El conjunto de los nmeros reales incluye:Nmeros naturales: se
utilizan para especificar el tamao de un conjunto finito:
1,2,3,4,Nmeros enteros: Todos los enteros positivos y negativos
junto con el nmero real 0, escribindose: -4,-3,-2,-1, 0, 1, 2,
3,4Nmeros racionales: Se pueden escribir como la fraccin de dos
nmeros enteros a y b 0, caracterizados porque su parte decimal sea
finita o peridica como: 5.23 o 6.111Nmeros irracionales: siendo los
nmeros en los que su parte decimal es infinita y no peridica, como
es el caso de .Los nmeros reales pueden representarse por
expresiones decimales infinitos donde un conjunto de nmeros se
repitan indefinidamente como: 2.343434.
http://www.biol.unlp.edu.ar/alimentos/introduccion.pdfCapitulo
1: Conjuntos. Pertenencia. Extensin y comprensin. Cardinal.
Referencial. Conjunto de Nmeros NaturalesCONJUNTOSINTRODUCCIN AL
CONCEPTOLa palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una
agrupacin o coleccin de objetos. Esta idea nos sirve para
introducirnos en el concepto de conjuntos que, en matemtica es un
trmino primitivo. Es decir no lo definimos, no contestamos a la
pregunta qu es?. Sin embargo para que una coleccin de objetos sea
un conjunto, deber cumplir algunas condiciones: UN CONJUNTO QUEDA
DETERMINADO POR SUS ELEMENTOS QUE PERTENECEN A L..En smbolos lo
escribimos as
Le ponemos como nombre una letra imprenta mayscula y lo leemos:
A es el conjunto formado por m, t y hDiremos que h pertenece a A,En
smbolosm pertenece a A, en
smbolos:...................................t pertenece a A, en
smbolos....................................k no pertenece a A,en
smbolos: 8 no pertenece a A, en smbolos...................g no
pertenece a A, en smbolos...................2) PARA QUE UN CONJUNTO
EXISTA ES NECESARIO QUE SUS ELEMENTOS ESTN UNVOCAMENTE DEFINIDOS,
(EXISTEN Y SON NICOS)As, el conjuntos formados por "las letras del
nombre de mi abuelo" no es un conjunto para la matemtica, pues sus
elementos varan segn quien los defina ( todos los abuelos no tienen
el mismo nombre)Los elementos no estn unvocamente definidos, el
conjunto no existe. EXISTE EL CONJUNTO VACIOEsta caracterstica
aleja el concepto de conjunto de la idea intuitiva Cmo pensar la
existencia de un conjunto vaco?Hemos dicho que para que un conjunto
queda determinado si sus elementos estn unvocamente definidos.
Suponga que se le pide formar el conjunto de las ranas que malla.
Ud. responder "ninguna rana malla". El conjunto es VACO no hay
ranas que cumplan esa condicin, los elementos estn bien definidos
pero no hay ninguno. El conjunto vaco es nico y se representa
simblicamente:Obsrvese la diferencia con el punto 2 UN CONJUNTO EST
EXPRESADO POR EXTENSIN CUANDO SE NOMBRAN TODOS SUS ELEMENTOS.As, el
conjunto formado por las vocales de la palabra "to", que llamaremos
B, se escribe en smbolos:EJERCICIO:Expresar por extensin:1. A1 es
el conjunto formado por los colores primarios1. A2 es el conjunto
formado por las letras de la palabra MAM1. A3 es el conjunto
formado por los ros que forman la Mesopotamia Argentina1. A4 es el
conjunto formado por las provincias que forman la Mesopotamia
Argentina1. A5 es el conjunto formado por los colores de la bandera
argentina1. A6 es el conjunto formado por los nombres de los dos
gases ms importantes de la atmsfera5) LOS CONJUNTOS SE REPRESENTAN
GRAFICAMENTE MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENNSe trata de curvas cerradas
. Dentro de la regin interior se colocan los elementos,
representamos el conjunto A2 del ejercicio anteriorA2 Los conjuntos
se expresan por COMPRENSION utilizando una expresin proposicional
que caracteriza a los elementosAntes de analizar esta propiedad,
definiremos algunos trminos:6.1.- Se llama PROPOSICIN a toda oracin
aseverativa de la que podemos decir si es verdadera o falsaLa Luna
gira alrededor de la TierraProposicin VERDADERA
La Tierra es el quinto planeta del Sistema SolarProposicin
FALSA
Qu hora es? NO es una proposicin
Salga de aqu!NO es una proposicin
6.2.- Considere la siguiente oracin incompleta:Considera la
siguiente oracin incompleta"....... es una vocal"Cuntas
proposiciones verdaderas podemos obtener de esa oracin
incompleta?........Escriba por extensin el conjunto, que llamaremos
D, formado por todas las letras que, al reemplazar los puntos
suspensivos hacen una proposicin verdadera.A = {a,En matemtica 1. a
