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Universidad Nacional de Educacin a Distancia.
Facultad de Ciencias.
Departamento de Fsica.
Memoria del Trabajo Fin de Grado en Fsica.
EL PROBLEMA DE KEPLER.APLICACIONES DEL VECTOR DE
LAPLACE-RUNGE-LENZ EN RBITASPERTURBADAS.
Gustavo Adolfo Prez Snchez.
Tutor: Dr. lvaro Perea Covarrubias.
Curso 2014/2015
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Gustavo Adolfo Prez Snchez.
EL PROBLEMA DE KEPLER.APLICACIONES DEL VECTOR DE
LAPLACE-RUNGE-LENZ EN RBITASPERTURBADAS.
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.No nos preguntamos qu propsito til hay en el canto de
lospjaros, cantar es su deseo desde que fueron creados para
can-tar. Del mismo modo no debemos preguntarnos por qu la men-te
humana se preocupa por penetrar los secretos de los cie-los...La
diversidad de los fenmenos de la naturaleza es tangrande y los
tesoros que encierran los cielos tan ricos, preci-samente para que
la mente del hombre nunca se encuentre ca-rente de su alimento
bsico.
Johannes Kepler.
i
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Agradecimientos
Gracias. Mil gracias a todos aquellos que de alguna manera
contribuyeron encierto momento y lugar , quizs sin saberlo muchos,
a la puesta a punto deesta memoria, son artfices tambin de
ella.Gracias en particular:A Ana Mara, mi compaera eterna, por su
apoyo constante y desinteresadosiempre, y cmo no, por su paciencia
infinita ms de una vez.A mis padres claro, siempre a ellos por
todo, por educarme en el estudio de laciencia, por ms y ms , dar
motivos concretos desvirtuara al resto de ellos.Al Dr. lvaro Perea
Covarrubias, mi tutor en este trabajo, por elegir un tema
tanfascinente, por toda su colaboracin, por dejarme el camino libre
de obstculosy facilitarme el trato y la comunicacin hacindola
eficiente y limpia a parte deeficaz. Gracias lvaro.A la Universidad
Nacional de Educacin a Distancia (UNED) y a la Universidadde Crdoba
(UCO), porque sto es sin duda producto de su enseanza.A mis grandes
amigos Antonio, Pablo, Martn, colegas en esta ardua, tortuosa,y sin
embargo maravillosa tarea de arrebatarle las ideas a Dios.A todos
los no nombrados por no extenderme, gracias y mil perdones, s
quesabrn excusarme.
ii
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Resumen
Luego de una vista general del conocido Problema de Keplerde la
mecnica celeste, su tratamiento bajo las pticas
newtoniana,lagrangiana, y mediante el llamado vector de
Laplace-Runge-Lenz(LRL) que se conserva. Mostraremos el mtodo de la
dinmica delvector LRL que permite analizar ciertas caractersticas
de las solu-ciones del problema bajo pequeas perturbaciones,
perturbacionesque quiebran la simetra que conduce a la conservacin
de tal vectorproduciendo por tanto una evolucin temporal del mismo.
Discuti-remos algunos casos de inters tanto para perturbaciones de
tipocentral como no central, presentando la forma de proceder y los
losresultados a los que se llega.
Abstract
After an overview of known Kepler Problem in celestial
mecha-nics, its treatment under newtonian view , lagrangian, and
throughthe Laplace - Runge -Lenz (LRL) vector that is preserved. We
willshow the method of the dynamics of LRL vector to analyze
somecharacteristics of the solutions of the problem under tiny
perturba-tions , perturbations that break the symmetry leading to
the conser-vation of the vector thereby producing a temporal
evolution of this.We discuss some cases of interest to both kind,
central and notcentral perturbations, presenting how to proceed and
the obtainedresults.
iii
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ndice general
1 Introduccin. 6
2 El Problema De Kepler. 72.1 Breve Resea Histrica. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Tratamiento Newtoniano. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Tratamiento
Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 El
Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL). . . . . . . . . . . . . .
16
3 Aplicaciones del vector LRL en rbitas perturbadas. 193.1 La
perturbacin orbital. Dinmica del vector LRL . . . . . . . . . 193.2
Precesin anmala del perihelio de Mercurio. La correccin re-
lativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 233.3 Precesin general del perihelio. La influencia
planetaria. . . . . . 273.4 Perturbacin dependiente de la
velocidad. El arrastre atmosfri-
co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 31
4 Notas finales. 34
A Efecto de una perturbacin f 1/r3:Resolucin analtica. 36
Referencias 40
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ndice de figuras
2.1 Trayectorias del Problema de Kepler segn el valor de la
excentricidad. Fuente:[8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Energa potencial total efectiva (curva en negro) como suma
de las energaspotenciales centrfuga y gravitacional (curvas en
gris). Las energas E0 a E3corresponden a distintas trayectorias
cnicas, circular, elptica, parablica e hi-perblica respectivamente.
Los valores rm{ny rmax (pericentro y apocentro) co-rresponden a los
puntos en que se anula la velocidad radial en el caso de
rbitaelptica para la energa mecnica E1. El valor r0 corresponde al
radio de rbi-ta circular para la energa mecnica en el mnimo de la
energa potencial totalefectiva E0 = Uefm{n . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Trayectoria abierta pero limitada, despus de un nmero finito
de oscilacionesentre rm{ny rmax sta no se cierra sobre si misma.
Fuente: [8] . . . . . . . . 13
2.4 Representacin de la degeneracin orbital, distintas rbitas
con excentricidadesdiferentes poseen la misma energa. Fuente: [1].
. . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Representacin del vector constante LRL A en cuatro puntos de
una rbita elp-tica. Obsrvese que est dirigido hacia el pericentro.
. . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Representacin del modelo matemtico utilizado para determinar
la perturbacinf que ejerce un planeta de masa m0 en rbita circular
en torno al Sol sobre larbita de un planeta de masam: . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 27
ndice de cuadros
2.1 Clasificacin de las rbitas segn valores de la excentricidad
y la energa. . . . 153.1 Valores de la precesin del perihelio ext
de Mercurio debida a la influencia
gravitacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la
contribucintotal de stos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 30
3.2 Valores de la precesin del perihelio y an de los planetas
del sistema solardebida a la influencia gravitacional neta del
resto de planetas y causada por lacorreccin relativista de la
fuerza gravitacional respectivamente. . . . . . . . 31
v
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1 Introduccin.
El contenido de estas pginas corresponde, a la memoria del
Trabajo de Fn deGrado conducente a la obtencin del ttulo de
Graduado en Fsica por la Uni-versidad Nacional de Educacin a
Distancia (UNED). Se enmarca bajo la lineade trabajo asignada
Simetra y Conservacin. Simetra y Evolucin, el temaen concreto fue
elegido por el profesor tutor del trabajo, y en la humilde
opinindel alumno, de quien escribe stas lneas, no poda haber estado
ms acerta-do. El Problema de Kepler. Aplicaciones del vector de
Laplace-Runge-Lenzen rbitas perturbadas, tal como aparece en la
portada es el tema mismo atratar, una revisin bibliogrfica que el
lector, que si no est versado entende-mos que al menos dispone de
conocimientos de fsica, ya se estar haciendouna idea de qu se trata
y de lo que seguramente enseguida constatar.Est estructurada la
memoria en secciones de las cuales dos de ellas cons-tituyen la
espina dorsal de la misma. En la primera seccin, piedra angularpara
la siguiente, presentaremos a modo de repaso general y no por ello
ca-rente de cierto nivel, el conocido Problema de Kepler de la
mecnica celeste,construyendo el marco fsico-matemtico para su
resolucin y tratndolo des-de la perspectiva tanto de la mecnica
newtoniana como desde la lagrangiana.Posteriormente definiremos el
llamado vector de Laplace-Runge-Lenz o vectorLRL que surge de forma
natural del mismo problema y que se conserva comoconsecuencia de la
existencia de ciertas simetras, es por tanto una integralde
movimiento que nos permitir dar tambin con la solucin, aunque en
estecaso y en opinin de un servidor, de un modo ms elegante.En la
segunda seccin entraremos en materia por decirlo de alguna
manera,presentaremos el mtodo de la dinmica del vector LRL, una
tcnica de bajocoste en cuanto a esfuerzo se refiere y que permite
analizar caractersticas delas soluciones del Problema de Kepler
cuando ste se ve sometido a peque-as perturbaciones, que por lo
general rompen la simetra que da origen ala conservacin del vector
LRL. El lector pudiere pensar llegado el momento,que la frase
pequeas es extenuante, que le resulta redundante y repetitivaa lo
largo del texto, pronto comprender con toda seguridad que el
mantenerrigor matemtico exige ciertos vicios, sobretodo, cuando de
lo que se trataes de dejar claro algo importante, como en este
caso, en el que las perturba-ciones deben ser pequeas (en su
momento se dejar claro que se entiendepor pequeas) para dar validez
al mtodo de la dinmica del vector LRL.Por ltimo, solo decir que
aunque el propsito principal de este trabajo de finde grado resulta
evidente, pretender que no lo es sera sinuoso, tambin esde justicia
hacer constar que el tema expuesto aqu, aunque de carcter
intro-ductorio, ha supuesto tal gozo intelectual al autor, que
quiere dejar la puertaabierta a una futura ampliacin del texto.
