Electrodinamica Sesiones 6,7,8 (2)

UNIDAD II: DIELECTRICOS CON CONDENSADORES, CORRIENTE CONTINUA

2.1) SEXTA Y SEPTIMA SESION DE APRENDIZAJE

2.1.1) CONDENSADORES ELECTRICOS

Un condensador (en inglés, capacitor, nombre por el cual se

le conoce frecuentemente en el ámbito de la electrónica y

otras ramas de la física aplicada), es un dispositivo pasivo,

utilizado en electricidad y electrónica, capaz de almacenar

energía sustentando un campo eléctrico. Está formado por un

par de superficies conductoras, generalmente en forma de

láminas o placas, en situación de influencia total (esto es,

que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van

a parar a la otra) separadas por un material dieléctrico o

por el vacío. Las placas, sometidas a una diferencia de

potencial, adquieren una determinada carga eléctrica,

positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula

la variación de carga total.

Aunque desde el punto de vista físico un condensador no

almacena carga ni corriente eléctrica, sino simplemente

energía mecánica latente; al ser introducido en un circuito

se comporta en la práctica como capaz de almacenar la energía

eléctrica que recibe durante la carga, a la vez que la cede

de igual forma durante la descarga.

Tipos de condensadores

Dentro de las ramas del estudio de la electricidad y la

electrónica, se ha hecho una adopción de facto del anglicismo

capacitor para designar al condensador, a pesar de que en

nuestra lengua existe ya el término Condensador (del latín

"condensare"), que tiene el mismo significado del término en

inglés para este mismo elemento, haciendo innecesaria la

adopción de un nuevo término para referirse al mismo

dispositivo.

La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la

diferencia de potencial entre esta placa y la otra, siendo la

constante de proporcionalidad la llamada capacidad o

capacitancia. En el Sistema internacional de unidades se mide

en Faradios (F), siendo 1 faradio la capacidad de un

condensador en el que, sometidas sus armaduras a una

diferencia de potencial eléctrico de 1 voltio, estas

adquieren una carga eléctrica de 1 culombio.

La capacidad de 1 faradio es mucho más grande que la de la

mayoría de los condensadores, por lo que en la práctica se

suele indicar la capacidad en micro- µF = 10-6, nano- nF = 10

-

9 o pico- pF = 10

-12 -faradios. Los condensadores obtenidos a

partir de supercondensadores (EDLC) son la excepción. Están

hechos de carbón activado para conseguir una gran área

relativa y tienen una separación molecular entre las

"placas". Así se consiguen capacidades del orden de cientos o

miles de faradios. Uno de estos condensadores se incorpora en

el reloj Kinetic de Seiko, con una capacidad de 1/3 de

Faradio, haciendo innecesaria la pila. También se está

utilizando en los prototipos de automóviles eléctricos.

El valor de la capacidad de un condensador viene definido por

la siguiente fórmula:

En donde:

C: Capacitancia, (F)

Q1: Carga eléctrica almacenada en la placa 1, (C).

V1 – V2: Diferencia de potencial entre la placa 1 y la 2,

(V).

Nótese que en la definición de capacidad es indiferente que

se considere la carga de la placa positiva o la de la

negativa, ya que.

Aunque por convenio se suele considerar la carga de la placa

positiva.

En cuanto al aspecto constructivo, tanto la forma de las

placas o armaduras como la naturaleza del material

dieléctrico son sumamente variables. Existen condensadores

formados por placas, usualmente de aluminio, separadas por

aire, materiales cerámicos, mica, poliéster, papel o por una

capa de óxido de aluminio obtenido por medio de la

electrólisis.

2.1.2) ASOCIACION DE CONDENSADORES

Al igual que las resistencias, los condensadores pueden

asociarse en serie o en paralelo o en forma mixta..

Asociación en Serie.

En la asociación en serie la carga eléctrica que se polariza

en los condensadores toma el mismo valor y la suma de las

diferencias de potencial eléctrico entre sus bornes es

equivalente a la diferencia de potencial que alimenta al

circuito. De estas características resultan las siguientes

expresiones.

VN.....V3V2V1V

C1

Q.....

C3

Q

C2

Q

C1

QV

Si la capacidad equivalente del circuito de condensadores es

Q/V, resulta la siguiente expresión para la capacidad

equivalente de la asociación en serie en función de las

capacidades de los condensadores que la forman.

N

1i Ci

1

C1

1.....

C3

1

C2

1

C1

1

Ceq

1

Asociación en Paralelo.

En la asociación en paralelo la diferencia de potencial entre

los bornes de cada condensador es la misma e igual al

potencial de la fuente que alimenta al circuito, cada

condensador polariza su propia carga eléctrica en sus placas

V1

C2 C3 CN

+Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q

Asociación de condensadores en serie

V

C1

V2 V3 VN

+Q1

-Q1 V1

+Q2

+Q1

-Q1 V1

-Q2 V2

+Q3

+Q1

-Q1 V1

-Q3 V3

+QN

+Q1

-Q1 V1

-QN VN V

Asociación de condensadores en paralelo.

haciendo un total Q, que es la carga eléctrica del sistema.

De estas características resultan las siguientes expresiones.

QN.....Q3Q2Q1Q

Si la capacidad equivalente del sistema es igual Ceq = Q/V,

resulta.

CNV.....C3VC2VC1VCeqV

Resultando la expresión de la capacidad equivalente del

sistema asociado en paralelo, en función de las capacidades

de los condensadores que la forman.

N

1i

CiCN.....C3C2C1Ceq

2.1.3) ENERGIA ALMACENADA EN LOS CONDENSADORES

El condensador almacena carga eléctrica, debido a la

presencia de un campo eléctrico en su interior, cuando

aumenta la diferencia de potencial en sus terminales,

devolviéndola cuando ésta disminuye. La energía almacenada en

un condensador cargado se puede obtener a partir del trabajo

realizado para transportar la carga eléctrica desde una placa

a la otra venciendo la fuerza eléctrica que ejerce el campo

eléctrico.

El diferencial de energía para transportar una carga dq es

dado por.

C

dqqdqVdE

Integrando esta expresión obtenemos.

Q

0 C

dqqE

C

Q

2

1E

2

Aplicando la definición de capacidad eléctrica C = Q/V,

obtenemos las siguientes expresiones alternativas.

2VC2

1E

VQ2

1E

Este hecho es aprovechado para la fabricación de memorias, en

las que se aprovecha la capacidad que aparece entre la puerta

y el canal de los transistores MOS para ahorrar componentes.

Condensadores de placas paralelas.

Un diseño de condensador muy utilizado es el condensador de

placas paralelas, el cual consiste de dos placas conductoras

metálicas separadas una distancia d, cada borne va unido a

cada placa.

La capacidad eléctrica de este tipo de condensador se puede

evaluar del siguiente modo.

d

εA

dε

σ

Aσ

dE

Aσ

V

QC 0

0

Donde:

ε0: es la permitividad del vacío ≈ 8,854187817... × 10−12

F·m−1

A: es el área efectiva de las placas (m2).

d: es la distancia entre las placas o espesor del

dieléctrico (m).

d

A

Para tener un condensador variable hay que hacer que por lo

menos una de las tres características cambien de valor. De

este modo, se puede tener un condensador en el que una de las

placas sea móvil, por lo tanto varía d y la capacidad

dependerá de ese desplazamiento, lo cual podría ser

utilizado, por ejemplo, como sensor de desplazamiento.

Otro tipo de condensador variable se puede hacer variando su

área. Estos condensadores son característicos en los diales

de sintonía de las radios, como el el que se muestra en la

fotografía adjunta.

Condensador variable de una vieja radio AM.

EJERCICIO #05:

En la figura se representan cuatro condensadores C1, C2, C3,

C4, de placas paralelas. El material entre las placas para

todos los condensadores es el aire y poseen las

características indicadas en la tabla adjunta.

CONDENSADOR 1 2 3 4

AREA (m2) 3x10-3 1x10-3 2x10-4 5x10-4

DISTANCIA ENTRE

PLACAS (m)

1x10-4 5x10-4 3x10-4 5x10-4

1) Calcule la capacidad eléctrica de cada condensador.

