El Cuerpo de Los Complejos

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UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAs

EL CUERPQ DE LSCOMPLEJQS

GUN 15 ElEIII[IOS RESIIEITIIS

Ing. MARIO RAUL AZOCAR

1969

,fl UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE CIEN S FISICAS Y MATEMATICAS

*$9 W/

./If* Q QWuv

yy/IW %\/II~I;"IIL c:uERPo DE Los

c:cMPLEJos CON 75 EIERCICIOS RESUELTS

Ing. MARIO RAUL AZOCAR

1969

PROLOGO

El Algebra Abstracta, con la introduccin

de las Estructuras Algebrnicas, ha exigido una

actualizacin del tratamiento tradicional, de

muchos tpicos de Algebra Clsica.

Las presentes notas, redactadas en este

nuevo espritu, han sido especialmente prepara-

das para los alumnos de la Escuela de Ingeniera

de la Universidad Catlica de Chile.

Este trabajo no tiene pretensin ninguna

y l habr cumplido su finalidad fundamental, si

resulta de alguna utilidad a esa juventud capaz,

estudiosa y entusiasta, con la cual he tenido el

privilegio de convivir en las aulas, durante

muchos aos.

Mario Ral Azcar

Santiago, Mayo de 1969.

EL CUERPQ DE Los coMPLEJos

La nocin de cuerpo.

La idea de campo o cuerpo es un concep-

to fundamental del algebra, que trataremos de presentar me-

diante la introduccin de algunas definiciones.

DEF. l

Se llama operacin binaria en un conjunto no vaco:

S: {U, B] Yp 6] noao0}

a todo criterio (*) que asigne a cada par ordenado (d,B) de

elementos de S un nico elemento u a B de S.

Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto Z* de los n-

meros enteros positivos y para cada par ordenado (a,B) de

elementos de Z+, asignemos un elemento tambin de ZI, median-, ~

I

te el criterio siguiente:

DEF. 2

20

Llamaremos grupoide toda pareja (S, *) formada por

un conjunto no vaco S y una operacin binaria (*) defini-

da en

6 3....--...ss

vaco

ros y

S.

Una operacin binaria (*) definida en un conjunto no

S se dice conmutativa si

a * B = B * d V d G S ^ B G S

Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto Z de los ente-

consideremos en l, las dos operaciones siguientes:

d * G = d~B + 1 5 * 4 = 20 + 1 = 21

d r B = a - B 5 4 = 5 - 4 = 1

Entqnesfoomo el producto ordinario es conmutativoJU* _,,. -- - ,_

lo mismo zrre con la operacin (*) y como la resta no es

conmutativa la segunda operacin tampoco lo es. Asi tene~

m0S

DEF. 4

3.

vaco S, se dice asociativa si

(d * B) * Y = d * (B * ql V o Q S, B S, Y G S

Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto IR de los n-

meros reales y definamos en l las operaciones:

d * B = d + B + 5 3 * 4 = 3 + 4 + 5 = 12

d B = 2d - B 3 0 4 = 6 - 4 = 2

Haremos ver que (*) es asociativa, en efecto:

(a' B) w y = (a + B + 5) * Y = a + 3 + 5 + yp+ 5 = a+s+y+101 I

a * (B * Y) = af* (B + y + 5) = a + B + y^+ 5 + 5 = a+B+y+10

Contrariamente veamos que (0) no es asociativa

(G B) Y = (2a - B) Y = 4a - 26 - Y'

d = d 0 (26 - y) = 2d - 26 + 4y _;-s

W_O

`

WI' 1

DEFO 5 _` 4I,.

Un grupoide (S, *) tiene elemento identidad para la

operacin (*) si existe un elemento e S tal que:

d * e =4e * d = d V d S I

De acuerdo a esta definicin es inmediato que el gru~

poide ( R, +) admite al cero como elemento identidad, pues:

./I,

E' I v

4.

d + 0 = 0 + d = d V d IR

Contrariamente el grupoide (Z+, +) no tiene elemento

identidad o elemento neutro, pues el conjunto"Z+, de los

enteros positivos, no contiene al cero,

Tambin resulta inmediato que el grupoide Ilkf* )_tie

ne al unn.(1)cmo elemento neutro pues;

1 d = a - 1 = d V ^d JR

DEF. 6

Sea (S, *) un grupoide con elemento identidad e_dUn

elemento d de S se dice que tiene inverso bajo'la operacin

(*) si existe en S algn elemento d', tal que?

d * d' = d? * d = e

El grupoide (IR, +) tiene como elemento neutro al cero

y cada elemento de ZR, es decir cada nmero real tiene in"

verso bajo la operacin suma (+), pues sabemos que:

d + ( d) = (- d) + d = 0 V d 1

Similarmente el grupoide (EL n) tiene como elemento

identidad al uno (1) y cada elemento d # 0 tiene inverso

bajo la multiplicacin, ya que:

d ~ = - d = 1 V 0 # d IR

5.

' ' I 0 u *Veamos otro ejemplo. Tomemos arbitrariamente en el

conjunto ZR.- {0, l} un elemento d y consideremos el conjun~

to

s={akkez}

entonces el grupoide (S, -) es conmutativo, pues:

dm ' un = dn ~ dm A V d S, m ^ n 8 Z

este grupoide (S, ') tiene como elemento neutro, a, ya queO

' un ' d = a un = un V d 8 S^ n Z

finalmente todo elemento de S tiene inverso, en efecto:- _ Q

en ' d n = d n ~ un = d V d G S ^ n G Z

DEF. 7 _Sea (S, *, Q) un sistema algebraico formado por un

conjunto no.vacio S y dos operaciones binarias (*) y (0). LH

operacin (}'

6.

G - (B + Y) = G - B + G - Y

V G IR, B IR, Y IR

(B+Y) -oei=B-u+Y~

(A4) V a S 3 d' S tal que a + a'' _ . . -,_ f ='f_ -, ,_ -", ' -W- . _- -=. - W .___..- , ,

, ''('_-_.|.,. \- ~.Mv-

(Ml) d ' B = B ' d V d S,

(M2) (a - B) ' Y = a ' (B ' Y) V a 6 S,

(MG) H u G S, u # e, tal que: u - u = q. V d G S

(M4) V d $V$2%g ft*Y 3 dni S tal que la . u-1 e

(Dl) d ' (B + Y) = d ' B + d - Y V d S, B G S, Y

De acuerdo a esta definicin, tenemos que en todo cu -

tativos, asociativos, con elemento neutro para,cada operacin

(E) para la suma y (U) para la multiplicacin. Adems cada

elemento de ellos, tiene inverso en cada una de las opera-

ciones. Finalmente la multiplicacin es distributiva sobre

la suma. ~4f=jlg

Como ejemplos de campos podemos mencionar los siste-

mas (Q, +,~)I"y" (IR, +, -) donde Q es el conjunto de los

racionales y R el conjunto de los reales; ~

Terminaremos estas ideas mostrando que el sistema

(S, +, ), donde:.

I`S=={a+b\/-IaID/xb-G

en

B

B

1 .

QI

e s, Y e s

po (S, +, -) los grupoides (S, +) y (S - {e}, ~) son conmu-

8.

es un campo.'

Comencemos verificando que la suma de dos elementos

de S es un elemento de S, en efecto si: .

a = a + b VE- y B = ,+ d J;

tenemos: ,

d + B = (a + c) + (b + d) Vt GTSK ,

Adems los axiomas (A1) y (A2) son inmediatos y obvia-

mente el elemento neutro de la operacin suma, es s = 0 + 0 VE.

Finalmente el inverso de a = a + b\f es (-c) = -a - b VE:Y ,

Y Comprobemosahora los axiomas de multiplicacin, ha-

ciendo ver previamente que el producto de dos elementos de S

es un elemento de S. Para: _'

Y L\,a = a + kVG; y B = c+ d\[,~Y Y .

tenemos ,WT' -4- Y

oc ~ B = (a'+.bIV-)(c +d\/E) = (ac + 5 bd) + (ad + bc)\/-5_ S

Los ximas (M1) y (M2) son inmediatos y el elementoneutro para la multiplicacin es u = l 0\I5. Ahora dado

d = a + b\f ie, busquemos un elemento d-1 = x + y\I5

tal que: d ' d_1 =Iu =~1. Afirmamos que dicho elemento es:

9.

OL-1: 1 =a2-b\/-zza 2__2b 2V'`eSa+b\/a-sb a~sb a-sb

en efecto, tenemos que a 1 existe, ya que por hiptesis sien-

do a y b racionales no debe ocurrir que: az - 5b2 = 0, pues

si asi sucediera llegariamos a la afirmacin contradictoria:

%=\[- con aD^-b`ID

que establece igualdad entre un racional y un irracional.

Adems: A

OL 'OL-1 (a+b\/-) =1=1+0V;=

Finalmente no es dificil verificar el axioma (D1),

con lo cual queda probado que (S, +, -) es un cuerpo.

Y

El Cuerpo de los Complejos.

En este prrafo nos proponemos introducir el campo de

los nmeros complejos, cuerpo que es de fundamental importan-

cia en el estudio de la matemtica. I

DEF. 9

Llamaremos nmero complejo toda pareja ordenada (x, y)

de nmeros reales.

Dcada un

DEF. 10

parte r

imagina

G5 COI'I`

DEF. ll

diremos

Z =1

es refl

cin pr

10.

e acuerdo a esta definicin, son nmeros complejos,

o de los elementos del conjunto

_

11.

plejo opuesto de z, al nmero complejo: -z = (-x, - y).

