Electrotehnica XI XII 1983

5/10/2018 Electrotehnica XI XII 1983 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/electrotehnica-xi-xii-1983 1/72

o

o z.·0

Zllll

ANDREI TUGULEA MIHAl VASILIU

Lei 7,75

GHEORGHE FRATILOIU EMANOIL COCO~

,...IEHNICA

oManual pentru lieee lndus tr iale cuprofil de eleetrotehnidi.!

clasele a XI~a ~i a .XII-a,I

sl pantru-'~eoli profesionale

o

EDITURA DIDACTICA ~I PEDAGOGICA, BUCURE~TI - 1983



Prof. dr. doc. "lng. ANDREI TUGU LEA

~ef luer3r i ing. GHEORGHE FRATILOIU~ef lucrlri dr. ing. MIHAl VASILIU

Ing. prof. EMANOI L COCO~

I

Manual pentru l lcee Industrlale cu prof ll de e lectrotehn ld •

.dasele a XI-a , i a XII-a. ~I pentru ,coli profeslonale.. .

E_I)ITURA DIDACTICA $ 1 PEDAGOGICA( BUCUREFI-1983



A oe ~t m an ua l GonstiLuia r s ed l t u re a editiei 1981 elaborate

o,on10l'm pl'ogl~amei ~oo la l '( l a p ro b at e de l\1inisLerui Edncufiei~I tnvil.~lI.mlnLullii ell Ill ', 36213/1981 y

Ta:-:tale maroate ou hara t'1 , ver lO all! nu s e a dr es ea z_ '" elavl'Io-r-

$C O llor proreslonal e. ' tI

Referent: ing. prof, ELENA DOINA paPARedac tor: i ng, MONICA URSEA

Tehnoredactor: LILIANA ANTONIl]

C ap /t o f u ! 1

E I. .E CTROTEHNICA c tMPULU I MAGNET IC

A. CARACTER IZ AREA C fMPULU I MAGNET IC ,M AR IM ILF S I LE GILE AC ES TU IA

1, Ctmpul malnetlc tn vld, Forta lui LorlntZ

Dael1 un corp de prohli tnel1roat ou sarcina eleet ricli f/ . se mi,cl1 in vidin preajma unor oxizi naturali aJ fierului (magneti' naturah) sau a unor con-ductoare parourse de cui Int i, experien~a aratli e li asupra aeestu ia se:exero it li,i0 fortl1 distinot li de eele gravita~ionale, mecanica sau electr ice. Se spuneoli in [urul oorpurilor 8u8rmentionate, in vid, se produce un ctmp magnetic

oare exeroitli 0 fort! magnetic! asupra corpului de prohl1 in miscare. "" .' Exprim~rea matem&tici a lortei magnetice. Fisioianul olandez HendrikAnwoR Lorenfz (1853-1928) 8. 8.rli tat 0 1 1 forta magnetica se poate exprimatotdeauna prin relatia vectorial!:

(1 .1 )

in care: "

q este sarcina oorpului d e proba;4-

1) - viteza corpului de proba i4-

B - inductia magnetica a ctmpuhzi-magnetlo.~ Interpretarea fiziei a expresiei lor'ei magnetice. Deoarece forta

magnetica, etlnoso:H,ta ,i sub numele de "for,a lai Lorentz", se exprima in• - J t o ~ . •

funojie de produsul vector ial dintre vectorii v ~i B," put.em face urmatoa-rele aiirmatii verificabile experimental: " " ""

. . . . ' ,- forta. F m este totdeauna perpendiculara pe planul determinat de

~ -+- I .

vectorii v ,i B ,i pentru sarcin i posit ive (q >0) se asociaza acestora ca• j ~ -+

"sens dupa. regula hurghiu lu i drept (fig. 1 :1) , adica rotind pe v peste B dupa

unghiul mai mic realizl1m Inaintarea burghiulul in sensul fortei P m i pentru. . . .

g < 0, sensul forlei Fm este opus (fig. 1.2);

3



'. -... :. '.~. _. ':".:.~.'.: - ' : , : ; ' , < : < : . '- : . ' .

Fig. 1.1Fig. 1.2

- modulul 'for~ei are expresia

Fm = q \ v B sin 0:,

0: f~ind: unghiul dintrs : §i B (fig. 1.1), .

. I n particular, forta este maxima otnd _ 7t' • -. I

IX - '2 ~l areexpresla:

- Fm m aX = q IvB.

. Forta este nula otnd vectorii ~ ~i ii slnt al I i (-+ . par e I 0: =).

• • Vectorul B, adica induc,ia magneti it, v •

c~mp1! '1magnet i c in fJid, deoarece permit e ~~ te m an m ea ~ ar e c ar a(J te riz ea zarelat1a (1 .3) rezulta unitatea sa numit~ etpzrlm(B!ea fortel magnetice. Din

_ ' . es a simbol T);

(B) =.(Fm> ,(q>(v) ~

, 1 tesla = ,1newton X 1 secnnda

1 coulomb X 1 metru

sau, folosind simbolurile corespunzato~'re, 1T=1~ =1~

C'm A'm

_ L. M p m C l " t u l l'nljnetlc

. Un. ~imp magnetic se numests 'unifor .regiuns dill spatiu daca induetia sa m ag t~~ sau emogen ?tt~-o anumltad. . r. ne tea este aceeasi ~n ftetn regiunea consideraui ad' ~ l -;. - ., care punctlasi , ~c a (Jectoru B ar e in toat l·· . .

ace.af£ sene ~£ ao ee as i md r im e (fig. 1.3). D ~- e punctei e ac e ea f t directie,se Introduce un ac de busola sau ' aca lntr-un cimp magnetIc uniforme a asupr~ acestuia se exerciM un ~~ ~ldm;gnet natura!, exper ienta arata

. - pn e orte al oarui mement tinde sa

4

o

o

0 .......

Fig. U,

(1.2)

orienteze 0 anumita ad a aoului magnetic (axa polilor I :S· 'N) pe direc~ia, clmpului (fig. 1.4).

Expresia vectoriala

(1.3) .

. .

Fig. LS .

a~~ste,

L~~'M;'Mmea ; caracterizeaza stare a de magnetizare a aoului magnetic ~i se

numeste moment magnetic. El este orien ta t dupa axa poli Ior, dinspre S Spre N.De aceea, acul se Ei.,aza stabil ou axa polilor pe directia cimpului. Datoritaacestei proprietati, oimpnl magnetic din vid poate fi sondat cu ajutorulunui ao de huscla: sensul , i d irao tia acului ne indica . sensul , i directia c1mpu-lui, iar mapimea sa rezulM din expresia ouplului:

B = m maa::.

m

Daoa pe o suprafata aflata, intr-un dorneniu in care exista ctmp mag-netic se presara pilitura de fier, fiecareparticula se cornporta C8 . un .micao magnetic V i se orienteaza i ll lungul l in ie i de c1mp magnetic . In acest fe.!liniile de c1mp magnetic pot fi vizu- - -:alizate (fig. 1.5). .,

ApUca~la 1.. Srl 8e : c alc ule ze (o rla lui

Loren t z care Ife erter~iUt a8kp ra un ui e le ctr on

oe p lt lr uJ :! de . g nt r' u n c tm p . m a gn et ic uhi{orm

d e in dud fie B =·1 T, au vi teza !) = 0&m l «~.

p e rp e nd i ou la r it . pe H.

I

Fm =I ge IvB =1,6 '10-19• 10~:1=\

=1,6 • 10':"~tN.

. ApUc"~la2. Sd s e , d e te r m in e t ra ie e to r i«

electronului d~naplicalia 1, gtiind cd ma sa

sa e li te mo =9,1 • 10 -31 kg .

I.

(1.4)

Fig. 1.5

5



De oa re co f o rtae st e p e rp e nd ic u la rA , p e v i te zA, d in l eg e a f un d a! 1 le n ta lA . 8 \ & " ' . . . . , , " ' ' ' .\ r ez ul tA :

' ; . ; , F . . '~a =- - E ! . . =- .!ft v x a,

mo mo

adiCi1 0 Ilcceleratie normala ps v it ez il , a v! nd m o du lu l c on st an 't :

I q / 1 '6 ' 10-19 . '" ..a = = __!!,_ vB = ' '108 '1 =1,76 '1018 ,m/s a•

mo 9,1' ,10-0,., " ,

Orice 8cceiertltie norma!1I. p e v i te zA ~i d e mo d ul c on st an t imp li cl 1 o 'm l ,c ar e c lr cu la ~ 4 unl.forml1, p en tru c ar e:

Vi -I I vB 'a =a n =-.... (0 - =rwB;

r m o

unde r e st e r az e t ra ie ct or le l; oblinem:

m o f J"~--I::!!!

/( e I B9,1'10-

81'10

G"'" C i 68 '10-' m

1,6 '_1Q -J9 ':1 "

~ I v lt oZQ unghlulol'A:

Ap ll ca tl a 8 , C a re s tn t /Jilt/za # e ne rg ia c in e ti c4 a le unu! e l e ct r o n o a r e e ! €c t u ea z iJ . t n tr . un 'clmp de induoJ ie B =0,6 T 0 m i,care de rotalle av tn d r =1,0-1 m?

Di n a p l io a ti n 21 '8 zu lUl :I

I qe I rB ' 1,6',10-19 '10-5• 0,5

v= , ""' ='B,8'105r o . / s ;mo 9,1'10-81

W e =mov2 =,1 '10-S1(8,B '106)D = 3,52' 10-

1UJ.

- 2 2

Apl l cB t lB4 , Care este momenuu magnetic til unul ao de busol4, ,tUnd 04 tn c tmpu l mag-

netic terestru (Bt =0 'lfr6T) asupra sa se exercit4 un cuplu ma:lJimC

mma~ =1()-6 Nm?

m = c'm max = = '1.0-6

=0 ,2 Nm =0,2 Am!!,Bt 5 • 1. 0-5 'I'

3. Fgr~1 lUI Laplace

, • Ex prim area matematiclt a fortei lui Lll -plaee . Exp~rienta 8.l'0.M. ,oil.asupra oonductoarelor parourse de curent .eleotrio ,1 intl'oduse in olmp mag-netdo se 'exerciM forte magnetiea. Ca urmara a . aotiunii fortelor magnetice,conduotorul ss deplaseaziU ~aliitnd experientele lui Oersted* ,iAmpere~*,fizicianul , i matematicianul 'franoez Pierre Simon Laplace ' (1749-1827)', a

,'. .+reu,it sa . stabileasca. 0 formula. generalS. pentru caloulul forle imagnet ice FL'

" ,

* H an s C hrist ian O ers te d (1"'-1851) _ f izician danez. '* . . .Andr~·Marie Ampere (1775-1836) - f izl()ian ~i ma temat io la n f ra nc ez .

6

-I ' -

FI(f. 1.6

,

6 8e ea:ercit4 f J9Upra u nu i s eg me nt r ec ti lin iu d e c on du cto r p ar cu rs

~o e. '1& tl e x p re s ie , n um it l I i lo rt& lu i L ap la ce , e.te:

d e e nr er {-

( 1 . 5 )

unde: .:-...... ' . eleotric care strabate conduotorul jteste intensita tea ourantului

d t 'entat In sensul ouren-, _ lungimea segmentului de oon ue or on

, ' tului (fig. 1.6) j . '

-+ • d r netiol a unui olmp uniform.. . ..'B _ I n u:,_;o. ~ ~ f e ' ~ expresie i fortei lui Laplace. Di n expres~a. for~el'. I nt er pr e eo., . fi ioe verifioahile experimental:

lui Laplace rezultl urmltoa~ele oonsecinte ~dicularl ~e planul detorminat_- fort&. lui Laplace, este. totdeauna ~erpen . .~. -+ -+

de veotorii .l ,i B ; , . .. .. -+ •

. .. l Bsint perpendicularifo~t&.lui Laplace este max.b;nl ctnd vectOl'n ~l _Iinul iOlnd vectori i s l~t p9 .1 'a l~:

IlL,male =Bl;

.: dacl vectorii fac, un unghi < x, atunci:

\ F L ( o t ) =iBl sin < X j

-sensu! fortei lui' ~apl~ se o.sooia.z~ ou ssnsuriledupl r eg ui a b ur g hi ul ui ' dr ep t. (v. for~a IUl Lorentz).

-+ -+veotorilor l ,i B

7



·Flg,1.1

. • LegJttura dfnt re forta lui Laplace , i for~a,lui Lorentz. F o rl a l ui L ap la cen u e ste La ec tt o ,m a nif es ta re m a cr os co pic a a , fo rl ei lu i L or en tz . ~ln adevllr" dacllpresupunem ol purtlltorii de sarcina care constituie curentul electrio stntelectroni (fig., 1.7lt atunoi ~inlnd seama de Bemnifi .oa~iamicroscopica a Inten-siM~ii curentuIui e lectr ic (v. Electrci tehnioa cl, X. , cap. 2), obtinem:

i =A = l q e IvA ,. (1.6 )

und~ n este concentra~ia de -electroni, fJ e'<0 L_aarolna electronului, v-

vi tesa de mi§oare ordonata a electronilor , iarA _

aria sectiunii transversalea condlliltorului. Suhstituind (1.6), in relatia (1.5), obt inem:,

~ ~ ~ ~ ~ ~~

, FL =l fJe lvAl X B =Alqev X B =egeV X B,

unds N,=A l este numlrul total de eleotroni liheri din volumul A t al. . . . . . . . . . . '

segmentului de conductor. S'a tinut seamll _ o a vectorii 'l! ~i 1 au sensuri. \ . . . . . - + -

opuse deoarece eleotronii slut. negativi ~i deoi I q e Ilv . fJevl.

Se ()bservil. cli fo rla lui Laplac e e ste re zultan ta forle lo r lui Lo ren tz ce see xe re it a, . a su pr « c e lo r N B e le ctr on i c ar e f. ar tic ip a l a c ur :e nt t n c up ri ns ul,s eg .m e n tu ll U d e c o nd uc to r . Deoareoe eleotronu nu pdt plirl isl conductorul, aceastliforta se- teansmite reteleioristaline rigide a oonductoruhn ~i apare ca 0

forta 'rezul, tanM maoroscopicAt adica forta lu i Laplace . .

. • LH4sUI'area intensitti~ii curentului electric eu galvanometrul magneto-' elec tr ic. Galvanometrul magnetoeleot rio (inventat de

Ampere)este constituit

d in tr·u~ oadru dreptunghiu la ,r de a .r ie 2a X l pe care slnt infli :§urate N spire(fig. 1.8, b) ,l'oare se poateroti intre polii unui magnet permanent, undese creeaza. un ofIl,lp magnetic radial ( fig. L8, a), .

Dac'~ spirele hobinei slnt .parourse de curentul i, atunoi asupra unei'Iaturi de hobinl de lungime l se va exeroita forta lui Laplace:

FL =NiBl ,

iar asupra oeleilalte laturi - 0 fort! 'Opus! (fig. 1.8, a) , Aceste forte VOl'produce un cupiu actio de moment

c , '=2 a FL - :- 2 aN iB l.

8 .

l

,

- - -a

Flg, LS'

. . bob ina se va roti, rlaucind fireleSub actiunea aoestui ouplu . actrv 1 antagonist (sa'", rezistetua} a .. . .' care VOl' crea un fliP U

elastice de s~spensle, 'I .. I ' Ifooke , va f'icarui expresie, conform egn Ul

. C; =e ot,

liar ot este unghiul de rasu·k este constanta deelasticitate a f ire or,un e eo, , f' I. a bobinei ~l deci a Ire or. , It

eire L a echilibru, cole doua cupluri sint egale,

ke IX . =aNiBl ,

de unde rezulta:

k k'= IX . =g oc .'2aNBl

rului Masurind unghiul ot, se determina i,k se numeste constanta ga l vo ;nomet t electrio se pot masura intenslta.~l deC~ ajutorul galvanoml~trulu~ m~~n~:i mici, ' v ' •

curent de ordinul 10- A ~l chia . ircuitul in care se mllsoara intensi-. Galvanometrele se leaga in serie CU t c ia domeniului de masurere se

' . (Ii 1 9) Pentru ex ens· . .tatea ourentului . Ig:, . .' :utiliseaza ~untun (bg. 1 . 1 1 . 0 ) .

, Gi

--(!)-----

Fig, 1,9 Fig. (10

9



Apllcat18 1. C ad ru l m o bi l a l u nu i g al f. la no m et ru , f or m at d in N = 100 'pire, tk lun,i1l18

1 = 2 em ~i I t !#me 2a =10m, este p ar cu rs d e u n. e ur en t ,i ~ 10 I £ A . S t! ' s e d et er m in e c up fu l'

ae ti « e li se e x. er ci tt ! a su pr a l ui , ~ ti in d c t! i nd uc /i a m a gn et ic t! b ir re p ol i este B =0,1 T.

Ca =2aNiBl =10 -9• 102 '10 '10-e • 0,1•2 • 10-a ee 2 '10- ' Nm.,

A pU ca tl a 2 . C e c o ns ta n td e la st ie t! t rs hu ie s t! . a i bi f, r e 80 rt ul a n· ta g on is t p _ en tr u 04 i lsv ial ia

cadrului d in a p li ca Ji a 1 t! fie IX = 1': (90D)?2

. C 2'10-' ~ NCr =re IX=Ca ~'lre = ~ - = _ . .. .; _ ;_ _ " '" '-10-1_. _ m _ .

oe n, n rad

~

ApllCI\11o.8, St! B e d e te r m in e c o ns ll ln ta u nu i g al va no m e tr u , , tUnd a t! d e v ia l ia s .a ' maal im l J ,

I X m t t o o = .100 dil!iziuni,se obl; ine la ' m a l l : =1! l A o .

imall: . 10-& 'kg ... --- .... -- = 10 -1A/div.

~a~ 100 ,

Q Obaervat le• Adesea deviBtU le boblnei B e m Aa earA p e 0 r lg l A l 1 'a d ll tA In dlvl-

ziuni ,ldeci kg B e exprlma tn A/div.

, Apllca: tla. 4~ ~tiind c 4 1 'e fi sr e nl a b o bi ne i g a lv an o m et ru Zu i di n aplicalia 3 tSM " """

=100 0, st! se de (e rm in e r es iste nta ,untului pe ntru c a ,4 B e p o at lt m 4 B ur a I I I IG : J .t " " 1 A.

Din egalitatea cilderiIor,.de tensiune obtinem

. I ( Im aoo )' 100.r8 = rg _,-- - 1 =100/{1/10-a - 1)~- 9!! lo-t n.

~m= 1~

• EXJlr imarea matematicA .a 100jei. lui Amp~re. Fizicianul. francez

A.M . Am pe re (1820) a studiat f or te le m a gn et ic e c e s e exercita Zn t re ·doua . .~on -

ductoare paralele parcurse de curenli (fig. 1.11). Observatii Ie sale experi -

mentale I-au condus Ia urmlitoarele conoluzii:'.. ._ conductoarele parcurse de eurenji de ·a.cela~~sens 'se atra;g' (fig. 1.11., a)j

conductoarele parcurse de curen[i de sens contrar lie rll llping (fig. 1.U, b)j

10

_.._ ortele care se exercita in vidasupra conduotoarelor sin,t .universel pro~portionaJ.e cu produsul lntenslt~tl.1or ~l

ou lungimea oonductoarelor , 1 mversproportionale eu distanla dintre ele:

i,

(1 .7)

rIn aceastli expresie, forleie de atractieSIl considera positive (ilill >0), iar celede respingere - negative ( i1i2 < 0). Con-stanta universala de proportionalitatef . L o / 2 1 t oontine constanta, ~nive~salli fLo~care se numeste permealnlt tatea absolutaa "idului sau eonstania magneticl i abso-luta it v idului. • •

• Deflnirea uniti1tii de I1l'su~l1pentr~ !ntensit';ltea.,enre~tulU1,electrl.c.,Valoarea lui f . t o a s-a ales oonvenabil ladeitnirea u n l t i l t l l de I n t e n s l t a . t e de

o ur en t, n um it s amp"er (A):

f . t o o=47t• 10-7 unitati 51.

.Dacl i1= i~=1 A, l """ 1 . m, iar dislanta intra conductoare r = 2 m, se

obtine

a b

Fig. 1.11

. 7

1 1F A =4'1t· 10- ._._ '= 10 -7 N .2,. . 2

Rezul tl deal urmltoarea detin it ie a amperului : amperul e s te i n te n si ta te ,a curen~tu lui d in fie ca re c on duc to r a _lu ne i p ere chi. d e co !" duc to are p ara ?e le stt~ ate b~vi d l a' di st an la - d e 2 m , a tu nc ~ d nd asupr« ftecaru~ m etru d e lun gim e a ftecarutconductor se exercita forta de 10-7 N.

In afarii de amper, in eleotrotehnica se mai fclosesc1 pA =0-:12 A (piooamper] j ,

1 . f . A . A =0-6 A (microamper) j

1 . mA =10-3 A (miliamper};"1 . kA =103 A (kiIoamper) j

l'MA =108 A (megaamper}.

Apllelltl.a 1.So, se calottleze [orta lui Ampere oe se exercita tntre doua eonductoare

paralele de lungime l. = 1,6, m, situate Zn ()id 10 . distanta t: =0,5 m , p ar cu rs e de curenli

a"trui intensi ta#le il= i =10 000 A.

FA =1'0 iliz !_ _ = ' tnt '1(f-? (10~)21,5 = 60 N..2 1 1 : " r 2 1 1 : " 0,5

I

Apllea1ia 2'1 Doua conductoare paralele ' de lungime 1=2 m, situa te tn oid la ilistanla

r =0,2 m, st.nt parcurs e de cure ri1i·egali tn inte nsitale. Ce "aware are i daea for la ampe·

rian(J.. de atracl~e es te FX= 50 N?

~ ~. "\ / 2 rtr 'F A ~ " \ / 2 1 1 : " • 0 , 2 • 5 0 = 5 000 A .

. V 1L0l V lm ',10-7 • 2

11



·ApUca.la 3. Pentru Cleri ficarea formulei lui Ampere,

un laborator d ispune de 0 singura surst i Care poate [urniza

un curent a ct1ru i intensi ta!e Ti141l; imtieste Ima:l !" ';' \100 A.

Cum trebuie distribui: acest curent tntr« doua eonductoare

paralele dispuse la 1=1 m'~i aCltnd r =0,1 m, pentru.

·ca sa se obJ ina' for le 'amperie ne matxime?

Deoareoa i1+ is = Imax = canst ~i forta amperiana

ests proport iona la e ll produsul lor

-

ri ar produsul a doua numere a c li ror suma este cone tanta

.este maxim ctnd numerele stnt egale, rezul ta

-Fig. 1 .12FA · =41t 10-

7• 50

S• 1 =5 • 10-a N.

21t 0,1

5, Formula Blot~Savart

Din punctul de vedere al teoriei cimpului, care. nil admite actiune la

distanyl, forta lui Ampere se interpreteaza astfel : f iecare din tre cele doua

conductoare produce tn [urui sau un ctmp magnetic care exerciia 0 forla asupra

conductoruluivecin. A~adar, forta lu i Ampere exerci taM,. ~Bp,pra condtrc to-

rului 2 (f ig. 1.12) este interpretata drept for ta a lui Laplace exercitatll ds

elmpul magnetic produs de conduotorul 1:

F F·, f J . ( ) il i2 lB' 1A2 = L2 ~ - -- = l~2'

2 7 t . r .

Dupa simplificare resulta:

(1.8) ,

care se numeste formula lui Biot-Saoart",

Deoarece for ta lui. Laplace este perpendiculara pe planul .determinat

:de conductor ~i de cimp, rezulta ca vectorul : B este tangent la cercul de. .!

raza· 'r cu eentrul pe axa oonduotorului 1. A~adar , liniils de ctmp magnetic

ale unui conductor reetiliniu ~i foarte lung stnt cercuri ooncentHce cu centcul

12

* Jean-Baptiste Biot (177~-1862) - fi·zician < \ , i astronom francez;Fel ix Sava r« (1791-1Bl1) - fiziciall francez.

, _ , . - - - - - . . . . . . ,,. _ -- - . . . ,, r" .--~ "', 'I ,_ (~__~)..." ~J

" . . . . _--- "'

. . . . " " " ' - - - - .. . ~a

Fig, "1.18

pe conductor (fig. 1 .13 , a). Ele pot fi puse iIi evident(1 en ajut~rul piIit~rii

de f ier ( fig. 1.13, b) . Sensul vectorului B se asoeiasa dupa regula. burghiu-lui drept ou sensul ourentului. .

rectiliniupl ica1ia 1.Sa se calcu leze inductia magnetica produsi i,~n {lid de un fir

[oa rt e l ung parcurs d e curen tu l i = 100 A, la distan/a r = 1m.

B = [ .Lo i = ~1t' 10-7

• 100 = 2 •10-5 T.

2nr 2n' 1

Apllc8~18 2. Douif oonductoare paralele [oarte [ung i s tnt pa rcurse de curenlii il ="

100 A •• - 200 A de ac elas i sms' distanja dintre ele este r =0,8 m. Sli S6· afle punctul= ,n. ~~~B - r . ,

En care induclia magnetica s e anuleaza (fig. 1.14).

Sa obseeva at ! . t n tr e conduc to s re clmpurile sa scad ' (f i g. 1 . 14 ) :.

[.Loil [ .Lo i s 0B =B1- B2=~ ----"-~- = .-

'2nx 21t(r - x)

Objinem ecuat ia :

. i 100':', : .,,' " !. !: !. _ _ x_;. II; = r__l_ = 0,3 .;;;: .0,1

is - r - II; i1+ i , 100+ 200

m..

o O b se rv all e. D ao a i1=s => x =; =0,15 m.

,l

ApUcat lo. 8, Doua eonduetoare perpendiculare, situate In aCBla~iplan, s~nt parcursede curen/ii it ~i i2 • S a a i l a f le c!mpul pe biseotoarea unghiuZui lor (fig. 1,15).

Pe biseotoars r1=< rz = , deoi

B = s, ± s,=~ (il ± is)·21t r .

Semnul (-) corespunde cazului clnd curentii au. acela~l sens fatA. de origine, iar semnul (+Iclnd au sens contrar. .

Daa~ it = 20000 A l1i ig = 10000 A, iar r = 1 m:

, 7 .. 6'10-3TB =~Tt 10- _ (20000 ± 10000) =<

21't 2 '10-3 T.

13



I' i!

Ap ll o al lu . 2 . S (£ 8 13 o al ou .l ez e i ru lu at ia produs(J, de oonductorr .d ,de ma i BUB !n. t l ' ·un

med iu f er om a qn et io d e p er m tJ ab iU la le rf)lattl'o, ~r "'"100.

J J " '" ! i- o f. !. !' H = Q • 71 1 '10~7 '10 ·10~'=.1,25'7 • 1~1 T.

• Unl ta te a de i n te n si ta te a cimpuluimAgnetic rez ulM _ din relatia. dlmensionala

<'I'J _ (i)

n)=-,(l)

d ec! '

1 uSI =1 aroper =;: 1 ~ .. 1metru m

Apllcli~lo.1. S a se calouleze iniensitaiea otmpu.

l ui magne ti c produs de Un conductor rect i l iniu pareurs

de ourentu l i = {J 280 A la distanla r =1m de

a xa s a.

i 6280 AH =, - =-~-- = 1-000 -.

2n:r 2n: •1 m

, ( 1 .9 )

Decifn vid aosst vector eete universa.l r " ,..... • In corpur ile magnet izab ile nu s; : : O r ~ l ~ n a . 1u I nduc~l a, magne ti ~ l.

n aI it at e u ni ve rs al a iiI' H s ~ d -' f' , a. P B t re a .z l a .c e a. st l p r op o r~ l o·~- e e m e,te l"rin rela.tia,

IA ~ d ! ; " , ? (1 .10,

I)

i,

-

. F/,. l.i6

6, 'lntensltltel c fm p l J l! .u m l , o tle

• In vld, intensitatea. I luic m pu Ul m a.g ne tio e ate v eo to ru l

in care:

d.M!' eate perm eab ilitatea m agn eiiol relativ l _ I'

optnde de natuea corpurllor j m nme de m aterial oare

~.=Mo Mr eate permeabilitatea m agnetiol b JDIn formula Biot-Sa.vart r 'ezultl ~ 80 u ti a o orpurller.

14

B iH=-=_

~o 2 7 ; r (i.11)

7 . T e ns lu ne a ":,agnetlcl. Te ere ma 1 1.1 1A mp 6re '

• { lO D si de rim u n c im p m ag ne tic uniform de i nduo~ ie if ,iinte~sita.te H( fi g. 1 .1 6) ~i un drum rectililiiu. .. Se -nume~te t e ~s iu n e mag ne t ic a aSQc iataun ui drum rectiUniu lAB marimea

. r - - ;m HlAB co s IX

L _

T e nsiu ne a m ag ne tio a este 0 m 'arime algebrica, a) carei sens de oalcul" . . .

este eel al vectorului lAB (fig. 1.16), Astfal:

• P en tru d ru mur! nerectilinii ~i c impu ri n e un lt o rme , notiunea de ten -siune magnetiol se gelleralizeazl lmp~r~ind drumul In segrnente reoti lin iisu fio ien t d e m ic i p en tru 08, ill. ouprinsul l or e im pu l B I1 fia uniform. Astfel,pantru fieoare segment de drum se poate ap lioa defini~ia (1.12) iar rezul-.tatele psntru tntregul drum se ln su me az ~ a lg eb ri c (fig. 1.17):,

. I H I A Bu ' r n =HlA~ ODS IX::: : ; 0

-BlAB

Fig. 1.16

(1 .12)

daca IX =0;

d~ '7t'

aoa IX =-,'2'

daca oc . ='7t'.

,

13 .

. .(1 .13)



Fig.q7

D ac a d rum ul e ste tn chis terlsiunea. magI1etioii se numeste t en s i' l1 ! ne ma g - '

netomotoare (Umm)·• Teorema lu i Ampere ' afirma: t ens iunea magnetomotoare pe orice drum

tn ch is e ste e ga Ui c u s um a alg eb ric a a i ~t en si ta fi lo r' c ur eQ l il or d in f if el e t nc o ,n ju -

rate de drum ul tnchi«:

(1.14)

Suma algebrics. a our~n~ilor illoonjurati

de 0 curM. 1nchisa se numeste sole-

nalie.Ilustrarn teorema lu i Ampere pentru

un fir reotHinlu foarte ' lung par ours de

curentul i (fig. 1.18). Alegem drept drum

Inohis 0 linie de clmp circulara de razs. r,.. .

Deoarece pe aceaatll. Iinie de olmp H

are mari'mea ,constanta ~i este mereutangent la. cerc, obFnem

;I

Fig. ,1.19

Apllcatle• ,Sd se calculeze induc Jia magne tiotl fnlr-un solenoid foarte lung a(ltnd N

, ' spire, de lungime I , parcurse de t'urentul i (fig. 1.19),' '

Experienta aratl1 01 1 In, solenoid ctmpul este uniform, vectori i H ~i B fiind orlen-

tati In lungul ~?l:eiso~~noiduluij In exteriorul slllenoidului 'ohnpul este nul. Aplicl1m teo-rema lui Ampere pe un d~u?l tnehls dr,eptunghiulara, bl c, d, a care ouprinde cele N

spire situate ', pe Iungimea I.

[T HI' H' t T I : T I : 'mm = •ab CO B 0 + . be cos ~ + 0 • lea + Hlda cos -= H ,~ I =Ni(lab E I).

~ \ 2

Rezultl1

U mm =E H it A Ih , = ·lcerc =cere

Fig. 1.18

1, '2 .= = _ . 7 1 : r =,.

2 7 1 : r "

.Teorema este valabilji pent ru orioe drum

tnohis oricare ar fi 'natura. oorpurilor

prin care treoe drumul.

I~I~

(U5)

16

Pentru N = = i000 spire, 'Z ,= 0,5 m ~i i, =2 A cbtinem:

H = ,000 : 2 = .fa000A •

'0,5 in

Induct ia magnetic ll va Ii

NiB =LofLr-~

, I(1.16)

Da,cA IL r =50,'

B =l': ~ 10-7" 50·.fa000 =2,51 .10--1 T.

B ' , F : I~ ) (u l r na "eell:

• ConsiderAm u n cimp magnetic ubi!o~ avlnd inductia B ,io ,supro:

. l a tA . planA de arie A a clrei normalS. -;" face' unghiul 'r X cu Iiniile de olmp(fig. 1.20). Sa, numeste f l U X magnet ic mlrimea Bcalarl '

.~=8A ·cos at I (1.17)

)

2 - Electrotehntca, et, XI-XU



F luxul magnet io ( ls te 0 mlll 'ime ~g,ebriol 81

olrei eenB se define,te h i ;rilport oU86n9ulnormalei II I p la n. As tr el

{

SA datil (It = = 0;. ft

III = = BA 008 01 = = 0 daol ('t=_.2'

, -BA dael 01 = Te .

S en su l f lu x ulu i !Ie ind,~ci1 adesea ' printr~osl1gel\tA,orientatl 1 1 1 ssnsul norma lei .. Unitatea de flux m agn etic se numeste

weber (Wb):Fig. t.20

, '-

• P en tr u c lmpur i n eu ni to rme ,is up r8 re ~e c ar e n u s ln t p la ne , n ot iu ne a.88 g en er a. li ze a- zl Imp lr \i nd '8 up ra .f al a. i n J lu pr af et e e leme nt ar e p la ne d e ~ ie.A", ,, I n 'Qup ri ne ul e ll -o ra chnpul , es te p ra -o ti c un if orm i ealoultnd fluxudle

. e lem en tw Q e u l'e la tia d .e d ef in i\ ie (1 .1 7) ,imaumt nd a Jg eb ri c r ez ul ta le le , s eob line ( fig . : 1.2 1)

(1 .18)

. , '. 'L egel fiux ulul m agnetle. F lu xu l m a gn et ic p ri n Qric(l s u p ra fa F J t nc h i. s 4"te Rul (fig. 1. .22.) .Semni f ioa tia l i zio l 8. aoestui enun~ rezultll din tllptul0 1 . H uiile de q ,lm p a le ,jnduotiei magneti c, e 81~t eurha 11nohise(lara inoonjoarlo~nduotoa.rel~ ' p a . l ' c u r s e de ourent,i. AO,este HuH 'n u i zv or tl sc , i nu ee B o u r gniol1ieri,~pre deoa.s,bire d e lin iile d e o tm p e leo trio care i zy or bo d in a ar ci ni lepozitive ,i,se sourg in ~aro,inilenegat~ve. Cu a lt e cuvinte, tn 'nat'ura nu exi,t48 ' V e i n ' ~agn'etice cap~b.ile " a pro~uoa o t r n p magnetio a~a c um s ar cl ni le eleotrioQproduo, glmp eleotric, '. -

F I S ' 1..2t.

ApUlllttl 1.8~ " , , , , , l f l t J l I ,16,ft4

(luMullet rM,",Iic, pllnr"u., 'Up"OfG,4.

"nu.l' c u b til 'alluoa II. l I !l tU , , ,, , .·un,

I I Imp m41Ml tc unlfo"m til tn4~#11 B(fi,. 1~ !J8). ' "

, Fie B ill ' B II ,i's, oomp~menlele.callH'e lIe clmpului In raport ou ax ele ,de ooordol ll l te Omy! Illese O R I n f ig li .r R 1 :2 3. 'C rm pu l fUn d' 'u ni fo rm , Bosate

c om po na nl e s ln t c on sta nl e. ' C al cu lA ,m

'f lu xu rlle prln ce le 9 Rse fe te a le eu bu-l ui , l lo ns id er ln d)J -t e p oz iti va o tn d i es ,

,I n eg ati ve o tn d in trA :

~oub. CI B~ QIlo !I - BIIC Ae fgh + -

,+ B "A kf lf - B "A Q .r;l,7 1+ B: Ad cf 1~ -

._ BzAQ bf, '"'" a

! J

Fig, t .,23

deoarllc~

A~ = A,fgh , .. . ".'.a AMrh ~ ai,

, A p l l. , - 'I. S~ I I c Gl cu U~ , :iMkclUi ' ~ M ' k 4 a,umd o tm p m 48MU " u ni fo r" f CfIi'e, •

, ,prin 'r 'Qlupra.faI4 pian4 4§' a r lf l , ' . A . .. . 10 m ~o"il1nt~C4'lub un , un8hi do!' (46°) i fa/4 ", . " 4, ' ,

tk riniilfl de c fmp , p ro d Uc t u n, f lu lI J ~ ' "" 8 Wb.',· ' " ';'

A p U o a , 1 & 8. S, c o n , i I U " a luprcafala, W O r d '4 ' I I

unut oiUnd"u ' c iNlu lar d"'pf. Prjn ,una tU n , , , bani n ' , , ' (lu fl)u l '. "'" 0 ,08 W b, iar P"''': (IfIalaII4 ie,~,'I....,01 Wh. Of l fZUII l "'VIM lupMf'lei' laII, .a"

, i "1J1 '~ e,,, "",riul, t l4 e~ 'u i tJ? .D in le ge a f lu xu tn i magnetic· l 'ozultA: .

-~1+ It.+ ( t'Q I . .. . 0 .. ! I'Q ' : ;; ;; •• . .. :.

_ ~I "'" 0 ,0 3 - : ' 0 ,0 1 0= 0,02 W b >: 0.'

. .Fluxul 4 1 , 0 . " fllnd pozitiv" lese, din ~uprQrata,

laterall (tlg.Ut.). " , : F i g . 1.2'~

' B , C I, P-CUrl E · :MAGNETICe : INDUCT IV I TATE '""

1, Circuit . ma net ic.','

Se' numeso elreulte 'maPetlee aMa~lurile d e b ob in e cu m ie z' d e fie r , , . i n : ,c are 8 e .Inchid f~umurile magnetice. In f ig ur a 1 .2 5 e ~t e r ep l', ez 8n ta t ~ ir ou it ulm ag ne tl o a l unUl' eleotromagnet. :Transformatoal 'e le ,I ma,mtle ' eleot rloe o~erl'numerOQlleexemple de oirou ite m ag netio e. .

, , 1 9, , .

, I



1- __ - -- -11 '

Fig. 1.25Fir. 1.16 .

. .

_ 2. L I a 1..1 O hm pentl"U Icurl d c l r c : u h . rnaltl tiC

. Ii Considerlm e portiune neramificatl de circuit n1agnetic, Dum·itA.latura (fig.: 1.26). Fie l lurigimea ei , i f l o - permeabilitatea magneticll abso-lut l a materialulu i ei. Fluxul magnet ic care str lbate '0 see\iun'e transver-.saUl.a laturii se nume,te f lu x f as c ic u la r ,ise I10teazll e ll 4 >(. Mai presupunemcll induct ia magnetic l este uni formll , i orientatll numai in lungul latur ii , ideci ell nu exista scllpari de, f lux prin suprafata laterala. Atunoi fluxul Issei-.cular priI?-,orice sectiune .~r·ansve~sala de aria A este aeelasi. Tensiunea mag- ,

neticl din Iungul laturu va Ii

B tI >U =H - l = - -1=_L •l.m fl o , f l o A

(1.19)

(1.20)R=-m· f l o A

se nume, te.reluct~nta laturii. Cu ajutorul reluctantei,relaYl£1. (1.19) se expdm'ii

asUel ' .

rUm =,R~ 4 > , l (1.21)

r

,ise numeste le ge a l ui O hm p en tr u latu ra d e c ir c~ it m ag ne tic (aoeesta - dato-.. ritl asemiinadi ei formale ou legea luiOhm pentru ciJ;,cuitele eleotrioe: U, =RI)-

A

Unitatea 81 de reluctan\ii este -.'Wh• D aeil, latura formeazil un cireuit

mehts inconjurat de 0 bobinA ou N spireparourse de curentul i (fig. '1.27), aplicindteorema lui Am ere oh inem: '

Wm m __ R m4> 1 =Ni:

de unde rezulM. relatia: -

(---p~-----)"I I

' ] . " : t ' , . r ~ ;N ~,

I ,:--, -7

I < -~ r - ~I .__ __ ~ I

1 - I

l,...---------)

F.ig. 1.27

20

(1.22)Ni ~'1'1=-

Rm

analoaglcu

1=E.,R

care r~prezjntl1 le te ~ lu i O hm p en tr u q .n c ir cu it £ nc hia avlnd t.e.m. E ,iresis-

tenla totall R. " . , '

A p U O I ' 1 1 a 1. Sit se'oalcule.ze fluxu! fasoicular: tn~r·()bobinit cu oircuii ~8netic lnchis,

IJf,ltnd lungimstl l = 1 m, A = O,Olm~' 'Ii (.tr= 600, ~~ilnd ~4 bobina de. magnetizare. a re

N =100 spi,.e paroursB ~e cur~ntul i =0,6 A. '

,', 1', 107 A .Rm=-

==-' - Ni = 10000,5 = 500 Asp;

. . [J.o(.trA b ..' t o : -7 • 500 O,OJ 20n- Wb

t», =. 5,00 =n'1O-8 Wb =n mWb.