2) Calcule la capacidad eléctrica equivalente, Ceq’, de la

asociación de condensadores C2 y C3.

3) Calcule la capacidad eléctrica equivalente, Ceq”, de la

asociación de condensadores C1 y C4.

4) Calcule la capacidad eléctrica equivalente, Ceq, del

sistema de condensadores.

5) Calcule las siguientes propiedades, para cada

condensador considerando los equivalentes.

a) carga eléctrica.

b) Diferencia de potencial entre placas.

c) Energía potencial electrostática acumulada.

Reportar los datos llenando la tabla adjunta.

Condensador C

(F)

Q

(C)

V

(V)

E

(J)

C1 25.626x10-12 0.74376x10-10 2.9024 1.0793x10-10

C2 1.7084x10-12 1.7164x10-11 10.047 2.4908x10-10

C3 5.6947x10-12 5.7215x10-11 10.047 2.8742x10-10

C4 0.8542x10-12 0.74376x10-10 87.061 3.2376x10-9

Ceq’ 7.4031x10-12 0.74376x10-10 10.047 3.7363x10-10

Ceq” 0.82683x10-12 0.74376x10-10 89.953 3.3452x10-9

Ceq 0.74376x10-12 0.74376x10-10 100 3.7188x10-9

Desarrollo:

5) La capacidad eléctrica de los condensadores C1, C2, C3 y C4 se calcula a continuación.

pF25.626Fx1025.626

m1x10

m

F0.8542x10m3x10

d

εAC1 12

4

12

2

3

1

o11

pF1.7084F1.7084x10

m5x10

m

F0.8542x10m1x10

d

εAC2 12

4

12

2

3-

2

o22

pF5.6947F5.6947x10

m3x10

m

F0.8542x10m2x10

d

εAC3 12

4

12

2

4-

3

o33

pF0.8542F0.8542x10

m5x10

m

F0.8542x10m5x10

d

εAC4 12

4

12

2

4-

4

o44

2) Los condensadores C2 y C3 están asociados en paralelo y su

capacidad equivalente, Ceq’, se obtiene del siguiente modo.

F7.4031x10F5.6947x10F1.7084x10C3C2Ceq' 121212

32

3) Los Condensadores C1 y C4 están asociados en serie y su

capacidad equivalente, Ceq”, se obtiene del siguiente modo.

F0.82683x10F0.8542x10F25.626x10

F0.8542x10F25.626x10

C4C1

C4C1Ceq" 12

1212

1212

4) La capacidad equivalente del sistema es la asociación en

serie de las capacidades Ceq’ y Ceq”, se obtiene del

siguiente modo.

F0.74376x10F0.82683x10F7.4031x10

F0.82683x10F7.4031x10

Ceq"Ceq'

Ceq"Ceq'Ceq 12

1212

1212

5.a y 5.b) La carga eléctrica, Q, del sistema de

condensadores se obtiene del modo siguiente.

C0.74376x10V100F0.74376x10VCeqQ 1012

- La carga de las capacidades equivalentes Ceq’ y Ceq” son

iguales a la carga del sistema por estar asociadas en serie.

Qeq’ = Qeq” = Q = 0.74376x10-10 (C).

- En vista que los condensadores de capacidad C1 y C4 están

en serie, sus cargas son iguales y equivalentes a la carga de

la capacidad en serie.

Q1 = Q4 = Qeq” = 0.74376x10-10 (C).

- La diferencia de potencial para el condensador de capacidad

equivalente Ceq’ es.

V10.047F7.4031x10

c0.74376x10

Ceq'

Qeq'Veq'

12

10

- La diferencia de potencial para el condensador de capacidad

equivalente Ceq” es.

V89.953F0.82683x10

c0.74376x10

Ceq"

Qeq"Veq"

12

10

- Los condensadores C2 y C3 están en paralelo y por lo tanto

tienen la misma diferencia de potencial, la cual es igual a

la diferencia de potencial de su capacidad equivalente, Veq’.

V2 = V3 = Veq’ = 10.047 (V)

- La carga del condensador C2 es dada por.

C1.7164x10V10.047F1.7084x10V2C2Q2 1112

- La carga del condensador C3 es dada por.

C5.7215x10V10.047F5.6947x10V3C3Q3 1112

- La diferencia de potencial para el condensador de capacidad

C1 es.

V2.9024F25.626x10

c0.74376x10

C1

Q1V1

12

10

- La diferencia de potencial para el condensador de capacidad

C4 es.

V87.061F0.8543x10

c0.74376x10

C4

Q4V4

12

10

- La diferencia de potencial para la capacidad equivalente

Ceq’, es.

V10.047F7.4031x10

c0.7437x10

Ceq'

Qeq'Veq'

12

10

- La diferencia de potencial para la capacidad equivalente

Ceq”, es.

V89.953F0.82683x10

c0.7437x10

Ceq"

Qeq"Veq"

12

10

5.c) La energía potencial electrostática de los condensadores

y de las capacidades equivalentes es dado por.

J1.0793x10

2

V2.9024C0.74376x10V1Q1

2

1EP1 10

10

Jx10

2

V2.9024C1.7164x10V2Q2

2

1EP2 11

11

4908.2

J2.8742x10

2

V10.047C5.7215x10V3Q3

2

1EP3 10

11

J3.2376x10

2

V87.061C0.74376x10V4Q4

2

1EP4

109

J3.7363x10

2

V10.047C0.74376x10Veq'Qeq'

2

1EPeq' 10

10

J3.3452x10

2

V89.953C0.74376x10Veq"Qeq"

2

1EPeq" 9

10

J3.7188x10

2

V100C0.74376x10VeqQeq

2

1EPeq 9

10

2.2) SEXTA SESION DE APRENDIZAJE

2.2.1) DIELECTRICOS

Se denomina dieléctrico al material mal conductor de

electricidad, por lo que puede ser utilizado como aislante

eléctrico, y además si es sometido a un campo eléctrico

externo, puede establecerse en él un campo eléctrico interno,

a diferencia de los materiales aislantes con los que suelen

confundirse. Todos los materiales dieléctricos son aislantes

pero no todos los materiales aislantes son dieléctricos.1

Algunos ejemplos de este tipo de materiales son el vidrio, la

cerámica, la goma, la mica, la cera, el papel, la madera

seca, la porcelana, algunas grasas para uso industrial y

electrónico y la baquelita. En cuanto a los gases se utilizan

como dieléctricos sobre todo el aire, el nitrógeno y el

hexafluoruro de azufre.

El término "dieléctrico" fue concebido por William Whewell

(del griego "dia" que significa "a través de") en respuesta a

una petición de Michael Faraday.

Los dieléctricos se utilizan en la fabricación de

condensadores, para que las cargas reaccionen. Cada material

dieléctrico posee una constante dieléctrica k. Tenemos k para

los siguiente dieléctricos.

Material k

Vacío 1

Aire 1.00058986 ± 0.00000050

(a STP, para 0.9 MHz)

Teflón 2.1

Polietileno 2.25

Poliamida 3.4

Polipropileno 2.2–2.36

Poliestireno 2.4–2.7

Disulfuro de carbono 2.6

Papel 3.85

Polímeros electro

activos 2–12

Dióxido de sílice 3.9

Concreto 4.5

Pyrex (vidrio) 4.7 (3.7–10)

Goma 7

Diamante 5.5–10

Sal 3–15

Grafito 10–15

Sílice 11.68

Amoniaco 26, 22, 20, 17

(−80, −40. 0, 20 °C)

Metanol 30

Glicol etileno 37

Furfural 42.0

Glicerol 41.2, 47, 42.5

(0, 20, 25 °C)

Agua

88, 80.1, 55.3, 34.5

(0, 20, 100, 200 °C)

para luz visible light: 1.77

Acido hidrofluorico 83.6 (0 °C)

Formamida 84.0 (20 °C)

Acido sulfúrico 84–100

(20–25 °C)

Peróxido de hidrógeno 128 aq–60

(−30–25 °C)

Acido hydrocianico 158.0–2.3

(0–21 °C)

Dióxido de titanio 86–173

Titanato de estroncio 310

Titanato de bario y estroncio 7500

Titanato de bario 1250–10,000

(20–120 °C)

Titanato de circonio y plomo 500–6000

Polímeros conjugados 1.8-6 up to 100,000[4]

Titanato de cobre y calcio >250,000[5]

Los dieléctricos más utilizados son el aire, el papel y la

goma. La introducción de un dieléctrico en un condensador

aislado de una batería, tiene las siguientes consecuencias:

Disminuye el campo eléctrico entre las placas del

condensador.

