ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES Bloque I. Elasticidad Tema 1. Introducción a la elasticidad

Ingeniería Eléctrica, Química Industrial Y MecánicaEscuela Politécnica Superior de Linares

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES

Profesor :

Jaime Martín Pascual [email protected]

Bloque I. ElasticidadTema 1. Introducción a la elasticidad

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Introducción a la mecánica de los medio continuos

El sólido elástico y sus propiedades

Hipótesis y principios de la elasticidad lineal

Tema 1. Introducción a la elasticidad

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Introducción a la Mecánica de los medios continuos La Mecánica es la rama de la Física que describe los fenómenos de equilibrio y

movimiento de los cuerpos materiales en busca de una descripción cualitativa ycuantitativa de los fenómenos.

En este sentido, se puede plantear el problema desde dos planteamientos alternativoscomplementarios: Aproximación Empírica, basada en la experimentación, estableciendo relaciones

matemáticas entre las variables. Aproximación Racional, deduciendo las relaciones entre las variables implicadas

a partir de unas premisas verificables experimentalmente y apoyándose enherramientas matemáticas.

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Introducción a la Mecánica de los medios continuos En la Mecánica Racional, se analizan sistemas mecánicos desde el punto material o

partícula hasta el sólido rígido, pasando por la Mecánica de los Sistemas dePartículas.

De hecho, la Mecánica del Sólido Rígido resulta de introducir una condicióncinemática a las partículas del sistema: estas mantienen fijas las distancias entre sí.Esto, se aplica al análisis de una extensa clase de máquinas y mecanismos

Mecánica Racional

Mecánica del Punto Material y

Sistemas de Partículas

Mecánica del Sólido Rígido

Mecánica del Medio Continuo

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Introducción a la Mecánica de los medios continuos El sólido rígido por tanto, está formado por partículas unidas entre sí por vínculos

infinitamente rígidos, de modo que la distancia entre dos partículas cualesquierasiempre se mantiene constante. Esta idealización resulta muy útil para estudiar lacinemática y la dinámica de un sólido cuando la variación de su geometría esdespreciable frente a los movimientos del conjunto. Sin embargo, no puede explicarcómo se transmiten las fuerzas por el interior del sólido ni permite evaluar sucomportamiento resistente frente a las cargas aplicadas.

Mecánica Racional

Mecánica del Punto Material y

Sistemas de Partículas

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Introducción a la Mecánica de los medios continuos Esta idealización de sólido rígido presenta dos grandes problemas: i) enlaces

redundantes; ii) no permite tratar sistemas materiales en estado líquido o gaseoso.

Por tanto, es necesario introducir un modelo mecánico más detallado para el análisisde los sistemas materiales reales, que considere la interacción entre las partículasque los constituyen, eliminando la condición de que las distancias entre partículas semantengan constantes.

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Introducción a la Mecánica de los medios continuos Problema: en la práctica no es posible (tampoco necesario), seguir la cinemática y

dinámica de cada una de las partículas que constituyen la materia.

La mayor parte de los problemas de interés tecnológico relacionados con los mediosmateriales pueden ser tratados a nivel macroscópico con suficiente aproximación sintener en cuenta de manera explícita su estructura microscópica ni las fuerzas decohesión interna de la materia.

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Introducción a la Mecánica de los medios continuos

Mecánica del Medio Continuo

Mecánica de Sólidos

Deformables

Mecánica de Fluidos

La Mecánica del Medio Continuo permite incorporar las leyes de la Termodinámica, dela transferencia de calor y del electromagnetismo con el fin de representaradecuadamente la complejidad de muchos fenómenos físicos de interés técnico.

En su evolución, la Mecánica del Medio Continuo se ha desarrollado en dosdirecciones claramente diferenciadas: la Mecánica de Sólidos Deformables y laMecánica de Fluidos.

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sELASTICIDAD Y RESISTENCIA

DE MATERIALESIntroducción a la Mecánica de los medios continuos

La Mecánica de Sistemas de Sólidos Deformables permite formular: Teoría de la Elasticidad Lineal, para el caso de un comportamiento elástico,

donde la deformación es reversible. Teoría de la Elasticidad no Lineal, en el caso de comportamiento no se ajuste al

modelo del sólido elástico. Teoría de la Viscoelasticidad, la cual desarrolla una mecánica acoplada entre

sistemas fluidos y sistemas sólidos a fin de representar situaciones en las queambos tipos de sistemas interaccionan, como en el caso de los plásticos,lubricantes, pinturas, etc.