UNED. 6 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
2 El Problema De Kepler.
2.1 Breve Resea Histrica.
Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de
1571 - Ratis-bona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), public las
tres leyes que descri-ben el movimiento de los planetas en rbitas
cerradas alrededor del Sol, lasdos primeras en su obra Astronomia
Nova, cuando an no se conoca la leyde gravitacin de Newton, Isaac
Newton nacera el 25 de diciembre del ao1642, doce aos despus de la
muerte de Kepler. As pus el descubrimien-to de Kepler fue
experimental, basndose en los datos sobre el movimientoplanetario
que se conocan hasta el momento, en particular las observacionesy
datos acumulados por el astrnomo Tycho Brahe (1546-1601), a los
cualespudo acceder despus de su muerte a partir de 1602. Kepler fue
ayudante deBrahe, quien acumul datos sobretodo del movimiento de
Marte, a partir destos Kepler concluy que ninguno de los modelos
hasta entonces encajabacon los datos analizados si se recurra a
rbitas circulares, afortunadamente,la rbita de Marte es lo
suficientemente excntrica, de otro modo quizs Keplerno se hubiera
percatado de este hecho. Kepler saba que no poda deberse aerrores
de Brahe, ya que conoca de la precisin de ste, concluy entoncesque
las rbitas no eran circulares sino elpticas con el Sol situado en
uno delos focos, rompi as con el dogma de movimientos circulares de
la poca en1609 con su primera ley. La segunda ley afirma que la
linea que une el Sol conel planeta, barre reas iguales en tiempos
iguales. Finalmente en 1619, en suobra Harmonices mundi (La armona
del mundo) Kepler publica la tercera leyque establece la
proporcionalidad entre el cuadrado del perodo orbital de
losplanetas en torno al Sol y el cubo del semieje mayor de la
elipse que describen.
Con aparicin la ley de atraccin de las masas como fuerza central
de potencialinverso de la distancia, las tres leyes pudieron ser
deducidas matemticamen-te. Esta deduccin terica solamente pudo
hacerse, evidentemente, a partir dela obra de Newton como veremos a
continuacin.
2.2 Tratamiento Newtoniano.
Imaginemos dos masas puntuales o esfricas, m1y m2, aisladas y
sometidasmutuamente a la interaccin gravitatoria. Partamos pues de
la Ley de Gravi-tacin Universal y de la segunda ley de Newton, la
ecuacin diferencial quegobierna a este sistema se escribe:
p =
r = Gm1m2
r3r; (2.1)
donde = m1m2m1+m2 es la masa reducida del sistema,G es la
constante de gravi-tacin universal, r es la distancia que separa a
ambas masas y, r = r2 r1 esun vector de las coordenadas espaciales
rectangulares (x; y; z) dirigido haciamasa m2 sobre el segmento que
une ambas masas, con r2 y r1 radiovectores
UNED. 7 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2.2 Tratamiento Newtoniano.
de posicin de dichas masas relativos al centro de masas del
sistema1. Deesta manera el problema de los dos cuerpos, queda
formalmente reducido alde un solo cuerpo de masa sometido a un
campo de fuerzas central de tipogravitacional .De la centralidad de
la interaccin, lo que la hace invariante frente a rotaciones (la
isotropa espacial), se desprende de inmediato la conservacin del
momentoangular, en efecto, puesto que
:r y p son paralelos y teniendo en cuenta (2.1):
L = d
dt[r p] = :r p+r :p = 0 + 0 = 0: (2.2)
De manera que L es un vector constante en el tiempo, el
movimiento de lasdos masas por tanto est restringido a un plano
definido por los vectores r y pperpendiculares a L. En este sentido
se puede escoger un sistema coordenadopolar (r; ) sobre el plano
del movimiento, e introduciendo Gm1m2 , laecuacin (2.1) se
reescribe como :
(::r r _2
=
r2
2 _r _ + r
= 0
; (2.3)
en donde cada ecuacin se corresponde con la componente segn los
unitariosbr y ^ del sistema coordenado polar respectivamente. La
segunda ecuacin delsistema anterior es la derivada respecto del
tiempo de lamagnitud del momentoangular como puede comprobarse,
expresa por tanto su conservacin cuyamagnitud es L = r2 _ = cte.
Sustituyendo entonces
:
en funcin de L en laprimera ecuacin, resulta:
"::r
L
21
r3
#=
r2: (2.4)
Para encontrar la ecuacin de las trayectorias vamos obtener una
relacin en-tre r y eliminando el tiempo de la ecuacin anterior.
Escribiendo:
_r =dr
d_ =
L
r2dr
d= L
d
d
1
r
;
::r =
d
d
L
d
d
1
r
_ =
L
21
r2d2
d2
1
r
;
(2.5)
y sustituyendo en (2.4) resulta:
1
r2
d2
d2
1
r
+
1
r
=
L2fg; (2.6)
1En todo momento en este texto se pasar por alto el movimiento
del centro de masas delsistema. Ntese que ste se mueve con un
movimiento rectilneo uniforme puesto que
pCM = 0
(se encuentra libre de fuerzas) , por lo que no resulta
relevante para el estudio del problema.
UNED. 8 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
donde hemos hecho fg = r2 .
La ecuacin anterior se conoce como Frmula de Binet para el campo
gravi-tacional, multiplicndola por r2 resulta una ecuacin
diferencial lineal, no ho-mognea y de coeficientes constantes para
la variable dependiente 1r , cuyasolucin inmediata pude comprobarse
que es:
r =
1 + " cos( 0) ; (2.7)
en donde hemos llamado,
L2
;
" C L2
;
(2.8)
con 0 un ngulo inicial que puede escogerse convenientemente
igual a cerosin perder generalidad, y donde C, es una constante de
integracin que seobtiene de las condiciones iniciales del
problema.
-Primera Ley de Kepler:
La expresin (2.7) representa la ecuacin de una cnica en
coordenadaspolares centrada en uno de sus focos, esto es,
representa una parbola, unahiprbola o una elipse segn sea el valor
de la excentricidad " que surge delas condiciones iniciales del
problema, el valor de se conoce comosemilatus rectum de la cnica,
geomtricamente es la altura perpendicularsobre el eje de simetra
mayor alzada desde cualquiera de los focos hasta lacnica. Es pues
este resultado, para el caso de una trayectoria elptica,
unademostracin de la Primera Ley de Kepler.
En la figura 2.1 se muestran las distintas trayectorias del
problema segn el va-lor de la excentricidad, en el caso elptico,
obsrvese, los dos cuerpos giran entorno a un foco de la elipse (al
centro en el caso circular), centro de masas delsistema, as,
supuesto quem1 m2 pngase el caso del sistema Sol-Tierra, elcentro
de masas estar desplazado hacia el Sol casi por entero,
describiendola tierra pues, una trayectoria elptica con el Sol
situado en uno de sus focos.
UNED. 9 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2.3 Tratamiento Lagrangiano.
Figura 2.1: Trayectorias del Problema de Kepler segn el valor de
la excentricidad. Fuente: [8].
-Segunda Ley de Kepler:
Escribamos la expresin del rea barrida por el vector r por
unidad de tiempo:
dA =12 (r dr)
) dAdt = 12 (r p)
= L2 = cte: (2.9)Lo que se muestra es que sta, conocida como
velocidad areolar, es constantecomo consecuencia de la conservacin
del momento angular L. Se obtiene as,de un modo simple y natural,
la Segunda Ley de Kepler. La Tierra entonces,y todos los dems
planetas, barren en su trayectoria en torno al Sol, reasiguales en
tiempos iguales.
Dejaremos la Tercera Ley de Kepler para el apartado siguiente
donde tratare-mos el problema desde el punto de vista de la Mecnica
Lagrangiana y estu-diaremos energticamente el sistema, lo dejaremos
no por necesidad sino msbien por pura eleccin ya que ambas
perspectivas, Lagrangiana y Newtoniana,conducen como no poda ser de
otro modo a los mismos resultados.
2.3 Tratamiento Lagrangiano.
El Lagrangiano de nuestro sistema de un cuerpo equivalente bajo
un campocentral de tipo gravitacional, en coordenadas polares sobre
el plano del movi-
UNED. 10 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
miento, resulta de inmediato ser:
L =T U = 12
:r2+ r2
2+
r: (2.10)
Visto que la coordenadas es cclica en el lagrangiano, el momento
conjugadocorrespondiente p = dL
d
= r2 _ o momento angular, se conserva como yasabamos. Por lo que
introduciendo (2.10) en la ecuacin de Euler-Lagrangepara la
coordenada r , resulta despus de expresar
:
en trminos de L:
d
dt
@L@ _r
@L
@r=
"::r
L
21
r3
#+
r2= 0; (2.11)
que es la misma ecuacin (2.4) obtenida en el apartado anterior.
Al igual queall hicimos, repitiendo los mismos pasos para llegar a
la Frmula de Binet (2.5), se obtiene sin ms la ecuacin de las
trayectorias del problema. Cnicascomo ya vimos entonces.Veamos
ahora el Hamiltoniano del sistema, sabemos que se corresponde conla
energa mecnica del sistema2:
E = H =12:r2+ r2
:
2
r=
1
2:r2+
1
2
L2
r2
r; (2.12)
es fcil ver que en efecto es otra constante de movimiento pues
de las Ecua-ciones Cannicas de Hamilton se tiene sin ms que:
dHdt
= @L@t
= 0; (2.13)
debido pues a que el Lagrangiano es explcitamente independiente
del tiempo.Se conserva entonces la energa en este sistema como
consecuencia de lahogeneidad del tiempo.Fijmonos ahora en los dos
ltimos trminos de la energa, stos pueden re-cogerse en una nica
energa potencial, es nombrada energa potencial totalefectiva Uef ,
de modo que as, el problema quede reducido a uno unidimen-sional de
la variable r. Puede entonces expresarse la energa como:
E =1
2:r2+ Uef ) Uef = 1
2
L2
r2
r: (2.14)
Donde el ltimo sumando de la energa potencial total efectiva
corresponde alpotencial gravitacional, y el primero, es
tradicionalmente conocido como ener-ga potencial centrfuga, dado
que, teniendo ste dimensiones de energa, sise asocia a una energa
potencial, su gradiente resulta:
2Esto es cierto siempre que la energa potencial sea
independiente de la velocidad y, las trans-formaciones de
coordenadas a las generalizadas no contengan explcitamente al
tiempo. Refirasepor ejemplo a [8],[4] para mayor informacin.