Disminuye la diferencia de potencial entre las placas

del condensador, en una relación V/k.

Aumenta la diferencia de potencial máxima que el

condensador es capaz de resistir sin que salte una

chispa entre las placas (ruptura dieléctrica).

Aumento por tanto de la capacidad eléctrica del

condensador en k veces.

La carga no se ve afectada, ya que permanece la misma

que ha sido cargada cuando el condensador estuvo

sometido a un voltaje.

Normalmente un dieléctrico se vuelve conductor cuando se

sobrepasa el campo de ruptura del dieléctrico. Esta tensión

máxima se denomina rigidez dieléctrica. Es decir, si

aumentamos mucho el campo eléctrico que pasa por el

dieléctrico convertiremos dicho material en un conductor.

Tenemos que la capacitancia de un condensador de placas

paralelas con el espacio entre placas lleno con un

condensador de constante dieléctrica k es dada por la

expresión.

d

AεkC 0

Donde,

C: capacidad eléctrica del condensador, (F).

k: constante dieléctrica del material dieléctrico.

ε0: permitividad eléctrica del espacio vacío,(8,854187817×

10−12 F·m

−1).

A: área de la superficie de las placas, (m2).

d: distancia entre placas, (m).

2.2.2) POLARIZACION ELECTRICA

En el electromagnetismo clásico, la polarización eléctrica

(también llamada densidad de polarización o simplemente

polarización) es el campo vectorial que expresa la densidad

de los momentos eléctricos dipolares permanentes o inducidos

en un material dieléctrico. El vector de polarización P se

define como el momento dipolar por unidad de volumen. La

unidad de medida en el SI es el coulomb por metro cuadrado

(C/m2).

La polarización eléctrica es uno de los tres campos

eléctricos macroscópicos que describen el comportamiento de

los materiales. Los otros dos son el campo eléctrico E y el

desplazamiento eléctrico D.

Algunas sustancias, como por ejemplo el agua, presentan

moléculas denominadas moléculas polares. En ellas el centro

de las cargas positivas no coincide con el centro de las

cargas negativas y, por tanto, hay una asimetría en la

distribución de cargas en la molécula, como se ilustra en la

figura. Las sustancias cuyas moléculas poseen cargas

eléctricas distribuidas en forma simétrica se denominan

apolares.

Considérese un dieléctrico, no electrizado, cuyas moléculas

son polares y está alejado de influencias eléctricas

externas.

En estas condiciones, las moléculas de esta sustancia están

distribuidas al azar, como se representa en la figura A. Al

acercar a este dieléctrico un cuerpo electrizado (por

ejemplo, con carga positiva), la carga de este último actuará

sobre las moléculas del aislante, haciendo que se orienten y

alineen en la forma indicada en la figura B. Cuando esto

sucede, se dice que el dieléctrico está polarizado. La figura

C muestra que el efecto final de esta polarización consiste

en la aparición de cargas negativas y positivas distribuidas

tal como se ve en la ilustración. Obsérvese que aún cuando la

carga total del dieléctrico es nula, la polarización hace que

se manifiesten cargas eléctricas de signos opuestos de manera

similar a lo que sucede cuando se carga un conductor por

inducción.

Si el dieléctrico estuviese constituido por moléculas

apolares, se observaría el mismo efecto final, ya que con la

aproximación del cuerpo electrizado, las moléculas se

volverían polares y, por consiguiente, se alinearían como se

muestra en la figura B.

En general P es proporcional al campo eléctrico aplicado E.

Como P se mide en (C m/m3 = C/m

2), o carga eléctrica por

unidad de área, y ε0 E se mide también en (C/m2), se

acostumbra escribir.

EP 0e εχ

Donde,

P: polarización eléctrica del material, (C/m2).

χe: susceptibilidad eléctrica del material.

ε0: permitividad eléctrica del espacio vacío,(8,854187817×

10−12 F·m

−1).

E: intensidad de campo eléctrico externo, (N/C).

Si consideramos una porción de material de espesor L y

superficie S colocada perpendicularmente a un campo eléctrico

uniforme.

Siendo la polarización P paralela al campo eléctrico E, es

perpendicular también a la superficie S. El volumen de la

rebanada es LS, y por consiguiente su momento diplar

eléctrico es p = P (L S) = (P S) L. Pero L es precisamente la

separación entre las cargas positivas y negativas que

aparecen sobre las dos superficies. Como por definición el

momento dipolar eléctrico es igual a la carga multiplicada

por la distancia, concluimos que la carga eléctrica que

aparece sobre cada superficie es PS y por consiguiente, la

carga por unidad de área σP sobre las caras del material

polarizado es P, o σP = P. aunque este resultado se ha

obtenido para una geometría particular tiene validez general:

”La carga por unidad de área sobre la superficie de una

porción de materia polarizada es igual a la componente de la

polarización P en la dirección de la normal a la superficie

del cuerpo”.

Algunos materiales como la mayoría de los metales, contienen

electrones libres que pueden moverse a través del medio.

Estos materiales reciben el nombre de conductores. En

presencia de un campo eléctrico estos también se polarizan,

P

E

S

L

+ -

pero de un modo diferente al de los dieléctricos. Las cargas

eléctricas móviles (electrones) del conductor se acumulan

sobre una superficie dejando la superficie opuesta con carga

positiva, por el defecto de electrones que se produce en esa

superficie, esto ocurre hasta que el campo eléctrico que

produce la polarización anula a aquel del interior del

material conductor, produciendo el equilibrio. Además, el

campo eléctrico debe ser normal a la superficie del conductor

porque de existir una componente tangencial a la superficie

los electrones se moverían sobre ésta rompiendo el

equilibrio.

2.2.3) DESPLAZAMIENTO ELECTRICO

Consideremos una porción de material dieléctrico en forma de

paralelepípedo rectangular colocado entre dos placas

metálicas rectangulares cargadas con cantidades iguales de

carga eléctrica libre pero de signos opuestos.

La densidad de carga eléctrica superficial sobre la placa

izquierda es + σLIBRE y en la placa de la derecha es - σLIBRE.

Estas cargas producen un campo eléctrico E que polariza el

material de modo tal que aparecen cargas eléctricas de

polarización sobre cada superficie del mismo. Estas cargas de

polarización tienen signos opuestos a las de las cargas sobre

las placas cercanas. Por lo tanto las cargas de polarización

sobre las caras del dieléctrico equilibran parcialmente a las

cargas libres de las placas conductoras. La densidad de

carga eléctrica superficial en la cara izquierda del material

dieléctrico es – P, mientras que en la cara derecha será + P.

La densidad de carga superficial efectiva o neta a la

izquierda es.

Pσσ LIBRE

Con un resultado igual y de signo opuesto a la derecha. Estas

cargas superficiales netas dan lugar a un campo eléctrico

uniforme de magnitud.

+ + + +

-

-

+ +

----

E

P

0

LIBRE

0 ε

Pσ

ε

σE

Ó

PEεσ 0LIBRE

Expresión que da las cargas libres sobre la superficie de un

conductor rodeado por un material dieléctrico en función del

campo eléctrico en el interior del dieléctrico y de la

polarización del mismo.

Cuando observamos E y P son vectores en la misma dirección,

los resultados anteriores sugieren la conveniencia de

introducir un nuevo vector, llamado desplazamiento eléctrico,

definido por la expresión.

