EjerciciosAlgebraLineal CFONSECA

8/16/2019 EjerciciosAlgebraLineal CFONSECA

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Universidad de Costa Rica

Facultad de CienciasEscuela de Matem ática

Ejercicios de Álgebra Lineal.

Christian Fonseca Mora

2012

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Índice

1. Prefacio 2

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales 4

3. Matrices 13

4. Determinantes 33

5. Geometr´ ıa vectorial de Rn 45

6. Rectas y planos en Rn 56

7. Espacios vectoriales reales 78

8. Espacios con producto interno, ortogonalidad y proyecciones 95

9. Transformaciones lineales 109

10. Valores y vectores propios de operadores y matrices 126

11. Formas cuadr´ aticas, secciones c ´ onicas y supercies cuadr´ aticas 137

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Ejercicios de Álgebra lineal Prof. Christian Fonseca

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Considere el sistema de ecuaciones lineales

1 3 p

−1

−3 p −7x

y z=

179

a) Determine para que valores de p y de b el vectorb8

b + 7es soluci ón del sistema.

Respuesta:Para que el vector ( b, 8, b + 7)t sea soluci ón del sistema, es necesario que:

1 ·b + 3 p ·8 −(b + 7) = 17

−3

·b + p

·8

−7

·(b + 7) = 9

b + 24 p−b −7 = 17

−3b + 8 p

−7b

−49 = 9

24 p = 24

−10b + 8 p = 58 p = 1

−5b + 4 p = 29 p = 1 y b = −5

b) En el sistema de ecuaciones dado, sustituya p por el valor que encontr´ o en la parte (a) ydetermine el conjunto soluci ón del sistema.

Respuesta:Sustituyendo p = 1, se obtiene el sistema en forma de matriz aumentada dado por

1 3 −1 17−3 1 −7 9

3 f 1 + f 2

−→ 1 3 −1 170 10 −10 60

110 f 2

−→ 1 3 −1 170 1 −1 6

−3 f 2 + f 1−→

1 0 2 −10 1 −1 6Entonces tenemos el sistema:

x1 + 2x3 = −1x2 −x3 = 6Tomando x3 = t, se tiene x1 = −1−2t y x2 = 6 + t. Por lo tanto, el conjunto soluci ón del sistemaes {(−1 −2t, 6 + t, t) t R }.

2. Dado el sistema de ecuaciones lineales

px1 + 2x2 + 3x3 = 2 px1 + px2 + ( p + 1)x3 = p

px1 + px2 + (2 p−2)x3 = 2 p−2Determine para que valor o valores de p el sistema: (a) tiene innitas soluciones, (b) tiene soluci´ onúnica, (c) no tiene soluci ón.

Respuesta:

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Planteamos el sistema con matriz aumentada:

p 2 3 2 p p ( p + 1) p p p (2 p

−2) 2 p

−2

− f 1 + f 2−→

− f 1 + f 3

p 2 3 20 p−2 p−2 p−20 p

−2 2 p

−5 2 p

−4

− f 2 + f 3−→

p 2 3 20 p−2 p−2 p−20 0 p−3 p−2

= R

A partir de la matriz aumentada R presentamos los distintos casos de soluci´ on del sistema:

a) Tiene innitas soluciones: Para esto, alguna la debe de ser de ceros;

Si p= 2, entonces

R =2 2 3 20 0 0 00 0 −1 0

3 f 3 + f 1

−→2 2 0 20 0 0 00 0 1 0

− f 3−→12 f 2

1 1 0 10 0 0 00 0 1 0

f 2 f 3−→

1 1 0 10 0 1 00 0 0 0

Entonces, x3 = 0 y x1 = 1 −x2. Las soluciones son de la forma {(1 −t, t, 1) t R }b) Solución única: en este caso se necesita entonces que no existan las nulas, i.e. Rng( A) = 3,

Si p 0, p 2 y p 3. Se tiene de la matriz R que,

R

1 p f 1

−→1 p−2 f 21 p−3 f 3

1 2

p3 p

2 p

0 1 1 10 0 1 p−2 p−3

−2 p f 2 + f 1−→

1 0 1

p 00 1 1 10 0 1 p−2 p−3

−1 p f 3 + f 2−→

− f 3 + f 2

1 0 0 −1 p p−2 p−3

0 1 0 −1 p−30 0 1 p−2 p−3

La soluci ón única es ( x1, x2, x3) = −1 p p−2 p−3 , −

1 p−3 ,

p−2 p−3 .

c) No tiene soluci ón: en este caso se tiene la presencia de las inconsistentes;

Si p = 0

R =0 2 3 20 −2 −2 −20 0 −3 −2

−12 f 2−→ −13 f 3

0 2 3 20 1 1 10 0 1 23

12 f 2

−→− f 3 + f 2

0 1 32 10 1 0 130 0 1 23

−32 f 3 + f 1−→

0 1 0 00 1 0 130 0 1 23

− f 1 + f 2−→

0 1 0 00 0 0 130 0 1 23

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Por lo tanto el sistema tiene una ecuaci ón inconsistente y no hay soluci ón.