UNED. 11 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2.3 Tratamiento Lagrangiano.
rr1
2
L2
r2
= d
dr
1
2r2
:
2
= r:
2= Fc; (2.15)
es decir, se obtiene la expresin que histricamente es conocida
como fuerzacentrfuga Fc.3
Figura 2.2: Energa potencial total efectiva (curva en negro)
como suma de las energas poten-ciales centrfuga y gravitacional
(curvas en gris). Las energas E0 a E3 corresponden a
distintastrayectorias cnicas, circular, elptica, parablica e
hiperblica respectivamente. Los valores rm{nyrmax (pericentro y
apocentro) corresponden a los puntos en que se anula la velocidad
radial enel caso de rbita elptica para la energa mecnica E1. El
valor r0 corresponde al radio de rbitacircular para la energa
mecnica en el mnimo de la energa potencial total efectiva E0 =
Uefm{n .
Pasemos ya a obtener por medio de la energa o Hamiltoniano del
sistema laecuacin de las trayectorias. Despejando :r de (2.12)
tenemos:
:r = +
s2
(E U) L
2
2r2; (2.16)
donde por conveniencia se ha puesto la energa potencial
gravitacional comoun potencial central U = U (r) de un modo ms
general. Escribiendo adems:
d =d
dt
dt
drdr =
:
:rdr; (2.17)
3Debe recordar el lector que la fuerza centrfuga no es una
fuerza de origen real, es una fuer-za de las llamadas ficticias,
por lo que debe entenderse sta y su energa potencial
asociada,meramente como un artefacto matemtico.
UNED. 12 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
e introduciendo (2.16) en (2.17), y poniendo:
en funcin de L, despus deoperar se obtiene:
0 = L
r2r2E U L22r2
dr: (2.18)La integral anterior nos da la variacin angular en
funcin de r . Es interesantenotar de (2.16) que en general la
velocidad radial :r se anular para dos valo-res de rm{n y rmax,
significaa sto que r oscilar entre stos, conocidos comopericentro y
apocentro respectivamente, vease la figura 2.2. Asi pues, la
tra-yectoria est confinada sin embargo, slo ser una trayectoria
cerrada si lavariacin angular en la integral anterior, evaluada
entre dos pericentros o dosapocentros consecutivos, es una fraccin
racional p/q de 2 , en efecto, puesluego de un nmero entero q de
perodos, la posicin de r = r () volver aser la inicial. Para
ciertas combinaciones de E;U; y L; (2.16) presentar unaraz doble,
en tal caso, el valor de r se mantendr constante en el tiempo yel
sistema presentar una situacin de equilibrio estable con energa
mnimaE0 = Uefm{n , es el caso ste el de rbita circular de radio
r0.La figura 2.3 siguiente muestra el caso de una trayectoria
abierta, observe queen tal caso, despus de un numero finito de
oscilaciones entre los valores rm{nyrmax, la rbita no se cierra. Un
resultado importante, el Teorema de Bertrand,muestra que para
potenciales centrales U / rn+1, slo se producirn rbitascerradas
para los casos n = 1 y n = 2 4. El primer caso es el potencial
elsti-co, el segundo corresponde justamente al caso del potencial
gravitacional. Unademostracin del teorema puede encontrarla en [4],
Apndice A.
Figura 2.3: Trayectoria abierta pero limitada, despus de un
nmero finito de oscilaciones entrerm{ny rmax sta no se cierra sobre
si misma. Fuente: [8]
Volviendo a la integral (2.18), escrita para el potencial
gravitacional,
0 = L
r2r2E + r L
2
2r2
dr; (2.19)4Ciertos valores fraccionarios de n conducen tambin a
rbitas cerradas, sin embrago, estos
casos no son de gran inters fsico.
UNED. 13 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2.3 Tratamiento Lagrangiano.
resulta de fcil solucin mediante el cambio u 1r , lo que conduce
a la expre-sin:
0 = arccos0@ L2r 1q
1 + 2EL2
2
1A ; (2.20)y que despus de definir:
L2
;
" s
1 +2EL2
2;
(2.21)
nos permite escribirla en la forma:
r= 1 + " cos( 0); (2.22)
que se corresponde pues con la ecuacin de las trayectorias
cnicas ya obte-nidas anteriormente mediante la segunda ley de
Newton ( en la pgina 7). Eneste caso adems, hemos podido escribir
la excentricidad " de tales cnicasen trminos de la energa E del
sistema y de la magnitud del momento angularL del mismo.
Teniendo ahora en cuenta que para una rbita elptica, de (2.22)
haciendo 0 = 0 e igual a respectivamente, resulta el semieje mayor
a,
rm{n + rmax =
1 + "+
1 " )
) a = 1 "2
(2.23)
y que junto con las dos expresiones de (2.21) se tiene que:
E =
2
"2 1 =
2a; (2.24)
resulta finalmente que la energa puede determinarse mediante el
parmetroorbital a; esto es, mediante el semieje mayor de la
elipse.
Lo anterior expresa la llamada degeneracin orbital, es decir,
dado que la ener-ga depende slo del semieje mayor a; distintas
rbitas, con distintas excen-tricidades, pueden corresponder al
mismo valor de la energa. Obsrvese lafigura a continuacin.
UNED. 14 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
Figura 2.4: Representacin de la degeneracin orbital, distintas
rbitas con excentricidadesdiferentes poseen la misma energa.
Fuente: [1].
El cuadro siguiente muestra la clasificacin de las rbitas, la
cnica resultantesegn el valor de la excentricidad y de la
energa.
Excentricidad ("): Energa (E): Trayectoria:" > 1 E > 0
Hiprbola" = 1 E = 0 Parbola
0 < " < 1 Uefm{n < E < 0 Elipse" = 0 E = Uefm{n
Crculo
Cuadro 2.1: Clasificacin de las rbitas segn valores de la
excentricidad y la energa.
-Tercera Ley de Kepler:
De la Segunda Ley de Kepler (2.9), podemos escribir:
T0
dt =2
L
A0
dA ) T = 2LA; (2.25)
siendo T el perodo orbital. Teniendo en cuenta la expresin para
el rea deuna elipse, resulta:
T =2
Lab; (2.26)
con a y b los semiejes mayor y menor de la elipse
respectivamente.Finalmente, elevando al cuadrado la relacin
anterior, poniendoL2 = a
1 "2
de la primera de (2.21) y de (2.23), y sabiendo que para una
elipse es b2 =a21 "2 , queda:
T 2 =42
a3: (2.27)
UNED. 15 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).
La relacin anterior expresa la Tercera Ley de Kepler, el
cuadrado del perodoorbital es proporcional al cubo del semieje
mayor de la trayectoria elptica; sinembargo, tngase en cuenta que
aqu aparece la masa reducida, por lo que laexpresin se refiere al
problema equivalente de un cuerpo. Si en cambio hace-mosm1 m2 ,
como hicimos ya en la seccin anterior, recordemos el
sistemaSol-Tierra, entonces ser ' m2 y puesto que es Gm1m2,
tenemos:
T 2 =42
Gm1a3; (2.28)
que s es la relacin enunciada por Kepler en 1619.
2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).
En el Problema de Kepler, aparece, adems de las cantidades
conservadas yavistas antes, a saber, la energa y el momento angular
E y L respectivamente,una nueva cantidad conservada que surge en
conexin con la clausura o cie-rre de las rbitas keplerianas y con
la degeneracin orbital, consecuencia enbuena parte de las
particularidades y simetras del potencial gravitacional,
msconcrtamente las llamadas simetras ocultas, transformaciones de
las coor-denadas y los momentos que conducen a un grupo de
rotaciones SO4 de unespacio euclidiano cuadridimensional5. Esta
constante es un vector. Vemoslo,en efecto recordando que:
:p = r
r3y L = r r; (2.29)
hagamos el producto vectorial de:p con L,
:p L =
r3r r :r ; (2.30)
desarrollando el triple producto vectorial entre corchetes,
puede ponerse como:
:p L =
r3rr :r r2 :r (2.31)
Ahora bien, dado que r :r = r :r la expresin anterior, despus de
operar, queda:
:p L =
:rr
:rrr2
!=
d
dt
rr
; (2.32)
y finalmente, teniendo en cuenta que:
L = 0 (el momento angular se conserva),resulta que:
5Esta inslita aparicin de un espacio cuadridimensional es algo
llamativa y debe ser asumidams como un artefacto matemtico que como
una propiedad fsicamente tangible.
UNED. 16 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
2 EL PROBLEMA DE KEPLER.
d
dt
p L br = 0 ) A p L br = cte (2.33)
Tal vector A es como hemos dicho una nueva constante de
movimiento. Losfsicos han llamado a este vector, vector de
Runge-Lenz, o ms correctamente,vector de Laplace-Runge-Lenz o
simplemente por siglas vector LRL.Es inmediato comprobar que A L =
0, lo que demuestra que el vector LRL seencuentra situado sobre el
plano orbital. Para conocer su direccin, hagamosahora el producto
escalar de A con r:
A r = Ar cos = (p L) r br r = (r p) L r = L2 r; (2.34)esto
es,
r =
L2
1 + A cos : (2.35)
Comparando la ecuacin anterior con la ecuacin (2.7), y teniendo
en cuentaque all puede hacerse 0 = 0 convenientemente sin perder
generalidad, tene-mos pues la ecuacin de las trayectorias del
Problema de Kepler sin ms. Esas ste otro modo de obtener los
resultados anteriores, vemos que el vectorfijo LRL forma el mismo
ngulo con r que ste ltimo con el eje polar, estentonces en direccin
apsidal, y adems, comparando nuevamente (2.35) con(2.7), se ve
claramente que:
A = " ; A = "bx; (2.36)donde bx es el vector unitario en la
direccin del eje polar (direccin apsidal)hacia el pericentro. El
mdulo de A por tanto es proporcional a la excentricidadde la
rbita.