las oraciones incompletas se las llama expresiones
proposicionales1. en lugar de puntos suspensivos se utilizan otras
letras que se llaman variables ( x,y,z )1. sea que " ....... es una
vocal" en leguaje matemtico se escribe "x es una vocal"Recordar:
leemos equis pero pensamos en los puntos suspensivos. Aqu la equis
es una variable6.3.- Utilizamos expresiones proposicionales para
definir conjuntos por COMPRENSIN.Relee el primer ejemplo de las
vocales, que has escrito por extensin, por comprensin:1. se
escribe1. se lee: D es el conjunto formado por todos los x tales
que x es una vocal1. significa: que es el conjunto formado por
todos los valores que transforman a la expresin proposicional " x
es una vocal", en una proposicin verdaderaEJERCICIOExpresar por
extensin los siguientes conjuntos:A7 = {x / es una vocal de la
palabrea "ambiguo"}A8 = { x / x es una vocal de la palabra
"Ana"}CARDINAL DE UN CONJUNTOLa cantidad de elementos de un
conjunto puede ser 0, el conjunto vaco, 1 como en el conjunto A8; 2
como en el conjunto A2, etc.El nmero de elementos de un conjunto se
llama CARDINAL:1. El cardinal del conjunto vaco es ceroEn
smbolos:Card () = 01. El cardinal del conjunto A8 En smbolos:Card
(A8) = 11. El cardinal del conjunto A2 En smbolos:Card (A2) =
2EJERCICIO: Determine el cardinal de todos los conjuntos de esta
seccin. Escrbalos en lenguaje simblicoCONJUNTO DE NUMEROS
NATURALESEl conjunto de todos los cardinales se denomina CONJUNTO
DE NMEROS NATURALES.Notacin:Para referirnos al conjunto de Nmeros
Naturales con el cero, escribiremos N0 y para referirnos al
conjunto de Nmeros Naturales sin el cero escribiremos: NEl conjunto
de NUMEROS NATURALES:1. Es un conjunto ordenado segn la relacin de
menor, y tiene primer elemento1. Es un conjunto infinito1. No es
denso, porque entre dos elementos cualesquiera existe un nmero
finito de nmeros naturalesPodemos representar el conjunto de nmeros
Naturales en una recta numrica:La flecha indica el orden creciente,
complete con algunos de los naturales la recta, transportando
consecutivamente el segmento unidadEl orden de los nmeros naturales
se representa en la recta numrica:Diremos, por ejemplo que1. 0 es
menor que 3, en smbolos:1. 8 es mayor que 7:Estas dos proposiciones
en lenguaje simblico se denominan inecuacionesSUBCONJUNTOS DE
NDeterminemos el conjunto H de los nmeros Naturales menores o
iguales que 3Escribimos en lenguaje simblico, por
comprensinExpresin que leemos H es el conjunto formado por todos
los equis tales que equis es menor o igual que 3.La expresin
proposicional Se denomina INECUACIN, y se lee equis es menor o
igual que 3Los elementos del conjuntos H son los nmeros que
transforman la inecuacin en una desigualdad verdadera.El conjunto H
por extensin es:Expresaremos por comprensin y extensin el conjunto
de nmeros naturales menores o iguales que 3, pero tomando como
referencia el conjunto de Nmeros Naturales con el cero:Los
conjuntos H y F son subconjuntos del conjunto de Nmeros Naturales.
Obsrvese que en ambos casos la desigualdades utilizada es la misma,
pero los conjuntos H y F son distintos, porque se ha variado el
conjunto referencialExpresaremos por comprensin y por extensin el
conjunto de nmeros naturales mayores o iguales que 3 y menores o
iguales que 7Se llama CONJUNTO REFERENCIAL a un conjunto que se
determina previamente o se da por supuesto dentro de un universo
del discurso El conjunto referencial se identifica con las letras E
o U y se lo representa en los diagramas de Venn mediante un
cuadradoEJERCICIOS Exprese por extensin los siguientes conjuntos2)
Expresar por comprensin3) Dado el referencial E Se pide: Expresar E
por extensin Expresar por extensin los siguientes conjuntos4) Dado
el siguiente diagrama de VennSe pide:- expresar por extensin:El
conjunto E=El conjunto A=El conjunto B=El conjunto M1 formado por
los elementos que pertenezcan a A o que pertenezcan a BEl conjunto
M2 formado por los elementos de A que no pertenecen a BEl conjunto
M3 formado por los elementos de B que no pertenecen a AEl conjunto
M4 formado por los elementos que pertenecen a A y tambin a BEl
conjunto M5 formado por los elementos de E que no pertenecen a A ni
a B- determinar el cardinal de los conjuntos anteriores-
representar los conjuntos en sendos diagramas5) Disear un ejercicio
similar al anteriorCaptulo 2: Operaciones con conjuntos.