Si p = 3

R =3 2 3 20 1 1 10 0 0 1

Entonces el sistema tiene una ecuaci ón inconsistente.

3. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 = −2x1 + 3x2 + 6x3 + 5x4 = −3 px1 + px2 + 2 px3 + ( p2 + 4 p)x4 = 1a) Determinepara qu´ e valor o valoresde pel sistema tiene innitas soluciones con un par´ ametro.

Respuesta:Planteamos la matriz aumentada. Tome, p 0, entonces

1 2 4 4 −21 3 6 5 −3 p p 2 p ( p2 + 4 p) 1

− f 1 + f 2−→

− p f 1 + f 31 2 4 4 −20 1 2 1 −10 − p −2 p p2 1 + 2 p

−2 f 2 + f 1−→

p f 2 +

f 3

1 0 0 2 00 1 2 1 −10 0 0 p( p

+

1) ( p+

1)

= R

Como el sistema tiene menos ecuaciones que variables, entonces si tiene soluci ón, las solu-ciones son innitas. Entonces para que el sistema sea consistente, con soluciones innitasdependiendo de un par´ ametro, es necesario que hayan 3 las no nulas en la matriz, es decir,que p −1.Si p = 0, entonces del sistema original,

1 2 4 4 −21 3 6 5 −30 0 0 0 1

En este caso el sistema es inconsistente.b) Resuelva el sistema para este caso (es decir, cuando tiene innitas soluciones con un par´ ame-

tro).

Respuesta:Si p 0 y p −1, partiendo de la matriz R,

R1

p( p+ 1) f 3

−→1 0 0 2 00 1 2 1 −10 0 0 1 1 p

− f 3 + f 2−→

−2 f 3 + f 1

1 0 0 0 −2 p0 1 2 0 −( p+ 1) p0 0 0 1 1 p

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De donde se obtiene el sistema equivalente, x1 = −2 p , x2 = −( p+ 1) p −2x3 y x4 = 1 p . Entonces el

conjunto de soluciones del sistema es −2 p , −( p+ 1) p −2t, t, 1 p t R

4. Para la siguiente matriz aumentada que corresponde a un sistema de ecuaciones lineales:

A =

1 0 0 20 a−2 0 00 0 b + 1 c0 0 c 0

a) Determine cu´ales son los valores de a, b y c de tal forma que el rango de la matriz aumentadadel sistema sea 1.

Respuesta:Para que el Rango( A) = 1, se necesita que s ólamente una la de A sea no nula. Tome a = 2,b =

−1 y c = 0, con lo que s ólo la primera la no es nula.

b) Determine cu áles son los valores de a, b y c de tal forma que el rango de la matriz aumentadadel sistema sea 2.

Respuesta:Para que Rango( A) = 2, es necesario que dos las de A no sean nulas. Se requiere entoncesprimero que c = 0, y se presentan 2 posibilidades:

1) a = 2 y b −1. Las las nulas son la 2 y 4.2) b = −1 y a 2 Las las nulas son la 3 y 4.

c) Determine cu áles son los valores de a, b y c de tal forma que el rango de la matriz aumentada

del sistema sea 3.

Respuesta:Como la matriz A tiene 4 las, para que el Rango(a) = 3 es necesario que s ólamente una lade A sea nula. Para que esto suceda, se necesita a 2, b −1 y c = 0.

d) Determine cu áles son los valores de a, b y c de tal forma que el sistema no tenga soluci ón.

Respuesta:Para que tenga ecuaciones inconsistentesuna la deA debeser nuladel ladode los coecientesy no nula del lado aumentado. La ´ unica la con esta posibilidad es la tercera. De modo quees necesario que b =

−1 y c 0, con a

R .

e) Determine el conjunto soluci´ on del sistema cuando tiene soluci´ on única.

Respuesta:Para que el sistema tenga soluci´ on única, como se tienen 3 variables (3 columnas en la partede coecientes de A), entonces se necesita Rango( A) = 3. Entonces si a 2, b −1 y c = 0

A =

1 0 0 20 a−2 0 00 0 b + 1 00 0 0 0

1a−2 f 2−→1b+ 1 f 3

1 0 0 20 1 0 00 0 1 00 0 0 0

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La soluci ón única es x1 = 2, x2 = 0, x3 = 0.

5. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y + z = 1

2x + py + 2 z = −24x + 2 py + 4 z = ma) Determine para cu áles valores de p y m el sistema tiene innitas soluciones dependiendo de

un par ámetro.