, 107/!o!(~1I'

Inducti a magnetl ca va fi:~

Apllca1la 2. Oe curen! trebuie sit alimenteze bobin~'di~ aplicaJia 1 penlr~ a S6 ob#~e .

o inducl'ie B = 1 T? , "

lo , =BA = 1 '10-8,= 10-1 Wb;

107 • 10·Ni = Rmtb, =- '10-1 =--.Asp;

: .IO n 2n

. Ni 10 10,=_= =_A.N ' 2n'108 211'

3 . T eorem lllntT i a 1"'1Klrc~hoff pa"H u un ned de circuit maanetic:

Se eonside'rl un nod de circuit magnetic, ad.i<i11un punct in care seram~ficii maiomulte ~atU:ri(fig. 1..28, a). Fi e 4>;11.lDf'l.Ili)/S' fluxurile mag~eticeIasciculare din laturile care formeazl noduI. Considerlm 0 suprafa \l i inchlsli Ecare lnconjoara nodul ,i apl icam legea fluxului magnetic aoeste i supraiete:

(~.23)

Fig. 1':28

21



Daol fluxurile au sensul 'din figura 1.28; b, obtine:n

< l > . t = W , l' - c)(2 + W (a = . ' (1.24)

Ace'sterela~ii expr.i~l teo~em&tntti a lui Kirchholl pentru uIl:.no~ de cil'Cui~magnetic, care, In forma ei general~, se enun~[ astfal: sum« a lg e br t? da, ( la xariCor magne tice fasc icular.e al e lata~ilor ce ~o n( le ~g bUr -u n n o d ~e ' c ~ rc r .u t.m ;a g-n et ic e at e n al d. De regull, fhixurlle care 1 I ' I , S dtn nod. lie oonslded, pozltlve,

ia.r cele oare intrl se consider! negative. , '

ApUllatlJ . 1. In nodul d in f igura 1~~8,a I'/)f1 =0,1 Wb , ibf~ =0,3 Wb, 84 86

oaleuleze (bfa'

.(8= = -~f1 "" 7 I)rs"" -0,1 - 0,3 =-O, it ~b.

o OblleryBtle. Fluxu l 1)/8 intrA in nod. , -ApHca tl

Bs. In nodul d in figura 1.28, b ~f1'=: I lI r2 , ;, 0;05 Wb . S(J . s e ca lcu l e: e '(b f s·

ib,s = ( f) fs ~ iflft ~ 0,05 - 0,05 =0 Wb,

o Oblervatle. P l: 'in , la tur a. 3 n ~ tr eo e nux,

4. Teoremaa dQUU'lul !(Irchhoff

Conaiderlm 0 Elucceaiunedfl laturi d!3oirouit magnet~o.care ~ormeaz~un drum l~ohis (UIi. oehi) (fig., 1.29). Aplicind teorema 1UlAmpere aoestUl,

drum lnelus ob~Inem

. ,Hll1 +H~lll tHals = N1i1 +Nai g +Naia

l a u

(1.25)Um1+ Ump.+ U r n a ='Nlil +Nllil ±Naia·

Bau,tinlnd Beama de legea lui Ohm pentru fiecare laturl,'

, ' U ! l ! l l ~11 ±Rmll~f2 +R m s t : I> t s - =N 1i1 ±N,. i z + N s i : ; J

FI~, 1:29

22

(1 .26)

Aoeastl rela~~e~xpriml te,orema a doua a lui Kirchhoff pentru un oehi' ,de'elrtlui,tmagnetic,. care In for~a ei !Jenerall se enu!1tl astfel: s uma a lg eb ri ed a, ci 1d erEl ord e. t en s~ un e m~ ~ ne hc ~ . d ~ n l un g ul l at ar ~ ~r u n~ i o eh i ute eg(J l~cusuma a~g eb r tc ~ a ' s ol en .~f n lo r bob tn e lo r c a re t n ld n la te l at ard e o c hi q ,l u~ .Clderilede ~en81une 1 :Bole.natu1ecar~ se intllneso in sens contrar sensului de parcUrsIII lau OUsemnul minus (-), " . , .."

ApBcatla 1. In Gohiu ' din ' figlJl'a 1.~9~Be ,daU . . ' Um!-= 60 0 ABp; Um. = = '800 ~B~;

Um •.= ,200 A8p; N11,=11000 ABp; 1 f . ' . =Z O f)O A sp . S tJ , 8e det l!J~mins Ni~" 'Dtn (1, 25 ) rezultll.: ' " " ' ,', c

N.l. = = Uml + Urn. + Um• - N,l, - Nli. == ' :I . 500 - S OQO=-1500 'Asp.

" '0 Oblerv.tte, S : J le n a~ i a f i~nd n ega tlv li t aensul (lurentului din bobina" 3 'trebuie "inversat. ' " ' ' , " .'

,ApUIl.tta I.' DaciJ Nai. =1000' Asp, er e t , .eb~i6 slJ./ie N1i1 sn tru ea 801sn~,ia: N.i/',4 f" nullJ? ,,' . ,', ' ' .'

, N1i1,,",,_Uml+ Uml+ Urn. - N.i. - N.I. = = : t 500 - 1 , 000 - ,0 ... 500:~P' '

Ap~eatl. 8. f$t i ind, 04 N1";"10 0 sp lr6 ,i NI ='800 spirs, ',4 s. fhte,.mi~ e ! W ~ , iidi n aphCtJlia e . '

5, "nalolll Q~ 'Ircultele electric

,RezolVarea oirouitel~r ~agnetioe ~u ajutpruI' teoremelor, lui Kirchhoff,

Ie face la feloatn ,!lazulCll'Oult~roreleotrlo~de o.~. (v. Eleotrotehnica·cl. a X-a"eap. 3), ,p,e,bau ufmltor~lul tabel de a.nalogii (oorespondente):,- flux, magnetlo fa,aolcular ~I - CUftlnt eleotrio I; ,- tenlllun~ ma,gnetlol Um - tensiune eleotriol U;- Bolenatle Nt ' - t.e.,m. E j, ,

-: reluotantl, R~ " - rezisten~l R; , I'

- per~eablbtate ' E L - oonductlVitate a .Pe ~aza aoe~tor analogii, fieoitrui oiroult magnetio ise asooiazl 0 BchemA

de OlI'CUlteleot~looare se rezolvl ~u,metodele cirouitelor de o.c.

A PB e at," 1 : S~ CfJM~rlJ circuitul m4Bnet ic di n (iWa 1.30, a' S e ' ce r e 84 i ,e'apJi~esoremele l u, X lr c hh o f( ,1 . s4 If! reso lve. ' . ' .

(j), r----------cr--- ------,

~ 1 1 t a l N S t ¢ r i j j l t ~I I l l i i J I1 'I· 1 IL .L _~~ I J

, I ", "

b{]

Fig. t.30

2 8



, t tl1 tn flgura 1.80, b. , ApllotndSchema asociat ll de circuit electric este repr~:ten a

teoremele lui Kirchhoff ob~inem: .

t(lift+ t f?ft - ' (lI,=0 (nod 1);

, Rm(llf + ,Rm,,(f)ft =Ni (ochi 1)i

R e l l , + Rmglll'2 =Ni (ochi 2),,m

'1 e sistemului se ob~ine:Dacll R m t =Rma, din rsso var a Ni

,2Ni . ibfib r = ; 4,lf1 =4,lft = 2' = Rmi + 2Rm

R +2Rm ' ,

ml 2R _ R =20 000 Asp/Wb, S4 seApn(la~la 2. Se dau Ni =000 Asp, Rmt = m - mt ,

a fl e f lu :t !U '# e f as c ic ul ar e .

Se obtine '

I 1 } f =~ =0,25 Wb; 111'1'= lPrz = 0,:5 ~ 0,n5 ws,'0 0 00

C . d am un solenoid de lungime l,• Induetivitatea. nnel bobi~e.. : : : i I l : ~pe un miez de- .peymeabilitate

ou N spire parcurse de curentut

t'fl x ul to ta l a l s ole no id uluL , 1 se noteaza. J(' (fi 1.31). Se numee e u. .

relatlVi:l f l . r g. t J(b te suprafe~ele spl re lor sale.eu ¢I fluxul ce s ra a

 =!Nell, .

i nd uc ta nf il ) a s ol en o id ul u~ marimeaSe J)ume,te inducti"itate (sau •

(1.27)

Ohm:

Fluxul fascicular ii Isolenoidul\li r ezulta din legea lui

Ni . Ni _ 110'1, Ni A •¢If'= - = = - - rrr l

Rm l.

f!..of!..fA

.. iar i~ductivitatea va fi

,

Fig. 1.31

Se observa cli i nduc t i( . li ta tea . e st eo rn arim e in de pe nd en ta d e flux ft de

curent Ea este propor\ionala·c,u patrb~-.. . ermea 1-

tul mimarului de Spll'~1 < : . ~ . 1 ? , . 'litatea ~icu aria sec~lUnl l ~ lezulul ~1

invers propol'~ionaUi. cu lunglmea aces-

ttiia·o NotiL . De,i j lustl 'B: tl i pe . cazul. . . _. (127) indue-

unut solenoid,' debnl~la .. d r 8.biliitivi tii~i j. este g~neI 'a .la, f iin ap 10

pentru orice bobina. Formula de calcnl' este evident diferita de 10. caz1a cas.

Ilnitateo de ' induc ti o iuu e se numeste henry (H)

1 he~y = = i weber =1'Wb '1 H (1 roR =10-3,H).. 1 a.mper A

ApUcatla 1. Sa se calculeze inductiClitatea une i bo/ line at c dr ei f lu » total este III=

=0,3 -Wb, atunci ctnd este parcursa de i =10 ,A "

III 0,3 'L= --;-=T'"=0,03 H=30 mH o

~ 10 _

ApUcatla ~. Sd se oalouleze inductioiiatea unui solenoia' avtnd N =1 000 .spire,

, '= 1m, A,= 10 emB, [J.r=500.

L =Lo~r NSA = ftn '10-7• , 500'."1 o o o s 10 '10-4

= 0,628 H.I 1

Aplleatla 8. Jnducti,dtatea unui s olenoid cu mies de tier este L ;=0, 0 H. Dae i1 miezu l

se' sootue, inductivi la tea deCline Lo =0,025 f l . : SIJ se c alculeze iJ.r.

A -·6 L' 05L = J . o [ J . r NB-; Lo = f L o ' NB-: - = [J.r= _,_ =200.

1 1 i; 0,025

Apllcatla 4. Ott e spi re a r ' tr ebui adauga te sol eno idu lui di n ap licas ia 3 ( ara miez tie

t ie r ea sd a iba induc ti oi tt uea ega li f cu eazul t n care are mies, , tii nd cd· N =00 spire?

Fie Nt'acest numar. Scriem:' '

A A '(N=t N)2[ J . o i J . r N2 - =J ; o ( N + N t l s - => . 1 =Ll';. 1 ' , ' I , N2 .

N + Nt = V : . ! O O ; 1 + Nl =V2O 'O ; s,= ( V ' 2 i T o -1) 100 =13U sp,, N iOn ,

.0 Observo.1ie. Se vede din acest exemplu cit~ .importantl1. are miezulde f ier pentru obtinerea. unei inductivitati mario Lipsa so. este echivalentaou ore,terea de peste 13 ori a . numarului de spire.

• InductivitA1i proprii ~i mutuale. Consideriim doua bobine infl l,uratepe acelasi miez de lungime l, seotiune A , i permeabilitate I-" =-"of!. .r ' avind

NI, respectiv Nz,spi re (fig. ' 1.32) ,ialimentate de curentii it ,i ill' Fie 41fl, i lI Jn fluxuri le fasciculare oe se stab ileso.fn miesul de f.ier. Fluxurile to ta levor 'Ii respectiv

lI J ll =N1 l I J l l ,i fll.1I1 =V ' } . 4.>/1 (daoa iz ='0 ,f i "" 0)

...._~ •• ~=aAjfr

r-I"'I--~l~- I I"_ II " " '".- _ _ : Z : : . _ _ - - . . _ . , I

FIg. 1.32

(

25



r J > 1 1 1 ' = Nl r J > ( I l ,i i I > 1 I ! 1 = NII 4>f l l (daol h=0 ',i , i l l + 0)..

Se numes~ inductivitA.ti proprli ale bobinelor mID'itnile:

, (1 .29, a)

(1 .2 9, b )

Se -numesc InductlvltAtl mutuale ale bobinelor mlrimile:

l~-~ "(1:30, a)

(1 .3 0, b )

m utuale "e mlsoar l oa Iii oel~ proprii tn henry ' (H).Induotivitl~ile D .,

Observind oil

(1.29) ,i (~.30) ob~inem

" N1NilA,1 L1II,= LIl, ='!. L t, .

dinformulele de d'ef initie

(1.30, c)

Se rnai noteazl M =LI I " f i l l ' '1 1 'tnt valab'ile numai pentru solenoizij

o NotA. Adoef~t~+.el(a1~~9)~ o(i.3~) ssint tnsl. valabile in general. 'formulele de e Inlyle . , ., .

Observlm oil tn cazuZ solenQ tz~lor. .. '.

. L ll Ll I1 \ _ ' if~=MI. =:> VLaLaa "' 7 M.

in g en eral:

Rap~rtul

K= M ' <"i 'VLllL ..

. . • , ' l " ~tic deoarece deapre bobinele care .ause nume,te cQef,ctent. de C U P " J ~:f:t ouplate magnetio. Atulloi olnd K = = 1' induot ivi ta te mutuall se spune 0 f t'se spune oil' bobinele stnt ouplate per eo •

26

( 1 . 3 1 - )

• RelatUle lui Maxwell pentru inductlvl til tl . Daol bobinele ~int parcurse

simultan de- QurenW i1,i ia, f luxurile trebuie msumate. Sa obtineI ' , '

. ~l = cI lu+ 4)'18 := Li1i1 + L l a i" a \ ;

r q,1l = 4>111' + " 1 11 1 : ; :: : :L1 ii +Lallia I ~ 'Aoeste relat.i i se numesc rela~iile 'lui Maxwell pentru induotivitl ti .. ' ,

/

(1.32)

Aplleatla 1. Sii,8e o alc ule Js in du otiv itiil,ils p ro pri i ,i m Ulu ale p en t~ u d oi 81JIsnoiJicu 'mitll comun av tn d N , =1.0.0 8pire, Na =1.0.0.0 spire, A =1.0 e m·, .1 =1 m ,i ILr=1.00.

. 1I A . - . '. 10 • 1.0-1 . • - .

~u = lJ.ollr Nt -=h: '10-7• to o '10 - =1.,266' fo-I H;I f

lIA 1.0 '10-' R'"L.. =Ilollr N lI - "" t..?f; fO-' • 1 00 • 1 08 =1, : .156• ~O-'

. I 1.

A .M " '" Lu " '" L81 " '" t J. ol lrN INa - =4~ 1 .0- ' ' 1. 00 '1. 00 ' 1. 000.' I

S e o ba ar vl l. 0 4 M ... VLuL l ' I ' decl K,.. 1 . . .I '

ApDa.tll I. D ou ii b ob in l! o up la te m ag ne tic a u Ll1 " '" . o , O / J H, LI•.."O,S H 'Ii (Jos fi·cien tul d e cup laj K =~,3, Sii 88 de t ermine M. . . •

M =KVL1,.L aa =0,8' V s '10-8• ~ '10-1 =0,8 '1.0-1 =0,08 H,

'Aplloatla 8. Sii , S8 calcuteze f l u t1Jur i l e t o ta le ' prin . celb dou4 bObine tUn aplicalia 2,

, 'i .i nd c4 i1 =1 A ,i i.= .0;2 A, aensurile curen;ilor fU nd ale ee iiatiel tnet t flu:turile 'lor

all ae adune. .

ApUotim r{)la~ii111 lu i M ax w l?ll (1 ,3 2):

f» J = Lni1 + Lui. =0,05 • :I . + 0,03 •0 ,2 =0 ,056 Wb i

f» . = Ll1i1 + Lui. = 0 ,0 9 • 1 + 0 ,2 • 0 ,2 =0,07 Wb.

I

C. ELECTROTEHNICA FENOMENELOR DE INDUCTIE ,ELECTROMAGNETIC!'

1, Legea. l~duc~lel electromalnetice

Sa numeste lenomen de induc*ie' electromagneticilp 'r o du ce re a u ne i t .e .m .prin v arialia tn tim p a fluxului m ag rze tic . Fenomenul a fast desooperit. de

marele fizioian englez Michael-Faraday (1791-1867) in 1831. El a formulat

.lege&. induc~iei electromagnetice

e =_ rJ > I ,. A t .

(1.33)

unde Iluxul. ¢l ~:it.e.m, e au aensuri de referin~11 asociate dupa regula bur-ghiulu i (fig. 1.33).

27



Enun\ul legii esia urmlto!ul: .t ~ , : . t i i n e : i S e = ~ ~tr o1 1W to ar e i nd us a Z n lun gul u nur . c o~ tu , n e . ' =•

e ga Ui c u· v ii ez a de s ~ ~d e re a f lu xu lu r. ~a~~eh~,p~r.n

suprafa,a con turulul- • ' " , 'm'l~',oDaol'conturul este. conduotor, d.eexe . . p

lilt'

spirltnohislSRU ({'boblnii 'form.at~ ~lIt, m8:~,:m., eo '

spire, ' i n at se produce un (lurent ' I i , ' , ~ ' : ' c a r ~ ')8

nume,te c ur en ;t d e in du cfi ,e (Qurent indus)., u \i Sensul ourentului indus este .dat de 0 regn,

lormulatA de H.F .E. Lenz h~' 1833. - t" l deRe ula spune: curen tul tn dus are 'un asue

Fig. i.S3 s en « tn ~t p rin c Zm p ul m ag ne tic p .e c ar e-l p r~ d~ ce 'to Sr e, . .. t' fluxulur. m agn eu« tnuUc .

. o pun ~ vartalt~!ten t~~ Su~ e f1e datoritl variatiei in, Variatia fiuxului m~gnetlc se P d e in auc ,ie e le ctr om -ag ne tic a p rin tr an s-

timp a et~pulU1 ~agn~tlo (,fenom£:rormarii oonturului intr-un clmp oO!lstantformare), flB ~atorlt~ mI,olrll BR U ti a r tn m i ,c ar e ), fie pI! arnbele clb. -'.( fe nom en d e t nd uc tt e e l~ ct r0 "! l-a gn e tC P

2. I n d u c ~ l . e l ll ct rom • • n e~ IC l I 1 01.l n \ ir an . fo rm - ra• ' '

- N i re strahl tute de, fluxul f~soumlar• Con~id~rlf ,mun solentoid r~:matB~in eele N spire v a f i, '

c t > / ( t ) . T,e.m. Indusl in con uru ,',

a c t> A (N c t> , ) , _ _ N b o ct >, • (1.34),

. . . e =- bo t

= -.si > - • ",At. .far 'ads ' uniform de ,

+1 'F' N - 100 spire ,l p re su pu ne m c it f 'u rK ,u . , os ct eu . . Be " '

Apn ea , e . Ie . -. t 10 s s a se afl8 t o e .m . indu.s4. , . . ,,' ,

la, (f}f =0,1 Wb fa zero n , . . . I . . " : " ~ < ' . " '----.,-, -- . ~fI, ar e ex l1i~lI. viteza medI I l dB;VQ1 '~8 . t i ea

• In rela\ia (1.33) interyfue raportul " " A Z ' o. P . . ",~." ie, )' durata arbitrarll f l J. . ·Aceastl1mH.rme"es

1 . 1 intervalul de timp (e; ,+ ~~ ou d ta flJ a int.er:valului. .

~~ux:eri!raidependentll. de m~e~t:'b~,J~ d~ !!4, ('i~ ,c/1!r~1ero)t rapo~~l\r:ri~f:l~Dac4 durala ~t se con~ fine te ceea oe, nunnm 'VlteZII. ;lnstan anee, '

devine indepepdent dIe ~t Il~::tul t ·Mat.ematic seriem: /' " 'mArimii considerate a m~

~fI, dfl,l im ---,~,-+O ~t de,

. . . •• fI, . e(l) tn rapor t cu variabila i.. , 1 dfl , se nume~te d e ri va t4 a (uM 'Ie , ~ " .'. ' ,

unde raportu dt . . 1 m4ri"; 'ae ou vQ1 ' ia # es in u80 ld aZUn hmp , Ita

Pentru tehnicl1 prezintll mteres mal a es .elCon)plu: . . 1 1 > =fl,m'sin ~I, '

Derivata acesto! run~\ii este~---:----I

, . I I I I I = ( o ) l J > m cos ' ( o ) t

dt

. i J I - fI, CO B ( o ) t derivata e~teDad! , var i l: l . \i a :n timp est e de forma - m

d l J > =_l ll J> m s in (01

dt

28

a b

Fig. 1,34

e = -,-N t l .! l>f = -100 0 - 0,'1At 10 =+ 1 V,

• Consideram dona bobine euplate situate pe acelasi miez magnetic,avlnd inductivitatile proprii L1 1 =L1 ~i Lzz = L2 ~i inductivitatea mutualaL12 = L21'=M (fig. 1.34, a) , Presupunem bobinele traversate de curentiivariah il i in timp i1 ~i iz, care deterrnina in rniezul magnetic comun cimpurimagnetice in aoelasi sens (cuplaj adit ional) . Fluxuri le magnet ice Iprin spirelecelor doua infa~urari, cu sensuri de referinta asocia te dupa regula burghiuluie ll sensurile curenti lor respectivi , s lnt date de relaj .i ile lu i Maxwell :

{

<bl =Ll~+ LIZ~2 =,Ll~-l + Mi~;

<b'l, =LZl~1 + L l,LZ =M~l + L2~~'

Deoarece pentru curenti vaniabili in Limp Iluxurile magnetice sint variabile int imp, in spire Be Val' induce t.e.m.

~!l> 1 " _ h . < l > z- ~l e 2 =~t ~t

(1.35, a)

unde sensurile t.e.m, in cele doua infasuriiri coincid ou sensurile curentilor.Inlocuind: cu aceste relatii fluxurile <b~ ~i < b ' J . , obtinem:

T.e.m. ell ~i e2 2 determinate de variatia in timp a curentilor pr o prii aicelor dona bobine se numesc t .e .m . de autoinductie; t.e.m. e1 2 ~i e2 1 determinatein fiecare bobina de va,r iaFa in timp a curentului dincealalta hohina senumesct .e .m. de induciie muttl,ala. Daca Ul ~i Uz sint .tensiunile la bornele bobinelor, cusensuri de referinta asociate cu ,cele ale curentilor dupd regula utilizat.a pentru

ree~]Dtoare, ~i dad conductoa,rele bobinelor au reziatente neglijabile, putem81TH' :

(1 .35, b)

In schemele eleotrice, bobinele cuplate din figura 1.34, a se reprezintaca in figura 1.34, b unde cu un punet rosu s-a indicat pentru I ieoare 'hobinaherna de intrare a curentuhii pentru care olmpurile magnetice au aoelasisens in circui tu l magnet ic cornua (acestea sin t bornele denumite polarizoie},

29



/

/ /

C ele d ou a nODine oupl at e t ra v 6r sa te de curentii variabil! in tlrnp adm it 0

re pre ze nta re d e g en ul c ele i indicate In figura 1.3 4, e.fn 9are s e p un l ne vi de nyii

t. e.m. induse in oele doua infl1,urA ri., .Cale dod hobine . (lup la te d i spuse cs i n f ig u ra 1.34, a a lo lt ui es o u n trans-

f o r m a to r e l e c tr ic c u d ou a I nf tl .l ,m rl lr i d en um it e i nf l, ur ar e p ri ma rA : . (t ra ve l's at A.

de i1

) 8 ,i respeotiv infl1 ,urare aeoundara ( tr e. ve ra aU de . t e ) · Raportu l tena iun ilo rI s. b orne le i nf t\ .' \: tr ~rno r e a te r a po rt u l d e 1ransformare:· ,

u..J=n

, Uil

Deoi utilizind pentru induotanyele Lu, Lag ,i LII =Lal

=M rela~iile

1.30 , c , obyinem pentru n sxpresia:

N2 ~il + N N ~i2 N [~i'l + ' N ~ i ~ ]n ~ , 1 ~t 1 2 ~t _ 1, ~t D ~t N 1

- N N ail + N2 ~i2.. -, N [~il + N ~ i 2 1 =N~ •1 2 ~t 2 6.t ,2 ~t, 2 Ilt

Ob, tinem deoi.: ~L35, c)

Aplica~ln. 1. Sit se determin» t .e.m, de aUloinduolie ~i de induc#e mutual4 tn doud

bobi tv : cup lat e magne ti c, a () tnd L ll = 0,1 H j L99 =0,()5 H; L19 =Lll =M ;" , ( ),Ol H .I '

~liind cd ini lial curenii i d in hobine sin: il =()A ~i is =10 A ~i scad uniform I I I . z ero ' n 0,1 6.

Sc.riem:Ai~ 0 - 5

-=-=At 0,1

" l\.-lO;

s

Ai~ =° - 10 = -'100 A . •

6t O~ S

Aplic tnd relat ii le (1,35) obt iI ;tem:

el = Iill + Ii13 = 0,1' 5(J+ 0,01' 100 = 5 + '1 = 6 V;

C2 = e21 + Iiaa = 0,01 . 50 + 0,05 tOO = 0,5 + 5 = 5, .5 V.

o Ob8ervB~le. Aoeste t.e.m. slnt constants numui In timpul sl ' i 'ld t1ri i, rurentiIOl

',

ad\ea tirnp de 0,1 B. 'ApUcBlla 2 . lnu-o bobind a()fnd L =0, 05 H, i nl en si lat ea l ;u renlul ui crest e un if orm

de la zero la I =10 A tn limp de 10 8. Care este I ,e.m. de aUloinduclie?

. Ai Ai 10 - 0 Ae = -L_ - = = ' 1 - '

D . t ' D . l 10 5 •

e = -0,05' 1 =0,05 V, -o Se obse rvl i ci t t .e, m. f ii nd nega tiv1l, ar e t endinta de a produce un curent nega-

tlv, care se opune (\re~te ri i Cll rentul lLi (regula lui Lens]:Aplica~ill a. In bobina din aplioalia 2, se induce 0 I.e.m. e = -0,1 V ,: const. ~~tiind

cd. ini fial cure'ntul este nul , se cere sd se determine (laloarea sa dltpd Ii) s ,

D .i e o,t A_ = __ =_ =20 ~ := canst.

D. ! L 0,05 s

Da(.i \ uurentul c re~t .e cu 20 A l s , atun!'i dllpa 15 s el vafi~

. ilh= 20 A/s' 15 s = = 300 A.

3, Inductl. el ctromllnlctcl prlrt mt,clr

~llle

~

• Consideram 0 baraconduct0a"e care. aluneca ell viteza v pe cioua. . : , . .

paralele cODduct0a .re intr-un cimp magnetic uniform de induclie B,

30

ba FIg. 1.35

perpendicul~r pe planul , inelor (fig. 1 .35 a )' I d . +'st~nta in tirnp . ' . n no yl a magnetica este con-

, ~h.lxul ma~netio p~in, suprafata conturului dreptunghlular format de,me , 1 ha,ra varlB;za in mtervalul de ti rnp (t, t + At) en .

A - Bn. A U + At) - B;tA(t),

j~~~:~i:p.4t)iind aria supraietei t raversate de flux 18 .mornentele re~pec._. .

Deosrece 1 1 are orientare o p u e a sens 1 . d Ieri U •

respectiva este negativ , i deci : u UI ere erIll ta, fluxul.prin suprafata

~-+

A < 1 > = Bn AA = Bl A " B l AuX =-. ( J u t . '. .

Coniorrn legii inductiei electromagnetiee, in contur se induce 0 t.e.m,

e=

unde ~ens?l de referinta alt.e.m.burghiului (v. f ig. 1.35 , a).

Rezul ta in final t .e.m,

. • I l e ~ - - , . - - ~ B ~ ! - ~ ~ ~ - ~ - B - l - ( J J

. Aoeasta t.e.m., produce in conturul cond .'.prn~ ~iI?-pulmagnetio pe care-I enereaz~ uoto~ re8pe?~1V un cursnt care,

. variatioi in timp a fluxului (in !azul de~~O'pU8

OImpul~lmductor), se opune• In cazul eind .. d' '. ta -. cre~terll fIuxului).. IIIuella nu este norm r 'VH\de flux va fi (fig. 1.35, b) : a a pe su~rafala conturului, varia-

-..4

. 1 . < 1 > = Itn AA =B ( 7 t ) ' .. ' cos '2 - + Ct . ~A __:Blv ~t sm IX •

H 1 . 1 ' t e m ind ~ , . ... " . usa prm ml~oa.re va f.i:

A e = + Blv sin Ct . , (1 .37)

pl1ca~lll 1. Sd se colculeze 1.I3.m. In conductorul unei " . . .l =1 111, care se nU·Rcii.ell 'a ~ 10 [s lntr-u ne~ ma?tm electrice apind lungl.mPfl

, .. . - III S ntr- un cim .p nQrm I dB =1 1'. . a pe con ucto» ~i pileza, aolnd

-.-xi' .este asocia t eu eel a l f luxuiu i· . dupa regula

31



I e I = st» =1 X 1 X 10 =10 V.

(1.39)

i/

Aplica.~is 2. DOUIl n av e c os m ic e " bo ar a in p ar a Ie l in j ur ul , piim !n lu IU i c u. 0 v i te z ii d e '

10 km/s , la o dis ta nli i d e 1km. tntre ele, Ce t.e.m.v« induce,tn lungui unui c ab lu c ar e I e l e ag d ,

ctmpu! magne t i c , terestru [B ; ,= 0,5 ' 1.'0-4T) ?

lei = ~tlv = 10· W .103 . '0 ,5· 10-t

= 500 V.

o Obset :vs\ ic. kceasUI. t .e.m. se induce clnd navele tree deasnpra poHlor. Deoa-

reee circuitnl fin este inchis, in cabill nu se va produce c tlrent electri c. In schimb, tntre

nave se va st abil i 0 dire'ren~i\de potenJial de 500 V.

Apllcltt1a

9. Vite ,za medie a ap e lo r Dun ii r ii este de 0 ,.5 m]«. Ce t .e .m . se ,Ia i n d (l c e t n tr l l

d Q u a m a l ur i d is la n ta 1 e la 1 km, In ctmpul ma g ne t ic t er e st ru (BI =0,3' 10-4

T ).?

I e I = Bll lmed = 0,3· tU-4 • 103 .0,:$ =0,015 V = 15 mY.

o Observstie• Pe aoeasts sale M. Faraday a tnceroat sa mascsre viteza medie a

aprlot· rlll'viulul Ta,misa.

D . E NE RG 1 AMAGNE TIC A $ 1 F OR TE LE MAONET IC E

1; En. rill h'li netld

Deoarece ctmpul magnetic exercita forte magnetice ~i poate producelucru mecanic, trebuie sa admitem ca aoest drop este capabil sa acumulez

e

energ ie pe care s-o poata chel tu i pentru producerea lucrului mecanic~ Aoeasta

energie se nume~te energie m agnetica. .'Incercaro s a gasim 0 expresie a energiei magnetiee acumulate tntr-o

bobina. In acest scop, consider am 0 bobina ideala (adica cu rezistenta

nula)avind inductivitatea L. Bobina este alimentata incepind de la un moroentdat, t =, de 0 sursa de eurent i(t) (fig. 1.36) care cre~te 1in1a1'eu timpul-Ne fixam atent

iaasupra unui interval-de timp (0; T) , in care c,urentul cre~te

liniar de la i (O) =0 la i( T) = (fig. 1.37, a). Aceastii variavie in timp' a

curentului va produce 0 t.e.m. de a.utoinductie

s: 1- 0 Ie s= -L- = -L--= -L-·

!1t T-O T

Bobina. se compor ta deci ca 0 sursa de t.e.m- la bor-nele oareia se stabile~te tensiunea (fig. 1.37, b)

. 1Vb = -e=L --' =const . (1.38)

T

La un moment dat tl.:E (0; T) , bob i na va ah-

sorbiputereaplr = V bi(tl,), ,,-'

iar energia abs'orbita in intervalu1 Atl, va fi:

AWl, =l,At" =Vbi( t l' ) At" .

Energia tot~la absorbita in intervalul (0; T) va £iFig. 1.36

W ='EAw/r.=L;Voi(tlr)Atlc =o,>'i(t lr) Atk·(It) (It) 1 r J .

Dar i ( t / , ) A t ' J t reprezinta aria dreptunghiului elemental ' ha~u.rat in rigura 1.37, a.

32 '

I

i(t,J

tir

~ l(tIrJ' L J t lr =(,1(k) 2 I

a Fig. 1.37

D.eei.suma din expresia de rnai sus f' ..'dIn i~tervalul ~O; T) , adioa 'aria t~~n~~iuTui' g T 1 ~uturor dreptunghiurilor

T

, ' '" '( TI. 7' t th)Atl• =AoT I=- .

Hevenind In expresia (1.39), obtinerncu (1.38) 2 ,

Tl' '1W =Vb - =L _. T1=i.L1 2

2 T ·2 2 .

F iind pdmita de la 0 BUrSa ~i nedisi t~". .are .1'ezisten~a nula, aceast.a energtr~s~:na~~tel'llol't~l ~)Qbjneideoa,rece aceast anetic a] hobinei ; deci I . mu a t. integral in ctmpul mag-

. . _ ( 1 - . 4 0 ). . 1

Wm =_L122,

Alegtnd drept 1 oricare dint re valoriie i ( t ) ~i t inind searna ca:

• C ( > =Li

abtinem urrnatoarele .. '. 1 1 1 bobina: expreau eohivalente ale ene ..l1 . rglel magnetic.e acumulat.e

- 1---W'" =__

i2=_~_','~, $2,

.2 2 "l'. - '2 L (1 .41)

o ~o~j1. De~i au fotlt deduse ent .., \a(~ e~.e /'g t eL ma gn e t i c e s tn t l Ia la bi le l p ru ~ ,bob,ma ideala, expresiile (1.41)~I o nc e fe l .d ~ v ar ia iie a c ure ntuiui n fe nJ ra., ad w tl ' p en t~ u o ric e r et d e b obin iiTIl~gnetlC~l mtensitiWi curentului ']a

ee epinzfnd numai de valorile Iluxului .un moment dat '

ApUoa*la 1. Sd se de ter '. .' . . '; .rI, fO A. mfne onergia mC!gne t l cd d in ir -o b o bi ll d 1 . ' 1 1 L =01 H , p ( ' J r ( ,UI ' s ( J ,

W _ 1, LI'o' 102 ,.m--: -,=.O,1·-=5J

. 2 ' 2' .

33a - Electroie~ 01. ~XIl



J. =2Wm = ~~ =O ,H I ! .

1" 2[)

I

AplilJl\~(I\' 2. C e (lux Sf' ,~/(lbl ' le,~/e ill bobin« d in I Ip h (' al ia .1 daNi ill pn Sf ((1!umu/(II:lll

su J'I< D ~ - V;lWmL = ViOII' 0,1 = = 3,1 .( ; \ \') },

AllliCI \~,i~li I J ._Cape WI, (t ill(ellsita/NI-clIl'entu.ll,ti III. co wl IIp /ico tiC 'i 2 '(

, l' ~ ~i])_ _ ~l,1() _, "1 I' '\- -- .------ _ . ) ,) . ._L 0,1

AI)1iCI\~hl 4. , Care psto illdl,l.clipita,tl'!a l.are~ bobin« care aCllm(,(,leq.zet 1 'Vm = 10 .r l a l- 'n

curent j = 5 A,?

2. Densitatea de velum a energiei magnetice

Calculam energia magnetic.a. d in tr-un solenoid lung, de lungime 1 " arie

tl'ansversala a m iezu lu i A, permeabilitate fl ~i numar d e sp ire N;l' ( ] _ ) 2

W _ ..:..-~ ._ In 2 L

2A 'Dar (]_)=N BA ; L = fl!!__'__ iji deci

l

Wm ,,' }_ NZ~:~2 =', B2,Al' B2 V,2 fL _' _ ,2fl' ,2fL

- f

unde V =Al este volumul miezului sole'noidului., Se inumes,te densitate de volum a enel'giel' magnet lee ai. ti W

e ne rg ba m agne L e a

T;a.portata la unitaiea de ooium: ,Wm B2

IW -~--., III - V - 2fL

D~oarece B --- :-Ll/ , obtinem ~i urmatoarele expreaii echivalente:

(1,42)

AIIIiCI\~i" : 1 : : Si t se (le!crml:ne d e n ~' i/ at e (t d e poli.un a B I I . c l I ' g i e i magnetire PCIII,.U, / 1 , / ' 1 c lmp

H =1r !n ( l i l a . . ' '

A p l i t .l l ~ t > h 1 I!. enl 'e 1 / ( 1 , (i de,l ' Is;taI6(! de eniil'li,'ie pontl/'u, nC/l lr . l~i o Imp 1 1 1 . 1 1 ' - 1 / , ( 1 111ed,itt I I I !

1 k1 ' " '" 3 97 7 1 1 ~ 3,\ 1 7 • '1 00 3 nlI'm ,_~~ = zx- 1 . 0 ' . 1 / n1 ,

. 2 f 1 ; u [ J . l ' ,~l\l?' '

q Obrserv~le. In l'aport ,eu capac~tateA. cirnpului electric de a aoumulasneegie, callROltatea olmpului magnetic sste cu rnult mai mare la valonile

uzuale ale md,u-ct,iei care se obtin in teh nioa. - -

3, Fer~a magnetica

, Consider am eleotJlomagnetul din figmll 1..38, a, In eare 0 p O I , p u n .a

F t

circuitului magnetic, denumiUi. a rrn ,c i tu ra mob iU i I se poate deplaaa. F ie d lun-

34

A f ' m i i f v l ' Omoht/ci

- -

o Fig. i.3S'

g~mea interst .it iului dint re . PQU numit '. f ' , . . ,~m int reher. Experienta aratd ea armij~\mtre u~rb,r~B - inductia magnetici'ifIX ou 0 forta F ml,pe care vrern sa 0 cal~u~~~~O 1 a este atrasa inspre polul

Luorul mecanio elementar f ttl ' , ,va fieieetuat pe seams' energj:i ec ua t~O de~I ,a,sare,Ax.tn JO B (fig. 1.38, b )

scadea odat a ou descresterea 1ntmaf~ne11O

•a~ oirnpujui din intrefier , care va

'i .re ieru U1;

B~Fm A:r:~ - A . 1 1 , r . = - I1W

2u. ' III,

(energia scade datorita mici.§ora~ij volumului:! Ar Vm =W ' '-

, B2 . B2 " . 2 ,mfmal Wminilial =

=-2 A(d - .1x) -_ A· d - B A i\

IJ . 0 2" - - - -2- ~x.

lmnarti ,.0 flompartmd cu I1x, ohtinem

'/

(1.43)

Forja dati l. de relat ia (1 43) ', til. 'nstilor. ' , . poar nurrrele de f o r/ a po l' ta nta a electrornag-'

f1 i B ~ p 1 I c ~ ! i ~. Sa. se calouleze lorN p or ta nt ii a . u nu i ~ le al rQ m a~Mt a"tna A =1 dm ~

,F m " " l 1 12 A = 1~• 1O-~2 iJ ;o 2 ' 4n' 10 - -7 = 3 ,9 7 • 1 ()~ . '

Apllc~,la 2. S a S(f dele"m{l!~ l'nd~ to li. ' .Clapab il s l l aezl!olle I) 10rl(1. do 5 000 N.' • a a ,m .agneh.ca de sub , p olul l.v~u,i elecl l 'omag'ne t

/' r, - ,a ,II"n an Cl8d[n~.

B =V 2 f L 1 I F I 1 1 ="\f i 1 f . · 1 [1 -7 . 5 '1 03

-

A V 3 • 10-~ . ~ 0,64' T.

AIIIII'I\~I" 8. s a , s e d e ~ e l' m ;n e " aria 1 1" '= 1j T d e~ IJ QW t 0 ~ I" - . p( ) ~t IH unu~ e le c tr () m ag n et c a! ,e la inductla n! ., ,o r ,t. p()r lanUf . d e If) 000 N . f + =

A = 2"'oF.m = 8'I'C'1 0 ., .7 • 10 4

B2 225 "'" '1,12' lO~am~ =11i) e l m s

o ,"utd. : A p l l u a P U e R r! it A c il t , ' ( ' I ' . ' ' ' 'inrfuc(lci o b/ in ut e t n l eh nic a Lit' 0 or e ~'.llllagnBII08 sin; imp(}rtall l~ la o al or i uzua le aleY o . - ' , , , O lle Ft , e ectromagnetl! s tT,Il['l~ll unor macarale fllectromagnBtl(\e. . r e \1 I IzellZ,l\ chlar p en tr u r 'e ul i.

3 5

1 *



C a p i t o / U I 1

E lo EC T RO T EHN ICA REG IMU loUl P ERMANEN T S IN USO IDALAL CIR~UITELOR ElECTI\ICE '

A . E LE tl1 EN TE ID EA LE D E C 1R CU 1! " IN R EG 1M V AR ,lA B IL

1. E lemente de cIrcuIt pasl11e

, . d torul stnt elemente dipolare pasive deRezistorul , ~obma ~~ con lentsa, iiu apl icate la borne sensulu i curen-

, 't Vom aSOClaatunCl sensu enfllUDI -C}fCUl • (f' 2 1 )tului i cu regula ?e , la rece~toare , 19~re~t~l sln t marimi, varia.bi le in timp._In regim v8.1'la.bIl,. tenslU~ea iii lC' mar imii respective valoarea pe care

S-a notat cu litera. mICa a simbolu ui e t adica oaloare« sa instantanee.W '

are Is . un moment oarecar , , . l' t taneuacea marlme 0 . " t tanee 1 8. borne ,1 curentu ms anProdusul dlnt1'8 ,tenalUnea ,InS an

se nume9te pu te r e t n st an t a, ne e , (2,1 )p =ui. _

a . Rezistorur i d e a l ,

, ~ Tensiu)lea 1 0 . bo~nel~ unui l1ezistor idem}eate proporyionala ou intensi-

tatea eurentului:

~ ~ ~ i , ' \1(2.2)

i ~J

f l t.Ii U~b c

a

Fig. 2.1

3 6

unde R' e~te rezilltenia' r~zi~to..ulu.i id~al (fig. 2.1! a): . T~nsiunea la bor~eurmllre9te instantaneu varlatJa in tlmp a eurantului. Yom constata eli reue-.to rul id eal ute sin gurul elem ene p entru care leg ea lui Ohm t,i pdSt re az tl f ormad in c .c. ,i tn regim "ariab il. ' .

Mlrtmea UR se mai .numeete citdere de t en s iu n e r e zi st i~ 4 .

• ~Ilterea lnstanta~ee primltA pe la borne este: '.

. ' R 'I: O 'P =URt = t,~"

Prin urmare, puterea p primite. din exterior se'transforma ireversibilln ollduraR i2 dezvoltata in resistor.

\

b. B ob ln a I d e a' "

• Tensiunea ht bornele bobinei ide~le e st e p f op o rl io n al d e u " it ez a d e c re ,t er etn t tm p a c !- ,r e nt ul ui :

aiUL =L a t (v, cap. 1, Hubcap. C.1 - not~), (2.3)

unde L este induotivitatea bobinei. Mlrimea UL 88 mai numestetensiune inductiv i1. '

• La limitl, pentru a t -+ 0 &eustis de elreult este:

ciJr;,ere.d e

(2.3')

E a s e ~ b~ in e p rin a plio ar ea ' le gii i nd uo ~i ei e le ctr om ag ~e tic e. 'F lu xU :1 ~ =Li prin :

bohinA este v ar la bil in ti ln p, a str el 0 1 1 . se Induce tenshmea e le ct ro mo ~o ar e ~ = -d~/d~.