PED 0ε

Obviamente, D se expresa en (C/m2), y σLIBRE = D, o sea que la

densidad de carga libre sobre la superficie del conductor es

igual a la polarización en el material dieléctrico. Este

resultado tiene validez general y puede aplicarse a

conductores de cualquier forma. Por consiguiente, “La

componente de D según la normal a la superficie de un

conductor embebido en un material dieléctrico da la densidad

de carga superficial en el conductor”.

Esto es.

NμD LIBREσ

También podemos escribir la siguiente expresión para el

desplazamiento.

EE1EED εεχχεε 0ee00

Donde el coeficiente.

0e εχ 1D

E

Se llama permitividad del medio y se expresa en las mismas

unidades que ε0 (F/m).

La constante dieléctrica k, se define por la expresión.

e

0

χ1ε

εk

Cuando la relación D = ε E se cumple para un medio, el efecto

del dieléctrico sobre el campo eléctrico E es reemplazar ε0 por ε si solo se consideran las cargas libres. Por lo tanto

el campo eléctrico y el potencial eléctrico producido por una

carga eléctrica puntual inmersa en un material dieléctrico

son dadas por las expresiones.

rμE2rεπ4

q

rεπ4

qU

El módulo de la fuerza de interacción eléctrica entre dos

cargas puntuales separadas una distancia d, inmersas en un

material dieléctrico, es dado por la expresión.

2

21

dεπ4

qqF

Como ε es generalmente mayor que ε0 la presencia del material

dieléctrico produce una reducción efectiva de la interacción

porque la polarización de las moléculas del dieléctrico hace

de pantalla.

2.2.4) RIGIDEZ DIELECTRICA

Cuando un campo eléctrico actúa sobre Los átomos en el

interior del material dieléctrico, los electrones de valencia

ligados al átomo experimentan una fuerza en sentido opuesto

al campo eléctrico, estos permanecen ligados al átomo

mientras el campo eléctrico no supere un valor límite

denominado rigidez dieléctrica, a partir del cual el

dieléctrico se convierte en conductor ocurriendo lo que se

denomina la ruptura del dieléctrico. A continuación damos

valores de rigidez dieléctrica para algunos materiales

típicos.

VALORES DE RIGIDEZ DIELECTRICA

DE MATERIALES TIPICOS 25 °C

MATERIAL RIGIDEZ

DIELECTRICA

(V/mm)

Aire 3000

Titanato de

estroncio y bario

4000

Vidrio 80000

Mica 200000

Papel 50000

Teflón 40000

EJERCICIO # 06:

Un condensador de placas paralelas, cada placa de Área A =

2x10-3 (m

2) y distancia entre placas d = 0.001 (m), se conecta

a una batería de 12 (V). En un primer experimento se rellena

el espacio entre placas con goma, cuya constante dieléctrica

es k = 7, manteniendo el condensador conectado a la batería.

1) Calcule la capacidad eléctrica del condensador, sin

dieléctrico.

a) sin dieléctrico entre placas.

F1.77x10m0.001

F·m 10 ×78,85418781m2x10

d

εAC 11

-1-12230

b) Con dieléctrico entre placas.

F1.24x10F7x1.77x10CKC' 1011

2) Calcule la carga eléctrica que se polariza en cada placa.

a) Sin dieléctrico entre placas.

C2.124x10V12F1.77x10VCQ 1011

b) Con dieléctrico entre placas.

C1.488x10V12F1.24x10VC'Q' 910

3) Calcule el campo eléctrico en la región entre placas.

a) Sin dieléctrico entre placas.

m

V1.1994x10

F·m 10 ×78,85418781m2x10

C2.124x10

εA

QE 4

1-12-23-

10

0

b) Con dieléctrico entre placas.

m

V1.7135x10

F·m 10 ×78,85418781m7x2x10

C2.124x10

εAK

QE' 3

1-12-23-

10

0

4) Calcule la susceptibilidad del dieléctrico.

6171Kχe

5) Calcule la polarización del medio dieléctrico.

2

8-312

0em

C9.103x10

m

V1.7135x10

m

F7x108.85418781xEεχP 6

6) Calcule el valor de la densidad superficial de carga

eléctrica en cada superficie del dieléctrico en contacto con

la placa positiva del condensador.

2.3) OCTAVA SESION DE APRENDIZAJE

2.3.1) CORRIENTE ELECTRICA DIRECTA

La corriente o intensidad eléctrica es el flujo de carga

eléctrica por unidad de tiempo que recorre un material. Se

debe al movimiento de iones en una solución o los electrones

en el interior del material conductor. En el Sistema

Internacional de Unidades la unidad de intensidad de

corriente eléctrica es el (C/s) (culombios sobre segundo),

unidad que se denomina amperio.

La corriente eléctrica está definida por convenio en

dirección contraria al desplazamiento de los electrones.

El instrumento usado para medir la intensidad de la corriente

eléctrica es el galvanómetro que, calibrado en amperios, se

llama amperímetro, colocado en serie con el conductor cuya

intensidad se desea medir.

Si la intensidad es constante en el tiempo, se dice que la

corriente es directa o continua; en caso contrario, se llama

variable. Si no se produce almacenamiento ni disminución de

carga en ningún punto del conductor, la corriente es

estacionaria.

La corriente continua o corriente directa (CC en español, en

inglés DC, de Direct Current) es el flujo continuo de

electrones a través de un conductor entre dos puntos de

Representación de la tensión en

corriente continua.

distinto potencial. A diferencia de la corriente alterna (CA

en español, AC en inglés), en la corriente continua las

cargas eléctricas circulan siempre en la misma dirección (es

decir, los terminales de mayor y de menor potencial son

siempre los mismos). Aunque comúnmente se identifica la

corriente continua con la corriente constante (por ejemplo la

suministrada por una batería), es continua toda corriente que

mantenga siempre la misma polaridad. También cuando los

electrones se mueven siempre en el mismo sentido, el flujo se

denomina corriente continua y va del polo positivo al

negativo.

Para obtener una corriente de 1 amperio, es necesario que 1

culombio de carga eléctrica por segundo esté atravesando un

plano imaginario trazado en el material conductor,

transversalmente a la dirección de la corriente eléctrica.

El valor I de la intensidad instantánea será:

2.3.2) LEY DE OHM

La ley de Ohm establece que la intensidad eléctrica que

circula entre dos puntos de un circuito eléctrico es

directamente proporcional a la tensión eléctrica entre dichos

Georg Ohm, creador de la ley de Ohm.

puntos, existiendo una constante de proporcionalidad entre

estas dos magnitudes. Dicha constante de proporcionalidad es

la conductancia eléctrica, que es inversa a la resistencia

eléctrica.

La ecuación matemática que describe esta relación es:

Donde, I es la corriente que pasa a través del objeto

expresada en amperios (A), V es la diferencia de potencial de

las terminales del objeto expresada en voltios (V), G es la

conductancia expresada en siemens (S) y R es la resistencia

eléctrica del material conductor expresada en ohmios (Ω).

Específicamente, la ley de Ohm dice que la resistencia

eléctrica R, en esta relación es constante,

independientemente de la corriente eléctrica.

Esta ley tiene el nombre del físico alemán Georg Ohm, que en

un tratado publicado en 1827, halló valores de tensión y

corriente que pasaban a través de unos circuitos eléctricos

simples que contenían una gran cantidad de cables. Él

presentó una ecuación un poco más compleja que la mencionada

anteriormente para explicar sus resultados experimentales. La

ecuación de arriba es la forma moderna de la ley de Ohm.

Esta ley se cumple para circuitos y tramos de circuitos

pasivos que, o bien no tienen cargas inductivas ni

capacitivas (únicamente tiene cargas resistivas), o bien han

alcanzado un régimen permanente (véase también «Circuito RLC»

y «Régimen transitorio (electrónica)»). También debe tenerse

en cuenta que el valor de la resistencia de un conductor

puede ser influido por la temperatura.