Respuesta:Planteamos el sistema con matriz aumentada:

1 1 1 12 p 2 −24 2 p 4 m

−2 f 2 + f 3

−→

1 1 1 12 p 2 −20 0 0 m + 4

= R

Note que si m −4, el sistema tiene una ecuaci´ on inconsistente, y por tanto no tiene soluci´ on.Si p = 2 y m = −4, entonces

R =1 1 1 12 2 2 −20 0 0 0

−2 f 1 + f 2−→

1 1 1 10 0 0 −40 0 0 0

El sistema tiene entonces una ecuaci ón inconsistente, de modo que p 2.Si p 2 y m =

−4, entonces,

R =1 1 1 12 p 2 −20 0 0 0

−2 f 1 + f 2−→

1 1 1 10 p−2 0 −40 0 0 0

= B

Y se tiene entonces que Rng( A) = 2.Por consiguiente, el sistema tiene soluciones innitas dependiendo de un par ámetro si p 2y m = −4.

b) Con los valores de p y m encontrados en a), resuelva el sistema cuando tiene innitas solucio-nes dependiendo de un par´ ametro.

Respuesta:Por la parte a), si p −2 y m = −4.

B =1 1 1 10 p−2 0 −40 0 0 0

1 p−2 f 2−→

1 1 1 10 1 0 −4 p−20 0 0 0

− f 2 + f 1−→

1 0 1 p+ 2

p−20 1 0 −4 p−20 0 0 0

Se tiene entonces el sistema x1 = p+ 2 p−2 − x3 y x2 = −

4 p−2 . Por tanto, el conjunto soluci ón es p+ 2

p−2 −t, −4

p−2 , t t R .

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6. Para la siguiente matriz aumentada que corresponde a un sistema de ecuaciones lineales:

1 −4 7 g0 3 −5 h

−2 5

−9 k

a) Encuentre una ecuaci´ on que contenta a los valores reales g, h, k de tal manera que la matrizaumentada anterior corresponda a un sistema consistente.

Respuesta:

1 −4 7 g0 3 −5 h−2 5 −9 k

2 f 1 + f 3

−→1 −4 7 g0 3 −5 h0 −3 5 k + 2 g

f 2 + f 3

−→1 −4 7 g0 3 −5 h30 0 0 h + k + 2 g

13 f 2

−→1 −4 7 g0 1 −53 h30 0 0 h + k + 2 g

4 f 2 + f 1

−→1 0 13 3 g

+

4h30 1 −53 h30 0 0 h + k + 2 g

= R

Para queel sistema seaconsistente,entonces h, k y gdebendesatisfacer laecuaci ón 0 = h+ k + 2 g.

b) Determine el conjunto soluci´ on del sistema consistente correspondiente a la matriz aumenta-da anterior.

Respuesta:Por la parte a), si se cumple que h + k + 2 g = 0, entonces la matriz R corresponde al sistema:x1 = 3 g

+ 4h3 −13x3, x2 = h3 + 53x3. El conjunto soluci ón es entonces: 3 g

+ 4h3 − 13 t, h3 + 53 t, t t R .

7. Dado el siguiente sistema homog éneo de ecuaciones lineales:

2x + ky + z + w = 03x + (k −1) y−2 z−w = 0x −2 y + 4 z + 2w = 02x + y + z + 2w = 0

Determine los valores reales de k para los cuales el sistema de ecuaciones anterior tiene solucionesdistintas de la trivial, es decir, diferentes a (0 , 0, 0, 0).

Respuesta:

Planteamos el sistema con matriz:

2 k 1 13 k −1 −2 −11 −2 4 22 1 1 2

f 1 f 3−→

1 −2 4 23 k −1 −2 −12 k 1 12 1 1 2

−2 f 1 + f 3−→

−3 f 1 + f 2−2 f 1 + f 4

1 −2 4 20 k + 5 −14 −70 k + 4 −7 −30 5 −7 −2

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− f 2 + f 3−→

1 −2 4 20 k + 5 −14 −70 −1 7 40 5 −7 −2

− f 3−→

1 −2 4 20 k + 5 −14 −70 1 −7 −40 5 −7 −2

− f 4 + f 2−→

2 f 3 + f 1

1 0 −10 −60 k −7 −50 1 −7 −40 5 −7 −2

−5 f 3 + f 4−→

1 0 −10 −60 k −7 −50 1 −7 −40 0 28 18

128 f 4

−→

1 0 −10 −60 k −7 −50 1 −7 −40 0 1 914

10 f 4 + f 1

−→7 f 4 + f 27 f 4 + f 3

1 0 0 370 k 0 −120 1 0 120 0 1 914

= R

Si k = 0, entonces,

R =

1 0 0 370 0 0 −

12

0 1 0 120 0 1 914

−2 f 2−→

1 0 0 370 0 0 10 1 0 120 0 1 914

−37 f 2 + f 1

−→−12 f 2 + f 3−914 f 2 + f 4

1 0 0 0

0 0 0 10 1 0 00 0 1 0

−→1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Por lo tanto, si k = 0 el sistema sólamente tiene la soluci´ on trivial.

Ahora, si k 0,

R =

1 0 0 370 k 0 −120 1 0

120 0 1 914

−k f 3 + f 2−→

1 0 0 370 0 0 −(k + 1)20 1 0

12

0 0 1 914

= S

Si k = −1, la matriz S tiene 3 las no nulas, y por tanto el sistema tiene innitas soluciones. Por otraparte, si k −1,

S−2(k + 1) f 2−→

1 0 0 370 0 0 10 1 0 120 0 1 914

−37 f 2 + f 1−→−12 f 2 + f 3

−914 f 2 + f 4

1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 0

−→1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

De modo que si k 0 y k

−1, entonces la soluci ón es única. Se concluye que el valor k =

−1 es el

que produce soluciones distintas a la trivial.