Figura 2.5: Representacin del vector constan-te LRL A en cuatro
puntos de una rbita elptica.Obsrvese que est dirigido hacia el
pericentro.
Constituyen as, las componentes deA y L , ms la energa E, siete
cons-tantes de movimiento inmersas en elProblema de Kepler, debidas
claro,como se ha advertido, a simetraspresentes en el problema. Sin
em-bargo, no son todas ellas indepen-dientes, para verlo, basta
comparar(2.36) con la segunda expresin de(2.21) y despus reordenar
trminospara llegar sin dificultad a la relacin:
A2
22= 1 +
2EL2
2; (2.37)
UNED. 17 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).
que junto con A L = 0 forma un sistema de dos ecuaciones con
siete incgni-tas, lo que nos dice que el vector LRL no es
independiente, depende de otrasdos constantes, E y L, siendo por
tanto al final cinco las constantes de movi-miento verdaderamente
independientes.La existencia de esta constante de movimiento
adicional fue demostrada porLaplace en su curso de Mcanique Cleste
publicado en 1799. Posteriormen-te y de forma totalmente
independiente, por Hamilton en 1845. Sin embargo,a pesar de estos
descubrimientos y redescubrimientos, la existencia de estevector
permaneci bastante ignorada hasta que Carl Runge lo populariz enun
curso de Anlisis Vectorial publicado en 1919. Finalmente Wilhelm
Lenz loutiliz en 1924 en el estudio cuntico del tomo de
hidrgeno.
UNED. 18 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN RBITAS PERTURBADAS.
3 Aplicaciones del vector LRL en rbitas pertur-badas.
3.1 La perturbacin orbital. Dinmica del vector LRL
Nuestro propsito ahora se centrar en estudiar los efectos que
sobre las tra-yectorias orbitales del Problema de Kepler produce
una perturbacin aadida.Por perturbacin, o ms exactamente por pequea
perturbacin, entendere-mos una fuerza f que sumada a la fuerza
gravitacional, modifique ligeramentela trayectoria original del
problema no perturbado, esto ltimo es debido, co-mo es de suponer,
a que de un modo general las soluciones analticas a lasecuaciones
del problema perturbado slo son posibles en algunos casos,
yconducen en general a trayectorias que en poco o nada tienen que
ver con lascnicas de Kepler estudiadas, as pues, la perturbacin ha
de ser lo suficiente-mente pequea en comparacin con la fuerza
gravitacional (en el mnimo de laenerga potencial total efectiva),
una pequea perturbacin pues, de modo quemediante los mtodos
perturbativos podamos asegurar que las soluciones vana ser cercanas
a las del problema sin perturbar, para sto basta con imponer ala
fuerza perturbatriz la condicin f /r20, donde r0 es como sabemos el
ra-dio de rbita circular estable correspondiente al mnimo de la
energa potencialtotal efectiva del problema sin perturbar.Acabamos
de comentar que en general, las soluciones analticas al Proble-ma
de Kepler perturbado no siempre son posibles, tenindose que
recurrir portanto a los mtodos perturbativos, sin embargo, y por
poner un ejemplo, en elcaso de una perturbacin central de la forma
f = /r3 , con una constantepositiva (vase el Apndice A), se obtiene
una ecuacin diferencial lineal no ho-mognea de coeficientes
constantes al introducirla en la Frmula de Binet (2.6),las
soluciones analticas de dicha ecuacin resultan ser trayectorias
espirales,pero cuando el valor de es suficientemente pequeo
resultan cnicas cuyopericentro se desplaza con el tiempo. Dicho
desplazamiento del pericentro esconocido usualmente como precesin
del perihelio (pericentro con referenciaal Sol) o avance del
perihelio, y en el caso de una trayectoria elptica por ejem-plo, es
como si el perihelio girase poco a poco como se aprecia en la
figura2.3, tal efecto sobre las rbitas es la modificacin que
introduce la pequeaperturbacin en la solucin del problema no
perturbado.Mediante el mtodo de aproximaciones sucesivas de Picard
por ejemplo, pue-de abordarse la resolucin de la Frmula de Binet
bajo una pequea perturba-cin cuando no es posible su resolucin
analtica, en ese caso se procede asuponer como solucin, en primer
orden de aproximacin, la del problema noperturbado, que
posteriormente se va corrigiendo en rdenes de aproximacinsuperior
mediante iteraciones sucesivas, as hasta obtener la exactitud
desea-da. Por tanto, se van aadiendo a la solucin sin perturbar,
correcciones en lasque aparecen trminos seculares responsables de
efectos sobre las cnicascomo el comentado en el prrafo anterior,
por supuesto, sobra decir que lasmodificaciones en las trayectorias
no siempre resultarn en una pecesin delperihelio, esto depender en
general de la forma matemtica de la perturba-cin, pudiendo no
manifestarse precesin alguna y s presentarse o no
otrasalteraciones.
UNED. 19 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
3.1 La perturbacin orbital. Dinmica del vector LRL
En este epgrafe y en los siguientes mostraremos un mtodo que
resulta bas-tante econmico a la hora de evaluar los efectos que
sobre las rbitas aparecenal introducir una pequea perturbacin al
Problema de Kepler. Dado que co-mo hemos visto, el vector LRL en el
problema no perturbado est en direccinapsidal, y su mdulo es
proporcional a la excentricidad de las orbitas, analizarentonces
las variaciones en la trayectoria, como la precesin del perihelio
oalteraciones en la excentricidad, se traduce esencialmente en
obtener la tasade variacin temporal del vector LRL bajo la
perturbacin, pues si gira el pe-rihelio con el tiempo , gira con el
tiempo el vector LRL, y si vara en el tiempola excentricidad, lo
har igualmente el mdulo del LRL.
Por simplicidad, en adelante supondremos que tratamos con un
centro de fuer-zas de masa M en torno al cual gira en rbita elptica
un cuerpo de masa mde manera que sea M m , as GMm y la aproximacin
' m quedajustificada; en ningn modo el no hacer esto supone mayor
dificultad, pero lasaplicaciones que aqu van a se expuestas
sugieren hacer esta simplificacinpor comodidad.
Empecemos ya escribiendo la Segunda Ley de Newton para el cuerpo
demasam del Problema de Kepler con una perturbacin general aadida y
la derivadatemporal del momento angular del sistema bajo dicha
perturbacin, tenemospues:
:p =
r2r^+ f ;
L = r p = r f: (3.1)
Recordando los pasos del epgrafe anterior al definir el vector
LRL, expresiones(2.29) a (2.35), haciendo uso ahora de las dos
expresiones anteriores, resultaque es:
:p L = m d
dt
rr
+ f L y p
L = p (r f); (3.2)
donde en la primera expresin se ha hecho uso de (2.32) con ' m.
Sumandolas dos relaciones anteriores tenemos:
:p L+ p
L = m ddt
rr
+ f L+p (r f); (3.3)
y finalmente queda:
:p L+ p
Lm ddt
rr
=
d
dt
p Lmbr
=A = f L+p (r f):
(3.4)
La expresin anterior no es ms que la derivada temporal del
vector A, la evo-lucin temporal del vector LRL bajo una perturbacin
general.
UNED. 20 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN RBITAS PERTURBADAS.
Es importante interpretar correctamente (3.4), el vector A que
ah vara conel tiempo se corresponde con el vector LRL del Problema
de Kepler, esto es,el vector de Laplace-Runge-Lenz del problema en
ausencia de perturbacinalguna tal y como fue definido en la seccin
2.4. All demostramos que tal vectorconstituye una constante de
movimiento ms, que se mantiene en direccinapsidal de la rbita
elptica y que sumagnitud es proporcional a la excentricidadde la
misma, pero en general, las rbitas del problema perturbado no
presentaun vector similar, y por tanto (3.4) tal cual, no da
informacin de inters a cercade las caractersticas de las rbitas del
problema con perturbacin.
Para aclarar las ideas, que desde luego pueden ser confusas,
supongamosuna perturbacin central sobre el Problema de Kepler de la
forma f = r2br;en la que es una constante positiva tal que se
verifica el criterio de pequeaperturbacin f /r20. La fuerza neta
ejercida sobre la masa m es entonces:
F = r2br
r2br = 0
r2br (3.5)
Ntese que por la particularidad de la perturbacin; sta no ha
hecho ms quecambiar la constante del Problema de Kepler no
perturbado por la nuevaconstante 0 = + , las soluciones analticas
del problema resultan ser lasmisma; cnicas, se conserva entonces la
energa y, de (2.10) se desprende deinmediato que el momento angular
queda conservado tambin, dirigido segnel unitario bz perpendicular
al plano del movimiento y tal que L = mr2 bz comoall mostramos.
