ELECTROCINETIQU MPSI

Lyce technique Mohamed V Centre des classes prparatoires Bni Mellal

M.P.S.I

COURS DE PHYSIQUE

MPSI

LECTROCINTIQUE

EL FILALI SAID

LECTROCINTIQUE-M.P.S.I

CPGE/Bni Mellal

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-SAID EL FILALI-

Table des matires1 LOIS GNRALES DANS LE CADRE DE LAPPROXIMATION DES RGIMES QUASIPERMANENTS 5 1.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Courant lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Bilan de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Loi des nuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Tension lectrique, loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 La puissance lectromagntique reue par un diple . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Caractre gnrateur et rcepteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9

2 LMENTS DE CIRCUITS LINAIRES EN RGIME CONTINU OU QUASI-PERMANENT 2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Modlisation de dipoles passifs linaires R, C et L . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Le conducteur ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1.1 Modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1.3 Effet Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2.1 Modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2.2 Association des condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2.3 Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.3 La bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.3.1 Modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.3.2 Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Diviseurs de tension et de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Diviseurs de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.2 Diviseurs de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Modlisations linaires dun diple actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.1 Gnrateur de courant (reprsentation de N ORTON) . . . . . . . . . . . . 14 2.4.2 Gnrateur de tension (reprsentation de T HEVENIN) . . . . . . . . . . . 15 2.4.3 quivalence entre les deux modlisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 THORMES DE BASES ET MODLISATIONS DES RSEAUX LINAIRES 17 3.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Thorme de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3

TABLE DES MATIRES


3.3 3.4 3.5 4

Thorme de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Thorme Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Thorme de Norton : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 23 23 23 23 24 24 25 25 26 26 26 27 27 27 28 29 29 29 30 30 30 31 31 31 32 33 35 39 39 39 40 40 41 41 41 42 42 42 43 44 44

Rgime transitoire 4.1 Cas du circuit (R-C) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Charge du condensateur (rgime forc) : . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.1 Lquation diffrentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.2 Dtermination exprimentale de la constante de temps La pente lorigine . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.2.1 4.1.1.2.2 la valeur de u( ) . . . . . . . . . . . . . . . Temps de monte . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.2.3 4.1.1.3 Le portrait de phase : . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1.3.1 4.1.1.3.2 Reprsentation dans le plan de phase . . . . . 4.1.1.4 Aspect nergtique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Dcharge du condensateur (rgime libre) : . . . . . . . . . . . . 4.1.2.1 quation diffrentielle et solution : . . . . . . . . . . . 4.1.2.2 Lquation de la trajectoire de phase : . . . . . . . . . 4.2 Cas du circuit (R-L) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Rgime forc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.1 Lquation diffrentielle et solution . . . . . . . . . . . 4.2.1.2 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1.3 Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Rgime libre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Circuit (RLC) srie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Rgime libre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1.1 Rgime apriodique > 0 : . . . . . . . . . . . = 0 : . . . . . . . . . . . . . 4.3.1.2 Rgime critique 4.3.1.3 Rgime pseudopriodique < 0 : . . . . . . . . 4.3.2 Rgime forc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rgime alternatif sinusoidal 5.1 Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes . . . . . . 5.1.1 Amplitude complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Impedance complexe et admittance complexe : . . . . . . . 5.1.2.1 Dnitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2.2 Applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impedance dun resistor . . . . . . . . 5.1.2.2.1 5.1.2.2.2 Impedance dune bobine idale . . . . Impedance dun condensateur . . . . 5.1.2.2.3 5.2 tude du circuit RLC srie en rgime sinusoidal forc . . . . . . . . 5.2.1 Rgime transitoire et rgime permanent . . . . . . . . . . . 5.2.2 tude de limpedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Rsonance en tension aux bornes du condensateur (Charge) 5.2.3.1 quation diffrentielle et solution . . . . . . . . . Page -4/73-

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5

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TABLE DES MATIRES

LECTROCINTIQUE-M.P.S.I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 46 47 48 48 48 50 50 50 52 55 55 55 55 56 56 57 57 57 58 58 58 59 59 60 60 60 61 62 62 62 63 64 64 65 65 66 67 67 68 70 71 71 71 71

5.3

5.2.3.2 tude de lamplitude Uc . . . . . . . . . 5.2.3.3 La bande passante -3dB pour la charge 5.2.3.4 tude du dphasage = c e . . . . 5.2.4 Rsonance en intensit . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4.1 tude de lamplitude Im . . . . . . . . . 5.2.4.2 La bande passante -3dB . . . . . . . . 5.2.4.3 tude du dphasage = i e . . . . La puissance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Facteur de puissance : . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Adaptation dimpedance : . . . . . . . . . . . . .

6 Diagramme de BODE des ltres du premier et second ordre 6.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Lien entre la fonction de transfert et lquation diffrentielle 6.1.4 Diagrammes de BODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Principaux types de ltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Filtre passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1.1 Ltude dun exemple : . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1.2 Diagramme de Bode pour le gain : . . . . . . . . 6.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase : . . . . . . . 6.3.2 Filtre passe-haut du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2.1 Ltude dun exemple : . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2.2 Diagramme de Bode pour le gain : . . . . . . . . 6.3.2.3 Diagramme de Bode pour la phase : . . . . . . . 6.4 Filtres du deuxime ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Filtre passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1.1 Ltude dun exemple . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . 6.4.1.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . 6.4.2 Filtre passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2.1 Ltude dun exemple . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . 6.4.2.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . 6.4.3 Filtre passe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3.1 Ltude dun exemple . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . 6.4.3.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . 6.4.4 Filtre coupe (ou rjecteur) de bande . . . . . . . . . . . . . 6.4.4.1 Ltude dun exemple . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4.2 Diagramme de Bode pour le gain . . . . . . . . . 6.4.4.2.1 Comportement asymptotique . . . . . . CPGE/Bni Mellal Page -5/73-

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TABLE DES MATIRES

LECTROCINTIQUE-M.P.S.I 6.4.4.2.2

Reprsentation graphique du gain pour quelques valeurs de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4.4.2.3 La bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4.4.3 Diagramme de Bode pour la phase . . . . . . . . . . . . . . . . 73

CPGE/Bni Mellal

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Chapitre 1 LOIS GNRALES DANS LE CADRE DE LAPPROXIMATION DES RGIMES QUASI-PERMANENTS1.1 INTRODUCTION

Llctrocintique : Il sagit de ltude du transport dinformation (courant lectrique ) dans des rseaux lectriques. Cadre de ltude : Ltude de llctrocintique se fait dans le cadre de lApproximation des tats (ou rgimes) quasi-stationnaires ( quasi-permanent ) not ARQP ou AEQS (plus de dtail voir MP). en effet : Lapproximation des tats quasi-stationnaires consiste limiter ltude des rseaux lctrocintiques des dimensions maximales max et des dures minimales min vriant la condition suivante : max co min co tant la clrit de la lumire . Remarque- 1 : Dans ce cadre,on peut ngliger tout phnomne de propagation dans le rseau lctrocintique ; en particulier, la modication dune grandeur lectrique en un point du circuit a pour consquence des modications instantanes des grandeurs analogues caractrisant les autres points du rseau. Exemples : Pour un circuit de dimension max = 3 m, on trouve min 108 s ; on pourra donc se placer dans le cadre de lARQP pour ltude dun signal de frquence fmax 108 Hz = 100 M Hz, ce qui correspond ce quon appelle lectronique basse frquence. Par contre, llectronique de haute frquence peut imposer la miniaturisation des circuits, sous peine de sortir du domaine de lARQP ; ainsi la frquence de rception des 7 c0 = 2, 99792458 108 ms1

1.2. COURANT LECTRIQUE


signaux de tlphonie cellulaire (f = 1800 M Hz donc min = 5, 6.1010 s), lARQP impose max 17 cm, ce qui est nettement plus restrictif. Pour le courant industriel, la frquence f = 50 Hz, donc avec min = 20 ms ; la condition de lARQP impose donc max 6000 km : cette condition est aisment remplie pour un rseau domestique ou une installation industrielle. Par contre, dans un rseau dalimentation de puissance lchelle continentale, il est indispensable de prendre en compte les effets de propagation.