8. Considere el sistema de ecuaciones lineales que se da a continuaci ón

x + y = 3bx + by + z = a + 4b

ax + ay = 4abx + by − z = b

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Determine todos los valores de a y de b para los cuales el sistema es consistente. Determine elconjunto soluci ón del sistema en los casos en que es consistente.

Respuesta:

1 1 0 3b b 1 a + 4ba a 0 4ab b −1 b

− f 2 + f 4−→

1 1 0 3b b 1 a + 4ba a 0 4a0 0 −2 −a −3b

−12 f 4−→

1 1 0 3b b 1 a + 4ba a 0 4a0 0 1 a+ 3b2

− f 4 + f 2−→

1 1 0 3b b 0 a+ 5b2a a 0 4a0 0 1 a+ 3b2

= B

Si a = 0,

B =

1 1 0 3b b 0 5b20 0 0 00 0 1 3b2

= C

Si b = 0,

C =

1 1 0 30 0 0 00 0 0 0

0 0 1 0Entonces, Rng( A) = 2 y el sistema tiene soluciones innitas S = {(3 −t, t, 0) t R }.

Si b 0

C1b f 2

−→

1 1 0 31 1 0 520 0 0 00 0 1 3b2

− f 1 + f 2−→

1 1 0 30 0 0 −120 0 0 00 0 1 3b2

En este caso el sistema no tiene soluci´ on porque tiene una ecuaci´ on inconsistente.

Si a 0,

A1a f 3

−→

1 1 0 3b b 0 a+ 5b21 1 0 40 0 1 a+ 3b2

− f 1 + f 3−→

1 1 0 3b b 0 a+ 5b20 0 0 10 0 1 a+ 3b2

Entonces el sistema tiene una ecuaci´ on inconsistente y por tanto no tiene soluci´ on si a 0 paracualquier valor de b R .

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En res úmen, se concluye que:

a) El sistema es inconsistente si1) a 0, b R .2) a = 0, b 0.

b) El sistema es consistente si a = 0,b = 0 y la soluci ón es S = {(3 −t, t, 0) t R }.9. Considere el sistema de ecuaciones lineales que se da a continuaci´ on

ax + ay + 2aw = 0x + 2 y + 3w = −1x + 2 y + z + 3w = a−b −1x + 2 y + 3w = a2 + b2 −1

a) Determine todos los valores de a y de b para los cuales el sistema es inconsistente.

Respuesta:

a a 0 2a 01 2 0 3 −11 2 1 3 a−b −11 2 0 3 a2 + b2 −1

− f 2 + f 3−→

− f 2 + f 4

a a 0 2a 01 2 0 3 −10 0 1 0 a−b0 0 0 0 a2 + b2

= B

Para que el sistema sea consistente es necesario que a2 + b2 = 0 lo que se da si y sólo si a = 0 yb = 0 ya que a2 ≥ 0, b2 ≥ 0 y a2 > 0 si a 0 y b2 > 0 si b 0.

Entonces el sistema es inconsistente si alguno de los dos, a o b es distinto de cero, i.e. si ocurrealguno de los casos:

1) a 0, b R .2) b 0, a R .

b) Determine el conjunto soluci ón del sistema en los casos en que es consistente.

Respuesta:El sistema es consistente si a = b = 0, entonces, sustituyendo en B

B =

0 0 0 0 0

1 2 0 3 −10 0 1 0 00 0 0 0 0

Entonces x = −1 −2 y−3w y z = 0, por tanto S = {(−1 −2t −3s, t, 0, s) t, s R }.

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3. Matrices

1. Se dan las matrices cuadradas, del mismo orden, A, B, C y X con A y B invertibles, tales que( AXB)t + C = I (donde I es la matriz identidad).

a) Use las operaciones con matrices y sus propiedades para despejar X en términos de las ma-trices I , A, B y C (no use sistemas de ecuaciones).

Respuesta:

( AXB)t + C = I [( AXB)t + C]t = I t (aplicamos transpuestas) [( AXB)t]t + Ct = I (propiedad transpuesta de la suma) AXB+ Ct = I (propiedad transpuesta de la transpuesta)

A−1 ·[ AXB + ·Ct] = A−1 ·I (multiplicando por A−1) A−1· AXB + A−1

·Ct = A−1

·I (propiedad de distributividad)

XB + A−1 ·Ct = A−1 (denici ón de inversa) XB = A−1 ·[I −Ct] (distributividad del producto en suma) XB·B−1 = A−1 ·[I −Ct] ·B−1 (multiplicando por B−1) X = A−1 ·[I −Ct] ·B−1 (denici ón de inversa)

b) Según lo que se obtuvo en (a), determine X si

A = 1 −21 −3 B = 2 31 2 C

=1 23 4

Respuesta:

1 −2 1 01 −3 0 1 − f 1 + f 2

−→ 1 −2 1 00 −1 −1 1 −

f 2

−→ 1 −2 1 00 1 1 −1

2 f 2 + f 1

−→ 1 0 3 −20 1 1 −1

A−1 = 3 −21 −1 2 3 1 01 2 0 1

f 1 f 2−→

1 2 0 12 3 1 0 −

2 f 1 + f 2

−→ 1 2 0 10 −1 1 −2

− f 2−→

1 2 0 10 1 −1 2

−2 f 2 + f 1−→

1 0 2 −30 1 −1 2 B−1 = 2 −3

−1 2

Ct = 1 32 4

Entonces,

X = 3 −21 −1 ·1 00 1 −

1 32 4 ·

2 −3−1 2

X = 11 −184 −62. Se dan las matrices cuadradas, del mismo orden, A, B y X con A −B invertible, tales que XAt =I + (BX t)t (donde I es la matriz identidad).

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a) Use las operaciones con matrices y sus propiedades para despejar X en términos de las ma-trices I , A y B (no use sistemas de ecuaciones).

Respuesta:

XAt = I + (BX t)t

XAt = I + (X t)tBt (transpuesta de un producto) XAt = I + XBt (transpuesta de una matriz transpuesta) XAt −XBt = I (restando XBt a ambos lados de la igualdad) X ·( At −Bt) = I (distributividad del producto sobre la resta) X ·( A −B)t = I (distributividad del producto en resta) (X ·( A −B)t)t = I t (aplicando transpuestas) ( A −B) ·X t = I (transpuesta de un producto

( A −B)−1 ·( A −B) ·X t = ( A −B)−1 ·I (multiplicando por ( A −B)−1) X t = ( A−

B)−1

·I (aplicando denici ón de inversa)

X = [( A −B)−1]t (aplicando transpuesta a ambos lados)b) Según lo que obtuvo en la parte a), determine X si

A = 3 50 1 B =

1 −21 5Respuesta:

Se tiene A −B = 2 7

−1 −4 Para obtener X necesitamos determinar la inversa de A −B

2 7 1 0−1 −4 0 1

2 f 2 + f 1−→

0 −1 1 2−1 −4 0 1 −4 f 1 + f 2−→

0 −1 1 2−1 0 −4 −7− f 1−→− f 2

0 1 −1 −21 0 4 7 f 1 f 2

−→ 1 0 4 70 1 −1 −2

De modo que

( A −B)−1 = 4 7

−1 −2 X = 4 −17 −2

3. Sea S = {1, 1, k ), (k , 1, 1), (k , k , 4)}a) Determine para qu´ e valor o valores de k el conjunto de vectores S es linealmente indepen-

diente.

Respuesta:Sean v1 = (1, 1, k ), v2 = (k , 1, 1), v3 = (k , k , 4). Los vectores de S forman un conjunto linealmenteindependiente (li) si

c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 (c1, c2, c3) = (0, 0, 0)

14


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Lo anterior, es equivalente a que la única soluci ón al sistema Ax = 0 sea x = 0, donde

A = vt1, vt2, v

t3 x = (c1, c2, c3)

t

Entonces, resolvemos el sistema homog éneo haciendo casos sobre k.

A =1 k k 1 1 k k 1 4

− f 1 + f 2−→

1 k k 0 1−k 0k 1 4

= B

Si k = 0, entonces

B =1 0 00 1 00 1 4

− f 2 + f 3−→

1 0 00 1 00 0 4

14 f 3

−→1 0 00 1 00 0 1

Entonces, si k = 0 se tiene x = 0 y los vectores de S son li.

Si k 0, se tiene,

B −k f 1 + f 3−→

1 k k 0 1−k 00 1−k 2 4 −k 2

f 2 + f 1

−→1 1 k 0 1−k 00 1−k 2 4 −k 2

−k f 2 + f 3−→

1 1 k 0 1−k 00 1−k 4−k 2

− f 2 + f 3−→

1 1 k 0 1−k 00 0 4−k 2

= C

Si k = 1, entonces,

C =1 1 10 0 00 0 3

13 f 3

−→1 1 10 0 00 0 1

− f 3 + f 1−→

1 1 00 0 00 0 1

f 2 f 3−→

1 1 00 0 10 0 0

Entonces, como el Rango(A) es 2, hay innitas soluciones dependiendo de un par ámetro. ElRangoFila(A) es 2, entonces a lo sumo hay 2 vectores li.

Si k 1, se tiene 1 −k 0, y se sigue que

C

11

−k f 2

−→

1 1 k

0 1 00 0 4−k 2 − f 2 + f 1

−→

1 0 k

0 1 00 0 4−k 2=

D

Si k = 2, se tiene,

D =1 0 20 1 00 0 0

Entonces, como el Rango(A) es 2, hay innitas soluciones dependiendo de un par´ ametro. ElRangoFila(A) es 2, entonces a lo sumo hay 2 vectores li.

