-
C A P I T U L O
El campo eléctrico
Conceptos---- e n -----contexto
■* •
C O N C E P T O S EN C O N T E X T OEl rayo es un resultado
visual espectacular de las fuerzas eléctricas generadas por la
distribución de cargas en una nube de tormenta. Las fuerzas
eléctricas aceleran los electrones hasta alcanzar grandes
velocidades; los electrones ionizan los átomos y el resultado es
una avalancha de cárgas en movimiento: un rayo. En este capítulo se
presentará el campo eléctrico, que es la fuerza eléctrica por
unidad de carga.
Con éste y otros conceptos que se desarrollan aquí, será posible
resolver preguntas como las siguientes:
? ¿Cuál es la distribución aproximada de cargas en una nube de
tormenta, y cuál es el campo eléctrico que se produce a cierta
distancia de la nube? (Ejemplo 2, página 725)
? ¿Cómo afecta la distribución de cargas en una nube de tormenta
a la distribución de cargas en el suelo (conductor) debajo de la
nube? ¿Cuál es el campo eléctrico resultante en el nivel del
terreno? (Ejemplo 3, página 727)
23.1 Campo eléctrico de cargas puntuales
23.2 Campo eléctrico de distribuciones continuas decarga
23.3 Líneas de campo eléctrico23.4 Movimiento en un campo
eléctrico uniforme23.5 Dipolo eléctrico en un
campo eléctrico
721
-
722 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
? ¿Cuál es la fuerza eléctrica sobre un electrón, en el nivel
del terreno? ¿Cuál es la aceleración resultante de los electrones?
(Ejemplo 4, página 728)
Hasta ahora se ha adoptado la idea de que las fuerzas
gravitacionales y las fuerzas eléctricas entre partículas son
acción a distancia, es decir, una partícula ejerce una fuerza
gravitacional o eléctrica directa sobre otra partícula, aun cuando
las partículas estén muy separadas. Esa interpretación de las
fuerzas gravitacionales y eléctricas, como un fantasmal “estira y
afloja” entre cuerpos distantes, es sugerida por la ley de la
gravitación de Newton, y la ley de Coulomb. Sin embargo, de acuerdo
con las ideas modernas, hay una entidad física que funciona como
mediador de la fuerza, transportándola
campo a la distancia que hay entre un cuerpo y el otro. A esta
entidad se le llama campo. Uncuerpo gravitante, o con carga
eléctrica, genera un campo gravitatorio o eléctrico, que permea el
espacio (aparentemente vacío) que lo rodea, y este campo ejerce
presión o atracción siempre que entra en contacto con otro cuerpo.
Así, los campos transfieren las
acción por contacto fuerzas de un cuerpo a otro mediante acción
local o acción por contacto.En este capítulo se hablará del campo
eléctrico que transporta la fuerza eléctrica de
un cuerpo a otro. Primero se examinará el campo eléctrico debido
a una carga puntual. Después, usando una superposición de campos
eléctricos semejante a la de las fuerzas eléctricas, se examinará
el campo eléctrico generado por varias cargas puntuales, y por
distribuciones continuas de cargas. También se presentará el útil
concepto de líneas de campo eléctrico. Por último, se examinará el
movimiento que se produce cuando el campo eléctrico actúa sobre una
carga.
O?
Cuando q' se acerca a q, la fuerza eléctrica aumenta.
Los cambios de la fuerza eléctrica no pueden propagarse a mayor
velocidad que la de la luz.
FIGURA 23.1 Una perturbación emana de la carga q y llega a la
carga q.
campo eléctrico
23.1 CAMPO ELÉCTRICO DE CARGAS PUNTUALES
De acuerdo con una interpretación simplista de la ley de
Coulomb, las fuerzas eléctricas entre cargas son una acción a
distancia; esto es, una carga q' ejerce una fuerza directa sobre
una carga q, aun cuando esas cargas estén a una gran distancia
entre sí, y no se toquen. Sin embargo, esa interpretación de las
fuerzas eléctricas con acción a distancia lleva a dificultades
serias, en el caso de las cargas en movimiento. Supóngase que de
pronto se mueve la carga q acercándola un poco a la carga q\
entonces, debe aumentar la fuerza eléctrica sobre q, de acuerdo con
la ley del inverso del cuadrado. Pero el aumento necesario no puede
suceder en forma instantánea; se debe considerar como una señal de
q' a y, y un principio fundamental de la física, basado en la
teoría de la relatividad, es que ninguna señal puede propagarse con
mayor rapidez que la velocidad de la luz. Eso parece indicar que,
cuando de pronto se mueve la carga q ', cierta clase de
perturbación física se propaga a través del espacio, de y' a q y
ajusta la fuerza eléctrica al valor nuevo, aumentado (véase la
figura 23.1). Por lo anterior, las cargas ejercen fuerzas entre sí
mediante perturbaciones que se generan en el espacio que las rodea.
Esas perturbaciones se llaman campos eléctricos.
Los campos son una forma de materia: están dotados de energía y
cantidad de movimiento (como se verá en el capítulo 33), por lo que
existen en un sentido material. En el contexto del ejemplo anterior
es fácil ver por qué la perturbación, o campo, generado por el
desplazamiento súbito de q debe portar cantidad de movimiento:
cuando en forma repentina se mueve q hacia q, el aumento de la
fuerza que ejerce q' sobre q se demora hasta que una señal, que
contiene la información sobre la posición cambiada de q ', haya
tenido tiempo de propagarse desde q'. Pero el aumento en la fuerza
que ejerce q sobre q no sufre una demora similar. Como no se ha
movido a q, no se ha perturbado la forma en la que q causa fuerzas
eléctricas sobre otras cargas, de acuerdo con la ley de Coulomb.
Esta desviación temporal entre las fuerzas que ejerce q' sobre q, y
q sobre
-
72323.1 Campo eléctrico de cargas puntuales
q significa que, cuando sólo se consideran los campos, falla la
tercera ley de Newton, del equilibrio entre acción y reacción. De
este modo se necesita una entidad adicional, como el campo, para
tomar la cantidad de movimiento y la energía faltantes de las
partículas.
Aunque el argumento anterior, sobre la existencia del campo
eléctrico, surgió al considerar cargas en movimiento, ahora se
adoptará la posición, muy natural, de que las fuerzas sobre las
cargas en reposo implican el mismo mecanismo. Se supondrá que cada
carga en reposo genera una perturbación permanente, estática, en el
espacio que la rodea, y que esa perturbación ejerce fuerzas sobre
otras cargas cuando interaccionan con la perturbación. Así, se
adoptará la idea de que la interacción eléctrica entre las cargas
es una acción por contacto: una carga q' genera un campo eléctrico
que permea el espacio que la rodea, y ejerce fuerzas sobre todas
las demás cargas con las que interaccione. El campo eléctrico sirve
de mediador entre las fuerzas, de acuerdo con el esquema
siguiente:
carga q => campo eléctrico de la carga q' => fuerza sobre
la carga q
Para traducir este esquema conceptual al lenguaje matemático, se
comenzará con la ley de Coulomb, para la fuerza que ejerce la carga
q sobre la carga q\
„ 1F = -----—:r-477e0 /
y se separa la expresión en un producto de dos factores: un
factor q, característico de la carga puntual sobre la cual se
ejerce la fuerza, y un factor q '/ r 2, característico de la carga
puntual que ejerce la fuerza a la distaficia r. También se incluirá
la constante de proporcionalidad, l/47re0, en el segundo factor;
entonces la ecuación de la fuerza se transforma en
F = q X (23.1)
El segundo factor se define como el campo eléctrico generado por
la carga puntual q'\ este campo eléctrico se representará con E
:
1 q4tre0 r2
(23.2)
FIGURA 23.2 Una carga q genera un campo eléctrico E a la
distancia r. La dirección de ese campo eléctrico es a lo largo de
la línea radial.
campo eléctrico de una carga puntual
Esto indica que la magnitud del campo eléctrico de la carga
puntual q' es directamente proporcional a la magnitud de esa carga,
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. La fuerza
que ejerce ese campo eléctrico sobre la carga q es entonces,
F = qE (23.3)
Al igual que la fuerza, el campo eléctrico es un vector que se
puede representar por una flecha (véase la figura 23.2). La
dirección del campo eléctrico depende del signo de la carga q '. E
l campo eléctrico se aleja radialmente de q', si q es positiva, y
se acerca radialmente hacia q', si q es negativa. En lenguaje
vectorial, la fuerza sobre la carga q es
F = qE (23.4)
Con este caso especial del campo eléctrico sobre una carga
puntual como guía, se podrá definir el campo eléctrico para el caso
general de una distribución arbitraria de carga, como la
distribución de cargas en una nube de tormenta, o la distribución
de cargas en una línea de transmisión eléctrica. Para calcular el
campo eléctrico que genera la
-
724 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
campo eléctrico y fuerza eléctrica
newton entre coulomb (N/C)
TABLA 23.1 ALGUNOS CAMPOS ELÉCTRICOS
En la superficie de un pulsar ~ 1014 N/C
En la órbita del electrón en el átomo de hidrógeno 6 X 10n
En un tubo de rayos X 5 X 106
Rompimiento eléctrico del aire 3 X 106
En un acelerador Van de Graaff 2 X 106
Dentro de un rayo ~ 104
Bajo una nube de tormenta 1 X 104
Cerca de un transmisor de radar (FPS-6) 7 X 103
En la luz solar (rms) 1 X 103
En la atmósfera (buen tiempo) 1 X 102
En el haz de un láser pequeño (rms) 1 X 102
En un tubo de alumbrado fluorescente 10
En una onda de radio = 1 0 '1
Dentro del cableado doméstico = 3 X 1—*
o 1 to
distribución de cargas en determinado punto se tomará una carga
puntual q (una “carga de prueba”) y se colocará en esa posición.
Entonces, la carga q recibirá una fuerz. eléctrica F. Al dividir la
carga q se aísla el factor característico de la distribución de la
carga, y se elimina el factor característico de la carga de prueba.
Se define entonce^ el campo eléctrico E como la fuerza F dividida
entre la magnitud q de la carga:
FE = - (23.51
fEsto quiere decir que el campo eléctrico es la fuerza por
unidad de carga. Se observ. que con esta definición, el campo
eléctrico es independiente de la magnitud de la carga de prueba. El
campo eléctrico es un concepto muy útil: para determinada
distribución de carga, en lugar de calcular la fuerza que ejercen
las cargas sobre otra carga q er algún punto (que podría ser
distinto para diferentes valores de q), el campo eléctric nos
indica la fuerza por unidad de carga sobre cualquier carga colocada
en ese punte Así, el campo eléctrico E depende de las magnitudes y
las posiciones de las cargas que producen el campo eléctrico, pero
no depende de la magnitud de la carga de prueba que se usó para
detectarlo.
La unidad SI del campo eléctrico es el newton entre coulomb
(N/C).* La tabla 23. muestra las magnitudes de algunos campos
eléctricos específicos.
E l campo eléctrico generado por cualquier distribución de
cargas puntuales se puede calcu larformando la suma vectorial de
los campos eléctricos individuales debidos a las cargas puntuales,
y cada campo eléctrico individual se define con la ecuación (23.2).
El principi de superposición de fuerzas eléctricas, enunciado en la
sección 22.3, es el que justific este procedimiento. Así, para
calcular el campo eléctrico total en algún punto en e espacio, tan
sólo se suman los vectores individuales [cuyas magnitudes se
determina: con la ecuación (23.2), y las direcciones son desde las
cargas positivas, o hacia las carga negativas].