Mecánica de Sólidos

Deformables

Teoría de Elasticidad

Lineal

Teoría de la Elasticidad no

Lineal

Teoría de Viscoelasticidad

Resistencia de Materiales

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Introducción a la Mecánica de los medios continuos La formulación matemática de estas teorías conduce a ecuaciones de gran

complejidad, tanto en su resolución general como en su problema de contorno,haciendo que solo se puedan obtener soluciones exactas en casos muy particulares degeometría y cargas aplicadas.

Para sólidos de forma arbitraria resulta imposible superar esta dificultad siendonecesario recurrir a métodos de resolución aproximados.

Sin embargo, en el caso de sólidos en los que existe preponderancia de algunasdimensiones frente al resto (barras, placas envolventes), es posible establecer a prioriunas hipótesis simplificadas referentes a la distribución tensional y deformacional, estees el planteamiento de la Resistencia de Materiales.

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Deformables

Teoría de Elasticidad

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Teoría de la Elasticidad no

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Teoría de Viscoelasticidad

Resistencia de Materiales

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Introducción a la Mecánica de los medios continuos Queda pues de manifiesto el carácter complementario de la Elasticidad y la Resistencia

de Materiales: La primera sacrifica la viabilidad de la resolución exacta en favor del rigor de los

problemas del sólido elástico. La segunda afronta cualquier problema de la mecánica de los Sólidos

prescindiendo de todo aquello que nos es significativo.

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El sólido elástico y sus propiedades Se define el sólido elástico como aquel que tras deformarse ante un esfuerzo exterior,

recupera su forma primitiva al cesar dicha acción exterior.

A los sólidos elásticos se les supone una serie de propiedades: Homogeneidad: Su composición y propiedades físicas son las mismas en todos los

puntos. Isotropía: Sus propiedades físicas en un punto dado son las mismas

independientemente de la dirección en que se evalúen. Continuidad: No existen huecos entre partículas ni por consiguiente, distancias

intersticiales.

La isotropía y la homogeneidad suelen estar íntimamente unidas, por lo que lasuposición de una de ellas implicará la aparición de la otra.

Aunque estas propiedades no concurren en ningún sólido verdadero, la adopción delas mismas permite alcanzar soluciones más simplificadas que quedan sancionadas porla experiencia.

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Hipótesis y principios de la Elasticidad Lineal Los medios materiales reales (sólido verdadero) no son en general ni homogéneos, ni

isótropos, ni continuos. Sin embargo, en muchas ocasiones, estas hipótesis puedenaceptarse desde un punto de vista macroscópico con suficiente aproximación.

Continuidad, homogeneidad e isotropía no son hipótesis esenciales de la mecánica delmedio continuo sino sólo hipótesis convenientes en orden a simplificar el análisis.

La Elasticidad Lineal se rige por los siguientes principios: Principio de los pequeños desplazamientos Principio de superposición Principio de energía cinética nula Principio de Saint-Venant

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de los pequeños desplazamientos

Los desplazamientos originados por las fuerzas aplicadas son pequeños en relación conlas dimensiones de los cuerpos, y por tanto, cuando se plantean las condiciones deequilibrio se considera que los cuerpos conservan su forma inicial.

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de los pequeños desplazamientos

Por ejemplo, si se aplica una carga P en la articulación O del sistema formado por lasdos barras OA y OB de la figura (a), el sistema se deforma como se muestra.

Si no existiera el principio de los pequeños desplazamientos, las ecuaciones deequilibrio del nudo O serían según muestra la figura (b)

� 𝑁𝑁2 sin 𝛽𝛽 − ∆𝛽𝛽 = 𝑁𝑁1 sin 𝛼𝛼 − ∆𝛼𝛼𝑁𝑁1 cos 𝛼𝛼 − ∆𝛼𝛼 + 𝑁𝑁2 cos 𝛽𝛽 − ∆𝛽𝛽 = 𝑃𝑃

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de los pequeños desplazamientos

La resolución de este sistema de ecuaciones presentaría una serie de dificultades, yaque las deformaciones del sistema son desconocidas hasta que los esfuerzos 𝑁𝑁1 y 𝑁𝑁2en las barras sean determinados.