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Entonces, ( AB−I 2)−1 =12 −1412 −34

.

b) Utilice sólamente álgebra de matrices para encontrar una matriz X tal que AtX tB−I 2 = X t.

Respuesta:

AtX tB−I 2 = X t

X t AttB−I 2 = X t (transpuesta de un producto)

X t AB−X t = I 2 (transpuesta de una matriz transpuesta) X t ( AB−I 2) = I 2 (distributividad del producto sobre la suma) X t ( AB−I 2) ·( AB−I 2)−1 = I 2 ·( AB−I 2)−1 (multiplicando por ( AB−I 2)−1)

X t = ( AB−I 2)−1 (por denici ón de inversa) X = ( AB−I 2)−1

t(aplicando transpuestas)

Entonces por lo calculado en la parte a), X = 12

12

−14 −34.

5. ¿Para cu áles valores de a, si existen, el conjunto (1, a, 0, 0)t , (1, −3, a + 1, 0)t , (0, 1, −4, 0)t es lineal-mente independiente?

Respuesta:

Sea

A =

1 1 0

a −3 10 a + 1 −40 0 0

Las columnas de A son el conjunto de vectores de S, por lo que por teorema, el conjunto S es l.i. siy sólo si la única soluci ón al sistema homog éneo Ax = 0 es x = 0

Entonces, resolvemos el sistema homog´ eneo haciendo casos sobre a.

Si a = 0,

A =

1 1 00 −

3 10 1 −40 0 0

3 f 3 + f 2

−→− f 3 + f 1

1 0 40 0

−11

0 1 −40 0 0

−111 f 2−→

1 0 40 0 10 1 −40 0 0

4 f 2 + f 3

−→−4 f 2 + f 1

1 0 00 0 10 1 00 0 0

f 2 f 3−→

1 0 00 1 00 0 10 0 0

Entonces, si a = 0 la única soluci´on al sistema es x = 0, por lo tanto en este caso el conjunto S es l.i.

Si a 0, entonces

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A −a f 1 + f 2−→

1 1 00 −3 −a 10 a + 1 −40 0 0

f 2 + f 3

−→

1 1 00 −(3 + a) 10 −2 −30 0 0

−12 f 3−→

1 1 00 −(3 + a) 10 1 320 0 0

3 f 3 + f 2

−→− f 3 + f 1

1 0 −320 −a 1120 1 320 0 0

a f 3 + f 2

−→

1 0 −320 0 12(3a + 11)0 1 320 0 0

= B

Si 3a + 11 = 0 a = −113 , entonces Rng( A) = 2 y por lo tanto existe una soluci´ on distinta a la trivial,de modo que S no es l.i.Por otra parte, si a −113 ,

B2

3a+ 11 f 2−→

1 0 −320 0 10 1 320 0 0

32 f 2 + f 1

−→−32 f 2 + f 3

1 0 0

0 0 10 1 00 0 0

f 2 f 3−→

1 0 0

0 1 00 0 10 0 0

Entonces x = 0 es la única soluci ón. Los vectores de S son l.i. si a −113 .

6. Dada la matriz A =1 0 20 −1 −22 −2 0

a) Determine el rango de A.

Respuesta:Para determinar Rng( A) necesitamos encontrar la forma escalonada reducida de A.

A−2 f 1 + f 3

−→− f 2

1 0 20 1 20 −2 −4

2 f 2 + f 3

−→1 0 20 1 20 0 0

Entonces Rng( A) = 2, puesto que la forma escalonada reducida equivalente por las a A tienesólamente dos las no nulas.

b) Escriba el vector que corresponde a la tercera columna de A como combinaci´on lineal de losvectores que corresponden a las otras dos columnas de A.

Respuesta:En este caso, se plantea el sistema con matriz aumentada, donde la soluci´ on al sistema sonlos escalares que permiten escribir a la columna 3 como combinaci´ on lineal de las columnas1 y 2 de A. Se tiene, por la parte a) que,

1 0 20 −1 −22 −2 0

−→1 0 20 1 20 0 0

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Entonces, se concluye que

2

−20= 2

102

+ 20

−1

−2

c) Sin hacer cálculos adicionales, diga si las tres las de A corresponden a vectores linealmenteindependientes o a vectores linealmente dependientes. Justique su respuesta.

Respuesta:Como Rng( A) = 2, y A es de 3x3, entonces Rng( A) < 3 y por lo tanto, las las de A no puedenser linealmente independientes, i.e son linealmente dependientes.

d) Sin hacer c álculos adicionales, diga si el sistema de ecuaciones lineales AX = B, dondeX = (x, y, z)t y B = (1, 2, 3)t tiene soluci ón única. Justique su respuesta.

Respuesta:No tiene soluci ón única ya que Rng( A) < 3, y por tanto las soluciones son innitas. De hechodependen de 1 par´ ametro ya que Rng( A) = 2.

7. Sea A una matriz de orden mxm y B es una matriz de orden mxn.

a) ¿De qué orden deben de ser las matrices X y D, de modo que la igualdad, XAt −Bt = XDttenga sentido.