* Como se verá en el capítulo 25, newton/coulomb es lo mismo que
volt/metro.
-
23.1 Campo eléctrico de cargas puntuales 725
EJEMPLO 1 Se tienen dos cargas de magnitudes iguales y signos
contrarios, ± Q, separadas por una distancia d. Este arreglo de
cargas, similar a las que ejercen la fuerza del ejemplo 6, capítulo
22, se llama dipolo eléctrico. Calcular el campo eléctrico en un
punto equidistante a las dos cargas, a una distancia x de su punto
medio (véase la figura 23.3). ¿Cuál es la dependencia entre este
“campo dipolar” y la distancia, para x » d}
SOLUCION: La magnitud de cada uno de los dos campos eléctricos
individuales es E 1 = E 2 — (1 /47re0) Q /r2, siendo r = \ / x +
(d/2)2.En el punto P, el campo eléctrico debido a la carga + Q
apunta alejándose de ella, y el campo eléctrico debido a la carga
—Q apunta hacia ella, como se ve en la figura 23.3. Como en la
solución del ejemplo 6, capítulo 22, los componentes x del campo
eléctrico en el punto P de la figura 23.3 se anulan, y los
componentes y son iguales, dando como resultado
E = E v = — 2 £ j eos 6 =
1 Qd
Q d/24tre0 x2 + d2¡4 V * 2 + d2/A
(23.6)
477e0 (x2 + d2/ 4)3/2
Cuando * » d, pierde importancia d1, en comparación con x 2, y
queda
E = — ----- ^ r47re,
Qd3o X
COMENTARIOS: Se observa que, como ya se calculó la fuerza sobre
q debida a las cargas ± Q en el ejemplo 6 del capítulo 22, este
problema también podría resolverse usando la definición E = F /q y
obtener el mismo resultado. También se debe tomar en cuenta que
para grandes distancias, la dependencia entre el campo dipolar y la
distancia es.E l / x 3. Sucede que este comportamiento \ / x es
característicodel campo dipolar eléctrico a grandes distancias en
cualquier dirección, y no sólo a lo largo de la mediatriz. Por
último, nótese que aquí se ha calculado el campo generado por un
dipolo eléctrico, esto es, el campo que actuaría sobre una tercera
carga, cuando se colocara cerca del dipolo. Después, en la sección
23.5, se examinará la respuesta de un dipolo eléctrico a un campo
externo. Debe tenerse cuidado en no confundir estos dos casos.
EJEMPLO 2
/
i
La distribución de las cargas eléctricas en una nube de tormenta
puede aproximarse más o menos mediante varias cargas de partículas
puntuales colocadas a diferentes alturas. La figura 23.4« muestra
una distribución aproximada de cargas, que consiste en una carga de
+40 C a 10.0 km de altura, y una carga de -30 C a 4.0 km de altura,
en la nube. ¿Cuáles son los componentes horizontal y vertical del
campo eléctrico producido por esas dos cargas, en un punto P a 10.0
km de altura, y a una distancia horizontal de 6.0 km a la derecha?
¿Cuál es la magnitud de este campo en ese punto?
SOLUCION: En el punto P, la carga Q, = +40 C produce un campo
eléctrico que se aleja de ella, y la carga Q2 = -30 C produce un
campo eléctrico que se dirige hacia ella. El campo eléctrico neto
es la suma vectorial de esos dos campos eléctricos
individuales.
FIGURA 23.3 Dos cargas puntuales, —Q y + Q, y un punto P en el
eje x. El campo eléctrico neto E en el punto P es la suma vectorial
de las aportaciones de Ej, debido a -Q, y de E2, debido a + Q.
Conceptos---- en -----contexto
-
726 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
a) b)
FIGURA 23.4 a) Distribución de cargas positivas y negativas en
una nube de tormenta. b) El campo eléctrico neto es la suma
vectorial de los campos eléctricos individuales, E j y E 2.
Si h representa la diferencia de las alturas de las cargas, y
¡/la distancia horizontal despunto P, entonces las distancias
radiales de las cargas Ql y Q2 a. P son d \ V 7 + /b2
respectivamente. De acuerdo con la ecuación (23.2), las magnitudes
de los dos campos eléctricos individuales son
r i Qi „ i IG2I£ , = --------- ^ y E 2 =47 T€q d 3 47re0 d 2 +
h2
Se observa, en la figura 23.4/’, que los componentes
horizontales (componentes x de los dos campos eléctricos
individuales son E l y —E 2 eos 6, y que los componente- verticales
(componentes y) son 0 y —E 2 sen 0, respectivamente. De este modo
se obtienen los siguientes componentes del campo eléctrico
neto:
47renGi I62|
d2 + h2eos 6
Ey = -1 IG2
47te0 d2 + h2sen 6
Para este ejemplo, d = h = 6.0 km, y entonces 0 = 45°; así,
40 C 30 CE x = (9.0 X 109 N • m2/C 2)
= 7.3 X 103 N /C
(6.0 X 103 m)2 2 X (6.0 X 103 m)2■ eos 45°
E = - (9 .0 X 109 N • m2/C 2) ---------- 3° C .---- r3 2 X (6.0
X 103 m)2
= - 2 .7 X 103 N /C
l 45°
-
23.1 Campo eléctrico de cargas puntuales 727
Entonces, la magnitud del campo eléctrico es
E = V e 2x + E ] = V(7.3 X 103 N /C )2 + (-2 .7 X 103 N /C
)2
= 7.8 X 103 N /C
EJEMPLO 3 Considérese a la distribución de cargas en la nube de
tormenta, en el ejemplo 2. Para calcular el campo eléctrico total
se debe
tener en cuenta que la tierra es un conductor, y que las cargas
en la nube inducen cargas en el terreno. Se puede demostrar que el
efecto'de la carga inducida por una carga puntual sobre el suelo se
puede simular con una carga puntual opuesta a la misma distancia
bajo tierra; esas cargas ficticias se llaman cargas imagen. La
distribución resultante de cargas se ve en la figura 23.5. Sumando
los campos eléctricos debidos a las cargas reales en la nube de
tormenta, y los debidos a las cargas imagen, calcular el campo
eléctrico en un punto sobre el terreno, directamente debajo de las
cargas de la nube.
SOLUCIÓN: En el suelo, el campo eléctrico debido a la carga de
-30 C en la nube de tormenta se dirige hacia arriba, hacia esa
carga negativa; el campo eléctrico debido a la carga de +30 C
debajo del terreno se dirige también hacia arriba, alejándose de
esa carga imagen positiva. Las cargas están, cada una, a 4.0 km del
suelo, por lo que esas dos contribuciones al campo eléctrico tienen
igual magnitud, y ambas se dirigen hacia arriba; se adoptará esa
dirección como la dirección de y positiva. Por consiguiente, la
suma es el doble de una contribución individual:
, _ 2 x J _ MV 3° c 2 X 47TeQ ¿ 2 X (9.0 X 109 N • m2/C 2)
30 C(4 .0 X 103 m )2
= +3.4 X 104 N /C
El campo eléctrico en el suelo, debido a la carga de +40 C en la
nube, se dirige hacia abajo, alejándose de esa carga positiva, y el
campo eléctrico debido a la carga imagen de -40 C debajo del
terreno también es hacia abajo, dirigida hacia esa carga negativa.
Estas cargas están a 10 km del suelo, por lo que de nuevo las dos
contribuciones al campo eléctrico tienen magnitudes iguales, pero
ahora tienen la dirección de y negativa. Por consiguiente,
->±40 C = - 2 Xi \Q\
4776,0 r= - 2 X (9.0 X 109 N -m 2/C 2)
40 C(1.0 X 104 m)2
= -7 .2 X 103 N /C
Ya que cada uno de los pares de cargas, de ±30 C y ±40 C, es un
dipolo eléctrico, también se podrían obtener esos resultados
evaluando la ecuación (23.6) del ejemplo 1, directamente entre cada
par de cargas, en x = 0. En cualquier caso, el campo eléctrico neto
en el suelo, directamente debajo de las cargas en la nube, es
Ey = £y±so c + Ey*40c = +3.4 X 104 N /C - 7.2 X 103 N /C
= +2.7 X 104 N /C
El resultado positivo indica que el campo eléctrico neto se
dirige verticalmente hacia arriba.
Conceptos---©n---contexto
carga imagen
a)
Las cargas en la nube de tormenta...
O “ 30 C
...inducencargas imagen en el terreno conductor... terreno
O ±30 C
...que se puede simular concargas imagen debajo del terreno. -4
0 C
b)
En el suelo, las contribuciones de campo eléctrico debidas a
cargas de ±30 C son hacia arriba...
YE+30C E -3 0 C
E+40CJ J E —40C
l.. .y las debidas a las cargas de ±40 C son hacia abajo.
FIGURA 23.5 a) Cargas en una nube de tormenta y cargas imagen
debajo del terreno, b) Contribuciones al campo eléctrico en el
nivel del terreno.
-
728 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
FIGURA 23.6 El campo eléctrico E, hacia arriba, ejerce una
fuerza F hada abajo, sobre el electrón.
EJEMPLO 4 Un electrón está cerca del suelo, directamente debajo
de gas en la nube de tormenta del ejemplo 3; el campo neto es de
2.7 X 104 N /C hacia arriba (véase la figura 23.6). ¿Cuál es la * *
sobre el electrón, y cuál es su aceleración?
SOLUCIÓN: Según la ecuación (23 .4 ), la fuerza sobre el
electrón es igual a la multiplicada por el campo eléctrico. Si el
eje y tiene dirección vertical hacia arrie £ = 2 . 7 X 104 N /C
,y
F = qE = - e E = ( -1 .6 0 X l ( T iy C)(2.7 X 104 N /C ) = -4
.3 X 10 -15 ■y i y y
Esta fuerza comunica al electrón una aceleración de
4.3 X 10~15 NFy -ay ma 9.11 X 1 0 '31 kg
= - 4 .7 X 1015 m/s-
Ésta es una aceleración enorme.
COMENTARIOS: Se debe tomar en cuenta que, como la carga del
electrón es negativa, la dirección de la fuerza, y de la
aceleración, es contraria a la dirección d- campo eléctrico.
También nótese que una carga en la nube de tormenta es atraía hacia
su propia carga imagen (opuesta; la misma atracción de la carga
imagen es que causa la unión de los electrones libres dentro de un
trozo de metal). Tambie se observa que en este cálculo no se ha
tomado en cuenta la aceleración debida a gravedad, ya que es mucho
menor que la debida al campo eléctrico; esta omisic está
justificada.
TÉCNICAS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CAMPOS ELÉCTRICOS
• Para calcular el campo eléctrico de una distribución de varias
cargas puntuales (como las de la nube de tormenta en el ejemplo 2),
es necesario calcular la suma vectorial de los campos eléctricos
producidos por las cargas puntuales individuales. La magnitud del
campo eléctrico de una carga puntual individual q' es la definida
por la ecuación (23.2), E = ( l/4 7 te 0) q '/ r 2, y la dirección
de ese campo eléctrico es radialmente hacia afuera, si q es
positiva, o radialmente hacia dentro, si q es negativa.