Pentru 0 ho l ;l inA . id e al ll . . r a zi s te n ta e s te n e g li ja bUA , I n u e xl sM . o Ad er e d e t en si up e r ez is tl vi l.

T ,e .m . i nd ~s !l e Bt e a tu no l e ga l! !. , tn m od ul o c u e ld er ea d e t en si un e I a b om el e h O l? i. ne i. T i nt nd

o on t ,I d e s en su l t.e .m . induse, s e o h tl ne e =- Ut, d eo ae eo e e ur en tu l e st e a so oi at t eo si un ii

la borne dupll. regula de la receptoare (fig. 2.1, b) . Prin urmare,

d~ d, diUl;=- ".- (L~)= L -.

- ~t " de ' dl.·

• Puterea instantanee ate expreaia

, • L' di d ( 1 L'II) , dWm ~P = = UL~ = = t - _,-. - ~, = ~ .,. ,0 deOAI'I'('lfl

dt d e 2 ' dt....',

, ,

energia magnetioll a unei bobine are ex:preaia

1 .Wm = = '2 L£2 (v. cap. 1, rel, 1.41.).

,',

B'obins id~a.Ut ar e p ro pr ie ta te a c a to atd e ne rg ia e le ctr ic d p e c ar e 0 abaoarbep e la borne ad 0 a cum ule 'z e s ub fo rm d d e e ne rg ie m ag ne tic d.

o Observatle . Procesul eate reveraibi l: enel'gia magnetioi l aoumulatap,oate f~ re)stituitl l inte!!al pe 1 8, borne, sub: ,for~1l de enerfJie .eleotrom~gne.tiolt Prin urrnare, 0 b ob m 4 n u c re ea zi J. e n er gJ e, O£ doar 0 8 0 1 u m 6 4 ou ex t6nQrul .

37 '

f,



Bobina ~chlmbl instantaneu' puterea electromag~eticl ou exteriorul.

\

'Ctnd p >o · bob ina prime~te energie ~i energiamagnetlcl aoumula.U, ore~te.Dacl1 p <0: bobina cedeazlenergie ti energia magnetic I acumula.tl desc~e,te.

c, C on de ns ato ru l I de al

• Jntensitatea eurentului prin eondensatorril ideal B st e p ro po rt io na li l c u

o is es « d e (Jre~tel 'efn tim p a' te nsiu nii a plie ate la borne,'

i= C Auc ,At

unde C este oapacita~ea condensatorului.• La limita, pentru At -+ 0 ecuatia de' circuit e3t~

S

( 2 . 4 )

(2.4')

T&r1 s lu n eal a bo rno t r ebu lo 8 1 1 a lb A f orma ' d o undll

dreptunghlulal'lI. indloatA In 'fi~ra 2.2, b.b ) T eil sh in ea a pl ic at ll a' b or ne flind 0 sum!

a c ll de ri lo r de tenshme inductivA "i rezistivll. I

Ea se obt ine prin aplioaeea legi i de conS61'vare a sarcin ii elect l' ice.

Deoareoe saJ!Cipa q ~ Cu e pe armaturtle condensatorului sste 'variahilA tn t lmp,

prm condensatol' va trece curentul '

, , d ( ) d (C ) C due& = - dt -q "":'!· UC = de'

. , '

In aplioarea legii s- a ~inut seama (ll!.,tn I'aport. cu sens~ri le ~sociate dupl!.regula de lareceptoare, curenlul iese din arm1\tura. hlc1\rcat l! . negauv (hg. 2.1, c). '

• I tent ru un oOll liensator ideal , puterea iUStUlltO,IH'4' este

, " dU e d(11C 2 ) ' dWe~op =Ue~ = = ucC"----:' =- - Uc =--:; ,

dt dt 2 dt

deoarece energia acumulata in otmpul electric 0.1unui eorrdensator este

W =.!. Cu~.e 2

i

\bqya '

. .t

Co:q.densatorul ideal a re p ro p~ ie tq .t ea c a, to at a e ~e !g ia p e c ar e 0 abs o ar be p e

l a b or ne sa 0 a cum ule ze s ub f o rma de . e n e r g ie e i ec t ri o«,

Ca Qi' hobina ideala, .condensator~l ideal sch;imbii insta~taneU: pute~e~electroni.~gnet ica cu e~terlorul . AtU~Cl oind se prlme,te energ ie de. la borne,energia electr ica acumulata create ~l a tuncl c ind se ce:ieazA. energie, energia

acnniulatl1 descre,te. .Aplleo.~la.1. Intensi ta tea curentu lu i prin bobina de dBflexie a tubur-i lor cinesc~p treb~ie

s{1 .a ib4forlfMl . de undlf in d in]i ~e fer~s!rilu, ind icald. in f i%u~a : & . 2 , ,a. SIJ.se dete~'mmefo,'ma

de undd a tensiunii care .tre b~! e aplwati1. la. b~ rne~e hobmet dac4. ,

a) bobina este adm!sa taeala; .' ' "a • .'b) bobina este echivalenUi.' C lio 0 bobma Jdeald. in ser ie Clio I,m reIHs!or t e,at, Ia) In intervalul 0 ~.! ~ Tl curentul oste . li niar oresca tor in tlIl)P: t = (T o T1)1

.~i atunci ' 6.i 10uL=L- =L-.

6.t r,este liniar de&crescl1:to,are:,i""

, b o iIt= ul,. + UR =.L - + ri,

. . . b o t '

'pasta compononto. d'reptunghiularll. , e s up r ap p ne 0

componen~A. proportionalA. cu intensltatea euren-

tului. RezultA, lorma de undA 'reprezentatA i n li-

gli ra 2,2, o,• ,." . I '

ApU".tla. I. Un curent l in iar cresc/Jtor tIL

timp i = kt, c u k = 2 mAls, ,trdba'e (}bebin4 ideal4'cu inducti"hatea L; = lJOmH. '84 se calcule,e:

a) puie"ea instantanee primit/J pe l.a borne;

b) 6n{Jr,ia magneticit acumulat4 la tl =1 s

,i '. = 28.8. ) Deoarece

di Wbu ;=: L -= Lk = 50.10.1 X' 2.:10.1- = to-IV

~ s'

rezultll.:p =~i =:10-' X 2.10-1 t·;:: 2.10-7 e (W).

_ b) Energia magnetic!i. Batl:: ,Fig. 2.2. '

W?n= ~ Ll = = 0,5 X 50·11r.B X (2.10-B ) I , : a ='10-7 t~ (J).

b

, . In al dci lea interval 'T1 ~ t .:;;;:T, dependel!-~a,de timp,= 10 - (lo/Te) (t'_'T~)', unde T~ =T':'" T1• Rezultl!.:

6.i 10UL=L- =-L-.. ~t T a

a s

u_ LIo

r , - - - ; : ; r - - ~ ; I - + = - - - - -t

c

Prin.urmare, 1 0 . t = is: lVm=1Q""7 J, hlr la t;' 2&: 'Wm ~ !t.t.O-7, J.

o Oblervatle. UnitA~i1ede m1l.surA'uti lizo.te sat isfac relat ii le: 1 A X '1 H =1 Wh.:1 Wh/s = :I . V; 1 W =1 J/s. ': '

r :.

J

lei I lit de drc.ult lc : tlVe (sur.. Idel.la)

a, SursQ Ideale de tensi lme ( f i g , 2 . 3 , Q ), ' '

Se n~me,te ~urs~ Ide~l' de tensime e le m en tu l : d'i po la r' a ct ip d e c ir ct lJ itc ar e m p nlm e . tn ctrc uttul d tn Care face p arte 0 tensiune 'la borne data u =~,i nd ep en de ntl 1 d e s tr uc tu ra acelu i circuit. Curentul debitat de sursl depin:dainsl de aoel circuit. . -,

• Pntel'ea.instantanee c ed at L .pe la borne , in exterior, este

p = ui = ei.

. D ao a i are sensul specifioat..(u ,i i asociate dupa regula de l~generatoere); p >0 ,i .puterea.·este cedatil in exterior: Putereamstantanee devine negativA. ,ji.este prtmttl1' in momentele ill

care sensul curentu lu i este inver-sat , adiciA.u ,i i stnt asociatedupa regula. de 1&receptoare,

0' b

Fig,. 2.3

39



b. S urs a I de 'a ld d e c ure nt (fig, 2,3, b),

, '

Se numeste sursi ideali de curent e le m en tu l d ip ola r a ctio d e c ir cu it c ar e

men , i n e in c irc uital d in care ' fac e p arte un c urcn t- dat i = ig , i n dep en dc ' nt d e

s tr u c tu r a a c e lu i c i rcu it . Tensiunea 10.bornele sursei este determinata insa de

~cel .circuit. .... '

• Puteres instantanee. Cu'sensnr iie reale ale lui u ,i i asoeiate dupa

J regUla. - de 1 0. generatoare,_sursacedeazt'J, efectiv in eite:"io~ puterea

p =ui = ui g•

Dad, sensurile instantanee ' reale ale tensiunii 10.' borne ,i curentului

slnt asooiate dupa regula de la' r eceptoare, puterea este p ri m i ta din exterior

de oatre sursl.

0' Observatie. Generatoarele reale pot fi reprezentate prin scheme

echiy8)ente In careapar numai elemente ideale, Astrel, de exsmplu, genera-

t08.l'els rotative sincrone, de tensiune sinusoidall, pot Ii' desorise printr-o

,sohema echivalentl serie aloatuitll. dinte-osuraa idea.lil de tsnsiune, 0 bobina

.ideala ,iun rezistor ideal.

Apllea1 l& 1. La borne le unei surse ideale de lensiune al/ lnd e=100 V2'sin t.)t slnt'

conec ta f e succ6sill un. r6Jistor, 0 bobin4 * i Un condensator ( f ig. 2.4). Care e s te t en s iu n ea

inst~ntanee de la bornele oelor 'rei elemente?Deoareoe sursa mentine tensiunea la borne daM, independent de elementul If; lgat

la borne, tensiunea este u =e =100 V2 sin t.)t, Curentul instantaneu va !iIns!!. diferit

. 'prin cele .trei elemsnte.

A pU eatla ,. 0 8ws4ldeal4 de curenl iniec!eaz(J, c'urentulln dinli de ferdsirdu ( f ig.2 ,2 ,a)

printr.o bobinit au inductlllieatea L ~i re.'#stenla r ( f ig. 2,5, a), sa se determine lensiunca

lli bornele sur8e~' de owenl. J

Curentulln din~i .de fellAstritu indiaat In figure. 2.2, a determina 0 cadere de ten-

siline IIIhomele bobinei 9.'\llndforma de ufldll.indioatl1ln figura 2.2, c. Tensiunea la bor-

nele generatorului de curent eli te egalA.eu aceasta cadere de tensiune (UL + Ur),

Fig. 2.~

L

Fig.IU

40

B . P RO DU CE RE A T EN SIU NII E I. EC TR OMOT OA RE S IN US OID AL E.MARIMI CU V ARIATIE SINUSOID ALA iN TIMP

1. Prlnclplul .onllratorulul d curent lit rnltlv

Circuitel~ de ~urent alternativ sinusoidal (prescnrtaf circuits de 0.0..)

au 0 largl, rl1spi~dlre aUt in eleeteoenergetioa, ott Viin electrooomunicatii.In ,elec~r,?energetl?l1. producerea, ~ranBmisiunea , i utilizarea energiei electro-~agnetuJe se r~ahzeazl apr~ap~ integral , tn our.en~ al ternatlv. Prin tre prin-cipalele av~ntaJe ale curantului alternativ amintrm produeerea so. simpla,

. 0 ~nslUne .eleetromoto~re alternatid sinusoidalA poste U produsAprm ~otll'ea unur cs~u bobmst ,in elmp magneti~ unlterm, Principiul de~unotlO~8.I'eal acestur generator sirnplu est!'! acelasi eu eel 0.1generatoo.relorindustriale de c.a. De aceea U Yom studia tn detaliu,

Sa consideram un cadru eu IV . spire (fig. 2.6) ant renat Int r-o miscarede.rot«\.le unlform.B.rcu vrteea unghlulara w, in jurul axei sale de simetrie . 6 . .Ml§oarea de roto.t1e se efectueaza intr -un ctmp magnetic uniform in spatiu

~i invariabil in timp, en inductia magnetica 1 1 perpendieulara pe axa derotat1e a cadrului ., Fluxul magnetic 'prin auprafata cadrului dreptunghiular are expresia:

4l, =BA cos at (reI. 1.17),

unde A este aria oadrului ,iat - unghiul dint re inductia B ,i versorul ~

normal la suprafata eadrului (fig. 2.7). Versorul ; este ata,o.t euprafetei Inrotatie, fiind .dec~ un vector rotitor , Sensul versorului ~ este asootat duplregul~ h1;lrghlulul drept, 011 un' '.sena: arbitrar ales pe conturuloadrului dreptunghiular.

Sa alegem ea moinent It --: 0

momentul ~ la 'care ~ ,i B auaeela,i sens, respeetiv momentul

~. -+ .

clnd n "trece" prin B (fig. 2.8,a).Ohservam. ca 10. acest momentf~uxul magnetic C P , este maxim.~l egal ou BA; el scade apoir~tn1!1d pozitiv. pentru 00. odat~

cu rotlreo. oadrului eu un sfertde oerc '.eil t reaol1 prin zero (fig ..2~8,b) , dupli o~e devine negativ.Fluxul i,1 atmge valoarea mi-

nim'! - BA dupa rotirea cu thcaun sfert de cere (fig. 2.8, c).

~poi ' « I > , oreste, ramtntnd nega-tiv, plnl la rotirea ou al treilea R sdert de cere; ctnd trece pr in zero 6-.-C:=:J--1:>--_j(fig. 2.8, d) , devine pozitiv Vicre,te pinA 10. atingerea valorii Fig. 2.6

\

'"41

"'i



fl [,

b I) ~

8 '

t '= Tlf

:I(6) [/~. " 8 [ ,

c

n f · id ~~0.

. ' / . . ' nJ ''f=T/2 t=3Tjil-

_/JepslIllnslan/oneil~ 01 t.e.m. Induse

\

\\ -.. ",""

z r \ / " ~_'~'t

If,. J ~!. \ ifAxa referiald

vtlch;/u! \. B f'!)

(t 0)' .vllezti \ ..iln/;';v- \larti ~

/

Fig. 2.7 . . Fig. 2 .8

maxims + BA, dupii 0 rota\ie compleU., dupl care, trece din nou, prin

ace]a,i ,ir de valori.. . . . . . . . .

Unghiu l at format de n ou B la un moment dat t alte a t = 6)t astrel 01, fluxul magnetio printr-o spirl a . c ad ru lu i e ste : dat . de ~

, c J J i =BA oos 6)t. (2.&)

Deearsce' toate splrele eadrulul sint trave1.'s8,te 'de aoela,i flux (f)"fluxulmagnetio total este < l> = N < 1 > ( . Aoest flux variabi l in t im:p (numit flux in dU Ce

torr f8,09 08. in oonturul mchts format de spirele oadrului sl se induol, t.e.m.

e=.- d e l > = ~ d (NBA co.s6)t)=NBA6)sin6)t(v.oap.1C.1.-nota).. dt dt · j

, .Valoarea m axtm a a t.e .m . induse NBA 6)=Em este proportional' eu

numlrul de spire, inductia magnetiol, aria unei spire' ,i viteza unghiularl

de rota\ie .. Ea n u d ep in de d e fo rm a g eo me tric it a s p ir e i.

De e x emp lu , t nt r- o s pi rl ! . c ir cu la rl ! . c u a ce ea ~ i a rl e A s o i nd u ce 0 t .e .m . d e a ce ea 'l i

valoare.Tensiunea indusa se poate scrie deci:

e= Em sin 6)t. (2.6)

DacA. o ap et el e b oh in ei stn t legate 10 . doul inele care alunecl pe douiiperii fixe, legate Ia un circuit exter ior ( fig. 2.6) atunci pr in oirouit se stabi-.

le~te eurentul'. e Em '=_....'"_._._in 6)t,

It ·R

de aseme.nea'sinusoidal variahil in timp ..In apea,stl eXl?resie R eate re~istentatotall a circuitului .(rezistenta celor N spire ale eadrulu i, rez is tenta de contact10 .perii , rezi&tenta firelor de legl1turl ,i .rezistenta de. sarcinl). Curentul indusare ssnsul t.e.m, induse, ~tim lnsa ,oa un conductor striibltut de curentproduce in jurul sau un cimp magnetic. V a exista dedi ,i un c tm p m ag ne tica l c ur en tu lu i i nd us . In calculul efectua.t, acest oimp magnstlc de reac,iune afost neglijat In rapert cu otmpul magnetic inductor. ,

42

ApUca tl e. 0 bobinl£ dre ptunghiulard s e r otes te cu 120

r o t/ m in t nt r- un ctmp magnetic uniform eu induclia 0,8 T.

Daca . bob ina are 25 spire ~i suprafala unei spi re este 4 eml,

s li se cal cu leze ;

a] expresia I.B.m. induse;

b) tlmpui in care spira efectUed.zif ° rota1ie completd;

e] curen t~ l i ndu s t nt r-un resistor de 10 n' ,Se "or neglija.~ dmpu( magnetic de reac1ie al curen-

tului indus, rezistenla splrelor , i rezietento. de contac; la perii,a) V iteza ungh iulaI'll. de rotatie este.: ''. rot 1 min '

r.) = 2n X 120 -. X - - = ftn = 12 56 rad/s.

m in 60 s I

V al oa re a m ax im l1 a t .e .m . es te i

Em = := 'NBAr.) =25.x 0,8 X 4.10-1 X 12,56 el 0,:100 V.ln consecmtll., expresia t .s .m, este r ,

e =0,1 sin 12,56 I. .

b) Daea se efectueazll 120 r ot at li t nt r· un m in ut , a tu nc i pe secunda se efeotucazi1

d ou l1 l 'o ta ~i i. 'T i mp ul i n c ar e s e a fe ot ue az l1 o r ot aj ie e st e d ec ! ' 1 ' = . . ! . =0,5 a. ' . -, 2 .

.c ) D ~o ar ace g sn er ato ru l c o.n sid er nt ~ ste e o.h iv ale nt u ne l. s u rs e ' av tnd t.e.m, II ~I,

r e zl stBn ta m~e rn l1 , . egaH!. ~u re zl s te n ta . sp i re lor ~I a c on ta ct ulu l In perU I j > i la c are esteocneotat reZlstorul de saroml1 Rs ' (fig. 2.9), ourentul prin o ir ou it e at e:

, e e 0,1~.=~- .. ~ - ... - sin 12,56 , IA ) =10 sin '12,56' t (rnA)

r + n, R" 10

daci1 s e n eg Uj oa zl !. rezistenta r,

2 . M lrl ml porlodlce

F lu x ul m ag ne tic ( l > r =SA co s w t ~i t.e .m . e =E~ sin C J l t a i n t rnar imivariabile in timp. Dependenta de t lmp a acestor roar imi este indicate.in figura 2.10. .

. Mi1rimile sinusoidale, dar nu nu-mai acestea, sint per iodioe, Curentulin din~i de ferastrau (f ig. 2.11, a) prinbohinele de deflexie ale tuburilor c ine-8COP, tensiunile Ia hornele unor gene-ratoare electronics de semnale utili-z,ate in testarea aparaturii e lectronice(fig. 2.11, b, e, d) slnt exemple demarimi periodioe, . '.

o mlrime perioilieit este 0 marime

l Ia ri ab il il a le c ar ei oalor: se reprodue 'tn aceeafi suecesiune, la intervale r let im p ' e ga le .

Perioaila Teste in teroalul minimd e t im p d up a c are se re pro due tn ac ee asio rd in e o alo rile m ar im ii p er io die e.

.Valoarea instantanee a unei rna-rimi periodice este 0 functie periodicade timp care 'va satisface conditia

i{t) =(t + T),

orioarear fi momentul t.

z

Fig. 2.9

t

a

. "«I~":

b

Fig. 2.10

43



N um 4r ul, d e p erio ad e c upr in s tnu-o

) Tsecunda se numette Ireeventil. Freoventa

a se noteazl eu f ,iare unita.tea ~,e mlsurl,~

~r/, eu presourtarea H z. Relatie, de deli-

pnit ie este :

/

b

~~.(2.7)

c [ 0 2 r - - - -J 7 "

• Retelela electriee de transmisie ~idis tri-

t ,buti a a energiei el ec tr lce in curent al terna tiv

d L au frecventa standardizati!. de 50 Hz (tn S.U.A.,. . 60 HZ). Aeeast!!.frecvent!!.eate denumit!!. f recven14t

in,dustriall1,

,P ro dusul fre ev en te i p rin 2n se nu-:

meste frecventil. unghiularli. .sau puls~tle.

Fig. 2.H Simbolul pulsat ie i este (I). Unitatea de

, masul'l este radian/aeound! (radjs). '

Pulsat,ia are relatia de definitie, ,

!

Intre aoeste marimi existl ,i rblatiile;

'(I) 2n'f=- ,(I)=-. (I)T=2n.

2n ,T

Cu aceste relatii, observlm cl putem pune expresia eurentului ,i subuna dintre formele:

i =1m sin wi =m sin 2n ft =1m sin 2n _ !_ •T

Datorita fenomenului de Indueere a t .e.m. prin r ,otirea cadrulni bobinat, pul sa-

tia fIl a curentului ' ir idus este numeric egali !. cu viteza unghiularl! . de rotat ie a bobinei .In rnasinil e generatoare de c .a . • pulsa jia ~;e .m. induse este In genera l dife ritll. de

,vit eza unghiular ll . de rotat1e a motorului primar de antrensre a .generaterului. Numai

la turbogeneratoare (generatoare antrenate de turbine eu abur] ou 0 singuril. pereche

de poJi magneticl, aeeastA.egalitate se mentine. La turb~generatoare cu rnai multe perechide poli sau .la hldrogeneratcars (generatoare antrenate de turbine hidraulice) ou mai

multe perechi de poli, pulsa tia est e produsul vitezei de rota ti e' a turbineiprin numarul

de pereohi de pol i magnetlei ai masinli ,

••

3 , M lr lm l l rern till' ; mlrlml lou Idale

VBloarea medie BUDei mlrimi periodice este " ;'e di a ar itm e tic a a p alo ril ori ns tan ta ne e tn in te rp alu l d e timp e u du ra ta T e g al d e u p e ri oa da m a ri m ii . No~ammedierea in t imp eu simholul mlrimii eu 't ild ': i.

44

(2.8)

o mirime' BltemativA este , 0m arim e periodie;i a earei valoaremed i e esie nula.

o miriine sinusoidali este 0

m arim e alternativ{i eu varialia 2ntim p d e fo rm a s in us oid alii .

Valoarea medie a unei marirnisinusoidale este nulli e . Beferindu-nela curentul s inusoidal ~=1m sin w t,(loDstatlm eli sensul ourentului' Incircuitul indieat tn' Iigura 2.6 se

sohhnbi i la Iiecare semiperioada, Inse~iperioada 0 < t < T1 2 inten-

sitatea ourentului este pozitivii ~icurentul oireula de la peria Pl la '

peri~ P a • In seI?iper~oada urmiit?are ~T/ 2 < t <: T) intensi ta tea euren-bului .eate negatlvl ~l ourentul. i~l Bohlmbli sensul, oiroultnd prin R 8 de,la Pa la P' Pentru a calcula valoarsa msdie, sa luihn valorile ourentului lainterval~ ~e timp egale 'in cuprinsul unai perioade:fn figura 2.12 perioadaa fost dlVlzaU, in N in tervale egale ~i au (ost indioate valorile instantaneel~ aoe~te. m om en ts . .val?rile insta.ntanee 8J ~ our,entul~i sat isfao re~atia def\JPletrle *+ T/2) =. . . . . t ( t ) , astfel ol i in media arl tmet lcl apar valori inatan-tanee egale doul cite douli dar de semne contrars, Rezultli oli media arit-metiol a aoestor valori 'eate nulli. Cirouitul este deei strahlitut de un ' curentalternativ. ' ,

o ,Observatie. Tensiuniledreptunghiulare ', i' triunghiulare indicate Infigurile ,2.11, e ~d au val~r i!e medii nule ,i ~lnt deoi de ~semene~ mlrimi,~lternatl'ye. Curentu~ in dmp, de ferlstrlu (fIg. 2.11, a) ~l suocesrunea deimpulsuri dr~p~unghlUlara (hg. 2.11, b) au 0 valosre medie nenull ,ti decinu slnt ,~l1rlml alternative. " ' ,

: Relelele de eur~nt. alte~nati! sinusoidal slnt. uzu~umit~ r ~l el e d e e u~ e nta l ternatw, de~l ~lrlmlle sinusoidale nu. slnt singurele ,mlr lml alternative.

t

o t

I. .sin Z2JTm N

I "

Fig, 2,12

. &1 rea • ctl"l a Ullal mlrlml ptl rlodlce

Valoarea. erect lvi l. (sau el icace) a unel mil .r imi periodiee este radacinap atr ata a m ed ie i ar.itm etic e a p atr ate lo r v alo rilo r' in stan um ee tn in te rp alul d etim p al un ei perioad e.

NotAm velosrea efeetiva ou l itera mare 8. simliolului marlmi! (de exam-plu, 1). '

. Valoarea eroot ivA a unui curent periodic e st e n um e ri c e ga ld e u i nt en si ta te aun ui e ur en t c on ti nu u o ar e, s tr aM ttn d a oe elt fi r ez is te nlti c o. ~i c u re n tu l p e riOd~ c ,face sa se d ez"o lte aceea# cantitate d e ch-Idura gn tim p d e 0 perioada., Puterea instantenee disipatli intr-un, rezistor are' expresia '

P a =R 1 . 2 .

Dill; c.~uz~ inertiei termiee 8; re~is~orului, ~e~peratu~a nu poate urm~r i, varlat llle mstantanee ale p' tratu lu l durentului , 01 numai valoarea lui msdie.'Clldura dezvoltatl e&te atunoiproportionall eu puterea media

45



------- ~,....----<I

. .

F ig , 2 ,1 .3

numitl putere activa, egall OUprodnsul in tr e r e zi l lt en t a R '. ,.i p l tr a. tu i v a lo ri ie fe c~ iv e a c ur en tu lu i. A ce ea ,i p u te re s-ar ~ i i l~pa 'l nBI , i a tunc i' o lD ;d re. ! 'l il S to ru lar fI p arc ur s d e u n o ur en t o on tm uu n um en o e gal c u v alo ar .,e a e re otlv la e ure n-tului pe ri o di c. Pu te ri le disipate I ii n d a ee le as i, r "e zul tl 01 , 1 oiUduradez'¥olta,Uin oele doua situatii este aeeeasi, ,,' ,. . . " -.

o Ob s er Vf 'ti e. D in causa i ne rt ie i 'e ob ip aj ul ui m o bi l, am permetrele ,iv oltm etr ele c u ao indicator nu po t urmari variapiile i ns ta .n ta ne e r ap id e a lemarimilor pe r iod ice masu I' at e. De a oe ea , e le i nd ic a v al or i , m ed ii atunoi clndcuplul activ este proportional ou valoarea instantanee a marimii , i v a lo r i e fe c -tioe atunoi cind cuplul a ot iv e ete proportional ou pa tr at ul marimi! mas~rate.Insbrumentele magne to e le ct ri oe i nd i ca valoarea m edie ,i p ot fi fol08i\e num ai 'in o.o, (eventual i n c .a ., ou redresor). I ns tr um e nt el e e le ctr om ag ne ti oe , i insteu-mentele electrodinamice indica valoarea eieotiva , i po t Ii utilizate in ourent ,

altemativ.

5, CaracteHstlclle ml"lmllor In

S il o on sld eram e xp re sia g en era ll a u n'ei rn krim i lin uao id ale , d e ex em plueurentul sinuso idal " .

i = = 1m sin ( C I ) t + y) ,

'8. e'rei d ep en de n~ il d e ti mp u in die l in lig ura 2.i3. 'So n ume st e amplltudlne ~alo~reamalVim ' 1m a md r ,, ,, " ,tnUloidaZe,Se ! lume,te faIA argume~tul. 8inusului, td ie l u ng hlu l C l ) t + 't - Fu a Ie

va. ex prlma de regulA In radlanl. ~, . 1 . "

S e n um e9 te . t R z A Inttlal~ ,~~loarea y ~ faze i lam o m e n t u l ,£ " , il ! a l

(t - '0).Notlm de Obl .Oe lcu yl t az a I nl tl aU . B. unui eurent, eu ~ fala Inlt1all t, uneltensiuni, O U. at faza. in.i~ iall a unei, t.e :m ; eto~ . . . "

Convenlm a A e xp rlm lim ta za In it~ all in ,in terv alu ~ [ -:,'" ,,]. D e0 1.

-'!'r .;; y.;; '!'r,

I n e le otro ie hn io ll, o pe rl m eu valnrl eleetlv e. Sk ' ci.loul'l~ valoueaefeotivl a o ur an tu lu i s in u so id al i _1m /s in C l ) t . P lt ra tu l v al or il or ~ n ~t an ta ne ese ob~ine din rala~ia:

\' iil= = It si nl C l ) t = = P m 2' ( 1 - ' co a 2 ( 1 ) t ) .

46

In figure. 2,.1~se indica variatiaIn. timp a pateatulu! curentuluLAceasta noua Iunotie poate fi privitaoa suprapunerea ain tre Iunctia con-stanta de valoare l~iI,ifunctia' eoai-nusoidala de frecven~ii dubla inr ap or t: o u oe a a, ou re n tu lu i , Va lo a re ar oe di :e a I un ot ie i o on st an te e at e o h ia rvaloarea aoesteia. Valoaeea media ac om p on en te i c osi nu so id ale e st e nula,,In consecintli valoarea medie a func-~iei i2 este

1~/2"Rlid~cin~ p'~traM.:

a a ce st ei m ed ii e st e v al oa re a efectiv~

t

~jg, 2.14

II V " ' " ~ lin .= /,-.= --:;:: = ,707 1m.

. V 2 .(2.9)"

Vom serie 'de aceea rn l' h 'i i ni l e. s i nu s oid al e sub forma genera~a

, i =r V2 sin « ( ; ) t + y),

'u~de I, V 2 = 1m aste amplitudinea eurentului (A), Reamin t , im oil, T. = 2 7 t/ e o ,este perioada (8), f =1/ Teste Jreoventa (Hz). '

, "

Apll~tla. 1. Lniens it at ea aurentulu i p en tru un cirerl i t are e:tpnsia instantanee

i = ,1 i V2 sin ,(M - n/6) (AJ, Sa se specifice: '. "

f\)·

oaloarea efectivd ~i [aza in ifiald; .. b) oalo ri le i ns tanianee la wi =0 ~i ooi =t/6,. , I '

e) m ome 1" tt ul l a O al '8 c ur e1 "t ~u l a re oaloarea m ax i mtY , ~ ti in d e li . [teeoenta este 50 Hz.

n) Compartnd axpresia daUl. cu expresla genal'ull1, obt lnem:

1 = 2,5 A, Y = = -re/6"

h) ' i =2,5 V ra in ' ( - n/6) = ...:..,5 vr x . : ! . pentru M=01 i =0 psntru wt= ...::•2 6-

II ) C l l r a n t l l l are ·vulouroa max tma atuncl ctnd tuza sa are valoarea + T t / 2 , Deoi

, • ' T C 'It '

wlo - - "'" ~ ~ to = 2n/3(1).62,

n I " 2 1 1 :O O Il .l 'o M W ;:0 21'1" r e z u l til 2n.J ! =~ fl l t. =T13,

, 'T' a 'r • ,

DIU' T" ", 1 /1 '= :1/50 =0,02 s "" 20 ms, M omantul oato In to =20/3== G ," mS .

Aplloll~11lI. I nl en si ta le Q o ur en lu lu i pf~/ll,,,. un c i r ( J u i e a r e ( lty;pres ia i

t = = 0,2 V2 s il t ( 21 '1 ,5 0 t) rA ). ,

S I 1 . s e o F i l o u i e ! l J 6 :

a) arr'lplitudin.p,a,

b)1 peri(Jada,

0) f az a i ni /i al li ..

a ) D eo ar eo o v al oa re a e fa ct iv ll .. a c ur en tu lu l e at e 1=0 ,2 A , ampl it ud ln e a c ~I 'e nt ul ui '

eete 1m'" .0,2 vr = = 0)288 A,

, b ) ' Fr B( )' ve nt a t ii nd f = = 50 Hz, rezu1 t ll por ioadA T =', flf '"",1/50 =0,02 s =2 0 m s,,0) f ,! lZEl initialili. Bate nul!l, '

4 7



Apllea.la 8. 0 tensiune sinusoi-

dal it vizualiza l4 pe eoranul 'unui osa ilo·

scop are amplitw:Unea 30 m V ,i ,peri.

oada 80 ","S. SI! . Be calculeze:

a) raloarea efeclivtl a Bemnalului;

l ) - ) frecrenJa ,i pulBalia:a) U ;" 0,70"7Um =0,707 X

X 30 10-8 = 21,21 mv .b) f =l/T = 1/(80 • 1 .O-B)

1,25.104 H z = 12,5 kHz ;

' O . . . . . . . . . . .. 2 Zu/Y- u, 7

'00.1 '\ " " - 17 c . J t

'0Jr/2

"J T r \ / 8 . f f / 2 )

0 ' ".....L .>

0 " " - ./

2J f- : "-2

-3

-I ftil = 2 r r . f = 2 rr . X 1 ,25' 10· =

=7,85.10. rad/s.Apnoa~18 4. I n fi gura 2.16 atnt

reprezentale do¥4 tensiuni Binusoidale.

Fig. 2.15

a) S4 86 specifice expresiile instantanee.

b) 84 B6 calctdelle valorile efecti,re ,i dif ti renJa fazll lor ird /iale a le celor doult m4rimi.

a) Tensiunile U1 ~i Ua au expresille: UI = 20 sin till; Ua = 30 GOS tilt . A doua ten-

s iune se rna! ser ie : Ua =30 s in ((Ill + n/2), pentru a se respecta scelerea sub forma nor-

mal!!. In sinus. ,

b) Valorile e le 'GUve slot: u1:.:::: 0,707 X 20 =Ilt,a V; U.= 0,707 X 311= !It,2.t V., '

Fazele ini~iale slo t: Y I ~ '0 , "fa = . . : ! : rnd. Diroronta fazelof ini~i ll le este '1 '1 - ' I' a " ' ". 2

= := . _ rr./'J. rad,

6. R"pr zenrare, vectorial m~rl",IIQr sinusoidal.

In regim sinusoidal to~i cUl'enW ,i tOl lta tenshmile dint r-un ci rouite lectr ic flint marim! variabile sinusoidal In timp, Frecven~a tuturor aoestormarimi sinusoidale este aceeasi ,ieste determine til de sursele din circuit.Din tre eele t re i ml1rimi care determini. complet 0 ml1rime sinusoidal!: f rec-v e ni a, v al oa re a e fe c ti va ,i f az a i n il ia la ., una - frecventa - este ounosouta.

Eats necesara dad numai detezminarea celorlalte doua, Aceasta insea,mnli

.cl i, de exemplu, ourentu l a inusoidal s=IV2 sin (wt + y) este complet pre-cizat daca se dau valoarea efectiva 1 ,i faza ini~iala y. .

Existi i marimi matematioe complet caraoterisate prin perschi de numerereale ; vectorii l iheri d in plan, numerele oomplexe etc. Int re marimile sinusoi-dale ,i aceste miiJ, 'imimatematice se poate stabili 0 coresponden\a biunlvoca.Se obt ine astfel ,0 repreaentare simbolioli a mlirimilor sfnusoidale. Se spuneca a, :"em ~ r epre z en ta re f ! ~c tor i a la , .resp~etiv. 0 repreze.ntare tn . p la nu l c om p le x.StUdlUI oircuitelor elactrice tn regrm SInusoidal cu ajutorul acestor reprezen-

tliri 'este considerahil airnplificat.• Vom .studia pentru tnceput reprezentarea vectoria lA.Reamint im el i un vector l iber in plan se car'ac terizeazl i prin dona marimi

scalara: modulul ,i unghiul- format ou 0 .ad de referin~i i. · Punctul de. apli-.catie al unui vector Iiber este arbitra.'r.

tn reprezentarea vectorialA, unei mArlmi slnu80idale i=Vi sin.«Ut+ r)-T

i se aso e,iazd un v ecto r l ib er in p lan I :,I/y, c ar e a re m o d ul ul e ga l c u il al oa re a

. e fe ctiv a.,i c ar e lac e c u 0 a xa d e r efe rin ta un u ng hi e gal c u fa za in i~ iaU 1..o Observat ie. ' Reprezentarea este b iunivooa: unui vector l ibel ' din plan

Ii corespunde 0 I£;larime sinusoidala. _

48

!I

•

10 15 EO

Q

Fig . 2 .16

Scriem aceasta coresponden~a biunivocll sub forma;

[ i ~ IV2 sin (w e + - y) '~ 1:lb.j (2.10)

De exemplu, sa oonsid~ram cursntul il =10 V2 sin (w t + T e l 3 , ; A. Inplanul xo y S9.alegem axa o x ca ad de referin~a ,iorigineaca punot de apli-

catie ( fi g. 2 .1 6 , a). IVeetorul' liber asooiat este il : 10/~f3 (~ l are Jodulu l

10 A , i face unghiul Te/3 eu axa .o x). -De obicei se utilieeaza acelasi punct de aplicatie pentru to~i .ve53torii

l iberi asooiati cursntilor ,i tenaiunilor dintr-un circuit nat. De aosea, de

exemplu, vectorul

1 2 :1010, as~oia.t eurentului i2 =10

V2sin (U t , estd repre-

zentat cu punctul de aplicatie in originea axelor. In ap1ica~li este sufioienta ll s e s p eo if ic e axa de referinta aleasa ,i unitatea de masura a reprezenMriIor(fig. 2.16, b) .

• Sli exe~plHicam.pr~p~letiti.le reprezentirii ve~toriale ~rin coeespnndentaa doua operatn cu marlml sinusoidals: adunarea , I Inrnul ti rea eu un scalar .

Adunare« marimilor sinusoidale corespunde in mod hiunivoc cu adunareavectorilor liberi asocia\i:

il + i2 ~ i ~ t+ 1 2 =I.4 ~ _

Vectorul 1resulta din compunerea vectorilor II ,i III dupa regula paralelo-gramului (sau tr iunghiului) (fig. 2.17, a). .

Fig. 2.17

49, - i:lcotmtflhnloa. 01.XI-XII



Inm uuirea cu un facto r con stant A :> 0 . a u ne i marirni sinusolid~le, c ores- '

punde biunivoc ou Inmuljirea vectorului liber asooiat ou aoel scalar: i

- c : ' . -+ - + / 'I\tl __.:il ~ All = 3'

Aceasta operatie nu modlfica faza (daca Bealar~l este pozitiv): mari~ile '

s in u so id al e s in ti n l a z a , j ar v se to ri i liberi a so ei ay i s tn t e ol in ia .r i (fig., 2.:17,1b) .

,c . E L~ EMENTE IP EA LS I N REG IM S INUSOI I; JA L,

Elemsntele de circuit ideale: .rezi~t9rul, bohina ~icoridensatorul au fhs t

studiate in regim' variabil In tirnp. Am constatat, C ff Iiecare dintee, aoeste Veielements se caracter izeasa printr-o eouabie tensiune-cll~ent specifipa: '

UR =Ri ; iuL=L 'd i; i=C dUe."

dt dt

/In regim permanent sinusoidal, daca s e aplica la homele elemantuini .

tensiunea s inusoidalii ' ,,

u =~ '2 sin (w t + ~),I

intensitataa eurentului prin element este de asemensa sinusoidal'S. ~ide aceeasi

pulsatie: , '\

i =/0'2' sin ( r o t + Y)',

Celor e r e i e c ua ~ ii de a i ,r e ui e d e r eg im ~arf tabi l l e C 0 7 ' B s p u n d Zn',regim s i n u s G i -

da l e cuat ii En tr e (J~' lori efBctille fi tntre faze l e in il ia l e. V orrr d eterm in e aoesterelatii pe rind, pentru f ie ca re e lemen t. D e asem en ea, v orn an aliza soh im bul

d o e ne rg ie I e. h o rn el e ~ ~ ement el or in regim'sinusoidal.

1, ReZ:1s to r. ul i de al . P ut er ea actlva

• U n rezistor, ide£!l (fig. ,2d8); str~bittut de' curentul

sinusoidal i =IV 2 sin (w t + y), a re , 't lm s iu nea l a borne:

U n = Ri =RI V2 sin (w t + y ) .

Val~area e f e c t i ( ) / j .a t en ei un ii e st e

rUR ;-.Hlj" (2.11)

,i faz,a i n i l i a l a

: lJ~~· I '

C ur e~ ~u l es t~ . d eo i jn fad. ou tens~une~ ap l io at i1 ." ( fi g, ' 2, 1 9 t a . ) .

Valonle efeotwe sattsfac l,legea" hn o h m (2,11).,I •

FI,g. 2.i8

5 0

Fig. 2.19

b

• VectorU liberi asociati sin t :

{ - I V Z sin (wt + y) ~ 1: I /y;. . . . .

UR =RIVZsin ' ( t i l t + y)~ UR : RI/y.

Ei aatisfac ecuatia

U R= R i\

,i B e reprezin M prin ve ct o r! c o li n ia r .i (fig. 2.19, b ). •• P ute re a instantanee p ri miM . p e Ie .bo rn e d e r ez is to ru ,1 ideal a re e x pr e81 a

• R'2P = URt = t

,iesta In ta td eau na p oz itiv A, ,(fig. 2;20}:S il calculam valoarea m edie Q puteruin stan tanee ln in terv alu l u nsl perioade.O b~inern: '

I p P ,Ri2 =R Ig I ,

deoareoe 7a = Ia oonf o rm c al cu lu lu i e f e o -tue.i lE I. d ete rm in ar sa v alo rii er eo tiv e a'u nu i o ur en t s inusoidal. $ ,tim e li d in o au sai ne rt ie i t erm io e ,' ol.ldura dezvoltatl ~nrezistoare e B ~ e pl·opor~iQnB.li1 0 ' ; 1 , ~oell'stl

.valoare m edie tn trm p a p utarll lflstan·i El .n ee .Ao ea st tl pu te re e st e n umi tl puterea c t i v i l . D erinitia e i e st e g en er al !! . O i nu .este legitl num ai de olldu ra dezvoltatltn rezistoare.