Respuesta:Como At es de orden mxm, entonces para que el producto XAt tenga sentido, X debe tener mcolumnas. Por otra parte, como Bt es de nxm, entonces para que la resta tenga sentido, XAt

debe tener n las, por tanto, X es de nxm.

Por el orden de At , Bt y X , se sigue que XAt −Bt es de nxm, entonces XDt es de nxm, y XDtes de orden nxm. Se sigue que Dt tiene m columnas, y como X tiene m columnas, entonces Dttiene m las para que el producto matricial tenga sentido. De modo que Dt es de orden mxm,y D es de orden mxm tambi én.

b) Para que la igualdad dada anteriormente en a) tenga sentido y ( A −D)t sea invertible, utilicelas operaciones con matrices y sus propiedades para despejar X en términos de A, B y D.Respuesta:

XAt −Bt = XDt X At −Dt = Bt (distributividad de producto sobre resta) X ( A −D)t = Bt (transpuesta de una matriz transpuesta)

X ( A −D)t · ( A −D)t −1

= Bt · ( A −D)t −1 multiplicando por ( A −D)t −1

X = Bt · ( A −D)t −1

(denici ón de inversa)

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c) Según lo que obtuvo anteriormente en b), calcule X si

A = 2 3

−1 0 B = 2 34 0 D

=2 −12 1

Respuesta:

A −D = 0 4

−3 −1 ( A −D)t =

0 −34 −1Ahora calculamos la inversa de ( A −D)t ,

0 −3 1 04 −1 0 1

−13 f 1−→ 14 f 2

0 1 −13 01 −14 0 14

14 f 1 + f 2

−→ 0 1 −13 01 0 −112 14

f 1 f 2−→

1 0 −112 140 1 −13 0 ( A −D)

t −1 = −1

1214

−13 0

Entonces,

X = 2 43 0 ·−112 14−13 0

=−32 12−14 34

8. Dada la matriz P =1 1 10 1 10 0 1

a) Compruebe que P2 =1 2 30 1 2

0 0 1Respuesta:

P2 = P ·P =1 1 10 1 10 0 1

1 1 10 1 10 0 1

=

1 2 30 1 20 0 1

b) Calcule P3.

Respuesta:

P3 = P2 ·P = 1 2 30 1 20 0 11 1 10 1 10 0 1

= 1 3 60 1 30 0 1

c) Calcule P4.

Respuesta:

P4 = P3 ·P =1 3 60 1 30 0 1

1 1 10 1 10 0 1

=

1 4 100 1 40 0 1

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d) Obtenga una f órmula para calcular Pn , donde n N , con n ≥ 1.Respuesta:

Pn =1 n Sn0 1 n0 0 1

donde Sn =n

∑k = 1 k = 1 + 2 + ... + n

9. Dada la siguiente matriz:

A =4 0 12 3 66 −3 −4

a) Determine el Rango de la matriz A.

Respuesta:Para determinar Rng( A) necesitamos encontrar la forma escalonada reducida equivalente porlas a A:

A−3 f 2 + f 3

−→−2 f 2 + f 1

0 −6 −112 3 60 −12 −22

−2 f 1 + f 3−→

0 −6 −112 3 60 0 0

−16 f 1−→12 f 2

0 1 1161 32 30 0 0

−32 f 1 + f 2−→

0 1 1161 0 140 0 0

f 1 f 2−→

1 0 140 1 1160 0 0

Como la forma escalonada reducida de A tiene s ólamente dos las no nulas, entoncesRng( A) = 2.

b) Sin hacer c álculos adicionales, diga si la matriz A es invertible. Justique su respuesta.

Respuesta:Por teorema, la matriz A no es invertible pues es una matriz de 3 x3 tal que Rng( A) < 3. Noteadem ás que no es equivalente por las a la matriz identidad I 3.

c) Sin hacer c álculos adicionales, diga si los tres vectores que corresponden a las tres columnasde la matriz A son linealmente independientes o linealmente dependientes. Justique su res-puesta.

Respuesta:Como A no es invertible, por teorema sus columnas son linealmente dependientes.

d) Escriba el vector que corresponde a la tercera columna de la matriz A como una combinaci ónlineal de los dos vectores que corresponden a las otras dos columnas de A.

