El ÁTOMO de HIDRÓGENO - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6205/Material/Apuntes/Atomo de hidrogeno.pdf · POSTULADOS de BOHR 3. Las leyes de la mecánica clásica permiten explicar

Dr. A. Ozols 1

Dr. Dr. AndresAndres OzolsOzols

Dra. María Rebollo Dra. María Rebollo

El ÁTOMO de El ÁTOMO de HIDRÓGENOHIDRÓGENO

FIUBA

2006

Dr. A. Ozols 2

ESPECTROS DE HIDROGENOESPECTROS DE HIDROGENO

espectros de emisión

espectro de absorción

Dr. A. Ozols 3

Regiones de visible y ultravioleta del espectro de emisiónJ. Balmer

2

2

14

nBnλ

=−

ESPECTROS DE HIDROGENOESPECTROS DE HIDROGENO

Secuencias de las líneas

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Modelo atómico de Modelo atómico de RutherfordRutherford

Ernest Rutherford (1871-1937) estudia los

rayos α (alfa) partículas con carga posita

rayos β (beta) chorros de electrones

rayos γ (gama) rayos γ ondas electromagnéticas

protónpartículas con carga positiva en el núcleo

Modelo planetario

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MODELO ATOMICO de BOHRMODELO ATOMICO de BOHR

El átomo de hidrógeno protón + electrón en órbita circular

Idea de cuantificación

La absorción o emisión de radiación por la materia ≡intercambios de energía en forma discontinua, por «saltos» o por cuantos.

Modelo atómico de Bohr(1911)

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1º Las órbitas de los electrones en torno al núcleo son estacionarias, es decir, el electrón gira en ellas sin emitir ni absorber energía.

2º La emisión o la absorción de radiación por un átomo va acompañada de saltos electrónicos de una órbita a otra de diferente energía. La radiación emitida o absorbida tiene una frecuencia ν tal que verifica la ecuación

E2 – E1 = hν

donde E2 y E1 son las energías de las órbitas entre las cuales se produce la transición, siendo h la constante de Planck.

POSTULADOS de BOHRPOSTULADOS de BOHR

Dr. A. Ozols 7

POSTULADOS de BOHRPOSTULADOS de BOHR

3. Las leyes de la mecánica clásica permiten explicar el carácter circular de las órbitas electrónicas, pero no las transiciones de una órbita a otra.

L n=

4. No todas las órbitas circulares están permitidas para un electrón. Sólo aquellas que satisfacen la condición:

n = 1,2….

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"Ecuación de Onda“

MODELO ATÓMICO de MODELO ATÓMICO de SchrSchröödingerdinger

densidad de probabilidad

Orbital ≡ El volumen del espacio donde puede encontrar al electrón

con mayor probabilidad

Función de onda (ψ)

ψ2 es una medida de la probabilidad de encontrar al electrón en el espacio

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ÁTOMO DE HIDRÓGENO (ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER)

•Energía cinética del electrón2

2CpEm

=

•Energía Potencial (atracción electrostática del protón) 2

( ) ZkeV rr

= −

Z = 10

14

kπε

=

masa reducida e n

e n

m Mm M

µ =+

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el electrón

( )2 2 2 2

2

2

22

, , 222 x y z V V Ex y z

ϕ ϕµ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

µ ∂ ∂ ∂

= − + + + =− ∇ + ∂ ∂ ∂

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sen cossen sencos

x ry rz r

θ φθ φθ

===

2, ,x y z∇ 2

, ,r θ φ∇

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASTRANSFORMACIÓN DE COORDENADASen coordenadas esféricas

(4)

Z

X

Y

r

r senθ X= r sen cosθ φ

y= r sen senθ φ

z= r cosθθ

φ

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2 2 22

2 2 2 2

1 1 1sen ( )2 2 sen sen

r V r Er r r r

ϕ ϕ ϕθ ϕ ϕ

µ µ θ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ecuación de Ecuación de SchrödingerSchrödinger con un Potencial Centralcon un Potencial Central

( )1

2 2 2 2r x y z= + +V(r) tiene simetría esférica -potencial central

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2 2 22

2 2 2 2

1 1 1sen ( )2 2 sen sen

r V r Er r r r

ϕ ϕ ϕθ ϕ ϕ

µ µ θ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

separación de variables ( , , ) ( ) ( ) ( )r R rϕ θ φ θ φ= Θ Φ

SEPARACIÓN de VARIABLESSEPARACIÓN de VARIABLES

reemplazando y dividiendo toda la ecuación por ( , , )rϕ θ φ

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multiplicando por:2

22

2 senrµθ−

agrupando: 1- términos dependientes de r y θ en el primer miembro 2- términos dependientes de φ en segundo miembro