DEF. 13

Llamaremos complejo nulo, al complejo (0, 0) = 6

Trataremos ahora de dar al conjunto de los nmeros

complejos la estructura de cuerpo.: Para ello es necesario

introducir dos operaciones binarias, suma (+) y producto

(-) de tal modo que ellas verifiquen las condiciones (A),

(M) y (D) expresadas en la definicin de cuerpo.

DEF. 14

Dados dos nmeros complejos zl = (xl, yl) y zz =

(x2, yz), llamaremos suma de ellos al nmero complejo:

zl + zz = (xl + x2 , yl + y2)

Teorema 1

(a). zl + zz = zz + zl

(b). (zl + zz) + z3 = zl + (zz + zz)

(c). z + 9 = z

(d). z + %(- z) = 6

12.

EQ.

Ia) zi * 22 = (X1 * X2' Yi * Y2) = (X2 + X1' Y2 * Y1=z2* zi

Ib)(Z + 22) + 23 = (xl + X2, yl + yz) + (X3 , Y3)

= (X1 * X2 + xa' Y1 + Y2 + Ya)

F---*W r*-*-1 _ += (xl + x2 + x3, yl + yz + y3) - z1+(z2 z3)

(c) z + 6 = (x, y) + (0, 0) = (x + O, y + 0) = (x, y) = z

(d) z + (-z) = (x, y) + (-x. -y) = (X - X, y - Y) = (0, 0) =

Corolario

i El grupoide (, +) es conmutativo (Al), asociativo

(A2), tiene elemento neutro (A3) y cada elemento z tiene

un inverso (-z) 6 (A4).

DEF. 15

Dado un complejo z = (x, y) # 9, llamaremos recproco

de l, al complejo:

z`1 = (____ , __ZX_)x + y x + y

13.

Continuando con la idea de dar al conjunto de los

nmeros complejos la estructura de cuerpo, introduzcamos

ahora la operacin producto (-)

DEF. 16

Dados dos complejos zl - (xl, yx) y zz = (x2,y2),

llamaremos producto de ellos, al complejo:

zi ` 22 = (X1 X2 ` Y1 Y2 ' X1 Y2 *'x2 Yi)Teorema 2

fa). zl ' zz = zz ' zl

(b). (zl . zz) . z3 = zl - (zz z3)

(c). z u = z siendo u = (1, 0)

(d). z -,z_1 = u V z # Q

QE.

(a). zl ' zz = (xl, yz) ' (X2, yz)

= (X1 X2 ` Y1 Y2 ' X1 Y2 + X2 Yi)

= (X2 X1 ' Y2 Y1 ' X2 Y1 + X1 Y2) = zz ' 21

14.

(b)' (zi ' zz) ` 23 = (X1 X2' Yi Y2 , Xi Y2 + X2 Yi)'(X3'Y3)

F"i__\= I Xi X2 " Yi Y2 X3 ` X1 Y2+ X2 Yi Y3'

r--_---- r------, X X " X 'I'1 2 Yi Y2 Y3 I 1 Y2 X2 Y1 X3)_ r------1 r------ (Xi X2 X3 ` Y2 Y3 ` Yi Y2 X3 + X2 Y3'

' X1 X2 Y3 + Y2 X3 * Yi X2 X3 Y2 Y3

= IX1' Yi) ' (X2 X3 ` Y2 Y3 ' X2Y3+ X3Y2I

= 21 ' (22 ' 23)

(c). z -u = (x, y) (1, 0) = (x - 0 , 0 + y) = (x, y) = Z

(d. iz.:-z`1 = (x, y - (----2- , -2-T-Y-x + y x + y

2 2= )=(10)=u

2 2 ' 2 2X + y x + y

Corolario

El grupoide ( - {9} , - ) es conmutativo (M1), aso-

ciativo (M2), tiene elemento neutro (M3)f Y cada elemento

z # 6 tiene un inverso z-1 6 (M4).

15.

Teorema 3

zl ~ (zz + 23) = 21 - zz + zl - z3

Dm.

zl- (zz + z3) = (xl, yl) (X2 + x3, y2 + y)

= (Xi X2 " Yi Y2 ' Xi Y2 * X2 Yi) I

(Xi X3 ` Yi Y3 ' Xi Y3 I X3 Yi)

= (XII yl)'(X2|' + (XII Yl)(X3r

= z ' z + z z1 2 l 3

Este teorema nos muestra que el producto de comple-

jos es distributivo sobre la suma.

IBEIL. 4

El conjunto de los nmeros complejos junto con las

operaciones suma (+) y producto (u) es un cuerpo.

Rifl-

La tesis propuesta es consecuencia inmediata de los

tres teoremas anteriores.

" (X1X2+ XiX3` YiY2" YiY3,XiY2) XiY3I *2Yi 3Yi)

16.

DEF. 17-__-

Un subconjunto no vaco S de un cuerpo (K, +, -) se

dice subcuerpo de K si y slo si (S, +, -) es cuerpo.

Teorema 5 mi \

El conjunto de los nmeros complejos de.la forma(x, 0) es un subcuerpo de .

Dm .

Mostraremos primero que la suma y el producto de dos

elementos del conjunto

0 a {z G I z = (x, 0) ^ x IR)

es tambin elemento de O. En efecto, tenemos4,, I

(X1, 0) + (X2, 0) = (xl + x2, 0 + O) = (xl + x2,'0)

(xl, 0) ' (X2, 0) = (x1x2+ 0, x10 + x20) = (xlxz, 0)

Ahora como todo nmero z de 0 es nmero de , nece-

sariamente los elementos de 0 verifican todas las propie-

dades (A), (M) y (D) contenidas en la definicin de cuerpo,. \

de aqu entonces que 0 es un subcuerpo del cuerpo de los

nmeros complejos.

17.

observacin

Entre el cuerpo (0, + , -) de los complejos de la

forma (x, 0) y el cuerpo (IR, +, -) de los nmeros reales,

se puede establecer una correspondencia biunvoca que haga

Qcrreponder a cada elemento de 0 un elemento de IB y re-cprocamente a cada elemento de :R un elemento de 0, enefecto, para ello basta asociar al complejo (x, 0) el nme-

ro real x y al nmero real x, el complejo (x, 0).

Enxestas condiciones los cuerpos (0, +, -) y (IR,

+, -)_tienen idntico comportamiento frente a la suma y al

producto (cuerpos isomorfos). Slo hay diferencia de nota-. .__ ~ _

cin, pues operando en el cuerpo 0, se tiene:

(x1,o + (X2, o = (xl + X2, o

j

18.

DEF. 18

Los nmeros complejos de la forma (x, 0), o sea de

componente imaginaria nula, sern iguales al real x, o sea

por

DEF

(x, 0) = x V x IR

De acuerdo a esta definicin tenemos que:1

9 = (0,0) = 0 y u = (1, 0) = 1

esta razn en lo sucesivo en lugar de escribir:

z + 6 = z pondremos z + 0 = z

Az - u = z pondremos z ~ 1 = z

. 19

Los nmeros complejos de la forma (0, y) se dirn

imaginarios y llamaremos unidad imaginaria al complejo:

TGO

1: (oa 1:)

rema 6

PE-

P(

19@

Adems como:

p(x. y) = (p, 0)'(x, y) = (X. y)(p, 0) = (X. y)p

queda aprobada la tesis propuesta.

Teorema 7

Em.-(x, y) = (x + 0 , 0 + y)

(xr

DEF. 20

(x, y) = x + iy

=(x,0)+(0

y)=x+(0,1)y=X+iy

,y)

Sea z = (x, y) un complejo no nulo y n un entero po-

sitivo, entonces:

TOI'ema.-

gm.

12

13

.4i

20 = 1 zl = Z zn+1 =

ai2=-i i3=-1 i4=

1-=

Corolar

20.

io.._.----u

i4n

Obser

Si n es nmero entero positivo, se tiene:

.4 +1 . I4 +2 .4 +3 .= 1 ; i n = i ; i n e -1 ; i n = -i

vacin

Sabemos que IR es un campo ordenado, es decir, en

R es posiblfdeiuir una relacin de orden, que se expresa

por el simbolo (

21.

Consideremos los nmeros i y 0. Obviamente se tiene ..Y-i H 0. Supongamos i < 0, entonces por axioma (03) tenemos:

' 1 + (- i) < 0 + (- 1) o sea 0 < - iku

De aqui por axioma (m4) resulta:

I - o < -i(-i e sea o < 12 - -1y aprovechando nuevamente el axioma (04) tenemos:

- 0(-1) < (-1)(-i) o seu 0 < i

-Asi hemos establecido, Y que 1 < 0 .implica 1 > 0 'y esta conolusin contradice el axioma (ml). -

En forma similar se puede probar que 0 < i implica0 1, de aqui entonces gue el campo es un campo no orde-!'lD.Ib1Q 0

Mdulo de un nmero complejo.

Q.221 I ,N ,

I Blmaae mdulo de un nmero complejo z 1 (x, y), al

nmero real no negativo:

` Iz|)- + /x2 + yz

Do esta definicin resulta inmediato quo:

22I

-__-.__-

R(z) [2] oseax;_f_.`/x2+y2

I (z) 5 |z| o sea y f Vxz + yz

Teorema 9

Pl.

z=0 siyslosi |z|=0

/

Si z =r 0 = (0, 0), obviamente se tiene |z| = 0. Re-

cprocamente supongamos que |z| = 0, entonces tenemos:

xz+y2=0 dedonde x=y=0

oseaz=(0,0)=0.

DEF. 22

Dado un nmero complejo z = (x, y), llmase complejo

conjugado de z, al nmero complejo z - (x, - y).

Teorema '1 0 l

PI".-

I-2| = IZI Y ll = Izl

I- zl =\/(|-lx)2 + (-y)2 = \/x2 + yz ='= |z|

121 =\/X2*

Teorema 11

EE-(a). z + z

(b)r 2 ' E

z ' E

Teorema 12

EQ.