1.2

Courant lectrique

1.2.1 DnitionUne charge lectrique dq qui traverse une surface S pendant un intervalle de temps dt cre un courant dintensit i telle que : i= Si q(C) et t(s) alors i(A). Remarque- 2 : Le sens du courant est le sens du dplacement des porteurs de charges positifs. dq q = dt i dt

Application :(Mouvement de porteurs(NHP page 21))

1.2.2 Bilan de chargesOn admet que la charge (q) et la masse (m) dun systme isol sont conservatives.

1.2.3 Loi des nudsDnition : On appelle nud un point de jonction entre au moins trois ls de connexion. La loi des nuds est une consquence de la conservation de la charge lectrique dans le cadre de lARQP. La charge lectrique ne peut pas saccumuler au niveau des nuds.N

ie =

is

k ik = 0k=0

avec 2 = 1. Cest la premire loi de Kirchhoff . CPGE/Bni Mellal Page -8/73-SAID EL FILALI-

1.3. TENSION LECTRIQUE, LOI DES MAILLES


1.3

Tension lectrique, loi des mailles

On appelle branche un ensemble de diples monts en srie entre deux nuds . On appelle maille un ensemble de branches formant un contour ferm . Remarque- 3 : Une maille peut tre oriente arbitrairement. On admet que la somme algbrique des tensions (ou diffrence de potentiel ) dans une maille est nulle : cest la deuxime loi de Kirchhoff .N

k uk = 0k=0

1.4

La puissance lectromagntique reue par un diple

Soit un diple D travers par un courant lectrique i(t) , maintenant entre ces bornes une tension uAB . i(t) D

uAB La puissance lectromagntique reue par le diple D est donne par : P = uAB (t)i(t) Et par consquent lnergie reue pendant la dure tf ti vaut :tf

W= Remarque- 4 :

uAB (t)i(t) dtti

On adopte la convention thermodynamique : Lnergie reue par un systme sera compte positive. Lnergie fournie par un systme sera compte ngative.

1.5

Caractre gnrateur et rcepteuri D i D

u Convention gnrateur CPGE/Bni Mellal

u Convention rcepteur -SAID EL FILALI-

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1.5. CARACTRE GNRATEUR ET RCEPTEUR


En convention gnrateur les ches reprsentant la tension et le courant sont dans le mme sens La quantit P = ui reprsente la puissance lectrique cde par le diple au reste du circuit. En convention rcepteur les ches reprsentant la tension et le courant sont en sens inverses. La quantit P = ui reprsente la puissance lectrique reue par le diple .

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Chapitre 2 LMENTS DE CIRCUITS LINAIRES EN RGIME CONTINU OU QUASI-PERMANENT2.1 DnitioniD D

uD Un diple D est dit linaire si le courant iD et la tension uD sont relis par une quation linaire Exemples : Le conducteur ohmique , le condensateur , la bobine , le gnrateur (dans le domaine de linarit (voir TD))

2.22.2.1.1

Modlisation de dipoles passifs linaires R, C et LModlisation i Rsistor u i Rsistance R u

2.2.1 Le conducteur ohmique

On modlise un resistor par une rsistance R tel que : u = Ri On conclut que le rsistor est un diple linaire. 11

2.2. MODLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINAIRES R, C ETLECTROCINTIQUE-M.P.S.I L

Remarque- 5 : 1. Pour un l cylindrique de section S et de longueur et de rsistivit alors : R= 1 1 = = G S S

avec : G la conductivit (S (siemens)) , la rsistivit du conducteur (.m) et la conductivit du conducteur (S.m1 ) 2. reprsente la rsistance dun dun l de section 1 m2 et de longueur 1 m ; ainsi pour . 3. Un conducteur ohmique est dit parfait sil ne prsente pas de proprits dilectiques (r = 1) et magntiques (r = 1).(Voir cours dlectromagntismes des milieux) 2.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques

Des rsistances sont montes en srie selles sont traverses par le mme courant et on a :i=N

Re =i=1

Ri

Des rsistances sont montes en parallle selles sont maintenues par la mme tension et on a : 1 = Re Application : Deux rsistances R1 et R2 en parallle alors : Re = P roduit R1 R2 = R1 + R2 Sommei=N

i=1

1 Ri

2.2.1.3

Effet Joule

Lorsque un courant i traverse une rsistance R pendant la dure dt , on a dissipation de lnergietf

dEJ = dWJ = uR iR dt = WJ =ti

uR iR dt

En continue : WJ = RI 2 t = PJ = RI 2 CPGE/Bni Mellal Page -12/73-SAID EL FILALI-

2.2. MODLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINAIRES R, C ETLECTROCINTIQUE-M.P.S.I L

2.2.2 Le condensateur2.2.2.1 ModlisationC A B

Constitu par deux conducteurs en inuence totale ,spars par un dilectrique (papier ,mica ,plastique,.....) ;on le modlise par une capacit C en parallle avec une resistance de fuite Rf

Pour les condensateurs lectrochimiques (polariss et la valeur de C varie de quelques mF quelques F la resistance de fuite Rf > 1M Un condensateur est dit idal si Rf Convention rcepteur Convention gnrateur

Rf

A

+q i

q

B

A

+q i

q

B

u q dq u= ; i= >0 C dt Le condensateur se charge Remarque- 6 :

u q dq u= ; i= 4

>4

)

4

"

, 4

4 6D

4

!

4

*

6D

-

*

Dtermination de la fem du gnrateur de TheveDtermination de la rsistance de Thevenin : nin :) ))

4

4"

4

4"

4

4

"

UAB(vide)4 4!

,

4

4!

4

4!

*

*

*

-

rth =

R1 R4 R2 R3 + R1 + R4 R2 + R3

Eth =

R2 R4 R1 R3 E (R1 + R4 )(R2 + R3 )

Do : IAB R 2 R 4 R1 R 3 E (R1 + R4 )(R2 + R3 ) = R1 R4 R2 R3 R+ + R1 + R4 R2 + R3

On dit que le pont est en quilibre si IAB = 0 par consquent : R2 R4 = R1 R3 condition dquilibre (rgle de gamma)

3.5

Thorme de Norton :

nonc : Un rseau lectrique linaire peut tre vu des points A et B lorsque on enlve la charge comme une source de Norton dimpedance ZN et de courant de court-circuit IN donn par : IN : courant de court-circuit qui passe entre A et B (la charge tant enleve) lorsque UAB = 0. ZN : limpedance du reseau vu des points A et B lorsque on teint toutes les sources autonomes (indpendantes) ; la charge tant enleve

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3.5. THORME DE NORTON :I

LECTROCINTIQUE-M.P.S.IA INRI

reseau linaire

R N

R

B

I= Remarque- 13 :

RN IN RN + R

Un gnrateur de courant idal si RN (ne consomme pas dnergie) Un gnrateur de tension est idal si rth 0 court-circuit un gnrateur de tension cest le remplacer par un l ; et court-circuit un gnrateur de courant cest le remplacer par un interrupteur ouvert. Exercices dapplication : ( voir TD)

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3.5. THORME DE NORTON :


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Chapitre 4 Rgime transitoireLe but est de dterminer la constante de temps caractristique du rgime transitoire. Pout cela excitons un systme linaire par une tension continue t = 0 .AJ