Ahora bien, la sustitucin de la fuerza perturbatriz f en
(3.4)conduce a:
A =
r2brmr2 bz = L
r2b = L
r2sen bx+ cos by 6= 0; (3.6)
es decir, el vector LRL A del problema en cuestin no es una
constante demovimiento, indica la existencia de una variacin
temporal de los psides en larbita, lo cual resulta contradictorio a
la vista de la equivalencia de las solucio-nes del problema con las
del problema sin perturbar. Lo que est sucediendoaqu es que el
vector LRL al que se refiere (3.6) es el vector A p Lmbrdel
problema no perturbado definido en (2.4), y es evidente que en este
casoes el vector redefinido A0 p L m0br quien cumple las
propiedades deA del problema en ausencia de perturbacin y no la
cantidad A de la expre-sin anterior , por supuesto, esta
redefinicin es slo posible siempre que laperturbacin no quiebre las
simetras del Problema de Kepler como en este ca-so. Dicho sto, la
expresin (3.6) no es incorrecta en si misma, pero tampocoinforma de
nada en especial.
Volvamos a la cantidad A p L mbr, por definicin,
independientementede la constante y de los vectores p y L = r p con
que se construye, esun vector siempre situado sobre el plano
definido por los vectores r y p , portanto se encuentra tambin
siempre sobre el plano de las rbitas del proble-ma perturbado
anterior. Recordando ahora que para una funcin del tiempof (r (t) ;
(t))) su promedio en un intervalo temporal 4t es:
UNED. 21 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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3.1 La perturbacin orbital. Dinmica del vector LRL
hf (r (t) ; (t))i = 14t t+4tt
f (r () ; ()) d; (3.7)
que si adems f es peridica en el tiempo con perodo T , es
entonces:
hf (r (t) ; (t))i = 1T
t+Tt
f (r () ; ()) d =1
T
T0
f (r (t) ; (t)) dt; (3.8)
luego, cambiando el perodo temporal T a perodo angular de 2
rads. sabiendoque es L = mr2
constante en el Problema de Kepler no perturbado, nos es
conveniente reescribir la integral anterior en la forma:
hf (r (t) ; (t))i = 1T
T0
f (r (t) ; (t)) dt =1
T
20
f (r () ; )
d
dt
1d
=m
TL
20
r2f (r () ; ) d:
(3.9)Con esto, finalmente tomemos (3.6) en promedio en un perodo
ngular, y vea-mos que
A
=m
T
20
sen bx+ cos by d = 0: (3.10)Resultado que indica que aunque el
vector LRL del Problema de Kepler va-ra con el tiempo bajo la
perturbacin f = r2br, en un perodo sus efectos enpromedio se
anulan, y por tanto las soluciones no presentan diferencias
enpromedio respecto de las soluciones en ausencia de perturbacin,
no hay va-riaciones apsidales netas, en coherencia con lo que caba
esperar y que yasabiamos de las soluciones analticas.Por tanto, en
las aplicaciones tomaremos (3.4) en promedio y tendremos:
A
= hf Li+ hp (r f)i ; (3.11)
que es la evolucin temporal media del vector LRL.El uso de la
dinmica del vector LRL en media temporal, en las aplicaciones
aproblemas perturbados, es de suma importancia para obtener
informacin deutilidad sobre las caractersticas de las soluciones y
requiere de una correctainterpretacin de (3.4). En [10] por
ejemplo, queda de manifiesto un uso inco-rrecto del vector LRL al
omitir el uso de medias temporales, tal como exponenlos autores
all, esto conduce a la prdida de trminos que, en el mejor de
loscasos debido a las peculiaridades de cada perturbacin , puede
llegarse a solu-ciones correctas quedando inadvertida la situacin,
pero que de forma generalacarrear resultados equivocados respecto
de la informacin que se pretendeobtener.
UNED. 22 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN RBITAS PERTURBADAS.
3.2 Precesin anmala del perihelio de Mercurio. La correc-cin
relativista.
Al igual que el resto de los planetas de nuestro sistemas solar
en mayor o me-nor medida, Mercurio, el primero y ms pequeo de
ellos, exhibe en su rbitauna precesin del perihelio que es debida
en buena parte a la influencia gravi-tacional del resto de los
planetas que orbitan el Sol , influencia que aade unaperturbacin
cuyo efecto, como veremos en el prximo epgrafe, es precisa-mente el
de la precesin.
Fu el astrnomo y matemtico francs Le Verrier (1811-1877),
codescubridorde Neptuno en 1846, el primero en anunciar en 1859 una
anomala en el avan-ce del perihelio de Mercurio, calcul un desfase
de 3800 por siglo respecto delavance debido a la influencia
gravitacional del resto de planetas. Le Verrier,como explicacin del
hallazgo, propuso la existencia de un cinturn o anillo demateria
entre el Sol y Mercurio parecido al cinturn de asteroides entre
Martey Jpiter, Ese mismo ao un astrnomo amateur llamado
Leecarbault, afirmque llevaba tiempo observando un planeta pequeo
en transit por el Sol alque llam Vulcano, la Real Sociedad
Astronmica de Londres anunci a bom-bo y platillo entonces, que
Vulcano era la explicacin correcta de la presesinanmala del
perihelio de Mercurio. Todos estos argumentos fueron descarta-dos
uno a uno, incluso se pens en el achatamiento de los polos solares
comoposible respuesta.
En en 1894 el astrnomo Asaph Hall (1829-1907) propuso alterar la
Ley de laGravitacin Universal de Newton, la ley del inverso del
cuadrado de la distan-cia, aadiendo un trmino inverso del cubo de
la distancia multiplicado por unaconstante que ajust para que diera
cuenta de la anomala observada en Mer-curio. En 1895 Newcomb
(1805-1909) public un trabajo sobre el movimientode los planetas
rocosos del sistema solar en el que observ anomalas simila-res a
las del perihelio de Mercurio en todos los planetas rocosos,
incluso en laLuna aunque mucho ms pequeas. La nueva ley de Hall no
daba cuenta deestas otras anomalas. Newcomb demostr que la nueva
ley de gravitacin deHall no era la respuesta correcta, pero puso en
el candelero la posibilidad deque una nueva ley de gravitacin
pudiera ser la clave.
La idea de modificar la Ley de Gravitacion Universal se enmarca
en el con-texto de las nuevas teoras de la gravedad que se
volvieron muy populares afinales del siglo XIX, Muchos fueron los
esfuerzos y muchos los impulsores deestas teoras que no terminaban
por dar una explicacin correcta de la anoma-la, cuantitatvamente
algunas de ellas daban cuenta de tan slo una fraccindel desfase
observado y otras, no explicaban de modo general la
anomalaobservada en el resto de planetas.
La solucin fue obtenida por primera vez gracias a la teora de la
gravedad deun fsico alemn casi desconocido, el maestro de escuela
Paul Gerber (1854-1909), publicada en 1898, la derivacin era
bastante poco clara y aos mstarde se encontr que contena errores
(susceptibles de ser corregidos), anas, obtuvo la frmula correcta.
Su idea consista en aplicar una teora de po-tenciales retardados
similar a la utilizada en electrodinmica bajo la hiptesisde que la
gravedad se propaga a una velocidad finita, que Gerber calcul
que
UNED. 23 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
3.2 Precesin anmala del perihelio de Mercurio. La correccin
relativista.
coincida con la velocidad de la luz c en el vaco, puede leerse
en [3] una articu-lo que desarrolla esta idea. Gerber propuso
entonces un potencial gravitacionalmodificado en la forma:
Vr;
:r= GM
r
11 :rc
2 ; (3.12)que como se aprecia depende no slo de r sino tambin de
la velocidad radial:r , por lo que la fuerza derivada de tal
potencial es, aplicando la ecuacin deEuler-Lagrange :
d
dt
@
@:r
1
2m
:r2
= m
d
dt
@V
@:r
@V
@r
)
) f = GMmr2
1
:r
c
4 "6r
::r
c2 2
:r
c
1
:r
c
+
1
:r
c
2#:
(3.13)
que deesarrollada en serie de potencias de :r/c, puede
escribirse como:
f = GMmr2
1 3
:r2
c2+
6r::r
c2 8
:r3
c3+
24r:r::r
c3 : : :
!;
:rc < 1: (3.14)
La expresin anterior para la fuerza gravitacional, predice los
valores correctos(o significativamente prximos) observados para la
velocidad de precesin dela anomala en el perihelio de Mercurio y en
el resto de los planetas, en elcaso de Mercurio, observaciones
actuales precisas dan unos 4300 por siglo, sinembargo, como ya se
seal, tal solucin careca de una justificacin y de unaargumentacin
clara y satisfactoria.
Quien puso punto y final al asunto, fue Albert Einstein en 1915
con sus teo-ras de la Relatividad Especial y General. De ellas se
desprende un trminoperturbativo de correccin a la fuerza
gravitacional de la forma:
f = 3r4br; (3.15)
con GML2mc2 , una constante. La mitad de la expresin anterior
puede serexplicada desde el punto de vista de la teora Especial de
la Relatividad, (1/3)debida a la dilatacin del tiempo y (1/6)
consecuencia de la variacin de lamasacon la velocidad. El resto se
explica en el marco de la teora general y tienesu origen en la
velocidad finita de propagacin de la interaccin gravitacional(accin
a distancia).