El conductor es el encargado de unir eléctricamente cada uno

de los componentes de un circuito. Dado que tiene resistencia

óhmica, puede ser considerado como otro componente más con

características similares a las de la resistencia eléctrica.

De este modo, la resistencia de un conductor eléctrico es la

medida de la oposición que presenta al movimiento de los

electrones en su seno, es decir la oposición que presenta al

paso de la corriente eléctrica. Generalmente su valor es muy

pequeño y por ello se suele despreciar, esto es, se considera

que su resistencia es nula (conductor ideal), pero habrá

casos particulares en los que se deberá tener en cuenta su

resistencia (conductor real).

La resistencia de un conductor depende de la longitud L del

mismo en (m), de su sección S en (m²), del tipo de material y

de la temperatura. Si consideramos la temperatura constante

(20 ºC), la resistencia viene dada por la siguiente

expresión:

En la que ρ es la resistividad expresada en (Ω m)(una

característica propia de cada material).

La variación de la temperatura produce una variación en la

resistencia. En la mayoría de los metales aumenta su

resistencia al aumentar la temperatura, por el contrario, en

otros elementos, como el carbono o el germanio la resistencia

disminuye.

Resistividad de algunos materiales a 20 °C

Material Resistividad (Ω·m)

Plata 1,55 × 10–8

Cobre 1,70 × 10–8

Oro 2,22 × 10–8

Aluminio 2,82 × 10–8

Wolframio 5,65 × 10–8

Níquel 6,40 × 10–8

Hierro 8,90 × 10–8

Platino 10,60 × 10–8

Estaño 11,50 × 10–8

Acero inoxidable 301 72,00 × 10–8

Grafito 60,00x10-8

Como ya se comentó, en algunos materiales la resistencia

llega a desaparecer cuando la temperatura baja lo suficiente.

En este caso se habla de superconductores.

Experimentalmente se comprueba que para temperaturas no muy

elevadas, la resistencia a cierta temperatura R(T), viene

dada por la expresión.

Donde

Ro: resistencia de referencia a la temperatura To.

: coeficiente de temperatura. Para el cobre α =

0.00393 (°C-1).

To: temperatura de referencia en la cual se conoce Ro.

La ley de Ohm también la podemos expresar del siguiente modo.

ρLS

IRIV

ρS

I

L

V

La magnitud V/L es el vector intensidad de campo eléctrico E

en el conductor en (N/C).

I/S es el vector densidad de corriente eléctrica J, que

representa la intensidad de corriente eléctrica por unidad de

área que atraviesa la sección del conductor transversal a la

dirección de la corriente expresada en (A/m2).

La ley de Ohm puede expresarse también en la siguiente forma.

Eρ

1

J

El inverso de la conductividad eléctrica se conoce como

conductividad eléctrica g y se expresa en (S/m).

EgJ

2.3.3) ENERGIA DISIPADA EN UN CONDUCTOR DE CORRIENTE

Comúnmente, la potencia P invertida para conducir

electricidad a través de un material conductor o cualquier

otro dispositivo resistivo es dada por la expresión

siguiente.

Donde,

P: potencia invertida en mantener la corriente eléctrica a

través del conductor, (W).

V: diferencia de potencial eléctrico entre los extremos del

conductor, (V = J/C).

I: intensidad de corriente eléctrica que circula por el

conductor, (A = C/s).

Comprobamos dimensionalmente que V I equivale a potencia P,

dado que (J/C)(C/s)= (J/s=W).

Toda esta potencia entregada a los electrones de conducción

no incrementa su energía cinética sino que es entregada a la

red cristalina aumentando su energía vibratoria y por ende su

temperatura. La potencia se transforma en calor que es

irradiado por el conductor hacia el medio que lo rodea, este

fenómeno se conoce como Efecto Joule.

Para conductores óhmicos, la potencia disipada en forma de

calor por el conductor también se puede expresar del

siguiente modo.

R

VP

2

RIP 2

El fabricante de resistores dará como dato el valor en vatios

que puede disipar cada resistencia en cuestión. Este valor

puede estar escrito en el cuerpo del componente o se tiene

que deducir de comparar su tamaño con los tamaños estándar y

sus respectivas potencias. El tamaño de las resistencias

comunes, cuerpo cilíndrico con 2 terminales, que aparecen en

los aparatos eléctricos domésticos suelen ser de 1/4 W,

existiendo otros valores de potencias de comerciales de ½ W,

1 W, 2 W, etc.

EJERCICIO # 07:

En el circuito mostrado en el esquema, complete la tabla

adjunta.

I Ri

(Ω)

ΔUi

(V)

Ii

(A)

Poti

(W)

1 50 7.952 0.15904 1.2647

2 70 4.0484 0.057834 0.23414

3 40 4.0484 0.10121 0.40974

Eq’ 25.455 4.0484 0.15904 0.64386

eq 75,455 12 0.15904 1.90848

1) Calcule la resistencia equivalente Req’, de la asociación

en paralelo R2 y R3.

Ω25.455Ω40Ω70

Ω40Ω70

RR

RRReq'

32

32

2) Calcule la resistencia equivalente Req, de todo el

circuito.

Es equivalente a la asociación en serie R1 y Req’, por lo

tanto.

Ω75.455Ω25.455Ω50Req'R1Req

3) Calcule la intensidad de corriente eléctrica total que

circula por el circuito.

A0.1590475.455

V12

ReqI

ε=12(V)

R1= 50 (Ω)

R2= 70 (Ω) R2= 40 (Ω) +

-

I1

I2 I3

4) ¿Qué intensidad de corriente eléctrica circula por R1 y

Req’?

En vista que ambas están en serie con la fuente de fuerza

electromotriz, debe circular por ellas la corriente eléctrica

total del circuito.

A 0.15904IIeq'I1

5) ¿Qué diferencia de potencial eléctrico existe entre los

extremos de los resistores R2 y R3?

La diferencia de potencial entre sus extremos son iguales por

estar en paralelo y es igual a la diferencia de potencial

entre los extremos de su resistencia equivalente Req’.

V4.0484Ω25.455A0.15904Req'Ieq'Ueq'UU 32

6) ¿Qué diferencia de potencial eléctrico existe entre los

extremos de los resistores R1?

V7.952Ω50A0.15904RIU 111

7) ¿Qué intensidad de corriente eléctrica circula por el

resistor R2?

A0.057834Ω70

V4.0484

R

UI

2

22

8) ¿Qué intensidad de corriente eléctrica circula por el

resistor R3?

A0.10121Ω40

V4.0484

R

UI

3

33

9) Calcule la potencia de energía eléctrica disipada en cada

resistor y resistencias equivalentes.

W1.2647V7.952A0.15904UIPot 111

W0.23414V4.0484A0.057834UIPot 222

W0.40974V4.0484A0.10121UIPot 333

W0.64386V4.0484A0.15904Ueq'Ieq'Poteq'

W1.90848V12A0.15904UeqIeqPoteq

10) ¿Cuál es la potencia energética que entrega la fuente?

¿Qué opinión le merece?

W1.90848V12A0.15904IPot

La potencia de energía eléctrica que suministra la fuente de

fuerza electromotriz es igual a la suma de la potencia de

energía eléctrica disipada en forma de calor en los

resistores R1, R2 y R3.

2.4) SESION DE APRENDIZAJE

2.4.1) LEYES DE KIRCHHOFF

Las leyes de Kirchhoff son dos igualdades que se basan en la

conservación de la energía y la carga en los circuitos

eléctricos. Fueron descritas por primera vez en 1845 por

Gustav Kirchhoff.

Estas leyes son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para

hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un

circuito eléctrico.

Ley de corrientes de Kirchhoff

La corriente que pasa por un nodo es igual a la corriente que

sale del mismo.

Esta ley también es llamada ley de las corrientes o primera

ley de Kirchhoff y es común que se use la sigla LCK para

referirse a esta ley. La ley de corrientes de Kirchhoff nos

dice que:

Si consideramos positivas las corrientes que ingresan al nodo

y negativas las que salen del mismo, la suma de todas las

corrientes que pasan por el nodo es igual a cero.