El principio de los pequeños desplazamientos permite suponer el sistema indeformadode la figura (c) por lo que las ecuaciones de equilibrio del nudo serán

� 𝑁𝑁2 sin𝛽𝛽 = 𝑁𝑁1 sin𝛼𝛼𝑁𝑁1 cos𝛼𝛼 + 𝑁𝑁2 cos𝛽𝛽 = 𝑃𝑃

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de los pequeños desplazamientos

� 𝑁𝑁2 sin𝛽𝛽 = 𝑁𝑁1 sin𝛼𝛼𝑁𝑁1 cos𝛼𝛼 + 𝑁𝑁2 cos𝛽𝛽 = 𝑃𝑃

Este sistema de ecuaciones, permite obtener los valores de los esfuerzos en las barrassin necesidad de tener en cuenta las deformaciones.

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de los pequeños desplazamientos

Este principio no será aplicable cuando las condiciones de equilibrio en la posicióndeformada y sin deformar sean sustancialmente distintas, como ocurre en los casosindicados en la figura siguiente en los que las magnitudes que se consideren dependende la nueva geometría del sistema.

En la figura, el momento, en una sección de abscisa x sería nulo si fuera cierto elprincipio, sin embargo, su valor depende del desplazamiento experimentado por lasección de la viga.

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de los pequeños desplazamientos

Este principio no será aplicable cuando las condiciones de equilibrio en la posicióndeformada y sin deformar sean sustancialmente distintas, como ocurre en los casosindicados en la figura siguiente en los que las magnitudes que se consideren dependende la nueva geometría del sistema.

El caso indicado en la figura es el ejemplo típico de sistema en el que, siendo suselementos elásticos, existe una dependencia no lineal entre desplazamientos y lasfuerzas exteriores aplicadas. La consideración de la nueva configuración geométricadel sistema es esencial en la formulación del problema. Por tanto, no será aplicable elprincipio.

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de superposición

Los efectos que un sistema de fuerzas aplicadas en un cuerpo es igual a la suma de losefectos que originan esas mismas fuerzas actuando por separado y, en consecuencia,las solicitaciones, los desplazamientos, los esfuerzos y las deformaciones originadaspor un sistema de fuerzas aplicadas son independientes de su orden de aplicación.

Aunque el principio desuperposición es de aplicacióngeneralizada a los sistemaselásticos, tiene sus limitaciones:

No será válido en los casosen los que no sea aplicableel principio de los pequeñosdesplazamientos.

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de superposición Veamos por qué….

La deformación de la línea media de la viga es diferente si se aplica 𝑷𝑷 por unaparte y 𝑭𝑭 por otra, separadamente, ya que la fuerza 𝑭𝑭 (sin sobrepasar undeterminado valor crítico) no produce actuando sola, desplazamiento alguno enla dirección perpendicular a la viga.

Por el contrario si actúansimultáneamente elmomento producido por 𝑭𝑭aumenta la deformaciónproducida por 𝑷𝑷.

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de energía cinética nula

El paso del estado inicial indeformado al final deformado, se realiza de manerareversible, es decir, que en cualquier estado intermedio de deformación el sistema defuerzas exteriores es equilibrado por otro sistema antagonista, lo que origina que lavelocidad sea infinitamente pequeña y nula, por consiguiente, la variación de energíacinética.

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de Saint Venant

A partir de una distancia suficiente de los puntos de la superficie del sólido elástico enlos que están aplicadas las fuerzas puntuales, el reparto de tensiones es el mismo queel que se tendría si las fuerzas exteriores se aplicaran de forma uniforme.

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Hipótesis y principios de la Elasticidad LinealPrincipio de Saint Venant

Aunque este principio es aplicable a la mayoría de los sistemas que nos podamosencontrar en la práctica, no tendrá sentido referirnos a él cuando se trate de calcularlas tensiones en la zona próxima a la aplicación de las fuerzas. En tal caso tendremosque recurrir a la teoría de la Elasticidad y el grado de exactitud con que la solución delproblema elástico nos dé la distribución de tensiones en esa zona dependerá del gradode coincidencia de la distribución real de las fuerzas aplicadas al sólido elástico con ladistribución supuesta en las condiciones de contorno.