On appelle chelon de tension e(t) dni par :-

e(t)

E si t > 0 0 si t < 0 J

4.1

Cas du circuit (R-C) :

4.1.1 Charge du condensateur (rgime forc) :4.1.1.1 Lquation diffrentielle :(1) K (2) E C R

Le condensateur est initialement dcharg :q(0) = 0 t = 0 on bascule K vers (1) : C se charge . appliquons la loi des mailles au circuit on obtient : q dq q E E RI = 0 = + = C dt RC R cest lquation diffrentielle du circuit

I

R

E

C

La solution de cette quation diffrentielle scrit : q(t) = Aet/ + CE ; avec = RC la constante du temps caractristique du rgime transitoire. Or par continuit de la charge du condensateur , on a :q(0) = 0 = A = CE t Donc : q(t) = CE(1 e ) Lorsque t , q(t) CE = Qf q(t) = CE(1 e ) 25t

4.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) :


Lexpression du courant lectrique : i(t) = E Rt dq = Im e dt

avec Im =

Remarque- 14 : On a : i(o ) = 0

,

i(0+ ) = Im on tire que i(t) est discontinu

Reprsentation graphiqueq,i

CE

q(t)

i(t)t

4.1.1.2 4.1.1.2.1

Dtermination exprimentale de la constante de temps : La pente lorigineu(t)D E M Rgime permanent

t t M

du(t) On a lquation de la pente lorigine (droite)D scrit sous la forme y = kt avec k = dt Lintersection des deux droites au point M en tM = Lintersection de la pente lorigine avec le rgime permanent se fait en t = = RC CPGE/Bni Mellal Page -26/73-

t=0

=

E

-SAID EL FILALI-



4.1.1.2.2

la valeur de u( )KJ Rgime permanent

0,63E

J

valuons u( ) avec u(t) = E(1 exp(t/ )) 1 t = = u( ) = E(1 ) = 0, 63 E = 63%E e On retient que la valeur 0, 63 E = 63%E correspond t = 4.1.1.2.3 Temps de monte : On dnit deux instants t1 et t2 par u(t1 ) = 0, 1E et u(t2 ) = 0, 9E Et puisque u(t) = E(1 exp(t/ ) alors t1 = ln 0, 9 et t2 = ln 0, 1.KJ Rgime permanent

0,9E

0,1E

t1

t

J

2

On dnit le temps de monte tm par tm = t2 t1 = ln 9 2, 2 Remarque- 15 : Linuence de la constante de temps sur la dure de la charge. Pour cela traons la charge pour diffrentes valeurs de CPGE/Bni Mellal Page -27/73-SAID EL FILALI-

4.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) :u(t)

LECTROCINTIQUE-M.P.S.I= 0,2

=1

= 5

t

Si 0 alors la charge est presque instantane 4.1.1.3 4.1.1.3.1 Le portrait de phase : Dnitions :

f (x) Cest la reprsentation dans le plan (O, f (x), ) lorsque t varie. dt On appelle point de phase un point P guratif dont les coordonnes un instant donn t sont df (t) (f (t), ). dt Lorsque t varie , le point P dcrit une courbe, cette courbe est appel trajectoire de phase. On appelle portrait de phase lensemble des trajectoires de phase lorsque les conditions initiales varient. Reprsentation dans le plan de phase : df = i(t). Dans notre cas f (t) = q(t) et dt E On a q(t) = CE(1 exp(t/ ) et i(t) = exp(t/ ) alors : R i= 1 E q R RC 4.1.1.3.2

1 Cest lquation de la trajectoire de phase :droite de pente RC Lorsque E varie alors la trajectoire de phase dcrit des droites parallles. i(t)

q(t) CPGE/Bni Mellal Page -28/73-SAID EL FILALI-



4.1.1.4

Aspect nergtique :

On a : 1 q E = Ri + = Eidt = Ri2 dt + qdq C C Eidt = Ri2 dt + d( q2 ) 2C

On appelle : q2 Wc = : nergie totale emmagasine dans le condensateur . 2C Wg = Eidt : nergie lmentaire fournit par le gnrateur . WJ = Ri2 dt : nergie lmentaire dissipe par effet Joule dans le circuit .t t q

Eidt =0 0

Ri2 dt +0

q dq C

4.1.2 Dcharge du condensateur (rgime libre) :4.1.2.1 quation diffrentielle et solution : Quand le condensateur est charg (q = CE = Qf ) ,on bascule linterrupteur vers la position (2) :donc en prenant linstant de basculement comme origine des temps ,les conditions initiales seront :q(0) = CE = Qf ; i(0) = 0 1 1 Ri + q = 0 = q + q = 0 C La solution est :q(t) = Aet/ en utilisant les C.I on obtient : q(t) = CEet/q

i(t) =

E t/ e R

CE

0,9CE

0,37CE

0,1CE t t

90

t

10

Lors de la dcharge on a : tf = t10% t90% CPGE/Bni Mellal Page -29/73-SAID EL FILALI-



q( ) = 0, 37CE Le rgime permanent est q = 0 (q(t) est une fonction dcroissante).

4.1.2.2

Lquation de la trajectoire de phase :

Daprs ce qui prcde on tire que : 1 q RC

i= Cest une droite afne i(t)

q(t)

Remarque- 16 Si on remplace le gnrateur E et linterrupteur K par un gnrateur dlivrant un signal rectangulaire (E,0) on obtient le signal suivant :

La suite voir TP. CPGE/Bni Mellal Page -30/73-SAID EL FILALI-

4.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) :


4.2

Cas du circuit (R-L) :

4.2.1 Rgime forc :4.2.1.1 Lquation diffrentielle et solution

On remplace le condensateur par une bobine idale dans le circuit prcdent : di linterrupteur k est en position (1) : E = Ri + L dt R i donc : di R E + i= E dt L L cest lquation diffrentielle du circuit La solution de cette quation diffrentielle en posant L R

L

=

Et en tenant compte que le courant qui traverse une bobine est continu alors on trouve que : E (1 et/ ) R

i(t) =

La tension aux bornes de la bobine idale est : uL (t) = L di = Eet/ dt

Representation graphique de i(t) et uL (t)

EJ

uL (t)J

CPGE/Bni Mellal

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-SAID EL FILALI-

4.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) :


4.2.1.2

Portrait de phase E di E (1 exp(t/ )) ainsi = exp(t/ ) R dt L di E R = i dt L L

On a : i =

Le portrait des phase est lensemble des droites parallle de pente di(t) dt

R 1 = L

i(t) 4.2.1.3 Aspect nergtique

di 1 E = Ri + L = Eidt = Ri2 dt + d( Li2 ) dt 2 Wg = Eidt : lnergie lmentaire fournie par le gnrateur. WJ = Ri2 dt : lnergie lmentaire perdue par effet Joule. 1 Wm = d( Li2 ) : lnergie lmentaire emmagasine par la bobine. 2 Le bilan nergtique pour le circuit scrit Wg = WJ + Wm

4.2.2 Rgime libre :Linterrupteur maintenant en position (2) ; lquation diffrentielle sera donc : E di Ri + L = 0 ; les conditions initiales sont i(0) = dt R par changement dorigine des dates ,la solution scrit : i(t) = La tension au bornes de la bobine est : uL (t) = E et/ CPGE/Bni Mellal Page -32/73-SAID EL FILALIE t/ e R

4.3. CIRCUIT (RLC) SRIE :


Representation graphique de i(t) et uL (t)Im

EJ J

uL (t)

4.3

Circuit (RLC) srie :i R L C

Soit le circuit (RLC) srie :