Esta fórmula es válida también para circuitos complejos.

La ley se basa en el principio de la conservación de la carga

eléctrica, donde la intensidad de corriente es expresada en

amperios (A = C/s).

Esto es simplemente la ecuación de la conservación de la

carga.

Ley de tensiones de Kirchhoff

Según el circuito mostrado enj el esquema.

En este caso v4= v1+v2+v3. No se tiene en cuenta a v5 porque no

hace parte de la malla que estamos analizando.

Esta ley es llamada también Segunda ley de Kirchhoff, ley de

voltajes de Kirchhoff o ley de mallas de Kirchhoff y es común

que se use la sigla LVK para referirse a esta ley.

En un lazo cerrado, la suma de todas las caídas de tensión es

igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente,

la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico

en un lazo es igual a cero.

De igual manera que con la corriente, los voltajes también

pueden ser complejos, así.

Esta ley se basa en la conservación de la energía en un campo

conservativo de fuerzas que es el campo eléctrico. Dada una

diferencia de potencial, una carga que ha completado un lazo

cerrado no gana o pierde energía al regresar al punto de

partida.

Esta ley es cierta incluso cuando hay resistencia en el

circuito. La validez de esta ley puede explicarse al

considerar que una carga no regresa a su punto de partida,

debido a la disipación de energía. Una carga simplemente

terminará en el terminal negativo, en vez del positivo. Esto

significa que toda la energía dada por la diferencia de

potencial ha sido completamente consumida por la resistencia,

la cual la transformará en calor.

Es una ley que está relacionada con el campo eléctrico

generado por fuentes de tensión. En este campo eléctrico, sin

importar que componentes electrónicos estén presentes, la

ganancia o pérdida de la energía dada por el campo eléctrico

debe ser cero cuando una carga completa un lazo.

Bajo este concepto, la ley de tensión de Kirchhoff puede

verse como una consecuencia del principio de la

conservación de la energía. Considerando el campo

eléctrico, el trabajo que realiza sobre una carga

eléctrica que circula por un lazo cerrado es dado una

integral de línea sobre el campo eléctrico.

Que dice que la integral de línea del campo eléctrico

alrededor de un lazo cerrado es cero.

Considerando el circuito representado al comienzo, esta forma

puede dividirse en componentes de trayectoria incluyendo cada

una un componente.

0dlddddDACDC AB BC

ElElElElE

0VVV CDBCAB

Los cambios de tensión en cada resistor son negativos, dado

que la carga circulante pierde energía potencial eléctrica al

atravesarlos, estos elementos se denominan pasivos.

Cuando la carga eléctrica atraviesa la fuente (etapa DA) gana

energía potencial eléctrica para volver a circular, este

elemento es un elemento activo y se denomina fuente de fuerza

electromotriz ε, el cual cede continuamente energía al

circuito para mantener la circulación de la carga eléctrica.

2.4.2) ASOCIACION DE RESISTENCIAS ELECTRICAS

Resistencia equivalente: Se denomina resistencia equivalente

de una asociación respecto de dos puntos A y B, a aquella que

conectada a la misma diferencia de potencial, UAB, demanda la

misma intensidad, I (ver figura). Esto significa que ante

las mismas condiciones, la asociación y su resistencia

equivalente disipan la misma potencia.

Asociación en serie

Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie

cuando al aplicar al conjunto una diferencia de potencial,

todas ellas son recorridas por la misma corriente.

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación

serie imaginaremos a partir de la figura anterior, que ambas

figuras a) y c), están conectadas a la misma diferencia de

potencial, UAB. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la

asociación en serie tendremos.

Aplicando la ley de Ohm.

En la resistencia equivalente.

Asociaciones generales de resistencias: a) Serie

y b) Paralelo. c) Resistencia equivalente.

Finalmente, igualando ambas ecuaciones se obtiene que.

Y eliminando la intensidad I.

Por lo tanto, la resistencia equivalente a n resistencias

montadas en serie es igual a la sumatoria de dichas

resistencias.

Asociación en paralelo

Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando

tienen dos terminales comunes de modo que al aplicar al

conjunto una diferencia de potencial, UAB, todas las

resistencias tienen la misma caída de tensión, UAB.

Para determinar la resistencia equivalente de una asociación

en paralelo imaginaremos que ambas, figuras b) y c), están

conectadas a la misma diferencia de potencial mencionada, UAB,

lo que originará una misma demanda de corriente eléctrica, I.

Esta corriente se repartirá en la asociación por cada una de

sus resistencias de acuerdo con la primera ley de Kirchhoff.

Aplicando la ley de Ohm.

En la resistencia equivalente se cumple.

Igualando ambas ecuaciones y eliminando la tensión UAB.

De donde:

Por lo que la resistencia equivalente de una asociación en

paralelo es igual a la inversa de la suma de las inversas de

cada una de las resistencias.

Existen dos casos particulares notables que suelen darse en

una asociación en paralelo.

1. Dos resistencia asociadas en paralelo: en este caso se

puede comprobar que la resistencia equivalente es igual al

producto dividido por la suma de sus valores, esto es.

2. k resistencias iguales asociadas en paralelo: su

equivalente resulta ser.

2.4.3) CIRCUITO RC (Carga y descarga)

Carga del condensador.

Al conectar un condensador en un circuito con una fuente de

fuerza electromotriz directa (batería), la corriente empieza

a circular por el mismo. A la vez, el condensador va

acumulando carga entre sus placas. Cuando el condensador se

encuentra totalmente cargado, deja de circular corriente por

el circuito.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, obtenemos la ecuación.

RiC

q(t)ε

Reemplazando la intensidad de corriente eléctrica por su

equivalente i = dq/dt, obtenemos la ecuación diferencial

siguiente.

dt

tdqRtq

C

1ε

+ -

I

ε +q(t)

-q(t) C

R

Resolviendo esta ecuación con la condición inicial para t=0

q(t) = 0, la carga en el condensador en función del tiempo

es.

RC

t

e1Cεq(t)

Dividiendo la expresión para la carga eléctrica entre la

capacidad C, obtenemos la diferencia de potencial entre las

placas del condensador.

RC

t

e1εV(t)

Derivando respecto al tiempo la expresión para la carga

eléctrica del condensador obtenemos la corriente eléctrica

que circula por el circuito.

La magnitud τ = RC posee unidades de tiempo, se le denomina

tiempo de relajación.

CR

t

eR

εi(t)

Descarga del condensador.

Cuando se trata de la descarga del condensador, se desconecta

la fuente manteniendo la resistencia en serie con el

condensador, bajo la condición inicial q(t) = ε C cuando t = 0.

t t t

q(t) V(t) I(t)

ε C ε

ε /R

C R

+ -

I

ε +q(t)

-q(t)

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, obtenemos la ecuación.

dt

tdqRtq

C

10

Cuya solución para la carga eléctrica del condensador es.

RC

t

eCεtq

Dividiendo la expresión para la carga eléctrica entre la

capacidad C, obtenemos la diferencia de potencial entre las

placas del condensador.

RC

t

eεtV

Derivando respecto al tiempo la expresión para la carga

eléctrica del condensador, obtenemos la corriente eléctrica

que circula por el circuito.

RC

t

eR

εti

EJERCICIO # 08:

En el circuito mostrado en el esquema, ε = 16 (V), R = 2000

(Ω), C = 2x10-9 (F)

q(t) V(t) I(t)

ε C ε

-(ε /R) t t

t

C R

ε +

-

1) Calcule el tiempo de relajación τ.

s4x10F2x10Ω2000CRτ 69

2) Obtenga la expresión para obtener el tiempo en que el

voltaje y la carga eléctrica del condensador se reducen a la

mitad durante una descarga, denominado tiempo de reducción a

la mitad T1/2. Durante la carga, cada vez que transcurre este

tiempo el voltaje y la carga eléctrica del condensador se

aproximan a la mitad de lo que falta para alcanzar los

valores de saturación. Calcule el valor de T1/2 para el

circuito.