(a) 21 + 2

-'

" 22

21 zz

'1 2

ggorema 13

(

(X2 + yz . o -

21 +

='

=

=

='

+ z = 2x z ' z =

xr Y) + (xr "Y) = (zx: 0) =

(x, y-(x. -y = (x2 + yz ,

-II -I _.-._-_---_ 9-

(xl + xl , -yl - yz)

(X1 *2' Y1 Y2 ' `*1 Yz `

(X1: " Yi) xzr Y2) =

'zi ' 22' = '31' '22'

1212

2x = 2R(z)

- xy + x )

~ 2x2 + yz = z|

zz Z1 * zz 21 zz 21 2

(x1.- yl) + (X2,-yz) = El + E2

.(*1 X2' Y1 Y2 ' *1 Y2 * X2 Y1)

X2

21 ' zz

y1

24.

QE.

'21 ' z22 = (21 ' zz) ` (21 ' zz)

= (21 ` zz) ` (51 ' E2)

= (zi - zl) - (zz ~ 22) = Izllz |z2|2

de donde tomando la raz cuadrada positiva se obtiene la

tesis: Izl - zz] = Izll |z2|

Corolario

21 ' zz = 0 con zl f 0 , implica zz = 0

En efecto zl - zz = 0 implica Izl - z2| = 0, es

decir |z1| |z2| = 0 y como |z1| f 0, resulta que |z2| =

de donde z2 = 0

Teorema 14

121 + 221 < 1211 + 1221E.

Izl + z2|2 = (21 + zz)-(21 + zz) = (zx + z2)'(1 + 22)

Izl + z2|2 = zl ' zl + zz - zz + 21 - zz + zz - zl

121 + z2|2 = |z1|2 + |z2|2 + (21-;2+

25.

Ahora la suma de un complejo y su conjugado es el

doble de la componente real del complejo, luego:

O Sea.

(z - E + ('"1 1) = za (2 ' `

(21-'2+

262

Teorema 16

gg.

(2 - z )

Teorema

Para todo 21 # 0 y zz # 0, se tiene que

_ -1 _ -1 _ -1(21 22) ' 21 22

1 = 21 22 = 21' 22 _ 21 _ 22f _2 _- _121- 221 12112 12212 1211 1221_ -1 _ ~1-- Z1 Z2

EE-

27.

Teorema 18

P11-

21 ` 21 =2(x1 ' 22' Y1 ` Y2)

zl = (zl - zz) + zz

(a) zl - zz = zl + (~z2) = (xl , yl) + (-x2, - yz)

(b) (z

21 ' 22 = (21 ` 22' Y1 " Y2)

Teorema 19

Dl-

(a) |2

112) 12

lzll _ Izl _ zz' S IZII + '22'

1 _ zz' = '21 + (_z2)| s '21' +'"z2| = '21' + 'zz'

1' = (21 ' 22) * 22

Aprovechando los resultados obtenidos en (a) y (b)

queda:

DEF

(X2

'21' _ '22' 5 IZ1 " 22' 'zi + 'zz'

. 24

Dados los complejos zl = (xl , yl) y zz =

, yz) f 0, llamaremos cuociente entre zl y zz, al pro-

1 ~ zz) + zz = zl + (~z2) + 22 = zl + [}~z2)+z]= zl

28.

ducto de zl por el recproco de zz. Designando este comple-

jo 21por E- , tendremos:2

il-.-Z-Z-1zz ` 1 2Teorema 20

22-

Z Z ZE2'-=l_"--1;-E VZ2750 Z0

2 2

21 ` 2 -1 -1 _ -1 -1 21-_--._-_ = (z - z) (z - z) = (z ' z) (z - z )= z - z =-zz ' z l 2 1 2 l 2 2

Teorema 21

QEZ 1 1 1 1E; = (21. 22 (_ (_ _

21 |212; = 122! V zz 0

|21|-_ 1 -_ ._ .-2-.-2-_.. ._ _.-._

1

Teorema 22

PE

_* . 1 _E-5) --- V Z2 0

.---_.-- _Z ----*~ _- -:* _ _ _ Z1 -1 1 1 _ 1(")= (21 ' 22 ) = 21 ' 22 = 21 ` (22) ` 5;2

29.

Teorema 23

1 _ -1 MZ-Z V Zfo

219.1 1 0 l - -='L"' =11,01~2 =-1-21=21

Corolario

Z1_ .iE; " 21 zz V 22 2 0

DEF. 25

Sea z = x + iy un complejo no nulo y n un entero po

sitivo, entonces:n

zqn = (x -1- y)n = EW + iy)' == (z"l)n

DEF. 26

Sea z = a + ib un complejo y n un entero positivo

llamaremos raz n-sima de z = a + ib, a todo complejo

(x + iy) tal que:

1 (x + iy) = 2 + ib

La raz n-sima de un complejo 2 = a + ib ser indi~

cada con cualquiera de las notaciones:1

l\/?=.9,/a+1b = 1a+1b1

30.

Forma trigonomtrica de un complejo.

Dado un complejo no nulo z = x + iy, teniendo pre-

sente que:

x$`/x2+y2=r y x2+y2=r

' 2 2-1 < ~ 5 1 -1 5 < 1 55 + = 1

r r

resulta:

Hx HP n, la raiz ser primitiva, pues

tendremos que..1 12

' IIIIIOI '

sern todas races de la unidad, siendo adems diferentes.

Supongamos primero que k y n'no son primos; entonces

tendrn un divisor comn d, tal que k = pd y n = qd, en

estas condiciones, tenemos:

39.

La suma de dos complejos variables al y zz dividida

por la diferencia de ellos da un imaginario puro. De-

muestre que los complejos 21 y zz se desplazan sobre

una circunferencia con centro en el origen.

Solucin

Sean los complejos 21 = (xl, x2) y zz = (x2, yz),

entonces:

a1V+ Z = (xl + x2) f 1(y1 yz)zl - 22 (xl - x2) + i(yl " yz)

:'11 1* a 1 (*12'*2,2'*(Y1?"'22 *W .(1`2 (?1Y2'2 - 2 (xl - X212 +1111 - y22y para que este complejo sea imaginario puro, debe ser:(

2 2x12 - x22 + yl - yz = 0 o sea x12 + ylz = x22 + yaa

resultado que nos muestra que |z1I = |z2|, o sea zi y

zz se desplazan sobre una misma circunferencia con centro

en el origen.

Un complejo z = x + iy se mueve sobre la recta3x + 4y + S = 0. Demostrar que el valor minimo de |z|

es uno.

40.

De todas slo wl y ws son races primitivas ya que

1 y 5 son primos con 6. Adems no es difcil verificar

que: `

3 _ 2 _ 3 _ _wz - l w3 - l W4 - l wo - 1

resultado que nos muestra que wo, wz, w3 y w4 no son rai-

ces primitivas.

DEF. 30

Dado un complejo z = a (cos a + i sen a) y un ra-

cional irreductible, la potencia de exponente racional de

un complejo se definir por: ,

zp/q = gd- con q > 0

De esta definicin resulta inmediato que

=-q` lap (CQS E_ + 1 sen

1] 2; 3] roolio qc

La expresin precedente nos muestra que z P/q tiene

q valores diferentes. El valor que se obtiene para k = 0

lo llamaremos valor principal.

41.

Representacin grfica del nmero complejo

El estudio del cuerpo de los complejos ha sido desa-

rrollado aritmticamente sin recurrir a ninguna representa-

cin geomtrica; sin embargo teniendo presente las aplicacio-

nes de este concepto, indicaremos dos representaciones gr-

ficas del nmero complejo, que son las que corrientemente

ms se usan.

Consideremos un plano y en l un sistema de ejes car-

tesiano ortogonal. Sabemos desde la geometra que todo pun-

to del plano, determina con referencia al sistema de ejes

elegido, dos nmeros reales x e y que son su abscisa y

su ordenada respectivamente. Recprocamente dados dos nme-

ros reales x e y se podr siempre individualizar un pun-

to de este plano y solamente uno, que tenga a x como abscisa

e y como ordenada

1

\1>)

Z

\\ Y

0 p acQu

Ahora como todo nmero compl

jo z = (x, y) es una pareja

ordenada de nmeros reales,

resulta que todo complejo

determina un punto del plano

que tenga a x como abscisa

e y como ordenada y recpro-

42.

camente todo punto (x, y) del plano determina un complejo

z = (x, y).

De acuerdo a estas ideas se acostumbra a tomar como

representacin geomtrica del complejo z = (x, y) al pun-

to (x, y) del plano. De aqu que trabajando con represen-

tacin geomtrica de complejos sern sinnimas las expre-

siones: nmero complejo y punto del plano. Adems lo co-

rriente entonces, ser expresar el complejo por una letra

mayscula, notacin habitual para designar puntos de un

plano.

Otra representacin grfica corriente para el com-

plejo z = (x, y) es el vector del plano xy cuyas proyeccio-

nes sobre los ejes sean precisamente los nmeros x e y.

Obviamente que para un complejo dado hay infinitos vectores

que cumplen tales condiciones, entonces en rigor el comple-

jo z = (x, y) queda representado, o quizs mejor an, repre-

senta a la clase de equivalencia de todos los vectores cuyas

proyecciones sobre los ejes coordenados son x e y en el

orden trivial, y con sentido del origen al punto (x, y)

43.

A = (x,y) = x + iy = z

AOA =\}x2 + yz = |z|

OM = x = |z| cos ay .

p MA = y = |z| sen ax 2 2-.-~ o1=argz=argA.