Puterea activit e s e e v a l o a r e a Imediepe 0 perioadd a pute r .i i i n stantanee .

Puterea. aotivi1 s e n ot eu l ou P , i se·ml ho a. rl 1 n watt . Multiplii d es u~i hz at isint kilowatt (1 kW = 10 3 W) , m e gaw at t(1 MW =10 11 W ). .

a

, .t H

r u o-ti-C::l-.--aI

I It

/1-7-0

I

' 2 1 f '

I r . u t

p

, 6

F lB . 2 .2 0

11



Sa calcularn energla electrlea. PTimita, in intervalul unei per ioade.

Deoarece puterea instantanee este' debitul instantaneu al J energiei ' electrice

primite, energia primita in intervalul (t; t + At) este ~w=p~t ~i are s~m-

nifieatia geometrica a ariei hasurate cu negru din figura 2.20, b. Energia

primita intr ,-o per ioada este atunei aria de sub graficul puterii instantanee

Int re doua mnmente ce delimi teaza un interval egal eu perioada T (fig. 2.20, b) .I •

. 1mpiir\iihd energia W T primite la perioada T se ob\iine d .e b it ul m e d iu . a l e n er g ie i,

deci puterea activa:

o Observajie. In aplicatii intereseaza energia absorbita intr-un interval

de timp foarte mare r a t a de perioada T. Daca intervalul este egal ou un

numar intreg de perioade, atunci debitul mediu este de asemenea puterea

activadeoarece Intr-un numar n tnt reg de perioade energ ia primita este nW r .Daea intervalul este arbitral' , dar foarte mare Iin raport eu T, snergia elec-

triel:l. p~imita este, ell buna aproximatie, egala cu puterea aetiva tnmultita

ou acel interval, eu abateri cu attt mai mid ell ett intervalul este mai mare.

2 . B ob in a. I de a. H i. R e ac ta n~ a -tnductlva,

P ut er ea r ea ct lv a I nd uc tl va

• Sa consideram 0 bobina ideala, In regim sinusoidal bobina ideala

strabatuM, de eurentu l s inusoi~l i =V2 : sin (wt + y) are, tenstunea laborne: . ' -... .

di V- (1t')u= L"dt= «u 2 cos (wt+ y)=wLl Vi sin wt+ y+ 2 "

(v. cap . 1. C.l - nota). Prin urmare, o o lo a r ea e f e ct i" a a tensiunii uL este

r u ~=wLI\,

~i f az a i ni ti aU i are valoarea

1C, ~= y+-.

2

Miirimea

(2.12)

se numeste r ea ct a nt a i n du c ti (J / i. Simholul r~a.ctan~ei este X. Reactanja se

masoa.ra in ohmi ; ca ~i rezistenta.

52

o VODe lu zU . Pentru 0 .bobinl ideallrezultl cl:

• curentul defazat in urrnaate

. t ensiunii ou un unghi egal ,cu; radiani

(fig. 2.21);

• vaJoarea efeotivl a eurentului eete

egala cu valoarea efeetiva a tensiunii

impartita la reactanta hobinei.o Observajii. 1) In c ur en t c on ti nu u

caderea de tensiune la bornele unei bobineideale este nula, deoareee derivate, unei mlrimi invariabile in timp este

nula (viteza ei de variatie este nula), Se spune e a b ob in a r ep r~ zin ta u n scurt-

blrcui t .

. 2) I n c ur en t a lt er na ii » la 0 tensiune la horne data, curentul este limitatde reactanja bobinei, care este proport ionala ou freevim\a . . De aceea 0 bobina

b l6 c he a za ' t r ec e re a c ur e nt ul ui l a ( ,c c ll en te t ne ue ~i r cp -r ez iJ tii u n s cu rt ci rc ui t l a

fre i:w en;e sufic ien t d e joase . -.

3 ), R eac tan la b obin ei n u are se ns d ec U tn c ur ent alte rn ati» (in regimul

in care ea este def·inita).

Fig. 2.21

• Vectorii asoeiati tensiunii ~i curentului

i =1Vi sin (wt + y) ~ i:/y,.--

_ .,

slnt reprezentati in diagrama veotoriala din Iigura 2.22. Veetorul UL este_ .,

rotit eu unghiul 1t'/2 in sens trigonometric fati1 de veotorul I. La bobin«~ _,. ~ --+

ideal l i U L .. L 1i eureniul I e ste :d efa za t c u un gh iu ln /2 tn u rm a lu i UL'

• Puterea Instantaueeeohimbatade bob i na ideala pe la borne are

expresia:

P=ULi =wL122 sin (wt+y) cos (wt + '

+ y) =wL1 2 sin 2 (wt:+ - y)

,ieste sinusoidal variabila in timp, de

Ireeventa dubla (fig. 2.2~, a).Puterea activit Pe durata unei

perioade, Int r-o semiperioada putereainat'antanee este primita de bobina,iar in semiperioada imediat urmatoare Fig. 2.22

53



11 , iL '

~.--.-.-

U

puterea instantanee este oedata de bo-pina apre exterior (de exernplu, surseiIa care este conectaM.). In medie, pe 0

perioada energia p'rimita pe la borneeste nula, P ute re a ac ti(J a e ste deoi deasemenea nuUi. In bobina ideala nu auloc transiormari ireveraibile ale ener-giei in caJdura,

Bobina ideala nu este un con-sumator de putere activa j ea sehimbaputerea. instantanee cu exteriorul.

Putern caracteriza acest schimb ener-gotic prin amplitudinea puterii instan-tanee (care este oscilantjl]. Numim

aceastil marime pu te re r ea ct iv i \ indue-,

tid.. Expresia ei este: -

a

\ QL = w£12 = X / , J 2 \ (2.13)

Puterea rea.etiv[ are slmbolu] Q . Ea.IHI m li sQ a ra i n (Jar (prescurtflr~ de lave I t- am per·rea.ctiv,).

• Varia~ia in timp a energlel

magnetlee Wm( t ) """,1 Li ? este repre·F Ig , 2.22 . 2

zentatl in figura 2.23, sb , Atunei etn'd-

puterea instant-anBe es te poz it ira , de exemplu in inteevalul (0;' T(4)) ensrgia

ma:gnetica aoumulata in bob ina. cre~te de 'IB, zero 1 8. v al oa re a m ax im a L12,

avtnd semnifica. tia . geometrica a arie i hasurate de sub graficul puterii instan-

tanee. Atunci etnd p ute re a in sta ntan ee e ste negativa, in intervalul (T 1 4 i T / 2 ),

flnergia magnetica aeumulata desoreste de la valoarea maxima la zero. Inacest interval bob ina ideala cedeasa integral energia primitil. Bobina ideala

I

schimba e.nerg ia pe Ia born~ ~ara ,a 0 oonsuII_la; c~ea cep:ime,te intr-un inte:~

val eu durata TI 4 se cedeaza in mtervalul imediat urmator. Valoarea medie

in tlmp, pe 0 peuioada, a energiei magnet ice este insa:

W:..., 1 '"':'2 '1 21n =- L L =- LI .

2 2

I Comparlnd expresia puterii reactive cu cea a energiei

oonstatiirn c a -,

I

magnetice medii;

c ee a c a lara ta ca p ute re « r eac tir a in due ti va e ste p ro po rti(m alli e ll o al oar ea m ed ie

pe 0 peri oada, a energiei m agnet ice aeu-m u.late ~n bob ina.

5 4 ' -

C ndens orul I.

ut r r

pill

I 1/

• In regim sinusoidal condensatorul ideal' sub ten! li~nea aplicB.tlla

horne Uc =Ucl/2sin' (w t +~) este strab li tu t dec~rentul s inusoidal

i=C d d ~ c- cw U 1 / ' 2 cos (tilt + ~)=.CtI lU V2 sin ( tO t + ~+ ;)

(v, cap. 1. C . l - nota).

Prin urmare, oal oo r e« e {e e ti v~ a curentului este

1= tI lC JU (2 .1&)

~i {aza in i~ ial ii are valoarea

Mlrimea

I

--1-=X

. w C .(2.t&,)

este reac tan ,a , capac i t iva .

o Ooncluzi l. ' Pent ru un oondensator ideal rezulU. deoi cl:'

• curentul eate aefazat Inaintea tensiuni.i ou ~ radiani (fig. 2.2');

• v al oa re a efeotivii a. cursntului e~te egalii cu valoarea efectivl a ten-

slunli h:p.partiM.,.la modulul reaetantei oapacitive.

o ObservatU. 1) In ' curent cont inuu curentul pr in oondensatorul ideal

este nul. C on de ns ato ru l r ep re zin ta d ee i Q ' fn tr er up e re d e c ir cu it .

2) I n cu ren tdl t ernat i v, la 0 ten-

siune apl.ioaM 1 0 . borne da;tIi, ourentul

prin conde 'nBator sBte ' d~terminat ."de

reactanta sa. Reaotanta. unui conden-

sator .ideal este invers proporjionala

cu frecvenya.. De aceea cop,densatoruJ

Meal b l o~h ea za t re e e rea eurentului la

f re e" en te [ oa se ,irep rezin ut un scurt-

c ircuit' la fre e"en f~ tn alle.

, ( 1 : .' J

6 1 S

unde



Fig. 2.25

lI, i

a

Fig. 2,26

• Vectorii , asoeia~i tensiuni i ~i

curentului,

uc = UV2sin(wt+~) ~ U c: U/~;

i =IV2 sin(wt + ~+ 71 : /2)~

~ 1:I/ ~ + 1 t / 2 .

~lnt repreF~ntati, in diagrama vectori-aUi din figura 2.25' , Vectorul curent 1este rotit cu unghiul 1t/2 in sens trigo-

. . . . .nometric rata de, vectorul tensiune Ua

aplicata la borne. La un condensater .11' - ~

ideal-Be .L1i eurentul I este d,efazat_ ,.

cu u ng hiu l1 t/2 r ad ia ni .t no in te a lu i Ua.

• Puterea instantanee schimbata

de condensatorul ideal pe Ia borne

are expresia

p =Uct =wCU2 2sin (wt +

+ ~)cos (w t +~)=wCU 2sin 2 (w t +~)

§i oscileasa cu frecventa unghiulara 2win juru l v alorii nule (fjg. 2.26, a) ,

ca: ~i la 0 hobina ideala.

. . 0 In concluzie, pentru un COll-

densator ideal:

. • puterea activa este nula ;

~ puterea reactiva capacitiva,

definita, pine. la semn, ria amplitudine

a puterii instantanee oscilante, este

(2.16)t Qc~ U'IXc~ XcI'~ -~I'.

• Vafia~ia in timp a energiei electrice instantanee est~ reprezentata in

igura 2.26, b.

Puterea reactiva capacit iva este proportionala cu energ ia elect rica acumu-

lata in' me die pe durata unei perioade in cimpul electric al condensatorului:

-, 1 -2 \ f 2We =- CUe =- CU .

2 2

D. CQMPORTAREA UNOR CIRCUITE SIMPLE iN REGIM

PERMANENT SINUSOIDAL

,

1. lh1pedah~1l1 ad mltl"ta ,I d f a l a J u l

Sa consideram un circuit neramificat, cu doua borne 'de acces, alcatuitdin elemente de circuit ideale pasive, Un astfel de circuit dipolar poate fide exemplu un rezis tor ideal , 0 bob ina:ideala, un condensator idea),' 0 conexi ...une serie a acestora etc .

In regim permanent sinusoidal, daca se aplica Ia bor rie tensiunea ,:sinu-soidala

'u= UV2sin(wt+ ~),

intensita tea curentului prin ci rcui t este 'de asemenea sinusoidala ~i de 'aceea, ifrecventa

i =IV2sin(wt + y).

• Se numeste imped(m~a a elreu itului r ap o rt ul d in tr e o a lo a re a Nectiva a

tensiunii~i

oaloarea efectiv(J, a cureniului:

~>o. (2.17)

Impedanta se masoara Inohmi ( .Q), ca ~i rezist~nta.

• Se numeste admitan~a a elreuitului raportul d in tr e v al oa re a efecJiva. acureniului fi valoarea e fe c ti v (J , a t en s iun ii :

,- Y~ } O. (2.18)

Admitanta se m~soara in s i emen s i (S), ca ~i eonductanta.

Impedanta ~i admitanta stnt marimi positive,• Se nurneste delazaj a lcurentului d if er en fa f az el or i ni ti al e ~ le t en s iu ni i

ji curentului: .

(2.19)

Faza initiala a curentului este, cu exceptia rezistorului ideal, diferita.de cea a tensiunii aplicate Ia borne. Am constatat c i l . . 0 bobina ideala sauun condsnaator ideal defazeaza curentul in urma, respectiv inaintea ten-siunii t cu unghiul 1 t / 2 rad. In circuite simple, pasive, aleatuite din rezis-

5 .7

toare, bobine Vi coridensatoare, eurentu1Valoarea efectivll a tenslunii ests U =ZI =100 X 0,2 = 20 V. Fazu ini~laU\ a



va fi defazat tn urma sau lnaintea ten-siunii, dupa natura. cireuitului, unghiul

de defazaj Iiind ouprins Intre - re/2 Vi

+n /2 fad. .- D ef az aj ul B e m ls oa ri i in radiani, oa

Vi fazele ini\i8,1e.! D efa.zaju l 'p oa te fi p ozitiv , n eg ativsau nul. Defasajul este pozitrv oind ou-

rentul se aflli in urma. tensiunii. Da.ol

delazajul este nul, mlrimile sinusoidale slnt,' tn faza., DaM deiasajul este

±w/2, rolrimiJe alnt tn cuadratura.

~

'~' -t. . : . :Ci l ' : : . : . . . . . . .J&Ult = - ( ~I I /po lo l 'I inlol 'pOS/II

Fig. 2,27

o ObBe rv :" tll•

1) Admitanta este inversul impsdante i ,i reciproo:

1 1y= _'; Z= -.

Z· Y

2) lmpedan, , , # d efa zajul c .ar ac te riz ea za c om p le t un c ir cu it n er am ific .at.DacA, de axemplu, Be d A . temiunea sinuB'oidala la borne, impedanta ,i defa-zajul, intensitatea eurentului prin ci rcui t .este univoe de,terminatlf .;

i=u V2 sin ( c u t + ~- c p ) ., Z

I

3) Circuitele simple pot fi neprezentate cu simholul utilizat pentru unrezlator ideal, pe care se specifieR pereohea d e m arim i (Z, cp ) ( fi g. 2 .2 7 ).Uneorl, BOBstelement schivalent cincuituiui Be numeste impedor. Impedanta,i defazajul oaracterizeazli oomplet un impedor.

Apllea.l. 1. Ten8 iun~a la bo rne # iniensi la lea- eurentu lu i prin!r-~n circu il d ipolar

au ezpre8iile: .

u ,;, 1201'"2 sin w! (V); ,

i =2,~Vihin (w t - "'/6) (A)..

S4 , e calcu leze impedanta, admi!anla ~i defazajul.Deoarece U =120 V,I",: 2,' t A, Irnpedanja ~ admitanta 'au valorlle:

U, 120 ;Z =- _ - =' 50 ();/ 2,~

1 1Y =- =-=0,02 S.Z ·50

I

Deoarece faza initiall1 a tensiunii este nula ~i f az a lnit lal a a eu rentului elite y = -n I6 !derazajul are valoarea , ' ,

If = ~- y = ° - (~x/6) = +n I6 .

Defaz ajul f ii nd poal ti v, curentul este tn urma tonsiunil.

.ApUea,l. I. Curenlul ' pr inl r. un c ircui t sal e i =Oi2'V"":jsin I I l I (A). lmpedan'a ~i

de(azajul 'circuilului a~ IIaloriJe Z =100 n; If =-n/2 ..S4 se de lermin e lena iunea apl icaUf

1 1 1 borne .

58

tensiunil ! ll lto ~ =Y + q l , . cP = '-~. Dod:I 2

- \

U =20V 2 sin (w t - n/2).

-Curentul este defazat lnaintea tensiunii cu n/2 radiant.

, A pU ca tl tl 8",Si1 se. odlcu leze impedania; admitan ,Ja ~i defazajul rezistoru lu l, bobinei

~i condensatorulu! , considera te elemente ideale.

Pomind do la definitlo, obt inem expeeslile speeitlcate tn t abe lu l 2 .1.

Tabelul z .t

E/emenlu/ c i t ' ciroull/mpeo'cTI7ta AdmL lo l7 f a Df!faza/u/

z y .. (/J

R • -

cr--e:::::::::J R k = t J 0

,

L _1_~ wL + JT

c u i Z..

C _1_0 II-~ w e - Ji

wC ' I -'2

o Obllervatll. 1) Prln deflnltlo, dofuznjnl este pozitiv atunci ctnd curentul este

in urrna tensiunil. Prin urrnare, pentru : bobina [deala, defazajul de ~ conslderat de la:I.

ClHr8nt spre t(j~shtne trebui.e sa apara tn sonsul pozi ti v al a xei a bsci selor ( fi g. 2:21) . Pentnr«ondensatorul tdea l defazajul l rebuie s a f ie r ep rezent at In sensul nega tiv a l axe i ( fi g. 2 .2' ).

~) 'l'ensipn.ea ~icu ren tul p ri n bob ina idea la s i. pr in oonden satorul i de al s tnt In ouadra-

tl.lr~. .

. 3) L~ 0' t en slune apl lca ta dat il , impedan ta lunui e l emen t l im i toaza ourentul, Impe-

danta boblnei orestecu Irecvsnja . Impedanta unui condensator ideal este lnvers proper-

1ionala cu rrecventa. . .'

Apnc~tla 4. 0 boblnii ~r e inductioitatca L ~ 2,3 mH, So, ls e

bobinei la:' ,

calculez1 impedanEa

n) f1 =~ O H z;

ill r~=1 60 1 cH '1 .

Bobina si va cons id e;a ide~l iJ. .• I . I •

a] ZL=wL = 1 t f l . L b 2x ,x 5Q X 2,3 . 10-3

= °?226

nI , _ .,

~) ZL = ' T t f 2 L = 2 : 1 t X 1,60"103 X 2,3 '10-3:= 2 312 n= 2,312 k n.' . . ~ I

ApUCIl*io..~. Un. conden sator are capao ita tea de 5,6 nF, Sa ~e calculeze, impedansa

condensatorului la:

a) fl =5 '0 H z ;

b) 'fg = 1)0 kHz.I

fl ) Zc =w~ = / ~ 2 1 t f l C ) . =21 t X '50' X 5,6 • t",0-9)-1 = 5,684.106 n .

1 : 1 ) Zc =1/(211(2C) = ( 2\ 't x . 1 ' f O • 10:8·x 5,6 . 10~D)-1 = 11',62 0,

69

2, Putert. ac tl . . .ii, p uterea react I'" ,I putel'el aJlare.h' t~• Pr in analogie cu expresia puterii active, se definesto puterea reaetlva,



Un circuit dipolar sub tensiunea la borne u =UV2' sin w t absoaebe

de la sursa de a.limentare curentu l s inusoidal i =IV 2 sin (wt - 1l), defazatfatii de tensiune (fig. 2.28, a ,i b) •

• Puterea instantanee la borne este

p = i =2 U I sin wt sin (wt - q i) =

= UI cos c p - UI cos (2wt - ([I),

deoarece 2 sin A sin B =cos (A - B) - cos (A + B), conform unei iden-

titiiti trigonometeice cunoscut.e. . .. . . .

• Puterea activ it e s te m e d&a pe 0perwadd a puten: Lnstantanee. Dm Iigura2 28 c se observe. cs. puterea insten tenee, pare 0 compo~enta eonstanta,i! l ~os peste care se suprapune 0 componenta al ternatdva de frecventadubla, d:' amplitudine UI. Deoarece oomponent~ de fre?venta duhla arevaloarea medie nula, rezulta pentru puterea activa. relatda

\ I p = P =!1 cos c p ~ \ ~ O . (2.2'0)

Puterea activ i1IIunui c ir cu it dipolar se c ' al cu le a za c a p r o du su l d i nt re v al o ri le

e fe ct ip e a le t e~ iu ni i ,i. c ur en .t ul ui m u lt ip li ca t p ri n cosinusul unghiului de

d efaiaj d in tr e r -ure nt , t tenstune. .' . . dPuterea aotiva. corespunde unui ~ p~ rt m e dtu d e e ~e rg £e e le ct ro m 'ag ne ttc •

Itr -adeva'r , urmdrind ,graficul puteruInstantanee (fIg: 2.28, e) obsel'v~mca intr-o perioada, in doua }D-

tervale, circuitul pr imeste ener-

.gie pe la borne (ar iile hasurate,mare ate cu $) , i in celelalte doua

cireuitul cedead. energie pe la

borne (ariile hasurate, marcate

cu e). Intr-o perioada energia

cedata fiind mai mica decit cell.

p rimit li , c ircui tu l primeste efec-

tiv energie pe la borne.

o NotA. Pentru un resistor

ideal rp . =0 ,i U - R I, astfalc8.

Pn =UI =RJ2. Pentru 0 bo-'

b in a i d,e aU i defazajul este + 1 ' C / 2 ,

pentru ,un co nd en sato r id eal ','

rp . =-~ In amindou8. Cfj.ZU-

,2

rile cos IF ; '_' ,O ,i'puterea activl

este nula, Regasim astfel valorile

puterii active, pentru eele trei

elemente ideale , obj inute Ill.s tu-

diul acestoe elemente in regim

ai '

I v 2

b

p

, c ,

o

Fig. 2,28

6 0

sinusoidal,

Pl,'lD relatia: ' '_, , I .

I Q =Ulsin c p I ~ .

Puterea reaet iva a unui c ircu it d ipolar e st e p ro 4u su l d in tr e v al or il e e fe ct ip eale tensiunii ~i eurentului mu lt ip li ca t p in sinusul u ng hb ul ui d e d e fa z' Il j d in tr ecurent * i tensiune.

o Nota. Se verifica imediat cli pentru un res i s tor ideal QR =0, deoa-rece sin c p =0" in timp eepentru 0 bobinii idealii, pentru care c p =+ rc/2~i sin' c p =1, rezulta

(2.21)

QL =UI= XLJ 2 ; > 0,

iar pentru ul). condensator ideal, pentru care c p =- ~~i sin c p =-1, resulta

Q c =- UI,= XcI2 <b.

Hegasim ast fe l valorile puteri i react ive obt inute la studiul e lementelor idealede circuit in regim sinusoidal. _'

Sa. observam ca datorita. conventiei de definitie a defazajului pozitiv(curentu l in urma tensiunii ), puterea reactiva . este pozit iva. la bobine ~j nega-tiva la condensatoare. '

• In regim sinusoidal se poate calcula 0 putere "ca in ourent cont inuu",Aceasta este puterea aparenta. ,

Se numeste putere aparenta a unui circuit dipolar p r od us ul - d in tr e v al or il eerective 'ale tensiunii ~i curentului, Se noteaza cu simbolul S., I •'.

" I S =UI I > O . '(2.22)'

Puterea aparenta se masoara. in vol i -amperi (VA).!'!I

o 'Ob.servajie_, La acelea~i valori efective ale tensiunii ~i curentului ,iIa defazaj variabil, puterea aparenta corespunde valorii maxime a puteriiactive: P =S (daca ql =0)" '

' . Se nume~~e factor de putere raportu l dintre -puterea acti 'vii * i cea apa renui .I

(2.23)

Pentru oa 0 instalatie sa funcjioneze cu maximum 'de putere activa, adica cu elicaoitate maxima, facto-rul de putere trebuie s a fie e ft m ai ap ro ap e d e un itate .

•. 'J.1riunghiul puterilor., Puterile activa; r~activa~i aparenta sat isfac rela tii le :

I

p =S CQ B c p ; Q =S sin c p ;

S 'l = p2 + Q2; p tg < p = Q .

Aceste relatii ne ,arata oa. se poate construi un tri-unghi ai putorilor 08 in figura 2.29. Ftg , 2 ,29

61

Aplleatla 1. Un 'consr.;:mator inducii», alimenlal sub 0 i~l1siune, sinu80idalfl avlnd'



I __ ~1

valoarea efect iv4 220 V, absoarbe un curen ! avrnd valoare e fectwi i 11,2 A. Dacll curen tul

esle de(a:al tn Ul'ma '(lnsiunii Cit un un~hi de 12", 8 1 l Be ~rllculeze:

a) p'u'erile aolivll, reaotivtJ, ~i aparenta;_

b) ( ac loru' d e pUleN!. '

a) P =UI co s If ! =220 X ~1,2 X cos 12· =2 HO,t6 Wi

Q = UI sin tp = 2~0 X U,,2 x sin 12° =512,29 var;is -=; UI =220

JX 11,2= to ~6lt VA. '

b) kp = co s tp =co s 12 ° =0, ,978.

. ApllcatlB 2. 0 i nBt a la J ie . d e ~u .t l1 r e activd 2 kW alimentaui 1 0 tel1siunea s in us o id a la ,.qVlnd valaareaef ec ti va 380 f, f uncJwneazd au . rac toru~ de put~re kp =0,8. In urma unor

mdBuri de ameliorar e a (aclorului de pute re, mstalaJ~a funcllO~e~za ~a fac~orul de pul~re

" 'p = 0 ,96. S4 se cal cu leze valor il « e fect ive a le curenl ,l or absorbi ti . tnamte ~ , dup/ l ameli a-

rere« faclorului de putere.

P 2000It= -. = 6,58 A;

U cos < i l l 380 X 0,8

12 = P ..: 2000 = 5/..8 A.

U c os t pz 380: X 0,96·

Instalat1a eu taetorul de putere ameliorat : co.osfml!.aceeasi putere aet iv1l .la un curent .cu

16,7:!% mal mic, .

3. Clrcultul R.L serle

Sa consideram circuitul format dintr-un resistor de rezis~enta ~ leg~tIn aerie ou 0 bobina de inductivitate L (fig. 2.30, a), sub tensiunea smusoi -

dala la horne u =U

V2 Binwt- . .

• A~a cum am aratat insubcapl t.ol~l n.i, pe~tr? a eara?ter~za eompl~toirouitul este necesar s4 g a sim e x p l' Ie S la Impedan1el ~l defazaJulUl. Vom uti-Hzatn aeest scop diagrame, vcctori.a_!·a-;-. .' ., w

Tensiunea la horne este sum a ea.derllor de tonsrune pe cele doua ele-

mente ,i de aceea:U = UR + UL'

Eeua~ia. vectoriala asoeia ta aceste i f 'ela~i i este.... -+ ...

U= UR+ UL•

Rezultatole oh~inute la studiul elemsntelor ideals In regim sinusoidal ne

aratll. 01: .I -+ .. .

'UR=RI ,i u1dt t,... -+ ...

U L= C l ) L I, i U L.L 1 (ou 11n urm~).

Q

82

S a p r~supu~em cunoscul I - ' e c t o ~ u l 1 . Vectorii U R I { jL _ ~ i vectorul ~llmi1 fjsa "r(Wrezi-nta atunci oil in 'figura 2.30, b. :

Din acco.sta: diagr'ama vectori 'ala r,ezulta '

V2 =V1+ V i ~ (R 2 - + - ( , ) 2 £ 2 ) 1 2 ;

dcoa:?pe ~riung_hiul cu lat1;ll'ile U, U R ~i UL este dreptunghic. Din aeesterela~n obi inem impedania ~l defazajul cirouitului : I

~~I~ VR'+ " ' L ' I ; ' - - ' .

J--a-rc-t-g-_W-:_-.,~ (2.24)

Unghiul c p o este pozitiv ~i ~re valori cuprinss intre zero ~i r r / 2 rad., .:~ Ourentul este delazat in urrnatensiunii cu unghiul c p ~i are valoarea

etfoctwa 1= U IZ .. . 'I Expresia i ns ta nt an ee a < c u re n, tu lu i este

.1

t

tl

",

I

U V] S i h ( w t ' _ ' arc tg ( , ) D ) .VR2 + (,)2£2.' 'R ,,'

£ = (2.25)

[I

I

• 'l'riunghhil tensiunilor. Valorile elective ale caderilor de tensiunerezistiva. ,~i jnduetiva satisfac rela~iil~ ,

lJR =Rl ~ U COtS c p ; , " '" UL=,00Ll =V sin c p ) , " '

a~a c,um se ~bserva din triunghiu l tensiunilor e~ laturile U, U it ~iUL' co~struitin flgu:ra2.31, a.' ~ ,

• Porni~d de.la t .riunghiul tensi1l:nilor, putem oonstruiidoua ~riu~gHiur~as.emen?a: trmn.ghlul,lmpedanjelor (fIg. 2:31,: b) cu. Iaturile Z , R ~l X ~ltrlunghlul pute~dor (fIg .. 2.31, c) cu laturile S, P ~l Q . Pentru aceasta s aobservam cs. prm Impart irea la I a valorilor efective UR ~i31L obtinem

U U . <

R . R Z ' X L UL U. I z ',- ="-oos c p = cos ( C l ; = (j) =_-_"'"- SIn rt'J = Bin In

I I T I I " " ' ! T

i a . t : prin inmul ti r'ea. ou 1 reiulta.

U R I = . R . 1 2= U ! cos c p = P ; ULI..:= r o L I 2 = UI sin c p = = Q .,

P u t e" f1 e a a c ti vo ' se disipll 111rezistor: P = R12 .P u te re « r e a o ti ( J a in' oi,rcpit este Q "= XI2 = f i J L l 2 >O.Pu te re a a pa r~ nt a estf l S = = UI =ZI 2 = . r r I Z .

,

"

~

4ib

F ig , 2 .i i" 1

63

Apllcat ta ~. Circuitul , R, L eerie cchi- 4 Clrcul tu ] R , ( ,erl



valen t unei bobine are L·=; 4,2·mH ~i R =

= ' 6,1 O. So. se caleuieze, . •

a) r eac tonta ~(.impedanla bobine i ;

. b) oa loarea e feeti vi j a curentul ui ab -I ..

sorbi; de la 0. 8UrSa de le n81!tne ovtnd

calcarea efectivd·,/U= 10J· V. Fre cuenta

tensiunii de al-iTrlfnt:areeste f =.-2 500 Hs,

a) XI. = 271fL = = 271 X 2 5 0ij X

X 4,2' 10-3 =65,97 O.~ 660; ,Fig. 2.32

z = R2 + ()l2£2 =V 6 , 1 i+ 66~=66,~5 n.h) 1= Ull; = 10/66,25 = 0,15Q94 A ~ 151 rnA.

Apllcat ia 2 . Sii se calculeze puterile actil'a, reactiva ~i apCll'entli tntr-Itn circuit R, L

serie aotnd. resistenta 3 0 ~i reactcnta. 4 n, s trdb ii tu t d e un curent d e valoare e fect ivd 4 A.

Deoarece Z = V R2 + XS =V3 s + lo 2 = 5 n, tensiunea Ia borne are vflJoarea

efectiv..!l'u =1 = 5 X lo = 20 V. Defasajul este c p = arc tg (X/R) = arc tg (4/3)=;53,10°_

Prin urmare:

P = VI cos c p =20 X lo X cos 53,13°.= lo8.W;

Q =UI sin c p = 20 X 4 X sin 5~,13°= 6 4 var ;

S = UI = 20X 4 =80 VA.

Apllcat1u. 3. Pentru miisurarea parametri lor 1, L ai unei boblne reale se realizeazd

'I1on .tajul experimenta l d in f igura 2.32, alimentat la 0 tensiune de frecvenld indll81rial tl

f =50 Hz. Curentul prin circuit se stabileste la 2 A. So, se calcule~e r ~i L daca I 'oUme-

tru l ind ica: 23,5 V ~i watmetrul 16 W. Se I'a negli ja inf luenla rezistenielor aparaielor

.~~.

Watmet rul i ndi ca put erea ac ti vi 't d is ipa ta tn rezl st en ta r a tnfA~ur:l:I.riibobinei. Deci

r = p = 16= 4 n.l~ 2z

Puterea aparsnta primitl :l. de bohina pI. ! la borne este

S =VI = 23,5 X 2 = 47 VA.

Dar P ~ S coa cp ~i deci

cos e = p =~=O ,MO -+ sin '" ~ 0,940'-T S ~7 . T

Puterea reactivli este

Q = Ssin ~ = 47 X 0,940 =44,19 var.

. t ns ! 1

Deal

.L=X;":: :II 11,05 =0,03517 H =35,17 m I l . . . . 1

27ff 2 '/t x 50 .

Pentru veriflcare, s a caleulam impedan~a·

Z = V r8 + (II)L)' = V 2 8 + 11,061 ~ 11,75 .

~i valoarea etecUv!l. a ttmsiunli Ja born.£

, U = Z /- H ,'S x 2 . .. 2 3 ,S V .

.' ..... '.:.; . '.,'

" ', '" ..

\ .

Circuit.ul alcatuit prin inserierea unui rezistor R cu un condensa tor C

(fig. 2.33, a) are- tensiunea la borne u =U V2 sin w t. Sa resolvam circuitul

cu a jutorul reprezenbari i vectori ale , Il~acum s-a rezolvat c ircuitul R, L serie.

• Impedanja ~i defazajul. Tensiunea la ·borne este Burna tensiunilor

pe elemente. Intra vectorii asociati este valahila relatia

_... -+ --+

U =VR + Un ·Dar

. . . , . . . . .UR

,= R J ~i VR tt

I;

Vc = _! i f}i V c. . L I (eu iinainte),wC

astfel ea diagrama vectoriala este cea indicata in Iigura 2.33, b. Din diagramadeducem (

U2= U~ + U Z ' = 12 [ R2 +c ~ r:tgr;:o=

1---,wCR

deoa:rece triunghiul eu Iaturile ~, UR ~ u; este dreptunghic ~i dcfazajul,conslde:rat de la curent spre tenslune, este negativ (apare in sens invers trigo-nometrio]. .

Impcdan ra~i defazajul sint:

I 1 I.p= -fi.I'etg--weR ,.

(2..26)=

Unghiul de defazaj poate Iua valori cuprinse Intre -7tj2 radiani ~l zero.

• C ur en tu l in eircuitul R, C seri e are oaloorea e f e c t i ( . J a 1 =VJ Z I~i estedefazat Inaintea tensiunii. V alo area lui insianianee va fi

lL =-:-:-=:==U~ V " 2 s i n ( w t + arctg_

1_)

VR2. 1 wCR

+ ~C 2w ..~.

(2.27)

Fig. 2.33

I.,S - Electrotehnlca,· el, XI.,...XII

R ""Z cos< f1



X~ZS/I7'1 '

b

Fig, 2.3'"

• ~e baza d iagramei veetoriale se pot construi triunghiul tensiunilor,

eu latu.rlle U _ , VR ~i ti; (fig. 2.34, a), triunghiul impedantelor, cu laturileZ, R ~l X (flg. 2.34, b) ~1 trhmghiul puterilor, cu Iaturils S, P si Q (fig.2.34, .c) . Se observa ea reacfanta circuitului este X =Z sin 0 [ pu te re a a ct ic ii } ;

Q = V I si n 0 [ p ut er e a ' ap a re n ti i) .

~~terea reaotiva Q este de asemenea negativa, deoareee < p < O . Deci, circuitul~llnd capaortiv, re ac tan ta s i p ute rea re actio ii sin ! n eg ativ e, ca la un condensatorideal. '

Aplicatic. Fn circuit e sle alc iitui; dintr -un condensator de 4 fLF ~i un resistor de

470 U. Valoare ll efec tiv ii a c ur entului prin circ uit este de 0,1 A la 500 Hz. Sii se calculeze:

a) reuctunia ~i impedarua circultului ;

b) puterile m:t ivii ~i rea ct i va . i n c ircui t.-1 .

iI ) Xc"= -- = -(2rc X 500 X 4 '1()-O)-~ = -795'80'2rcfC . ' ,

z ~ V 1 / 2 + X 1 ~ =V 47.02 + 79,59~ ='-%?6,6Y 0,

b) Pu lvreu adiv,l l! ! : it.e disipTIU'1 numai in rezistor. Deui

p =, R/ 2 =47() X 10--2 = 4,7 \Y .

Put l" "l~a l 'l 'al 'l i\ '; \ a conden satorului es te

( ! c ; , -z- -i!:l,[jg X '10-2 = -0,7958 var.

5. Clrcultul R , L, C ser le . R.e1.onan~a de tensiune

CiY'cuitlll H, L, C in care eIementele de circuit sint legate in serie estereprezentat In figura 2.35, a.

• Impedanja ~ defazajul. Perrtru calcul se va utiliza reprezentareavec torial a. Vec torii asocia ti tena iuni 101' u, UR ~i UL ~i curentuluii prin circuitsa trs f'a « r ela t iile

ij =[ill + - ill. + - ii.,VR = Hi ~i fjH tt J;

- _ 4 ......

VL =wLI ~ UL .LJ, eu VL inaintea lui I:1 ~ ~ ~ ~

Ue =-- J ~ U e..l . I , eu Ue in urrna lui 1.w e

66

I{ { i t .

.' K L

~c

U ; '-+ -I. ., I I " , J I v ; .

b

Fi~, 2 . 3 5

Diagrarnn vector-inlil C'ql'l':-:punzatOQI'e acestor relatii, construita in ipoteza

VI.> U c' (':-:11' iJldi,-"la in figul'<I 2,35, b. Din triunghiul .dneptunghic cu

laturile I), U I " ( ~i u, = VI. - V e, rezulta:

U~= U~ + (UL - Vd2;

tg '.(=VJ . - V e)/ V Tf•

Inlocuind valorile elective ale cadenlor de tensiune eu expreaiile lor, obtinem

Prin urmare, impedanf.a cirouiialui ~i defazajul slnt :

V~ ' -

12- ' 1 - wL __ 1 J

Z= R 2 + ( wL - ~) ; L c p =aretg--R~ ..V

I " : " " " (2.28)

In ipoteza adrnisa : VL> Ue, ed.:» ljwC, defazajul rezulta pozitiv,

Curentul este defazat in urma tensiunii ~i de aceea spUnem ca c ircuital se

comporta inducti».

• Cunoscind impedanta ~i defazajuI, putem det.errnina eurentul mstan-taneu absorbit. Daca tensiunea la borne este u =uV 7 Bin w t, expresia

,uurentului instantaneu este i =V I Z ) 1 / 2 sin (wt - < p ) , adica

l' wL - _1 )

V V- wCi = 2 sin w t - ar c tg R

V R2 + (wL -' ~Cr ---'

(2.29)

67

I

5* .

~ SIl presup.un~~ .ca p~rametrii ~, L~C slnt constanti ~ea variern



pulsatl:: w a tenSI?nl1 smusOl~al~ de ahmentare. Sa urmarim modul in care

yor va~Ia ~n functle de pulsaf~~ Impedanja ~i detasajul elreultulul, ale carorexprssn smt date pnn relatiilo (2.28). .

Freevente [oase, Dae~ .w tinde la ~ero, tarmenul inductiv wL tinde la

~ero, dar terme.nul ~apa?ltl~ 1/~~ devine foart~ mare. La Irecventi1 zero,t m pe da nt ~ c ir cu it ul ui d ef Jt ,! e t .n ft n~ ta ~l curentul prln circuit este nul. Vnghiu lde defazaj este -1':/2 radiani, .

. Freeventa de rez~n.anta. Sa marim Irecventa, Terrnenul inductiv wLcre~~e , te rmenul capac itrv scade. Dif 'erenta 101' descre~te ~impedanta circui -

. tului scade. Censtatam ea la Ireoventa la care

1wL= ~

w C(2.30)

impedc:n ta c irc uitului e st~ ~ in im a §~ .egala cu rezisten ta R ' din circuit , 1 ' 1 \ 1 'd ~faz~ jul este n ul. Atunci clnd conditia (2.30) este indepliniti'l, se spune ( ' : ' i

circuitul R, L, C seneeete la rezonants, Pulsat.ia de rezommt-ii ~ Irebventade rezonanta vor Ii:

Freevente inalte. ~~ ~arim frecventa dincolo de lrecventa de rezo-nanta. Impedanta devine din nou mal mare deeit R. Defazajul creste. Clnd

Z lrecventa devine foar·te mare. te"memdinduetiv wL creste foarW m'ult, i 'mpe-

dan(a d ev in e d e a se m en ea {()arte mare ~i

unghiu! de de fazaj se aprbp ie de + 1':/2rtuliani, .

Variatia impedantei uu pu lsatia

este aratata in figura 2.36.

o Concluzii. Atunei cind circu itul

R, L, C serie este alimentat cu o

tensiune sinusoidal a de aceeasi frel'ven-

ta cu cea de I'ezonanta, ~e manifesta

urm atoar -ele propr ie tat i: defazajuJ estenf----rl-;-w-;-o-----------c:v nul; impedanta este minima; tensi-

: unea ~i eurentul alnt in taza; caderilo

: de tensiune la home Ie bobinei si con-'

- G)-~- densatorului .au valori erective' egale ;

curentul prin circuit este minim; cade-

rile de tensiune pe bohina ~iconden-

sator sint maxime; puterea reactiva

este nula .

(2,3'1)1

fo = ---=-21 ' :1 / LC .