• Las técnicas para evaluar la suma vectorial de los vectores
campo eléctrico de varias cargas son iguales que para la suma de
varios vectores de posición, o de vectores de cualquier otra clase.
Primero, se traza con cuidado un diagrama que muestre cada vector
campo eléctrico a lo largo de la línea que pasa por la carga que
produce la contribución al campo, y que pase por un punto P donde
se desea conocer el campo. .Lo más fácil puede ser poner en P la
cola de cada vector contribuyente (como en el
ejemplo 1), y después usar propiedades geométricas para
descomponer cada vector en sus componentes x y y (y z, si es
necesario). El vector campo eléctrico total se obtiene sumando por
separado los componentes x , y y z , de los vectores
contribuyentes. En muchos ejemplos de cálculo- de campos
eléctricos, algunos componentes del campo se anulan. Si se
seleccionan en forma adecuada los ejes x, y z, con frecuencia se
puede lograr la anulación de todos los componentes, excepto uno
(véase el ejemplo 1).
• Al calcular la fuerza eléctrica F = yE sobre la carga q.
debida al campo eléctrico E generado por una distribución de
cargas, tenga en cuenta la diferencia entre las cargas que generan
el campo eléctrico y la carga q que se coloca en el campo eléctrico
resultante (y que está sometida a la fuerza). El campo eléctrico
sobre esta última carga no debe incluirse en el cálculo del campo
eléctrico E; sólo las demás cargas contribuyen al campo eléctrico
que actúa sobre la carga q.
-
23.2 Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga
Revisión 23.1PREGUNTA 1: En la explicación que llevó a la
ecuación (23.3) se comenzó con la fuerza de Coulomb entre dos
cargas puntuales, q y q , y se determinó el campo eléctrico
generado por q . Si en lugar de esto se hubiera querido calcular el
campo eléctrico generado por q ¿cuál hubiera sido el
resultado?PREGUNTA 2: La magnitud del campo eléctrico a 1 m de
distancia de una carga puntual es 1 X 10S N /C . ¿Cuál es la
magnitud del campo eléctrico a 2 m de distancia? ¿Y a 3 m? PREGUNTA
3: En el mismo punto, un campo eléctrico de 10 N /C tiene dirección
hacia el norte, y otro campo eléctrico de 10 N /C tiene dirección
h^cia el este; ¿cuál es la magnitud y la dirección de la
superposición de esos dos campos eléctricos?PREGUNTA 4: Hay cuatro
cargas positivas iguales en las esquinas de un cuadrado. ¿Cuál es
la magnitud del campo eléctrico en el centro del cuadrado?PREGUNTA
5: Hay tres cargas positivas iguales en tres vértices de un
cuadrado, y en el cuarto vértice hay una carga negativa de igual
magnitud que las anteriores. ¿Cuál es la dirección (si la hay) del
campo eléctrico en el centro del cuadrado?
(A) Hacia la carga negativa(B) Sin dirección, porque el campo es
cero(C) Si se aleja de la carga negativa(D) Perpendicular a la
diagonal que pasa por la carga negativa
23.2 CAMPO ELÉCTRICO DEDISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA
En el capítulo 22 se explicó que la carga es discreta, que está
cuantizada; esto es, siempre se presenta en múltiplos enteros de la
carga fundamental e. Sin embargo, en una descripción de la
distribución de carga en campos macroscópicos, con frecuencia se
puede pasar por alto la naturaleza discreta de la carga, y en
general basta con considerar que la carga es un “fluido” continuo
con una densidad de carga (C /m 3) que varía más o menos
uniformemente en el volumen del cuerpo cargado. Eso es análogo a
describir la distribución de masa de un sólido, un líquido o un
gas, mediante una densidad uniforme de masa (en kg/m3), que no
tiene en cuenta el hecho de que, en escala microscópica, la masa se
concentra en átomos. Un sólido, un líquido o un gas aparentan ser
uniformes, porque hay muchísimos átomos en cada milímetro cúbico, y
las distancias entre átomos son muy pequeñas. De igual manera, las
distribuciones de carga en alambres u otros conductores parecen
uniformes, porque están formadas por muchísimos electrones (o
protones) en cada milímetro cúbico.
El principio de superposición sigue siendo válido para las
distribuciones continuas de carga; sólo se requiere sumar las
pequeñas contribuciones individuales del campo eléctrico debido a
cada pequeña carga. Supóngase que una región pequeña contiene una
carga dq, y aporta un campo de magnitud dE en algún punto donde se
desea conocer el campo total. Si esa región es suficientemente
pequeña es posible considerar que su contribución es la de una
carga puntual, con el campo acostumbrado de Coulomb:
dE1 dq
47re0 r 2(23.7)
-
730 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
contribución del componente x del campo eléctrico
A continuación se deben sumar esas contribuciones del campo
eléctrico, debidas a las diversas pequeñas regiones de carga.
Matemáticamente, una suma en una región continua significa integrar
las contribuciones para obtener el campo total. Como el campo total
es un vector, se debe hacer la integración para cada componente de
E. Por ejemplo, si 6 es el ángulo que forma con el eje x la
aportación al campo eléctrico, entonces el componente x de la
contribución es dEx = dE eos 9\ es decir,
1 eos 9(23' 8)
Al integrar esta ecuación sobre la distribución de carga para
obtener E x total, se debe tener en cuenta que eos 9 y ;2 varían en
la distribución. Se pueden hacer cálculos parecidos para Ey y E z,
y obtener el campo total E = E xi + E yj + E zk. En el caso general
se puede dificultar mucho ese cálculo, y con frecuencia deben
usarse métodos numéricos (y una computadora) para obtener
resultados exactos. Sin embargo, en algunos ejemplos importantes la
integración es lo bastante sencilla como para poder hacerla en
forma directa. En los ejemplos que siguen, esas soluciones exactas
proporcionan un panorama importante del comportamiento del campo
eléctrico debido a distribuciones continuas de carga.
En estos ejemplos se encontrarán dos de los tres tipos de
distribuciones continuas de carga: una distribución lineal de
cargas (carga distribuida en un alambre, un hilo o una barra
delgada), y distribuciones de carga en superficie (carga
distribuida sobre una superficie plana o curva). En el capítulo 24
también se encontrará el tercer tipo, una distribución volumétrica
de cargas (carga distribuida en un volumen tridimensional). En
todos los casos de interés inmediato se supondrá que la
distribución de carga es uniforme, es decir, que es constante en
una región especificada. Cuando la distribución es uniforme, la
pequeña carga dq en una región lineal de longitud dL, o sobre una
pequeña parte de superficie dA, es igual a la longitud dL o al área
dA multiplicada por una constante:
Lineal: dq = \d L
Superficie: dq = crdA (23.9)
siendo A (lambda) la carga por unidad de longitud, en coulombs
entre metro (C/m), y cr (sigma) la carga por unidad de área, en
coulombs entre metro cuadrado (C /m 2). Por ejemplo, una varilla de
longitud L y una carga total Q distribuida uniformemente en esa
longitud, tiene A = Q/L, y una lámina de área A, con una carga
total Q uniformemente distribuida sobre esa área tiene cr = Q/A. La
posibilidad más general, por ejemplo de una distribución no
uniforme, donde el valor de A puede variar a lo largo de una línea
de cargas, se examina en el problema 43. En los ejemplos se hablará
sólo de las distribuciones uniformes.
A lo largo de una varilla infinitamente larga y recta, se
distribuye una carga. Si la carga por unidad de longitud de la
varilla es A
¿cuál es el campo eléctrico a cierta distancia de la
varilla?
SOLUCION: La figura 23.7 muestra la varilla cargada que está a
lo largo del eje y. El punto P en el que se va a evaluar el campo
eléctrico está en el eje x, a una distancia perpendicular x de la
varilla. Para determinar el campo eléctrico se debe- hacer una
integración que considere que la varilla está formada por muchos
elementos lineales infinitesimales, y que cada uno es una carga
puntual. Antes de proceder con esa integración, es útil determinar
la dirección del campo, con un argumento cualitativo de simetría.
El campo eléctrico generado por el elemento de línea dy que está
debajo del origen en la figura 23.7, tiene componentes x y y. En la
integración, el
EJEMPLO 5
-
í23.2 Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga
731
componente y anulará al componente y aportado por el elemento de
línea que está a la misma distancia, pero arriba del origen, y el
componente y total del campo eléctrico será cero. Por consiguiente,
el campo eléctrico neto sólo tendrá un componente x.
El elemento lineal dy tiene una carga dQ = Ady. Como este
elemento puede considerarse carga puntual, el campo eléctrico que
genera tiene la magnitud
1 dQ 1 A dydE =
47re0 r AttEq /
Este campo eléctrico tiene un componente x:
1 A dy eos 9dE„ = dE eos 9 =
Entonces, el campo eléctrico total es
E . =
47ren
1 A dy eos 6
47ten—OO U
Al variar la posición de la contribución, a lo largo de y en
esta integral, también cambian las cantidades r y 9. Para evaluar
la integral se deben expresar todas las variables en función de una
sola variable. Sucede que la mejor opción, en este caso particular,
es el ángulo 9. De acuerdo con la figura 23.7,
y = x tan 9 y dy = x ¿/(tan 9) = x sec2 9 d9.
Además,
Se desea determinar el campo eléctrico neto en P, a una
distancia x de la varilla.
|
-
732 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
TECNICAS PARA RESOLUCION DE PROBLEMAS
Para calcular el campo eléctrico de una distribución continua de
cargas (como la carga distribuida uniformemente a lo largo de una
varilla recta infinita del ejemplo 5), es necesario considerar que
la distribución de cargas es una colección de muchos elementos
pequeños (infinitesimales) de carga, cada uno de los cuales se
puede considerar carga puntual. Por tanto, la suma vectorial de los
campos eléctricos de todos los elementos pequeños de carga implica
la integración sobre todos esos elementos de carga.
Para comenzar, se hace una elección adecuada de ejes
coordenados. Elíjase un elemento de carga dQ y obsérvese su
contribución dE = k dQ /t2; a continuación determínense los
componentes x, y y z de la contribución del campo eléctrico, uno
por uno, y obsérvese si algún componente es cero por anulación
debida a la simetría de la distribución de cargas. Todo componente
que no sea cero debe evaluarse por integración sobre los pequeños
elementos de carga.
La elección de la variable de integración es, a menudo,
delicada, ya que el integrando se podría simplificar mucho con
algunas opciones de variable de integración, pero puede ser muy
complicado o hasta inmanejable para otras
CAMPO ELECTRICO DE DISTRIBUCIONES DE CARGAS
opciones. Así, en el ejemplo 5 la integral es elemental, si Q se
usa como variable, pero se complica mucho más si se usa y como
variable. Cuando se encuentra una integral aparentemente insoluble,
se deben intentar sustituciones de variables (o tratar de encontrar
la integral en una tabla, como la del apéndice 4).
Para ciertos problemas, el método más sencillo es el mejor; la
variable de integración puede seguir siendo el elemento de longitud
que se obtiene al sustituir dQ = A d£. Asegúrese de especificar los
límites de integración y la cantidad r, en una forma consistente
con la variable de integración elegida.
En algunos casos, el campo eléctrico de una distribución
complicada de cargas se puede determinar por superposición de los
campos eléctricos individuales debidos a partes separadas de la
distribución de cargas. Por ejemplo, el campo eléctrico de las dos
láminas cargadas grandes de la figura 23.10, es la superposición de
los campos eléctricos individuales, y el campo eléctrico total de
dos líneas largas de carga dispuestas en paralelo, o formando
cierto ángulo, es igual a la superposición de sus campos eléctricos
individuales.
