EL CASO DE FERMAT CALCULO DIFERENCIAL
EL CASO DE FERMAT
CALCULO DIFERENCIAL
INTRODUCCION
ESTE TEMA TRATA ACERCA DE QUE PODEMOS OBTENER UNA RECTA SECANTE
MEDIANTE EL INCREMENTO Y EL PUNTO FIJO DADO POR NOSOTROS.
ADEMAS DE QUE AL OBTENER VARIAS RECTAS SECANTES ESTAMOS
OBTENIENDO UNA RECTA TANGENTE, Y PUES ESTO SE OBTIENE MEDIANTE LA
FORMULA DE FERMAT DEBIDO AL NOMBRE DE PIERRE DE FERMAT.
METODO DE FERMAT
“LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA ES IGUAL AL LIMITE DE LAS PENDIENTES DE LAS RECTAS SECANTES CUANDO h TIENDE A CERO”
SU FORMULA ES LA SIGUIENTE:
𝑚𝑡𝑔 = limℎ→0
𝑚𝑠
DONDE 𝑚𝑠 SE OBTIENE DE:
𝑚𝑠 =𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
YA QUE:
𝑥0, 𝑓(𝑥0) : SON LAS COORDENADAS DEL PUNTO FIJO
𝑥, 𝑓 𝑥 : SON LAS COORDENADAS DEL PUNTO MOVIL
ℎ = 𝑥 − 𝑥0𝑥 = ℎ + 𝑥0𝑥0 = 𝑥 − ℎ
OBTENER LA RECTA SECANTE DE LA
FUNCION 𝑦 = 𝑥2
ANTES DE OBTENER LA RECTA SECANTE DEBEMOS DE TENER LOS DATOS
SIGUIENTES:
𝑦 = 𝑥2
X, Y COORDENADAS
0 0 (0,0)
1 1 (1,1)
2 4 (2,4)
3 9 (3,9)
-1 1 (-1,1)
-2 4 (-2,4)
-3 9 (-3,9)
LLAMAMOS PUNTO FIJO AL PUNTO QUE SE QUEDARA EN LA FUNCION
COMO EN EL EJEMPLO NO ESPECIFICA POR CUAL COORDENADA SERA PARA UTILIZAR EL PUNTO FIJO, NOSOTROS CREAREMOS UNO, Y PARA ELLO SOLO NOS BASTA CON ELEGIR UNA
COORDENADA CUALQUIERA DE LAS QUE LA GRAFICA PERTENECE; COMO ES EJEMPLO UTILIZAREMOS LA COORDENADA [3,9].
ESA COORDENADA REPRESENTARA EL PUNTO FIJO
𝑥0, 𝑓(𝑥0)
[3,9]
COMO VEMOS AHÍ:
𝑥0 = 3𝑦0 = 𝑓 𝑥0 = 9
h es el incremento de x (∆x), por lo tanto “h” le podemos asignar un numero cualquiera. Como ejemplo le daremos que a h=2 y realizaremos la siguiente operación:
ℎ = 𝑥 − 𝑥02 = 𝑥 − 32 + 3 = 𝑥5 = 𝑥
Solo obtuvimos la abscisa del punto móvil, solo nos falta la ordenada y esa la obtenemos de la función dada en el ejemplo, es decir:
𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 5 2
𝑦 = 25
ASI QUE LA COORDENADA PARA EL PUNTO MOVIL ES: (5,25)
AL MARCAR EL PUNTO FIJO Y EL PUNTO MOVIL,
UNIMOS LOS PUNTOS Y OBTENEMOS LA RECTA
SECANTE:
OBTENIENDO LA FORMULA PARA TENER MAS
RECTAS TANGENTES A PARTIR DEL PUNTO FIJO,
DESCONOCIENDO EL INCREMENTO:
RECORDANDO LOS DATOS:
𝑥0, 𝑓(𝑥0)𝑥0 = 3 𝑦0 = 𝑓 𝑥0 = 9
𝑥 = ℎ + 𝑥0𝑥 = ℎ + 3
SUSTITUYENDO LOS DATOS:
𝑚𝑠 =𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0
𝑥 − 𝑥0=𝑓 𝑥 − 𝑓 3
𝑥 − 3=𝑓 ℎ + 3 − 𝑓 3
ℎ + 3 − 3=𝑓 ℎ + 3 − 𝑓 3
ℎ
𝑚𝑠 =(ℎ + 3)2 − 3 2
ℎ
=(ℎ + 3)2 − 9
ℎ=ℎ2 + 6ℎ + 9 − 9
ℎ=ℎ2 + 6ℎ
ℎ
𝑚𝑠 = ℎ + 6
𝑚𝑡𝑔 = limℎ→0
𝑚𝑠 = limℎ→0
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0𝑥 − 𝑥0
= limℎ→0
𝑓 ℎ + 𝑥0 − 𝑓 𝑥0ℎ
= limℎ→0
ℎ + 𝑥02 − 𝑥0
2
ℎ
= limℎ→0
ℎ2 + 2ℎ𝑥0 + 𝑥02 − 𝑥0
2
ℎ= lim
ℎ→0
ℎ2 + 2ℎ𝑥0ℎ
= limℎ→0
ℎ + 2𝑥0 = 0 + 2𝑥0
𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0
𝑥 = ℎ + 𝑥0
𝑥 − 𝑥0 = ℎ
𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0
ESTA ES LA FORMULA PARA CALCULAR LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
DE LA FUNCION y = 𝑥2 PARA USAR UN PUNTO FIJO 𝑥0, 𝑓(𝑥0) CUALQUIERA.
RECORDANDO LA TABLA, COMO EJEMPLO, USAREMOS LAS COORDENADAS
(3,9) Y (1,1).
𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0 PARA (3,9), ENTONCES:
𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0 = 2 3 = 6
𝑚𝑡𝑔 = 6
Y
𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0 PARA (1,1), ENTONCES:
𝑚𝑡𝑔 = 2𝑥0 = 2 1 = 2
𝑚𝑡𝑔 = 2
Y SI QUIERES SABER QUE ANGULO TIENEN SE HACE LO SIGUIENTE:
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑚𝑡𝑔 = 6
𝑚𝑡𝑔 = tan𝛼 = 6
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 tan 6 = 80.5376°𝛼 = 80.5376°
𝑃𝐴𝑅𝐴 𝑚𝑡𝑔 = 2
𝑚𝑡𝑔 = tan𝛼 = 2
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 tan 2 = 63.4349°𝛼 = 63.4349°
GRAFICA DE LA FUNCION 𝑦 = 𝑥2 CON
2 RECTAS TANGENTES Y SUS 2 PUNTOS
FIJOS DADOS
𝛼 = 80.5376°
𝛼 = 63.4349°