4.3.1 Rgime libre :Lquation diffrentielle est : L + Rq + q On pose :o = 1 q=0 C

1 R o : pulsation propre ainsi 2 = = ; cfcient damortissement et Q LC L Q le facteur de qualit La forme canonique de lquation diffrentielle sera :2 q + 2q + o q = 0 2 Lquation caractristique est : r2 + 2r + o = 0 2 On pose : = 2 o = ( o )( + o )

4.3.1.1

Rgime apriodique

> 0 : 1 2 -SAID EL FILALI-

> 0 = > o : Q < CPGE/Bni Mellal Page -33/73-


LECTROCINTIQUE-M.P.S.I2 2 o 2 2 2 2 = q(t) = et [Ae o t + Be o t ]

Deux racines relles distinctes : q(t) = Aer+ t + Ber t

r =

Lorsque t , et lemporte ;do q 0 sans osciller :Cest le rgime apriodique. Dtermination des constantes A et B :Pour cela on suppose que q(t = 0) = q0 et i(t = 0) = i0 2 2 B = i0 + ( + + o )qo 2 A + B = q0 2 2 + o = 2 2 Ar1 + Br2 = i0 A = i0 + ( + + o )qo 2 2 2 + o = 2, o = Representation graphique 3, A = B = 0.5 = qap = e2t cosh t La trajectoirei

de

phase

est

:q

q(t) x

i(t)

Trajectoire de phase est une courbe ouverte caractristique dun systme apriodique 4.3.1.2 Rgime critique = 0 : 1 2

= 0 = = o : Q = Deux racines relles confondues :

r+ = r = = o q = (c + dt)et

Quand

t , q 0 rapidement sans osciller : Cest le rgime critique. Representation graphique d = 1, c = 1, o = = 2 q = (1 + t)e2t

La trajectoire de phase est :q

q

i

i

CPGE/Bni Mellal

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Remarque- 17 : Le rgime critique est le rgime le plus rapide qui tend vers le rgime permanent (q = 0) Si c = 0 alors q(t) = dt et Reprsentation temporelleGJ

EJ

J

J

Portrait de phaseEJ

GJ

4.3.1.3

Rgime pseudopriodique

< 0 : 1 2

< 0 = < o : Q >2 2 = 2 o = i2 2 avec :2 = o 2 Deux racines complexes conjugues : r1 = + i

et r2 = i donc la solution scrit :

q(t) = et (A cos t + B sin t) = C et cos(t + ) Cest une fonction pseudopriodique damplitude Qm = C et variable en fonction du temps Qm t + 0 La pseudopriode est : T = 2 = To 1 ( o )2

=

To 11 4Q2

CPGE/Bni Mellal

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LECTROCINTIQUE-M.P.S.I Representation graphique

La fonction q(t) est le produit dune fonction priodique est une fonction non priodique (amplitude), et puisque C et C et cos(t + ) C et alors on reprsente les deux enveloppes puis la fonction q(t) (q(t) ne peut pas dpasser lenve loppe) = 0.5, o = 9, 25, = 3, = 0, qo = 1 = qpp = e0.5t cos 3tq(t)

C exp(t)

t

-C

exp(t)

i(t)

D exp(t)

t

-D

exp(t)

La trajectoire de phase est :i(t)

q(t)

CPGE/Bni Mellal

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Remarque- 18 : On a T = 2 = T = 2 o 1 To 1 o2

facteur de qualit ; alors T =

o

2

et comme To =

2 ainsi o

2 o

=

1 Q tant le Q

=

To 1 1 4Q2

Si o = Q 1 ;en effet R trs faible ,alors T To oscillations synchrones. Comme et est un nombre sans dimension alors la dimension dun temps1 , on pose 1 = sappelle le temps de relaxation ou temps damortissement. C Donc pour t = lamplitude Cet (t = ) = e On conclut donc que :Le temps de relaxation est le temps ncessaire pour que lamplitude se divise par e C Pour t = 10 alors lamplitude Cet (t = 10 ) = = 0.0000454C 0 22026.46579 On retient donc que pour t 10 le rgime transitoire disparat. Aspect nergtique : On a : L + Rq + q 1 q = 0 = C 1 1 d( Li2 ) + Ri2 dt + d( q 2 ) = 0 2 2C

1 2 q ) :lnergie lectrostatique lmentaire emmagasine par le condensateur . 2C 1 Wm = d( Li2 ) :lnergie magntique lmentaire emmagasine par la bobine . . 2 We = Ri2 dt :lnergie lmentaire dissipe par effet Joule dans la resistance . We = d( . We + WJ + Wm = 0 le bilan nergtique pour le circuit (RLC srie) libre

4.3.2 Rgime forc :On ajoute au circuit prcdent un gnrateur dlivrant une une tension continue Ei(t) (L,r) C

E

R

CPGE/Bni Mellal

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Lquation diffrentielle di 1 dq On a :E = L + (R + r)i + q et comme i = = q convention rcepteur et en posant dt C dt 1 2 2 = et o = alors la forme canonique de lquation diffrentielle est : R+r LC2 q + 2q + o q =

E L

Solution de lquation diffrentielle La solution est la somme de deux solutions : qt (t) solution de lquation homogne qui tend vers 0 aprs quelques priodes :elle dcrit donc un rgime transitoire qp (t) solution particulire dcrit le rgime permanent. On a : qp (t) = CE Lexpression de qt (t) dpend du signe de . Pour la suite on suppose que < 0 = < o : rgime pseudo-priodique, donc qt (t) = Aet cos(t + ) A lamplitude ( grandeur positive) et la phase lorigine deux constantes dtermins par les conditions initiales ;on suppose que q(t = 0) = 0 condensateur initialement dcharg et i(t = 0) bobine initialement dcharg. q(t) = CE + Aet cos(t + ) = q(t = 0) = 0 = CE + A cos (I) t i(t) = Ae ( cos(t + ) + sin(t + )) i(t = 0) = 0 = cos + sin = 0 (II) Daprs (II) : tan = 1 1 CE et comme 1 + tan2 x = = = 1 + tan2 x Daprs (I) :A = cos cos2 x cos x 2 alors A = CE 1 + 2 Puisque A est une amplitude alors le signe +, donc A = CE 1+ 2 2

Cas particulier important o = Q 1 Dans ce cas o = = o ; T = To ; A = CE; = 0 Donc q(t) = CE(1 + et cos(o t)) Ainsi i(t) = CEet ( cos o t + o sin o t) CPGE/Bni Mellal Page -38/73-SAID EL FILALI-



Puisque les fonctions cos x et sin x sont bornes et o alors i(t) = CEo et sin o t Reprsentation graphique Reprsentation de la chargeq(t) Rgime transitoire Rgime permanent

CE(1+exp(-

t))

CE

CE(1-exp(-

t))

t

Reprsentation du couranti(t) Rgime permanent Rgime transitoire

CE

exp(- t) o

t

-

CE

exp(- t) o

Reprsentation du portrait de phaseEJ

++GJ

CPGE/Bni Mellal

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Remarque- 19 : Si on remplace la tension continue E par un gnrateur de tension care on obtient le schma suivant : representation graphique

Pour toute les dtails voir TP rgime transitoire

CPGE/Bni Mellal

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Chapitre 5 Rgime alternatif sinusoidalUn signal alternatif est un signal qui nadmet pas de composante continue (sa valeur moyenne est nulle :< u(t) >= 0) ,en effet son expression scrit sous la forme :x(t) = X cos(t + ) avec : X : amplitude du signal (grandeur positive). t + : la phase. : la pulsation . : La phase lorigine, cest dire la phase pour t = 0