GD gt M\

La representacin vectorial de un complejo da una

natural expresin a la igualdad de complejos, en efecto

sabemos que zl, = (xl, yl) y z2 = (x2, yz) son iguales

si y slo si: xl = x2 e yl = yl, es decir si, geomtri-

camente hablando, los vectores correspondientes son de i-

gual magnitud, direccin y sentido.

Representacin grfica de la suma de dos complejos

I A = (al, az) = a1+1a2

A'+B = ' =B (bl, bz) b1+ib2

JB, 2- ,A+B - (a1+bl , a2+b2)

b A ~ A+B = 1a1+b1 + (a2+b2

f) '- |A+B|$ Al +lB|

44.

ZRepresentacin grfica da diferencia de dos gomplejos

I A

B

(1) Para tener el vector BA = A-B

A B = A + (- B)

A-B basta tomar el vector que

une el punto B con el punto A

_, 0 (2) La distancia

tos dados A y

-B por: IA-BI =

(3) IAI - IBI 4 IA - BI s IAI + IBIRepresentacinygrfica del producto de dos

entre dos pun-

B se expresa

IB-Al

complejos

A 2==A A = a(oos o1+ i sen o1)b(cos 6+ i sen)

45.

Producto por un complejo de mdulo uno.

I Si un complejo A = a cis u se mulA Cp'.)`Ptiplica por un complejo cis de

mdulo uno, el producto,

A cis = a(cos'E$+ i sen'H

muestra que el vector A rota enA

un ngulo en torno a su punto

4 \ inicial.

AL 1 A

Aut)

1 1 _n_- , o--r *ji

* \*"a

Particularmente para rotar un vector A en (+ n/2) bas-

tar multiplicarlo por i y para rotarlo en (- W/2) es sufi-

ciente multiplicarlo por (-i), pues sabemos que:

i = cos(/2) + i sen (U/2) -i = cos(- n/2) + i sen (- n/2)

46.

Representacin grfica del cuociente de dos complejos

A AA = a(coso1+ i ,seno1)=a cis

B = b(cos 8+ i senB)=b cisB _A..C--- cis (01 - B)

C=^B

47,

Angulo de dos trazos AB gy CD

C = argP1 \ (P/

X/ \\

~-Lil-unn-

) 1C s

6"Q

11s\\ \

\/5 \

1 B1

\/=< (AB, CD)

= (1-B

UU7 O3?

= arg (B-A) - arg (D-C

E - 6

arg (C - B)

arg (C - A)

C - Barg 6"-r

u _

48.

Expresin de un punto sobre una recta.

Trataremos de expresar mediante operaciones con n-

meros complejos el hecho que un punto P este sobre una rec

ta determinada por dos puntos A yl B.

B 12B

2 .

A A`\ ot \'

iz'\\\ >

49.

De aqu despejando P, se obtiene:

P = - con r e IR

Considerando que la suma de los coeficientes de A y B

es la unidad, en lo sucesivo para expresar que P es un pun-

to de la recta AB, usaremos una cualesquiera de las expre-

siones:

P = aA + BB con *+ b = 1, a e IR, b e IR

o bien

P = aA + (1 - a) B con a S IR.

Observacin 1

Si C est sobre la recta determinada por los puntos

A y B, ocurrir que siempre los puntos A, B y C sern coli-

neales y para que ello suceda es necesario y suficiente que:

C = aA + (1 - a) B con a G JR

o mejor, es necesario y suficiente que:

aA + (1 - a) B - C = 0 a IR

Ahora considerando que la suma de los coeficientes

de A, B y C es cero, podremos decir que: tres puntos A, B

y C son colineales si y slo si existen tres nmeros reales

50.

a, b y c, no todos nulos, de tal modo que:

aA + bB + cC = 0 con a + b + c = 0

Este teorema es de frecuente utilidad en las aplica-

ciones geomtricas de los complejos.

Observ` el 2acion

Sabemos que si un punto P est sobre la recta deter-

minada por los puntos A y B, el cuociente entre los complejos

^ (P - A) y (P - B) debe ser

(Tn) un nmero real. Particular-

2 mente si el punto P divide(n)'B al trazo AB de modo que:

=9l0 fl

tendremos que el cuociente entre los complejos AP = (P - A)

y PB = (B - P) ser precisamente dicho nmero real: m/n;

as entonces el punto P que divide al trazo AB en la razn

m : n est dado por:

a++ 5BU3P * A _ m _'B _ n 0 Sea. pOr PSi el punto P fuese el punto medio M del trazo AB,

tendremos que AM : MB = l : 1 y entonces dicho punto medio

51.

resulta dado por:

Vl\+

IIIM=_..._.__

Expresin de un punto de un plano

Suponemos un plano determinado por tres puntos A, B

y C no colineales y pretendemos expresar un punto cualquie-

ra P del plano en trminos de los puntos A, B y C conocidos.

C Unamos A con P y sea Q la12

interseccin de las rectas

GL AP y BC. Puesto que Q es un

punto de la recta BC, tenemos

A B Q=bB+(1-b)C

y como P es punto de la recta AQ resulta:

P = aA + (1 - a) Q = aA + (1 - a) bB + (1 - a)(1 - b) C

Considerando que la suma de los coeficientes de A, B y C es:

a + (1 - a) b + (1 - a) - b (1 - a) = 1

podemos decir que P es punto del plano determinado por los

puntos no colineales A, B y C si existen tres reales a, b

y c tales que:

P = aA + bB + cC con a + b + c = 1

EJERCICIOSRESUEL TOS

C 1 u

Solucin

Solucion

a c lar =

sqnRcIcIosg_gusLTos

(1 + i) / (1 + i )

S 5ll_~l, = lnwlw (1 + ) = _

Separar la parte real y la parte imaginaria del complejo

Z

= = 1

(1 1) (1

""3(1+l)

demostrar que

Solucin

-1-

d

+

(az + b2(2 + az)

- - + 5 + 0 1 +1

son reales, usando nmeros complejos

2 2d ) = ac - d) (ad + bc)

=

=

_...-

=

1- veo% 1- + 1) 8(1 + i)

(1 + 1 { 1 1 + 1)

a + ib)(a - ib)( + d)(c - 1

(a + ib)(c + id)(a - i c - id)

ac bd, ad + c) ac - b , -ad - c

ac b (ad + bc)2

2-I-

loq 21%Expresar en la forma a + ib el complejo z s 10" ~ 1*

Solucin

I-*IQ PP-

no---p-_.-,log

-7-v-:_-N I P-

Demostrar que los nicos elementos de cuyo cuadrado(-1) son i Y (-1),

Solucin

Sea Z = x + iy , tal que n

zz = (X2 - y2, 2

luego:

= 12-11+1 __ :+111 H- P-

Z 2 21 = -l, entonces:

=' (" 1,:

X2 - yz = -1 Zxy = 0

Resolviendo el sistema se encuentra: x = O , y =

as: z = (0, 1) = i y z

Determine una ecuacin de Segundo grado a coeficientes rea-

les, que admita la solucin

= (0, ml) = (-1)(0, 1)

1Z = (~,.7-,.,,.:.'._1:.1 + 1 +

,_. 4., 1. ,_ -1--,-

H +)~ H

1,

-.-

.3.`

Solucin

El complejo z se reduce a z = (2 + i) / 4 y si z es raiz

de la ecuacin, tambin lo es = (2 -ri) / 4 1`

Considerando que: z + 2 = 1 y z - 1= 5/16 la ecua-

cin buscada es: 16 x2 - 16 x + 5 = 0 1 ;

Determinar la parte real y la parte imaginaria del complet

jo: z = \/3 + 41 + \/3 ~ 41 f

Solucin H

22 = 3 + 41 + 3 ~ 41 + 2\/9 + 16 = s1+ 2\/252 =16

Asi; 2 = 4 0 bien 21 = (4, o y zz = (24, o)

Demostrar que si la ecuacin: zz + (a + bi) 2 + (c + di) =

tiene una raiz real, se verifica que: dz - abd + cbz = O

Solucin

Sea z = r una raz real de la ecuacin, entonces:

rz + (a + b r + (c + ia) =:o

Ahora, la nulidad de este complejo implica

r2 + ar + c = 0 y br + d = 0

4.

eliminando r entre estas dos igualdades, resulta:

d2~ab

5.

Dado el complejo z = (a, b) (0, O), determinar un com-

plejo w = (x, y), tal que z w1= 1

Solucin

De inmediato tenemos

z w = (a, b)-(x, y) = (ax - by, ay + bx) = (1, 0)

luego:

ax - by = 1 bx + ay = 0

Resolviendo el sistema, se encuentra

X= Y C0f1a2+b2#0a + b a + b

AS:

W=(a )= 1 (a -b)=-Z--_.1z12'1212 1212 ' 1212

Determinar todos los complejos z, tales que 23 = 1.

Solucin

De inmediato tenemos que: z3 = 1, implica

3 2 .z - 1 = 0 o sea (2 - 1)(z + z + 1) = 0

Resolviendo las ecuaciones _

_ 2z - 1 - 0 y z + z + l = 0

6.

se encuentra:

_ _ _ l _. _ _ 121-1 z2. -(1214/) 23- 2-(1+(/3)

Poniendo como es costumbre zz = w, se encuentra fcil-

mente que z3 = wz y que: 1 + w + wz = 0

Estas igualdades es aconsejable memorizarlas, pues ellas

son de frecuente empleo,

Si w es una raiz cbica compleja de la unidad, demostrar

que: (1 + w)(l + 2w)(l + 3w)(l + Sw) = 21

Solucin

Efectuando el producto en el primer miembro se obtiene:

A = 1 + 11w + 41w2 + 61w3 + 3ow4

A = (l + w + wz) + l0w + l0w2 + 30w2 (1 + w + wz) + 31w3

de donde recordando que w3 = 1 y 1 + w + wz = 0,

resulta:

A=1o(1+w+w2+21=21.