InclusinOPERACIONES CON CONJUNTOS1.- PROPOSICIONES COMPUESTAS:En el
apartado anterior hemos analizado la verdad o falsedad de
proposiciones simples. Es posible tambin formar proposiciones
compuestas utilizando los conectivos lgicos o e yVeamos algunos
ejemplos:Entre las condiciones para participar en un concurso
literario dice: " Podrn participar los alumnos de la escuela o los
familiares de los alumnos"Ins es ta de Pedro y se ha anotado en el
concurso.Mara es alumna de 3er. Ao y se ha anotado.Juan es alumno
de 1er ao y hermano de Sebastin de 3er ao, por lo tanto tambin
participa.En resumen, basta con que se cumpla una de las
condiciones del enunciado, pueden inscribirse.Es decir una
proposicin compuesta con el conectivo o, es verdadera si alguna de
las proposiciones lo es. Definimos el conectivo con una tabla de
verdadDadas dos proposiciones p y q y la proposicin compuesta p o
q, entonces:pqp v q
VVV
VFV
FVV
FFF
En cambio, en las condiciones para jugar ftbol en el club de la
ciudad dice: "Para ser miembro del equipo el postulante debe ser
varn y mayor de 18 aos"Anala tiene 19 aos pero como es mujer no
puede participarJos tiene 17 aos, no puede participar porque es
menorPedro tiene 18 y como es varn ya se ha inscripto.En resumen,
el enunciado que contiene el conectivo y, exige que se cumplan las
dos condiciones, es decir, que sean verdaderas ambas
proposiciones.Definimos mediante una tabla de verdad el conectivo
yDadas dos proposiciones p, q y la proposicin compuesta p y q,
entonces:pqp y q
VVV
VFF
FVF
FFF
2.- Expresiones proposicionales compuestas Sabemos que una
expresin proposicional se transforma en proposicin cuando se
reemplaza la variable por un valor. Por lo tanto, una expresin
proposicional compuesta:1. con el conectivo o ser verdadera cuando
alguna de las proposiciones lo sea.1. Con el conectivo y, ser
verdadera slo cuando todas las proposiciones simples lo sean3.-
Definiremos las operaciones entre conjuntos utilizando las
expresiones proposicionales compuestas:3.1.- UNIN DE
CONJUNTOS:Dados dos conjuntos A y B en un referencial E, se
denomina conjunto unin a otro conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a A o que pertenecen a BEn smbolos:Analice
el conjunto M1 del ejercicio 4 del captulo anterior y escrbalo como
unin3.2.- INTERSECCIN DE CONJUNTOSDados dos conjuntos A y B en un
referencial E, se denomina conjunto interseccin a otro conjunto
formados por los elementos que pertenecen a A y a BEn smbolos:Cul
de los conjuntos del ejercicio 4 del captulo anterior corresponde a
la interseccin de conjuntos?3.3.- DIFERENCIA DE CONJUNTOS3.4.-
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTOAc se lee complemento de AEJERCICIO:Sean
:Hallar los siguientes conjuntos:Captulo 3: Operaciones en el
conjunto de Nmeros NaturalesOPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NMEROS
NATURALES1.-SUMA=14 Los trminos que intervienen en la operacin suma
se llaman sumandos. La palabra suma se utiliza para referirse a la
operacin o al resultadoPropiedades de la suma:1.- La suma es una
ley de composicin interna, es decir , siempre tiene resultado 2.-
La suma es asociativa, es decir , que el resultado no vara si se
realizan sumas parciales3.- La suma es conmutativa, es decir el
orden de los sumandos no altera la suma4.- El cero es un elemento
neutro para la sumaAsociatividadConmutatividadElemento Neutro
abc(a+b)+c = a+(b+c)a + b = b+aa + 0 = a
235
618
974
2.- MULTIPLICACINLa multiplicacin se construye a partir de la
suma, es una suma particular donde todos los sumandos son iguales3
+ 3 + 3 + 3 = 4.3 = (4)(3) a+a+a=3a Los trminos de una
multiplicacin se llaman FACTORES, el resultado de la multiplicacin
se llama PRODUCTO. Indique cules son los factores y cul el producto
en:6.5.7.2=Propiedades del productoComplete el
cuadroAsociatividadConmutatividadElemento Neutro
abc(ab)c = a(bc)ab = baa.1 = a
235
618
974
EJERCICIOSCOMBINANDO OPERACIONES (Idea de Ferragina, Fisichella
y Rey Lorenzo)A) En el juego siguiente Ud. deber formar palabras
utilizando las letras de la palabra gua y luego colocar el puntaje
correspondiente. La letra L en los casilleros significa letra, la
letra P significa palabra. Por ejemplo, cuando una letra de la
palabra que Ud. escribi queda en el casillero que dice 2L, deber
duplicar el valor de la letra. Los valores de stas figuran en la
primera fila entre parntesis. Puede repetir las letras de la
primera fila pero no puede usar
otrasA(2)M(5)I(3)G(7)O(4)S(6)PUNTAJE
12L3L
22P4L
33P
43L3P
GANA EL QUE FORMA CUATRO PALABRAS Y OBTIENE MAYOR PUNTAJE Despus
que un grupo de chicos jug con el tablero anterior encontr este
escrito en un papel: 2.6+3+7++3.2+5+4+6=Puede calcular el puntaje
que hizo ese jugador? Si coloca las palabras en otro orden, se
puede obtener ms puntaje ?
(7+3+4.5+3+4)2=
magias
omiso
3.-LA DIFERENCIAMINUENDO - SUSTRAENDO = DIFERENCIA O
RESTAPROPIEDADES DE LA DIFERENCIANO es conmutativa PORQUE no es
igual a 2-3PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIN RESPECTO A LA
DIFERENCIA3( 6 - 2) = 3.6 - 3.23.4 = 18 - 612 = 124.- EL COCIENTE
DIVIDENDOCOCIENTERESTOEn la divisin se verifica que:DIVIDENDO =
DIVISOR . COCIENTE + RESTOIGUALDADES. ECUACIONES . DESIGUALDADES.