6 8

. F ig . 2 .36

. . . . -- . . . . . . . . . . . . . . . . .,,,

t i t \IIII- /I ...,;'

. . . . . . _ --'

II

II

I

/

.. . -----~.;b c

Fig. 2.37

It Modul de vari ali e eu pul81,l~ia a eurentulul ~ia eAderilor de tensinne

pe bobina ~ipe cond.ensator pot Ii urmiirite pe eele trei diagrame veetcriale

din figura 2.37.Sa observam mai intii ea, deoarece triunghiul eu laturile UI V R ~i

Vx =UL - Vc este dreptunghie ~i are ipotenuza U constanta, virful vecto-

rului URtrehuie sa descrie un cere cu diametrul V. Se mal observa ca., deoa-

rsce U = R I virIul veetorului I desorie de asemenea un cere, eu diametrul

UIR.• .. -;. -+

. Freevente [oase. Daca trecventa este nula, vectorii 1 ~i l l _ R s~ an.a

in punctul O. Marim pulsatia pina la 0 valoare w < W o . Curentul prm on-curt

a crescut, este defazat Inaintea tensiunii , deoareoe UL < Uc (fig. 2.37, a)

,i c ir cu itu l s e e om p or tii e ap uc iti« ,

. La' rezonan~a (fig. 2.37, b) eurentul prin circuit este maxim, este in

i fad cu tensiunea la horne, iar caderile de tensiune pe bobina ~i condensator:

C J ' J o L UVI, I =woLIo =-- i

Wo R

u \" .c: _1_10= _1_ U= woL Uc t . . . l 1J w oC w oCR R

ating va.lorile rnaxime ~{circuituI se comports pur rezistiv.o Nota. Deoarece cadenile de tensiune po bobina , i condensator tree,

la rezonanta, prin valorile lor maxima, r ez on an !a s er ie se mai numeste re zo -

n an (a d e te nsiun e,

Freevente Inalte. Dineolo de rezonanta, la 0 pulsajie (0) > (0)0 (fig. 2.37, c)

curentul scade sub valoarea de la rezonanta, este defaza.t in urrna tensiunii ~i

eircui tul se comporta induciio ,

Rezistenta, circuitului influentaasa curb a de rezonan~ii a curentului,

Sa admitem ca L ~i C s tnt constante ~i e a 0 tensiune flinusoid'al!\ de "Rio ere

69

Iefeetiva t'onstanti1. ~i fr1eeven\ll. v ari .-

bila e st e a p li ca ta ('ir'~'uituJui:·'Sa eepre-Ap ll ca tl a 1 . 0 bo bin d d e in duo tiv itate 12,4 mH ,i re~iatcn.li1 6 0 e s te t ns e ri al t' 1. c u

. un condensator de :1,6 nF, Set Be calculeze' ;



\inute cons ta n te ). l nt r- a de v ar ,= . / < i J C o , o bt in em r ez on an ta ,

• Paetoml de ealltate 0.1 elreultulul. Sl~ OhfHlI'vl~m ui1 la rezQna.nyutensiunile pe bobina ~ co nrle risa to r s ln t IIlH.i rl'llu·j dp-I'll, tensiunea de ali-

m en tare, In raport.ul

u~,

o

Fig, 2,3A '

zentam \'HI'iAtiH cursntului (!U plllSt\tiH.Twntl' ll dOIlI' v"IIII'i H i e r ee is to nt ni .Vorn ohpnp. curhele din f iglu'A, 2.38.CIJI 'ha pontru RI < R2 VA . a ve a v alr in -l'Of! lIln"irn~ VIR, mal mare. Prinurmare, ('II ('!III'ezisten~R, sste maimidI, ('II ntn curba de l'E!ZOnan\,j1

devine mui in,l.lUHti'i ~ r na i ~scut it 11 .• "(~Ord8r(\Il(·.Irenltulul. Un cir-

cuit H, L, (.' aerie, alimentat la borne

C IJ sub t en si un e s in ll fJ oi daUI . d ef re Jv 'e 'n ti if ix fl, p oate Ii "IWQI·dR.t," pe I'i'ecven~ade. l 'ezonAn~A variind de exernplul'nplH'ilaL()fI, e un de ns at or ul ul ( in du ct iv i-tat {II-\. ,L ~i "ozisten ~a. R fiind men-

variind pe (' plil ll III (.'0 astfel ell. < i J L ~ =

.Factoml

_ < i J o L---.

R

( 2 . 3 2 )o =wo~_ = 1·R < i J u C R

se numeste [actorul de calitate al circuitului resonant, EI este cu :atlt maimare eu ctt rezisten ta circu itului este rnai midi ra~iI de reactanta inductivade la rezonanta.

In cirouitele rezonante utilizate in radiot.ehnien, factorul de caJitate

atinge valori f'oarte rnari, de ordinul sutelor. Cir'euitele eu rezonan~a de

tensiune po t fi deci utilizate la amplif icarea unor tensiuni slabs .

• Sa calouldrn diferenta v alorllor m edii al11 energici magnetiee ~i e lee-trice aeumulate in circuit. O btinem .

- - 1 ' " : " 2 1 _'.!. . ' 1 ~ 1 . , . ,Wm - W =-, Lt - - Cu(.' =.....Ll - -- ( , UZ' =

o 2 2 2 2

=( < iJ L _ _ 1 ) P = 2 _ .w C 2 < iJ 2 ( , }

ceea cs nO ' permits si: i interpretarn puterea l'ei'\.I·.~j\'a I'a 0 m l1s ul'a a ns co rn-pend,l'ii (In medie) a echimburilor interioare de rnel'gi(" lnll't' clmpul magnetic~ ctrnpul electric,

70

a) plI/salilt' (I i [recoenia de rezonanld;

b) fnclorul do f.,dWale al oircuitului,

a) lAIn= (LC)-II~ ......12,4:'10-0 X 5 ,6 '10-1)-118 =120 '1()o'l rad!s;

fo , = ( t )n / :J . 7 I = 120' 10D /271 =19,1 kHz.

b l Q o "'" ( ,In 1 ,/ R = 120 ,.1()S - x 12,4' 10-D /S =2 ' 2 .

AplleB*Ie.I. Vn circuit rezonanl aerie cu param etrii C = 120 pF, L = 0,21 10 m H

,i. R =100 (} a re f r e ct J enl a de rezonanld fo = 1 MHz. Da ct '1 . te n ai un e a a p ll ca tt l a re l ia lo a re a

efe~eilitl 0,1 V , ad Sf! c l ll c ul e ze v a lo a r ea e f ec t i! ,t J , a c if de ri i d e ItmBiune p e re zislo r la:

a) 1 MHz;

b) 0,9 MH:,

a) In ridllvllr:

c.lD = (LC)-lIa = (0,21'10.' 10-3 X 120 '10-12 )-112 = 6,2 8lt • lOa rad/s -+ fo =1 MHz,

Deci UR = = U =0,1 V la (1 = 1 MHz, '

b) X;:; waL' - l /waC = 271 X 0 ,9 ' H lo X 0,2110,.10-3 - ( 27 1X Q , 9· fOox 120.10-11)-1 =

=51ft,6 0; i = V R2 + XI =ViOOa ' + 5H,sa = 524,220;

UR ~ R I = (R/ZjU =(100/52lt ,22) X 0,1 =0,0190 V la fa = 0,9 M,Hz.·

Raportul celor'douA valorl este 0,1,/0,0-19 =5,26. La Irecvenja de rezonanlli se ebtine o '

tensiune de 5,26 or l mai mare deett la 0 Ireovenja mai m i < : a el i 10%,

. 6 , 1 ':1 c uiw l R, L, ( P rile!. Pol .on nta de curent

Legarea in paralel a celor trei elemente R, L, C este aratata in sch em a

din Iigura 2.39. .

• Antlrezonania, Deoareoe reactanta bobi~ei oreste ou Irscventa ~i

reactanja condensatorului scade cu Irecventa, iar cele doua reactante au

semne contrare , va exista 0 Irecventa la care tensiunea u .aplicata ~i curen-.

tul i total stnt in fazi' i; Ill. aceaata Ireoventa se manllesta un fenomen de rezo-

nan~a oa ,i in circuitul R, L, .C aerie. Comportarea la rezonanta va fi exact

.opusa ca la oircuitul eerle ; de a ce ea f en om en ul se rnai numests ant irezonan(a,

0-' i • •

11 " ~ : ; ~ . >t· + tct _ _ t { _ _ j 0

ac

• A d ni ita n'a ~i defllzaJu1. s a . s c ri em r el at ii le vectoriale tn circuit. Cu~Saanalizam circuitul la rezo-



• • • • ~ -> .... ...:,.

£ =n + to.+ £L -+ 1= IR + 10 + iL, (2.33)

la care s e a da ug a rela~iile c or es pu ns at oa re ln tr e te ns iu ne a ,i cu ren tu l p ecele t re i e lements

(2'.34)

:(2.35)

. (2.36)

-+ .....

U =w LI L ~i IL .L U (in urma)j

1 ~ .+

U =- Ie ,i Ie .LU (Inainte).w C

Diagrama vectorial a este indicata in figurile 2 .39 , b ~i c. Din triungh~ul cu

laturile I, IR ~i Ix = Ie - IL se deduce

It' - IL12= J2 + (I - I )2. t[~'D =_ .

R C L r-r IR.

Inlocuind ourentii IR, IL ~ Ie. cu relati ile (2.34), (2.35) ~l (2.36), objinern

_ 1 _ _ we

tg' ~ = w L = .!! . _ wCR.. os]:

R

Admitanfa ,i defazajul slrrt dad

I V ( 1 _ ) 2 _ ( 1 - . - ; ) : l J .=y= - + --wG ,U R w L

~- - -- ~- '

o: p =fl,1'(' tg( _ H _ - w C R ) I(0)/" 1

(2 .37 )

• V a ri a~ ja a dm i ta n 1e i ~ide faza ,i l ll u i eu pu lHa~i8 . Sa ohserva di. defazajul

se anuleaza 18. freeventa 11'1.eare

- . . ! . _ = w e .w L

Pulsaiia d e r ez on an st i ~i (reGIJl'nla de,_'m;ona.n(ii sin I. atunci

, i au aeeleasi expresii ca ~i la circuitul R ) L, C aerie.

72

U RI L l =---=10-- = oIo;

">0 WilL w oL

10 I =oCU =0 CJjoG =Qo1o,\(1)0 R

(2.38)

nanta. Admitan laeste minima ~iare valoarea

y (wo ) =~= min (Y).R·

Daca frecventa oreste sauscade f a ! ~ B . de valoarea de rezo-nanta, admitanta cre~te,. impe-.danja Z =1/ Y soade ~i prinurmare curentul total prin circuit

creste. Curbele de variatie aleaeestor marimi stnt reprezentate F'

in Iigura 2.40. 19. 2.40

• Varia~ia curentului eu pulsat la . Curentii prin bobina ~i condensator

l it ing valori le lor maxima la rezonanta ~isint de Qo ori mai mari decit ourentul

.t~tal 10 =~absorbit la rezonanta': .

(4)0=-'-I / L C .

unde Qo = R J w oL este factorul de ealitate al circuitului. De aceea rezonanta

in oircuitul paralel se mnneste rezonanfa d e e ur en t.

• Circui t L, C. Circuitul paralel care are cea mai larga aplicatie prao-

tica este circuitul eu doua ramuri din Iigura 2.41. Acest circuit are multe

dintre prQ.prietatile cirouitului din figura 2.39, a. Astfel, la rezonanta admi-

tanta,es1/e miaima, impsdanta - maxima, curentul total este minim ~i

cureh.'~iTprin cele doua ramuri ating valori maximo. Frecventa de rezonanta

este apropiata de Wo dat prin relatia, (2.31), daca woL:;p r •

E , S TU D IU L C IR CU IT EL OR IN REGIM S IN USO ID A L

cu A JU TO RU L M AR IM .ILO R C OM PLE XE

l ZC

. roprted~1 ale numerelor complexe

__

• Numere coinplexe. Numarul V- 4 = 2jj

unde j =V_ : _, este un fl,umar imaginar.

o Observajie . Am notat unitatea imaginara

V - '1 cu j, pentru a evita eonfuzii cu simbolul i

al curentului. Fig. 2,41

73

, . .

Orice numar com plex ~ este 0 sum a d intre un num ar real ,t un num ar Forma et('/I()fIl 'lllialil ! 's ll ' m a l Itt'Pll rj(' obt lnut . . N i l ro m ln r l ud e Hid () dornonstrat io,



.. ,

I,

I

I'

im ag in ar :

(2 .39)

Numaru l a se numeste p ar te a r eaM a numaru lu 1 complex ~J J b se numeste

pa rt ea i mag in a ra a lu i Q. Presourtat se aerie:

a = R e { Q } , b =m {£}. (2 .40)

Pentru a preoiza ca 0 marime este complexa Iolosim sublinierea (d eex em plu ~).

In orice ecuatie cu numere complex e, partea realA a rnembru lu i drep tal eouat ie i ests egalA cu partea reale. a msmbrului sting ~ipartea imaginarj,a membrului ,drep t este eg alii cu p ar te a i m ag in ar a a r oe mb ru lu i s ti ng ,

• Bep rezentarea num erelor com plex e in planu l com plex ,1 scrlerea tri-gonometricl. a aeestoea, In acest plan, axa absciselor se numeste axa re aM~i ae indica, de obicsi, prin sim bolu l + 1 8 .1 u n iM ~ ii reale. Axa ordonatelor

se numeste a xa i m ag in ar a ,i se n oteaz ii cu + j.N um er el e c om pl ex e se reprezinta in planul complex prin puncte. ]n

Iigura 2.42 numarul com plex ~ este rep rezentat prin punotu l G , numitafixul lui g .. Absciaa lu i C e ~t e p ar te a reala a lu i g ,. ordonata lu i C este

partea imaginara ,

o Observa tie . Prin corespondenta dintre numerele oomplexe ~i punc-

tele planului complex s e a so cia zi i b iu nio oc [ ie cd ru i n um ii r c om p le xC

un vectar~lib er l,n plan: OC . Se obisnu ieste ca num aru l com plex Q , a i ixu l C ~ vee-

~torul OC sa se simbolizese ,is a ss noteze la fel: £ . D eoarece OA =a, OB = b,

/-_ .- OB b

rezulta OC = a2 + ' b 2 ,itg oc=--= - Numarul real ,ipozitivOA a

(2 ,41)

se numeste modulu l numarului complex f ~i se n ot oa za I !! \.Numarul real

IX =are tg b ]« ~ ,0 (2.42)

AKQ

se numeste argumentul numarului com plex ~ V i Ben ote az §. a rg {~J.

N umaru l complex ~ se poate scrie Bub formaexponentiala ~i r eBp e ct iv t ri g on omet ri ca :

\~=eJ a = r CaBot+jrsin~ I (2.43)

{] " /I r _ e o l t J +/ Fo rm a t ri g on om e tr ic a rezulta direct, deoarcce tn trl-

unghiul dreptunghic AGe catetele slut:

Fig, 2.4:! a = I' cos Q (i b = sin 01', (2,44)

7 4

!lar \'001 l'l 'l.inl1 ldenl iltd!'I·1 . I .,

I ll '" , ._ , l'OS Q + j sin :.t, (2,l j[) )

IH l b u~a d b'! ;)! n p u to m fH(~tl 1I~01' tl'ec~'I'~1lds In 11 fOI'IlH1 In alta .

• O peratU en nnm ere com plex e. 811 consideram doua num ere com plsx e

£1 . ~iQ~ , Numere le eornplaxs se aduna sau se scad aduntnd, respectiv sci1zindp ar t/ H e r ea le sepsrat ~i pi1r~i1e imaginare separat: '

, ,

Q1 ± q z = (a 1 + j O l ) ± (a 2 + joz) - , (a1 + a 2 ) + j(b 1 + b 2 ). (2.46)

. ~< ? rm a e x po n en ti al a n e p erm ite efectuarea tnmultieii ~i impal' lirii adoua num ere oom plex e opertnd num a.i cu m odulele ,i argumentele, Astfel,n um er el e c or np le x e s e i nmu lt e sc tn mu ltin d m od ul el e ~adunind argurnentele:

I•,

2.47)

N um ere le c or np le xe Sf: impart lmp~\,tind rnodulele ~l s ca zi nd a rg um e nt el e:

C1 r1ej"" r;::..__.__= ._ e ll", 1 IX, )

g2 r2£1j"" '2

(2 ,48)

. • N umarul eom ple~ (" =a - j? = re,.,ja He num este conjugatul numa-rului complex c =. a + Jb = re + J ", . Se observs c a

£~ * =e+J"'re-j« =2 =a2 + b2•

Apllcalla 1. SrI se plU/ti. l Iumt1rttZ" compte» ~ = 10 ('j"/~ sub f orm a I r ig o nom e tr i c( J .,n ~.

DeOHI'el',€, l 10S - = ( 'OS 45· = U,707 ~i sin.! : : =sin 45" "- ' 0 ,7 0', r ez ult a :4 ,4

, 'lO ejT < n 111' 4'"+10' ,.0 ~(- ,~-. (eUS o J. sm s : ~, I, I, + J 1,0,.

"Anast numar cornp lex este reprezsn tat In figlll'i-I 1.43,

Aplicalla 2. Sa se expr lme 2 +)5 in fOl 'ma e.Tpunell!iala,

" =V:!2 + 5 2 =5,:37;

!'i ,.. .Q(=are t g - " .~ ll ,: .! o= -1,1 9 radiuni.

2

Prin urm are 2 + j5 = 5 ,3 7 eJl,l9 (fig. !,44),

I

I

+.J ~

5.---

+j~5;017.8; '7,19

I '

IIIJ,I

2\Q

.f f

10e " 7 (7,07 ---- ;Q .

417,07 +1 +1

Fig. l!.~3· F ig ,. 2 ,4 4.

75

ApileaWL 8. Sa se arate elLm rltl111 r sInus Id 'I • I' z rl



e 1 I " / 2 = j e-1 1 I " / 2 =~j; e±j7t =~1.

Apli clnd succesiv formula (2.45)obtinem

ej1 l " / 2 = cos~ + j sin 'It = + j j2 2+7

,\

\

c .. - : - ,erCu'B ,_

raze un/lote -

e-I,./2=cos ( - ~ ) + j Si~ ( - . ;) =_;

e±j,. =cos (±7t) + j il in (±-n;):= -1.

Reprezentarea in planul.complex a acestor

numere este indica ta In f igura 2.45:

Apllca~la 4. N umf1rul oomplex 12 se !nmulfe,te eU [aotoru; real Q, Sa se orate cd acea~ia

operatie tn~eainna: amplifioarea IIectorului reprezentaiio au faotol'u! real a, •

Utilizlnd forma exponenjiala a lui ~ obtinem '

ceea ee tnseamna ca numai modulul este multipl ieat cu faetorul real. Vectori i Q ~i a! 2 slnt·

coliniari.

ApUca~la 6. Numdrul complex 11 se inmultes:« au fflctol'ul complex e G de m~ul unital'.Sd se a~ate ca ac.easta £nseamna rotirea pecto~ului £ cu unghiul e ,fi sa' se particul:lrize~e

I pentru e =It/2 Iji e =-7t/2 (b).

I a) Apeltnd ea ~i In· apl icat ia 4la forma exponential a , cbtinern

Vectorul resultant are modul c, dar ' argumentul a crescut eu unghiuI e; vectorul s-a

, rotit deci, i n sen,s direct, cu unghiul e (fig. 2.46, al.

b) Inmulti rca lui Q eu j = = ej'r,/2 tnseamna rot irea lui £. eli 7t/}. l\l sens direct, iar

tnmultirea eli ~j =/j (adiea tmparti rea cu j) inseamna rot irea lui Q eli 7t!'1. i n sens

invers trigonometric (fig. 2.46, b) . Vcctoril ±k stnt porpcndiculari po vcctorul £.

+ Jj

a

b '-j-'li'ig. 2J.6

76

In raprezentarea vectoriala se [oloseste p ro pr ie ta te a [ un ci ii lo r s in us oi da le

de a putea f 'i puse in coresponden t-a cu oec to rii lib eri d in p lan .

Din algebra numerelor complexe st.im c a oricarui numar complex ticorespunde in mod hiunivoc un punet In planul complex ~ideci Iicorespunde~ vectorul de pozit.ie al acestuia. ldentifidnd planul vectorilor liheri cu

planul complex, putem stabili b corespondenta biunivoca in tre multimeaJunctii]or sinusoidale de t.imp ~i multimea numerelor complexe. Ajungem

astfel la 0 reprezentare analltica a . I un ct ii lo r a in us oi da le , denumita reprezen-

tare a in p lanul com plex:

i =1 V2 sin (wt + 'd -~ J : I/Y -+ I=elY•

, In rep reze ntare a £ n complex, une i miirimi sinusoidale i = V2 sin (w t + y)

i s e a so ci az ii n um ii ru l. c om p le x I , a l c iir u i m odul es te egal cu valoarea efec tiv asi al car ui arg um en t este e gal c u faza in i{iaia. Scriem prescurtat aceasta cores-

pondenta hiunivoca sub forma

i = 11 2 sin (wt + y) :;p: I =elY-- I

(2.49)________ ---"__ ---J

Marimea I , reprezentare in' complex a . maeirnii sinusoidale i, se numeste

[azorul I·Trecerea de la Q marimesinusoidala la faznrul asociat ~i, l'eeiproc,. de

la fazor la marimea sinuscidala, sa realizeaza apliclnd direct relatia (2.49).

Ca ~i representarea ve~toriaIa, reprezentarea in complex se bazead

pe observatia cs. marimile ::inusoidale dintr-un circuit electric avind toate

aeeea~i, f reoven~a , pot direr.' Intre ele numai prin valoarea efective. ~i fazainitiala -si deei stnt com p',et oaraetetisate prin perechi de numere reale

(I, y). Numerele complex, Iiind de asemenea complet caraoterizate prinpereohi de numere reale, pot ri pUS8 in corespondenta eu rnarimile sin soidale.

Apll cat la 1 . S fl Sf deterin in« [azorul ('WI'II/Itiai:- ~

i=:!V2~11I \:11'tl-r.:/:JIIAI

+j

+1

~i stl se represint« II I pfill/Ill ""lIipit'.r.

In reprezen lnren in complex, eurentuluiise asooiasa razorul

l =2 eH--nPI = [ ( ' < J ~ ( _ . ~ ) +

·7-I

-l

t, ,j ~ ill ( - ~)] - '! - - ,i V:1,

•. r·I'pl'I·1.{'IIIIIIill figlll'lI '~.47.

A p U " I L \ I R Ie • .sa se sori« PJ'f)f'I'~'in i,l,,'lfIIl/0/tl!lJ

q ClJrenw/ lJ . i III ('i.ll'lli [ato r e slll

-~

!.::.;l t4 .i r A J .

Fig. 2.47

77

,,"'

rnodulul : ; I i H l'g llm entlll stn t :o O h r se rn ll it ' i I l l J . l o l ' t , a n t ~ . Im pedania com ptesi: nu dep inde de Q ~'i ~,

t'l n um ai d e p cram etrii e le me nte lo r d e circuit ~i d e f re cwm , a.



III

•

~ It

Putarn': (led S(:I ' iA;

3 , C aracterll rea T n c om plex I c lr cu l e lo r d lp :l fa re

Un circuit. dipolar, liniar Qi pasiv, s ub t en si un ea . s in us ~d aH l la borne

u = U II " 2 sin (wl + ~ ),a bsc ar be c ure ntu l s in uso id al i = IV 2 sin (we +y).

Fazor ii tensiune la borne !} i curent stnt

u ~ l~=U elf;; i + = l! [ '= I elY.

• Se nur ue st e hUI) ed an f, i' l, f'OIJlI.l(lXll a ~ 'l r (H l l tu l tl l r ap o rt ul d in t retensiune La bO/ 'n11 ,~'r: [azo ru! r urrn ! a l l , w ) r M ! , '

(azorul

,(2.50)

• Sf' numeste admltalJ~il eomplexa r ap or tu l d in tr e [ az or ul cureni si [aso-rut tensiune ap licaia :

~ ~I ~~ : : ,Ye-J,. (2 .52)

A dm ila n( a ( 'o m pie ,! '( i a re m o du lu l e ga l e u tu lm ita nio : Y ~ I /U a c ir cu itu lu i

Ji argum cntu! ega I cu de/,azajul au sem n schim bai, E x pr im ln d a dr ni ta nt a( Jompl~xa sub lorrna tri gonometeina, obtinem :

I - x . = G ~B I , y co s tp - j Y si n tp.

Marimea G =Y ('OS? se numeste conductans« cirouitului.

Marirne« B = - Y sin? ·s e nurneste susceptania oircuitului,

Aplh'nlh" I'll l'il'l'lIil fI(I,\ ' i l. ' dipo/rlr sub te nsiunea u, ~ ,. 24 VJ 81:,1 lllr obsoarbe ('[(rIm'

tul Sil l1 l80idu i i "., 2 1 1 : ' " " . 111 f w i _ ._ TI/' 'I). S(1 I ,~e oalculese .

a I Im /N · d o l li ll r ' lJ f l lp i r ,. r ll , I ' i rrd,;i,:IIIII{(I. rnmplexu, '

h) 1'1':;1,\'/('11((1 ~i 1'('(/('/(111111 circuitului,

n) 1h.'oHl'PI'I' 1 . : " ' " :U . : ; ; 1 f = :.! (,-J7t/~. r'(lzldtfl '

z = C =~, = 12l11 ,./3; r = _ ' ! _ = __1_., = ~ e-j,./3.- ! ;l I~:-j,.l: ! ,- ~ '1:1.ejrtl3 12

vi ~ ..,,~2 ( I ' n ~ 2: . +.i ~ i l l . r :) := : : : :. - !\ _ ; j 10,39,:j :j

mI'l n =' Ii n ~i x "'"11 , : 1 1 1 n

4, f lu .c er ea p ll re nt il compl XV

P ut sr il e a t: t. iv l1 , l,tJa.ctivlt ,i aparen t a fie po t oaleula direct din solutia Incomplex a . circultului, e u a ju to ru l e xp re siilo r fa.zoriIor !l. ~i[,

Sa n umss te pntere I lpo .ren. tl l, eOllwlexa p r od u su l d in ir e t en s iu n ea complexafi v al oa re a c on ju ga ta a c ur en iu lu i c om p le x. S e I io teaZ il cu § _ ~i€ le ta a m ar fm soomplex a, Avern '.

§ . =l l " " = U e . H ! U e - J Y =Ulj (~ -y ) .

Da r U I<=

S E l s t e p ut er 'e n u pn r' en tl Jl . , l ~ . - y =((i

e ats d ef a.z a.ju l. P rin u rm al'e:

' / § _ =Se' " , 1 I P ~ = cos tp + jS 'sin 1 1 =~ ~ jQ I (2,53)'

."

D ac a S -a c alc ula t puterea ap are nta cornp lex a, at.un ci moduJul e i e ste putereaaparenta, partea reala este puterea activa ~ipartea iinagina.l'~ este puteneareactiva : .

Impedanta tOlllplexil est e un nu 11 1 i ' l l ' complex. Se noteaea cu simbolul ~.

Inlocuind exprosiiln lui !l ~i [ obtinem

Vej[} f . ! ; _ rl c-::: ~. - •.= • __ eW Y) = Zel""

/ch J

(]Plllll'el'e Ul l ."7 l e~lt' irnpedunln (Sl!lllIU'll), iar ~ - y =p e st e d ef az aj uJdintre t,nslUne ,i ourent.

l inpnlun!« ('III~tp'I',l'tl u re m o du iu l. egfll c u i m pe da tu o. circuitului ~,i argu-m en tul rga/ 'cu .d ' ' / 'a:: ' l I juJ circuilului:

1 . ? l l = Z;' ~ ~ Rt'g (g).

Expvimhul impl1dlln\tl ('o mp le xii in fot'rna t l' ig o n, om e~r ic ii , o b ti nem

~ ..: Z e·1 1?= Z 1'011 ? + jZ sin c p o

.\~n cum ~tirn d in tr iu ng hiu ! i rn pe da nto lo », mlir~mea Z C?B ~ se nume,te1'll;l,iHl.on II ciruu itulu j ~i ~e not,f.HI1.1l Oil H . MUI'lmell. Z , SID ~ s e n um e,t erew~tanl(z cireui tulu i ,I sa no~ eazl1 ell X. Putem sorls deci

) ~=R +~ ] (2.51)

•

P artea reald a im ped an iei com plexe este egaZa cu rezistenso. eircuitului,

i an c 'Oef ic i en t ul p a r l i _ i im ag in are e ste e gal c u re ao tan ta e ire uuului:

R = Re{~} ; X =m{~}.

Deoareee Z ~i~ cal'acterizeaza: c om ple t ': In circuit dipolar, impedanta com-p le xR d es cr ie de a se me ne a o om ple t oirouitul,

76

,

P = e { _ § } ; Q =m{J l

79 I

I

Ap~ca~le.Sd s~ oal~leze : (a) put erea aparentd compl exd pen tru. o ircu it ul pas i( ) care,

sub t en s, un ea . u =120_V 2 sin fill, absoarbe curenlul i = 2,5 V " 2 sin ( fi ll - 30°), ~i a oi

o Observalie. Am ohtinut aceleasi rezultate ca cele obtinute anteriorla studiul elementelor ideale de circuit in regim sinusoidal (v. subcap. C.l).



sd se determine puterile acti()ii, reactioii 1i aparentd (b). . P

a) If =120 j I= 2,5 a-j ../6 j.\

§.,=Ill '" = 120 X 2,5 a+1 ../6 =300 e1.. /6 = 259,8 + j 150.

b) S =300 VA;

• ~ezi8to~ul id~al,. de r~zistenta r, absoarbe un curent sinusoidal in fazaeu tensiunea sinusoidala aplicata la borne. Deci .

u " UV 2 " sin wt;p: U =Ui

i =1' V2 sin w t ;Ft: l. ~ I.

P =Ra {g} =,259,8 Wi Q =m {§}= 150

5 . E I h1 Nt P slv Id Ie

val ' .

udl t cu fl~ rl

( 2 . . . 5 ),

I (2.56)

I f =r~, J ( 2 . .5 7)

ApeUnd la semnificatia impedante i complexe (v . subcap. E. 3), rezulta

Helatia Intre fazorii tsnsiuns ~i curent este

l:r £ :1

~i se reprezinta ca in diagrama din figura 2.48, a.

Impedanta complezd a rezistorului este

(2.58)

c

Puterea complexa, def 'inita in subcap. E.4, are expresia

!ll* = §. = r I [* = r12 ,

deoarece 1£* =2 (V,. subcap. E.l) . Dar §. = P + jQ , i deeiP =J2 =U 2 / r ; Q =,

Z = r ; ql = O J R =r; X =u .

Jj

(V. ,i suboap. C.1).• Bobina ideall~ de inductivitate L, sub tensiunea sinusoidala la borne

u =U V2.ain wt absoarbe eurentul i = (UfwL) V2 sin(wt - ~}

(v, subcap. C . , 1 2 , ) defazat in urrna tensiunii cu n:/2. Daoarece Iazorul curent

este

!! . . .

u U1=_f.\-J ..2 =-=-,- wL jwL

(2.59)

r .! !

rezulta

(2 .60)

a ·b

n:Fazorul eurent prin bobina ideala .este re~rezontat in Iigura 2,48, 0" cu " 2

in urma lui Y . . .

Impedanta cornplexa a bobinei ideale este

~=\~=jCULJ

o ObservRfie. Regasim astfel rezulta te le obtinute anterior (v, suboap.

D.1) :

n:Z = wL, O .

2(2.62)

Fig . 2. 48

Puterea aparentl1 complexd Iiind

' ! _ ! _ = § _ =jwLt*1 = jwL 1,(2.63)

80

rezulta:

(2.64)

(v , su bcap . C .2 ).• Condensatorul ideal avlnd capacitate a C, 'sub tenaiunea u =

=U V '2 sin w t la borne, absoarbe eurentul i =wC U V2 sin ( c u t +' n:/2)(v. suboap. C.3) al carui fazor este '

I=wCUe .. /2 - I ' I =wCQ: 1

Fazorul curent !. prin condensator apare 1ndiagrama fazoriala din figura 2.4~, ctnaintea fazorului tensiune !! . eu unghiul n:f2. '

81

6 - Eleotrotehnloa, 01.XI-XII

I m pe da nJ a c om p le ,x a a co nden sA torn lui ideal este



. 1=~J-.'

w C(2 ,65)

R oz ulta :

Z --L, 'It 1- ,t:p=--'R 0 X '- w C - 2' =;. =-- < 0,w C .

Puterea co l v esteptexa

, ' J 2!!.1*=S=-.

- jw C

R ,~ zu lt a a tu nc i

P = J Q =Xl 2 ' ~I2/w C'= - WCU2 < 0 .'

R e ga sim. R s t. fe l r es ul ta to le obtinute anterior (v sub' C 3)O C 1

.. 1 . neap. . .. . one ~lZIl. ) Pentru elem eotele de circuit i ' .'

J 'e la tH 'l . te ns llm o- cn ren ta st e d ef or m R: deale d ip olare ~ i, p asiv e,

g _ =~·, H elati a aceasta este o un os cu tl l. s ub nu m I d I ' .'

manarii formale cU relatia U _ RI ' ,~)(ed,tl ege~ lu i O hm , d ato rita ase -2) P

'. - , . CUnOBcl1 tl m st ud iu l c ur en tu lu i c on ti nu uentnu oele trei elemente ideals de cirouiti pdf .

, m e Il.pyR cbmplexa est~:

~=; ~ = wL ; Z:=: _i__.-- j w e

,I

6, Ctrculte simple studl te cu f: zorl

Sll apl!ciim metoda reprezenUi.rii in co I 1- '- . , .

'~:l',fi~~).fltudlate a nt er io r oums toda re~~z~~M~iil~~~~~~li~I~'(~ : : b l : a : ~G P en tr u e lr eu lt ul 'R,L serte (fig, 2,49

1a) se p oate sc rie

U = VR + U L; U R = R I; Of. .=: jwL!. .

I nl oc ui nd , o bt in er n

V =(R + jwL)l.

de ~nd~ rez,ultll. impedanta comploxaa oircuitului

au r i1 - ~ , - g= + j w L'

1. (2.66)

82

c

ja

FIg, 2,50

O data oh ~inutll ex presia im pedantei eornp lex e, putem oalcula modulul ~

argum entul :6lL

Z =VR 2 + (wL)2 j c p ; = : : are tgR,

Diagrama fazorialli este i nd ica t8 . I n figura 2.49, b. '• P en tru clrcultul R, L, C serle (f ig. 2.50, a) , procedlnd sim ilar ea mai

BUB, ob~inem relatHls 1l}tl1e fazori: . .,.' I

U = u« + Qt.+ ! le ; ! l. n ;= : : RI ; U T . =6lLli Uc =wCI,

d in o are deducern irn pedanta com plex li a . eircuitului

( " 1 , ) I r. ' ( L 1 )_ = R + J w L 1-'j w e !+' g, , R + J w - 6ld .

I

(2.67)

M odulu l im ped an {ei co mp lex e: est.e im pedanta cirouitului, i ar a rg um e nt ulim pedantei cornp lex e este defaz ajul cireuitulu i. O h tlnern astrel d ir ec t e x pl 'e -

s ii le l ui . Z ,i r. p deduse In subeap, D , 5.

D iag ra ma fa zo ria Hi ea te t 'ep l'eZen t ,Rn t i1 din r i ~ U 1 ' 1 l 2.;)0. h.

C onstat~ m astrel cl1,determ inln d m ai tntii impedtm~,a eOnlplexR. Ii cireui-t ulu i, p ute m ob~ine a po l re la ti v sirnplu impedRntll ~i defazlI , jul oirouitului-Studiul circuitelor urmeazAln e ont inu ar e t tl 'e eH , i mtla ('1\ IIImetoda reprezen-

tlrii v8etoriale.

7, Cone)(iUhlle itnpedallte10r

• D ol d lp oll p as tv l n ~b up la .~ i. in du etlv I n~ re ' e i, l\Vln~ i mp ed an ~~ le c or n-p le xe E l ,i ~g, le,Btl I ~ s er le , slnt s tr l1 b i1 tu t' d e I \(H~IR'1 oursnt (h ~. 2,51),

Tensiunea oorripled Ia borne este

Y . =El'+ ~hDar: o

"Prin urmare ,

FIg, :2,51

83

Impedanta oomplexa echivalEi~ta est e

U I ' '



c'l = g e =l + '~2' i (2.68)

~mp.edanta ,(l~plexi l, ' echlvalenti l~ dol dlpoIi legatl in serie este sumaimpedanselor compleaie ale dipolilor.

Fig. 2:52 ' . Separlnd part-ile reale ~i cele ima-, F Ig- 2.53 gmare, se oh~tn urmatoarele relatii:R . ' v , ,

e + JXe, =Rl + jX t + Rz + jX 2 =R1 + Rz ) + j(Xl+ X~);

R, =R, + Rz ' X - X + X ', e - 1 2'

Pein urmare la dipoli In seri . t hi I ' , ,. '.' , , , e reus etua ee ~CJaenta este suma r ez is te ns elo r '

~ ~ PO h~ ° ri o; ea .e ta ~/ a e ~h fC Ja le n ti i e ~t ~ suma reactanielor dipolilor.

au aceeasi tdelP~h pa,slJvJbnecupla~1 induct iv ln tre ei, lega~i In paralel (fig. 2.52)I ''{ nsrune a orne. Obtinern

!=!t + ! _ z = + E , =E ( . ! . + . ! . ) =U( Y + y ).~l.g_Z ~l Z2 - _1 _2

Admitanta eompJe,xa echlvalenta este -

L

(2.69)

Inlocuind admitante le prrn impedanta , obtinem

1 1 1 Z 1Z2-=-+--+ --==-=--=Z.'~p. ~l ~2 ~l +~2 zz e

Separind partije reale ~i imaginal'e oht inem

Ge =G1 + Gg' B =B + Be 1 2' ~

ad .' Doi dipoli in paraleI .au ~dmitanta ( lomplexll echivalent4 e ald cu surna, md~!anlelor complexe ale dipolilor, eonduetanja echival entA _ eggaldcon uctanlelor lor , iar snsceptanta echivalent4 1v eu suma101 . - eg a a eu surna susceptatuelor

din f i : : : ! c ~ ~ ~ 3 .d se determine impedania complexi1 echil ia lent it a circu itului R, L, C ptJl'aJel

D( 'o a rl '( '. e Z l ~ , R + "(·1 "'1 Z - 1 I t . •- ' . " • , = , . ~2 - -. - , rezu d.

J ( U C

in + .j (,d.I :-'-,

t:r =..-__J~~~ _ R + j ( U L R + J' wL- , = - - - - ~ ~ ~ ~ - -R . .; .,j(,)j.,+ _1_ 1- w

2L C+ jwRC (1-;--w2LC + jwRC)

. i ( , ) e

84

C a p i t o l u l 3 ,

CI CUITE Tr-.IF ZATE fN R EG It-1 PER MA NEN T S IN US OIDAL

A. G EN ER AR EA_ SISTE MU LU I TR IFAZA T D E TE NS IU NI ELEC TR OM OTO AR E

In oapitolul 2 s-a ariHat oa rotind 0 spira. rigida cu aria A in juml uneiaxe de simetrie, eu vltesa unghiulara w, Intr-un otrnp magnetic uniform ~i

, .eonatant, in spira se ,induce o ' tensiune sleotromotoare alternativa sinusoid a-

la e = E V2 ein (wl + I X ) , ' cu valoarea ef 'ec tiva E =1VA~ =0,707 BAw., . 2

Faza acestei t.e.m , este egaJii eu unghiul (masurat in radiani] format de~

sensul de referin~a al Iluxului (un versor n perpend icular pe supralata spirei,eu sensul asociat cu sensul de I'eferinta al t.e.m. ,dupa regula burghiului) cu

sensu] inductiei magnetioe B.

• Sistem simetric de tensluni eleet romotoare . Este de Intelee ci3.rotindsimultan trei spire idsnbice fixate rigid pe acelasi ax, in spire se induetensiunile elect('omotoare: .

j

e l =E V2 s in ('wl + l X ! o ) ;

; ' 2 . =E 1 1 2 sin (wt + ( ; ( 2 1 ) ) ;

e 3 =E V2 s in (wt + ( ; ( 3 0 ) '

Fazele inltiale ale aeestor ' b.e.m. sint unghiurile formate de sensurilede referinta ale Iluxurilor prin suprafetele spirelor, ou inductia magnotica Ill.momentul t = (momentul declanaarii unui cronometru a C B . l ' U i indicatie

eurenta es te t , ) :

(3.1)

(3.2) I

Tensiunile electromotoare care se indue in spire [ormeazii un sistem stmetrlcde Iuneti i s inuseidale de timp daca au aceeasi oaloare efectiCJa §i sint e ga l d ef a-

zate. Practic, pentru a mjiri valoarea efectiva a .t.e.m. la induct ii magnetice~i turatii date se utilizeaza bohine plate eu un numar mare de spire dispuse

pe un suport rigid. Valoarea efectiva a t.e.rn. induse lntr-o infii~urare cu Nspire este: .

E =,707 BN Aw. (:l.J)

85

In trei. infl~ura. ri identiee se indue asadar t.e.m, oare au valor i eleotlveidentlce.



A~a cum am spus, ele foqnead, un sistem simetric daca. stnt ,i sgal defa-zate, adica: .

Origlnea timpului fiind arbitrari., oricare dintre fazele initials ale t.e.m.

poate f i 1l1eaea.nula, Daca. de exemplu 0(10 =0, din (3.4) re~ulUi: pentrueelelalte faze initiale valorile: '

'! ,. t;j ... I; \

. 2 7 t " "0(20 =-- rad i3

2 ' 1 t 4 ' 1 t .0(30 =- rad sau 1X30 =- - rad.

3 3

d. ('

( 3 . 5 )

Cu aeeasU, alegere a originii fazelor, t .e.m. oe formeaza. s is temul s lme tr io slnt:

el =E V2 sin w t j

'e 2 =E V2 sin ( W l _ 2 ; ) :( 3 . 6 )

, .

e s = V2 S i n ( 'w t + 2 ; ) sau e 3 =E V2' sin ( w t _ ~; }.

Bobinajele plate in care se indue aceste t.e.m. slnt numite lnfi1Jurari

d e f az tl . Ele slnt egal decalate. in spatiu, unghiul Intre nor rnalele la planele

lor fiind egal cu. ~ rad, In figure 3.1 se prezintii poaitia jn~patiu a eelor

trei Infll.'Iurari la momentul t =O .