FIGURA 23.8 Un pequeño segmento ds de un anillo de carga produce
un campo eléctrico dE.
y
EJEMPLO 6 Una cantidad Q de carga positiva se distribuye
uniformemente a lo largo de la circunferencia formada por un
alambre delgado; el aro tiene radio R. ¿Cuál es el campo eléctrico
en el eje del anillo, a cierta distancia del centro?
SOLUCIÓN: La figura 23.8 muestra el anillo de carga, y el punto
P en el que se debe evaluar el campo eléctrico. Ese punto P está en
el eje y, a la distancia y arriba del anillo. Se puede considerar
que el anillo está formado por muchos elementos pequeños, y que
cada uno es una carga puntual. La figura 23.8 muestra uno de esos
elementos, de longitud ds. El campo eléctrico dE, aportado por este
elemento, se aleja del mismo. Para determinar el campo eléctrico
neto se debe evaluar la suma vectorial de todas las pequeñas
contribuciones al campo eléctrico, debidas a todos los pequeños
elementos del anillo. Antes de evaluar esta suma vectorial, se
determinará la dirección del campo eléctrico total. El campo que
produce el pequeño elemento ds que muestra la figura 23.8 tiene un
componente horizontal y también uno vertical. Para cualquier
pequeño elemento dado ds del anillo, hay un elemento igual en el
lado opuesto del centro del anillo, que produce un campo eléctrico
cuyo componente horizontal es opuesto; en consecuencia, los
componentes horizontales se anulan por pares. Así, el campo
eléctrico neto es vertical.
El elemento pequeño ds tiene una carga pequeña dQ. La distancia
desde esa carga dQ hasta el punto fies r = \ / R 2 + y2. De acuerdo
con la ley de Coulomb, la magnitud del campo eléctrico producido
por dQ es
= ____47re0 r2 47re0 R2 + y2
-
23.2 Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga
733
Sólo nos interesa el componente vertical de este campo
eléctrico, porque ya se sabe que el componente horizontal no hace
contribución neta al campo eléctrico total. El componente vertical
de dE es
dEy = dE eos 6,
donde eos 6 = y / v R 2 + y2 (véase la figura 23.8). En
consecuencia,
1 dQ ydEv = , , .-----------
y 4 tre0 R + y 2 V /?2 + y 2
1 dQ y
4tre0 (R 2 + y 2)3/2
Para determinar el campo eléctrico total se debe integrar en
torno al anillo:
Er í¿Ev = r~y JdQy
cR2 + y 2)3/2Se observa que las cantidades y y R no varían
alrededor del anillo, así que
i yEy 4 tr e 0 (R2 + y 2)3!2 .
dQ
La integral de dQ en torno al anillo no es más que la carga Q
del anillo, y entonces el resultado es
■ i Qyy 4 tr e 0 (R 2 + y 2)3!2
(23.11)
COMENTARIOS: Se observa que si y = 0, entonces Ey = 0; es decir,
en el centro del anillo de carga, el campo eléctrico es cero. Eso
se podría haber deducido por la simetría, porque las aportaciones
de los lados opuestos del anillo se anulan exactamente en el centro
del mismo. También se observa el comportamiento lejos del anillo:
si y es mucho mayor que R, entonces la ecuación (23.11) se vuelve
aproximadamente
E -, 1 Qy 1 Qy 4 tr e 0 (y2)3/2 4 7 te0 /
que es el acostumbrado campo eléctrico de inverso del cuadrado
debido a una carga puntual. Es decir, el anillo se comporta como
una carga puntual cuando la distancia y es muy grande.
Sobre una lámina infinita plana, horizontal, como puede ser una
gran hoja de papel, se distribuye uniformemente una carga po
sitiva. Supónga que la cantidad de carga por unidad de área de
esa lámina es a. Calcular el campo eléctrico en el espacio que hay
sobre y debajo de la lámina.
SOLUCION: Se puede considerar que la lámina está formada por
muchos anillos concéntricos. La figura 23.9 muestra uno de ellos,
con radio R y ancho dR\ este
EJEMPLO 7
-
734 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
La lámina infinita se puede considerar formada por muchos
anillos concéntricos.
Cada anillo tiene 2irR de circunferencia y dR de ancho.
Cada anillo produceuna contribución alcampo eléctrico enla
dirección y.
FIGURA 23.9 Una lámina muy grande de carga está en el plano x-z.
Un anillo delgado de carga, en esta lámina, produce el campo
eléctrico dE.
campo eléctrico de una lámina plana
anillo tiene un área dA = (longitud X ancho) = (2vR )dR y, de la
ecuación (23.9), la carga es dQ = adA = a X 2 v R dR. De acuerdo
con la ecuación (23.11), el anillo produce el campo eléctrico
1 {2tt(tR dR)y
dEy = 47re0 (/?2 + /)3 /2
El campo eléctrico total de la hoja infinita completa se obtiene
entonces por integración sobre R, desde R = 0 (el radio del anillo
más pequeño) hasta R = co (el radio del anillo más grande):
ary foo RdR
y ~ 2 ^ \ o (R2 + y Y -2
Con las sustituciones u = R 2 y du = 2R dR, esto se transforma
en
ay '°° § du ary 1 °° a y 12e0 . o (u + y 2)3̂ 2 2e0 L (u + y Y
2\ o 2eo y
o simplemente
= (23.12)2€0
COMENTARIOS: Este campo eléctrico es proporcional a la densidad
de carga, y es constante; es decir, es independiente de la
distancia entre las láminas. Aunque el resultado (23.12) es
estrictamente válido sólo para el caso de una lámina infinitamente
grande, también es una buena aproximación para una lámina de tamaño
finito, siempre que se permanezca cerca de ella y lejos de sus
bordes.
Las láminas o placas cargadas grandes se usan a menudo en los
laboratorios para generar campos eléctricos uniformes. En la
práctica se prefieren dos láminas paralelas cargadas del signo
contrario en lugar de una sola lámina. Para determinar el valor
debido a dos láminas, considérense los campos eléctricos debidos a
cada una por separado, para después aplicar el principio de
superposición y sumarlos. En el espacio entre
d) b)
El campo eléctrico de la lámina negativa apunta hacia ella,
desde cada una de sus caras...
.. .y el campo debido a la lámina positiva se aleja de ella.
Para las dos láminas, el campo neto se anula en el exterior y se
duplicaren el interior.
FIGURA 23.10 d) Camp os eléctricos individuales de dos láminas
grandes con cargas opuestas, b) El campo eléctrico (neto) total de
las dos láminas.
-
23.2 Campo eléctrico de distribuciones continuas de carga
735
LA FÍSICA EN LA PRÁCTICA
La ceniza, el hollín y los contaminantes se precipitan.
PRECIPITADORES ELECTROSTÁTICOS
penetra en el humo. Esta descarga deposita cargas eléctricas
negativas sobre las partículas de contaminantes. Entonces, el campo
eléctrico impulsa las partículas cargadas hacia los lados, y las
lleva contra la pared, donde se adhieren. Cada cierto tiem po un
martillo mecánico, motorizado, pega contra la cámara y la agita,
separando las capas acumuladas de contaminantes, que caen a tolvas
para su recolección y eliminación.
Los precipitadores electrostáticos que se usan en las
instalaciones industriales contienen grandes conjuntos dé muchas
placas paralelas y alambres con carga (véase la figura 2). Unos
sistemas de control automático conectados con los alambres y con
los generadores ajustan en forma continua las cargas de los
alambres y los campos eléctricos que se producen, para optimizar la
recolección de los contaminantes. Los precipitadores pueden
recolectar partículas sólidas, como cenizas, hollín o polvo;
también pueden recolectar gotitas de líquido, como nieblas de ácido
sulfúrico o humos de asfalto.
FIGURA 2 Un precipitador electrostático industrial.FIGURA 1 Esq
uema de un precipitador electrostático.
Los precipitadores electrostáticos se usan mucho para eliminar
contaminantes contenidos en el humo producido por las centrales
eléctricas, fundidoras y otras instalaciones industriales. Antes de
que se instalaran, en el humo industrial se expulsaban gigantescas
cantidades de contam inantes a la atmósfera. Por ejemplo, en un
solo día, una gran fundidora de cobre podía emitir más de 3 000
toneladas de compuestos de azufre, 30 toneladas de compuestos de
arsénico y varias toneladas de zinc, cobre y antimonio. El
precipitador electrostático consiste en una cámara metálica
cilindrica en la que cuelga un alambre conectado a un generador de
alto voltaje (véase la figura 1). La alta concentración de carga
eléctrica en el alambre produce un campo eléctrico intenso, hasta
de 106 N /C , en el espacio que hay entre el alambre y la pared de
la cámara. Cuando el humo sucio, cargado con partículas de
contaminantes entra a este fuerte campo eléctrico, éste dispara una
descarga, llamada descarga de corona, que sale del alambre y
Fuente —. de poder 50 kV
salida de aire
entrada de aire sucio
las láminas, los campos eléctricos individuales de las dos
láminas tienen la misma dirección (véase la figura 23.10#); en
consecuencia se refuerzan uno al otro y producen un campo total de
doble intensidad que el de una lámina; esto es,
£ = — (23 13) campo eléctrico entre dos láminasy e0 con cargas
opuestas
En el espacio que está arriba o abajo de las dos láminas, los
campos eléctricos individuales de ellas tienen direcciones
contrarias; así, esos campos eléctricos se anulan, y el espacio que
está arriba o abajo tiene cero campo eléctrico. La figura 23.10¿
muestra el campo eléctrico neto de las dos láminas.
-
736 CAPÍTULO 23 El campo eléctricoa Revisión 23.2^ ** * *
FIGURA 23.1 1 Dos láminas cargadas que se cruzan.
PREGUNTA 1: Dos láminas planas, infinitamente grandes y con
distribuciones iguales de carga eléctrica positiva, se cruzan en
ángulo recto (véase la figura 23.11). ¿Cuál es la dirección del
campo eléctrico en cada cuadrante?PREGUNTA 2: Un disco pequeño (1
cm de diámetro, aproximadamente) tiene una carga Q uniformemente
distribuida en su área A. ¿Cuál es el campo eléctrico lejos de este
disco (por ejemplo, a varios metros de distancia)? ¿Cuál es el
campo muy cerca de su superficie (por ejemplo, a 10 3 cm) y lejos
del borde?PREGUNTA 3:-El campo eléctrico de una lámina infinita
cargada uniformemente, a 1 m de distancia, tiene el valor E = E 0.
¿Cuál es el valor de E a 2 m de distancia? ¿A 4 m? PREGUNTA 4: Si
dos láminas paralelas grandes tienen densidades iguales cr de carga
superficial, del mismo signo, por ejemplo positivo. ¿Cuál es la
magnitud del campo eléctrico en el espacio entre las dos láminas?
¿Y fuera de las láminas?
23.3 LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICOEl campo eléctrico se puede
representar gráficamente trazando, en cualquier punto dado del
espacio, un vector cuya magnitud y dirección sean las del campo
eléctrico en ese punto. La figura 23.12 muestra los vectores campo
eléctrico en el espacio que rodea a una carga puntual positiva, y
la figura 23.13 muestra los vectores campo eléctrico en el espacio
que rodea a una carga puntual negativa. Obsérvese que, como pide la
ecuación (23.8), las magnitudes de esos vectores disminuyen en
proporción inversa al cuadrado de la distancia a la carga puntual.
