El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su ... · EstructurasFluidosInteracciónAplicaciones El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación Escuela de Modelación

Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

El Método de Elementos Finitos Estabilizadosy su Aplicación

Escuela de Modelación y Métodos Numéricos 2009

Miguel Angel Morelesa, Salvador Botelloa y Jesús GerardoValdésb

a Centro de Investigación en Matemáticasb Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Guanajuato

Guanajuato, Gto., 19 de Junio de 2009

J. Gerardo Valdés V. El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación 1

Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Contenido

1 Parte de Sólidos y Estructuras

2 Parte de Fluidos Incompresibles

3 Parte de Interacción Fluido-Estructura

4 Aplicaciones

J. Gerardo Valdés V. El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación 2

Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Contenido

1 Parte de Sólidos y Estructuras

2 Parte de Fluidos Incompresibles

3 Parte de Interacción Fluido-Estructura

4 Aplicaciones

J. Gerardo Valdés V. El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación 2

Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Contenido

1 Parte de Sólidos y Estructuras

2 Parte de Fluidos Incompresibles

3 Parte de Interacción Fluido-Estructura

4 Aplicaciones

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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Contenido

1 Parte de Sólidos y Estructuras

2 Parte de Fluidos Incompresibles

3 Parte de Interacción Fluido-Estructura

4 Aplicaciones

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Contenido

1 Parte de Sólidos y Estructuras

2 Parte de Fluidos Incompresibles

3 Parte de Interacción Fluido-Estructura

4 Aplicaciones

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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Lagrangiana

No Linealidad Geométrica y/o Material

Ecuación Constitutiva para Sólidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Lagrangiana

No Linealidad Geométrica y/o Material

Ecuación Constitutiva para Sólidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Lagrangiana

No Linealidad Geométrica y/o Material

Ecuación Constitutiva para Sólidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Lagrangiana

No Linealidad Geométrica y/o Material

Ecuación Constitutiva para Sólidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Lagrangiana

No Linealidad Geométrica y/o Material

Ecuación Constitutiva para Sólidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momento Lineal

ρ∂vi

∂t=∂σij

∂xj+ ρbi

Podemos encontrar en Forma Débil el Trabajo Virtual Interno

δW int =

∫Ω0

δEαβSαβdΩ0

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momento Lineal

ρ∂vi

∂t=∂σij

∂xj+ ρbi

Podemos encontrar en Forma Débil el Trabajo Virtual Interno

δW int =

∫Ω0

δEαβSαβdΩ0

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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Ecuaciones discretizadas

Fuerzas Internas

f intI =

∫Ω0

[BTI ]SdΩ0

Aproximación con Elementos Finitos

f int(un+1) + Man+1 = f ext(un+1)

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Ecuaciones discretizadas

Fuerzas Internas

f intI =

∫Ω0

[BTI ]SdΩ0

Aproximación con Elementos Finitos

f int(un+1) + Man+1 = f ext(un+1)

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Contenido

1 Parte de Sólidos y Estructuras

2 Parte de Fluidos Incompresibles

3 Parte de Interacción Fluido-Estructura

4 Aplicaciones

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Euleriana

Condición de Incompresibilidad

Ecuación Constitutiva para Fluidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Euleriana

Condición de Incompresibilidad

Ecuación Constitutiva para Fluidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Euleriana

Condición de Incompresibilidad

Ecuación Constitutiva para Fluidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Euleriana

Condición de Incompresibilidad

Ecuación Constitutiva para Fluidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Momentum Lineal

ρDvi

Dt=∂σij

∂xj+ ρbi

ConFormulación Euleriana

Condición de Incompresibilidad

Ecuación Constitutiva para Fluidos

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Navier-Stokes para Fluidos Incompresibles

ρ

(∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj

)= − ∂p

∂xi+ ρbi + µ∇2vi

Ecuación de Continuidad

DρDt

+ ρ (∇ · vi) = 0

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Ecuaciones de Gobierno del Problema

Ecuación de Navier-Stokes para Fluidos Incompresibles

ρ

(∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj

)= − ∂p

∂xi+ ρbi + µ∇2vi

Ecuación de Continuidad

DρDt

+ ρ (∇ · vi) = 0

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Discretización de las Ecuaciones

Forma Débil∫Ω

δvi

(ρ∂vi

∂t+ ρvj

∂vi

∂xj

)dΩ−

∫Ω

p∂δvi

∂xidΩ +

∫Ω

µ∂vi

∂xj

∂δvi

∂xjdΩ =

∫Ω

δviρbidΩ∫Ω

δp∂vj

∂xjdΩ = 0

Aproximación por Elementos Finitos

M1

∆t(vn+1 − vn) + K(vn+1)vn+1 −Gpn+1 = f ext

n+1

GTvn+1 = 0

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Discretización de las Ecuaciones

Forma Débil∫Ω

δvi

(ρ∂vi

∂t+ ρvj

∂vi

∂xj

)dΩ−

∫Ω

p∂δvi

∂xidΩ +

∫Ω

µ∂vi

∂xj

∂δvi

∂xjdΩ =

∫Ω

δviρbidΩ∫Ω

δp∂vj

∂xjdΩ = 0

Aproximación por Elementos Finitos

M1

∆t(vn+1 − vn) + K(vn+1)vn+1 −Gpn+1 = f ext

n+1

GTvn+1 = 0

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Método de los Pasos Fraccionados