• Sistem simetri~ eu ordinea directa de sueeeslune a fazelor. Graficelefunc~iiIor ainusoidale de timp e l( t) , e ll (t ) , i e3(t) date de relatia (3.6) slnt 'pre-

zentaie in figura " 3.2, unde prin tlnu tzm ~i t3m se indica momentul

la care fiecare dintre tensiuniJe electromotoare treoe prin valoarea

maxima. Trecerea prin valoarea

maxima este determinata de "tl7e-cerea '' f ieoare i jnfa~urAri printr-o

anumita positie In Bpatiu. Positia

respeotiva este determinatn de un-ghiu l format tntre norrnala IS.SUPI'a-

"10=0 'fata bohinajului ~i inductia mag-netica, Tensiunea eleetromotoare el

treoe prin valoarea maxima clnd

unghiul in tre normal a ; 1 ~iind uctia

magnetica- devine ~ 'r'ad, In pozit ia. 2

r es pe et iv a l in ii le i nd uc ti ei magneticsi~. :J.t

(3.4)

Fig. 8.2

. ,

stnt In planul primei tnfi1"ura.ri. T.e.m. indusl in a do,:a tnfl,urare trace.

prin valoarea maxi~l la mo~entul tSm! la care normala

n : _ajun~~ p:;S:~; ,

diculara. ~e inductia 'magnetioa. Intervalul de ump t2m. hm hi Idedin eonditia ca in acest interval spirele ali. se roteascl cu ung IU

2 ' 1 t '- rad.3

Deoi:

2 ' 1 t ' 3 2 ' 1 t T • _ t +!.t t - --' = - =- sau · 21 1 '1 - 1m 3mm - . 1m - C iI 3 0 0 3

Cea de-a ' treia ' t.e.m. t rece prin valoarea ma."!mil . la momentul ' m S , dup~ \cetnU.,urarea. respeotivll. s-a. rotit fa~il.d e pozitta in care Be afla 18. t - eu

' 1 ' 4 ' 1 t ' 7 'C d D e c i :unghiu - + - ra. '... 3 2

T 2 nDe aici obtinem tlll3 - tmt = • 3 " sau 'rna = tml + .3' .. 'l ere -e'rom o'oare tree prin v aloarea m axim a in ord inea. A,adar, tensw;m e .~. •

cu duruta !_ l~ care in fa~urdrile se rote se cuel l e2, e3 la in te ro ole d e limp 3'

2 7 ' C / 3S~:te~ul de t.e.m. dat de r e l a t i i l e (3.~), ce se "obtj~ r o t i n d inra,~rariJein sens trigonometric, este un siste m sim etric cu o rd in e dzrecta de suceestune a

r: Putem obt ine un sts tem slmetric de t_e.ID:cu ~rdlne Inv&rrt lid~ns~~~i:"slunes 'azelor dacl!. Iacern C8. t.e.rn. s~ ~read. prm va oarea max m

nea e17 e 3 , e m . Pentru aceasta e.ete aufIOI.ent ~;1

se schimbs sensul dero ta tie . Sis ternul simetnc

de t.e.m. eu 'ordinea inversl de Buccesiu"n~ afazelor este dat de:

.~,

4 ' 1 t ' 'It 4 ' 1 t 'wr - - + -- =-- + wtml•m3- 3 2 3' ..

(3.7) -2]{/3

Fig. a .a' . _ ( 2 ' 1 t ' )

ea = 2 sin w t - 3.

• In prezentarea de f a t a vom uti liza slstemul eu ordlne dlrectA datde relatiila (3.6), earuia Ii oorespunde urmatoarea reprezentare fazorlali:



!i l =EejO=E;

j (_ 2 , , )!iz =E e 3 =E

-j~

e 3; (3.8)

Introduolnd notatia :

- -j~

( 2 , , ) . . ( 2 " ) 1 . Va~=e = cos ~ 3' + J SIn - 3= - 2' - J2.relati ila (3.8) se mai scriu ~sub forma:

I:§.l =E ;

§ : _ . 2 =~E "E a =C! :. *E .

Diagrama fazoriaIa. din figura 3.3 ne arata ea intre fazori exista relatia:

( 3 . 9 )

!i l + li z + E .a =O. (3.9)

Relatia eorespunzatoare intre vaJoriIe instantanee ale t.e.m. este:

(V) t, el + eZ.+ . e3 =0, r I

foarte irnportanta din punetul de veders al "asamhliirii"ceJor trei genera-toare monofazate in unul singur , pe care-I denumim g en e ra to r t ri fa za t . .,

B. CONEXIUNILE GENERATOARELOR ~I RECEPTOARELOR

1, Conextunea in trlunghl (6 .) ,

Cele t re i generatoare monofazate in infii~urarile di rOl 'a se indue tensiu-

nile eleetromotoare ! il' g2 ~iE3 ce Iorrneaza un sis tem simetric se pot conecta

cu t re i receptoare monofazats cu impedantelo ~b ~z ~i ~3 prin intermediul

unor inele eonduetoare izolate intre ele ~i antrenate in rniscare de rotatieimpreuria ell infa~urarile.

Pe fiecare inel calea cite 0 peria colectoare prin care ' se asigurf legaturi

conduetoare eu bornele reeeptoarelor monofazate ( fig. 3.4). Pentru trans-

misia energiei Intre generatoare ~i receptoare se uti Iizeaza t re i lini i b if ilare

alcatuite din conductoaro ideale, asa cum se arata in figw·a3.5. Numarul

conductoarelor Iinisi poate fi redus de la ~as~__lapat ru daca in locul fiecal'ei

perechi de conductoare adiacente se prevede un singur conductor (fig. 3.6).

Intr -adevar, deoarece intre t.e.m. ale· generatoarelor este adevil..r at~relatia :

88

Fig. 3.4

f2~ ]

f/~)

..

: J. . . .I

. .

J3@

ti l

Fig. 11.5

e,ef.

2

2

& 22.' '=2'!

f,1':3l'

s

fJJ ' 3 '

0

2 ' ; ; ; ; ; ; 7

s,

Fig. 33,6

tensiunea int re bornele 3 ' ~i 2 este .nula, a§a.cum rezul ta din. te0.r~ma a ~ouaa lui Kirchhoff. Cele doua borne pot fi 'supr~puse faril.. :a modlflC.a .r~glmulde curenti din circuit. In Ielul acesta, unul dintre oonductoarele hllle~ lega~,Ia bornele 2 sau 3' se poate tn la tura. Ajungem asUel la conexrunsa in t ;lUnghlaUt a hifa,urarilor generatoarelor , ott ~iaimpedantelor reeeptoareJor (fig. 3.7»

• Tensiunile de fazA. Deoarece infa ,urarile de faza ale generatorului .trifazat au impedante proprii neglijabile, put-em l'epl '!!zerata genlwfltof'U1 PI'Hi

b

Fig. 3,'

8 H

teneiunile 18 .borne, respectiv egale cu tensluni le e lect romotoere, Urmlrind

not,A~iile din riguriJe 3.7, a ,i b, ' putem ecrie :

.Cursnjii de l in ie I or me az a ~eiun sistem simetric, a vl nd v al oa re al or e fe ct jv ~:



!l.u =I1~E;

! l ' l . 3 =B 8 =!E ;

~31 ='~a = !_·E.

(3 .10)

Sistemul de tensiuniQlI, Uta; Qn eete un sis~em 8irn~trlc. Aceste ten-

siuni ex.istente I~bornele infl,urll'ilor de laz~ ale. generatorului tr ifazat Ie

nurnese te ns iun i d e f az lf'a le g en er ato rulu i. Conductoarele !iniei 'Wnd ideale,aoelea,i tensiuni 'ae atahileso ,i III bornele impedantelor' de lazl (prescuftat,

faze) ale reeeptorulul. T en si un il e r es pe ct i~ e 's in t d ec i t en si un id e f a 1 . 4 , i pentru

recep tor Ii's tht In acela~i tim p Ii tensiuni de linie, l iind ten~iuni tn~re"oon-

ductoare le l inlei t l'i faza .te. Datol·iU. simetrlel s ls temului de tenaiuni, putem

scrie:

Generatoare le cal 'e produc energie electr io l pentru oonsumul casnie ,i,industl'ial au tenaiunea de linie de 380 V.' . .

• C ure n,ii de linl's ~i de faaA. Curentii !.1I Ii. 13 care circuM. In eon-

ductoarele liniei se numese eurenii de linle, iar cei oare ciroull prin impe-

dantele de tRZi i ale receptorului (112, 123 ' !.31) slnt curenli de f a z I J . .

( :urmtii de fa?;;' . Majol 'i tatea -receptoareJor trifazate utiliza.te in indus-

trle slnt .receptoare echilibrll,te,' deoarece II,U ' impedanje de. fad. egaleprin

constructie:

~12 =g2:J =31 =~= ej", =(cos < p + j' sin 11)= + jX. (3 .12)

I1 .acest caz, curenti] de raz~ ai reoeptorului, care f~~meazl un sistem sime-

trie, slnt: .

'~12 U, .U- . Uf _1a=-- =- =~ = - e ' Jq I :-l,e- ." , 't

- ~12 Z' Z eJ", Z

U 23 aU,b3 = -; =:'::"',-=sl»:

ba Z(3.13)

!hl E . _ · · U ,la!-=- -- = = _ . _ = 'f'[12- Z Z -'_

.._!31 ~

l)iagl'ama fa.zol'ia.IA a tensiunilor ,iourentilor (de fad, ,ide linie) pentru

un receptor induct iv (r p >0) se indicA. In figura 3.8 •..

(_'I l,renfii de linie sedetermina 1n functie de curentii de fall folosind

1 ' 1 ' 1 1 I I n . tool'emil R I~ai Kh'chhoff In nodurile 1, 2 Oi 3, Qbtinem rela\iiJe: .

1~.l'~'li'J. - !.SI.;1 1 , =1 2 3 -:-luib=I31-!u,

(3.14)

It =2I r cos ~ = Ir ~ =Val/!

a.,a cum rezultl din diag rarn a Ia-zoriaJil. .

o In,' (loncluzle, pentru conexi-unea In triunghi sln t ad ey .A .ra terelatijle

, " t : . ·. ,: ~.t .'.. U ~ Uf .1 '

. 1 _ i .= Va I { , l ' ·

H e

Fig. a .s

2. Co n ex i unea in stea ( , I . , )

Pentru 9. vedea cum se reduce numarul eonductoarelor llniei in (,ttz,,1conex iunii in stea a jn fa ~u dl.rilo r u nu i g en erato r tril'aza t, s11 ur-ml\l 'im di l lnou figura 3,5. Cele trei conductoare "d e lntoarosre'' ale curentilor conectatvIs. bornele 1', 2' ,i3' se po t lnlo cui cu unul singur prin care c ir cu la c ur en t. ultotal al celor t re i conductoare. Sa obtine ci rcuitul din figura 3.$~.Punetui 0_(' .qmun. c elo r tr ei lnfii~urllri de faza ale genera.torulu i u-if 'asa t, esle punctulneutru ( L / . _ generatorutui . Impedantele de fa d ale receptorului p r'ezi nti'i ~,i

ele o b omi J. c or n un a , 'N, care poarta numele de p un ct n eu ir « a ! r ec ep to ru lu i.C ele doua p uncte neutre slnt legate p rin oonduetorul neutru , prin care cil'('uill

curentul . lo .• Curentii de linie ~j de fad .. C uren tii p rin c ele la lte ('o ru llt('[ Of ll'P al..

liniei , denumiti c ur en si d e l in ie , sin: i n a ce la si titn P ,~i curenii tI " fa:.ii ,leul\l't\('f'oircula ~ prin irnpedantele de faza ale receptorulu i. IhH'l'i., U ' l m e l ' l ;l . ' IIl'ld l i-

Iazat dezvolta t.e, m. ce alcatuiesc un sistem sirne I rir, iar i1 1p e d a n \ l l l n . deff\za a l e re ce p to ru lu i sin t i de nt ic e, r es pe ct iv I'eeepi oru I esl e e c h il i bra I, l 'Ilt 'IIU\ id e f az l1 ai r ec ep to ru Ju i f or me az a ~ei l in sist er n simt'tl'i(' c l l . ' r n il l 'imi ! ! ' In l ll : lo i dld l' ,

Cureniul prin conductorul neuiru, dat de prima ' 4' OI 't '1 II i1 II lui 'K il ' ('hhol' l' ,

respectiv:

!=1 + - 1 2 + 1 : ! .

trebuie sa f i r . nul, decarece Invirtutea airnetriei I. + f 2+ J 3= O ..

Conduotorul neutru nefiind' par-curs de curent, poate fi suprlmat

(f ig. 3.10) farA a. mod i lica pr] n

aceasta valorile pot.enj.iale lor

punctelor neutre fa ~i.., . . ; , \:IUI'

continua Sa f ie e g al s '~iIn sbsenta

conductorului. Putern dsci B('I'\e:

(3.,16)

1-r,

-I

I

'i

13~ - - - - - - - ~ ~ - - - - - - - - - - ~

1 0~ - - - - - - - - - - - ~ ~ - - - - - - - - - - - - ~

9 J

o I n ecnelusle, pentru conexiunea in stea a impedantelor unui receptor

eohilibrat alimentat ou tensiuni ce formeaza un sistem simetrio stnt valahile



Pig. 3 .10

• Tenslunlle de -llnle ~i de fazii .. I n conexiunea in stea, tensiunile de

[azii ale generatorului, egale cu t.e.m. induse in tnfa~urarile de faza, continua

sa lie egale ell tensiunile de faza ale reeeptorului, respeetiv: '

lY IO = J f _ 1 , , : =gl =E =u. ;

I .')20= i l 2 . \ " =!1z = :E =_ .U r ;

V 3 t ) =U3 ,v =!i3 =~*E =t:!*U r•

Tensiunile de l inie, diferite de data aceasta de cele de faza, se deduc din

teorema a doua a lui ,K ir·chhoff. Astfal, pentru oonturul Inchis indicat in

Iigura 3.10 se poate scrre :

, (3J8)

o =-! l I O + ! l 1 2 + Y . 2 0 '

H e.m ll,i\ rle aici :

(3 .19),

Prin Fel' lll ut.al 'ea dnlll al' a a· ind ic ilor l 'ezulUi ~i celelal te doua: tenaiuni

de linie :

1m Y 2 a =l . 2 0 - !bo;

Q al =U _a o - ! l 1 O '

n iag'l·fui11l. fazol'iala a tensi.unilur ~i eurentilm: pentru unl'el'eptOl' e eh il ib ra l , i nd uc t. iv , sei nd ic a 1 n l igura 3.11. D in t riu n-ghiul hasurat rezulta valoarea

e l'e ct iv R. a t . e n a i u n i i de linia:

7t

= U 30 cos - = 2 X6

Re

Fig, 3.11

j/3 . -X - U J ' =V3 U fo

2

92

I II =If].

I~= Vau r

(3.20)

C. PUTERILE iN SISTEME TRIFAZATE

1. Conex lunea In trlu"Uhl

Puterea aparenta complexa la hornele receptorului trifazat eohilibrat

alimentat eu tensiuni ce formeaza un sistem simetric este:

(3.21)

Pentru tensiuni de fad (linie) date:

l l _ 1 2 =u., ! Z 2 3 = g , _U j §i ! Z : n =, _ * U ,

t}l impedante egale, curentii de faza sint:

I Q1 2 tt, U r _ ' I _ .•12=- = = - - - =- e J'" = r e Jq >

- ~ Z e J q > Z '

£2 3 =£u ;

! 3 1 =! * 1 1 2 '

Inlocuind hi (3.21) t} i tinlnd cont de egalitatea !!~* = g . 12 . 1,

obtinem: ~

§b =Uflf e J q > +gU,' g*I e J q > + Ufg*Iff! ei ' l l =3UfI( e ! q > =

._3UrI, cos If > + j 3UtI, sin c p =e, + j Qb '

De .aiei rezulU imed iat:

(3.22) .

93

Deoarece U, =UI ~i If =~3' expresiile puterilor se pot scrie Vi sub

forma:

I



2. Conex iunea 7nste (A)

~i

Puterea aparenta complexi i la hornele receptorulu i este :

s, =1 N ! _ i + Q " 2 N ! ; + ! Z S N ! ; '

Utilislnd notatiile cunoscute:

T . l . . I N =u., ! Z 2 N = f1 :U, ~i ! Z S N =f1:*Uf

1 1 =f e-j~; !_ 2 =1 : £ 1 ~i !_ 3 =s"1 1 1I

obtinem:

~b = aU,I, e j q ) =3UtI, cos < p + j :1Uflf s i n ~ =Pb+ j Qb'

De aid resulta:

D eo are ce in 8 .Q ea st :a conexiune:

obtinem ,i fotmele achivalente:

~'--P-b-=-V-3-U-I-II-CO-S-~-

Q b =Va ULI, sin' c p

Sb = Va UII ,. "

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

C ap it o/ul 4

P O DUC ER EA ~ I T RANSMIT EI\EA EN ER G IEI ElEC TIUC E

A. GENERAL lT .A.T I

1 . S iste m en er geti c

.Din energia resurselor primare, sub diferitele forme cunoscute: hidrau-

lica, chimica, nucleara, solana, eoliana etc., In iceruralele dedi-ice se obtine

energie termica ~i electr ica. Prin reielele de transmisie, energia produsa de

surse (centrale eleotrioe) ajunge la consumaiori. Aioi, energia termica este

Il~ il iza ta ca atare, iar energia elect ric~ este In prealab il converti ta de recep-to are intr-o forma adecvata: mecanica, luminoasa, chimica, termica etc.

Toate instalasiile aflate pe fluxul comun al energiei, tn~eplnd cu amenajiirile

pentru extra,g~rea sa.u eaptarea energiei resurselor primare, eontinuind eu cen"

tralele ~i retelel,g,ie iransmisie ~i ter.minind cu instalaiiile de conaersie a energiei

in forma necesara consumaiorilor alcatuiesc sistemul energetic.

2, SIstem el ctrlc

Partea electricii a sistemului energetic poarta denurnirea de sls tem electr ic

(eleetreenergetle] (SE).

Elementele componente ale SE corespund celor t re i procese distincte

care au loc in insta la tii le sis temului : producerea, transmiterea ,i consumulenergiei electrice. Astfel:

- sursele canoetuionale (generatoare sincrone.) produe energ ie elect rica ;

e:idsta ~i s u rs e n e co no en ii o no l e (baterii solare, generatoare magnetohidrodina-mice MRD etc.), care prezinta importanta locala sau indi nu au 'depa,it

cadrul experimental; ,

- reieaua electroenergeticii t ransmi te consumatorrlor energia produaa;

--'-receptoarele electrice ale consumatorilor absorb ~i convertesc energiaelectrica primita,

o Observa~ie. Producerea ,i transmiterea energiei electrice se reali-

zeaza, de regula, in sis tem trifazat .

In figura 4.1 este reprezentata simholic schema fluxului de ene~glelntr-un SE (redat partial). '

.: , : .

I

r--~-,--lr--------,------, : OCS:' ,

/

Cind puterile care urmeaza a fi t ransporta te sau(~i) d is~ante le respect iveshit foarte mari, tsnsiunile norninale ale Iiniilor pot depa~j 400 kV.

o Nota. 0 solutis avantajoasa in anumite aituatii 0 oonstituie tra.n~~



, , ,l1fJ+4UOkV, , , , ......

i8-n' , I" L Judc III : ILEde fronsp .1 Ti'~ IB+;)5 }(V PT, d t3 fr. 1 . . : _

,a s ITrufo 'raID , ) '~, ,scrviCli"rid. I I cob, :LE de ~L _ L id & " J Z .~ L _ ~ _ _ J L _Io ' ls fr . J ~ 'arteo Stotie Sio/ie ~

eleclrictl rid/cd/Dare coborlloare '-----401,. "IJ-#--=-:-+-M'" s s/]cen/rale! ~

'~

~Fig. 4.1

a. Sur se c on ve ntio nale d e en erg ie e le ctr !co

Genera ioare le sincrone (GS), instalate 1 1 1 cent ra le eleo trice, au puteriunitare cuprinse intre citiva megawati ~i 2000 MW ( in tara. noast ra , l imitasuperioara actuala a puteeii unitare este de 330MW). Energia electr ica Beproduce la tensiuni cuprinse, in general, intre 6 ~i 30 kV, dar exista ~i hidro-generatoare de puteri mici (sute de kW), cu tensiuni nominale Bub 1 kV,deci care debiteaza energie Ia joasa tensiune (j .t.). ,, Generatoarele eleotrioe Iunctioneasa la f =50 Hz ~i furnizeaza energ ieBub un anumit factor de putere (cos c p l .

Din energie. prOdUB8.de generatoare, 0 anumita outS. (1-14%) se dis-tribuie serviciilor interne ale centralelor electrice (consum propriu tehnologic),iar restul se transmite in SE.

\b.

R e r ea e le c tr ! c o. Reteaua electr ica (eleotroenergetica} preia energia generata de cent ra le lasleotrice, pentru a 0 transrnite oonsumatorilor.

Reteaua ouprinde starii l;1i inii eleetriee. Liniile l;1icircuitele electrice dincomponsnta retels i e lectr ice, indi ferent de tensiune ~idestinatie, pot fi reali-zate ell.Iinii eleetrioe aeriene (LEA), sau ca Iinii electrice subterane (LES)prin ut ilizarea cablurilor ingropate .

• Sta.~iiridicitoare de tenslune. Linii de transport. Transmiterea energieieleotriee presupune pierdsri de energie in elementele retelei., datorita .efectuluitermj~ (Joule) a] curentului· electric. La aoeeasi putere transportata, cucit tensiunea este mai ridicata, eurent ii VOl' f i mai mici ~ideci pierderi le , pro-portionale cu pat ra tu l intensitati i curentu lu i, soad corespunsator. Din acestmotiv,primuleIement al retelei, af lat in ordinea f luxului energiei imediatdupa .generatoate, este, de ,regula, s tatia r i,dicatoare de tensiune. Aici, cuajutorul transforrrlatoarelor l;1iautoteansiormatoarelor, tensiuneaelectricl

este riciicata Ill .valori Inalte (IT) sau Ioarte inaIte (FIT), corespunsatoaretensiuni lor Ill .care functioneasa Iini ile de t ransport (110-400 kV).

Tensiuni nominale. Costul liniei electrice ereste odata cu adoptareaunei . tensiuni de servio iu superioare. Prin urmare , va t rebui a leasa 0 valoaree tensiunii care sa ' fie optima din punet de vedere tehnico-economic. Aceastlvaloare, stabilita prin calcule, depinde in special de puterea transmisa ~i dedistanta la care trebuie transmisa energia. Pl'actic, tensiunea nominala a}iniei treb.uie sa aiM, una dintre urmatoal'ele valor i standardizate: 380 V,6 kV, 10 kV, 20 kV. 35 kV, 110, kV, 220 kV, 400 kV (tensiunea de 35 kVe9te admisa, dar se reoomandl1 a fi evitata Ill.COl1s,truireainatalatiilor noi).

96

trebuie sa existe mutatoare capahile sa converteasca c.a. in c.c. sau invers,in functie de sensul transferului energiei.

• StaWle eohort toare reduc tensiunea eleot rica a . lin~i1or,de t ransportla valori medii (6-35 kV) eonvenabile Iiniilor de dlst~lbutle. In ~ta~iilecoborftoare de tensiune, mari noduri de consum industrial, se pot m~~aIacompensatoare sinorone (eS), care reg]eaza tansiunea pe barele statiilor,producind sau absorbind putere reactiva. , ,

• Rete le de distr ibufie. Distr ibuirea ene~~iei elect rice .s~ l 'eahz~a~a .Ia

6-35 kv, uneori la 110 kV - pentru maru consuma~o~l l,nd,ustrlah .. I nfigura 4.1 este prezentat un exemplu de distribuire a e,ne~gIe~prlI? intermediulliniilor d~' distributie, al punct elor de distribusie (P D J . ~I, posturil or ~e t~ans-[crmare (P T). U1timele realizeaza re~ucerea ,te,nslUnu ~a ~al?rl]e Joase(sub 1 kV) necesare micilor consumatorr , indeplinind un 1'01 similar cu oel

alstatiilor .cnborltnare de tensiune. , " .• Legatu,ri de intereonexiune, Stapile de transformare, rIdlcatoare sau

cobor ttoare de tensiune, serveso deseori~i la interconectarea eleme~tel?rsis temului e lectr ic , nrin in termediu l Iini ilor de ' in terconexiune. w Nopun1lede "sistem" ~j "re tea ." se baze 'lZa tocmai pe eXIst 'enta acestor legaturl e lec-

\trice multiple Intre centrale, §i statii. , " ., , ,\ Pr incipiul interconexiunii se aplica §i in re~elele de ?lstr lbutle, ? U ,aJ,u-torul liniilor §i circuitelor electrice ~e ~uolal'e. ~oestea a~~gura, in prl~oli?1U,,legaturn in tre doua puncte ale retele l prm eel put in d~ua caide curent d iferite.

Consumatorii cu insta la ti i e lect rice mal pl 'etent lOase §I,cu consum mare

de energie poseda retele de utilizare proprii in care se uplica, de asemenea,peinoipiul buoljirii. . .. .

Interconectarea ~i buc1area prezinta, avantaje tehnice 1 ; 1 1 econom~ce:01'e~terea8jgurantei in Iunctionare a.s i sternului ~i in alim.e~tarea c ,u energie aconsumatorilor, Imbunatatirea parametrilor Ia care se u~lh,zeaza energl~ e~e~:tr ica. , reducerea pierderilor de energ ie In reta le ,. opt lmIz.are~ functlOn~r~~cent ra lelor e lectr ice etc. Datorita. acestor avantaje, solu tia mte1 'conectaruse apl ic~ §i sistemelor energetice nationale invecinate.

c. Receptoare eiectrice

Receptoarele electr ice ale consumatorilor funotio_neaza. p,e principi ifoarte di feri te , adecvate ut il izari i energiei obtinute din energra electr ica

prim,ita. , ' . ,. " . ~ ~' . 'vTensiunea utIhzat1i poate fl alternativa .(mo~ofazata. ~au trlfaz~ta)v sau

continua, la valoare potrivita cu putere~ §l t. ipul instalatiei dar cuprmsa, ingeneral, intra cltiva volti ~i citeva mii de volti,

B, COMPENSAREA PUTERII REACTIVE. iMBUNATATIREA

FACTORVLUI DE PUTERE

Receptoarele cu ponderea cell. 'mai il1semn~ta in Qonsumul . de el1ergieeleotrioa slut de natura inductiva: motoare a.smcrone, transformatoare desudura, cuptoare de inductie§i eu arc electri'o, apa.rate 6,i dispozhive !'lare

97

, - Elect rotehnica. c l. Xl-XII

,'

~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - : ~

coritin bobine etc. Asernenea receptoare, practic ·toate lnstalatiile in careinductivitatiJe predornina asupra capacitatilor, determina un . consum deputere reactiva inductiva. In aoeeasi sltuatie se afla ~i eircuitele electrice de~t il iza l'e a .energ ie i, J ini i le de distr ibuti s, t ransformatoarele d in sta tii '§j pos-

Ca . exemplu, tn. figura4.2,. a a Iost considerat cazul, unei Iin ii e lec tr ioe (schema mo-

A 8 ,)')

III

x



turi de transformai-s. Rezul ta ca, de regula, retelele de utilieare §i distributiefunotioneaza in regim inductiv ,

1. Efectele CIiCU la~lel putert I reactive

" Notiunea de putere reactivii ~icirculatia acesteia irrtre elementels capa-;ci tive §i eels inductive ale SE stnt , precum se cunoaste , conventi i adoptate;pentru a 'caeacteriaa schirnbul permanent de energie in tre ctmpurile elect rice' §i ceIe magnetice ale elementelor SE. La acest schinib partioipa, cu aportcapaoitiv san inductiv, ~i generatoarele electrice ale sistemului.

Sa constata e8 . circulatia putenii reactive pe elementele retele i conducela urmatoarela dezavantaje:

- c res terea p ie rderilo r de energ ie;

- p ie rderi de tensiune i- cr e~ te reain ()es tili ilo r I n c en trale $i re iele ; ,

~ r ed uc e re a c ap ac it ii ti i de tncarcore.

a, Cresterea pierderilor de energte (erect e/ectmcalorfc)

Daca se ia ca exemplu 0 l inie trifazaU ou rezistenta R (pe 0 fad), vehi -cuUnd puterile P (activa) , i Q (reaetiva) la tensiunea U, pierderile de putere

activit ( ~ P ) tn conductoarele liniei se determina astfel :p2 Q~ p2 Q 2

~P =3RI2 =R -+ =R -'- + R - • (4.1)U 2 . U 2 U 2

p2 +Q2.deoarece 8 =V p2 + Q2 = U 1 = > . 12= U

2(8 este ,puterea aparenta).

Se constata o~ ciroulatia puterii reactive eate insotiM. de 0 pierdsrede putere activ~,

Cu expreaia (4.1) se pot calcala pierderile de putere In orice element der~t~a. (transformator, generator, linie electri(l~ ,etc,) sau recep~or electr icla cane nu se, urmarsste obtinerea de ciiJdura prm efectul termio al ouren-tului electric,

,I I

. b. P i e r d e r i de t e n s i u n e

Se cunoasto cit valoarea tensiunii este un parametru de cali t ate al ener -giei electrice, ,

In oriee element de retea,' caracteriza t de parametri i longi tudinali R(rezistentli) ,i X (reactanta), tcansmittnd puterile P ,i Q sub tensiunea U,',a~~re 0 pierdere de tensiune (de fad.) A U ln tre cele 'doua capete:

AU =U A - UB N R I cos c p + XI sin c p . P R + QX =P R + Q X, (4.2), . U U U

98

nofilara)j iar in figura 4,2,. b

s-a 'reprezentat diagrama fazo~rlaIa a tensiunii §i curentuluipe una. dintre faze. R.elatia(4.2) se po ate deduce ~lmplupe baza diagrarnei , prOl~cUnd

UA pe Y . . n . '- Inteucit reactanta X estecomparahila, ca valoare, ,en

reeistenta R (de multe 011 0'

depa~e~te), ponderea p~t.erii Qin valoarea AU poate fI com-parahila ou cea a puterii Psau ehiar mai mare. Aceastiis ituat ie poate d()~duce .1a va-riatH mari ale ntv:elurllor detensiune in retea. ~ _ I I l l . co:n~.u-matori, im·8.utaYmd conditiilede exploatare a instalatiilor.

c. Crestereo in ve sti~ lilo r Tn ce ntro ie ~ ; retefe

"

In centralele ,i sta ti ile e lectr ice costul generatoarslor ~i t ransiormn-toarelor oreste odatl cu puterea l?r instalata: .

S = V p2 +Q2,

Se obserd C a . , pe masura cre,tel'ii puterii re.ac~ivei o:e,te ~i putere~aparenU deei ~i ccstul, Sa tinde ca putere~ Q sil. he cit maloredu~i1; ~ot~l~l,din anumite motive tehnics, ea nu peate h coborlta sub 0 an~mlt~ hml~a ..

Din expresiiIe (4,1) ~i,,(4,2) ,se observ~ .~11pentru.,a menjine pl~rq.erlleIl.P ,i Il.U in limite rezonabile ohiar in. condttiile cre,te.ru p,uterll reaotive Q , 0solutia ar fi l'ed~ce.re,a resistenjei f ! . . prin ore,t~rea aecjiunu oonductcarelor, 9 -alta solu:tie ar Ii ridiearea tensrunii de servioiu U. Ambele variante necesltA

ind .. costuri' suplimentare ·de investi~ie. ,.. ,~,"

o Observaj le . ConcluziiIe se aphca. lntocmai ,~l receptoarelor eleotr,~0~l

d. R e d u c er e a c ;a p a ci t a~ ii de inca(cQre

P~ntru 0 inBtalat ie data , spee a nu se d~pl1~i, limi teJe admise .&:1eie :d~·rilor trebuie schut transferul de putere actIVa (P) , Rezultl1,. deci, 0 dimi-nuare nedoritli a. cap·aoitl l.W de Inoarcare a . instalatiel respective.

+R'U-A

T *

[I"

a

t

bFig.U,'

·2. Mijloace pentru red ucerea .clrculatlel de putere reactlvli , I:!'I'

Heducerea circulat iei de putere react ivl i echivaleasa on 1mbunatat ir~~Jactorului de putere ( C OB (j 1 =p) , intrucit:

Q =V3 UI sin c p ,I\l

9,9

Slnt utilizate doua categorij de mijloace pentru reducerea puterii reactive:~ irobunatatirea Jactorului de putere al receptoarelor ; .~ compensal'ea puterii reactive. .

Tob/ou O/fkVTrufo cobOl'ilorde fenS/{Jne

I ID •

)coosomo tor .

.-;----t----- f'tl



a , • r lY !b un at ot ir eo f oe to ru lU i. d e p ut er e 01 receptobrelor

deenergie eteartco

Ex,ista, multe posibilitati de imbunatatire a faotorului de putere:- utilizarea nom receptoare eli factor de putere rid i cat ;

- evitarea subtncarcarii sau Iunctionari i in gol a motoarelor 'asinorons,transformato arelor- de sudura (a consumatorilor induetivi - in general);

- evitarea supradimensionarii receptoarelor ; .

- in loeuirea (unde este- posib il ) a motoarelor asinorone rnarieu motoare.aincrone etc.

b. Compensoreo [actotuiu; d e p ute re

Compensarea factorului de putere se rezuma practic la uiilizarea condense-toarelor slat ic e fji a c om p en sa to ar ela r s in cr on e p en tr uc om p en sa re a . zocala apute rii reac tioe eo iiindu-se c irculaiia aces te ia tn reiea.

• Oompensarea :en eondensatoare sta tlce.

Condensatoarele pot fi instalate l a c on su m at or , imbunatatin~u"i astielfactorulde putere sub care absoasbe energia din retea ptna la (eel putin) 0

valoare Iixata de in treprinderea Iurnizoare de electr ic itate . Aeeasti l. valoare,numita f ac to r d e p ute re n eu tr al , este actualmente , in tara noastra, egal ou 0,93.Pentru cos c p < 0,93 marii consurnatori de energ ie sint penalizat i, iar pent ru

cos c p >0',93 primesc bonificatii, ' ,Se pot manta cORden$atoarB ~i in in sta la fi il e i ntr ep rin de rii [ ur niz oa re

d e e l e ct r ic i ta i e , pe harele de j,t. ale P 'T sau pe harele de 6-20 kV ale statiilorcobo:ritoare de tensiune.

'Pentru instalatiile-de [oasa tensiune trif'azate, condensatoarele se fabrica,in obicei, in construciie trifazata, conectate In triunghi, Iormtnd grupe inde-dendente, spre a se putea cupla in raport de necesitati. Pentru tensiunipeste 1 kV, condensatoarele sint in execuiie monotazaui, putind fi conectatein stea sau triunghi, ' , '

Condensatoare le sin t realizate cu armii turi din foli i de aluminiu S1 dielec-tric din hirtie uleiata sau pelicule din materiale sintetice. Capacitatile pe 0

faz~ ale eondensatoare lor industr ia le destinate compensarii puterii reactivevar1aza, in general, intre 75 fJ-F ~i 600 p.F la j .t. , respectiv in tre 0,3 f-lF ~i5, 'f-lF la tensiuni peste 1 kY. . .

Co.manda eonectari i grupelor de eondensatoare se poate face fie mil1iual.,

in rapor t cu necesitetile de putere reactiva, fie automat, in functie de valoa-rea tenaiunii pe bara de racord , co ajutorul unui regulator automat de ten-siune (RA TJ.

In figurile 4.3, a ~i b sin t prezentate doua t ipuri de scheme pentru conec-tarea condensatoarelor.

• Compensatoarele sinerone (eSj sint masini sincrone rotative carese iristaleaza pe barele de 2-20 kV ale unor stat ii cobori toare de tensiune,noduriimportante de censum. Compensatoarele sincrone _produc sau absorbputere reactiva; dupa cum Iunctioneaza in regim supraexcitat sau subexcita t.Puterealor aparenta. nnminala variazji in general intre 5,~i 50 MVA. Comanda

10 0

Bare lj:6+20kV-4-+~-T------------R

--~_+--~--~--~---S

- - ~ ~ - - ~ - - ~ - - ~ - - - TSep .

~P , I )

spre PD,PT ~

Q e l t c t c tieb

T S R SF'

a

Fig.U

excitatiei se realiseazd prin RAT, in functie devaloarea parametrului reglat(tensiunea). .

o Nota. La mar ii consumator i industriali care poseda motoare sincrone, (MSj, aeestea pot realiza, pe linga actionarea masinilor de lueru cu careslnt cup late, ~iun reglaj tensiune-putere rf)act~vii, prin modificarea curentuluide exci ta tie ,' tn toomai ca la compenaatoarele sincrone.

Apliclltle. La bara de 10 Ir V a unei s lalii coborttoare de te nsiune cu un cons um echi-

valent p= 4000 /d-V, sub cos c p =0,8 [Lnduct io } , se conecteazii 0 baierie de condensatoClre

lega ti i i n s iea, peni ru . compensarea pu teri i reac tio e pIni i. La [ac to rul de putere echioal eni

cos C P s =1(fig. 4 . 3 , b) . . . s a ss calouleze capacitaiea :IlBcesard C pe [ iecare f a' l, ii ~i pierde-

r ile d e puiere i~ t renstormaiorul . coborllor de tensiun» al sta iiei ; dcwd rezisle.n la echi"alen li i.

pe 0 fa,:di, a acesluia este RT = ,08 n.Puterea reacUvu echivaleuta a receptorului Q ' se de t er rnlna as ,t fe l:

QP . . ,. 000 •

= -- sm q> =-- •,6 = 3 000 kvar.GOS q> 0,8 _

Anterior compensarii, curentul IT prin translorrnator este :

r ,.00I ' J ' = .. = . =290 A.

V3Uco,S"P V3'10'0,8

tn acest c uz , p ut er eu pierduta in transrormator oslo:

! : : " ] J , 1 =3 R l ' l ~ ' = 3 . 0,08 • 2 90~ =20 ,2 kW.

Hupd compensarea (compleUi) a puterii react ive, OOS c p =1 i ar C : H l' on lu I1 1' p ri n t ra ns -Iorm a t01' va Il ,

IT = P .= 232 A.V3 U co s 'P

In acest caz, puterca pierduta In transtormator -va fi:

! : : " p ~ , ='3 • 0 ,08' 2322 = 12,9 kW < ! : : " P ' F '

Bateria de condensatoare oompens eaza puterea reactlva:

Q =IQc I= l 000 kvar = = 3 c; ( P _ ) 2 .I . V :l

Din l'tdu~ill 'ullhAoul'tl l'Otl!lli[ uapucitutou po u fudl U b ut or ie i :

C ' 0-" \ i G , G I i ! J . l < ' ,

,, .

10 1

rezistor fara a provoca modifiearearesistenjei- sale. De exemplu, pentruun rezistor de 2 k 0./0;5 W, intensi-tatea admisibila in e.o. (valoarea



I,',

C a p lt o /u / 5

C IR CU ITE: ELE CTR ICE ~1 E LE Ct O N1 CE N EL1 NIAR E

A. E LE ME NT E N EL IN IA RE D E C IR CU IT P RE ZE NT AR E G EN ER AL Jt,

" In capitolelepreoedents ne-am ocupat numai de funcjiun ile ~i metodelede st~dlU spe?lf~ce clrcUltel~r. eleotrioe liniare, adioa circuitelor electeioealcatUlte numai din elements liniars (eu oaraoteristioa ourent-tensiune liniars),

o NotA. A~ ~ ~~m.s~ va vedea, p r o pr ie t at ea e l em e n t el o r de circuit de aprezenta caractertstici l iniare nu este de tapt decit 0 ide alizare a compor tar ilor reale . .. . H,

. . .• Un element. pasiv de circuit, de exemplu rezistorul este un elementliDlar daea dependents ourentului de tensiune la borne este 'lihiara

. .,

E 1 3e ri ca re a ._ rfi vB:lo.area~i sensu I ourentului in element. Heeistenta eleetrica R aumn reeistor h~lar eS .t. e0 mar ime scalara, pozitiva, independenta de curen-tu~ oe~reae pnn re,zlstor. Altfel spus, ° are~tere a in~ensitatii curentuluipnn ~ezlstor de A 01'1are ca efect 0 crestere de A ori a tensiunii Ii i borne ~i

, ca urmara raportul. intre tensiuna ~i curent are 0 valoars constan ta, egala

c~ rezu3tenta rezistorului. Graficul Iunctiei i=!, prezeIitat tn Iigura 5.1,

J j poarta. numele de c a rc c te ri st ic a c u re n i- te n -;,',,', siune a rezistorului. Caracteristiea i - u a')III t u~u~ reaistor este 0 dreapta care trece prin

orlglnea axelol' . de coordonate ,i este i!ituataIn eadranele 1 ~i 8.

. ,0 NotA. Aeest mod de a - ca.raeteriza./ rezist~rul nu este insa In ooncordanta cu" I ,. experle~ta dealt pentru ~ntensita~i ale ou -

ren~ulul car~ nu provoaca 0 Incalsire no-u tabIla datorita efectului electrooaloric al

cursntului. Din acest motiv, pentru oricereeistor, Iabricantul trebuie saindiee, in.a~a~a de val.o~r~a rezistentei, ,i puteread~s~pata admMtbtla. Aceasta putere limi-

Fig. 5.:1. tead curentul care poate sa treaca Iprin

1 0 2

efeot iva in o .a.) eats :

,Id.= V ~ . V 2 ~'~03 ~16 mAo

• Element nellnlar. Examirtlndcaraeteristica tensiune-curent a uneidiode cu vid, presentata in figura 5.2,corts tatam os. la c l'e, teri egale ~~UA ale

tensiunii a no di ce n u corespund cre~teri . , . w • ."

sgale ale cursntului anodic deoit in porttunea liniara 'a caractenstaou. ,

Elementele de circui t rez is tive care nu prezinta 0 dependenta liniara acurentu lu i de-tensiune la borne .sln t caracteriza. ta prin doi parametri :

_ r ez is te n~ a s ta ti ed R a ! ' definita. 08. rap art in tra tensiune ,i curenttntr-unpunct ~ de pe caI'acteyistiea, numit p un ct s ta tic d e f un cfio na re (pre-

seurtat, PSF):

Fig. 5.2

(5.1)

•••1

Besistenta sta tica este deci proportionala cu tangenta trigonomcteica a

unghiului. <X format de .dreapta OP cu axa ourentului , constanta de propor~10~nalitate k Iiind deterrninata de raportul scarilor grafice utilizate Pentrutensiune ~i respeotiv pentru eurent. Hezistenta staticti a diodei eu vid este 0

marime pozit iv8. , ;depe:p .denta de tensiunea anodica ;- l 'e zi st en ta ¢inamici i in punctu l static rd , proportionaUi eu tangents;

trigo'nolIletrica a . unghiului de tnclinere ~ fata de axa curentului, a tangentergeometries la graf;eul caraeteris tic ii in punctul s ta tic de function are (fig. 5.3) ~

I - - - - - - -

, I' AUA I dUA ! k t I J . 'rs= lm~ =-.- = gr'1

I . 6 . i . . . . O A~A p d~A p

unde k este raportu l scii ri lo r de tensiune ~i curent Iolosite pent ru graficulcaraoteristicii statice. Rezist.enta dinamica eate poziti()ii in portiunile ascen-dente ale earaoterist .icii tensiune-curent, deoareee unei variatii positive AUA atensiunii la borne Iioorespunde 0 variatie a .curentului Ai'A, de asemenea 'pozitiv'j1 (fig. 5,3 , a ); in. portiunile desoendente ale caracteristicii statioe, unei:VBl'ia~iiposltive AUA a tensiunii Ii corespunde 0 variatde '~ iA negativa a

c~rentului prin element ~i deci raportul ~~A este negtui» (fig. 5.3, b )..u.tA.