5.1

Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes

5.1.1 Amplitude complexeSoit un signal sinusoidal damplitude Xm et de pulsation , cet dire x(t) = Xm cos(t+) : A ce signal on peut lui associer : Un vecteur tournant de norme Xm et dangle = t + : reprsentation de Fresnel. Un nombre complexe de module Xm et dargument : reprsentation complexe. Rappel : Z1 | Z1 | | Z 1 Z 2 |=| Z 1 | + | Z 2 | = Z2 | Z2 | arg(Z 1 Z 2 ) = arg Z 1 + arg Z 2 arg(Z 1 /Z 2 ) = arg Z 1 arg Z 2 arg(a > 0) = 0 arg(a < 0) = arg(ja)(a > 0) = 2 = z1 + z2 = z1 + z2 arg(ja)(a < 0) = z1 /z2 = z1 /z2 2 Si Z = a + jb =| Z | ej alors : b (Z) sin = = | Z |= a2 + b2 |Z| a2 + b 2 b (Z) (Z) a tan = = = cos = 2 + b2 |Z| a (Z) a La notation complexe consiste associe une fonction sinusodale un nombre complexe : x(t) = Xm cos(t + ) x(t) = Xm cos(t + ) + jXm sin(t + ) = x(t) = Xm ej(t+) = Xm ej ejt avec :x(t) = (x(t)) x(t) = Xm ej ejt 41

5.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXES LECTROCINTIQUE-M.P.S.I

Xm On rappelle que pour un signal sinusoidal :Xe = : 2 On pose :

valeur efcace.

X m = Xm ej = Xe = Xe ej On conclut que : Xe = |Xe| Xm = |X m | = arg X m = arg X e

Intrt de la notation complexe : Linarit : en effet Si x1 = X1m cos(t + 1 ) et x2 = X2m cos(t + 2 ) alors pour : x = x1 + x2 = Xm cos(t + ) = Xm ej ejt = X1m ej1 ejt + X2m ej2 ejt Xm = X 1m + X 2m Laddition de deux fonctions sinusodales de mme pulsation est quivalent laddition des amplitudes complexes en notation complexe. Drivation : x(t) = Xm cos(t + ) = x = Xm ej ejt j dx j jt 2 = Xm sin(t + ) = Xm cos(t + + ) Xm e e e = jXm ej ejt = dt 2 dx = jx(t) dt Driver par rapport t en notation relle revient multiplier par (j) en notation complexe Intgration : 1 Xm x(t)dt = Xm sin(t + ) = cos(t + ) 2 Xm j jt j Xm j jt e e e 2 = e e j x(t)dt = 1 x(t) j 1 ) en notation complexe j

Intgrer par rapport t en notation relle revient multiplier par (

5.1.2 Impedance complexe et admittance complexe :5.1.2.1 Dnitions :A R B i U

Soit un dipole linaire AB ; i = Im cos(t + i ) i = I m e CPGE/Bni Mellaljt

avec I m = Im e

ji

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5.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXES LECTROCINTIQUE-M.P.S.I

Puisque le dipole est linaire alors la tension u(t) est sinusoidal de mme pulsation u = Um cos(t + u ) u = U m ejt avec U m = Um eju On appelle impedance complexe Z= Um j(u i ) e = Zej Im Z = |Z| = Um Im () = u i = arg Z U Um = e Im Ie

Z=

tant le dphasage entre u(t) et i(t) On appelle admittance complexe (S) : Ym = I Im j 1 e = m = Zm Um Um

5.1.2.2 5.1.2.2.1

Applications : Impedance dun resistor :

u = Ri = U m = RI m = ZR = R u(t) et i(t) sont en phase R = 0

u(t)

5.1.2.2.2 Impedance dune bobine idale : di u = L = U m = jLIm = dt Z L = jL ZL = L ; L = +/2t

t

i(t)

u(t)

t

L > 0 = u(t) est en quadrature avance par rapport i(t) L = /2 = t = T /4 CPGE/Bni Mellal Page -43/73-SAID EL FILALI-

5.2. TUDE DU CIRCUIT RLC SRIE EN RGIME SINUSOIDAL LECTROCINTIQUE-M.P.S.I FORC

5.1.2.2.3 Impedance dun condensateur 1 1 Im = u= i(t)dt = U m = C jC 1 ZC = jC ZC = 1 C ; C = /2

:

i(t)

u(t)

C < 0 = u(t) est en quadrature retard par rapport i(t) |C | = /2 = t = T /4 Remarque- 20 : Tous les rsultats trouvs en courant continu reste valable en rgime sinusoidal forc condition de travailler avec les grandeurs complexes Exemple :Voir TD

5.2

tude du circuit RLC srie en rgime sinusoidal forc

Soit un circuit RLC srie aliment par un GBF maintenant entre ses bornes une tension e(t) = E cos(t + e ) avec = 2f variable ; f tant la frquencei R L

C e(t)

5.2.1 Rgime transitoire et rgime permanentLquation diffrentielle scrit : d2 q o dq E 2 + o q = cos(t + e ) + 2 dt Q dt L La solution de cette quation diffrentielle est la somme de deux solutions : Une solution de lquation homogne (sa forme dpend du signe de ), cette solution tend vers 0 lorsque t (t 10 ). Une solution particulire qui scrit sous la forme Q cos(t+q ) qui dcrit le rgime permanent. Pour reprsenter les deux rgimes on suppose que < 0 , ainsi : q(t) = 1e0,1t cos(2t) + 1 cos(t) CPGE/Bni Mellal Page -44/73-SAID EL FILALI-

5.2. TUDE DU CIRCUIT RLC SRIE EN RGIME SINUSOIDAL LECTROCINTIQUE-M.P.S.I FORCq(t)

t

rgime transitoire

rgime permanent

5.2.2 tude de limpedanceRLC en srie donc Z = Z R + Z C + Z L alors Z = (R + r) + j(L On tire que : 1 2 ) = Re C 1 ) C

Z=

(R + r)2 + (L

1 + Q2 (x 1/x)2

tan =

L

1 C R+r dZ : d

Cherchons si Z prsente un extremum, pour cela calculons

dZ = d

(L

1 1 )(L + ) C C 2 1 2 (R + r)2 + (L ) C

dZ 1 1 = 0 = L = On retient que Z est minimale pour = o = et sa valeur d C LC minimale est Zmin = R + r CPGE/Bni Mellal Page -45/73-SAID EL FILALI-

5.2. TUDE DU CIRCUIT RLC SRIE EN RGIME SINUSOIDAL LECTROCINTIQUE-M.P.S.I FORCz

R+ro =1 LC

5.2.3 Rsonance en tension aux bornes du condensateur (Charge)5.2.3.1 quation diffrentielle et solution di q q dq duc + et puisque uc = et i = =C alors dt c C dt dt 1 1 d2 uc R duc + uc = e(t) + 2 dt L dt LC LC2 En posant o =

On a :e(t) = Re i + L

1 R o et 2 = = la forme canonique LC L Q d2 uc o duc 2 2 + + o uc = o E cos(t + e ) dt2 Q dt

Cest une quation diffrentielle en uc du second ordre linaire avec second membre sinusoidal. La solution de cette quation diffrentielle en rgime permanent scrit uc (t) = Uc cos(t + c ). Le problme et de dterminer Uc et c . On utilise la mthode complexe pour dterminer ces deux grandeurs, pour cela on utilise le diviseur de tension : Uc = 1/jC E = U c = Re + jL + 1/jC 1 1 o2

j + Q o

E

Posons pour la suite x =

: pulsation rduite (sans dimension) o Uc = 1 1 x2 j + x Q E

CPGE/Bni Mellal

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-SAID EL FILALI-


Donc Uc = E (1 x2 )2 + x2 Q2

c = e arg(1 x2 +

j x) Q

5.2.3.2

tude de lamplitude Uc dUc : dx

Cherchons si Uc prsente un extremum ; pour cela calculons 1 Q2

dUc = E dx

x 2(x2 1) + (x2 1)2 +

x2 Q2

3/2

On conclut donc que : Uc prsente en x = 0 = = 0 (Signal continue) un extremum (solution non importante) 1 Si Q > Uc prsente un deuxime extremum en 2 1 = R(charge) = o 2Q2 1 2Q2

xR =

1

1

Avec Uc(max) = 2EQ2 4Q2 1

Si Q 1 alors Uc(max) = QE cest le phnomne de surtension 1 Si Q Uc ne prsente pas un deuxime extremum : Uc une fonction dcroissante 2 Reprsentation pour quelques valeurs de Q CPGE/Bni Mellal Page -47/73-SAID EL FILALI-