La correccin de Gerber conduce en primer orden de aproximacin al
resul-tado de Einstein para la velocidad de precesin anmala del
perihelio, y trasla reimpresin del artculo de Gerber en 1917,
varios detractores de Einsteinle acusaron de plagio. Einstein
siempre manifest que desconoca el oscuro
UNED. 24 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN RBITAS PERTURBADAS.
trabajo de Gerber, pero que incluso habindolo conocido, llo no
habra influi-do a la hora de desarrollar su teora y de afirmar que
sus resultados sobre laanomala del perihelio, confirmaban su teora
de la relatividad.La perturbacin f (3.15) satisface el criterio
exigido por los mtodos perturba-tivos f /r20, en efecto, pues para
los valores tanto de Mercurio como delresto de planetas del sistema
solar, es,
3r20r4
=3L6
(m2c)2r4 1 (3.16)
en donde se ha tenido en cuenta que r0, el radio de rbita
circular de mnimaenerga potencial efectiva del Problema de Kepler,
de (2.22) y de la primera de(2.21), es,
r0 = L2
' L
2
m: (3.17)
y r = r (), la ecuacin de las trayectorias orbitales del
Problema de Kepler sinperturbacin alguna. Por tanto, siguiendo la
manera de operar en los mtodosperturbativos, empleando sta ecuacin
como solucin en primera aproxima-cin al problema perturbado, esto
es, empleando
r =
1 + " cos ; (3.18)
podemos aplicar la evolucin temporal media del vector LRL (3.11)
a la pertur-bacin teniendo en cuenta adems que, por ser sta de tipo
central, tenemosen este caso que hp (r f)i = 0 , luego es:
A
= hf Li = 3L brr4
= 3
cos r4
L bx; (3.19)
donde se ha tenido en cuenta la constancia de L en la rbita no
perturbada yque, debido a la simetra de la misma,
brr4
=
cos bx+ sen by
r4
=
cos bxr4
; (3.20)
siendo los vectores bx e by , los unitarios en la direccin
positiva del eje polar yperpendicular a ste en sentido positivo
respectivamente.Calculando el promedio en (3.20) mediante (3.9),
resulta entonces,
A
= 3
cos r4
L bx = 3m
TL
20
cos r2
d
L bx: (3.21)
Resolviendo la ltima integral, sustituyendo antes la solucin en
primer ordende aproximacin (3.18),
UNED. 25 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
3.2 Precesin anmala del perihelio de Mercurio. La correccin
relativista.
20
cos r2
d =1
2
20
cos (1 + " cos )2 d = 12
20
2" cos2 d
=2"
2;
(3.22)
resultado que llevado a (3.21) y, recordando que segn (2.23) es
el semilatusrectum = a
1 "2, queda:
A
=6m"
Ta2 (1 "2)2LL bx: (3.23)
Convenientemente la expresin anterior puede reescribirse
sustituyendo GML2
mc2 , junto con el hecho de que de la primera relacin de (2.21)
y de la expre-sin de anterior se deduce que es L2 = ma(1"2) , y
finalmente teniendo encuenta que el vector LRL de la rbita no
perturbada es segn (2.37) A = m"bx,
A
=6GM
c2Ta (1 "2)bL A: (3.24)
Escrita de este modo, y comparndola con A
= an A; (3.25)
resulta que por asimilacin , en promedio, el vector LRL gira con
velocidad an-gular an , dicho de otro modo, la correccin
relativista produce una precesin
an del perihelio, que viene dada por:
an =6GM
c2Ta (1 2) : (3.26)
Relacin que conM la masa del Sol ym la de Mercurio, y despus de
introducirel resto de parmetros orbitales del planeta, arroja el
valor an ' 4300 por siglo,valor en destacable concordancia con el
observado, que dependiendo de lafuente consultada est alrededor de
los 43; 110 por siglo.Se puede ver en (3.24) que el sentido de giro
del perihelio es el mismo que eldel planeta en su rbita (an tiene
igual direccin y sentido que L). El ngulode ocurrencia entre un
perihelio y el siguiente es mayor que 2 rads, por tanto,se dice que
hay un atraso temporal del mismo (llega ms tarde respecto de elde
la rbita no perturbada), o visto de otra manera, hay un avance
espacial delperihelio (est ms adelante respecto de el de la rbita
no perturbada).Ntese tambin que el efecto ser tanto ms pronunciado
cuanto mayor sea elsemieje mayor a y mayor sea la excentricidad "
de la rbita. Por consiguiente,Mercurio, el planeta ms cercano al
Sol y con la rbita ms excntrica, es el quepresenta precesin del
perihelio ms notoria. De otra forma, podemos decir queel
desplazamiento relativista del perihelio es mximo en el caso de
Mercurio,debido al hecho de que su velocidad orbital es muy alta,
por lo que el parmetrorelativista v/c es elevado y los efectos
relativistas se ven acusados.
UNED. 26 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN RBITAS PERTURBADAS.
3.3 Precesin general del perihelio. La influencia
planetaria.
Como se mencion al principio del epgrafe anterior, aparte de la
precesinanmala debida a los efectos relativistas, la rbita de los
planetas del sistemasolar manifiestan una precesin del perihelio
bastante ms pronunciada, quees consecuencia de la perturbacin que
aade la influencia gravitacional delresto de planetas orbitando en
torno al Sol.
Aqu entraremos ms de lleno en el problema, y como se hizo antes,
usaremosla dinmica del vector LRL en media temporal para determinar
la velocidad deprecesin en este caso.
Para empezar supongamos un planeta de masam que orbita al Sol
cuya masaes M , y otro de masa m0 que lo hace en una rbita exterior
a la del primero.El segundo planeta ejerce como es obvio una
influencia gravitacional sobre elprimero que perturba su rbita,
para determinar la fuerza perturbatriz f supon-dremos por
simplicidad que todas las rbitas se sitan sobre un mismo plano
yadems, todas menos la del planeta perturbado consideradas
circulares; des-preciaremos tambin el movimiento del Sol.
Estas hiptesis si bien no son ciertas, tan solo restarn en un
tanto acepta-ble exactitud a los resultados y en cambio, aadirn
claridad y simplicidad almodelo matemtico que siempre puede ser
ampliado teniendo en cuenta lascaractersticas reales de
problema.
Figura 3.1: Representacin del modelo matemtico utilizado para
determinar la perturbacin fque ejerce un planeta de masa m0 en
rbita circular en torno al Sol sobre la rbita de un planetade
masam:
Como se desprende de la figura anterior, el modelo matemtico
consiste enrepresentar al planeta de masa m0 en rbita exterior a la
del planeta de masam, como una distribucin de masa continua de
densidad lineal m0 sobre unanillo de radio R igual al radio de su
rbita circular. Con lo dicho y de la figura,es inmediato ver que el
potencial gravitacional debido al anillo, en la posicin ren la que
se encuentra la masa m es:
UNED. 27 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
3.3 Precesin general del perihelio. La influencia
planetaria.
V (r) = G
anillo
m0dl
jR rj = Gm0
2R
20
Rd'pR2 + r2 2Rr cos' ; (3.27)
0 < r < R ; r 6= R;
en donde ' representa el ngulo que forman los radiovectores R y
r. La integralanterior puede ser escrita de un modo ms conveniente
haciendo rR ,
V () = Gm0
R
0
d'p1 + 2 2 cos' ; 0 < 1; (3.28)
en la que el intervalo de integracin se ha reducido a rads dada
la simetraangular del integrando.
La fuerza perturbatriz es pues:
f = mrrV (r) = m@V ()@
@
@rbr
=Gmm0
R2
0
cos' (1 + 2 2 cos')3/2
d'br ; 0 < 1:(3.29)
Hay quematizar quematemticamente las integrales de parmetro que
resul-tan tanto para el potencial como para la fuerza, convergen
siempre que 6= 1, pero los valores negativos de carecen de sentido
fsico alguno y para laperturbacin de un planeta exterior es siempre
< 1. Tales integrales estnestrechamente ligadas con las llamadas
funciones elpticas de primera y se-gunda especie, de hecho pueden
escribirse en trminos de estas funciones,sea como fuere, por este
motivo no pueden ser resueltas en trminos de lasfunciones
elementales siendo necesario acudir a los mtodos numricos
deresolucin.
La perturbacin obtenida satisface el criterio de losmtodos
perturbativos siem-pre que,
1
m0
M2I() 1; (3.30)
donde hemos llamado I() a la integral de parmetro de (3.29) . Su
valores positivo y se acerca a cero conforme tambin lo hace, esto
es, cuandoR ! 1 , puesto que es R > r en nuestro caso siendo
adems m0 M , larelacin anterior se satisface.
Al igual que hicimos en el epgrafe anterior, puesto que en este
caso tambinla perturbacin es central, usando (3.11) tal como all,
con la ecuacin de lastrayectorias orbitales r () (3.18) del
Problema de Kepler no perturbado comoprimer orden de aproximacin,
resulta:
UNED. 28 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN RBITAS PERTURBADAS.
A
= hf Li = Gmm0
R2
I()br L =Gmm0
R2
I()br L
= Gmm0L
R2hI()cos i bL bx = Gm2m0
TR2
20
r2I()cos d bL bx= Gm
2m0
TR2
20
I()2cos
(1 + " cos )2d bL bx
= m02
TR2M"
20
I()cos
(1 + " cos )2d bLm"bx
= 2m0a2
1 "22
TR2M"
0
I()cos
(1 + " cos )2d bL A;
(3.31)
con r()R .
Se tiene entonces que para la velocidad de precesin del
perihelio ext, delplaneta de masa m debida a la influencia
gravitacional del planeta exterior demasa m0 que:
ext =2m0a2
1 "22
TR2M"
0
I()cos
(1 + " cos )2d
: (3.32)
Puede probarse que los valores de la ltima integral doble de
(3.31) sonnegativos para 0 < < 1 y 0 < " < 1 , por lo
tanto, es inmediato que elsentido de giro del perihelio es el mismo
que el del planeta que orbita (exttiene igual direccin y sentido
que L) siendo adems la velocidad de precesinindependiente de la
masa m del propio planeta.
El cuadro siguiente contiene los valores de la precesin del
perihelio ext deMercurio debida a la influencia gravitacional de
cada uno de los planetas delsistema solar y la contribucin total de
stos. Han sido obtenidos medianteclculo numrico con la expresin
anterior.