De anloga manera demostrar que:

411-w+w211+w-w2=4 11+w2 =4(2) (1 - W111 - w2(1 ~ w4)(1 - ws) = 9

2~` 1 + + =:

x - 1 x - w x - wz x3 - 1

7.

(43 (X + 2 + b1

8.

Solucin

Haciendo z3 = x, la ecuacin se reduce a x2 + 7x - 8 = 0,

cuyas races son x = 1 y x = -8

AS:

z3 = 1 implica zl = 1 ' zz == 1/2(-1+i \/3-) z3=1/2(-1-i \/.3-)

23 = -8 implica z = 2-%/- l y calculando%)- 1 se

tiene:

24 = -2 25 = 1 + i\- 26 = 1 - 1\];-

Determinar las races de la ecuacin x3 = -1, sabiendo

que las races de x3 = 1 son:p

1 _ 1xl = 1 x2 = - 5 (1 - i\) x3 = - 5 (1 + iyr)

Solucin

Haciendo x = -u, la ecuacin x3 = -1 se transforma en:

u3 = 1, asi las races pedidas son:

x1=-1 2

9.

Determinar las races de la ecuacin x3 = i, sabiendo

que las raices de x3 = 1 son:

_ __1 . _ 1 ,xl-1 X2- (11\/) X3--(1+\/)Solucin

. . _ 3 .Haciendo x = -iu, la ecuacin x = 1 se transforma en:u3 = 1, as las races pedidas son:

_ _ _ l ~ ~ _ L _xl - i x2 - 2 (JE + i) x3 - 2 ( V3-+ i)

Determinar las races de la ecuacin: x3 = - i

Si a es una raz compleja de la ecuacin zn - 1 = 0,

demuestre que:

1 + a + a2 + ..... + an_1 = 0

Soluci

Como a es raz de zn - l = 0, la igualdad

(1 + z + zz + ..... + zn_1)(z - 1) = zn - l

nos da

(1 + a + a2 + ..... + an_l)(a - 1) = 0

y puesto que a es nmero complejo, tenemos a # 1,

.S

1+a+a2+.....+an"1=0

Calcular: S = l + i + iz + i3 + ..... + in_1

Solucin

Fcilmente se encuentra que

S = 1 + 1 + 2 + . . . + '

0Designando con 4 la expresin "es mltiplo de 4", de-

bemos considerar los casos siguientes:

(a) Si

(b) Si

(c) Si

(d) Si

Calcular la suma

s = 1 + 21 + 312 + 413 + 514 + .:... + (4n1

Solucin

La suma S puede descomponerse en las siguientes sumas

parciales:

sz = 1 {2 + 6 + 1o + ..... + (4n-2)) = 2

~. 1- =

tenemos

tenemos

tenemos

tenemos

-'-

I-' I HH

S3I-2 I-*

l entonces S

i entonces S

-l entonces S

-i entonces S

10.

4n-1

sl = 1 + 5 + 9 + ..... + (4n - 3) = #1-QL3l ~ n

2)

110

S4 = i3 (4 + 8 + 12 + .... + 4n} = 1-5 n13

luego:

s=2"2;'*'2.A+?-11:-3.-112-2=-an-222

Determinar un complejo Z = (x, y) tal que:

zz = p + iq

Solucin

Por hiptesis tenemos (x + iy)2 = p + iq. De aqu igua-

lando partes reales e imaginarias se tiene:

X2-y2=P 2y=1Resolviendo este sistema se encuentra

X..-_- '2+22+=A y= 2+2:'=

8

Suponiendo q 0, como Zxy = q, resulta que (xy)

y q deben tener igual signo, entonces las raices cua-

dradas de (p + iq) son

A A + i BJp + iq = { cuando q > 0

-A - 1 B

www A * B\/p + iq 2 { cuando q < 0

Calcular:

-A + i B

12.

\/5-121 2 (3-21) \/3+41 = (2+1)

calcular 3 /-1728

Splucin

De inmediato

xK = 12 (cos

xl = 12 (cos

x2 = 12 (cos

x3 = 12 (cos

se tiene:

1

H3

W

+2k3

+ i sen %)

+ i sen H

+ i +2k k = Op lp 20

2; + i sen )

12 (--+%\/)=s+16(/3

- 12

=12(-5%--_?;\]_)=6-1e\/--

Sea k el mximo comn divisor de los enteros positivos

m y ne Demuestre que las races de xk = 1 son raices

de xm = l y xn = 1

13.

Solucin

Sea m = pk y n = qk. Si a es una raiz de la ecuacin

xk = 1, tenemos ak = 1, luego:

2"* = 221* - (2'P - 1 2 = 22'* - 12212 - 1Determine las raices comunes de las ecuaciones x15 I 1y x21 = 1.

_ 4 _ 3Calcular el mdulo del complejo z = (2 31) (1 21)

5 + 1 3

Solucin

|zI=I(2-s14(1-:PI = J_k(2-a14|((1-3|5+: 3 |s+ 3|

_ 4 3 4 3z = jz - 3% +)_)~_(_,j = (4 + 9) 8(1+ 1) _, 134

Dados los complejos z y w con |z| = 1, demostrar que

z +_w = 1l + z w

Solucin

De z- = |z]2 = 1, resulta z = 1/E,

entonces:

luego

(z + w/(1 + E w) = (1 + E w)/:(1 + E w) = 1/E

E

__--q--,-_ .__

asi:

I 1 + zz + w _

w

Sabiendo que: Iz I = |z I = .... = Iz I = 1, demostrar2 n1que:

_ 1 1 1|z1+z2+ooon+znI _ ooo+''r;'

Solucin

= |2| F

z + w = %.+ w = (1 + z W)/'

1

14.

Para todo complejo z se tiene |z| = |z|, luego

Izl + 22 + ..... + znl =d |z1 + zz + .... n

lzl + zz + ..... + znl = Izl + zz + ..... + znl (a

Considerando que por hiptesis Izjl = 1, para 3 = 1 2

..... n, resulta que:

_ _ 1- pu. + z I

- _ 2 _ _ - _ Lzj~z - Izjl - 1 implica zj _ zj

finalmente reemplazando (b) en (a), obtenemos

Izl + 22 + ...._zn| = .r--I- url+ fl

26.

2

15.

Demostrar que para todo par de complejos z y w se

tiene:

Iz + WI2 +[z - w|2 = 2 IzI2 + 2 |w|2

Solucin

z+w|2= (z-+w(_"`"z+w =

Adems:

|z1|2 + z2|2 = |2a|2 + % |z\/az-b2|2 = 2 |a|2+z|a2-b2|

, 17.

Solucin

Haciendo: p + q = a y p - q = b, resulta

p - (a + b)/ 2 , q = (a - b)/ 2 , pz ~ qz = Va b

Reemplazando estos valores en la igualdad dada se obtie-

ne la igualdad propuesta.

Si a es un complejo de mdulo menor que uno.

( Ial < 1), demostrar que:

|z`aI'1 - z

es menor, igual o mayor que 1, segn sea |z| menor,

igual o mayor que uno.

Solucin_...-_.--_.-_--_

|z - aI2 = (z - a)(z - a) = |z|2 - a - Ez + |a|2

Il - z|2 = (1 - 5 z)(1 - 'z) = 1 * a - Hz + |az|2

|z - a|2 - |1 - a z|2 =

l8Q

un~*. "Zu Q ~tonsiderando que (1 ~ Hai J y 11 - az] son positivos,

tenemos que el mdulo del primer miembro ser menor, igual

2o mayor que 1, eegn que sem memor igual o mayor que

uno

Si x es un nmero real tai que: ~ f x < 1, demostrar

que;

iz! = l + ix + izxz + 3x3 + U) W = --l--Q/1 + x2

Solucin

Aprovechando la expresin que nos d la suma de una serie

geomtrica, el mdulo pedido se expresa por;

z = (l - X2 + X4 - X6 + ,O03 + i (X ~ X3 + x5 - x7 + ...

_ 1 + X2 _ 1___gg = Witivi i 1 ___i_g N1 + X2 1 + X2 \ (1 + X292 Q/1 + x2

a

La ecuacin: X3 - 9x2 + 33x - 65 2 0 tiene una raz

compleja cuyo mdulo es 13, Determinar las tres races

de la ecuacin,

Solucin

Sea z = a + ib la raz compleja cuyo mdulo es 13,

entonces E 2 a - b tambin debe ser raz de la ecuacin.

19.

Finalmente la tercera raz debe ser necesariamente un

nmero real c. Aprovechando las propiedades de las ra-

ces de toda ecuacin algebraica tenemos

(a+b+(a-b+

de donde simplificando por cos a/2 que no es nulo, queda:

PP'|-

PP- SR

20.

d/2 1 + itz= r =r -1~_--T-,E con t=tg(a/2)

Si z + 1/z = 2 cos a, demostrar que: zn + 1/zn = 2 cos na

Solucin

La condicin dada se puede poner en la forma:

2 _z - 2z cos a + 1 - 0

de donde despejando z, se tiene:

z = cos a \/cosz a - l = cos a i sen afn' \

As entonces tomando nicamente el signo positivo resulta:

zn = cos na + 1 sen na

-n .z = cos na - 1 sen na

nde donde sumando queda: z + z n = 2 cos na.

nSea p(x) = kio ak xk un polinomio a coeficientes reales,

tal que p(z) = a + ib. Demuestre que p(z) = a - ib.