5.2. TUDE DU CIRCUIT RLC SRIE EN RGIME SINUSOIDAL LECTROCINTIQUE-M.P.S.I FORCUc

Q=7 Q=5

Q=

1 2

Q = 0, 2 E

o

Remarque- 21 Pour Q 5.2.3.3

5 = R = 0, 9899o o

La bande passante -3dB pour la charge 2 On suppose pour la suite que Q > 2 On dnit la bande passante -3dB par lintervalle des pulsations [1 , 2 ](ou frquences [f1 , f2 ] Uc(max) ou [x1 , x2 ]) tel que Uc 2Uc U c(max) =QE

U c(max)

2

E

c1 o c2

Vu la courbe de Uc en fonction de x on cherche les valeurs de x ou on a lgalit. Tout calcul (avec maple)fait donne : c1 = o 1 1 2 2Q Q 1 4Q2 c2 = o 1 1 + 2 2Q Q 1 4Q2

xc1 =

1

1

xc2 =

1

1

CPGE/Bni Mellal

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Si Q 1 alors c1 o 1 1 1 o (1 ) Q 2Q et c2 o 1+ 1 1 o (1 + ) Q 2Q

La largeur de la bande passante -3dB est : = c2 c1 = 5.2.3.4 tude du dphasage = c e o Q

On a :c = e arg(1 x2 +

j x) donc : Q x/Q x2 (1 x2 )2 + 2 Q 0 = [ , ] 2 2

tude du dphasage = i e

Si x 0 alors

2 Si x alors 2 Si x 1( la rsonance en courant) alors 0 1 1 Si x x1 = + + 1 alors + 2 2Q 2Q 4 1 1 + + 1 alors Si x x2 = 2Q 2Q2 4 Representation graphique de en fonction x

N

5.3

La puissance :La puissance instantane : p(t) = W = u(t).i(t) t -SAID EL FILALI-

5.3.1 Facteur de puissance :

CPGE/Bni Mellal

Page -52/73-

5.3. LA PUISSANCE :


La puissance moyenne : 1 Pm =< p(t) >= TT

p(t)dt0

sachant que u(t) = Um cos(t + u ) i(t) = Im cos(t + i ) 1 cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a b)] 2 Et en posant = u i le dphasage de le tension par rapport au courant alors : Pm = Um Im cos(t + u ) cos(t + i ) Pm =< p(t) >= Um Im cos = Ue Ie cos 2

cos : facteur de puissance. Um Im cos :puissance active ou puissance utile Pm = 2 Um Im sin :puissance ractive Q= 2 Um Im S= :puissance apparente 22 S 2 = Pm + Q2

Remarque- 23 : ui = U I = Um Im ej(+i ) eji = Um Im cos + jUm Im sin 1 1 Pm = (ui ) = (U m I ) = (U e I ) m e 2 2 Et puisque U m = ZI m alors Pm = I2 2 (Z) = Ie (Z) 2

On conclut donc que la puissance moyenne est dissipe dans la partie relle de limpdance complexe Intrt : Soit un gnrateur alimentant une utilisation travers une ligne de transport (cables) :

Ligne (Z) i

Gnrateur

cos

utilisation

CPGE/Bni Mellal

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5.3. LA PUISSANCE :


On pose : Pu = U I cos : La puissance moyenne utile. S = U I : La puissance apparente. PJ = RI 2 : La puissance moyenne consomme par la ligne (Z = R + jX) Pg : la puissance moyenne dlivre par le gnrateur. Le bilan nergtique scrit :Pg = PJ + Pu Le rendement nergtique de lensemble est : = Pu = Pg 1 1+ PJ Pu

est une fonction dcroissante de PJ RI 2 RPu = = 2 Pu Pu U cos2 PJ donc soit : Pu Diminuer R (augmenter la section des cables) Augmenter U (haute tension) Augmenter cos (en pratique cos > 0, 9) Exemple :Soit un diple dimpdance complexe Z = Zej Pour augmenter cos , on peut placer en parallle sur le diple un condensateur Pour augmenter , il faut minimiser

,

+

Ladmittance quivalente est Y e = jC + On veut que cos total = 1 = Y e R cest dire C

1 Z

1 1 sin = 0 = C = sin Z Z

5.3.2 Adaptation dimpedance :Voir Exercice No 1 de la srie II lectrocintique XE 2 2[(X + XG )2 + (Y + YG )2 ] 2. Pm est maximale si sa drive est nulle : Pm = 0 = X = XG Y Pm = 0 = Y = YG X Donc Z = Z 1. Pm = CPGE/Bni Mellal Page -54/73-SAID EL FILALI-

5.3. LA PUISSANCE :


3. Z est imaginaire pur = X = 0 do la puissance moyenne est nulle 4. la frquence f = 150 M Hz Z = R//C avec R = 150 et C = 100 pF 1 1 Z = Z = Y = Y et comme Y = + jC = Y G = jC G G R R 1 1 1 1 avec L = = L = donc Y G = + R jL C 2 C 2 1 = 11, 26 nH AN L = 4f 2 C On conclut donc que ZG = R//L Z = R//L = ZG = R//C tel que C = 1 1 = 2 2 2 L 4 Lf

AN C = 37, 5 pF

CPGE/Bni Mellal

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5.3. LA PUISSANCE :


CPGE/Bni Mellal

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Chapitre 6 Diagramme de BODE des ltres du premier et second ordreOn admet le Thorme de Fourier : toute fonction priodique peut tre dcomposable en une srie de fonctions sinusodales. Cest pour cela quon sinteresse aux signaux sinusodaux appliqus aux systmes linaires.

6.1

Fonction de transfert

6.1.1 DnitionsSoit D un quadripole constitu par un systme linaire possdant une entre ve et une sortie vs :8A , 8I

Puisque on sinteresse aux signaux sinusoidaux , alors on pose : ve (t) = Ve cos(t + e ) = v e (t) = V e ejt avec V e = Ve eje vs (t) = Vs cos(t + s ) = v s (t) = V s ejt avec V s = Ve ejs On appelle fonction de transfert : H(j) = Vs Vs = ej(s e ) = Hej Ve Ve

Vs le module de la fonction de transfert et = s e son argument(le dphasage de Ve la sortie par rapport lentre). avec H =

6.1.2 ExemplesDterminer la fonction de transfert pour les circuits suivants : jRC circuit CR :H = 1 + jRC 57

6.1. FONCTION DE TRANSFERT


circuit RC :H =

1 1 + jRC

1 LC 2 + jRC LC 2 circuit RCL :H = 1 LC 2 + jRC jRC circuit LCR :H = 1 LC 2 + jRC

circuit RLC :H =

1

6.1.3 Lien entre la fonction de transfert et lquation diffrentielleRappelons que en notation complexe multiplier par (j)n cest driv n fois par rapport au temps et diviser par (j)n cest intgrer n fois par rapport au temps. Prenons lexemple du circuit RC : V H(j) = s = V e = V s + j V s en passant la notation relle on a Ve c ve (t) = vs (t) + 1 dvs (t) c dt

Cest lquation diffrentielle du circuit

6.1.4 Diagrammes de BODEEn lectronique , on couvre en gnral une large plage de frquences (10 1OOkHz cadre de lARQP) ,la representation linaire est peu pratique et peu utilis. Diagramme de Bode : cest une representation en chelle logarithmique en abscisse. On dnit le gain G en dcibels par : GdB = 20 log H On rappelle que H est sans dimension. Le diagramme de Bode est le trac des deux courbes : GdB = f (log()) :diagramme de Bode pour H en dcibels ; = g(log()) :diagramme de Bode pour la phase. Remarque- 24 : 1. On trace en gnral un diagramme de Bode sur un papier semi-logarithmique (avec une chelle logarithmique ) 2. On a lim log : un diagramme de Bode ne sarrte pas log = 00

3. Si H = H 1 H 2 =

CPGE/Bni Mellal

GdB = G1dB + G2dB = 1 + 2 On peut sommer les diagrammes de Bode GdB = 0 H = 1 GdB < 0 H < 1 4. GdB > 0 H > 1

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6.2. FILTRAGE


H = 10 GdB = 20 H = 102 G = 40 dB . . . 5. H = 101 GdB = 20 H = 102 GdB = 40 . . .