[ ]2 2 2

2 22 2

1 2 sen sen 1sen ( ) senR rr E V rR r r

µ θ θθ θ

θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ Φ + − + = − ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂

2 22

2 2 2

1 1 1 1 1sen2 sen

( )s

0en

Rr

Vrr

rr R

Eθµ θ θ θ θ φ

∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ Φ − + + ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂ + − =

separación de variablesseparación de variables

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( )( ) [ ] ( )2 2 2

2 2 22 2

1 2 sen sen 1sen ( ) senR r rr E V r m

R r r rθµ θ θ

θ θθ θ φ

∂ ∂Θ ∂ ∂ ∂ Φ+ − + = − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂

Para la función Φ:

22

2

( ) 0mφφ

∂ Φ+ Φ =

∂

ime φ±Φ =

para cada valor de φ, debe haber un solo valor de Φ

( ) ( 2 ) φ φ πΦ = Φ +

2 1ime π± = 0, 1, 2, 3, ........m = ± ± ±

separación de variablesseparación de variables

( 2 ) im ime eφ φ π± ± +=

Número cuántico magnético

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[ ]2 2 2

2 2 22 2

1 2 sen sen 1sen ( ) senR rr E V r mR r r

µ θ θθ θ

θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ Φ + − + = − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂

[ ]2 2

2 2 22

1 2 sen sensen ( ) sen 0R rr E V r mR r r

µ θ θθ θ

θ θ∂ ∂ ∂ ∂Θ + − + − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂

separación de variablesseparación de variables

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[ ]2 2

22 2

1 2 1( ) sen 0sen sen

R r mr E V rR r r

µθ

θ θ θ θ∂ ∂ ∂ ∂Θ + − + − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂

β β−

( ) ( )2

2

1 ( )sen 0sen sen

m θθθ β θ

θ θ θ θΘ∂ ∂ Θ − + Θ = ∂ ∂

Ecuación de Legendre

separación de variablesseparación de variables

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Las soluciones: funciones de Legendre (cos )mlP θ

soluciones finitas ⇔ ( 1)l lβ = + 0, 1, 2, 3, ....l =

( ) sen (cos )(cos )

mmm

l lm

dP Pd

θ θ θθ

=

ECUACIÓN de LEGENDREECUACIÓN de LEGENDRE

( ) ( )2

2

1 ( )sen 0sen sen

m θθθ β θ

θ θ θ θΘ∂ ∂Θ − + Θ = ∂ ∂

Polinomios de Legendre

Dr. A. Ozols 18

21 (cos 1)(cos )2 ! (cos )

l l

l l ldP

l dθ

θθ

−=

Por lo tanto: ml ≥

)cos()(cos

cos)(cos)(cos

1321

1

22

1

0

−=

=

=

θθ

θθ

θ

P

PP

Con la cte. de normalización :

(2 1)( )!( ) ( )2( )!

mlm l

l l m Pl m

θ θ+ −

Θ =+

Número cuántico orbital

ECUACIÓN de LEGENDREECUACIÓN de LEGENDRE

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FUNCIÓN DE ONDA ANGULARFUNCIÓN DE ONDA ANGULAR = ARMÓNICOS ESFÉRICOSARMÓNICOS ESFÉRICOS

( )1( , ) ( ) ( )

2

mml lm mY θ φ θ φ

π

−= Θ Φ

),( φθmlY función ortonormal ⇔ ''

''

* sen),(),( mmllml

ml ddYY δδφθθφθφθ

π π

=∫∫2

0 0

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FUNCIÓN DE ONDA RADIALFUNCIÓN DE ONDA RADIAL

[ ]2

22

1 2 ( ) 0R rr E V rR r r

µβ

∂ ∂ + − − = ∂ ∂

( 1)l lβ = +2

( ) keV rr

= −

2 22

2 2 2

1 ( ) 2 ( 1) ( )( ) 0d R r r ke l l R rr E R rr dr r r r

µ ∂ + + + − = ∂

Ecuación de Laguerre

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Las soluciones polinomios de Laguerre asociadas con un conjunto discreto de valores de energía.