Solucin

De inmediato tenemos:

21.

p(z) = aO+ al E + a2(z2) + ..... + an (zn)

p( = O + lle + az z2+ ..;.. + an 2 = ) = a - lb

pues sabemos que el conjugado de un producto es igual

al producto de los conjugados y el conjugado de una suma

es igual a la suma de los conjugados.

De aqu se desprende que si una ecuacin a coeficientes

reales admite una raiz compleja z tambin admite como

raiz a E .

Determinar la parte real y la imaginaria de cada uno de

los complejos: _z =_Vi y w = 1/V i.

Solucin

Sea vq= z = (x, y), entonces:

1 = (o, 1) = (X2 - yz , zxyluego:

2 2 _2xy = 1 x - y - (x + y)(x - y) = 0

La primera de estas ecuaciones nos indica que x e y

deben tener el mismo signo, entonces de la segunda slo

se obtiene x = y. Asi tenemos:

22.

2xy = 2x2 = 2y2 = 1 x = y = 1/'V2

de donde:

= '=--1-1+--j= --12Z v. V? Q

_1__1_ \/':`=\/'5'(1-1): _1(1,_1)w _ V-- z -l+ i Z 2 v'

Demuestre que el producto de las n races de la ecuacin

xn = a es p = (-1)n+1 a. (a = positivo)

Solucin

Las n races de xn = a estn dadas por:

xk =-J'(cos + 1 sen ) k = 1, 2, 3,... (n-1),n

Haciendo'2a = a y observando que

w = cos 2+ i sen

es una raz n-sima de la unidad, tenemos:

p = xl ~ x2 ' x3 ... xn = (aw)(aw2)-(aw3)..... (awn)

n(n + 1)P _ an_ w1+2+3+.....+n _ a w"""`2""`

p = a cos(n + 1)n + i sen (n + 1) = a(-1)n+1

23.

Resolver la ecuacin:

( 2 ) (_ iifblljx = 21 + i 3

Solucin

Dando a los complejos forma polar, la ecuacin se reduce

a:

cos x + i sen 1 x + cos il x + i sen x = 23 3 3 3

y luego a

cos 5 x-cos 1 x + i sen 21 x-cos x = 1 + i-0- 2 6 i 2

de donde igualando partes reales e imaginarias queda:

cos 2%-x - cos % x = 1 sen ? x - cos % x = 0

Resolviendo este sistema se encuentra como nica solucin

x = 0.

Expresar en forma polar el complejo

z = (sen a - sen B) + i (cos d - cos B)

Solucin

Sea z = r (cos + i sen ), entonces:

24.

r2 = x2 + yz e (sen d ~ sen 6)2 + (cos d - cos B)2

r2 = 2 - 2 (sen d sen 6 + cos d cos B)

rz = 2 - 2 cos (d - B) = 2 {1 - cos (d - B)}

rz = 2 - 2 senz ~- r = 2 sen Q--

Adems:

= sen a ~ sen B Sen = cos a - sen Bcos 2 sen fu - )72 2 sen (a - B)72

o sea:

S2n+

'mws = 3 Cos (OL ;**'2-:n2(d leg _ B)/S2 = s ""'"`

Qn+

'msen _ ~2 sen (a2+s/%a._s?/d ~ B)/2 _ _sen _____

entonces:

QN+

IDz = 2 sen ~ (cos -- - i sen 2--)

Determinar mdulo y argumento del complejo

z = cos a + i sen d - 1

Solucin.

Sea z = r (cos + i sen ) = (cos a - 1) + i sen d

entonces:

25.

r cos = cos a - 1 r sen = sen d

elevando al cuadrado y sumando, resulta

r2 = (cos d - l)2 + senz a = 2(1 - cos d) = 4 senz %

Por otra parte eliminando r, se tiene:

- send 2 sen % cos % a Qtg='_-=*'"""'"'2"a""' = 't=*=g(*2')lcosd 2 sen 5

_ 2 = 1 2As. r - 2 sen 2 y 2 + 2

Demostrar que la suma de las races cbicas del complejo

z = 23 (1+ i)/T3-) es nula.

Solucin

Dando forma polar al complejo obtenemos:

z = 23 (1 + i V3) = 46 (cos % + i sen %)

de donde:

-/'=3\]4_s_ (cos 1-*-l + 1 sen +96k" k, = o, 1, 2

Llamando zl, zz y z3 las races, tenemos:

3 . n _3 . 7n _3 . 13zl =-g cis 5 zz-W cis -9- z3--\/E cis --

luego:

21 + 22 + 23

21 + Z2 + 23 =

21 + Z2 + Z3 =

Z1 + 22 + 23 =

Demostrar que: (1 +

Solucin

1 - (cis -) .9 q/46 cis %

)

JGzy(cis

3 .*Vaz-cis %

18

E.9

1 - (cis % I

+ cis

(1 + cis -6-"9-+ cis

36 v

26.

M2%-+ ci ti;4;

3 n1 7 cos Zn - i sen 2n,D " >21:ij'_ 21: 'V461 - cose- i sen?? CIS =

1)/'. + (1 - i\/? = 2" cos 931

Dando forma polar a los complejos zl = 1 + i\/3 y

zz = 1 - i V3, fcilmente se encuentra:

zl = 1 + i.V3 = 2 (cos % + i sen %)

_ _ i _ V n _ V 1zz-1 1)/3 2(cos isen3)

de donde:

(1 + iVP)n = 2 (cos 2; + i sen g)

(1-i\/15)-=2n (cosf-"--isen -)HW

Sumando estas igualdades se tiene la tesis.

Si x es nmero real y n entero positivo, resolver la e-

cuacin:

1 + ix n _fi*-> 1Solucin

l + ix /_ 2k . 2k..,...._.___. ze = ----+ ...-......1 lx l cos n 1 sen n k

kn . kn kv. - + - -lx cos n 1 sen 11 cos n +

27.

0,1,2,.. (n-1)

i sen 1.51n.m ,_ ._,Q _- _-) lx cos(- g) + i sen(~ g) cos ?

1 +1'-

4, 0 'ITL r 1 tg ?1 + ix = ___wWwm%__1 _ lx l ~ i tg g

As las races de la ecuacin propuesta son:

x = tg para k = 0, 1, 2, 3, ....,(n -

Determinar las raices de la ecuacin

(>

28.

Solucin

La ecuacin puede ponerse en la forma:

x + 1 n _ _(;;":"-1')-1 "-:--'\/-1-

. knX + 1 = 1 + 1 tg : x = ~ i cot lx - 1 1 . kw n"ltg

XX+

HD

y dando a k los valores: 0, 1, 2, 3, ...., (n - 1).

Si cos a + cos B + cos W = sen a + sen B + sen W = 0,

usando nmeros complejos demostrar que:

cos 3 d + cos 3 + cos 3 W = 3 cos (a + B + W)

een 3 u + sen 3 B + sen 3 W = 3 sen (d + B + W)

Solucin U

Aprovechando que:

x = cos d + cos B + cos W = 0 y = sen u + sen B + sen W =

resulta: x + iy = cis a + cis B + cis W = 0

Entonces elevando al cubo: - cis d = cis B + cis W

queda:

-cissa = cisae + 3(is s)2 cisw + aciss (

o bien:

cis 3d+

cis 3u+

cis 3a+

cis 3d+

Finalmente separando partes reales e imaginarias se obtie-

cis 3B+

cis 3B+

cis 3B+

cis 3B+

cis

cis

cis

cis

= -3cisB cisW (cisB + cis W)

nen las igualdades pedidas.

Si zl = cis d, zz = cis B, 23 = cis W, demostrar que

Solucin

2 1 1

Sin dificultad se encuentra:

zi = cos a + i sen a \/Z:

1 . 1 _2 = cos d ~ 1 sen a E -1 1

de donde

_ 91 E- E- _ 2 (cos 2 cos 2 +Z Z1 + 22 l

3W = 3 cis (a + B +

COS

COS

W)

(z1+z2)(z +z3)(z3+z ) = 8 z 'z2'z3 cos g cos cos -

E2

Q2

29.

3W = 3 cis (B + W) cis a

+ i sen

i sen

u Bsen 5 sen 5)

3W = -3cis(B+W)~(cisa+cisB+cisW cisa)

22

22

21 + zz zl + 22

\/.21 zz \/21 Z \/z1` zzEn forma similar se obtiene:

z + z _ z3 +

...'-

....l'.____..3..=2c0s__.-.[2-

vz1~ z3 2 \/z1 z3

Finalmente multiplicando miembro a miembro estas igualda-

= 2 cos 2-~

des se tiene la expresin pedida

zl w _= 2 cos

Usando nmeros complejos demostrar que:

sen 4d cos 3d = (cos 7d - cos Sa ~ 3cos 3a + 3 cos g)

Solucin

Tomando el complejo z = cis d

z = cos d

E = cos a

entonces:

2+

Z-v

Z 0

+

Z

E

E

i

i

Sen OL

sen d

2 cos

21 sen d

1 zn

Z

-nz

a z

Z

de mdulo uno, tenemos

+

cos na + i sen nd

cos nd - i sen nd

z

E

-nz

- 2 cos na

21 sen na

1

y de aqu que:

(2 i sen d)4 (2 cos d)3 = (z ~ )4 (z + z)

31.

- 3

= uz-

Solucin-__,...---..-.-.-._....

32.