Integración en el tiempo: Generalized-α

Mαf

m

∆t γf (vn+1 − vn) + K(vn+αff)vn+αf

f−Gpn = f ext

n+1 −M(

1− αfm

γf

)vn

−∆t γf

αfm

L(pn+1 − pn) = GTvn+1

Mαf

m

∆t γf (vn+1 − vn+1)−G(pn+1 − pn) = 0

Técnica de Estabilización y Modelo de TurbulenciaOSS, FIC

Smagorinsky

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Método de los Pasos Fraccionados

Integración en el tiempo: Generalized-α

Mαf

m

∆t γf (vn+1 − vn) + K(vn+αff)vn+αf

f−Gpn = f ext

n+1 −M(

1− αfm

γf

)vn

−∆t γf

αfm

L(pn+1 − pn) = GTvn+1

Mαf

m

∆t γf (vn+1 − vn+1)−G(pn+1 − pn) = 0

Técnica de Estabilización y Modelo de TurbulenciaOSS, FIC

Smagorinsky

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Contenido

1 Parte de Sólidos y Estructuras

2 Parte de Fluidos Incompresibles

3 Parte de Interacción Fluido-Estructura

4 Aplicaciones

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Métodos de Acoplamiento: Fuerte

1 Block Jacobi Método

xi = Fp(xi−1, yi−1)

yi = Sq(yi−1, xi−1)

2 Block Gauss-Seidel Método

con Relajación de Aitken

xi = Fp(xi−1, yi )

yi = Sq(yi−1, xi )

3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I

]xi−1,yi−1

[xi − xi−1

yi − yi−1

]=

[x− Fy− S

]xi−1,yi−1

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Métodos de Acoplamiento: Fuerte

1 Block Jacobi Método

xi = Fp(xi−1, yi−1)

yi = Sq(yi−1, xi−1)

2 Block Gauss-Seidel Método

con Relajación de Aitken

xi = Fp(xi−1, yi )

yi = Sq(yi−1, xi )

3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I

]xi−1,yi−1

[xi − xi−1

yi − yi−1

]=

[x− Fy− S

]xi−1,yi−1

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Métodos de Acoplamiento: Fuerte

1 Block Jacobi Método

xi = Fp(xi−1, yi−1)

yi = Sq(yi−1, xi−1)

2 Block Gauss-Seidel Método

con Relajación de Aitken

xi = Fp(xi−1, yi )

yi = Sq(yi−1, xi )

3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I

]xi−1,yi−1

[xi − xi−1

yi − yi−1

]=

[x− Fy− S

]xi−1,yi−1

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Métodos de Acoplamiento: Fuerte

1 Block Jacobi Método

xi = Fp(xi−1, yi−1)

yi = Sq(yi−1, xi−1)

2 Block Gauss-Seidel Método

con Relajación de Aitken

xi = Fp(xi−1, yi )

yi = Sq(yi−1, xi )

3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I

]xi−1,yi−1

[xi − xi−1

yi − yi−1

]=

[x− Fy− S

]xi−1,yi−1

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Métodos de Acoplamiento: Fuerte

1 Block Jacobi Método

xi = Fp(xi−1, yi−1)

yi = Sq(yi−1, xi−1)

2 Block Gauss-Seidel Método con Relajación de Aitken

xi = Fp(xi−1, yi )

yi = Sq(yi−1, xi )

3 Block Newton Método: Exacto e Inexacto[∂xF− I ∂yF∂xS ∂yS− I

]xi−1,yi−1

[xi − xi−1

yi − yi−1

]=

[x− Fy− S

]xi−1,yi−1

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Contenido

1 Parte de Sólidos y Estructuras

2 Parte de Fluidos Incompresibles

3 Parte de Interacción Fluido-Estructura

4 Aplicaciones

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Estructura en estudio

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Estructura en estudio

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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Estructura en estudio

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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Estructura en estudio

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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Estructura en estudio

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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Estructura en estudio

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Estructuras Fluidos Interacción Aplicaciones

Estructura en estudio

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Estructura en estudio

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Velocidades sobre Chimenea

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Presiones sobre Chimenea

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Deformada y Presiones sobre Chimenea

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Conclusiones

1 Se necesita desarrollar más investigación sobre laestabilización del fluido

2 Se necesita tener códigos propios que estén programadosen paralelo

3 Crear conciencia y desarrollar nuevas aplicaciones paracualquier área.

J. Gerardo Valdés V. El Método de Elementos Finitos Estabilizados y su Aplicación 26

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Conclusiones

1 Se necesita desarrollar más investigación sobre laestabilización del fluido

2 Se necesita tener códigos propios que estén programadosen paralelo

3 Crear conciencia y desarrollar nuevas aplicaciones paracualquier área.

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Conclusiones

1 Se necesita desarrollar más investigación sobre laestabilización del fluido

2 Se necesita tener códigos propios que estén programadosen paralelo

3 Crear conciencia y desarrollar nuevas aplicaciones paracualquier área.

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Gracias

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