INECUACIONES1.- Toda ecuacin est compuesta por dos miembros
separados por el signo igualLos miembros de una igualdad pueden
conmutarsePRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBROEJEMPLO3 + 7 = 10 o
bien10 = 3+72.- Se llama IDENTIDAD a toda igualdad en la que
figuran incgnitas y que es verdadera para cualquier valor de las
variablesEJEMPLO:a + b = b + c3.- Se llama ECUACIN a toda igualdad
en la que figuran variables y que es verdadera para ciertos valores
de la variableEJEMPLO: 3x = 15x = 5RESOLVER una ecuacin significa
hallar los valores de la variable que la hacen verdaderaDESPEJAR la
variable significa trasponer las constantes a uno de los miembros
de modo que la variable quede aislada en el otro. La transposicin
de trminos se realiza utilizando la propiedad de los elementos
neutros de cada operacin y respetando el orden de las
operaciones.EJEMPLOS2x + 4 = 242x + 4 - 4 = 24 - 42x = 24 - 4(2x)
/2 = 20/2x = 20/2x = 102(x + 4) = 242(x + 4)]/2 = 24/2x = 24/2x + 4
= 12x + 4 - 4 = 12 - 4x = 12 - 4x= 8
En el cuadro anterior se ha remarcado los pasos fundamentales.
Los pasos intermedios pueden hacerse mentalmente
4.- Una desigualdad es una expresin de dos miembros relacionados
por un signo de menor o mayor5.- Una inecuacin es una desigualdad
en la que figuran incgnitasEJERCICIOS:Resolver los siguientes
ejercicios combinando operaciones:Resolver las siguientes
ecuaciones: POTENCIACIONBASE Exponente=POTENCIA43=4.4.4=6441=4La
potenciacin es un caso particular de producto: todos los factores
son igualesEn general: an=a.a....an vecesLa base es el nmero que se
multiplicaEl exponente indica las veces que se multiplica la basean
se lee a elevado a la ene43 se lee 4 a la terceraPROPIEDADES DE LA
POTENCIACIN1. NO ES CONMUTATIVA PORQUE 34 NO ES IGUAL A 431. Es
didtributiva respecto a la producto y al cociente Ejemplo:
(3.2)3=33.321. NO ES DISTRIBUTIVA respecto a la suma y a la
diferencia(3+2)3=53=125 que es distinto a 33+23=9+8=17PRODUCTO DE
POTENCIAS DE IGUAL BASE:El producto de potencias de igual base es
otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la suma de
los exponentes de las potencias dadasEn smbolos:an.am=
am+nEJEMPLO:23.24=23+4=27COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASEEl
cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma
base cuyo exponente es igual a la diferencia entre los exponentes
de las potencias dadasEn smbolos:an:am=
am-nEJEMPLO:25:23=25-3=22EXPONENTE CEROEl exponente cero aparece
cuando dividimos dos potencias iguales:EJEMPLO:24:24=24-4=20Pero,
en este caso estamos dividiendo un nmero por s
mismo24:24=1Luego:20=1CONVENCIN: Todo nmero elevado a la cero da
por resultado 1POTENCIA DE POTENCIALa potencia de otra potencia es
una potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto
de los exponentes dados(an)m= am.n(24)3= (2)12EJERCICIOS Calcule
las siguientes potenciasB) Aplicando las propiedades de potencias
de igual base resuelva:DESCOMPOSICIN DE UN NMERO EN FACTORES
PRIMOSLlamaremos nmero primo a aquel nmero que es divisible por s
mismo y por la unidad.Los nmeros que no son primos se llaman
compuestosTodo nmero natural puede escribirse como producto de
factores primos, diremos que se ha factoreado.Ejemplo:divisores
1802
902
453
153
55
1
Luego :180 = 22325MULTIPLO COMN MINIMO (m.c.m): Dados dos o ms
nmeros factoreados se llama mltiplo comn mnimo al producto de los
factores comunes y no comunes con su mayor exponenteDIVISOR COMN
MXIMO (d.cm): Dados dos o ms nmeros factoreados se llama divisor
comn mximo al producto de los factores comunes con su menor
exponente.Ejemplo:Sea hallar el m.c.m y d.c.m de 180, 150 y
60Descomponiendo esos nmeros en sus factores primos resulta:180 =
22325300 = 22.3.52120 = 23.3.5Luego:mcm (180,150,60 )= 23.32.52 =
600dcm (180,150,120) = 22.3.5 = 60 RADICACINLa radicacin es una
operacin inversa a la potenciacinEn general:Resolviendo
ecuaciones:1) Calcule las siguientes races:PROPIEDADES DE LA
RADICACIN1. No es conmutativa1. Es distributiva respecto al
producto y al cociente1. NO es distributiva ni asociativa respecto
de la suma y de la restaEJERCICIOResuelva las siguientes
ecuaciones7.- LOGARITMACINLOGARITMOSSi pretendemos resolver la
ecuacin
nos encontramos conque no existe ninguna operacin, de las que
conocemos, que nos permita despejar la incgnita. Ello hace
necesario la definicin de una nueva operacin, la
LOGARITMACINIntroduccin a la definicin En el ejemplo anterior, el
valor de equis es 4. Es decir, que la nueva operacin determina
exponentesEl logaritmo de 81 en base 3 es el exponente 4, es decir,
4 es el nmero al que hay que elevar la base 3 para obtener 81
Escribimos:Leemos: logaritmo en base 3 de 81 es igual a 4Es decir:
EL LOGARITMO ES UN EXPONENTEDEFINICINEjemplo: EJERCICIO:Calcular
los siguientes logaritmos utilizando la definicin