En t = 0 (s) el voltaje es V(t) = ε, cuando el tiempo t = T1/2 el voltaje será V(t) = ε/2. En la expresión para V(t)

tenemos.

1/2T

eε2

ε

Sacando logaritmo natural a ambos miembros de la expresión y

despejando T1/2, obtenemos.

τ2lnT1/2

Su valor es.

s2.7726x10s4x102lnT -66

1/2

3) El circuito inicia su carga en t = o (s), continúa su

carga hasta t = 2 T1/2, posteriormente el conmutador cambia de

posición y comienza la descarga. Confeccione una gráfica para

V(t) y q(t) hasta t = 4 T1/2.

Aplicando el concepto de T1/2, obtenemos los siguientes

datos.

Q = ε C = 2.4x10-8 (C)

ε = 16 (V)

T

(s)

q(t)

(C)

V(t)

(V)

0 0 0

T1/2 Q/2 ε/2

2 T1/2 Q/2+Q/4 = 3Q/4 ε/2+ ε/4 = 3ε/4

3 T1/2 (3Q/4)/2 = 3Q/8 (3ε/4)/2 = 3ε/8

4 T1/2 (3Q/8)/2 = 3Q/16 (3ε/8)/2 = 3ε/16

5 T1/2 (3Q/16)/2 = 3Q/32 (3ε/16)/2 = 3ε/32

V(t) [V] q(t) [C]

0

5

10

15

20 4x10-8

3x10-8

2x10-8

1x10-8

0 0 T1/2 2T1/2 3T1/2 4T1/2 5T1/2 6T1/2

V(t)

q(t)

Voltaje de saturación

Carga eléctrica de saturaciónturación

2.5) EJERCICIOS SOBRE CONDENSADORES, DIELECTRICOS Y CORRIENTE

ELECTRICA DIRECTA

2.1 Dos placas conductoras paralelas e infinitas, separadas

una distancia d están a potenciales 0 y V0 respectivamente.

A) ¿Cómo es la distribución de potencial entre las placas si

entre ellas existe una densidad de carga dada por =0(x/d),

siendo x la distancia a la placa de potencial cero?

B) ¿Cuánto valen las densidades de carga en las placas?

2.2 Se tiene una esfera de radio R con una densidad de carga

dada por = 0 - Ar2, siendo 0 y A constantes, averiguar el

trabajo necesario para llevar una carga q desde la superficie

de la esfera hasta el centro. Tómese R=1m, 0= 6 C m-3 y A =

20Cm-5

2.2 Un plano conductor infinito se conecta al polo negativo

de una pila de f.e.m. V0 inagotable, adquiriendo por ello una

densidad superficial de carga uniforme y constante. Algunos electrones se desprenden del plano por efecto termoiónico

cuando se calienta este y tienden a separarse de él formando

una distribución de carga dada por = 0 e-x/a

, donde 0 y a son constantes. Calcular el valor del campo eléctrico y el

potencial electrostático a una distancia x del plano.

2.3 Supóngase un medio dieléctrico esférico, isótropo y

homogéneo que contiene una carga q en su centro. El medio es

lineal y se puede caracterizar por una constante dieléctrica

de valor k. Encontrar el valor del campo en dicho medio, así

como la polarización y las densidades de carga de

polarización.

2.4 Una varilla delgada de dieléctrico, de sección A, se

extiende a lo largo del eje X, desde x=0 a x= L. La varilla

tiene una polarización P = (ax3+b) ux.

A) Hallar la densidad de carga de polarización en volumen y

en superficie.

B) Demostrar explícitamente que la carga total es cero.

2.5 Una esfera dieléctrica de radio a y constante dieléctrica

K tiene una densidad uniforme de carga libre 0 en todo su

volumen. Hallar:

A) Los vectores E y D en todos los puntos del espacio

B) La carga de polarización en volumen y en superficie

C) El potencial electrostático dentro y fuera de la esfera.

Datos: a= 1cm, =30, 0= 10-6Cm

-3.

2.6 A) Hacer una representación gráfica esquemática del

potencial y el campo eléctrico en función de la distancia r

al centro de la figura, suponiendo que hay una carga Q

situada en él centro y que la corteza esférica es metálica.

B) Repetir las gráficas para una corteza dieléctrica con

constante =20

2.7 Un cilindro metálico infinito de radio a tiene una

densidad lineal de carga . Si se introduce en un medio de

permitividad dieléctrica, averiguar.

A) El campo eléctrico en el exterior del cilindro.

B) la densidad de volumen de carga de polarización en el

dieléctrico.

C) La densidad superficial de carga de polarización sobre

la superficie del cilindro.

D) Comparar este último resultado con el obtenido del

apartado A).

2.8 En un condensador esférico de radios R1 y R2 se introduce

una capa dieléctrica concéntrica de radios a<b y permitividad

eléctrica . Obtener el nuevo valor de la capacidad del

condensador y las cargas de polarización que aparecen.

2.9 Dos placas rectangulares paralelas de área A, separadas

una distancia d, con dieléctricos en serie de espesor d1 y

permitividad ε1 y espesor d2 y permitividad ε2, tal y como

se indica en la figura. Las placas son conductoras y tienen

repartida sobre ellas cargas eléctricas Q y -Q,

respectivamente.

averiguar cuanto vale la carga de polarización en la frontera

entre los dos dieléctricos. Despréciense los efectos de

borde.

2.13 Una esfera conductora de radio R flota sumergida hasta

la mitad en un líquido dieléctrico de permitividad 1. La

región por encima del líquido dieléctrico está ocupada por un

gas de constante 2. La esfera tiene una carga libre Q.

Determinar si existe un campo eléctrico radial, proporcional

a la inversa del cuadrado de la distancia al centro de la

esfera, que satisfaga todas las condiciones de frontera y, en

caso afirmativo, determinar la densidad de carga libre, de

carga de polarización y de carga total en cada punto de la

superficie de la esfera.

1

2

2.14 El espacio entre dos cilindros conductores concéntricos

de longitud L y de radios R1 y R2 se rellena hasta la mitad

con un dieléctrico con una permitividad , como se muestra en

la figura. A los cilindros se les aplica una ddp de valor V.

a) Hallar los vectores E y D en el aire y en el dieléctrico

entre los cilindros; b) Hallar la densidad superficial de

carga libre en el cilindro interior, en las partes de

contacto con el aire y con el dieléctrico; c) Hallar la

capacidad del sistema.

L

2.15 Un haz de protones se acelera mediante una ddp de 5000 V

formando una haz cilíndrico de sección 1cm2. La corriente que

representa es de 2 mA y está uniformemente repartida en el

haz. Hallar la densidad de protones después de la aceleración

y el valor del campo eléctrico dentro y fuera del haz.

2.16 Un medio conductor está formado por una red cúbica de

átomos equidistantes, tal y como se muestra en la figura.

Suponiendo que los electrones se mueven hacia la derecha bajo

el impulso de un campo eléctrico exterior E0, y que chocan

con todos los átomos que encuentran, de modo que se frenan

totalmente al llegar a cada plano vertical de átomos y se

aceleran uniformemente entre dos planos sucesivos, averiguar

la conductividad eléctrica del conductor. Supóngase que hay

1023 electrones por cm

3 y E0= 10

3 V/m.

2.17 Un trozo de cobre es recorrido por una corriente

eléctrica de densidad 103Acm

-2. Sabiendo que el cobre metálico

es monovalente, que su densidad es 8.92 g/cm3, y su peso

atómico 63.5, calcular la velocidad de arrastre de los

electrones en el cobre y su tiempo medio entre colisiones. La

resistividad del cobre vale 1.69 x 10-8 m.

2.18 Un cilindro de vidrio de 1 m de longitud, con tapas

metálicas de 10 cm de radio contiene aire en condiciones

normales. Un haz de rayos X ioniza parte del gas, y al

aplicar una tensión de 10 KV entre las tapas se origina una

corriente de 1.5 A. Calcular: a)La conductividad del gas; b)

el tiempo medio de colisión, sabiendo que la velocidad media

de los iones es 1.2 x 106 m s

-1; c) Si hay el mismo número de

iones positivos y negativos, y todos son monovalentes, la

fracción de átomos ionizados. Tómese la masa de los iones

igual a 103 me.