También obsérvese que, para evitar confusiones en el dibujo, sólo
se pueden mostrar los vectores campo en algunos pocos puntos
representativos, aunque el campo eléctrico tiene un valor en cada
punto del espacio.
Se muestran los vectores campo eléctrico para unos cuantos
puntos representativos.
Los vectores campo apuntan hacia la carga negativa.
FIGURA 23.12 Vectores campo eléctrico que rodean a una carga
positiva puntual. Los vectores
La magnitud del vector campo decrece con el inverso del cuadrado
de la distancia. FIGURA 23.13 Vectores campo
' eléctrico que rodean a una carga puntual negativa. La
dirección de los vectores campo es radialmente hacia dentro.
campo se dirigen radialmente hacia afuera. Las posiciones que
pertenecen a los vectores campo se marcan en negro.
-
23.3 Líneas de campo eléctrico 737
FIGURA 23.14 Líneas del campo eléctrico de una carga puntual
positiva. Obsérvese que, en tres dimensiones, las líneas salen
hacia las tres dimensiones del espacio, mientras que en el diagrama
sólo se ven las líneas que se extienden en dos dimensiones en la
página. Dan una impresión engañosa de la densidad de las líneas de
campo en función de la distancia. Se debe tener en cuenta esta
limitación de las representaciones bidimensionales al ver diagramas
de líneas de campo.
.. .y débil donde las líneas están alejadas entre sí.
FIGURA 23.16 Líneas de campo eléctrico dé una carga puntual
positiva dos veces mayor que la de la figura 23.14.
El diagrama de líneas de campo muestra el doble de líneas cuando
la carga es dos veces mayor.
También, el campo eléctrico se puede representar gráficamente
con lineas de campo. Esas líneas se trazan de tal modo que, en
determinado punto, la tangente a la línea tenga la dirección del
campo eléctrico, es decir, la dirección del vector campo. Además,
la densidad de las líneas es directamente proporcional a la
magnitud del campo eléctrico; esto es, cuando las líneas están
cercanas, el campo eléctrico es intenso, y donde están alejadas, el
campo eléctrico es débil. La figura 23.14 muestra las líneas de
campo eléctrico de una carga puntual positiva, y la figura 23.15
muestra las de una carga puntual negativa. Las flechas en esas
líneas indican la dirección del campo eléctrico a lo largo de
ellas.
Cuando se traza una figura de líneas de campo, se debe comenzar
cada línea en una carga puntual positiva y terminarla en una carga
puntual negativa (o bien, la línea puede prolongarse hasta el
infinito). Como la magnitud del campo eléctrico es directamente
proporcional a la cantidad de carga eléctrica, la cantidad de
líneas de campo que se trazan saliendo de una carga puntual
positiva debe ser proporcional a la cantidad de carga. La figura
23.16 muestra las líneas de campo eléctrico de una carga puntual
positiva dos veces más grande que la de la figura 23.14. La figura
23.17 muestra las líneas de campo generadas al mismo tiempo por una
carga positiva y una carga negativa de magnitudes iguales (un
dipolo eléctrico), y la figura 23.18 muestra las de un par de
cargas positivas iguales (nótese que en cada caso la cantidad de
líneas de campo es igual). La figura 23.19 muestra las líneas de
campo de un par de cargas positiva y negativa desiguales. Obsérvese
que hay 2 veces más líneas de campo que se originan en la carga +2q
(32 líneas), que las que terminan en la carga —q (16 líneas). Si se
desea, se puede variar
La dirección del campo eléctrico es tangente a la línea de
campo.
FIGURA 23.15 Líneas de campo eléctrico de una carga puntual
negativa.
líneas de campo
-
738 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
FIGURA 23 .17 Líneas de campo generadas por cargas positivas y
negativas de igual magnitud.
FIGURA 23.18 Líneas de campo generadas por dos cargas positivas
de igual magnitud.
la cantidad de líneas de campo que se tracen, pero se debe tener
cuidado para mantener una relación fija de líneas de campo, que sea
proporcional a la carga. Es necesario mantener fija esa
normalización durante cualquier cálculo o serie de dibujos
dada.
Obsérvese que las líneas de campo salen de cargas positivas y
terminan en cargas negativas; las cargas positivas son fuentes de
líneas de campo, y las cargas negativas son sumideros. También,
obsérvese que las líneas de campo nunca se cruzan (excepto donde se
inician o terminan, en cargas puntuales). Si alguna vez se cruzaran
las líneas de campo, el campo eléctrico tendría dos direcciones en
el punto de intersección; eso es imposible.
Las figuras anteriores de líneas de campo nos ayudan a
desarrollar cierto sentido intuitivo de la dependencia espacial de
los campos eléctricos que rodean a diversas distribuciones de
cargas eléctricas. Pero no se debe pensar que las líneas de campo
son
-
23.3 Líneas de campo eléctrico 739
La densidad de las líneas de campo es la cantidad de líneas por
unidad de área.
El campo es más intenso aquí, porque son más líneas las que
cruzan la misma área.
FIGURA 23.20 Dos áreas iguales A interceptan distintos números
de líneas.
objetos físicos. El campo eléctrico es una entidad física, es
una forma de materia; pero las líneas de campo sólo son muletas
matemáticas que ayudan a la imaginación.
Se dijo que el campo eléctrico es proporcional a la densidad de
las líneas de campo. La definición precisa es que la densidad de
las líneas es la cantidad de líneas por unidad de área; es decir,
la cantidad de líneas interceptadas por un área pequeña A en
posición perpendicular a las líneas (véase la figura 23.20),
dividida entre la magnitud de esa área. Entonces, si mayor cantidad
de líneas de campo cruzan determinada cantidad de áreayí en un
lugar que en otro lugar, el campo eléctrico es proporcionalmente
más fuerte en el primer lugar.
La ley del inverso del cuadrado para el campo eléctrico de una
carga puntual se puede “deducir” de la figura de líneas de campo.
Con un argumento sencillo se puede demostrar que la densidad de
líneas obedece, por necesidad, a una ley del inverso del cuadrado.
Ya que una carga puntual q tiene simetría esférica, y no distingue
entre una dirección radial u otra, por simetría se ve que el
arreglo de las líneas de campo también debe tener simetría
esférica, y las líneas deben estar uniformemente distribuidas en
todas las direcciones radiales. A una distancia r de la carga
puntual, esas líneas están uniformemente distribuidas en el áreayí
= 47rr2. Para mayores esferas concéntricas se distribuye la misma
cantidad de Eneas de campo en áreas cada vez mayores, y por ello la
densidad de líneas disminuye en proporción al inverso del cuadrado
de la distancia. Esta “deducción” de la ley del inverso del
cuadrado, a partir de la figura de Eneas de campo, en realidad no
es más que una verificación de la consistencia; el campo eléctrico
se puede representar por líneas de campo sólo porque es un campo de
inverso del cuadrado. Cualquier otra dependencia respecto a la
distancia haría imposible trazar líneas de campo continuas que sólo
se iniciaran y terminaran en cargas.
Estos diagramas de líneas de campo son incorrectos. ¿Por
qué?
Revisión 23.3PREGUNTA 1: La figura 23.21 muestra diagramas de
líneas de campo hipotéticas (pero incorrectas) que corresponden a
algunas distribuciones de carga estática que están fuera del
diagrama. ¿Cuál es el error en cada uno de esos diagramas de líneas
de campo? PREGUNTA 2: En un diagrama de líneas de campo se ve una
carga puntual con ocho líneas que salen de él. Cerca, en el mismo
diagrama, está una esfera de metal con cuatro Eneas que salen de
ella, y dos que entran. ¿Qué se puede decir acerca de la
distribución de cargas en la esfera? ¿Y de la carga neta en la
esfera?PREGUNTA 3: Durante un día de buen tiempo, la Tierra tiene
un campo eléctrico atmosférico que apunta verticalmente hacia
abajo. Ese campo eléctrico se debe a cargas distribuidas en la
superficie de la Tierra. ¿Cuál debe ser el signo de esas
cargas?PREGUNTA 4: Un diagrama de líneas de campo muestra una carga
puntual de +6.0 C con ocho líneas de campo que salen de ella.
Cerca, en el diagrama, hay una barra corta y cargada, y a ella
entran 12 líneas de campo. La carga de la barra es
(A) +4.0 C (B) —4.0 C (C) +9.0 C ( D ) - 9 .0 C ( E ) - 1 2 .0
C
FIGURA 23.21 Líneas de campo hipotéticas; las figuras son
incorrectas, si se deben a cargas estáticas fuera de las orillas
del diagrama.
-
740 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
FIGURA 23.22 Cañón de electrones de una fresadora iónica.
23.4 MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
Ya se describieron con cierto detalle el campo eléctrico y la
fuerza eléctrica. Una partícula cargada, en un campo eléctrico
conocido E, experimenta una fuerza eléctrica F = yE, y a partir de
esto se podrá calcular la aceleración de la partícula cargada, como
en el ejemplo 4. Para determinar el movimiento real de una
partícula cargada (la posición r en función del tiempo t), se
aplican las definiciones de aceleración a = dv/ dt y de velocidad v
= dt/d t. Como se vio en mecánica, en general puede ser bastante
difícil resolver esas ecuaciones de movimiento; sin embargo, es
fácil en el caso más simple, de una aceleración constante.
Recuérdese que para una aceleración constante en dos dimensiones,
la solución de los componentes individuales de la velocidad,
ecuaciones (4.20) y (4.21), resulta en
vx = v0x + axt y Vy = v0y + (23.14)donde v0x y v0y son los
componentes de la velocidad inicial, ax = F J m = q E j m, y a. = F
J m = q E / m. La solución para los componentes de la posición,
ecuaciones (4.23) y (4.24) resulta en
* = xo + voxt + \axt 2 y y = y 0 + v 0yt + \ayt 2 (23.15)donde
x0 y y 0 especifican la posición inicial. Recuerde, del capítulo 4,
que en el caso de un campo gravitacional uniforme, el resultado fue
el movimiento parabólico, donde la posición de la partícula
describe una parábola en dos dimensiones.
Lo mismo sucede con los campos eléctricos uniformes. Como se vio
arriba, dos láminas paralelas de carga, con densidades de carga
superficial iguales y opuestas, producen una región de campo
eléctrico constante. Este arreglo que suele obtenerse con placas
metálicas, se aprovecha en muchos aparatos eléctricos. Una
diferencia con el movimiento parabólico es que la carga eléctrica
puede ser positiva o negativa (y que los campos eléctricos pueden
dirigirse hacia cualquier dirección), por lo que no siempre la
trayectoria parabólica es cóncava hacia abajo, como sucede con la
gravedad. O tra propiedad es que, en la práctica, el movimiento de
la partícula cargada sólo se puede manipular en la región del
espacio limitada por las láminas paralelas de carga.
Para calcular el movimiento de una partícula cargada en un campo
eléctrico E uniforme se usarán las ecuaciones (23.14) y (23.15). Si
el único movimiento es a lo largo del campo aplicado, el problema
es unidimensional y sencillo. Pero si hay movimiento a lo largo del
campo y también en dirección perpendicular a él, es probable que se
deban resolver simultáneamente dos ecuaciones. Esos problemas se
simplifican mejor si se escogen los ejes coordenados con un eje
paralelo al campo; entonces, el movimiento en la otra dirección
(perpendicular al campo) tiene aceleración cero.