Captulo 4: El lenguaje matemticoEn los captulos anteriores habr
observado que, en varias ocasiones hemos agregado la leyenda "se
lee". Esto es sumamente importante para aprender a leer el lenguaje
simblico que se utiliza.Este lenguaje es escrito y es universal
cada uno lo oraliza en lenguaje coloquial en su lengua materna, as
el smbolo 4 se lee cuatro en espaol, four en ingls, etc.Pero con
ese signo estamos definiendo el cardinal de un conjunto.El lenguaje
simblico es especfico, no debe ser ambiguo ni contradictorio, pero
al leerlo no debemos perder de vista la estructura que describe Por
ejemplo:Si escribimos x + 5 = 8,Podemos leer: equis ms cinco es
igual a 8Y esto significa: Busque el nmero al que sumndole cinco d
por resultado 8Es en funcin de este significado que escribimos x =
3Nos plantearemos ahora el problema de traducir del lenguaje
coloquial al lenguaje simblico:Ejemplo:Cul es el nmero cuyo doble
ms 1 es igual a 9? Es obvio que la respuesta se puede calcular
mentalmente en este caso, lo que facilitar el anlisis:Qu buscamos?
Un nmero, esa es la incgnita, xEl doble del nmero 2xEl doble del
nmero ms 1 2x +1El doble del nmero ms 1 es igual a 9 2x + 1 = 9Para
encontrar el nmero buscado resolvemos la ecuacin.LENGUAJE COLOQUIAL
Y LENGUAJE SIMBLICOCompete el cuadroEl doble de un nmero
El triple de un nmero
El siguiente de un nmero
El anterior de un nmero
3x+2
La raz cbica de
El cuadrado del siguiente nmero
X5
El cubo de la suma entre un nmero y tres
El cubo de un nmero ms tres
El duplo de un nmero ms su triplo
La mitad de un nmero ms seis
2x3
La mitad de la suma entre un nmero y ocho
El cubo de la suma de los nmeros
Captulo 5: Conjunto de Nmeros enteros1.- Necesidad de su
creacinEcuaciones del tipo x+5=3 no tienen solucin en el conjunto
de Nmeros NaturalesEsto gener la necesidad de crear un conjunto de
nmeros que diera solucin a la operaciones similares al 3-5.El
conjunto Z de nmeros enteros est formado por los nmeros positivos,
los negativos y el cero.
-3-2-10+1+2+3+4
Llamaremos2.- Mdulo de un entero (valor absoluto)El mdulo de un
nmero es la distancia al cero .La distancia es un nmero positivo3.-
NUMEROS OPUESTOSDos enteros distintos son opuestos si tienen el
mismo mduloLa expresin-x se lee el opuesto de un nmeroSabemos que:
el opuesto de +2 es -2; el opuesto de -6 es +6, aplicando la
expresin que define el opuesto en lenguaje simblico
resulta:EJERCICIO: Expresar por extensin4.- ORDEN EN EL CONJUNTO DE
NUMEROS ENTEROSEn la recta numrica, (ver pgina anterior) la flecha
indica el orden creciente.Ese orden debe mantenerse al agregar los
nmeros negativosDiremos que:1. Dados dos nmeros positivos, es mayor
el de mayor valor positivo1. Dados dos nmeros negativos es mayor el
de menor valor absoluto1. Todo nmero positivo es mayor que cero1.
Todo nmero negativo es menor que ceroAs:EJERCICIO 2Coloque el signo
que corresponda: mayor, menor o igual5.-OPERACIONES EN EL CONJUNTO
DE NMEROS ENTEROSDada la correspondencia entre los nmeros naturales
y los nmeros positivos al definir las operaciones no pueden
contradecirse las definiciones ni las propiedades de ellas sino que
deben ampliarseA.- SUMA ALGEBRAICA:1.1.-Para definir la suma
debemos tener en cuenta que se debe verificar la igualdadDe esta
expresin los matemticos acuerdan una convencin1.2.- Resta o
diferenciaRecordemos que:Resolvemos:EJERCICIO 31.- Realice Las
Siguientes Sumas Algebraicas2.- Resuelva Las Siguientes Ecuaciones
3.- Represente en la recta numrica los siguientes conjuntosB.-
PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROSPor la correspondencia entre los nmeros
naturales y los positivos sabemos queMultiplicar dos por cinco
significa sumar dos veces el cinco. Teniendo en cuenta esta
definicin de producto y que la multiplicacin es conmutativa podemos
calcularPero nos falta encontrar un significado para el producto de
dos nmeros negativos:Sobre la base de estas deducciones
conclumos:EJERCICIO 41.- Resuelva los siguientes productos2.-
Resuelva las siguientes ecuaciones3.- Al trabajar con nmeros
naturales utilizamos un juego para practicar las operaciones. Use
las mismas reglas en cada tablaTABLA 1 (Idea de Ferragina,
Fisichella y Rey Lorenzo)L-2O4Q8U5I-3T1A2S-1PUNTAJE
10L-4L
-2L-2L
4P-3L-L
(-1)P9L-3L2P
ACTIVIDADES PARA REALIZAR CON LA TABLA 1. Indique qu puntaje le
corresponde a la palabra ALQUILAS, en cada fila Escriba el
desarrollo del cada clculo.1. En qu orden colocara las siguientes
palabras para obtener mayor puntaje total: AQUILATO, SOLITAS,
SOLISTA, ILUSOS, ALISTA, SALTITO, ATLAS, TALLOS 1. Escriba el
puntaje como ejercicio que combina operaciones de suma y producto
de enteros y compare resultados.C.- COCIENTE DE NMEROS ENTEROSLa
divisin es la operacin inversa a la multiplicacin. Ud. sabe que,
por ejemplo, 14 dividido 7 es 2 porque 2 por 7 es igual a catorce.