On appelle le dcade lintervalle des pulsations [1 , 2 ] tel que 2 = 101

6.2

Filtrage

6.2.1 IntroductionUn ltre est un systme linaire qui transmet (le plus parfaitement possible ) certaines frquences et attnue (le plus possible ) les autres. Il est caractris par sa bande passante [c1 , c2 ] ou = c2 c1 avec c1 et c2 les pulsations de coupure. On dnit la bande passante -3dB par Hmax H(c ) = = G(c ) = Gmax 3dB 2

6.2.2 Principaux types de ltresHH

Filtre passe-bas

Filtre passe-haut

HoFiltre idal

Ho

H o 2

H o 2

Filtre rel

Filtre idal

Filtre rel

cH

cH

Filtre passe- bande

Filtre coupe-bande

Ho

Ho

Filtre rel

H o 2

H o 2

Filtre relFiltre idal

Filtre idal

c1 c2

c1

c2

CPGE/Bni Mellal

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6.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE


Remarque- 25 On pose H(j) = N () D()

avec deg N () deg D() (sinon le systme est instable) On dit quun ltre est dordre n si degD() = n

6.3

Filtres du premier ordre

6.3.1 Filtre passe-bas du premier ordreLa forme canonique du ltre passe-bas dordre 1 est : H(j) = Ho = 1 + jx 1+j c Ho

6.3.1.1

Ltude dun exemple :R

considrons le circuit (RC) suivant :

Vei

C

Vs

1 (le condensateur se comporte comme un interrupteur jC ouvert) ,donc le courant est nul et par consquent vs (t) = ve (t) 1 0 (le condensateur se comporte comme un l) ,donc la En HF :(x) = jC tension entre ses bornes est nulle et par consquent vs (t) = 0 On conclut que ce ltre laisse passer les tensions sinusodales de faibles frquences et limine les tensions de hautes frquences : Cest un ltre passe-bas 1 1 jC La fonction de transfert scrit :H(j) = = 1 1 + jRC R+ jC Donc : 1 c = || Ho = 1 RC En BF :(x) 0 = 1. CPGE/Bni Mellal Page -60/73-SAID EL FILALISi c (x ) = H(j) 0 (Vs 0) Si c (x 0) = H(j) Ho Le circuit est constitu des composants passifs alors le ltre est passif. Puisque le degr du dnominateur est gal 1 alors le ltre est passe-bas passif dordre



6.3.1.2 On a

Diagramme de Bode pour le gain : |Ho | |Ho | = 1 + x2 1 + ( )2 c |Ho | c

H=

Comportement asymptotique :

lim G() = lim [20 log10c

1 + ( c )2

] = 20 log |Ho | 20 log c

lim G() = Go 20 log

0

lim G() 20 log |Ho | = Go

est une droite de c pente -20dB/dcade et qui coupe la droite horizontale G = Go pour = c La courbe reprsentant le gain GdB en fonction de logG(dB)

Go Go-3dB

Courbe relle Intgrateur

20 dB/dcade dcade

log

c

Remarque- 26 : Pour o = x 0 on a H = Ho R = vs (t) = Ho ve (t) : le circuit ralise lopration multiplication par une constante Ho c Pour c = H(j) = = vs = Ho c ve dt : cest un intgrateur j Le ltre passe bas dordre 1 joue le rle dintgrateur en hautes frquences (pulsations( c )) 6.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase : Ho Ho = () = arg( ) 1 + j c 1 + j c = arg Ho arg(1 + j CPGE/Bni Mellal Page -61/73 ) c -SAID EL FILALI-

H(j) =



x 1 Dans notre exemple Ho = 1 = sin = < 0 et cos = > 0 donc 1 + x2 1 + x2 On rappelle que la fonction 2 x2 (1 x2 )2 + 2 Q Donc si : 1 Q < : GdB ne prsente pas de maximum (courbe dcroissante) 2 2Q2 1 1 ainsi H(xR ) = |Ho | Q > : GdB prsente un maximum en xR = 1 2Q2 2 4Q2 1GdB

20 log |Ho | 1 Q= 2 1 Q< 2

R log 1 Q> 2

o

20 log |Ho | 3

-40 dB/dcade

Remarque- 29 :

CPGE/Bni Mellal

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6.4. FILTRES DU DEUXIME ORDRE


1 1. En gnral xR = 1 = R = o sauf pour Q = 2 2. Si Q 1 alors R = o ainsi on nomme x1 et x2 > x1 les ples du dnominateur cest dire Ho que H = ; ainsi le diagramme asymptotique prsente une asymptote (1 + jx1 )(1 + jx2 ) intermdiaire entre x1 et x2 -20 dB/dcade En effet si : 1 = H = Ho : multiplication par une constante Ho 1 cest dire que vs (t) = 1 Ho ve (t) dt :intgrateur 1 2 = H = j Ho o 2 = H = cest dire que vs (t) = ( ve (t) dt) dt : double intgrateur (j)2 6.4.1.3 Diagramme de Bode pour la phase Ho

x 2 x = = arg Ho arg(1 x + j Q ) 1 x2 + j Q x x Pour Ho = 1 alors = arg(1 x2 + j ) = tan = Q Q(1 x2 ) H= Reprsentation de la phase pour quelques valeurs de Q

On a :

log x

/2

1 Q> 2

1 Q= 2 1 Q< 2

6.4.2 Filtre passe-hautLa fonction de transfert dun ltre passe haut dordre 2 est de la forme H = Ho x2 1 x2 + j

x Q -SAID EL FILALI-

CPGE/Bni Mellal

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En BF x 0 = H 0 donc vs (t) 0 En HF x = H Ho donc vs (t) Ho ve (t) deg D(j)=2 on conclut que le ltre est passe-haut dordre 2 6.4.2.1 Ltude dun exempleEV e

4

C

L

V s

En utilisant le diviseur de tension en notation complexe on obtient : H= LC 2 x2 = x 1 LC 2 + jRC 1 x2 + j Q

Avec Ho = 1 , Q =

1 R

L 1 et o = C LC

6.4.2.2

Diagramme de Bode pour le gain x2 (1 x2 )2 + x2 /Q2

H = |Ho |

Comportement asymptotique : En HF : H = |Ho | = GdB = Go = 20 log |Ho | |Ho | En BF H = 2 = GdB = Go + 40 log x : cest une droite de pente +40 dB/dcade x Cherchons si H ainsi GdB prsente un extremum (maximum), pour cela calculons : dH xQ(2Q2 x2 (2Q2 1)) = dx (Q 2 2 Q 2 x 2 + Q 2 x 4 + x 2 )(3/2) 1 Si Q < H ne prsente pas de maximum (de mme pour GdB ) dH 2 = 0 = 1 Si Q > H prsente un maximum (de mme pour en G ) x tel que dx dB R 2 R 2Q xR = = >1 4 Q2 2 2Q2 Si Q 1 = xR = 1 donc o = R et H(xR ) = Q|Ho | ainsi H(xR ) = 4Q2 1 CPGE/Bni Mellal Page -67/73-SAID EL FILALI-