Una fresadora iónica (véase la figura 23.22) usa un haz de iones
de galio (m = 70 u) para maquinar microestructuras en una
pieza. Se usa una región de campo eléctrico uniforme, entre
láminas paralelas de carga, para tener un control preciso de la
dirección del haz. Los átomos de galio simplemente ionizados, con
una velocidad inicial de 1.8 X 104 m/s entran a una región de 2 cm
de longitud, de campo eléctrico uniforme que apunta verticalmente
hacia arriba, como muestra la figura 23.23. Los iones se dirigen
mediante el campo y salen de la región del mismo formando el ángulo
9 que se ve. Si el campo eléctrico se ajusta al valor E = 90 N /C ,
¿cuál es el ángulo de salida 0?
SOLUCION: Un átomo simplemente ionizado tiene carga q = +e.
Conviene esco-’ ger el origen del sistema de coordenadas en la
posición inicial del ion, en el extremo izquierdo de la región del
campo (*0 = 0,y0 = 0), con el eje x horizontal. El ángulo
EJEMPLO 8
-
23.4 Movimiento en un campo eléctrico uniforme 741
FIGURA 23.23 Movimiento de una partícula cargada; entre las
placas paralelas hay una región de campo eléctrico uniforme.
de salida buscado 6 se determina con la dirección final del
movimiento del haz al salir de la región del campo eléctrico;
„ v,tan 6 = —
v x
No hay campo eléctrico horizontal, y entonces el componente x de
la aceleración es cero; la ecuación (23.14) confirma que el
componente x de la velocidad no cambia,y así
vx = ^OxEl componente inicial y de la velocidad es cero, y la
ecuación (23.14) para ese componente resulta
vj = VPara obtener el tiempo t que los iones pasan en la región
de campo eléctrico uniforme, se ordenará la ecuación (23.15) del
componente x de la posición, con ax = 0, como sigue:
x
v0x
donde x es el ancho de la región del campo. Con esta ecuación se
sustituye a t en la ecuación anterior, y se llega a
xv = a —y yv.
Como a = F j m = eE/m , se ve que
o*
eE xv ' mv,Ox
Ahora se podrá determinar el ángulo de salida:
tan d = —1 eEx
mv,Ox '""OxeEx
‘'OxEn esta ecuación se sustituyeron los valores numéricos de
los datos, y el valor de la unidad de masa atómica, 1 u = 1.66 X 10
2' kg; así se obtiene
,w
n eEx 1.60 X 10-19 C X 90 N /C X 2.0 X 10-2 m tan 0 _ __ a ^
mvox 70 X 1.66 X 10“27 kg X (1.8 X 104 m/s)2
= 7.6 X 1 0 "3
Con una calculadora se obtiene la tangente inversa de 7.6 X 10
’, y resulta
9 = 0.44‘
-
CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
Revisión 23.4PREGUNTA 1: Una partícula cargada se mueve en línea
recta. ¿Eso quiere decir que no hay campo eléctrico presente?
PREGUNTA 2: En una región de campo eléctrico uniforme E, una
partícula cargada tiene una aceleración a. Si una segunda partícula
con el doble de carga y el doble de masa de la primera partícula
entra a la misma región, tendrá una aceleración de
(A) ¿a (B) §a (C) a (D) 2a (E) 4a
23.5 DIPOLO ELECTRICO EN UN CAMPO ELÉCTRICO
Si un cuerpo eléctricamente neutro se coloca en un determinado
campo eléctrico, es de esperar que el cuerpo no esté sometido a una
fuerza. Sin embargo, esa expectativa no siempre se realiza. Un
cuerpo neutro puede contener cargas positivas y negativas separadas
(de iguales magnitudes), y es posible que la fuerza eléctrica sobre
una de esas cargas sea mayor que sobre la otra; en ese caso, el
cuerpo está sometido a una fuerza neta. Ese desequihbrio de fuerzas
sobre las cargas positiva y negativa sucederá si el campo eléctrico
es más intenso en el lugar de una clase de cargas que donde se
encuentran las otras. Por ejemplo, en un campo eléctrico no
uniforme, el cuerpo neutro que muestra la figura 23.24, con cargas
positivas en uno de sus extremos y cargas negativas en el otro,
será empujado hacia la izquierda, porque el campo eléctrico que
actúa sobre él es mayor en el lugar de las cargas negativas.
Obsérvese que ese campo eléctrico, indicado por las líneas de campo
en la figura 23.24, no es el campo generado por el cuerpo, sino más
bien es el generado por otras cargas que no se ven en esa figura.
Se suele llamar campo externo al campo eléctrico que actúa sobre un
cuerpo; en contraste, el campo generado por el cuerpo mismo se
llama campo propio (o campo autogenerado). Este último campo ejerce
sólo fuerzas internas en el cuerpo y no contribuye a la fuerza neta
que actúa sobre el cuerpo desde el exterior.
Si el campo eléctrico externo es uniforme, como el generado por
las grandes láminas planas descrito en las secciones anteriores,
las fuerzas sobre las cargas positivas y negativas en un cuerpo
neutro se anulan, y no hay fuerza neta. Sin embargo, puede haber
una torca. La figura 23.25 muestra un cuerpo neutro con carga
positiva en un extremo y carga negativa en el otro, dentro de un
campo eléctrico uniforme. El cuerpo porta cargas positivas y
negativas iguales, ± Q, y las posiciones promedio de esas cargas
separadas por una distancia /. Como ya se dijo en el ejemplo 1, ese
cuerpo se llama dipolo eléctrico. Ya que la fuerza sobre la carga
positiva, en la figura 23.25, es hacia la derecha, y la fuerza
sobre la carga negativa es hacia la izquierda, sobre el cuerpo se
ejerce una torca. La torca r de cada fuerza respecto al centro del
cuerpo es r = rF sen 6; es decir, el producto de la distancia del
centro (r = -y/), la magnitud de la fuerza (F = QE) y el seno del
ángulo entre la línea de campo que pasa por el centro y la fuerza
(sen 9). Así, la magnitud de la torca, debida a cada fuerza es t =
\ lQ E sen 9, y la torca total de ambas fuerzas es
r = —IQE sen 9 (23.16)
El signo menos en esta ecuación es un recordatorio de que en
este caso la torca tiene la dirección de las manecillas del reloj,
con el sentido de los ángulos negativos. La torca tiende a alinear
al cuerpo con el campo eléctrico.
-
23.5 Dipolo eléctrico en un campo eléctrico 743
La ecuación (23.16) se puede escribir en la forma
r = —p E sen 8 (23.17) la torca sobre el dipolo eléctrico
donde
p = IQ (23.18) momento dipolar
La cantidadp se llama momento dipolar del cuerpo; sólo es la
magnitud de la carga en cualquier extremo, multiplicada por la
separación entre las cargas. Las unidades delmomento dipolar son
coulomb-metros (C • m). También se puede presentar un vector vector
momento dipolar, pmomento dipolar p, cuya magnitud es igual al
momento dipolarp, y cuya dirección es de la carga negativa hacia la
carga positiva. Entonces, el vector torca se puede expresar
simplemente en términos del vector p como sigue:
r = p X E (23.19)
donde la dirección de t es, como de costumbre, el eje de
rotación.Correspondiendo a la torca (23.17) existe una energía
potencial, igual a la cantidad
de trabajo que se debe efectuar contra las fuerzas eléctricas
para girar el dipolo en determinado ángulo. Si se escoge 8 = 90°
como posición de referencia (cuando el dipolo es perpendicular al
campo), entonces, de acuerdo con la ecuación (13.4), el trabajo
efectuado para girar el dipolo en determinado ángulo 0 es
re rew = t d8 — —p E sen 8 dd = p E eos 8
•90° J90°= p E (eos 0 — 0)
90°
= p E eos 8
La energía potencial es el negativo del trabajo efectuado, U =
—W, y entonces
£/*» —pE eos 8 (23.20)
En función del vector momento dipolar p, la cantidad p E eos 9
es p • E, y la energía potencial U viene a ser
t / = - p • E (23.21)
La energía potencial (23.20) o (23.21) es mínima (—pE ) cuando
la orientación del dipolo es paralela al campo eléctrico {8 = 0) y
es máxima (+pE) cuando la orientación es antiparalela al campo
eléctrico (8 = 180°). La figura 23.26 es una gráfica de la energía
potencial en función del ángulo 9. La orientación de equilibrio del
dipolo es la orientación paralela, que corresponde al mínimo de la
energía potencial.
Muchas moléculas asimétricas tienen momentos dipolares
permanentes debido a un exceso de electrones en uno de sus
extremos, y un déficit correspondiente en el otro. Eso quiere decir
que la molécula tiene una acumulación de carga negativa en un
extremo y de carga positiva en el otro. Por ejemplo, la figura
23.27 muestra la estructura de una molécula de agua. En ella, los
electrones tienden a concentrarse en el átomo de oxígeno; en la
figura 23.27, el lado izquierdo de la molécula tiene carga
negativa, y el lado derecho, positiva. Debido a la separación de
las posiciones promedio de las cargas negativas y positivas, la
molécula tiene un momento dipolar. La dirección del vector dipolo
es del lado negativo de la molécula hacia el lado positivo. Para
una molécula de
energía potencial del dipolo
pE
-pE
agua en vapor de agua, el momento dipolar es p = 6.1 X 10 J° C •
m
FIGURA 23.26 Energía potencial de un dipolo eléctrico como una
función del ángulo.
-
744 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
FIGURA 23.27 Posiciones de los átomos de hidrógeno (rojos) y de
oxígeno (azul) en una molécula de agua. La dirección del vector
momento dipolar p es del lado negativo de la molécula hacia el lado
positivo.
momento dipolar inducido
Una molécula de agua está dentro de un campo eléctrico de2.0 X
105 N /C . ¿Cuál es la diferencia entre las energías poten
ciales de las direcciones paralela y antiparalela de la molécula
en ese campo?
SOLUCION: Como se acaba de decir, el momento dipolar de la
molécula de agua esp = 6.1 X 10 30 C • m. Cuando el dipolo es
paralelo al campo eléctrico, el ángulo 6 en la ecuación (23.20) es
cero, y
U = —p E eos 0o = ( -6 .1 X l ( T 3OC -m )(2.0 X 105 N /C
)(l)
= -1 .2 X 10_24J
Cuando el dipolo es antiparalelo al campo eléctrico, el ángulo
es 180°, y
U = —p E eos 180° = ( -6 .1 X 10_3° C • m)(2.0 X 105 N /C )(-1
)
= 1.2 X 10“24J
Por consiguiente, la diferencia de energías entre las
orientaciones paralela y antiparalela es 2.4 X 10 24 J.
Las moléculas de átomos que no tienen momento dipolar pueden
adquirir un momento dipolar temporal cuando se colocan en un campo
eléctrico. Las fuerzas eléctricas contrarias sobre las cargas
positivas y negativas pueden distorsionar la molécula, y producir
una separación de cargas. Ese momento dipolar, que sólo dura
mientras la molécula está inmersa en el campo eléctrico, se llama
momento dipolar inducido. La magnitud del momento dipolar inducido
suele ser directamente proporcional a la magnitud del campo
eléctrico que la causa. Este comportamiento lineal del momento
dipolar inducido se usa en aparatos que almacenan carga eléctrica,
que se describirán en el capítulo 26.