Entonces est en condiciones de realizar las siguientes
divisionesEnuncie la regla de los signosEl cociente de dos nmeros
enteros del mismo signo es......................El cociente de dos
nmeros enteros de distinto signo es......................EJERCICIO
51.- Calcular2.- Hallar xAPLICACIONES1) FACTOR COMNEl clculo del
factor comn es la inversa de la propiedad distributiva de la
multiplicacin con respecto al producto.Dada una suma para calcular
el factor comn se procede as:1. Se determina el d.c.m , llamado
factor comn, de los sumandos1. Se divide cada sumando por el factor
comn, obtenindose los nuevos sumandos1. El resultado es el producto
del factor comn por la suma de los nuevos sumandos obtenidos en el
paso anterior.EXTRAER FACTOR COMNECUACIONES DEL TIPO: ax + b = cx
+dEn la ecuacinVemos que en cada miembro hay un trmino en x y otro
trmino sin x :no es posible sacar factor comn, pero podemos agrupar
los trminos en x en un miembro y los sin x en el otro: as:FORMA
ABREVIADA (pasaje o trasposicin de trminos): El primer paso de la
resolucin y el tercero se pueden realizar mentalmente.Entonces
diremos que el 5 que est sumando pasa al segundo miembro restandoEl
6x que est sumando pasa al primer miembro restando.En el paso 5 el
-4 est multiplicando pasa al otro miembro dividiendo.Recuerde que
en la trasposicin de trminos nunca hay cambio de signos sino cambio
de operacinUtilice el procedimiento anterior para resolver las
siguientes ecuaciones:PROPIEDAD DEL PRODUCTO IGUAL A CEROSi el
producto de varios nmeros es igual a cero entonces alguno de los
factores es igual a ceroEn smbolos:Utilizamos esta propiedad para
resolver ecuaciones:Usando la propiedad anterior resuelva:PRODUCTO
DE LA SUMA DE DOS NMEROS POR SU DIFERENCIAEl producto de dos nmeros
por su diferencia es igual al a la diferencia entre los cuadrados
de dichos nmerosResuelva las siguientes ecuaciones utilizando esta
propiedad: POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NMEROS ENTEROSLa defincin
de potencia es la misma que en los nmeros naturales,
veamos:Complete el cuadro de la regla de los signos de la
potenciaBASEEXPONENTEPOTENCIA
Positivapar
Positivaimpar
Negativapar
Negativaimpar
E.- RADICACINLa radicacin es la operacin inversa a la
potenciacin:Complete:RadicandoIndiceRaz
PositivaparDos races una positiva y otra negativa
Positivaimpar
Negativapar
Negativaimpar
EJERCICIO 7 .....Captulo 6: Conjunto de Nmeros
RacionalesFRACCIONES - NUMEROS RACIONALES La ecuacin:2x=5no tiene
solucin en el conjunto de nmeros enteros. Aplicando las reglas de
resolucin de ecuaciones resulta:El resultado obtenido es una
fraccin: el cociente indicado de dos nmeros
enteros.Llamamos:REPRESENTACIN GRFICA DE LOS NMEROS
RACIONALESCLASIFICACIN DE FRACCIONES1.- Son FRACCIONES EQUIVALENTES
las que representan el mismo punto en la recta numrica. EJEMPLO:2.-
Son fracciones irreductibles aquellas cuyo numerador y denominador
son nmeros coprimos, es decir no tienen divisores
comunes.EJEMPLO:3.- Son fracciones aparentes aquellas cuyo
numerador es mltiplo del denominador. Son nmeros enterosOPERACIONES
CON NMEROS RACIONALES1.- SUMA DE FRACCIONESPara sumar fracciones es
necesario que tengan el mismo denominador. Para reducir fracciones
a comn denominador se procede as:1. Se determina el m.c.m. de los
denominadores de las fracciones. Sumandos1. Se calculan las
fracciones equivalentes con ese denominador de cada
sumandoEJEMPLOS:2.- PRODUCTO DE FRACCIONES El producto de dos o ms
fracciones es otra fraccin cuyo numerador es el producto de los
numeradores de los factores, y cuyo denominador es el producto de
los denominadores de los factoresEJEMPLO3.- INVERSO
MULTIPLICATIVOEl inverso multiplicativo de una fraccin es otra
fraccin tal que multiplicada por la primera da por resultado 1El
inverso multiplicativo de 4.- COCIENTE ENTRE DOS FRACCIONESEl
cociente entre dos fracciones es igual al producto entre el
dividendo y el inverso multiplicativo del divisor5.- POTENCIACION Y
RADICACIN DE FRACCIONESEJEMPLO:POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO
Sabemos que al dividir dos potencias de igual base se obtiene otra
potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la diferencia
entre las potencias dadas.Veamos este caso donde, de la aplicacin
de la regla resulta un exponente negativoAnalicemos el significado
de esta expresin tratando de resolver el ejercicio:Resulta entonces