2.19 En un cristal cúbico de NaCl de 1 cm de arista hay una

concentración de vacantes de sodio y de cloro de 3 x 1015 cm

-

3. Las movilidades de ambas vacantes son 7.0 x 10

-4 cm

2 s

-1 V

-1

y 5.5 x 10-4 cm

2 s

-1 V

-1 respectivamente. Calcular la

conductividad de este cristal y la intensidad de corriente

que lo atraviesa al someterlo a una ddp de 10 KV entre dos

caras opuestas.

2.20 Un condensador esférico de radio interior 1 m y radio

exterior 2 m tiene conectada una pila de 10 V entre las

armaduras. El medio material que hay entre ellas tiene una

conductividad de 3 -1 m

-1. r la resistencia eléctrica del

sistema y la potencia proporcionada por la pila.

2.21 Una esfera de radio R tiene permitividad eléctrica y

conductividad inicialmente nula. En su volumen hay una

densidad de carga 0 uniformemente distribuida. En un

instante determinado (t=0) la esfera se vuelve conductora con

conductividad g. Determinar a partir de ese instante como

cambia la distribución de carga en la esfera en función del

tiempo, tanto en el interior como en la superficie.

2.22 Demostrar que la energía almacenada en un condensador

cargado se disipa íntegramente en una resistencia cuando esta

se conecta en serie con el condensador.

2.23 Un condensador plano infinito tiene una de sus placas a

potencial cero y la otra a potencial V0. Una de las placas

emite electrones con velocidad inicial nula. Estos electrones

son atraídos hacia la otra placa de modo que la distribución

de potencial en el interior del condensador es V(x) = V0

(x/a)4/3

, siendo x la distancia a la placa de potencial 0 y a

la distancia entre las placas. Calcular la velocidad de los

electrones en función de la distancia x y la densidad de

corriente en el interior del condensador.

2.24 Dos láminas infinitas de espesores 3 cm y 2 cm

respectivamente tienen permitividades eléctricas 60 y 30 y

conductividades de 1x 10-6 -1

cm-1 y 4 x 10

-6 -1

cm-1

respectivamente. Con ellas se forma un condensador plano como

el de la figura, y se le aplica una tensión de 800 V.

Determinar la densidad de carga y el potencial eléctrico en

la frontera de separación entre ambas láminas. Despreciar los

efectos de borde y de carga espacial.

PRACTICA DE LABORATORIO # 02: LEY DE OMH

1.- OBJETIVO GENERAL

Verificar experimentalmente la Ley de Ohm, hallando

la relación que existe entre la diferencia de

potencial aplicada a un circuito simple y la

intensidad de corriente que pasa por ella.

2.- FUNDAMENTO TEORICO

En electricidad existen dos conceptos que son básicos

para todos los estudios. Ellos son diferencia de

potencial (voltaje) e intensidad de corriente eléctrica

(amperios). El primero se refiere al trabajo necesario

para mover una unidad positiva de carga de un punto a

otro; el segundo se refiere a la corriente (cantidad de

carga eléctrica transportada por segundo entre los puntos

en cuestión).

Diferentes efectos de la corriente, tales como el

calentamiento del conductor, los efectos magnéticos y

químicos, dependen de la intensidad de la corriente.

Variando esta magnitud en el circuito, dichos efectos

pueden ser regulados. Pero para poder controlar la

corriente en el circuito, hay que saber de que depende en

él la intensidad de la corriente.

Como sabemos, la corriente eléctrica en el circuito es el

movimiento ordenado de partículas cargadas en el campo

eléctrico. Mientras mayor es la acción de éste sobre

dichas partículas, mayor será la intensidad de la

corriente en el circuito.

Pero la acción del campo se caracteriza por la diferencia

de potencial. Por lo tanto podemos decir que la

intensidad de la corriente depende de la diferencia de

potencial (tensión).

PROBLEMA

¿Cuál es la relación entre la diferencia de potencial y

la intensidad de corriente eléctrica, en un circuito

simple?

3.- HIPÓTESIS GENERAL

La relación entre la diferencia de potencial y la

intensidad de corriente eléctrica, en un circuito simple

nos permite hallar la resistencia que ofrece el circuito

al paso de la corriente eléctrica.

4.- VARIABLES

Variable independiente (X)

Intensidad de corriente eléctrica.

Variable Dependiente (Y)

Diferencia de potencial.

5.- DISEÑO DEL EXPERIMENTO

5.1 Equipos y Materiales

Una fuente de energía de 6 a 12 volt.

Un voltímetro.

Un Amperímetro.

Un reóstato.

Un interruptor y alambres conectores.

Una resistencia de valor no conocido.

5.2 Procedimiento

Instale el circuito que se muestra en la figura,

colocando en serie la fuente, la resistencia R y el

amperímetro A. El voltímetro V se conecta en paralelo

con la resistencia objeto de estudio.

Después de la Instalación del circuito que se muestra

en la figura. No encienda la fuente, hasta que el

profesor verifique las instalaciones. En el circuito, la

conexión de los aparatos de medición debe considerar que

el borne positivo (+) de cada instrumento debe ser

conectado al lado positivo (+) de la fuente.

Antes de efectuar una medición, debe colocarse el

instrumento de medición en su rango máximo con ayuda del

selector del instrumento; luego se baja gradualmente el

rango hasta que la deflexión de la aguja llegue o esté

próxima a la mitad del valor máximo de la escala, siendo

esta la lectura final de la medición.

Con la resistencia variable en su valor máximo, encender

la fuente, asegurándose de que el amperímetro deje pasar

sin peligro la corriente. Ahora mover gradualmente el

selector del potenciómetro, para variar la corriente I

que circula por la resistencia desconocida (R) y la

diferencia de potencial (V) entre los extremos de la

misma. Tome unas seis lecturas de la diferencia de

potencial entre los extremos de la resistencia R y de la

corriente a través de ella a medida que se disminuye la

resistencia variable. Nótese que aunque el voltaje de la

fuente es constante, la diferencia de potencial a través

de R cambia. Anote los valores de V e I en la tabla de

datos.

Finalmente descubra la resistencia incógnita y anote el

valor según el código de colores.

En forma referencial, mida la resistencia incógnita con

el ohmímetro y anote el valor.

+

-

A

V R

Tabla de Datos

I Vi

(V)

Ii (A) Ri = Vi/Ii (Ω)

Vi Ii

(V A)

Ii2

(A2)

1

2

3

4

5

6

7

5.3 Gráficos

Representar en papel milimetrado, Voltaje vs Intensidad,

trazando la recta de mejor ajuste, utilice para ello los

mínimos cuadrados.

6.- RESULTADOS

Desarrolle los mínimos cuadrados.

Exprese la relación matemática hallada en función a las

variables utilizadas (I, V).

La pendiente de la recta es el valor de la resistencia

incógnita utilizada en la experiencia, indíquela con su

respectivo margen de error

7.- CONCLUSIONES

Diga si se cumplió con el objetivo de la experiencia

8.- PREGUNTAS

8.1 Diga Ud. la función que cumple el potenciómetro

del circuito

8.2 Qué sucedería si por equivocación Ud. cambia la

polaridad de los instrumentos

8.3 Compare el valor experimental obtenido para la

resistencia incógnita con el valor del código de colores

del mismo.

8.4 Compare el valor experimental obtenido para la

resistencia incógnita con la lectura que hizo del mismo

utilizando el ohmímetro.

8.5 Después de resolver las preguntas 9.3 y 9.4, a qué

conclusión llega

9.- BIBLIOGRAFIA

9.1 Serway, Raymond A.: Física, vol II, Edit. McGraw-

Hill Interamericana, s.a. México, 2005.

9.2 Sears, W. F.; Zemansky H. D. y otros: Física

Universitaria. Vol II, edit. Addison-Wesley- Lougman.

México 2003.