EJEMPLO 9
Revisión 23.5PREGUNTA 1: La torca sobre un dipolo, en un campo
eléctrico, depende del ángulo entre el dipolo y el campo eléctrico.
¿Para qué ángulo la torca es máxima?PREGUNTA 2: ¿Para qué ángulo
entre el dipolo y el campo eléctrico la energía potencial es
cero?PREGUNTA 3: Considérese un cuerpo con un dipolo inducido. Si
el cuerpo está en un campo eléctrico no uniforme (más intenso en
una región que en otra) ¿se esperaría que el cuerpo sea atraído a
la región de campo eléctrico más intenso, o empujado a la región de
campo eléctrico más débil?PREGUNTA 4: El vector momento dipolar
eléctrico permanente, de un cuerpo, se dirige a lo largo del eje
+x. Se aplica un campo eléctrico en dirección +y. La torca sobre el
dipolo hará que el vector momento dipolar haga un giro, ¿hacia qué
dirección?
(B) +y (C) - y (D) + z (E) - z(A) - x
-
Resumen 745
RESUMENTÉCNICAS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Campos eléctricos
(página 728)
TÉCNICAS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Campo eléctrico de una
distribución de cargas (página 732)
LA FÍSICA EN LA PRÁCTICA Precipitadores electrostáticos (página
735)
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Las fuerzas eléctricas y los campos
eléctricos producidos por diferentes cargas o por diferentes
distribuciones de cargas se combinan mediante suma vectorial.
DEFINICIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICOE = í
7(23 .5 )
UNIDAD SI DE CAMPO ELÉCTRICO 1 newton/coulomb = 1 N /C
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL q'Su dirección es radial
hacia afuera para carga positiva, y radial hacia dentro para carga
negativa.
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA M agnitud
de la contribución:
El campo total E = E j. + £ jj + iszk se obtiene sumando las
contribuciones para cada componente; por ejemplo, jEj. = JdEx,
siendo:
donde d es el ángulo entre la contribución al campo eléctrico y
el eje x.
dE1 dq
47re0 r2
1 dqd E . = eos 6 dE = -------eos d —r
4tt€0 r
(23 .7 )
(23 .8 )
DISTRIBUCIONES DE CARGA LINEAL Y SUPERFICIALLineal:
Superficial:
dq = A dL , estando A en coulombs entre metros
(23 .9 )
dq = cr dA, estando a en coulombs entre metro cuadrado
CAMPO ELÉCTRICO DE UN ALAMBRE DELGADO INFINITO Y UNIFORMEMENTE
CARGADOLa dirección es perpendicular al alambre (alejándose de él
para + A y hacia él, para — A).
E =1 A
2tt60 r(23 .10)
CAMPO ELÉCTRICO DE UNA LÁMINA INFINITA Y UNIFORMEMENTE CARGADALa
dirección es perpendicular a la lámina (alejándose de ella para
+< jy hacia ella, para — cr).
(23 .12)
-
746 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
CAMPO ELÉCTRICO DE UN PAR DE LÁMINAS PARALELAS PLANAS, CON CARGA
OPUESTA E =
a
E = 0
(entre las láminas)
(fuera de las láminas)
PROPIEDADES DE LAS LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICOLas líneas son
tangentes al vector campo eléctrico en cualquier punto.La densidad
de las líneas es proporcional a la magnitud del campo.Las líneas de
campo no se cruzan.
Las líneas de campo comienzan en cargas positivas y terminan en
cargas negativas.
La cantidad de líneas de campo que salen de una carga positiva o
terminan en una carga negativa es proporcional a la carga.
MOVIMIENTO EN E UNIFORME F yEa = — = —
m m(23.14)
v = v0 + a/
1 2r = rQ + v0¿ + j a /
MOMENTO DIPOLAR ELÉCTRICO /> = /£} (23.18)La dirección del
vector momento dipolar p es de — a + .
TORCA EN EL DIPOLO
ENERGÍA POTENCIAL DEL DIPOLO
r = —p E sen 0 o t = p X E (23 .17 ,23 .19 )
U = — p E eos 6 o U - — p 'E (23 .20 ,23 .21 )
PREGUNTAS PARA DISCUSIÓN1. ¿Hay alguna diferencia cuando el
valor de la carga q en la ecua
ción que define al campo eléctrico [ecuación (23.5)] es positivo
o negativo?
2. ¿Cómo se definiría formalmente al vector campo gravitacional?
¿Es igual la unidad del campo gravitacional que la unidad de campo
eléctrico? De acuerdo con la definición ¿cuáles son la magnitud y
la dirección del campo gravitacional en la superficie de la
Tierra?
3. Una lámina grande y plana, que mide L X L; tiene una
distribución uniforme de cargas. Aproximadamente ¿a qué distancia
del centro de la lámina se esperaría que el campo eléctrico fuera
muy diferente del campo uniforme que produce una lámina
infinitamente grande?
4. Si se suelta una carga puntual positiva y parte del reposo en
un campo eléctrico ¿coincidirá su trayectoria con una línea del
campo? ¿Y si la carga puntual tiene masa cero?
5. Un tubo de fuerza es el volumen que encierra un haz de líneas
de campo adyacentes (véase la figura 23.28). Ese tubo de fuerza es
análogo a un tubo de corriente en hidrodinámica, y las líneas de
campo son análogas a las líneas de corriente. A lo largo de ese
tubo de fuerza, la magnitud del campo eléctrico varía en proporción
inversa al área transversal del tubo. ¿Por qué?
-
Problemas 747
6. Una carga puntual negativa, —q, está frente a una lámina
plana muy grande, con una distribución uniforme de cargas
positivas. Si se realiza un esquema aproximado de las líneas de
campo. ¿Hay algún punto donde el campo eléctrico sea cero?
7. Una línea muy larga de cargas positivas está a lo largo del
eje z. Una lámina plana, muy grande, de carga positiva está en el
plano x-y. Se deben trazar algunas de las líneas de campo eléctrico
neto producido por las dos distribuciones de carga actuando
juntas.
8. Una placa grande, plana y aislante tiene carga uniformemente
distribuida en su volumen. Se deben trazar las líneas de campo en
ambas caras de la placa, y dentro de ella; ponga mucha atención a
los puntos donde comienzan las líneas de campo.
9. Si el Universo es topológicamente cerrado, una recta trazada
en cualquier dirección regresa hacia ella misma, desde la dirección
opuesta. En este caso ¿la carga neta del Universo puede ser
distinta de cero?
10. ¿Cómo se podría construir una brújula que indicara la
dirección del campo eléctrico?
11. Cuando un cuerpo metálico neutro, aislado de la tierra, se
coloca en un campo eléctrico, desarrolla separación de cargas:
adquiere carga positiva en un extremo y carga negativa en el otro.
Eso quiere decir que el cuerpo adquiere un momento dipolar
inducido. ¿Cómo se relaciona la dirección de este momento dipolar
con la dirección del campo eléctrico?
12. Un dipolo eléctrico está en el origen, orientado
paralelamente al eje z. Otro dipolo eléctrico está a cierta
distancia, en el eje x. El campo eléctrico del primer dipolo ejerce
entonces una torca sobre el segundo dipolo. ¿Para qué orientación
del segundo dipolo la energía potencial es mínima?
PROBLEMAS23.1 El campo eléctrico de cargas puntuales 7
1. Se han medido campos eléctricos hasta de 3.4 X 105 N/C en
aviones que atraviesan nubes de tormenta. ¿Cuál es la fuerza sobre
un electrón expuesto a ese campo? ¿Cuál es la aceleración?
2. Se observa que un electrón que atraviesa un campo
eléctricotiene una aceleración de 1.0 X 1016 m/s2 en dirección x.
¿Cuál 8.debe ser la magnitud y la dirección del campo eléctrico que
produce esa aceleración?
3. El ejemplo 2 muestra los componentes x y y y la magnitud
delcampo eléctrico cerca de una nube de tormenta. ¿Cuál es la di-
9.rección de ese campo eléctrico?
4. La Tierra tiene un campo eléctrico atmosférico. En días de
buen tiempo (sin nubes de tormenta) ese campo eléctrico atmosférico
tiene una intensidad aproximada de 100 N/C, y apunta hacia abajo.
Tomando en cuenta este campo eléctrico y también la gravedad, ¿cuál
será la aceleración (magnitud y dirección) de un grano de polvo con
masa de 1.0 X 10 18 kg, que porta unsolo electrón de carga? 1 0
5. En el experimento de Millikan se mide la carga elemental e,
observando el movimiento de pequeñas gotas de aceite en un campo
eléctrico. Las gotas de aceite se cargan con una o varias cargas
elementales, y si el campo eléctrico (vertical) tiene la magnitud
correcta, la fuerza eléctrica sobre la gota equilibra su peso y la
mantiene suspendida en el aire. Suponga que una gota de aceite de
1.0 X 10 4 cm porta una sola carga elemental.¿Qué campo eléctrico
se requiere para balancear el peso? La densidad del aceite es 0.80
g/cm3.
6. En un tubo de rayos X, se someten electrones a un campo eléc-
11.trico de 8.0 X 105 N/C. ¿Cuál es la fuerza sobre un
electrón?¿Cuál es su aceleración?
De acuerdo con una estimación teórica, en la superficie de una
estrella de neutrones, con masa de 1.4 X 1030 kg y un radio de1.0 X
104 m, hay un campo eléctrico con magnitud de 6.0 X 103 N/C, que
apunta verticalmente hacia arriba. Compárese la fuerza eléctrica
sobre un protón, con la fuerza gravitacional sobre el protón.
Un cabello largo, tomado de la trenza de una muchacha, tiene 1.2
X 10 3 g de masa. Porta una carga de 1.3 X 10 9 C distribuida a
todo lo largo. Si se quisiera suspender ese cabello en el aire,
¿qué campo eléctrico (uniforme) se requeriría?Si un campo eléctrico
alcanza 3.0 X 106 N/C, se produce un corto (que genera chispas).
Con esta intensidad de campo, los electrones libres presentes en la
atmósfera inmediatamente se aceleran a tal velocidad que, al chocar
con átomos les arrebatan electrones y con ello generan una
avalancha de electrones. ¿A qué distancia debe moverse un electrón
libre, bajo la influencia del campo eléctrico mencionado, para que
adquiera una energía cinética de 3.0 X 10 J (suficiente para
producir ionización)? Los núcleos de átomos de un trozo de metal
sobre la superficie de la Tierra caerían al fondo del metal si su
peso fuera la única fuerza que actuara sobre ellos. En realidad, en
el interior de cualquier metal expuesto a la gravedad existe un
campo eléctrico muy pequeño dirigido verticalmente hacia arriba. La
fuerza eléctrica correspondiente sobre un núcleo apenas equilibra
el peso del núcleo. Demuéstrese que, para un núcleo de número
atómico Z y masa m, el campo necesario tiene una magnitud mg/(Ze).
¿Cuál es el valor numérico de este campo eléctrico en un trozo de
hierro?El átomo de hidrógeno tiene 5.3 X 10 11 m de radio. ¿Cuál es
la magnitud del campo eléctrico que produce el núcleo (un protón)
en ese radio?