que:Utilizando esta induccin, definimos:Ejercicio:Calcule las
siguientes potenciasTRABAJO PRCTICOA) COMPLETE Y RESUELVA
Fracciones equivalentes2.- Suma algebraica3.- Calcular4- Resolver
las siguientes ecuaciones5.- Problemas El doble de un nmero ms un
medio es 16 Cul es el nmero? Los dos tercios de un nmero ms 1 es
igual a cinco cuartos. Cul es el nmero? Se tiene un patio de 12 m
por 4m. Se quieren embaldosar los dos tercios del patio Cuntos m2
quedarn sin embaldosar? Le hicimos un regalo a mi sobrino que cost
$ 150.- Yo pagar un quinto del total, mi hermanados tercios y mi
mam el resto Cunto pagar cada una? Un tanque se llena en 6 hs. si
se utiliza una canilla de las dos que tiene conectadas. Si se
utiliza slo la otra se llena en 3 hs. En cunto tiempo se llenar
utilizando las dos simultneamente? Capitulo 7: Nmeros
Irracionales1.- Nos planteamos un problema:Como calcular x?Si
aplicamos la propiedad de producto de potencias de igual base,
factoreando previamente el 4, resulta:Pero adems es:Entonces
:Tambin se verifica que:Pero::Luego:Teniendo en cuenta esta
induccin, definimos:Potencia de exponente fraccionario:Captulo 9:
NMEROS COMPLEJOS1. LA UNIDAD IMAGINARIAEcuaciones del tipo
Conjuntos numricos
1) N = Conjunto de los Nmeros NaturalesN = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7,.......}El conjunto de los Nmeros Naturales surgi de la necesidad
de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus
inicios.Este conjunto se caracteriza porque:Tiene un nmero
ilimitado de elementosCada elemento tiene un sucesor y todos,
excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un nmero natural se obtiene sumando uno (+1); el
antecesor se obtiene restando uno (-1).2) N* = N0 = Conjunto de los
Nmeros CardinalesN 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}Al Conjunto de
los Nmeros Naturales se le agreg el 0 (cero) y se forma el Conjunto
de los Nmeros Cardinales. 3) Z = Conjunto de los Nmeros EnterosZ =
{ ..... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}El Conjunto de los Nmeros Enteros
surge de la necesidad de dar solucin general a la sustraccin, pues
cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustraccin no
tiene solucin en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo:
5 20 = ?). Debido a esto, la recta numrica se extiende hacia la
izquierda, de modo que a cada punto que representa un nmero natural
le corresponda un punto simtrico, situado a la izquierda del cero.
Punto simtrico es aquel que est ubicado a igual distancia del cero
(uno a la derecha y el otro a la izquierda de l).Z = N* U Conjunto
de los Nmeros Enteros negativosZ = Tiene 3 Subconjuntos:Enteros
Negativos: Z Enteros Positivos: Z +Enteros Positivos y el Cero: Z
0+Por lo tanto, el Conjunto de los Nmeros Enteros es la unin de los
tres subconjuntos mencionados.Z = Z U {0} U Z +4) Q = Conjunto de
los Nmeros RacionalesQ = {....- , - , - , 0, , , ,.....} El
conjunto de los Nmeros Racionales se cre debido a las limitaciones
de clculo que se presentaban en el conjunto de los Nmeros
Naturales, Nmeros Cardinales y Nmeros Enteros. Por ejemplo, slo se
puede dividir en el conjunto de los Nmeros Enteros si y slo si el
dividendo es mltiplo, distinto de cero, del divisor. Para
solucionar esta dificultad, se cre este conjunto, el cual est
formado por todos los nmeros de la forma a / b. Esta fraccin en la
cual el numerador es a, es un nmero entero y el denominador b, es
un nmero entero distinto de cero. (Ver: Fracciones) El conjunto de
los Nmeros Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto
de los Nmeros Enteros (Z). Se expresa por comprensin como:Q = { a /
b tal que a y b Z; y b 0 }Este conjunto se representa grficamente,
dividiendo cada intervalo de una recta numrica en espacios iguales,
que representen nmeros enteros. Cada una de estas subdivisiones
representa una fraccin con denominador igual al nmero de partes de
la subdivisin. Cada fraccin es un nmero racional y cada nmero
racional consta de infinitas fracciones equivalentes.5) I = Q* =
Conjunto de Nmeros IrracionalesI = Conjunto de Nmeros Decimales
Infinitos no PeridicosEste conjunto surgi de la necesidad de reunir
a ciertos nmeros que no pertenecen a los conjuntos anteriores;
entre ellos se pueden citar a las races inexactas, el nmero Pi,
etc. A l pertenecen todos los nmeros decimales infinitos puros, es
decir aquellos nmeros que no pueden transformarse en una fraccin.