Multiplicando S por i, y sumando queda:

C + i S

C + i S

C + i S

C + i S

C + i S

cis d + cis 2 a + ..... + cis n u

cis a (cis no - 1)efe OL i-r 1 Wcis d (cos no _i sen no - 1) i cos d +` sen a - 1'

ci_dj-2sen2(n d/2)+2i senjnjo/2)cosln_ag)}~2sen2 (d/2)+2i sen(d/2)cos(d/2)

23

nQlU9

Sen 1

n+D .I-' 5 4-(cos a + i sen

Sen _

Finalmente separando partes reales e imaginarios resultan

las igualdades propuestas. '

Demostrar que:

-_ S% sC = cos d + cos (u + B) +...+cos(a+n-1B)=--cos(ew)sen ' `

Seng BS = sen a + sen (a + B) +...+sen(d+n-lB)=-sen(o+n*)

Sen

33Q

Usando nmeros complejos demostrar que:

H 4Z (Q) cos (d + kB) = 2" cosn % cos (a + g)k=o W

Solucin

Desarrollando el primer miembro de la suma propuesta te-

nemos:

C = (3) cos a + () cos (u B) + .,. + (2) cos (a + n6)

Tomando la expresin S que se indica:

S = (3) sen d + () sen (a + B) +.... + (3) sen (d + nB)

multiplicando por i y sumando, se obtiene:

C + i S = (3) cis d + () cis (a + B) + ...+(2) ci$(d+nB)

C + i S ={(3) + () cis B +....+ (3) cis nB} cis a

C + i S = (1 + cis B)n cis d = 2n cosn % cis % cis d

C + i S = 2n cosn % {cos (d + %) + i sen (a + %)}

De aqu separando partes reales e imaginaria se tiene la

igualdad propuesta.

34.

uemostrar que en todo tringulo ABC en el cual0 < b < c, se tiene:

A Z (%)k_1 sen k d = sen Wk=1

Solucin

Consideremos las dos series geomtricas convergentes:

S = sen a + 2 sen 2 o + (%)2 sen 3 d + .......

C = cos a + 2 cos 2 a + (%)2 cos 3 d + ......,

De aqu se obtiene sin dificultad que:

C + i S _ c (cos d + i sen d) _ _Jls a= c - b cos a - ib sen d a cis (-B)

ya que en todo tringulo se tiene:

c ~ b cos d = a cos B y b sen G = a sen B

Finalmente considerando quezd +6 = n - W, se tiene:

C + i S = %%{cos (n - W) + i sen (W ~ W)}

y separando partes reales e imaginarias resulta la tesis

50. Si wl, wz, w3, ..... , wn son las races n-simas de launidad, demostrar que:

*``___;' ' ' * + ' "]-"""`;'=* + 0 o n n n + -"'-'*"'3'-'^'"""' 2

35I

n1 wlx 1 - wzx 1 - wnx 1 _ xn

Solucin

Si wj es una de las races n-simas de la unidad la p

gresin geomtrica de razn: xwj nos d:2 n-1 l ~ xw.n l -l_ _ x x _ x __ jj _~+-1-I-~ 24-...+ f-n

wjn wjn- wjn_ wj (l~xwj)wj 1 - xwj

Dando a j los valores 1, 2,

gl + + l +.......+wi wl wl

n-1 n-2 n-x x x

__ _W nll

3 1" " + - + ' ' +0 o o 1 c Q 0 0+ "'_'_" =2 3 wzn 1

W? W2 W2... --. _- _- _. ... .. -... ...

- n-2 n-xn 1 x x 3 1+ + +DIIOUCOO+ =2 3w w wn n n

Sumando estas igualdades miembro a miembro y observando

que la suma de cada columna del primer miembro es cero,

menos la ltima q

nw 1n

ue es n, resulta:

3 coco nu

-_

obtenemos

n1 - xl xwl

n1 xXW2

1 xnXW

fl

n 1 l 1n = (1 - x ) {1 *' + +oooo+-*i-__?-*_'}xwl l - xwz 1 M xwn

36.

Si w es una raz n-sima primitiva de la unidad demostrar

que:

1 wz wn'1 .n~+ W +:2 +.....+ n_1 = ._1 - x w - x w - x w - x l - x

Solucin

. nSi wl, wz, w3, ...., wn son las races de x = 1,

sabemos que:

l l l+ + i +.....+ = _1 - wlx 1 - wzx l - w3x 1 - wnx 1 _ xn

2 3 nSea wl = w, entonces: wz = w ; W3 = w ;....wn= wN yy

la igualdad anterior se expresa por: W

,..e,-~..l_:_ee,, tj: ...._ V 1 2 + + _ . , _ + =

1 - wx l ~ w x 1 - w x 1 - w x 1 - x

Amplificando la primera fraccin por wn_1, la segunda por

wn_2, la tercera por wn_3 y as sucesivamente se tiene:

n-l n-2w w w 1 _" 1 + 2 +oooo+__-_"+'-'_-' _'n- n-w - x w - x w - x l - x 1 - x

Si wl, wz, w3, ...., wn son las races n-simas de la ur

nidad y k un entero, calcular la suma:

37.

S = wlk + wzk + w3k + ....+ wnk

Solucin

Si k es mltiplo de n, ser de la forma k = pn donde

p es nmero entero, entonces para todo wj tenemos:

k P .wj = wjnp = (wjn) = 1 V j = l,2,3,....n

y en este caso la suma pedida es S = n

Consideremos ahora el caso en que k no es mltiplo de n.

Si d es una raiz primitiva de orden n de la unidad; las

dems raices sern: uz, a3, :... un

Entonces tendremos:

W 1: __ (yk azk _ ak _ _ ank _ ku - ak. " 1 U - ocaso _

j=l 3 l - a. nk n kAhora considerando que a = (a ) = 1, la suma pedida,

en este caso resulta ser: S = 0

Si dl, a2,....., an son las races de la ecuacin xn = a,

calcular la suma:

_ k k kS _ + + ooo +

Determine que curva debe recorrer el complejo z para

que w = (z + 1)/(z - 1) sea imaginario puro.

38.

Solucin

Sea z = x + iy, entonces:

:sf le 1 + ix, X2 :+12 - s- 25:1z ~ 1 x - 1 + iy (x - 1) + y

y para que este complejo sea imaginario puro debe Ber:

xz + yz - 1 = 0. Asi z debe recorrer una circunferenciacon centro en el origen y radio uno.

Sea a = a + ib un complejo fijo y z = x + ly un com-

plejo que recorra la recta y = mx + n.

Determinar que curva recorre el complejo w - o + z.

Solucin

Considerando que z = x + iy = x + i(mx + n), resulta quo:

u + iv = w = a + ib + x + i (mx + n)

de donde:

u = a + x v = mx + n + b

eliminando x entre estas dos igualdades, obtenemos

v = mu + (n + b - ma)

Ecuacin que nos indica que w = u + iv recorre una rec~

ta paralela a la recta y = mx + n.

39.

La suma de dos complejos variables al y zz dividida

por la diferencia de ellos da un imaginario puro. De-

muestre que los complejos 21 y zz se desplazan sobre

una circunferencia con centro en el origen.

Solucin

Sean los complejos 21 = (xl, x2) y zz = (x2, yz),

entonces:

21 + zz _ (xl + x2) t i(y1 + yz)21 "' 22 xl "" + '_

2 2 . , , 1: _* 1: (*12~==:,>+

40.

slssinSabemos que |z| , geomtricamente representa la distancia

de z al origen. Como z recorre la recta 3x+4y+5 = 0,

el nmero real |z| es la longitud del trazo que une el

punto z de la recta con el origen. Obviamente este tra-

zo |z| tendr longitud mnima cuando l sea la distancia

del origen (0,0) a la recta 3x + 4y + 5 = 0, as entonces;

mnimo |z| = ---- = 1V9 + 16

Un complejo z = x + iy se desplaza en el plano xy de

modo que |2z - 1] = |z - 2| , determinar que curva recorre.

elssisLa condicin impuesta se expresa por:

|(2x~ 1) +2y1 = |(x-2) +y1|

(zx 12 + 4y2 = (x ~ 22 + yzEfectuando las operaciones indicadas se obtiene:

x2 + yz = 1, resultado que nos indica que z recorre una

circunferencia con centro en el origen y radio uno.

41.

Determinar el lugar geomtrico de un complejo z = x + iyque verifica la condicin: |(l + i)z - (1 + 3i)| 5 1.

Solucin.

El complejo z es tal que el mdulo de:

w=

42.

22 e w ~ wz = (1 ~ W) w 2 zi cis ;

z3 = wz - 1 = wz ~ W3 R (W - wz) w = z2 cis

As zz es zi rotado en 120 y z3 es zz rotado en 120? ;

o sea zl, zz y z3 son los vrtices de un tringulo equi-

ltero.

Si w es una raiz cbica compleja de la unidad, demostrar

que el tringulo cuyos vrtices son: z, zw, zwz es equi-1

ltero.

Solucin

Como: 1, w y wz son las tres raices cbicas de la uni-

dad, los complejos: z, zw y zwz son las raices cbicas

del complejo m z3. Siendo z, zw y zwz raices cbi-

cas de un mismo complejo,ellas tienen todas el mismo mdu-

lo |z| = |zw| = |zw2| ; de aqui que los puntos z, zw,

y zw2 estn en una misma circunferencia con centro en el

origen y radio |z|.

Finalmente:

arg zw = arg z + 120 arg zw2 = arg z + 240

As el tringulo de vrtices: z, zw y zwz es un trin-

gulo equiltero.

43.

Los vrtices A, B y C de un tringulo se mueven de modo

que:

c-A__ ._E-~:-a---k1+1.k2-l-k

donde k es constante. Demostrar que el tringulo ABC

permanece semejante a si mismo.

Solucin

De la condicin dada resulta:

C-A C-A15":- = -:*% = |k|

igualdad que nos indica que la razn entre los lados AC

y BC es constante.

He la hiptesis tambin se tiene:

arg %-E--e arg (C - A) - arg (C ~ B) = arg k

o sea:

44.

