (2 ) 1 (2 )
N I N I N ' IB
L L R / L R / L
B i i i i ,
(**)
gde je cos(2 / )
, , cos(2 / )
1 2 2 2 2
1
1
1
11
R L R L, a Bc algebarski intenzitet
magnetske indukcije Bc raunat u smeru x-ose.
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 14
u
B/Bo
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60
0.5
1
1.5
2
v=0.1
v=0.5
v=0.4
v=0.3
v=0.2v=0.01
Kada je ovaj ogranieni solenoid tanak ( 2RL), tada iz relacije
(**) sledi Bc B=0N'Ii iBc B=0N'Ito znai da je magnetska indukcija u
centru takvog solenoida ista kao i u taka-ma na osi neogranienog
solenoida. Kod tankih solenoida mogue je, takoe, smatrati da je
magnet-ska indukcija priblino ista u svim takama jednog poprenog
preseka.
Ako se taka X (sl. 8c) nalazi na levom kraju ogranienog
solenoida (D=0), tada je magnetskaindukcija Bl u toj taki [videti
relaciju (*) na prethodnoj strani]:
0 0 01 2 2 21
cos cos2 2 1 ( ) 2 1 ( )
l l
N I N I N ' IB
L L R / L R / L
B i i i i ,
(***)
gde je 1 2 2, cos ( / )
/ 2
1
1 R L, a Bl algebarski intenzitet indukcije Bl u smeru
x-ose.
Ako se taka X (sl. 8c) nalazi na desnom kraju ogranienog
solenoida (D=L), tada je magnet-ska indukcija Bd u toj taki [videti
relaciju (*) na prethodnoj strani]:
0 0 0d 1 2 d2 21
cos cos2 2 1 ( ) 2 1 ( )
N I N I N ' IB
L L R / L R / L
B i i i i ,
(****)
gde je cos( / )
, ,1 2 2 1
12
R L/ a Bd algebarski intenzitet indukcije Bd u smeru x-ose.
Kada je ogranieni solenoid tanak ( 2RL), tada kod njega nije
samo Bc=B=0N'I, veiz re-lacija (***) i (****) sledi i da je
Bl=Bd=B/2=(0N 'I/2)i, odnosno Bl=Bd=B/2=0N'I/2 toznai da je u
centru ovakvog solenoida algebarski intenzitet magnetske indukcije
dvostruko vei ne-go na njegovim krajevima.
(c) I konano, u sluaju kada je solenoid vrlo dug i tanak, moe se
smatrati da je magnetsko polje unjemu priblino homogeno, tj. da je
u svim takama u solenoidu B=0N'Ii, odnosno B=0N'I.
Sl. 10
Magnetsko polje retkonamotanog, kratkogstrujnog solenoida
Magnetsko polje gustonamotanog, kratkogstrujnog solenoida
-
PREDAVANJE 8 (PROF. D. KANDI, MAINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 15
Odreivanje raspodele indukcije u takama izvan ose ogranienog
debelog solenoida, a pogotovokada je on joi retko namotan,
predstavlja veoma teak problem, koji neemo ovde razmatrati.
Ko-linik v poluprenika solenoida R i njegove duine L zove se faktor
debljine solenoida (v:=R/L).Kod ogranienog, ravnomerno i gusto
namotanog solenoida, algebarski intenzitet indukcije duosemenja se
prema relaciji (*) (videti i sl. 8c):
00 02 2 2 2
0
1 : , : , : , : ( )2( 1)
N ' Iu u D R BB B , B u v f u,vL L Bu v u v
.
Na sl. 10 prikazana je varijacija normalizovane indukcije f(u,
v) duose ogranienog solenoida zaest razliitih vrednosti faktora
debljine v=R/L . Kod tanjih solenoida v je manje, pa je kod njih
pro-mena indukcije duose i po poprenom preseku solenoida manje
izraena. Zato se moe smatrati daje magnetsko polje u vrlo dugom i
tankom solenoidu priblino homogeno sa indukcijom B=0N'I.
Primer 3: Odrediti magnetsku indukciju B u taki C za strujne
provodnike u vakumu nasl.11ae. Odrediti i struju I* u sluaju
provodnika na sl. 11f tako da u taki C bude B=0.
12
3
I
C B B
C
I
I
2 3
4
/ 6
RR
CB
R
I
RR
1 2
3 4
5
CB
I
12
3
4 5
6
/ 6
1
2
3 4
R
R / 6C
BI
C 1
2
I *
R R/2
(a) (b)(c)
(f)(e)(d)
3
4
5
B0
0
0
0
0
0 0
U svim slu~ajevima je R=10 cm, a I=5 A
Sl. 11
(a) 0 0 01 2 3 1 2( 1)
0 20 71 [ T]4 4 4
I I IB , B , B , B B B ,
R R R
.
(b) 0 0 01 2 3 4 1 43 4
0 3 29 6 [ T]4 3 4 3
I I IB , B B , B , B B B ,
R R R
.
(c) 0 01 2 3 4 5 1 2 52 3
016 8
I IB B , B B , B , B B B B ,
R R
0 0 02 3 2 3 27 1 [ T]8 8 8I I I
B ,R R R .