No deben confundirse con los nmeros racionales, porque stos son
nmeros decimales finitos, infinitos peridicos e infinitos
semiperidicos que s pueden transformarse en una fraccin.Ejemplos:
1,4142135....0,10200300004000005.... Conjuntos por extensin y
compresinExtensin: el conjunto que enumera uno a uno todos los
elementos.
Ej: A= (a, e, i, o, u)
Comprensin: el conjunto que determina las propiedades que
caracterizan a todos los elementos.
Ej: R= nmeros pares menores que 20.
Los ConjuntosVN:F [1.9.11_1134]espera un momento...Rating: 3.9/5
(29 votes cast)Un conjunto es una agrupacin de objetos, que poseen
alguna caracterstica en comn. Pero no slo nos referimos a cosas
fsicas, como lpices, libros, calculadoras, etc., sino tambin a
elementos abstractos como nmeros letras, entre otros.A los objetos
se les llama elementos del conjunto.Si tenemos el siguiente
conjunto:C = {1, 2, 3, 4}, decimos que los elementos del conjunto C
son los nmeros: 1, 2, 3 y 4.Con frecuencia, utilizamos letras
maysculas A, B, C para designar al conjunto, y letras minsculas a,
b, c, d. para referirnos a los elementos que forman parte de ese
conjunto. Todos los conjuntos se escriben entre llaves
{}.Determinacin de un ConjuntoLos conjuntos pueden definirse por
extensin o por comprensin.ExtensinSe escriben los elementos que
forman parte del conjunto, uno por uno separados por una coma y
entre parntesis de llaves.C = {norte, sur, este,
oeste}ComprensinDecimos que un conjunto es determinado por
comprensin, cuando se da una propiedad que se cumpla en todos los
elementos del conjunto y slo ellos.C = {x / x es un punto
cardinal}Y se lee de la siguiente manera: C es el conjunto de todos
los elementos x, tal que x es uno de los puntos
cardinales.Ejemplos: A = { x/x es una consonante} B = { x/x es un
nmero impar menor que 10} C = { x/x es una letra de la palabra
feliz}Para definir un conjunto por compresin, es necesario saber
algunos smbolos matemticos:1. < menor que2. > mayor que3. /
tal que4. ^ yDecimos que dos conjuntos son iguales, slo si
contienen los mismos objetos.Ejemplo: A = { a, e, i, o, u } A = {
a, e, i, o, u, a} C = {x / x es una vocal}Como se puede ver, los
tres conjuntos (A, B y C) son iguales, por lo que podemos darnos
cuenta que podemos describir un mismo conjunto de diferentes
maneras.Ejemplos por ExtensinEjemplos por Comprensin
A = { a, e, i, o, u}A = { x/x es una vocal }
B = { 1, 3, 5, 7, 9}B = { x/x es un nmero impar menor que 10
}
D = { f, e, l, i, z}D = { x/x es una letra de la palabra feliz
}
E = { b, c, d, f, g, h, j, k . . . }E = { x/x es una consonante
}
G = {venus, marte,}G = {x/x es un planeta}
Relacin entre ConjuntosUn elemento puede pertenecer o no a un
conjunto dado.Para sealar se un elemento pertenece a un conjunto se
usa el smbolo y, para decir que no pertenece el smbolo .Ejemplo:Sea
A = { a, e, o, u } a A se lee: a pertenece al conjunto A i A se
lee: i no pertenece al conjunto AUn conjunto puede ser o no
subconjunto de otroUn conjunto A es subconjunto de B (o est
incluido en B), si todos los elementos de A pertenecen a B.Notacin:
A B; se lee: A es subconjunto de BTipos de conjuntosConjunto VacoEs
el que no posee elementos. Tambin se le llama conjunto nulo.
Generalmente se le representa por los smbolos: { }B = B = { } se
lee: B es el conjunto vaco B es el conjunto nuloConjunto UnitarioEs
el que tiene un nico elementoConjunto UniversoSe llama as al
conjunto formado por todos los elementosEjemploU = {a, e, i, o,
u}A={a, e}B={a, i, o, u}Conjunto FinitoSe llama as al conjunto al
cual podemos nombrar su ltimo elementoEjemplo: D ={x/x es da de la
semana}Es finito porque sabemos cules son todos los das de la
semana.Conjunto InfinitoSe denomina as, ya que no podemos nombrar
su ltimo elemento.Conjuntos disjuntosSon aquellos que no poseen
ningn elemento comn.Operaciones de Conjuntos1.- InterseccinA C= Es
el conjunto formado por los elementos comunes de A y C2.- UninB A =
Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a B
como a A3.- DiferenciaA D = Conjunto formado por todos los
elementos de A que no pertenecen a D4.- ComplementoB = Es el
conjunto formado por todos los elementos del universo, que no
pertenecen a B