• Tipuri de clemente nellntare. Dupa forma caracter isticii statice

i =(u), e lementele .nelin iare se pot c lasil ica in e le m e nt e s im e tr ic e ~i clemente

nesim etr ice . '

Un element neliniar este .s imetric daca are caracteristica static8. eimetrioa

f a , t a de orig inea axelor de coordonate (de , exemplu, becul cu incendescenta) .

Dioda cu vid este un element neliniar nesimetr ic , capahil S a cond uca

ourentul lntr-un singur sens, Pentru tensiuni anodice negative dioda se pre-

(5.2)

.103

~ ~R(Il)

JOO



r20(1

T O O

II aA 1 / '1 lI(f>O

0 40 80Fig, 5.3

zinta asernenea unui inteeeupator deschis, deoarece curentul anodic estenul (v. f ig . 5.2). Aceasta part iculari ta te a diodei ou vid este Iclosita in tehnicaredresarii curentului alternativ,

Alte elemente neliniare utilizate Irecvent In cirouitele de 0.0. sau c.a,s lnt .: termistorul , - tubul baretor, d ioda semicond uctoare , d ioda tunel, diodaZener ete., toat~ - elemente de circuit eu .d~H~aborne de ace_es, penttu carevom prezenta pe scur t anumrte PIil,I'tlCuiar'ltap extrem de utile pentru apli-catiile tehnioe. .

1. l .a rn p a e u lnrandescentj

• L am po. eu lncandescenja, ut il izata . in tehnioa i luminatu lu i electr io, secompune dint r-un filament din materia l greu ftizibi l (wolfram) dispus in tr-unbalon ~~ stIcHl. In ~a:e se fa~e vid ~au se introdun gaze inerte. Prezentagazului mert impled ioa vaporrzarea Iilamentului Iavorizati i de temperaturamare de lucru (2500-3 OOO°C). Lampa. cu incandescenta are la cald" ar.ezisten~a. Bta.tica mai mare decit .Ja rece". ",

. • C araeteristiea staticiL u.-i a unei lampi en incandescen/a cu f ilament. din wolfram, prezentata in Iigura 5.4, pune in evident-a comportarea saneliniara simetrica, ' \

Caracteristica statica a unei lampi ell in~i/'de~'oenta cu filament de ciirbuneprezentata in f igura 5.5 scoate in evidenta o dependenta a rez.istentei staticede curent, inversa fa~a de Iarnpa cu fiJament mebalic.

i

I

1-

(J

(u

Fig. S A F ig. 5 .5

104

u

z .

o ()

Fig. 5.6 F ig _ 5 .7

2 . T e rm ls to ru l

• Termistorul este un .rezistor nelfniar ohtinut prin sinterizarea unoroxizi metalici ca NiO, Mn~03 ~i CQZ03, care prezin ta un coeficient negativde temperatura. al rezis tiv itat>ii. Variat ia .rez is tivi tat ii cu temperatura estefoarte mare ~i pronuntat neliniar (fig. 5.6). Termistoarele sint utilizate inreleele terrnice, in termometr ie, in dispoz itivele de actionare etc .

3, Tu ul bar etor

,. Tubul baretor se compune, ca ~i becul eu incandesoenta, dintr -unfilament confectionat insa din fier dispus lntr-un balon, in atmosfera de'hidrogen. '

• Pe earaeterf stica statica a baretorului ( fig- 5.7) se remarca existentaunei portiwii in care curentul este independent de tensiunea la horne.Proprietatea aceasta i~i gase~te uti lizare in tehnica in insta lat ii care Iunctio-.neaza in c.c. la valori constante ale curentului.

4, Dloda serniconductoare

• Caracteristica statiea, . Dioda se -mioonductoare sau [onepiunea P-11; esteun dispoeitiv electronic cu doua bornede aeces. Partile cornponente ale diodei

semiconductoare ~i sirnbolul graf ic sint

prezentate in figurile 5.8, a; b. In unuldintre sensuri,' de la semicondu~torul de

tip p catre semioonductorul de tip n,

pe care-l denumim sens direct, diodaconduce bins curentul , prezent ind 0 re-

zistenta electrioa mica. In sensul opus,

de la serniconductorul de tip n Ia eel de

A

a

b

10 5

iA(mA

If

3

P fl., •

Heeistivitatea semi-l'ondul.'tolU'elol' scade R-

preciabil pl',inim-purificarocu atom] ai altui element



.,

'{}z -2

0,2 '1 4 (V)

2

, 0/ l~,-I:~'_u,"'~ ; . . : _ i 4 _ _ _ _ . c ,

~- mA

E d

u A = + E rJ

iA =I

-1

'.I.,~~.---.. -, .. .,-

~,2

3

. ' (. P A )}'ig. '1),n Fig. s.io

tip p [ se ne in ve rs ] I 1 1 iuduuonduoe diu curentul , present tr ld tn oonseolnt i1 0

l lezis tenta electr ica mare. Acea.sta proprie ta te a di .odei semiconductosre seilustreaz8. pe ceracteeistica statioa. prezenta:tIi in figura5.9, unde s-au foloBits'p~r i g rafice diferite pentru por tiunils situate in cadranele 1 ,i 3. Portiuneadiri primul ?adl'an corespunde polarizll:rii [ ono tiun il in sen s direct, a,a. cum searati1 in figura 5.10, unde pentru masurarea ourentului se utilizea.~1i un:rp,.i!il :~pe~met~u ?,e c.c. Portiunea d.in cadranul al treilea. co~e~p1!nde.po-I flrlzarn jonctiunn in sens mvsrs (fig, 5.11). Sensul curentuhu prm diodaeste opus sensulu i in it ial , i de valoare mult mai mica. Pentru masurareaaeestui curent este prevazu t in circuit un microampermetru de c.o. ( f J . A ) .

.~ Mecanismnl microscopic al funcjionarii unei diode semiconductoare.

,,Semiconductoarele stnt materials cristaline care in stare purl (intrinseci1)presinta 0 ponducti~i~ate electrica. (oarte mica. Germaniul ~~ siliciu l, carestnt cele mal larg utilizate in tehnica, au la temperatura ambiarrtji (300 OK )

rezistivitayi mult mai mari decit ale' metalelor ( P O e =0,45 Q -rn, P S I =

, 2,30 n· m, fata de PC u =1,7 X 10~8 n· m ~i PA l =,65 X 10-8 n· ro).Ele slut. elemente tetravalente. Cei patru electroni de valenta ai unui atomintra in legaturi eovalent.e eu atomii vecini. Stratul de valenta al fieciiruiatom' va: avea astfel opt electroni ~i practic nu vor exista el~ctroni liberidisponibili pentru oonductia curentului (fig. 5.12). 'III

,.e'

" ® . , : \ L'~'• :'f'e.. egaur:

• . '.~. ?6covolenfe

'£®o®l®~• 1'0-0/ • J

. /~,~

c

E'1

UA :-Ei

fA =-1

Fig. 5.11 . Fig, M2

1 0 6

chimic:

DatA. germaniu l sausiUciul (e_lemente tetra-valente) se impurilieA. euo.tomiiunul element pen-tavalent (P, As; Sb),atomii respectivi de ' irn-puritate se plas8il.za inreteaua cristalinii a ma -terialului pur (lig. 5.13, a)tn ]00111 unora dintreatomii .B8.i, in anumitepoziti~ f ix e . . Pa!ru dint re c~ i cinei electroni de " vale,nta. ai atom ulu i de'impuritate Intra in legaturl covalente ell ato rnli veom i de gsrm aniu , A l. oi nc il ea e le ct ro n, f iin d slab Jegat de atomul de impuritatfl, poate dsven il ibel ', fiind astfel disponibil pentru oonduotia ourentului. Energia care tcebuieoheltuita pentru II. "deta,a" acest electron din .atom este de 0,01 eV pentrugermaniu ,i0,05 eV pentru sil ic iu.

Elementele pentavalente joaca pentru semiconductorul pur rolul : deelemente donoare de 'electroni. Ele se numesc donoare, iar semioonductsru lal ia t cu elemente donoare este un semiconductor de tip n (negativ) (fig. 5.13; b).

Daca insl germaniul sau silleiul se impurlfiea eu atomi ai unor elementetrivalente (B, Ga, In), cei trei electroni de valenta ai atomului de impur itate

Iormeasa legaturi covalente numai cu trei dintre cei patru atomi vecini dinreteaua eris tal ina (fig. 5.14, a). Absenta unui electron, deci a unei sarcininegative, in cea de-a patra legatura covalenta, este indicata in figura 5.14, apr intr -un "gol" pozitiv. 0 legatura covalenta inoompleta se manifesta decica 0 sarcina pozi tiva. Elementele t rivalen te : joapa pentru serniconductorulpur, tetravalent, rolul de clemente acceptoare_(de electroni), decarece pentrursalizarea legatur ii covalente incomplete atomul de impur itate tr ivalent"aceepta" un electron de valenta din legaturile covalente vecine. Dar unelectron care parase~te 0 legatura covalenta pentru a urople golul veoin-Iasaun ,,100 vacant" pentru Ul l aiteleetron de valenta, adica un alt gel, Prinurmare, golul se dsplaseazaefectiv prin reteaua cristalina

a semiconductorului impurifi-

cat, in sens invera deplasarii

electronului.Ctnd In semioonductorul

impurifica t cu elements aecep-

toare (indieatschemat ic in fig .

5.14, b), denumit semiconductor

de tip p (pozitiv) se stabileste

un eimp electric, are loc 0 de-

plasare ordonata a golurilorin

sensul ctmpulu i e lectr ic . Prin

b

Fig, 5.13

b

107

semiconductorul de tip p circu li i deci un curent e lectr ic de conductie datoratdeplasarii golurilor.

Ajungem astfel la un rezultat important privitor Ia impurificarea unuisemiconductor. Primul erect este eel de reducere a rezistivitii~ii. At doilea

15 0



se referS. la concentratia purtatorilor.

Inir-un. semiconductor intrinsec, latemperatura amhianta exista pereehleIectroni-goIuri care se. Iorrneasa ca urmare a : mi~carii de agi ta tie termit ila.Concentrabiile 'celor doua t.ipuri de purtator i sint egale, respeotiv

~p =n =n,I'l ,

n, Iiind concentratia intrinssca

C : 3 ) '_ Intr-un semiconductor de tip n electronii slnt pun.atcri rnajoritari ~i auconcentratia mult mai mare declt a golurilor care stnt purtatori minoritari.Invers, tn tr-un semiconductor de tip p purtatorii majoritari Sln t golur.i le , iar

electronii s int purta tori minoritar i.

'AplicRtie. Eouai ia oarac teri st ioi i s ta /i ce a une i d iode semiconduc toa re cu ge1:maniu

este i..;l.= Is [exp (~;) - 1 ] . unde UT = k~, I t [ iin d. con st an la l ui BoUzma'nn ~i

e - sarcina elemen/ara, iar Is, numit "c ure nt de sosuraiie", este cureniul p'rin jonctiuneo.

polarizaui ~ n s ens inve rs. Sa se determine parameirui UT 10. t emperatura de 20 °C *i ex-presi ile aproximat ioe ale ecuat iei caracterist icii sta tice pcntru. polariziiri aZe diode'; Enambele

sensuri,

Pararnetrul wr are, Ia 20°C, valoarea

T' T 293UT = - = --. = -- = 25 mV.

el]: 11600 ' 1 1 6 0 0

Daca dloda este polar is ata in. sens direo; eu tonsiunaa UA = 0,15 V, s e ohtine:

. I [ ( 0 , 1 5 ) ' ] , '. . ; l . = S exp. - 1 = is[exp (6) - 1] ~ t . O O h25 X10-3

Pentru 0 polarizare in senslinoers cu UA = -0,15 V, curentul anodic este :

1,:1

., 1 ]iA =s[exp (-6) - 1]=s l--·1 ~ -1 s-

400 '

Celu douaportiuni ale cu rbe i caract er ls tl ce se po t deli aproxima as tf el :, .

I· ( U A ). . ; 1 . =s exp UT ; Lt.A > o

LA = +I«, UA < O .

,0 Concluz ic . Curenlu l de saiurai ie este determinat de purtntorii minoritari din

eele doua regiuni ~i este practic independent de teusiunea de polarizare [rnicroamperi

pentru dioda en gerrnaniu ~i nanoarnperi pentru eea cu siliciu) .

• Dioda Zener consta dintr-o [onctiune p-n cu caracteris tica sta tica ~simbolul grafie prezentate in figura 5.15.

Caraoter iatica statica Ia pularrzare in sens direct este identioa eu a uneidiode obisnuite. La pnlarizarea jonctiunii in sens invers , oaraoter isticn pl'e-

108

t 5 . 3 )

(5.4)

(5.5)

I:~

-25-30

jlA

aFig, 5 .15

zh:t~ 0 portiu~~ ahruptav8ituat~ 1~ tensiuned UA =- UZ.l unde 0 variatio

mica a tensiunn provoaca 0 variatte ITIA.rea curentu lu i fara ca dioda s a sestr ,apunga. Datorita aeest~ i prcpr ie ta t] , d ioda Zener se utilizeasa In redre-soarele stabilizate de tensiune (surse de c.c: stahilizate). '

• Dioda tunel este tot 0 dioda semioonductoare a carei oaracteri stica)

statl~a nu est~ t~~a in permanenta ascendepta" in sensu 1 ca pent ru anumitevalor) a le tensiuni i curentu l descreste clnd tensiunea creste. In acest dorneniual tensiunii de polarizare d ioda tu~el prezin t a 0 l ' e Z i8 te~ f ,a dinamica negativii ,proprre ta te foJosita In tehnica genedhii de csci lat ii s inusoidale,

8. CIRCUITE HECTRICE DE'CURENT CONTINUU CU ELEMENTE

NELINIAFtE~DEiEF\MINAREA PUNCTULUI STATIC DE FUNCTIONARE

j," I Iur lement nellrn

, .Pentru lnceput v~~ analiza un circuit S t i l l p l u , for 'mat ' dint r-o sursa detensiune, un razrator liniar ~l un element noliniar, de exemplu 0 dioda semi-oondu ct oa rs p o la ri za ta in sens direct (fig. ,5 ,1 .G, a) . Sa determlnam punctu lstatic de func~ionare al diodei. .

iA (mA)

R

o ",

0'

Fig, 5,16

1 0 9

In circuit se 8tabile~te U J i . curant constant a clrui intensita~e este lIoi l, lt ie .sjstemului de eouatii: .'W ' ~ - . - - -i'. {~ A = RiA + UA I (5 .6):'. ' tA = (U A)' .,

G «a 'A

3 v f : I i ~



Prima eeuatie Q , s is temu lu i r ez u lt ll din teorema a doua a lu i Kirohhoff. Ad ou a e eu at -i e e et e c ara .c te ri st io a s ta tic ii d at il s ub f orm a u nu ] g ra tio . Ne.cunoe-outele sistemului stnt tensiunea anodicl! a diodei , i eurantul anodic, adiolc oord ona .t el ~l 'un ct u! ui s ta ti c d e f un c ti ona re , s~tuat la i.nter,see~i~ graficu!uioaracteristtoii statlOe ou dreapta de ecuatre EA =UA + RtA! dsnumitad re ap Ui d e s ar cin a.

Punotele de intereectie a le dreptei de saroin l! . eu axsle de coordonate Be

determina anultnd pe rind tensiunea anodioa

, iourentul anodic. AnuUndtensiunea, se obtine curentul de sour tcireuit al sursei

i: =16c=EA• (5.7)R

Anulind eurentul se ob~ine tensiunea de mers itt gol a . sursei"

UAo =EA• (5.8)

. Dreapta de sarcina determinata de tlieturile sale pe axe interseeteadgrafictil oaraoteriaticii statioe tnpunctul' P de coordonate U

A','i I A , - j

In aplicatiile practice prezintll interes deosebit cirouitele ce contin unelement neliniar conectat la bornele unui circuit liniar ~i aotiv (dipol aotiv) .Pentru deterrninarea punctu lu i s ta tic de functionsre al elementului nelin iarse determine. mai Intli generatorul echivalent de tensiune fali1 de borneledipolului , dupa care se foloseste procedeul expus anterior .

ApllcBlle. Sa se determine coordonaiele punclului sta tio de funol ionare af diodei semi-

conductoara rUn oircuitul. din f igura 5.17, a. C ar ac te ri sl ic a I It a( ic a a diodei ~ste i1 ' ldi~atrl tnf igura 5.1'7, b.

Eliminlnd dioda se ohtine ciroultul Ilniar din figura 5.18; care poats Iifnloeult

cu generatorul echivalent fatl!. de bornele A ~i C .care are t.e.m, UACO ~ rezlsten~u

interna RACO. Tensiunea UACO se determina eli formula divlzorului d e tensiune:

" .

( ": 1 .! .

-12 -8 -If

o 0 , ' " 0 .8 1,2 t.MV)

-ZOJlA

b-frOpA

Fig, 5.17

Pentru a dctormlna rczlstonta RACO. se calculeaza mai InUi eurentul de seurtcircult IAC8c:

3 V r

IACsc = = - - =0,2 rnA,6kn .•

RACO =UACO = -~ =5 kn.IACsC 0,2 rnA

Cirouitul cohivalent este eel din figura 5,16, a, Intersect ia dreptoi de sarcina cu caracte-ri stica sta tica detcrmina punctul sta tic de funcj icnars P de coo~donate UA = 0,65 V

91 IA =0,18. rnA,

bc

,II, F 1 9 . I UB

II I

. iA 'l'\

. . . .\/

:,

iA,

, 11 ~

lIA

CFig. ~.19

de undo so obtlno

) . 6, ~( 1"11 ;! I· a I m ntelor nell n l:If

(5.9)

o

• Asocierea in serle , Doua elemente neliniare asocia te In serie (Iig . 5.19,a )se pot mlooui cu un element nelin iar eo~ivale~t (f ig. 5.~9! ~)' a C~~Ul caraote-ris tioa sta ticS. se obt ine s ,! -m £ nd (.p e: o rt zo n t~ la ~ a! ac te rt st tc tl e s ta uc e a le c el o~d ou a e le m en te (f ig. 5.19, c) . Procedeul se Ju~tlf~ce. observlnd C R la acela,~eurent i'A tensiunea lao bornaeste soma tensiuniler la bornele elementelor.

l uA UA l + U . ~ 2 - J

. ~ 4 ' ; - - = - '...z . . . .. - . . . 1

Constructia earaeteris tieii staticea eJe-

rnentu lu i eehivalent se facB'prin puncte.• AS,ocierea' in paralel. Cazul ele. :.

mentelor neliniare asocia te in parale l Sf,

t ra teaza in mod similar. De 'data aceasta ,

deoareee eurentul prin elementu l echiva-

lent (fig. 5.20, b) este Burna curentilor

prin elementele oomponente - fig. 5 .20 , a( la aceeasi .tensiune la borne) , caracte-

risticile statice se aduna pe ver ticala,

.1I

oI

. iA

~I0--. 0

I

Fig. 5.20

11.1

C. MODELE IDEAUlATE PENTRU DIODE cu CARACTERISTICA LlNIARAPE PORTIUNI

In numeroase apl ica tii practice caracteris tic ile sta tics ale elernentelor

~0 c : : l I CI

~~ l v '£ 1 "



' nel in iare se pot oonsidera liniare pe por~iuni. Studiu l cant itat iv a!lc ircui te lorou elemente neliniare se simplif ica 'in acest mod, deoarece se pot utiliza teo-reme ~i metode de studiu specilice oircuitelor liniare, ,

Pentru fixarea ideilor , vom considera cazul unei d iod:e semiconductoaracu [onctiuni, dar notiunile noi pe care le introducem ~i metoda de lucru seaplica unei clase largi de elemente neliniare.

1

1. DI d Id al

o dioda cu jonctiuni prezinta pent ru un sen 's a"tcurentnhii 0 rezistlm\a

statica foarte diferita de ceape care 0 prezinta pentru curent 'in sens opus.

Curentul invers al diodelor ou germanin este din aoeasta causa de ordiinul

microamperilor, iar curentul direct - de ordinul .miliamperilor .. 'In plus,

tensiunea ta borneIe unei diode in eonductie d irecta este de numai 0 ,1 V ...0 ,7 V,

lata de tensiunile inverse, care pot atinge sute de vnlt i. Daca dioda esteutilizata tntr-un circuit in care curentii stnt mari 'in comparajie 'cu curentul

invers, iar tensiunile s'int mari in comparatie cu tensiunea. de polarizare directa,

dioda poate fi modelataprin ecuatiile:

{

~A =.0., pentru iA >.0; (5.10)

tA = 0, pentru UA <O.

J n ac est m oael sim plific at se n eg lije aza c iule re a d e te nsiun e in e on duc iied ir ec ta s i c ur en tul in c on duc tie in (;1 er sa.Modelnl diodei definit de relatiile de

mai su~ corespunde diodei. ide ale §i reprezinta un exemplu de Jjniari~al'e pe

portiuni a caracteristicii statice.

Simbolul graf'ic ~i caracteristica statica a unei diode ideale sint pre-

zentate in figura 5.21. J onctiunea p-n se poate represents prin contactele

unui int rerupii tor cafe trebuie considera t Inchis c lnd dioda conduce §i deschis

clnd dioda este blocata. Altfel spus, rezietenta diodei idealo este nula clnd

dioda conduce ~i inlinita oind dioda este hlocata,

0-- {---o

Fig. 5.21

112

u,~'

0 0

aIf

q c:=::J J0

u ' l ~U2E l t r.E~

o 1- 0 T 0

bFig. 5.22 Fig, 5.23·

liZ U 2 .

U2

E/

0

E

E u , b c

I ' •1 ,

27

t • aFig. 5,2 . . Ffg. 5 .25

Aplica~lo.1. Sd se de termin e dependen ta tens iuni i d e i es ire, U2 de t en si unea de in trare

U1 pentru. d iportu l d in , [ igur« 5.22, daca dioda semiconductoare este ideal ii .

Starea diodei ' este detorminata de tenshinea de lntrare Ui' Dacii Ul > E dioda

e~te polarlzata in sens direct si se comporta ca lin tntrerupator tnchis (fig. 5.23, a ) . . Ten-

siunea U2 rezul ta ega la ou tensiunea E la bornele. sussei. Dacii U1 < E, dioda este bloca ta

~i s e comporta ~a un l'ltrerupator des chis (fig . . 5 ,2.3, b ). 'I'ensiunea U2 este egala ell U1.

Dependenta cil.ntatil. este prezentata In Iigura 5.24.

o Nota, Cirr,llitul din I igau-a 5.22 este lin lirrritator de tensiune C 11 dioda.

A pU ca tl a 2 ', Ten siunea de in trnre U1 din circ uitul din [igura "5,22 variaza In limp

ca In [igura 5.25, Sa se deseneze forma de undd a lensiunii uz. .Tensiunea U nu poa te depa !;\ i v aloarea E (fig. 5.25, b). Pentru valori mai .mici,

tensiunea U2 creste l iniar in t,imp ea ~i tensiunea U1 (fig. 5,25" c).

) 1'1 d I II dlod I < " : L ·ur Id 15de tenslun

Deoarece curentul de satnrat ie Is este mult mai mio dec'it curentu I

in oonductie di reota, eouatia caracteris tic ii s tat ice iA = Is [ex,p (:;) - 1]

1138 - Electrotehnlca, 01. xr_:_XlI

iA,mA

61 Jt

10 0 TO O

tA ' m A

-

r--=-80 80

3. Modelul dlodel pentru sernnal mlc

"Mo de lu l p e o ar e- ~ p r~ .z en U~ In o on ,ti nU I'l! 8 p re zi~ tl.o ~ are i mp or ta n" il

p e nt .r u' n umer oe .s e a ph oe .t ll t .~ h ~ 10 e .V~m anD .b~ a un ClrOUlt a im p lu (f ig . ? 2~ ),c ar e o on ti ne 08. element. neliniar 0 dlOdA semieonductoars ou oarapterlstlO8.



rI

. . ,

I

, , ,

E ,

8 0 80

20 20

a0.2 o , ' t 0,8 0,8 1,0 lI,q,v0,2 O /f 0,8 0,8 1,0 till' V

,Fig. 5.26 Fig. 5.27

(unde UT =kT = T ') se poate aprnxima prin iA =t, exp ( U A ) . La .. e 11 600UT 'temperatura ambianta, oaracterlstica statica a diodelor semioonduotoareau germaniu ~i silioiu se prezinta ca In Iigura 5.26. Observam c a tensiunea.anodioa de polarizare trebuie sa ajunga Ia citeva zeoimi de volti pentru OR

curentu l anodic s a ajunga la valori notabile, Existtl. deci 0 tensiune deprag peste _care ourentul anodic cre~te rapid ou tensiunea anodica, Cres-terea ourentului anodic raportata la cresterea tensiunii este:

di.~ =I" exp (U A ) = !_ ' i l l ' 'd l !J( UT uT uT

D .. I l> 1 . • t di . W di d . d u 4 UT ' .e aior rezu ttl restst nta marnrca a 10 ei, ra =----;----;-,0 marimed~A tA

pozit~va. dependenta / e curentul anodic. Pentru un ,punot 'statio defunctionare (PSF) in care ourentul este de 50 rnA, reetstenta dinamica

este rd =25 m V - 0 5 n.50 rn A I '

Caracteriatica statioa a diodei ou -g ermaniu pre-sentata in figura. . 5.26 poate fi l in iarizata pe portiunica in Iigura. 5.27, respectiv: 4,

Pentru tensiuni anodice inferioare tensiunii de prag,dioda se presinta ca un intrerupator deschis ; L a ten-siun i anod ice peste valo area de prag , diode s e m o d e ie a zi iprintr-o d ioda idealii fn serie cu 0 sursii de tensiune de0,4 V ~i Cij. .0 re zisten ti i e galii c u rezistensa d i~amic i i

determinate anterior (fig. -5.28)..

Ii,I = pentru U A <0,4 V;

1 ', iA =-,(UA - 0,4) pentru UA > 0,4 V.

' d(5.11)

Fig. 5.28

114

statiol prezentatl in figura. 5.30.

fA

) v A - e Q

ta

) *

d

aFig. [),29

.' In. regim static, adica- lu absenta sursei de semnal cu tensrunea alter-

nativt1 l!inusoidaHl e =i4,1 V ' : 1 sin 2 1 C t(mV), dioda funetioneazll in PSFa . T

deterrrlin8.t d.e surea .•de tensiune oontinua cu t.~. EA ' =',7 V ~ide rezis-

tenta de saroi'rdl R ; ' _ =1;1, n. 'Eoua~iile care detennina c po rd on ate le P SF sint:

{~ A "R iA+U .4 '

tA =f (UA)

_ La intereeot~e. dreptei de sarcina ou graficul oe.i' ,aoteristicij statice 'objlnem

UA =,43 V ~1. 1A =24 rnA . . . '

Rezistenta static- it in P SF a din-dei ests :

I

I

80

s, =UA =0,43 V ::::18 n.I IA '. 24 'mA

. • In reglm dlnamie, Ia semnalemle! (amplitudinea semnalului alterna-

Tensiunea anod ica poate fi aorisa

sub forma:

(5.13)

~UA fiind componenta depencienta detimp a tensiunii sau variatia ei. Pentru Fig. 5,30

115

I·

a.m~lit~djni .mici ale semnalului, variatia AU este 0 Iuncti d .tlV~ sinusoidala : . ,t. unctie e t imp al terna-

A v~ 2 . 7 ttsu.. = Va 2 sin - t.

T

Cornponenta .alternetiva a curentului anodic este deci:

1 V-· 2 7 t4,1. 2 SIn - t

,e(L T 1 1 1 V - 2 ' 27tt A



C ur en tu l a no di c la 0 valoare oarecare t . ., ,sub forma: a ensiunn anodice se poate soris

( '5.14)i

I 1unde termenul al doilea 8."1sumei este var iat ia curentului anodicvaloarea din punctul static, varia~ie data de: fa~a de

Ii

/ 1 i . ~ - : - - - - -UA •

rd

Introducind aceste marimi lnecuatia Ell. + ea =Rij l. + UA

EA. + ea = RI.<\. + R~(.t + u , . t + A ~ . :

Deoarece ~UA = rd~iA si E . RI + U d W d .bti I ' • ,'f ., A . A A, upa re ucerea termeniloro ylnem 0 re atte mire variaiiile tensiunii !ji cureniulai ; I

se obtine:

II

« : =R~ iA + ~d~iA

sau, not ind / 1 i _ A = t; ~i ~uJt = un

(5 .15)

c~re ,It'ePI·~zi.n~a,teorema a doua ~ lui Kirchhof] pentru circuitul echivalent

ciroui u ui mitial, Ia semnale micr (flg. 5.29, b) .

o In con~ln~ie, circuital echivalent Lasemnale mici se obiine astfel'- se suprtma sursa de alimentare in c.c.; .

- d io da s e in lo cu ie ste p rin r ez is te ns « d inamie i i caleul t w • I '. . a a m puncta stat ic ,

Rezistenta dinamica in punctul

static se determinii grafic cu relatia

de defin it is , respect iv :

~.[~~--7~ ~ , .J o t

I _ (0,48 - 0,43) V

(0,28 - 0,24) mA -:rz f= 2 J T

wt

5= = - k n =1,25 k n.

4ig. 3.31

116

ta=RA+1'd= 11,1+1250 =, SInrfL"

adica un ourent cu valoare efectiva la =11,1 fLA in faza cu semnalul aplicat,

o Remarca importantal Notatiile utilizate sint notatii siandardizaief}i ca atare stnt obligatorii,' Le reamintim deoi pentru fixate, urmarind

§i grafioul din figura 5.31: .lA, UA stnt marimi constante in timp care determine PSF;La' U

aslnt variatiile curentului ~i tensiunii la hornele elementuluineliniar fa~a de valorile din PSF;

la' Ua sint valorile efecti'ITe ale acestor variaj.ii-- -

i(L =I .V2 sin 2 ; t I ;

V- , 21t ,l

u a =Ua 2 SIn - t ;T I

_ _ __J

tA, ~A sint valorile "totale", respeotiv surna intre marimi1e de c.c. dinP SF ~ivariatiile lor 1nregim dinamio

.iA-- fA + ~~ UEA este t.e.m. a sursei de c.c .. p entru Iixarsa PSF;ea este t. e.m. a sursei de semnal, de valoaro efectiv[ E et , respectiv

V·_ . 2 7 t V- ,

e{! =En . 2 sin T t =Ea 2 srn w t.

D : UTILIZARI SPECIFICE ALE' ELEMENTELOR NELINIARE

I

ii

1. Redresarea tenslunllot alternative sinusoid Ie

Circuitele electronice, eu unele exoepti i doar, 'necesi ta cel putin 0 sursa

de alimentare de c.c, pentru fixares, punctelor statice de funotionare ale

dispozitivelor neliniare in anumite portiuni ale caracteristicilor statice.

o snrsa de alimentare de e.e. contine urrnatoarele parti oornponente,

denumite ~i blocuri:_ parte a de redresare a tensiuni i alternative de la reieaua de c.a. (bloc

r ed re so r ) ;_ fi ltrul de netezire, destina t amelioriir ii [ormei de unda a tensiunii redre-

sate;_ partea care realizeazii stabilizarea tensiunii redresate 1i fil trate {blocul

s to b il iz a to r } , Iumizlnd la bornele de iasire tensiunea cont inua indapendenta

de curentul de sarcina.

J f

II

117

. . . . .

-o IJ

r - - - ~ tt I Fi/frtJ I . t fSloM,!otorh

u

T

f - 1 Reo /war f ·

(t'

t,

,

pulsatorie, dar eomponenta de curenL. continuueste dubla fata de cazul redresorului mono al-

ternantl:

ft R =2 Ur n = .,63 6 Um .7t'



Fig, 5,32

I n f ig ura 5,32 slnt prezentate schematic pl1r~ile cornponente ' ale uneisurse a,tabilizate ~i formele de undii corespunaatoare ale tensiun ii. .

In cele ce urmead ne vom fixa o.ten~ia asupra circuitelor de redresare~i stabi lizare a te nsiu nii, in co mp on en ja cA.rora intrl1 elemente neliniare.

a, B lo c u/ r ed re s or

• Cea mal s implA instala~ie de redresare e ste c eo . reprezentatA. In figure.5 .3 3 , c om p usA din g sn era teru l d e 0.9.., diodli semiconductoare , i rezistent-ade sarcina.

i

e

Fig. 5.33

Fig. 5.3'"

Fig, 5,35

,

118

Functlonare. in p ri m a s em i pe ri 'o a. dd a .Ienaiunil electromotoare alternative s inu-soidale,e =Em sin C J ) t , dioda eate polarizatain sens direct, iar curentul in circuit eate:

,

'. e Em', ' I '.t -:- R =R srn C J ) t - In sin C J ) t .

t

Tensiunea la bornele rezistentei de

sarcina, Un = e - uA, este UR =e dacadioda semiconductoare este ideala (fig., 5.34).

in semiperioada urmatoare, t .e .m. estenegativa, iar dioda este blocata. Curentul inc'ir cnit ~i tens iunea la bornele resistenteide sarcina sint egale cu zero. In Figura5.34 se indica formele de unda ale t.e.m. ~itensiunii UR numai pe durata unei perioadeT, deoarece Ienornenul este periodic.

Valoarsa medie a tensiunii redresate(care este pulsatorie) .sau "componenta de0.0." este

• Circuitul de etabllizare a tensiunil labornele rezisten~ei de sarcina indioat in figura t

5.37, a cuprinde sursa ideala de tensiune ?on~tind cu t.e.m. EA =20.

y,ln ser~e eu 0. dioda

Zenerpolariza tA. in sens mve~8 ~l ou 0 rezls:tentA. R =0. ,4 k ~ .pent~u ~lxarea punotuluistatic pe oaraotenstioa diodei, ,

Caracteris tic.a sta tica a diodei Zener pre-z in tl i in oonduct ie inversli 0. portiune in care ..ttensiunea de polarizare este UA =-Uz =-1.2 VindependentA. de curent pentru un eurent mai Fig, 5,36

mio ca -2 mA.• Pent ru a urmarl lunctionarea elreultulul presu~unem, pent~u lnoeput,

tnt reruptoru l deschis, deci regim 8 tO ; t i c . Punotul statIc de functionare esteplasaf 18. intersectia dreptei de sarcina de ecuatie :

EA= -R iA - uA

cu oaracterietica statica a d iodei,

~ A = f ( uA) 'Dreapta de sarcina intersecteaea axa t~nsinnii 18. tensiunea UAo = -20. V.

l?eoarece interseet ia cu axa curentului iese din cadrul figurii (iAO =o~o=

="':'50. rnA), al doilea punct al dreptei de sarcina ~e dstermina dind ct;I ren- .tului 0. valoare convenabila. Daoa, de exemplu, tA =-10. rnA, obtinemu _A _ : -20. + 0.,4 X 10.=-16 V.

' A , m A

0

K * 0 - z ~.v

-10

b , B/o cu / stabllizator

F Ig , 5 ,3 7

Un =Uo='Em =0 .; 31 8 Em ."It

• Utilizarea , unui transformator oupr iza rnediana ~i a dona diode semiconduc-toare permite redresarea ambelor alternanteale tensiunii alternative (fig. 5.35). Celedoua tensiuni Ia bornele infa~urarii secun-dare sint in opozi~ie de faza (fig. 5.36),a~a incit eeJe doua diode conduc pe rlnd, pedurata cite unei serniperioade. Tensiunsa laborne le reeistentei de s.a.rcina rezulta tot

U 2

IJ",

11 9

Coordonatele punctului static deIunctionare PI rezul ta d in grafic:

U ; 1 . 1 =- Uz =-12V; fA! =-20mA.

Rezistenta de sarcina Rg, care se

K

Fig , 5 ,39 I



conecteaza in' circuit l a i nc hi de re a t nt re -rupiuorului, este un reo.stat utilizat ca.'rezistenta ajustabila in limitele 0...2 kn..Daca presupunem n,=1,2k 0., IB ; ~e~-siunea de -12 V curentu l de saroma,cu sensul de referinta din figura5.38 este:

I _ UA1__ -UT = -12V =-10mA.s- R, - R, 1,2kn.

Ca atare, curentul prin dioda Zener cr:~t~ d~ la ~Al =-20 rnA, la _IA2 =-10 rnA, astfel Incit curentul prm sursa ~l prm rezlstenta de sarcina .

R s. sa nu B e modilioe. .Inregiunea considerata a caracterieticii, p~ntru curent. mvers LA ~

~ -2 rnA dioda Zener se comporta ca 0 sursa ideala de bensiune cu. t.e.rn.U =12 V cu polaritatea indicata infigura 5.38. Generatorul eohivalentfata de tsrminalele diodei are tensiunea electromotoare

" .

.EA_ =EA R, =20 1,2 = 15 VR 8 + R 1,2 + 0,4

±

Fig, 5.3R

,

"

S ,l resistenta intema

R' = Rs'R =1,2 X' 0,4 = 0,3 k O.

R, + R . 1,2 + 0,4

NOUI). dreapta de sarcina are deei ecuatia :

E· R"=-UA - LA

care in tersecteaza caracteris tica sta tica a diodei , iA =(UA} in punctul s ta tic

de Iunctionare e, de coordon~te:

UA2 =- U; =12 V; fAZ =-10 rnA (fig. 5.37, b) .

Daca rezistenta de sarcina se modilica .tn limitele 1,2. k n...2 k fl,

curentul de sarcin~ se modifica in Iinritele : -10 rnA ... -6 mA, iar curentulprin dioda - in limitele -10 m~.". -14 mA,fara ca tensiunea la bornele

I 'ezis tentei de sarcina sa se modifies.

2. Generarea osetlatulor arrnonlce

. .

Prin g~nerator de oscilatii armonice sau oscilator armonic intelegemuti cir cuit e lec tro nic c ap ab il sa tran s fo rm e energia d ez fJ ol t,a ta d e s ur se le 'd e e .c .

? /I rrlrr/iie de c .a. de tnalta frecpen1a.

Pentru a. fixa mai bine ideile, vorn face 0,paralela tntre un amplificatorsi UIl oscilator, referindu-ne Ia reprezent .ari le simpli fica te din figura 5 ,39 ,"n care pr in sageti s-a indicat sonsul tr-ansferului de energie.

uo

• Un ampl ificator (fig . 5.39, a) este un circuit en doua pereohi .de bornede aeces la exterior: bornele de intrare ~i bornele de ie~ire. La bornele deintrare se conecteaza 0 sursa de tensiune (eurent) cu tensiunea electrorno-toare alternativh sinusoidala, de 0 freoventa data, eu amplitudinea foartemica (de ordinul milivolt ilo r) . La bornele de ie~ire se conecteaza un receptor 'de ene!,gie , sa zicem undifuz?r elect romagnetic . Tensiunea Ia bornele recep-

torului este to t alternativa sInusoidala, ell aoeeasifrecventa, dar cu ampli-tudinea mult mai mare decit cea a tensiunii de intrare. Se SPUne ca ampli-ficatorul realizeasa 0 ampli ficare in tensiune. De. Iapt , ampl if icatornl reali-zeaza nu numai 0 ampli fioare in tensiune (sau curent) , oi ~iuna in putere,In sensu] ca puterea transmisa receptorului in c.a. este mult mai mare decltputerea primita de amplificator de la Bursa de semnal conectata la intrare.Aceasta amplifieare in pu.tere se realizeaza pe seama energiei' furnizata de'sursele de c.c., care au ~i rohil de fixare a punetelor statics de functionareale componente lor e lectronice in regiuni le liniare ale caracteri sticilor sta tice.

• Sp~e deosehirs de anrpl if ioator, oscilatorul (fig. 5.39, . b ) nu primestede la exterior energle de c.a . Energ ia Iurnizata la borne le de iesire este energiede o.a., in general de frecventa mare in raport eu frecventa retelei (50 Hz).Energia ac~~sta este ,pr imita de. oscilator ,de la sursele de 'e.c. care, ca ~i incazul ampl~f.lCat.o~ulUl,servesc ~.l pent r~ Iixarea punctelor sta tice de Iunctio-nar.e .ale d ispozitivelor eleot ronice ce ~n~r~ in com.ponent-a oscilatorului , in

reglllnl hine determinate ale caracteristioilor tenaiune-curent,,. Prinelpinl reacliei poaitlve, Prinoipiile de functionaee ale oscilatoarelor

,c.aststems eIectroniceautonome de generare a'oscilaj.i ilorarmnnica sint. foarte~ ,umero,a~e. ~ .~ vnm limit~ Jwaa p~ezenta unul d in tre ele mai usor de inte les~l ~eseorl ut il izat In practioa . Oscilatorul care Iunct ioneaza dupa acest prin-c ip iu , denumit a lreactiei posit ive , este reprezentat s impl if icat in figura 5 .40 .

. , Amplificatorul de tensiune are semnalul de intrare UI ~i semnalul dele~llte Uz defazat cu 7t rad iani in urrna (ampl ificator inversor}. Ampli ficareain tensiune a amplifioatorului, -Au, delinita ca raport al ima-gin ilor ~n complex ale celor douatensiuni este: , U ' t _ T

~

u z t f + \

tfttu .

__ 2 =-Au;

U1

adica un numar real ~i negativ.

. . Tensiunea la, ie~ire este con-ditionata de prezenta unei tensi-uni la intrare.