0

0 0

2 2( ) L ( )lr

nanl nl nl

r rR r A ena na

− =

02nEEn

= −

rn y la En coinciden con las obtenidas en el átomo de Bohr

ECUACIÓN DE LAGUERREECUACIÓN DE LAGUERRE

l ≤ n-1

a0 (radio de Bohr)2

0nr a n=n número cuántico principal

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SOLUCIÓN GENERAL del ÁTOMO de HIDRÓGENOSOLUCIÓN GENERAL del ÁTOMO de HIDRÓGENO

( , , ) ( ) ( ) ( )nlm nlm nl lm mr N R rϕ θ φ θ φ= Θ Φn, l y m números cuánticos.

lm ≤

( , , , ,1, 2,3,.....0, 1, 2,......... 1 0, 1, 2,........

, ) (2 1)

s p d f g etorbitnl nm l

c n valoresl valora

se

el s

== −= ± +± ±

=

La solución completa ( , , )niE t

nml nlm r eϕ θ φ−

Ψ =

l ≤ n-1

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transiciones dipolareseléctricas

0; 1l 1 m∆ = ±

∆ = ±

REGLAS de SELECCIÓNREGLAS de SELECCIÓN

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PROBABILIDAD RADIALPROBABILIDAD RADIAL

P(r)dr: probabilidad de encontrar al electrón entre r y r +dr

drr

El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es:

2 sen dV r d dθ θ φ=2

2

0 02

2

0 02

2 2

0 0

( ) * sen

( )* * ( ) se

n

( ) * se

n

m mnl l nl l

m mnl l l

P r dr dr r d d

dr R r Y R r Y r d d

dr R r r Y Y d d

π π

π π

π π

ϕ ϕ θ θ φ

θ θ φ

θ θ φ

= =

= =

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ 2 2( ) ( )nlP r R r r=

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R(r)

FUNCIONES RADIALES

2 2( ) ( )nlP r R r r=

DENSIDAD DE PROBABILIDAD RADIAL

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orbital s(n = 1, l=0, m=0)

Orbitales atómicos

Dr. A. Ozols 27

Orbitales atómicos

orbital p (n = 2, l=1, m=0)

Dr. A. Ozols 28

Orbitales atómicos

orbital d(n = 3, l=2, m=0)

Dr. A. Ozols 29

MOMENTO ANGULARMOMENTO ANGULAR

L r p= ×

ˆp p i→ = − ∇ˆ ( )

i j kL r i i x y z

x y z

= × − ∇ = −∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

ˆ sen cot cos

ˆ cos cot sen

ˆ

x

y

z

Li

Li

Li

φ θ φθ φ

φ θ φθ φ

φ

∂ ∂= − − ∂ ∂

∂ ∂= − − ∂ ∂

∂=

∂

22 2 2 2 2

2 2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ sensen senx y zL L L L θ

θ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ = + + = − + ∂ ∂ ∂

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2 2ˆ ( 1)nml nmlL l lϕ ϕ= + 2 ; L L 2 ( 1)L L l l= = +

ˆz mnl mnlL mϕ ϕ= zL m=

l=2

6L =

Imposible determinar con precisiónla dirección del impulso angular

MOMENTO ANGULARMOMENTO ANGULAR

constantes de movimiento

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SPIN DEL ELECTRÓNSPIN DEL ELECTRÓN

1. Stern-Gerlach observan desdoblamiento de las líneas espectrales

2. Pauli debe existir un 4º. número cuántico.

3. Goudsmit y Uhlenbeck, número cuántico ms asociado spin

.(momento angular intrínseco del electrón)

s : número cuántico de la cantidad de movimiento total del spin

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habrá 2s+1 valores de ms, como sólo se observan 2

1 12 1 2 2 2ss s m+ = ⇒ = ⇒ = ±

3( 1)4

12z s

S s s

S m

= + =

= = ±

S

z

zS

SPIN DEL ELECTRÓNSPIN DEL ELECTRÓN

Dr. A. Ozols 33

NÚMEROS CUÁNTICOS Y TABLA PERIÓDICA

PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI: dos electrones no pueden ocuparel mismo estado cuántico

n: número cuántico principal: 1, 2, 3, ….

l: número cuántico orbital: 0, 1, 2 ….(n-1)

m: número cuántico magnético o azimutal: 0, ±1, ±2, …. ±l

ms: número cuántico de spin: ±1

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CONFIGURACIONES ELECTRONICAS (4 números cuánticos)CONFIGURACIONES ELECTRONICAS (4 números cuánticos)

Dr. A. Ozols 35

siete periodos

nueve grupos

TABLA PERIÓDICA de los ELEMENTOSTABLA PERIÓDICA de los ELEMENTOS