Determinar que curva recorre w cuando z recorre la: . 2 2 2 2circunferencia x? + y = r O con r a .

Solucin

De la condicin dada, se obtiene:2 2

unx-I@-'2_.(. V=y--axI' I'

entonces:IU

JmN

45.

Solucin

La condicin w = zz + a, se expresa por:

u = x2 - yz - a v = 2xy

Tomando primero x2 + yz = 1 y eliminando x e y entre

las tres igualdades se obtiene:

(u+a2+v2=1

resultado que nos indica que en este caso el L.G. de w

es una circunferencia de radio uno y centro (-a, 0).

Finalmente si .z recorre la recta x ='y, se obtiene:

u = a y v = 2x2. Estas ecuaciones muestran que w

recorre una semirecta u = a, paralela al eje u con v

no negativo.

Los complejos* z y w verifican siempre la relacin:

W - (4 + -+_;Determinar el L.G. de w cuando z recorre

(a) La circunferencia: |z| = 1

(b) El eje de ordenadas.

Solucin

De la condicin dada se obtiene:

_ W ~ Q; + di) _ W - A AZ ' w ~ (4 + i) ` w - B con B

Ahora cuando |z| = 1, se obtiene:

_ w - A _ Iw - AI _zl-T"| " :T-" _I Iigualdad que nos indica que w recorre

trazo AB, pues ]w - A] = |w - B|

Finalmente cuando z recorre el eje de

gumento es (+ /2) o (- W/2), luego:

_ w - A _ +.I'g'Z--argq--_--B--"'

46.

-b-' ++ |,.a.

l

la simetral del

ordenadas su ar~

12

o sea los complejas w - A) y (w - B) son ortogonales

y entonces w recorre una circunferencia de dimetro AB.

Los complejos A y B son las races de la ecuacin:

22 - (e + 51) z + (8 + 261) = o

Determinar un complejo C = x + iy,_ de

tringulo ABC sea equiltero.

tal modo que el

Solucin

Resolviendo la ecuacin se encuentra A _ 6 + i y

B = 2 + 4i. Ahora como.el tringulo ABC es equiltero

tenemos ABI = |BC| = ICAI y considerando que

A212 =IBCI =

CAI -'=se obtiene el sistema

(x-s2+(y-12=2s x- 2+ - 2=

..Al2

_ 2gc B]

_- 2

-4+31|2 =

2 1(x 2) +(y 4)2 2(X - 6) +~ (Y-

que nos d las soluciones:

Clg-i\/+is+\/ c2=a-:;\/-3- -Q

Los cuatro nmeros complejos A, B, C y D son concclicos

Demostrar que el nmero (C - A) (D - ) / ( - ) ( -

es real.

Solucin

Como los puntos A, B, C y D son conciclicos se tiene

48U

DC < (ACB) = < (ADB)

O(3 U1? UKJ U1?rq __ = arg _-__

15 arg - arg g = 0

AO sea:

._ unC A D Aafgf-*=*""r*> = 0y esta igualdad es suficiente para afirmar que el nmero:

c-A_n-A = (c-A) (D-B)c-Bn-B (c-B(D-A)

es real, pues su argumento es nulo.

Los vrticcs opuestos A y C de un rombo ABCD estn

dados por las raices de la ecuacin zz ~ 6(1+i)z + 161 = 0.

Determinar una ecuacin de segundo grado que d los otros

dos vrtices.

Solucin

Las races de la ecuacin dada son A = 2 + 21 y

C = 2(2 + 21), de aqu que la diagonal AC es bisectriz

del primer cuadrante. Ahora como AC y BD se dimidian,

. D B.

~'\

6*) B ,___

las expresiones que dan B + D

49.

tenemos:

B + D = A + c = 6(1 + 1)

Por otra parte el produc-

to B ~ D debe ser imagi-

nario puro (ver fig.) lue-

go l debe ser de la forma

B - D = ai, donde a es

un real arbitrario. De

y B ~ D se obtiene la

ecuacin pedida: zz - 6(1 + i) z + ai = 0.

Para que el real (a) quede determinado es necesario dar

alguna condicin adicional, por ejemplo, que: 2AC = BD.

En un cuadrado ABCD, los vrtices opuestos A y C son

las races de la ecuacin: zz - (6 + 8i) z + (1 + 301) =

Determinar los otros dos vrtices.

SolucinJ C

A B

Resolviendo la ecuacin se

tiene:

A=4+1 c=2+71

De aqu se obtiene para

el punto medio

Entonces:

MA = A ~ M = 1 - 3i MC

y como MB = i MA y MD

MB=B--M=3+i MD

de donde: B = 6 + Si y D =

M de la diagonal

50.

AC, que M = 3 + 4i.

= C - M = -l + 3i

= i MC, resulta

= D - M = -3 - i

31

Sobre los lados de un cuadriltero ABCD se construyen

hacia el exterior tringulos rectngulos issceles: ABP,

BCQ, CDR y DAS. Demostrar que los trazos PR y QS son

iguales y perpendiculares.

glucin

El vector PA es el vec-

tor PB rotado positiva-

mente en 90, luego:

QC.

.DI Q ' A-P=(B-_)i

de aqu despejando E se

obtiene: P = ~-giA E; 1 1

ZP

De anloga manera resul-

ta:

70. A,

B Ci RQ S -*

510

1 1 1

entonces:

RP = P -

SQ = Q *

0 sea: (P - R) =

y PR | sQ.

BICIPIQ Y

Demostrar que los

__(A-c)-(B-miR": 1-1: '

(B 70) -B (C fr M1,S 1-1i(Q - S), lo cual implica IP - R|= IQ I

R son nmeros complejos tales que

1 1 1

A B C = 0

P Q R

tringulos ABC: y PQR son semejantes.

Solucin

De la condicin dada se obtiene sin dificultad que:

Esta igualdad de

|._:_2*.l= |B_"___IC BI IR" QI

c - A = R - PC - B R - Q

nmeros complejos implica

Pl y argg-_-5 = ars-EC B R Q

=9_.:...P.f_-. S=D"A1_- 1--:~;~

52.

y estas igualdades muestran que los tringulos ABC y

PQR tienen dos lados proporcionales y el ngulo comprendido

entre ellos igual, lo que garantiza su semejanza.

Los complejos A, B y C son los vrtices de un tringu-

lo equiltero. Demuestre que 1

A2-9-B2-4-C2 = A-B+B'C+C'A

Solucin

C

A E

C-A_A-B=B-cB-A"c-B A-c

Tomando estas igualdades dos

y extremos, resulta:

C2-c-B-A-c+A-B=A2-A-c-B-A+B-c=B2-B-A-c-B+c-A=

-'_

a

B

C

A

Como el tringulo ABC

equiltero, tenemos:

C-A (B-A) cis (W/3)

A-B = (C-B) cis (n/3)

B-C (A-C) cis (U/3)

de donde:

cis (U/3)

dos y multiplicando medios

-A-B2-A2+A-B-B-C2-B2+B-c-c-A2-c2+c-A

GS

propuesta

se puede expresar por

Solucin

De donde sumando miembro a miembro se obtiene la igualdad

Demostrar que una circunferencia de centro C y radio r

= +

donde t es una variable real

P

= C + r cis = +

0O m me 'J

I'

IQ-9- xiu-

OO UIN9-- - i sen

propuesta

[\)-9-

ea CA = < (A =

siendo P un punto cual-

quiera de la circunfere -

Entonces

O = C

= OC + cis

O0 rn

meuna

+1.SI`1

J. SGD "

Finalmente haciendo tg(/2) = t se tiene la igualdad

H I-*D-'+

I-'P SR

54.

Si es variable , A y B complejos fijos, demostrari

que la circunferencia de dimetro AB se expresa por:

2P

Solucin-_-.--__-

= A(1 + cis ) + B(l - cis )

(2 Sea M el punto medio deldi t AB P'i me ro y un pun

3 to cualquiera de la cireun

'V ferencia , determinado por

4 el ngulo variable< (AMP) =

0 . Entonces:

OP = OM + MP = OM + MA CiS

P:-_.

P=

M + (A - M) cis

W + U3 W + U1--- + (A - ---) cis IQ \\)

2P =-A( 1 + cis ) + B(l - cis )

Dados los complejos A y B determinar un complejo C,

de tal modo que el tringulo ABC sea equiltero.

55.

Solucin

El complejo buscado C es

Q' tal que w

-0 | wiel_Z__L = 1

C-A =1f.5 arg B 3C _A Es decir el complejo

(C - A)/(C - B) tiene m-

dulo uno y argumento (n/3),

o sea:

-E-% = cos (W/3) + i sen (W/3) = c

De aqu despejando C, se tiene la solucin buscada:

_ A - dB""'="a"'Una comprobacin simple de este resultado se obtiene to- `

mando A -1; y B = 1 *ya que obviamente debe encontrarse

C=i\/_3- obien C=-i

Demostrar que en todo tringulo ABC se tiene:

a3 cos 36 + 3a2 b cos(d - 26) + 3ab3 cos(2c-B)+b3cos 3c= c3

56.

Solucin

Fcilmente se establece que en todo tringulo se tiene

x = b cos d + a cos B = c y = b sen d - a sen B

De qui elevando al cubo~el complejo: x + iy resulta:

(x + iy)3 = {b cis a + a cis (- 5)}3 = c36

0 sea:

3 3 . 2 2c = b cis 3a + 3b a cis(2c - B) + 3 ba cis(a - 25)

+ a3 cis (-33)

De donde igualando partes reales queda:

c3 = b3 cos 3a + 3b2 a cos(2a -B)5+=3ba2'cos(d 2B)

+ a3 cos 36

el_cuerpo_de_los_complejos