Representation graphique du gain pour quelques valeurs de QGdB Q > 1/ 2 Q < 1/ 2 Q = 1/ 2

log x

+40 dB/dcade

6.4.2.3

Diagramme de Bode pour la phase

On a :

= arg(Ho x2 ) arg(1 x2 + jx/Q) = arg(Ho ) arg(1 x2 + jx/Q)

Pour Ho = 1 alors x Q(1 x2 )

= arg(1 x2 + jx/Q) = tan( ) = tan =

Donc tan = x Q(x2 1)

Representation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q CPGE/Bni Mellal Page -68/73-SAID EL FILALI-



Q = 0, 2 < 1/ 2 Q = 1/ 2 Q = 3 > 1/ 2

log x

Remarque- 30 : En HF : H = Ho = vs (t) = Ho ve (t) : multiplication par une constante Ho d2 ve (t) Ho : la tension de sortie est En BF : H = Ho x2 = 2 (j)2 = vs (t) = 2 o o dt2 proportionnelle la drive seconde de la tension dentre

6.4.3 Filtre passe-bandeLa fonction de transfert dun ltre passe-bande dordre 2 est : H = Ho Ho x = 1 1 x2 + j 1 + jQ x Q x jx/Q

En BF : H 0 = vs (t) 0 En HF : H 0 = vs (t) 0 On montre (aprs) que H prsente un maximum , donc cest un ltre passe-bande du second ordre 6.4.3.1 Ltude dun exemplei(t) L C

En HF :x = Z L donc Vs 0 En BF :x 0 = Z c donc Vs 0 Pour = o on a Vs est maximale Donc : cest ltre passif passe bas Lexpression de la fonction de transfert scrit : H= On tire que : La pulsation propre o = 1 LC Page -69/73jRC 1 LC 2 + jRC

Ve

R

V s

CPGE/Bni Mellal

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Ho = 1 Le facteur de qualit Q = 1 R L C

6.4.3.2 On a

Diagramme de Bode pour le gain

H=

|Ho | 1 + Q2 x

1 x

2

Comportement asymptotique : |Ho | x = GBF = Go 20 log(Qo ) + 20 log : Cest une droite de pente En BF : H = Q +20 dB/dcade |Ho | o En HF : H = = GHF = Go + 20 log 20 log : Cest une droite de pente Qx Q -20 dB/dcade Pour = o = H = |Ho | = Hmax donc GdB (o ) = 20 log |Ho | = Go Lintersection des deux pentes : GHF = GBF = = o |Ho | Pour = o on a :GHF (o ) = GBF (o ) = 20 log Q Reprsentation du diagramme asymptotique

3 2

GdB 20 log |Ho | Q log x

1 0 -1 -2 -3 -4 -5

+20 dB/dcade-4 -3 -2 -1 0 1

-20 dB/dcade2 3 4 5

Le diagramme de Bode dpend de la valeur du facteur de qualit Q , cest dire comparer |Ho | et 20 log |Ho | , autrement dit comparer Q et 1. 20 log Q CPGE/Bni Mellal Page -70/73-SAID EL FILALI-



Premier cas Q < 1 : |Ho | Dans ce cas 20 log > 20 log |Ho | , le diagramme de bode est de la forme : Q

GdB20 log |Ho | Q

Golog x -3dB Go x

+20 dB/dcade

- 20 dB/dcade

drivateur

Intgrateur

En BF : H =

Ho Ho dve (t) (j) = vs (t) = donc drivateur Qo Qo dt Ho 1 Ho o En HF : H = = vs (t) = ve (t) dt donc intgrateur Qo j Q |Ho | < 20 log |Ho | , le diagramme de bode est de la Deuxime cas Q > 1 Dans ce cas 20 log Q forme : Page -71/73-SAID EL FILALI-

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6.4. FILTRES DU DEUXIME ORDREGdBGo Go-3dB


20 log

|Ho | Q

log x

+ 20 dB/dcade

- 20 dB/dcade

Drivateur

Integrateur

6.4.3.3

Diagramme de Bode pour la phase

= arg Ho arg[1 + jQ x Pour le ltre passif Ho = 1 donc tan = Q x2 1 x

1 ] x

+/2

log x

1 Q> 2

1 Q= 2 1 Q< 2

/2

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6.4.4 Filtre coupe (ou rjecteur) de bandeLa fonction de transfert dun ltre coupe (rjecteur de) bande du second ordre est de la forme 1 x2 1 x2 + jx/Q

H = Ho

En effet : H(x = 1) = 0 = vs (t) = 0 H(x 0) = Ho = vs (t) = Ho ve (t) H(x ) = Ho = vs (t) = Ho ve (t) Ce ltre laisse passer toutes les frquences sauf aux voisinages de x = 1 cest dire aux voisinage de la pulsation propre 6.4.4.1 Ltude dun exempleE 4

En BF :Z c = i = 0 donc vs (t) = ve (t) En BF :Z L = i = 0 donc vs (t) = ve (t) Pour o = vs (t) = ve (t) Cest un coupe bande Lexpression de la fonction de transfert

Ve

L C

Vs

1 1 LC 2 jC = H = H= 1 1 LC 2 + jRC R + jL + jC jL + 1 1 ,Q= R LC L et x = /o C

Donc : Ho = 1 , o = 6.4.4.2

Diagramme de Bode pour le gain

On a : H = |Ho | |1 x2 | (1 x2 )2 + x2 /Q2

6.4.4.2.1 Comportement asymptotique En BF x 0 = H = |Ho | ainsi GdB = Go En HF x = H = |Ho | ainsi GdB = Go Le gain prsente deux asymptotes horizontales confondues Pour x = 1 = = o on a H = 0+ = GdB (x = 1) GdB prsente une asymptote verticale en x = 1 cest dire en pulsation propre CPGE/Bni Mellal Page -73/73-SAID EL FILALI-



6.4.4.2.2

Reprsentation graphique du gain pour quelques valeurs de QG dB

G o

1 Q= 2 1 Q> 2 1 Q< 2

log x

6.4.4.2.3

La bande passanteG dB Go

log x1

log x 2 log x

G o -3dB

|Ho | |1 x2 | H= = 2 (1 x2 ) + x2 /Q2 = 2(1 x2 )2 = (1 x2 )2 + x2 /Q2 = (1 x2 )2 = x2 /Q2 = 1 x2 = x/Q La solution de cette quation sont : x1 = 1 1 1 = + 2Q 2 1 +41 Q2

La largeur de la bande passante x = o 1 = = Q Q Page -74/73-SAID EL FILALI-

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6.4.4.3

Diagramme de Bode pour la phase H = Ho 1 x2 Ho = H = x 2 + jx/Q 1x 1+j Q(1 x2 ) x ) Q(1 x2 )

On a :

Donc

= arg Ho arg(1 + j

x Pour un ltre passif Ho = 1 donc : tan = Q(1 x2 ) avec : cos > 0 = [ , ] 2 2 sin < 0 = [ , 0] pour x < 1 2 sin > 0 = [0, ] pour x > 1 2 lim = 0 lim = 0+ lim = lim = + x0 x x1 x1+ 2 2 On conclut que la phase dun ltre coupe bande est prsente une discontinuit en x = 1 cest dire en o . Reprsentation graphique de la phase pour quelques valeurs de Q 2

log x

1 Q< 12 Q= 2 1 Q> 2

-

2

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