UNED. 29 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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3.3 Precesin general del perihelio. La influencia
planetaria.
Planeta: ext(00 por siglo):Venus 292,65
Tierra + Luna 95,83Marte 2,38Jpiter 156,84Saturno 7,57Urano
0,14Neptuno 0,04TOTAL 555,45
Cuadro 3.1: Valores de la precesin del perihelio ext de Mercurio
debida a la influencia gravi-tacional de cada uno de los planetas
del sistema solar y la contribucin total de stos.
Para el caso de la perturbacin generada por la influencia de un
planeta interiorde masa m0 en la rbita del planeta de masa m ,
basta tan slo con hacer enla figura (3.1) R < r y, siendo ahora
Rr() se obtiene:
f = Gmm0
R3
0
3cos'
(1 + 2 2 cos')3/2d'br ; 0 < 1; (3.33)
que con la condicin,
1
m0
MRI() 1; (3.34)
entonces resulta,
A
=2m0
TMa" (1 "2) 0
I() (1 + " cos ) cos d bL A; (3.35)y finalmente,
int =2m0
TMa" (1 "2) 0
I() (1 + " cos ) cos d: (3.36)
Los valores de la integral en este caso, son positivos para 0
< < 1 y 0 < " < 1,por lo que como antes, el sentido de
giro del perihelio es el mismo que el delplaneta que orbita (int
tiene igual direccin y sentido que L), mantenindosela independencia
respecto de m en la velocidad de precesin.
El cuadro siguiente muestra los valores de la precesin general
del perihelio
neta de los planetas del sistema solar debida a la influencia
gravitacional delresto de planetas, tambin se muestra la precesin
anmala del perihelio ancausada por la correccin relativista de la
fuerza gravitacional. Han sido obte-nidos con las expresiones
anteriores (3.32), (3.36) y (3.26), mediante clculonumrico.
UNED. 30 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN RBITAS PERTURBADAS.
Planeta: (00 por siglo).
an(00 por siglo):Contribucin neta de todos los planetas:
Mercurio 555,45 43Venus 1207,59 8,5
Tierra + Luna 1280,00 3,8Marte 3358,00 1,4Jpiter 752,25
0,06Saturno 1887,43 0,01Urano 277,11 0,002Neptuno 71,99 0,0008
Cuadro 3.2: Valores de la precesin del perihelio y an de los
planetas del sistema solardebida a la influencia gravitacional neta
del resto de planetas y causada por la correccin relativistade la
fuerza gravitacional respectivamente.
En el caso de Mercurio por ejemplo, un clculo ms afinado
teniendo en cuentala inclinacin de las rbitas de los planetas, y el
hecho de que stas no soncirculares si no elpticas, conduce un valor
en torno a 53200 por siglo para laprecesin general . Hay que decir
adems, que este valor y el de la precesinanmala, se suman a la
precesin general de los equinoccios respecto de lasestrellas fijas
que asciende a 5025; 600 por siglo [8] para la Tierra.
3.4 Perturbacin dependiente de la velocidad. El arrastre
at-mosfrico.
Vamos por ltimo a aplicar la dinmica del vector LRL al caso de
una perturba-cin dependiente de la velocidad de un cuerpo en rbita
Kepleriana.
Supongamos un satlite artificial en rbita baja en torno a la
Tierra. Los gasesatmosfricos ejercen sobre ste una friccin, y por
tanto, una resistencia almovimiento o fuerza de arrastre que es
proporcional a alguna potencia de lavelocidad del satlite,
dependiendo de las propiedades de tales gases, comola densidad,
temperatura, viscosidad, etc, y de la propia velocidad del
satliteen rbita, la dependencia puede ser lineal o cuadrtica, en
cualquier caso laperturbacin ejercida sobre la rbita puede
escribirse como:
f = vn1v; (3.37)
donde es una constante positiva y n un entero positivo.
Supuesto que se satisface el criterio f /r20 (es as para los
valores usua-les) para poder aplicar (3.11) a la perturbacin, en
este caso puesto que laperturbacin no es central, se tiene,
UNED. 31 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
3.4 Perturbacin dependiente de la velocidad. El arrastre
atmosfrico.
A
= hf Li+ hp (r f)i
=
vn1v L+ mv rvn1v
=
2vn1v L :
(3.38)
Sustituyendo de (2.33) v L = A/m+ br en la ltima expresin , y
teniendo encuenta que el vector A permanece constante en la rbita
no perturbada, queda,
A
=2m
vn1
A 2 vn1br : (3.39)
De la simetra que exhibe el vector velocidad v en la rbita no
perturbada, sededuce que:
vn1br = vn1 cos bx; (3.40)
que junto con el hecho de que esA = m"bx, (3.39) puede
escribirse finalmentecomo:
A
= ("; ; )A; (3.41)
donde hemos definido la constante positiva:
("; ; ) =2
m"
vn1 ("+ cos )
: (3.42)
Como segn (3.31), la evolucin temporal promedio del vector LRL
es propor-cional al mismo vector LRL, concluimos que no aparece
precesin ninguna delperihelio en este caso, sin embargo, la misma
expresin muestra que el mdulodel vector A decrece con el tiempo, o
lo que es lo mismo, el vector LRL dismi-nuye su longitud con el
tiempo, y por tanto, disminuye tambin con el tiempo laexcentricidad
" de la rbita. La rbita elptica va tendiendo poco a poco haciala
circularidad mientras el satlite va cayendo poco a poco hacia la
Tierra, vaacercndose al foco de la elipse (centro de fuerzas) como
consecuencia de ladisipacin energtica ocasionada por la friccin
atmosfrica.
Si (3.42) no dependiera de la excentricidad, entonces (3.41)
sera fcilmenteintegrable y en promedio A decrecera exponencialmente
con el tiempo, esteno es el caso, ("; ) depender de " y por tanto
de A en general , luego lasolucin de (3.41) no ser siempre una
exponencial.
Resulta interesante el caso en que n = 1, es decir, el caso en
que la fuerza dearrastre atmosfrica depende linealmente de la
velocidad del satlite en rbita.
UNED. 32 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
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3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN RBITAS PERTURBADAS.
En este caso, puesto que como puede probarse es
br = hcos i bx = "bx 6,
(3.39) se queda en,
A
=2m
A 2 br = 2m
Am"bx = 0 (3.43)
por lo que en el caso f = v, no hay variacin temporal media
ningunadel vector LRL, nuestro satlite va cayendo hacia la Tierra
por disipacin deenerga, pero no hay precesin del perihelio y la
excentricidad se mantieneconstante en todo momento .
6En efecto, por consideraciones de simetra, resulta en este caso
ms fcil tomar el promedio delos psides de la rbita 1
2
hrm{na
+(rmax)
a
i= ", que acudir directamente a la expresin(3.9).
UNED. 33 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
4 Notas finales.
En la primera seccin, hemos dado una repaso general al Problema
de Keplertratndolo tanto desde la perspectiva de la mecnica
Newtoniana como des-de la Lagrangiana. Luego hemos definido el
vector de Laplace-Runge-Lenz ovector LRL que se conserva, y que
junto al momento angular y a la energa for-ma un conjunto de siete
cantidades conservadas de las cuales slo cinco sonindependientes.
Como ya se mencion, la aparicin de esta nueva constantees
consecuencia de la existencia de simetras ocultas, de las
caractersticasparticulares del potencial gravitacional responsables
de la degeneracin de lasrbitas y del hecho de que stas sean
cerradas. Hemos finalmente tratado elproblema mediante el vector
LRL obteniendo la ecuacin de las trayectoriasorbitales del problema
en cuestin.En la segunda seccin se ha presentado un mtodo basado en
la dinmica delvector LRL, concretamente en la evolucin temporal
promedio del vector, paraanalizar los efectos que aparecen sobre
las rbitas sometidas a una pequeaperturbacin, dado que en general
la perturbacin quiebra la simetra, el vectorLRL deja de ser
constante y dependiendo de la perturbacin misma, los efectospueden
o no resultar en una precesin del perihelio o en una variacin
tempo-ral de la excentricidad. Un mtodo bastante econmico a la hora
de estudiar elcomportamiento apsidal de las rbitas del Problema de
Kepler ante pequeaspertubaciones, y que puede ser aplicado a rbitas
de cualquier excentricidad(salvo cero como es evidente) y para
perturbaciones no necesariamente cen-trales como vimos en la seccin
3.4.Las aplicaciones del mtodo no se quedan slo en las discutidas
en estas pgi-nas de ningn modo. Por poner ejemplos, el achatamiento
de los polos terres-tres introduce una perturbacin en la rbita de
un satlite artificial modeladacomo,
f = (13 cos2 )3R2
5r4br,
con R el radio terrestre, = (Dd)/D una constante en la que D y d
son losdimetros ecuatorial y polar terrestres respectivamente, y el
ngulo que formael plano orbital del satlite con el eje de rotacin
de la Tierra; esta perturbacintiene la misma forma (salvo factor
constante) que la perturbacin tratada enla seccin 3.2, all vimos
que el efecto producido es el de la precesin delperihelio, por lo
que en este caso tambin lo es.La presin de radiacin solar ejerce
sobre los planteas en sus rbitas una pe-quea fuerza central cuya
magnitud es proporcional 1/r2 , aplicando el mtodo( en este caso
puede ser resuelta analticamente la Frmula de Binet (2.6)) sellega
a que una perturbacin de este tipo no produce efecto alguno sobre
laforma de las rbitas.