-
CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
12. )̂¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en la
superficie de unnúcleo de uranio? El radio del núcleo es 7.4 X
1CT15 m,y la carga eléctrica es 92e. Para fines de este problema,
se puede considerar que la carga eléctrica está concentrada en el
centro.
13. La figura 23.29 muestra la distribución de las cargas
nucleares (cargas positivas) en una molécula de KBr. Calcúlese el
campo eléctrico que producen esas cargas en el centro de masa, a
unadistancia de 9.3 X 10 i del átomo de Br.
+35e / CM
+ 19eBr / CM
/9.3 x 10- 1 1 1
T1.89 x 10- 1 0 1
FIGURA 23.29 Cargas (nucleares) positivas en una molécula de
KBr.
14. Se supone que en un átomo de hidrógeno el electrón está
(momentáneamente) a una distancia de 2.1 X 10~10 m del protón.
¿Cuál es el campo eléctrico neto que producen en conjunto el protón
y el electrón, en un punto a la mitad de la distancia entre
ellos?
*15. Si se coloca una carga de 1.0 X 10 10 C en el eje x, a 0.15
m del origen de un sistema coordenado (véase la figura 23.30),
¿cuál es la magnitud del campo eléctrico en un punto a 0.10
marriba, en el eiejeyr
FIGURA 23.30 Una carga puntual.
17. Cuatro cargas puntuales de ± Q se colocan en las esquinas dt
un cuadrado de lado L, que se observa en la figura 23.32. En el
punto medio de cada uno de los cuatro lados del cuadrado, calcúlese
la magnitud y la dirección del campo eléctrico.
-Q +Q
FIGURA 23.32 Cuatro cargas puntuales.
*18. La distancia entre el núcleo de oxígeno y cada uno de los
núcleos de hidrógeno en una molécula de H 20 es 9.58 X 10 11 m; el
ángulo entre los átomos de hidrógeno es 105° (véase la figura
23.33). Calcúlese el campo eléctrico producido por las cargas
nucleares (cargas positivas) en el punto P, a una distancia de 1.20
X 10 10 m a la derecha del núcleo de oxígeno.
*19. La figura 23.34 muestra la distribución de cargas en una
nube de tormenta. Hay una carga de 40 C a una altura de 10 km, de
~40 C a 5.0 km y de 10 C a 2.0 km. Considerando que esas cargas son
puntuales, calcúlese el campo eléctrico (magnitud y dirección) que
producen a una altura de 8.0 km y a 3.0 km de distancia
horizontal.
*16, Tres cargas puntuales, — Q, 2Q y — Q, se distribuyen sobre
una línea recta, como muestra la figura 23.31. ¿Cuál es el campo
eléctrico que producen las cargas a una distancia x a la derecha de
la carga central?
- O +40 C
U ,7 > r- rj >1k wW y
-Qy Q <2 Q -Q
9 ►
10 km
5.0 km
- O - 4 0 C
-Q + 10C2.0 km
FIGURA 23.31 Tres cargas puntuales. FIGURA 23.34 Cargas en una
nube de tormenta.
-
Problemas 749
*20. Supóngase que un avión atraviesa la nube de tormenta
mencionada en el problema 19, a una altura de 8.0 km. Debe trazarse
la magnitud del campo eléctrico en función de la posición, a lo
largo de la trayectoria del avión: se sugiere comenzar con el avión
a 10 km de distancia de la nube.
*21. Para las cuatro cargas de nube de tormenta y de imagen, en
la figura 23.5, calcúlese la magnitud del campo eléctrico a
distancias horizontales de 2.0,4.0,6.0,8.0 y 10 km del punto en el
suelo, directamente debajo de las cargas de tormenta. Trácese la
gráfica de la magnitud del campo en función de la distancia
horizontal.
*22. En una malla de réd cristalina de sal común, hay ocho
iones, C F y Na+, en los vértices de un cubo que mide 2.82 X 10"10
m por lado (véase la figura 23.35). Calcúlese la magnitud de la
fuerza eléctrica que ejercen siete de esos iones sobre el
octavo.
Nal. Cl“
crFIGURA 23.25 Iones C1 y Na+ en un cristal de sal.
*23. Para las tres cargas descritas en el problema 16, vuelva a
considerar el campo eléctrico en un punto sobre el eje x positivo.
¿Cuál es la dependencia aproximada del campo eléctrico respecto a
la distancia x, para x » d? Es el campo eléctrico cua- drupolar.
[Sugerencia: Para S = (d/x) pequeña, úsese la aproximación (1 + 5)”
~ 1 + n8A
r r \*24. En siete de los vértices de un cubo de lado a hay
cargas idénti
cas + Q. El octavo vértice está vacío. A partir de
consideraciones de simetría, ¿cuál es la dirección del campo
eléctrico total en el vértice vacío? Calcúlese la magnitud del
campo eléctrico total en ese vértice.
23.2 El campo eléctrico de distribuciones continuas de carga
25. d) La ecuación (23.11) determina el campo eléctrico en el
ejede un anillo cargado. ¿Dónde es máxima la intensidad de ese
campo eléctrico?
b) Trácese un esquema aproximado del campo eléctrico en el
espacio que rodea al anillo.
26. Se pretende generar un campo eléctrico uniforme de 2.0 X 10’
N/C en el espacio que hay entre dos placas planas y paralelas,
metálicas, colocadas frente a frente. Las placas miden 0.30 cm X
0.30 cm. ¿Cuánta carga eléctrica se debe dar a cada placa?
Supóngase que el espacio entre las placas es pequeño, y que la
distribución de cargas y el campo eléctrico son aproximadamente
uniformes, como para las placas infinitas.
27. Una varilla recta y larga tiene una distribución uniforme de
carga eléctrica de 2.0 X 10 14 C por metro. ¿Cuál es el campo
eléctrico a una distancia perpendicular de 0.50 m de esta
varilla? ¿A 1.0 m? ¿A 1.5 m?
*28. Cada una de dos varillas rectas, muy largas, porta una
carga positiva de 1.0 X 10 12 C por metro. Una varilla está en el
eje x y la otra en el eje y. Calcúlese el campo eléctrico (magnitud
y dirección) en el punto x = 0.50 m,y = 0.20 m.
*29. Dos barras delgadas de longitud L, cada una con
distribución lineal uniforme A de carga, forman una cruz. Calcúlese
el campo eléctrico en un punto a la distancia L/2 de cada barra, en
el plano de la cruz.
*30. Considérese una línea infinitamente larga de carga, con
espesor cero y una distribución lineal A uniforme de carga.
Demuéstrese que la tensión en esa línea es infinita (por
consiguiente, esa línea es una imposibilidad física). Demuéstrese
que también la tensión es infinita en una línea de carga de
longitud finita.
*31. Cada una de dos varillas muy largas, rectas y paralelas,
tiene una carga positiva de A coulombs por metro. La distancia
entre las varillas es d (véase la figura 23.36). Calcúlese el campo
eléctrico en un punto equidistante de las varillas, a una distancia
2d de cada una. Trácese un diagrama que muestre la dirección del
campo eléctrico.
P
FIGURA 23.36 Dos varillas cargadas paralelas.
*32. Dos hilos infinitos de seda, con distribución lineal
uniforme A de carga, están a lo largo de los ejes x y y,
respectivamente. Determínese el campo eléctrico en un punto cuyas
coordenadas son x, y, z; suponga que x > 0 ,y > 0 y z > 0
.
*33. Una h'nea semiinfinita que tiene una distribución uniforme
de carga de A coulombs por metro, yace a lo largo del eje x
positivo, desde x = 0 hasta x = °°. Calcúlense los componentes del
campo eléctrico en el punto cuyas coordenadas son x,y, siendo z =
0. Considérese que x > 0,y > 0.
*34. Una línea semiinfinita que tiene una distribución uniforme
de carga de + A coulombs por metro, yace a lo largo del eje x
positivo, desde x = 0 hasta x = °°. Otra línea semiinfinita con
distribución de carga de — A coulombs por metro, yace a lo largo
del eje x negativo, desde x = 0 hasta x = °°. Calcúlese el campo
eléctrico en cualquier punto del eje y.
1 *351 Sobre tres hojas de papel, paralelas y grandes, hay carga
eléctrica uniformemente distribuida (véase la figura 23.37). Las
cargas por unidad de área en las hojas son 2.0 X 10 C/m”, 2.0 X10-6
C/m2 y —2.0 X 10-6 C/m2, respectivamente. La distancia entre una
hoja y la siguiente es 1.0 cm. Calcúlese la intensidad del campo
eléctrico E arriba de las hojas, debajo de las hojas y . Ien los
espacios entre las hojas. En cada caso, determínese la dirección de
E.
-
750 CAPÍTULO 23 El campo eléctrico
FIGURA 23.37 Tres hojas de papel cargadas.
*36. yCada una de dos hojas de papel planas y muy grandes, tiene
una carga distribución uniforme de carga positiva de 3.0 X 10 4
C/m2. Las dos hojas de papel se cruzan formando un ángulo de 45°
(véase la figura 23.38). ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del
campo eléctrico en un punto entre las dos hojas?
Pf
FIGURA 23.38 Dos hojas grandes de papel que se cruzan.
*37. Dos hojas grandes de papel se cruzan formando ángulo recto.
Cada hoja contiene una distribución uniforme de carga positiva
(véase la figura 23.39). La carga de las hojas, por unidad de área,
es 3.0 X 10-6 C/m2. Calcúlese la magnitud del campo eléctrico en
cada uno de los cuatro cuadrantes. Trácese un esquema de las líneas
de campo en cada cuadrante.
FIGURA 23.39 Otras dos hojas de papel que se cruzan.
*38. El campo eléctrico en el interior de un trozo de metal,
expuesto a la gravedad terrestre (véase el problema 10) se debe a
la distribución de la carga superficial. Suponiendo que hay una
placa de acero horizontal (véase la figura 23.40), ¿cuáles deben
ser las densidades de carga superficial de las superficies superior
e inferior-
+ + + + + + +
FIGURA 23.40 Una placa horizontal de hierro.
*39. Una hoja de papel muy grande y plana, tiene carga
uniformemente distribuida en su superficie; la cantidad de carga
por unidad de área es a. Esa hoja de papel tiene un agujero de
radio R (véase la figura 23.41). Calcúlese el campo eléctrico en el
eje del agujero.
FIGURA 23.41 Una hoja de papel cargada, con un agujero.
*40. Un anillo de papel tiene radio interior y radio exterior
R2. Sobre la superficie del anillo hay una carga Q uniformemente
distribuida. ¿Cuál es el campo eléctrico en el eje del anillo, a
una distancia z del centro?
*41. A lo largo de una varilla delgada y recta de plástico, de
longituc /, hay una carga total Q distribuida uniformemente.a)
Determínese el campo eléctrico en el punto P, a una distan
cia x de uno de los extremos (véase la figura 23.42).b)
Determínese el campo eléctrico P’ a una distancia y del pun
to medio de la varilla (véase la figura 23.42).
P' yf
+ + -)- + + +
l
-
Problemas 751
*42. Dos varillas paralelas infinitas están separadas por una
distancia 2d. Una tiene una carga positiva A distribuida
uniformemente, y la otra una carga contraria, — A. Las varillas son
paralelas al eje z y cruzan al plano x-y en x = 0,y = ±d.
Determínese el campo eléctrico en un punto del eje x positivo.
¿Cómo se comporta E cuando x » d?
*43. Considérese la posib