U,J L T

rdt.Fig. 5.40

121

P resupunem acum cd se adaugd uncircuit d e r ea cfie (un circuit pasiv] CR infigurfl 5.40. ClI'cuitul de I'eflotie produceasuprn semnalului de intrare 0 anumitila tenuare ~i tl defazeaza. In urm a cu .,; 'I: ! : ldi-



a.ctie rezuItI semnalul Us in fa_zaeu cel, de Iain trarea ampl ificatorului (riguros vorbind,osellatiile Us ~i Ut slnt in fad, deoareoe de-fazajul total, este de 2rc rad). '

Semnalul Us la iesirea clrouitului de' rea6\ ie poate fi fa.cut identic cu ssmnalul

Ill. intrarea .a mp li fio at oru lu i, c az in oar,e .semnalul . Ul.•. po~te Ii 8upr~-

mat

, iconeota Impreuna, ~ornele .de, iesrre ale, circuitului de, react1e

oucele de int rare ale ampli ticatorului (flg. 5.41). Sistemul va. continua sa.genereze un semnal de ie~ire, alternativ sinusoidal, ,Ampl,ifioa~orul continuas a aiba un semnal de intrare, dar acest. semnal provrne ohiar din semnalul deIll.ie¢re, tranBmis p ri n c ir cu it al de re ac jie . A ca ast a e ste rsactia pozitiva. -,

Condit ia de oscilajie. Amplifioarea total a a cirouitului din figura 5.40,

definiUl oft raport int re U3 ~i -U1 (Au = ~ 3 ).este egala cuunitatea, deoa-_1 . '

rece ~ipe calea de reactie se realizeaza 0 modificare a f~zei cu - r; .radiani:Ampli ficarea aceasta este ampl ificarea caii formate din a"!ph~loat~r ~l

oircuitul de reactie. Daca notam cu ~ [ un ci ia d e t ra ns fe r a cireuitului dereactie deiinita prin: -

fJ

Fig, 5,41

~=U3•

- Uz

se observa cit amplificarea ca~ieste produsul Au J·~ieste egal! cu uni ta tea

~ A _ u =1/Q.

.Deoarece circuitul de reaetie, realizat ou' components pasive (R, C),produce' asupra semnalului 0 atenuare ~, o s ei la to r ul a rm o n ie f un c li on e a~ a

, 1n um ai d ac a am plifie are a am plific ato rului e ste e el p uJ in e gala c u -.

~o o.bservaiie. Practic, pentru a face oscilatorul Sa produca osciIa~ii nu

este neoesar Sa dntervenirn asupra lui ou un semnal de "startU, a~a cums-a aratat in figura. 5.40. Oscilatiile ss amorseasa de lnda.U ce se conecteazasursele de c.c.

Relatia J .u~=1, care este condijia de amorsare a oscilatiilce tnoscila-

tor; nu este in general satiafl1outB.declt pentru 0 anumita frecvenll1 fo , impusade valori le e lementelor schemei.

o In concluzie, orice oscilator trebuie sa con~inl1:'- un circui t elect ronic capahil s li rea lizeze 0 ampl ifieare In tensiune, in

cazul de fata un amplifieator i nv er so r ;- un circuit realizat cu componente pasive, eu oomportare selectivli

in freoven\a, care determina freeventa de oscilatie ;- un element neliniar pasiv pentru limitarea. amplitudinii osoilatiilor i

- suri!le d e alimentare de 00. '

1 2 2

a

b

Fig, 5,42

o seheniii,. practlca d e o s ci la to r se presinta ea in figura 5.42, a, undecircuitul. de reactie este realizat sub forma unui circuit in soar~, CR.

. D~~a. ampli ficarea ampl ii icatoru lu i este negativa, circuitul genereasaoscilatii cu irecventa egala cu freoventa Ia Care detazajul introdus de cir-cuitul, 0R ~ste dfl 7t radiani, C~lulele CRaIe oirouitului de deiazare ~ot Ifalese identice (R1 = = R",=R3 , 1 C1 =C2 =C3) sau cu valori care aSlgurapentru .fiecare oelula 0 incar-care negli jabila de ca: tre oeas care Ii urmeaza'(Ra =10R2 =100R1 ~i C3=0,1Cz =0,01C1). In acest caz analiza este sim-

pl if icata deoa.reoe se poate considera fiecare celula (fig, 5 .43, a) oil functio-nind in gal , i realizind un defazaj egal cu' ., ;/3 rad, a~a cum rezulta din dia-grama fazoria;tlii din 'figura 5.43, b.

F unetia de tran sf~ r ~ une i ce lule este

Us R- =----;--

Qt R ,1

+ jwC

F ig , 5 ,4 .3

12 3

C aR3 = ,C2R2= G1R ,1=GR obtinem eu notatiile din Iigura~i deoareee

5,42, a:

"

.'

conductoarelor de tip n ~p: tranzistorul npn.prezinta doua regiuni de tip n, separateprintr-o regiune de, tip p, in timp ce intranzistorul pnp regiunea de tip n este inca-drata de doua regiuni de tip p.

Deoarece purtatorii de sarcina rnajoritari

n

J(Jne/IUll!



f . 1 • t _ l l c _ ~ , ' U, peniru ° s ingura c e l u l aDe azaJu in re yO. ."

tp =2 :. - arc tg (woC R)__ 2 I

7t ' ,

trebuie s a . ' fie egal eu ' " 3 ' Obtinem de aici:

'w o I ii nd fl'eCYenva unghiu1ara a, osoilatiilor.

, . V3Deci w GR =_- = 0,577.

, ,0 3

Frecoenta oeciloiiilor este:

0,577 1 .[« =2 - r c R C = 10,88 RG •

Atenuarea unea aingure ceIn le ~ste :

I u~ woGR__ = 0,572-- '" _ _ ! _

l Ui

= V 1 + ( t J lOCR)2 V 1 + O,577~ 2,

~i deci atenuarea circuitului de reactie este

~= If I=\~ = ~.

v 'f" I' t de ampli lieator esteDeci osci latorul func\ioneaza daca ampl i icarea rea Iza tJ.. _

de eel putin A u = A ,u I _ - 8.

3. Tranzlstcrul c a ampl lf ic at or

Studiul fenomenelor airitr-o Jonc\iune pn e~te ext r em de uti! pentru

intelegerea. Iunctionarii tr,anzist~r~ui.. , 1 rizata in sens ,dir~ct, Tranzistorul consta din doua [onejumi pn, una ,p.o.a v • d t. _

' '1 ' '544 it Vtate cele doua bipuri e ranicealalta in sens invers. n Iigura b. s n ara . , . . _v '

~. ' :" Ele stnt. astfel denumite dupa pozlt1a relatlya a semtzistoare, npn ~l pnp. '. ,

124

§i minoritari sint diferiyi in cele doua t.ipuri

de materiale semiconductoare, mecanismul

internal conductiei curentului in cele d O L l a .

tipur i de tranzistoare este d if'erit,

t t

Fig, 5,44

, a, F u tv c ti on o re a t ra n zi st oa re lo r n p n

Dupa cum am mai spus, branzistorul are cele dou:1 jonctiuni polar izatediferit.

• Jonctiunea polar izata ,in sens direct (fig. 5.45), De la lnceput sint

neoasere unele precizari reJeritoare la cencentratia r e lativa a atornilor de

impuI' ita~i in materia lele jonctiuni i, Semiconductoru l de t ip n al jonctiunii

polarizate ill sens direct este impurificat (dopat) rnai puternic dealt semi-

conductoru l de t ip p. Pentru acest motiv, ourentul prin jonciiune este datorat

in principal traversi irii ei de ci itre puruuorii majoritari ai regiunii de tip n

(electroni) ~i nu de cli.tre ai celei de tip p (goluri). -

o Nota. Disproportia intre numarul de purtatori de fieeare tip ce tra-

verseaza [onctiunea nu este Importanta in Iunotionarea diodei, dar are mare

importanja in funotionatea tranzistorului ... Junetlunea polarizata in sens Invers (fig.- 5.46) a mai fost exarninata

eu ooazia studiu1ui conductiei curentului in dioda semioonductoare, Am vazut

atuncica [onctiunea polar'izata in sens invers este traversata de un curent

destul de mio (curentul invers), datorat deplasarii pur tatorilor minoritari.

Pentru jonctiunea pn ace~tia sin t e leetronii d in regiunea. p ~i golurile dinregiunea n:

n

+

IJ

Fig, 5. 45 Fig '. 5 .46

125

4,

• Pola~~z~l-ea sim'ultani.. a eelordona. [onejiunl este aratat8. in Iigu-

ra 5.47. A~a cum am aratat, [oncjiu-

nea polarizata in sens direct este

traversata de. electronii injecta~i din

+n

p

n, P l / r lI l tur i PUI' /ulol ' i .



regiunea de tip 11 - catre oea de tip p.

Regiunea de tip p in carepatrund

acesti electroni este totodata r.egiune

de tip p pentru jonctiunea polaeizatd

in sens invers. In regiunea p sint

disponibili pentru oenductie cea mai

mare parte dintre electronii veniti din

Fig. 5.ft7 regiunea n (exceptie fac doar oei care

se reoombina cu golurile din aceasta regiune) ~i purtatorii minoritari iii

[onctiunii polarizate in ssns mvers.

Jone/iv l iepolar/zulli

~~+--+--+-l.Jitllers+ Jonct iun~

p'olurizaltiInver.r

Datorita grosimii toarte miei a regiuni i de t ip P. nurnarul de 'eleetroni care serecom-

bina cu golurile din aceast a regiune este netnsernnat .

Eleetronii au tendinta S a se deplaseze in sensul in care potenjialul eleotric

creste (energia_ lor poten\ iaHldeBcre, te), sens impus de polari tatea $ursei de

eurent oontinuu care polarizeasa cea de-a doua jonctiune,

Prin modificarea tensiunii de polarizare ~e modifica debitul -de eleetroni

ce t raverseazs. [onctiunea polarizatA in sens direct deei numarul de eleotroni

disponibili pentru conditia eurentului prin [onotiunea polarizatll in sens I

invers,Mscanismul intern al canductiei ourentului tn trartzistorul npn va . ie,i

,i mai pregnant in. evidenyll. ctnd transistorul va fi conaiderat e lement de

circuit.

b. Fun c~ /o nar eQ t ra nz is to ar el or p n p

Functionarea transistorului pnp este similara 'ou cea a tranziatorului

npn, cu deosebirea ca purtatorii majoritari stnt aoum golurile dirt regiunel:l; \

de tip. p a [onetiunii polar izate in sene direct (f ig. 5.48) . .

• J'onc1iunea polarizata in sans direct. Semieonduatosul de tfp p al

aoestei [onctiunl este dopat mai puternie decit oel de tip' n ,ideei ourentulde goluri este predominant in raport cu eel de eleotroni.

• In jonctiunea polarizata in sans invers (fig. 5.49) eurentul este dato-

r~t deplasarii purtatorilor minoritari, respeetiv a golur ilor ce treo din regiu-

nea n ,i a eleotronilor oe tree din regiunea p.

.• '.Actiunea simultana a eelor doua joncjiuni are irt principiu aceleasloonsecinte ca ,iin cazul tranzistorului npn (fig. 5.50). In casul tranzistoru-lui pnp,' prin [onctiunea pola.rizata. in sens direct se injeeteaza goluri din

regiunea p in regiunea n.

1 2 6

. m .q jiJ l'ilUl'i m inor/turl

n

+.P

P

Fig: 5.~8 Fig. 5,ft9

emil"f'

Baza

n Coledof'

p

p

+ Jon~f/l . lne.

np,o/ I l r/zaf l lIflllaN

J o n c / l . ' u H epolol'/zulufI/rlcl

+ p

n

(J Do/sel l l l '

n Baz t5

ptmlJgl'

Fig. 5.51ig. 5.50

Odat~ aj.un~e 1n. reg iunea ~, golurile sint d isponib ile pent ru conduc~i~

o~ren~ulu~ p,rm Jon?~lUn,ea ~olarlZaU in sens invers, Impreuna eu purtltorii

_mlnor~tarl a i aceste t regl~Dl . Numarul relativ al golurilor care se recombina

in re~lUnea n .eu e]ec~rO?1l(p~rtatori majoritari ai acestei regiuni) este deatul

de IDle ~ ato r] tI1 g ro srm n m io i a acsste lrsgiunl in l';8pOI·t ' cu ' cs a a . regiunilor

cars (;)fncadrsasa,

c. S im b o lu r l . T e r m / ' n o l ' F.. o gle . un q/o nare a· tr an zis to ru/ulconec tat - tn t r-un . c i rcui t

';SiID.bolu~ile~r_anzist9areJor de tip npn ~ipnp slnt prezentate in Figura 5.51.

Csle trel regium se nurnesc emitor, baul ~i coleeto r, .

, J onetiunea polariz~ta In sens direct este j on ci lu ne a e m it or -b uz ii . J on c-

f lUnea bazii-eolecior este polarisata in sens invers,

1 2 7

, 1 • • 1

I Begiunea emitor este denumita

©astfel datorita Iunotiunii pe care o·Indeplineste : ea emite rpurtatori, rna-joritari prin jonctiunea polarizata insens direct. Ace~ti purtatori slnt inmarea lor majoritate colectati de re-

cnde ~ este cljtig ul in CUl'ent sau [actorul de ampl i -[icare al eurentului de baza. Posibilitatea de a "con-trola'' curentul de colector prin curentul de bazaeste Iundamentala pentru Iunctionarea tcansistoru-

lui ca. amplificator.



tgiunea transistorului numita colector,

. Regiunea dintre ..emitor l;1i colectorI poarta numele de baza in sensul de

npn suport (baza) pentru cele 'doua. mate-Fig. 5.52 riale de acelasi tip care 0 Incadreaza.

• Sensul de deplasare a electronl -lor pri~ eonductoarele exterioare racordate la emitorul, haza h i coleotorul unuitransistor sint indicate in figura 5.52.

Pentn; traneistorul npn, unde purtatorii majoritari stnt eleotronii, depla-

sarea lor prin conductoare1e exterioare este 0 continuare a deplasarii interne.

!n tranzis to~ul pnp, conductia int.erna este conductie de goluri. qon_~

ductiacurentului in oonductoarele exterioare este tnsa 0 conductie electronics,

Dinacest mntiv, sensul deplassrii electronilor in aceste conductoare este opus

sensulu i deplasarii in in terior a golurilor .

• Sensul curentului opus sensului deplasarii electronilor (v, "Electro-

tehnica" cl. a X-a) se indica jn figura 5,53.' Sensul curentului prin conduc-

toa re coincide asadar ou sensul de deplasare in interior a goluriIor.

• In figura 5.54 se prezin ta modul deeoneetare a surselor dee .e , neeesare

polarizarii [onetiunllor ~i sensul eurentllor prin aceste surse. Curen~ii prin

conductoarele exterioare satisfac relatia:I IE =n + 10 I,

~·1pop

care este 0 consecinta a legi i conservsrii sarcini i in regim sta tioner. Cnrentul

de emitor se "divide" in curentul de' colector 6,i c urentul de baza.

La rlndul sau,. curentul de colector. este dependent de curentul de baza.

Cu cit debitnl purtatorilor majoritari injectati in haza este mai mare (IE este

mai mare) cu attt curentul de baza este mai mare ~i in consecinta este mai

mare ~i curentul de oolector. Intre cei doi curenti exista relatia:

,Ie = r B I

f1 fl; E 'Q , r ~ " R B © ~ "E , ,t=---,I~ - +

.J..Ea Ea

CUre. , ,1 e(JlcC/ol '

/Jurentb o z O .

CUI 'M I em ! lo l '

np n np n pnpnp

Fig. 5.53 Fig. 5,54

1 2 8

d. T i p w r i d e G o n e x i u n i

Cind transistorul este Ioloslf ea amplificator,ssmnalul de intrare se aplica Intre doua dintreoele trei terminale. Semnalul de ie~ire va rezulta Fig. 5.55

,i el intre doua dintre eele trei terminale, a6,a tnctt

unul dint re terminale este comun.Cirouitele prezenta.te in figura 5..54sint· c ircuite cu em ito r com un . Se pot .

u ti lize. func~ie de scopul urmarit 6, i al te oonfigurati i: cu baza com una san

cu eo lec to r com un . Conllguratia fundamentala pentru Iunotiunea de am- ,

plilioatoe este insll eea eu emitorul co~un.

lnainte de a prezenta structura ci reui tu lu i dearnpliticare ~i Iunotiunile

elementelor sale, este ' necesara 0 prezentere sumara a rela~iilor tenslune-

curent peni- ion tranzistorul cu jenctiuni, in eonexiunea eu emitor comun.·

'. Regim static. Eiind un element de circuit cu trai borne de acces, sterea'

statica a tranzistorului este determinata de curentii prin borne iE' in, ic 6,i

de tensiuniIe intra borne UCE, UBE ~i UCB, asa cum se indica in figura 5.55.

Cei trei curenti satisiac prima teorema a lui Kirchhoff, a~a .hicit numai

doi dintre ei slnt independenti. 'Tensiunile intra borne verifica teorema a doua a lui Kirchhoff:

1 2 D

UCB + UBE - UCE =

~i deoi numai doua dintre ele sint independente.

Marimile care se aleg pentru caracterizarea starii de conductie a tranzis-

torului in oonfiguratia emi tor comun sln t curent ii in ~i ic ~i tensiunile uee

§i UCE ' Dintre aceste marimi, doua pot fi considerate variabi le independente,

lar celelalte doua - variabile dependent.

Daca variab ile le independente s1nt iB ~i UCE, putem scrie relatiile :

I

t; =(iB ! UOE)

UnE =(in, 'uOJ ;; }I

/

care d'Rfinesc f am i li il e d e e ar ac te ri st ic i stat ic e de iesire ~ respectiv d e i nt ra re

ale traasistorului.

Familia caracterie ticilen de ie~i re se determina experimental ut iliztnd

circuitul din figura 5.56 in care slnt introduse instrumente de masuril pentru

curentul de baza, curentul de .colector, tensiunea de eolector ~i tensiunea de

baza. Pentru 0 valoare data a curentului in se deterrnina curentu l de colector

!) - E:lectrotehnlca" oi. Xl-XII -

tranzistorul se ana Intr-o : stare statica :dete~minata de t.e.m. EB §i Ee §i de

rezi'stente1e RB ~i RQ. -, -

• Punetul static de functionare se

fixeaza. in regiunea liniara a Iamiliei de



Fig. 5.6.6

idmA) U8EM80jiA

8BOpA

s-I fO.JIA

If-rOJiA

0,1

2-iB-lJ le(pA)

0~ 8 1 2 uCE(V)

020 f;.O 80 80 700

Fig. 5.5i Fig. 5.58

la valori crescatoare ale tensiunii UCE' In figura. 5.57 se prezinta familia carac-,.

t.eriat.icilot' de ie§ire pentru, valori a le cifrentului de baza ce cresc in progresie

aritrnstica. .Procedind similar se deterrnina §i familia. de c ar ac te ris tic i d e inirare,

prezentate in fignra 5.58. -

• Regim dinamic. Datoritd Iaptului ca tranzistorul este un elementneliniar, relati ile dintre componentele variabile in timp ale tensiunilor §icursntilor val' Ii in general neliniare §i numai in anumite conditii aoesterelatii se pot liniariza, ceca ce tnseamna ca numai in anumite conditii sem-nalul de iesire va depinde Iiniar de semnalul de intrere. 0 asemenea com-portare prezin ta a mare impor·tan\ i' i p ract ica in realizarea aropl if icatoare lor

de semna!.

e, ( jr cu it u/ e ch iv o (e nt 01 tranzistoru/ui /0 semno le mici

Cea mai simpla schema. de ampJificator cu un tranzistor se prezinta inf igura 5.59, unde pent ru Iixarea punctu lui s ta tic de Iunctionare se ut ilizeaza

. doua surse de c.c., Ell §i Ec· .'

Sursa de semnal, cu t. e.m. alternativii sinusoidala, e. E V2 sin ost,

se introduce in circuitul de pclar izace a bazei. In abssnta acestei surse,

130

car~eteri stici s tat ice, a~a Gum se va ara .ta

in continuare. Fie IB, 1m ,U CE §i U BE

curentii ~i respectiv tensiunile in starea

statica considerata.

• Prezenta semnalului al ternativ

sinusoidal modif' ica valorile ourenti lor §i

tensiunilOl' in jurul valorilor din PSF,a§a cum se arata. in figura 5.60. In acest nou regim,

mie, curentii ~i tensiunile se_I1rezi tii sub fonna:

'l 'in =8 - I=ib~

.Uq - - ! - r . . :+_i;_~.

Fig. 5.59

denumit regim dina-

§i respectiv

luc~~ilice' [ _ H B E = a r : :1 - U b C -

unde se pun in eviden\a valorile din punctul static §i variatiile ib, ic' Ubc

si Ubc fata. de aceste valori, Variatiilerespective, in regimul dinamic Ia s em -"t ' I .

ic mA .' \.

'" ' , J

o

7

T2

T t

. Fig. 5.. o

13 1

n ale m ie i slnt Iunctii sinusoidale de timp, cu frecventa egalii cufreeyenta

semnalului, Ele mai pot fi scrise ~i astfel: '

ib = i B - ,- .IB = ~iD; ic ' ie~. Ie ' ilie etc. ,

Analiza grafica prezentata in figuna 5.60 arata cil ic ,i ib slnt mlrimi

Ecuatiu. Ub e =~ ib + !traUce: 'reprezinta teorema a doua a lui KirchhoffIn poarta. de intrare. Cea de-a doua ecuatie, ic =fa i

b+ h o e u ce reprezinta

prima teorema a lui Kirchhoff" in poarta de ie~ire.

Coe(icienlii hie, h r e ) h(6 ,i h o e , denuiniti parametri hibrizi, se definesoastfel:'I:



in fad" , i in faza cu t.e.m. e, ' in t imp ce varia tia , ! - c c a tensiunii' de coJector

este defazata eu 'It radiani in urrna acestei t.e.m,

Regimul dinamic al tranzistorului este deserts de ecuajii le:,';.

care rezr ilta scriind teoremele lui Kirchhoff in circuitul din Iigura 5.59.

Inlocuind in aceste. eouatii expresiile de mai sup, obtinem:

, ,I

jIE + i~ __:e + ic + I1 J + ib;e + Ell =RnIn ~ Rnib + UDE + Ube' j

Ee =Rele + ReLe + UCE + uce •

;',

I.

, .~ I •

Aeeste relatii pot capata 0 forma simpla , in care intervin nurnai variatHle

ce defineso regimul dinamic, deoarece intre marimile ce defineso regimul

static stnt adsvarate rslatiils: , , ;

".'

Dupa reducerea termeni jor asemenea, obt inem ecuaiiile pentru regimul

dinamic la semnale mici:

care se obtin scriind teoremele lui Kirchhoff

pe cireuit~1 din figura 5.61 in care nu rnaiapar sursele de c.c.

Parametri i h ibrizi . Daca amplitudinilesemnalelor slnt mini, legaturile intre varia-tii ,le tensiunilor ~i ourentilor stnt: l iniare, EJepot fi scrise sub forma: .

{

~,be =': ib + ~I~ ! l ee

ic =r e ~b + ho_u~~ig, 5,61 _--, ,

132

-------'. ~.

hre =c I' = Aic 1 '=~ie 'I

ib !Lee =0 l1iB, ~UCE = Ai B UCE = on81,

'_ 'h~e= ~I' = ilie I = ~ie II Uce li~= 0 t : : , UeE .liB = 0 ~UCE IB r: ronst-.

- --~- _--- ~-

Semnificat ia acestor pa .rametri rezul ti i imediat d in schema eohivalentasub forma de· diport a tranzistorulu i, ind, ica. ta in Iigura 5.62:

- hie este impedanta de intrare (input) eu bornele de ie~ire c, e inscurtcircuit;

- h r e este factorul de transfer invers (r~perse) . in tensiune;

- hie este faetorul de t ransfer di rect ( fo rw a rd ) _in curent;

" , " .: . . . . h oe este ·adt:nitan~a. de ie§ire (output) cu intrarsa in gol.

Dupa cum se ~bBerva, In aceste notat ii primul indice este in it iala cuvtn-tului in limba eqglezA i,ndicat i ,ntre I?aranteze, iar 8.1doilea se referi1 la .moduldacunexiune al t ranzlstoru lUl (emltor, comun).

• Adoptlnd pentru t ranzistor acest model de diport, schema echivalentA,a aroplif icatorului indicaU. in figura 5 .62 se COinple~eaza:ca in figura 5.63.

• _H! I

•• I I "

,',

b'ig, 5,63

133

.-----_--0+Et:

Pentru tranzistorul cu germaniu putem considera UBE "-J 0,3 V. Obti-

nem astfel pentru l'e zis te n,(a d in c ir cu itul d e b az a va1oarea:

E' 12 VRn= _2 = =O,2MD. =2 00 k D..

In 60 fJ.A



Fig. s.ss Fig. 5,65

iar sistemul de curenti care definesc parametrii hibrizi se completeaza cu

ecuatiile :

{

Ube ~ e ~ ~n~ .·b;

UC~ ~ -Rc~c'

Din aeest sistem de ecuatii se obtine amplif icarea in tensiune a arnplificato-

rului, Au =uce•lUbe

f. Etojul de ompliflcore cu u n t ra nz is to r

Un etaj practic de, amplifioare In care pentru Iixarea punotului statio

de functionare se foloaeste0

singura BUrSade c.c, se indica. in figura 5.64.Regimul stat ic a1t ranzistorulu i se determinape eirnui tul fara sursa de semnal ,redat -separat in figura 5.65.

Tranzistorul u ti lizafi, de t ip rpn cu germa.niu, are familia de caracte-ristici de ie~ire indicate in Iigura 5.60.

• Caleulul elementelor sehemel, Sa presupunem cunoscut curentul debaza in punctul static de functionare, In =50 ,_,.A,valoare ce corespundspozitiei punctului static in regiunea liniara a familiai de caraoteristici. Cueenttide baza ~i -coleotor satisiac eouatiile

{Ee =RcIc + UCEi

Eo =RBIn + UnE ·

if } ImAIfOOjJA

L-_-:---, JOOjJA

_---200jiA'-_-""I'l'

L_~~~l fOOj1A

i6~O

o l . . . . , _ . , , = d ; ; ; : : : : : : ; ; ~ - - - = -10 20 un :

Fig . 5. 66

1 3 4

Daca ds,tigul in -curent a:l tranzistorului este ~ =60, obtinern pentru

curentul de colector vatoarea:

Ie =~IB =50 X 60 ri.A = 0 00 ,_ ,.A= rnA .

Cu aoeste valori rezulta pentru tensiunea colector-emitor valoarea UCE = V.Rezistenia di n colector este atunei:

(12 - 6) V

3 mAR_E- UCE

c-Ie

2 kD..

Condensatoar.eie Ci ~i C. au rolul de a impiedica treeerea eurentu1ui

continuu prin Bursa de semnal ~i respectiv prin rezistenta de sarcina. La

. freoventa de 'Juoru, aceste condensatoare trehuie sa prezinte tnsa i rnpedante

negl ijah ile , spre a nu influenja Iunctionarea amplilicatorului 1n curent alter-nativ, ~

• Calculul amplificar ii; Pentru a pune In evidenta Iunotiunea de ampli-

ficare a semnalelor alternative sinusoidale, s a urmarim analiza grafica din

Iigura 5.60. . .Semnalul alternativ detsrmina un curent de baza ou amplitudinea de

20 fLA.Variatia ourentului de baza are 10c in lungul dreptei de sarciua*

~i deterrnina conoomitent variati ] a le curentului de coleetor eu ampl itudinea

de aproximativ 0,6 mA s, i ale tensiunii de colector eu amplitudinea in jur

de 1,2 V. /

o !Este de remureat Iaptul c a tensiunea de colector are variatia opusa

variatiei eurentului de baza. IntI'S cele doua madmi sinusoidale exista un-

defazaj de 7t' radiani, f"

Amplificatorul realizeaza 0 a m pli fi ca l'e i n curent

AI = Ie =0,6 rnA =0.

t, 20 f.l.ADadt presupunem 0 reziatenta de intrare de 1 kO, amplitudinsa semna-

lului de ,tensiune la intrarea amplificatorului va fi de 1 kD . X 20 fLA=0 ill

s,i deci am p lific ar ea in te ns iu ne rezulta

.A = 1,2 V =60.u 20mV

* Reziste ri ta ,de £arcina Rs s e presupune fcarle mare r a t a de Re.

13 5

r hie 1

r<Q , : : ' "

": : " : .

c

If.,S

r



Fig, 5 ,67

Pentru a sublinia Iaptul o a ampl il icatoru l este inversor (de polarita te)

indicam amplificarea ca raport al imaginilor in complex ale tensiunilor Ucs

~i UbB' R'ezult~ atunci

. A t t = ! j a R = U " ! ! . eJ'" = -60.! l . h a Ube ,

Cal cu lu l amp li fi ca ri i amp ti fi ca lo l 'u iu i sefaca pe schema eohivalenta in

c.a . a ampl ificatorului (fig. 5 .67) in care se ignor1i sursa de polarisare ~i impe-dantele oondensatoarelor de cuplaj,

In calcu lu l pe care-l vom face, vom considera valori t ip ice pentru, parame-trii tranzistoare1or utilizate pentru amplificarea semnalelor de j.I. (tsbelul b.I),

Tabelul s. :Valorile tlplce ale paraml'.trllor blbl'izl,

Pal'al1'leh'l~

IValoare ! ip ic tt

hie 2 kO

hre 10-4

l ife i O ( )

1-- 50kOho e

.__

Valoarea rezistentei interne a generatorului poate fi cupr insa in limitefoarte largi, in Iunctie de tipul sursei de sernnal: pentru un generator desemnal din uzullaboratoarelor, resistenja r(J este de ordinul sutelor de ohmi:,daca sursa de semnal este un microfon cu cristal, atunci ,r o poate fi de ordin,vilmegaohmilor. , .

Circuitul din Iigura 5.67 poate fi simplificat Hi.c1ndurmatoarele eprcxi-matii :

- deoarece RB ~ 0,2 MO, adioa mult mai mare deott oricara a ,1UireZJis-te,nta , poate fi exclusa (curentul o. lterna; tiv prin Rn este neglijabil) j

13 6

Fig. 5.68

_ se poate exclude reslstenta _! de, reguHi mult mai mare deciti;

Rs =Rsl1R c;_ putem neglija. t.e.m. h r ~ u c e , deoarece de regula este mult mai mica

d'eoit Uba ( I h~ eUCB 1 - e 1 U bs \).

, Cirouitul practio pe care-I vom retine psntru calculele ce ,urmeazaeste

arata.t in figura 5.68.. , . . . 'Circuitul echivalent simplifioa.t al transistorului, valahil pentru semnale

mid este redat. separat, in Iigura 5,.69.Ampl ifioa~ea in tensiune a amp1ifio~toru lu i. se calcu~eaza uti liz lnd t~o-

rem a a doua a lui Kirchhof f in poar ta de intrare ~l legea lUI Ohm pentru rezrs-

tenta de sarolna prin care treoe ourentul hfBib! dependent de curentul de

baza al tranzistorului.

Avemdeoi eC1,l:at.iile 6 i

{e =rg +~ie ) ~b ;

U ce =- Rshratb'

din care rezul tl1 :

, eUce =- R 's h r e •

'0 + his

Fig, 5,69

Amplifioarea tn tensiune a ampli ficatorului este :

- R:~ hre + e h' h

A_ UCB _ r g I e _ _ _l! R'

1 . 4 - ~ - S,

Ube hie hieeg

• rg +hi6

unde tensiunea Ube 8, fost oa. lculata cu formula divisorului de tensiune:.'

./

1 3 7

Pentru rezistente de sarcina compar -ahils eu hie, amplificarea este deordinal de mar ime al parsmetculni h{e ( ,- ,, _,100). .

Relatia de ealeul al amplif icarij pune In evidenta Iunctiunea de inversora amplificatorului, respectiv de defazare in urrna eu 7t rad iani a tensiuni ide iesire in rapor t eu tensiunea de intrare. Astfel, pentru

UI " =U Ne V2 sin w t,rezuJta:



Aplicatie. 1n [igura 5.6(j se prezint ii caraclerisl icile sta tice pentru. uri . l ranzistor npn ,

Determinati parametrii "h" in punctul static de coordonate:

IB =200 (LA, Ic = 4,5' mA, UCE=10 V.Desena ti apa i c ircui tu l d ipor t ech ioa lent p en tru. semna le mic i.

Parametrfi hie ! i l i hre se determina pe caracteris tinlle statice de intrare, utiliztndrelatllle de definitie :

~ . Deoarece s e dan numai c:araeieristieile statloe de 'ie~ire, nu putern determina deett

pa~ametrii hr e ~i hoe' Conform relatiilor de dellnitie,

tJ..

II,.= . _ . _ I

J

=4 mA

=4 000 =20;

e tJ.iB uCI':=UCE 2UO[LA 200

. - t ! J .i c I 0,5 rn Al l o B =--. =._'---- = = 50 X 10-0 mho

tJ.uCE is = Tn 10 V

SIlH

_ ,1 = 40kO,'08

•

CUPR IN S

1. Ellll ltrottlbnl ca c tmpulnl magnet l~ .C R. pit, 0 lui. . t . Marimile ~t legile acestli.ia ...

A . Caracterizarea dmp.u lu t magne zc, .

t· in "id Forta lui Lorentz , - .1. Cimpul magne lC • , •..•••••••.••.••.••••• ,

2 Momentul magnetic ········ , .. . ~ ~ .3. For~a lui Laplace - . , _... . . . , .. , " , .

4 .FOl'ta lui Ampere '" .•........ '. . . . '. .

5' Formula lui Biot-Bavart. : - .. .: ..•... , ., , ' '.~'.: .

6 : lntensitatoa ciInpului magnetic .. ,:. , : : ": '. : .. t' 11 . Teorema lUI Ampere .

7. Tensn,mea magne 10 . . •••.•••••• , , •• , ••

8. .Fluxul magnetic ..........•.... ~•.... ,. . . . . . .. . .. '.

magne t i ce . Inducti()itate ... , ..... , .•....... , •.•.... '."" .... " ..B, Circuite

Circuite magnetice , , : , : , .. , ',..1.. . 1 t Ii de oit'CUlt magnetic , , ..

2 . Legea lui Ohm psntru0

a 11r d de ci~{luitmagnetic , .. I' •.' hhoff p 'antru un no3, Taoria tnth a ut r 11'0 . .. • • , •• , •• , " , • , ••••

T a doua a lui Kirchhoff ,.·,········1 . 1 . eorama . . ..... , .. , .5 Analogla eU olrcuitele electrice,.,., .. ,.··················

4 • . " L ~ • • • • • t ~ ••• , , I ,

6. Induc~i"i~ate ......•... , ..•.. , • , . , • , , , .

l d ' du cl ie e lect romagnel iccl •. .. . , • .. .. •• ·· ,· ,· ·C. E le clro te hn ica [e no me n« o r e tn

Linductiai el~ctromagnetice •. ,., .... ,., .. ·" , , • , . ...•.... , , .

1. agaa . . t tormare . , , . , , .2, lnduotia electromagn~ticl1 prm .ranl!! ., . . . . . , . , . . , •.. , .. , , .3. lnduotia electromagnetic!!. prin ml~care., .., , . . " ,

mag'ne'ici! .oj .for/eEe magnelice" ... , •. ',' . , , • ...•. , . .. ; •. , . .• , . ...

'0, En erg ia • r I

I • , ••••••• ~••

1Energia magne·bicll. ., ,., ....•...... , ,. .

'2: Densitatejl de volum a energie! magnetice ' " : : : : : :: : :.::

3 , Forta magnetica •. , .. , ........•........... , , .

n l' lnt s inu so ldBl 1 \1 c 'r cu lt . .l uL. n pi! . () II I 1 2 , Electrotoh Ilea reglmulul }If!rma _ , , .

clCl)tT iCA •.......• , . •.

;deale de circuit fn regim variabil, - , ' , - .. , .A. Elemenie •

1. Elemente de circuit pasive ,.·,··········,··,,··

de c1' rcuit ac tive (surse ideale}. . .. , ., . .. . , . . , ·· ·· ··, ·, ··· ·2. Elemente

3

3

,3

;

6

10

1 2

14

1 5

1 7

i 9

1 9

20

2 12 2

2 3

2~

27

2?

28

30

31

31

B3 ,

34 .

36

36

36

39

13~

<

n. Producerea tensiul li i, electromotoare sin~,oidale. ,~wimi ,c~ paria ,;e , inusoidald

tn lim p ., , .. " . . ,' ,. . e , •••• \ • ••• , •••••• , ' • •••••• , •• :

1. Principiul generatorului de curent altemativ ' ...•. '••.•... ; : .. ' .. , .

2. Mitrimi period ice , .......••.....•..........•••..

3. Marimi alternative i mAtimi sinusoidale .......•..... , ..•..... , .

ft. Valoarea efectiv8. a unel m.li.rimi periedice ' : .. ',,, '.' ..; , ' .'•.

. .B. Compe".arta pu'~i'ii ,.iQtt;tte. Imbund/tllirea focioru'ltt{ de putere .

:{. E rec~le eireulaiiei puterll reactive " •...................

2•.~ijloace penteu reducerea circulajie! de putere r~activa" " .....•.•

C11 'nU1t elcetetce ~l eleetronlee nellnlue« '. ' : ... ,..IIpit.o l u I :;

A. Elemmle neliniare de circuit, Prezimlarea gene~alif...•• ' : •............ " .

97

98

99

102

102



5. Caracteeistfeile milrimilol' sinusoidaIe .... .' '..•.. '.' ...• e • , ••• ••• • , . ,

, • I I ' 1 , 1 ~ , • .

6. Repzezentarea vectoriala a marimilor sinusoldale ............•. '..... , . ,.• . , 1".,',.

C. Elements i deale In reg im. s{nuSfJidal ..... ; ..•.••....•...•.•...... .'; -, .. ;,~'

1. Rezistorul ideal . Puterea activ" '. \ -.' : .. , t . I "tl~•;•,~••",•t •••••• , ••••••••• " ••• , , ••

2. Robina ideali'i. Reactanja inductiva. Pulerea reactivA indu~tivA ~\..•• ~ ; •3. Condensatorul ideal. Reactanta capac it iv l' i. Puterea react ivA capac 'i tivA'

D. Comporlareaunor circu ite simple tn rekim' pernumeni 8 i~u8fJid~' • •• :• • . : : '. '~~ 571 I d· . .•. dofaza' .. , ' : . , ,... .".. mpe anva, adrmtanta, ofazajul ..•....... , . ......•........ , •.. '. • . . • 5i .

2. Puterea '3c tivl l, ' puterea l111act ivA~.i puteteaaparenld:: .. .' ••... · ;.. ", 60

3, Cireui tul R~ L, serie _ " ..•....•. ' ' :. . 6~

4. Circuitul R, C serie ..............•..................... ;" :.:.. .. . .65

5. Cireuitul R, L, . C serie. Rezonanta de tensiune .•....•. :.; .• ;~ .. ".'. . . • 6G

6. Circu it ul R , L, C paralel. Resonanta de curent....................... '. 1E. Sludiul clrcultelor ill re? im sinusfJidal 'el l, a i,utarul mdrimil fJf complexe • .• .; . . ~

1. Prop rie ti l. li al e numerelor eomplexe '..•.•.... ;.~. :

2.P..eprezentarea

I~complex a mA.rimilor sinu8oidale. }olazori.; ...•••... ,

3. Carac le ri zarealn complex a ciJ'fluitelor ~ipolare •.....•..•............

4. Puterea sparent!!. complexil ' .

5. Elemente pasive i dea ls de c ir cui ts tudi at e In comp lex . .. .. .. .. ..• .. .•

6. Cireuite simple studlate cu fazori; .....................•...• '... , ...

,. Conexiunile Impednntelor •.................•.....•........•.....••.

f: ~ P i I' III j :1 . Olrculte t,rU8ZIt.~1! in l 4 ' l r , 1 m • erm mmf" A i U~OIdRI •••••••••••

A. Generarea eistemului trifa;al de tensiune electromotoare .•.•.•. .. .••••... .••

B. Co'ne:ciunile generatoarelar , i receptoarelor ••....•••.....•••...•.••.....•

1. Conexiunea In triunghi .......................•................••..•

2. Conexiunea In stea "~••••••••••• , • i •••• , t •••••• t • I ••••• It •••••••••••

C. Pulerile tn sisteme trifazate •......••......•...... ,., •...••..•...••. , . ..1. Conexiunea In triunghl

• II •• I I t •••••• , ••••• II I. I . to ;; II •• ' II •••

2. Conexiunea In stea•••• : •••••• I ••• I t·••••••• II I ••• , _0"" II '1 •• II

.: II,. i n I \I I l. rOIIU(·MNI. ¥I tr8uHmlvlf" ... . - r r h I If' I.rh·( ...•.• '... •. . • • . • tl5 .

:A . Generaiitdli •......................•..............•.......•.......••... .95

1. Sistem energetic : ' ..•...•.•......... '. . . . . . I J . I i

2. Slstem electric ......•... " .....•... , ,........... 95'

140

7 3

' 3

"8' 982

82

83

85

85\

5 0

50

S25 5

, . ~.. "

1. Lampacu inliandescentit'. , , : , .....•. ,.i '0' I., I.J "

. 2. '·ortflistorul , ,.•• : _ , '.' .

3, Tubul bare tor • .•P " ; . .

. t

,. Dioda .semleonductoare _ , '_ •.••.•• .-. '" ••.. , " . .....•

B. Circul'e eleclrice,de curent eoiuinuu. cu elemente nel in iare. Determinareo. PUIIC'

'ului, ,s 'a#;ic. de: lunc liQnare .•.• _. ~• '.. ' , ~. _ _: ..• P,.· , .. .

1. Circuite ell un ~ingur element neliniar '._'_ _ ,' _.

2. Asocletea ell;me~telor neliniare_. __ _, _ ';,.; ,.

C. MOttele ideah 'i~te fen tru dio .~e, el~'cflracler.iStieti.Jiniarti. pe. P ?r{irw i " .

1. Dioda idt;l31i\':,' _. _. _. _ •.•~ _ _•. _ p ••••••••••• : ••••••••••• ~ .

2. Modelul diedel, cu sursa, idealil do tensiune ' .

3. ~{O(Jelul. ~iod!li pentru semnul mie __ .•. .• .• p •.••.•.•.•• "•••••• :.••.••.•••• _

D. Utiliz:4ri specifice ale elementelor nellniare •.••••• _._. _ : .

t. Redresarea tensiunilor alternative slnuseldale ....................•....

2. Generarea os('ila~iilor armonice •. _ .

3, Tralllilliorulea

amptificator ', .. , , .

' 1 0 . "

' 1 0 . ' 5

1 0 5

10~

1 0 9

1 0 9

1 1 1

1 1 2

112

113

115

117

1 17

1 2 0

124

Electrotehnica XI XII 1983

Documents