UNED. 34 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
4 NOTAS FINALES.
En [2], los autores presentan una explicacin alternativa al
problema de la curvade rotacin de las galaxias7 sin necesidad de
introducir el concepto de materiaoscura, y sto, mediante la
aplicacin de la dinmica del vector LRL a unacorreccin cuntica del
potencial gravitacional..El vector tambin aparece relacionado al
campo elctrico como cabe esperar(el potencial elctrico tiene
esencialmente la misma forma que el gravitacional),y es utilizado
en el estudio de partculas cargadas en presencia de
camposmagnticos.No slo en el marco de la mecnica clsica tiene
utilidad el mtodo, en mec-nica cuntica, mediante una definicin
adecuada del vector LRL en trminosde operadores, se obtiene de un
modo elegante mediante ste, el espectro deenergas del tomo de
hidrgeno, y puede usarse la dinmica del vector paraanalizar los
efectos de perturbaciones aadidas al potencial elctrico en
dichotomo. Del mismo modo que en el Problema de Kepler, la aparicin
del vec-tor LRL en mecnica cuntica es debida a la existencia de
simetras ocultaspropias de las caractersticas del potencial
elctrico, responsables de la inde-pendencia de los niveles de
energa del tomo de hidrgeno con el momentoangular (la energa de
stos slo depende del nmero cuntico principal n y node los nmeros
cunticos de momento angular l y m ), esto es , de la existen-cia de
degeneracin en los orbitales de un modo similar a lo que ocurre en
lasrbitas del Problema de Kepler.Podramos escribir lneas y lneas
acerca del tema, el estudio minucioso delvector de
Laplace-Runge-Lenz , las simetras implicadas y sus entresijos
lle-gan hasta las entraas mismas de la mecnica terica con un
extenso y fasci-nante bagaje matemtico; ante esto, el autor siente
cierta sensacin de trabajoinacabado, sensacin que por fortuna, la
intencin introductoria de estas notas,mitiga.Antes del punto y
final, slo dar las gracias al lector por mostrar inters en eltema y
por dejar parte de su valioso tiempo en la lectura y comprensin
destas hoy por hoy preliminares y humildes anotaciones.
7Las galaxias rotan en torno a su centro galctico con velocidad
creciente conforme la materiase aleja del mismo, debido como es
lgico a quemayor masa ejerce gravedad sobre los
puntosmasdistanciados. Lo que se ha observado sin embargo, es que
esta velocidad se hace prcticamenteconstante a partir de cierta
distancia; la presencia de materia oscura en el halo galctico
podraexplicar esta paradoja pues una contraposicin de fuerzas
gravitacionales podra compensarse yanular las aceleraciones de los
puntos distantes de la galaxia.
UNED. 35 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
A Efecto de una perturbacin f 1/r3:Resolucin analtica.
Supongamos un cuerpo de masa m sometido a la interaccin
gravitatoria deotro de masaM conM m , de modo que sea la masa
reducida del sistemade los dos cuerpos ' m: Supongamos que una
fuerza pertubatriz f afectaa la masa m tal que,
f = r3br; (A.1)
con una constante positiva.
En estas condiciones, la fuerza resultante sobre m es:
f = r2br
r3br; (A.2)
con GMm.Llevando la resultante anterior a la Frmula de Binet
(2.6), resulta que :
1
r2
d2
d2
1
r
+
1
r
= m
L2
r2 r3
=d2
d2
1
r
+
1
r
=
m
L2+
m
L2
r) d
2
d2
1
r
+h1 m
L2i1
r
=
m
L2:
(A.3)
La ecuacin diferencial anterior en este caso es lineal en la
variable1r
y de
coeficientes constantes. Es por tanto integrable y sus
soluciones son distintassegn sean los casos mL2 < 1 ,
mL2 > 1
mL2 = 1. Vesmoslo.
- En el caso mL2 = 1 , trivialmente es,
d2
d2
1
r
=
m
L2) 1
r=
1
22 + C1 + C2: (A.4)
Solucin que corresponde a una trayectoria en espiral descendente
con C1 yC2 constantes de integracin que se obtienen de las
condiciones iniciales delproblema.
- En el caso mL2 > 1, tenemos,
d2
d2
1
r
1 m
L2 1
r
=
m
L2) 1
r= C1e
qj1 m
L2j + C2e
qj1 m
L2j:(A.5)
UNED. 36 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
A EFECTO DE UNA PERTURBACIN F 1/R3:RESOLUCIN ANALTICA.
Solucin que tambin en este caso corresponde a una trayectoria en
espiraldescendente.-Y por ltimo, en el caso mL2 < 1 ,
resulta,
d2
d2
1
r
+h1 m
L2i1
r
=
m
L2) 1
r=
mL2
1 mL2+C cos
r1 m
L2 0
:
(A.6)
Esta solucin resulta ms interesante que las anteriores para lo
que nos ocupa, corresponde a una trayectoria cnica que describe el
cuerpo de masa m conla masa M en la posicin de uno de los focos (al
igual que en el Problema deKepler sin perturbar), pero en este caso
particular, el argumento del coseno nosindica que el pericentro de
la cnica precesa, concretamente avanza espacial-mente. El ngulo
entre dos pasos consecutivos por el pericentro, haciendo0 = 0 lo
que no restringe la generalidad, es:
r1 m
L2 = 2 ) = 2p
1 mL2; (A.7)
y el avance espacial del pericentro por revolucin ,
= 2
1p
1 mL2 1
!: (A.8)
Aplicando ahora el mtodo de la dinmica del vector LRL a la
perturbacin f,supuesto que como siempre para ello ha de
cumplirse:
f r20) L
4
r3m23 1; (A.9)
donde como ya se sabe, r0 = L2 ' L2
m , es el el radio de rbita circular enel mnimo de energa
potencial efectiva del Problema de Kepler sin perturbar,y r = r ()
la ecuacin de las trayectorias del Problema de Kepler tambin
sinperturbar. As pues,
A
= hf Li = L brr3
=
cos r3
L bx
=m
TL
20
(1 + " cos ) cos dL bx = m"
TLL bx
=
TbL A = m
TL2bL A;
(A.10)
es decir, se obtiene para el avance espacial del pericentro por
revolucin:
UNED. 37 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
=m
L2: (A.11)
Esta expresin difiere claramente de la (A.8); sin embargo, dado
que se satisfa-ce (A.9) para todo r de la trayectoria orbital, ms
an lo hace para el apocentrormax de la misma, que segn (2.23) con
L2 ' L
2
m , es:
rmax =L2
m
1 " ; (A.12)
de manera que resulta,
L4
r3maxm23
=m
L2 (1 ") < L
4
r3m23 1: (A.13)
Si suponemos adems que (A.9) es lo suficientemente menor que uno
comopara asegurar que:
m
L2 1; (A.14)
entonces desarrollando (A.8) en serie de potencias de mL2 ,
= 2
1 +
1
2
mL2
3
8
mL2
2
+ : : :
1
; (A.15)
serie que converge siempre que mL2 < 1 y como adems se cumple
(A.14),resulta que despreciando los trminos de orden dos y mayores
en la sumaanterior, es,
' mL2
; (A.16)
que es exactamente el resultado (A.11) para el avance espacial
del pericentropor revolucin al que se llega mediante la dinmica del
vector LRL.
UNED. 38 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
A EFECTO DE UNA PERTURBACIN F 1/R3:RESOLUCIN ANALTICA.
UNED. 39 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
Referencias
Referencias
[1] Farina. O vetor de laplace-runge-lenz no problema de kepler.
Caderno daFsica da UEFS, 04:115159, 2006.
[2] Farina, Kort-Kamp,Mauro, Shapiro. Dynamics of the
Laplace-Runge-Lenzvector in the quantum-corrected Newton gravity.
Universidad Federal deJuiz de Fora, CEP: 36036-330, MG, Brazil,
2011.
[3] Gin. On the origin of the anomalous precession of mercurys
perihelion.Chaos, Solitons & Fractals, 38:10041010, November
2008.
[4] Goldstein. Mecnica Clsica. Editorial Revert, S.A.,
Barcelona,1987.
[5] Hand, Finch. Analitical Mechanics. Cambridge University
Press, NewYork, 1998.
[6] Leach, Flessas. Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz
Vector. Jour-nal of Nonlinear Mathematical Physics, 10(3):340423,
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[7] Lemos. Mecnica analtica. Editoria Libraria da Fsica, So
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[8] Marion. Dinmica Clsica de las Partculas y Sistemas.
Editorial Revert,S.A., Barcelona,1995.
[9] Martnez,Miralles,Marco,Galad-Enrquiez. Astronoma
Fundamental.PUV, Valencia,2005.
[10] McDonald,Farina,Tort. Right and Wrong Use of the Lenz
Vector for Non-Newtonian Potentials. Am. J. Phys, 58:540, 1990.
[11] Raada. Dinmica Clsica. Fondo de Cultura Econmica, ed.,
MxicoDF., 2005.
[12] Vucetich. Introduccin a la mecnica analtica. Universidad de
BuenosAiers, Buenos Aires, 2009.
UNED. 40 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
UNED. 41 Trabajo de Fn de Grado en Fsica.
-
1 Introduccin.2 El Problema De Kepler.2.1 Breve Resea
Histrica.2.2 Tratamiento Newtoniano.2.3 Tratamiento Lagrangiano.2.4
El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).
3 Aplicaciones del vector LRL en rbitas perturbadas.3.1 La
perturbacin orbital. Dinmica del vector LRL3.2 Precesin anmala del
perihelio de Mercurio. La correccin relativista.3.3 Precesin
general del perihelio. La influencia planetaria.3.4 Perturbacin
dependiente de la velocidad. El arrastre atmosfrico.
4 Notas finales.A Efecto de una perturbacin f-1r3. Resolucin
analtica.Referencias