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Respuesta:Se plantea el sistema con matriz aumentada, donde la soluci ón al sistema son los escalaresque permiten escribir a la columna 3 como combinaci ón lineal de las columnas 1 y 2 de A. Setiene, por la parte a) que,

4 0 12 3 66 −3 −4

−→1 0 140 1 1160 0 0


16

−4=

14

426

+116

03

−3

10. Dadas las matrices A =−1 2 02 1 10 1 2 , B

=

−1 2 01 1 20 1 1 y la matriz identidad I

3 de M(3, R ).

a) Efectúe las operaciones para obtener la matriz C tal que C = A2 + A −3I 3.Respuesta:Primeramente calculamos la matriz A2,

A2 =−1 2 02 1 10 1 2

−1 2 02 1 10 1 2

=

5 0 20 6 32 3 5

Por lo tanto, la matriz C está dada por;

C =5 0 20 6 32 3 5

+−1 2 02 1 10 1 2 −

3 0 00 3 00 0 3

=

1 2 22 4 42 4 4

b) Efectúe las operaciones para obtener la matriz D tal que D = −B2 + B + 5I 3.Respuesta:Primeramente calculamos la matriz B2,

B2 =−1 2 01 1 20 1 1

−1 2 01 1 20 1 1

=

3 0 40 5 41 2 3

Por lo tanto, la matriz D está dada por;

D =−3 0 −40 −5 −4−1 −2 −3

+−1 2 01 1 20 1 1

+

5 0 00 5 00 0 5

=

1 2 −41 1 −2−1 −1 3

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c) Calcule BD y diga que relaci ón existe entre la matriz D y la matriz B.

Respuesta:

B ·D = −1 2 0

1 1 20 1 1

1 2

−4

1 1 −2−1 −1 3=

1 0 00 1 00 0 1

Entonces, D = B−1 o bien B = D−1.

11. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes olinealmente independientes.

a) (2, −1, 4)t , (3, 6, 2)t , (2, 10, −4)t

Respuesta:Para determinar si un conjunto de vectores son linealmente independientes (l.i.) o linealmentedependientes (l.d.) basta con colocar dichos vectores como las columnas de una matriz ydeterminar si la forma escalonada reducida equivalente por las a esa matriz es o no laidentidad. Se tiene entonces,

A2 3 2

−1 6 104 2 −4

2 f 2 + f 1

−→4 f 2 + f 3

0 15 22

−1 6 100 26 36

− f 2−→126 f 3

0 15 221 −6 −100 1 1813

−15 f 3 + f 1

−→6 f 3 + f 20 0 16131 0 −22130 1 1813

1316 f 1−→

0 0 11 0 −22130 1 1813

2213 f 1 + f 2

−→−1813 f 1 + f 30 0 11 0 00 1 0

f 1 f 3−→

0 1 01 0 00 0 1

f 1 f 2−→

1 0 00 1 00 0 1

Por tanto como la forma escalonada reducida de A es la identidad I 3, entonces el conjunto devectores es l.i.

b) (1, −2, 3)t , (5, 6,−1)t , (3, 2, 1)t

Respuesta:Procedemos de la misma manera que en la parte a),

B1 5 3

−2 6 23 −1 1

2 f 1 + f 2

−→−3 f 1 + f 3

1 5 30 16 80 −16 −8

f 2 + f 3

−→1 5 30 16 80 0 0

116 f 2

−→1 5 30 1 120 0 0

−5 f 2 + f 1−→

1 0 120 1 120 0 0

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Respuesta:

Sea A la matriz cuyas columnas son los vectores de W , es decir,

A =

λ −12 −12

−1

2 λ −1

2−12 −12 λ

Entonces, las columnas de A son linealmente dependientes (l.d.) si y s ólo si, A no es equivalentepor las a la matriz identidad I 3. Vamos a analizar las formas escalonadas reducidas equivalentespor las a A según los valores de λ .

A − f 2 + f 3−→

λ −12 −12−12 λ −120 − 12 + λ 12 + λ

− f 1 + f 2−→

λ −12 −12− 12 + λ 12 + λ 00 − 12 + λ 12 + λ

= B

Por tanto, si sustituimos λ =

−1

2 en B, entonces,

B =−12 −12 −120 0 00 0 0

−2 f 1−→

1 1 10 0 00 0 0

Y entonces si λ = −12 , A no es equivalente por las a la identidad, y el conjunto W es l.d.

Ahora, si λ −12 , en B tenemos,

B

11

2+ λ

f 2

−→112

+ λ f 3

λ −12

−12−1 1 0

0 −1 1−12 f 3 + f 1

−→λ 0

−1

−1 1 00 −1 1= C

Si λ = 0, sustituyendo en la matriz C, se tiene,

C =0 0 −1−1 1 00 −1 1

f 1 + f 3

−→− f 2

0 0 −11 −1 00 −1 0

− f 3 + f 2−→− f 1

0 0 11 0 00 −1 0

f 1 f 2

−→− f 31 0 00 0 10 1 0

f 2 f 3−→

1 0 00 1 00 0 1

Por lo tanto, si λ = 0, y λ −12 , entonces la matriz A es equivalente por las a la identidad, yentonces el conjunto W es l.i.

Si λ 0, de la matriz C se sigue,

Cλ f 2 + f 1

−→− f 3

0 λ −1−1 1 00 1 −1

−λ f 3 + f 1−→− f 2

0 0 λ −11 −1 00 1 −1= D

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En D, sustituyendo λ = 1, entonces, D =0 0 01 −1 00 1 −1

, que no es equivalente por las a la iden-

tidad, ya que tiene una la de ceros. Por tanto, los vectores de W son l.d.

Si λ 1, entonces,

C1

λ−1 f 1−→0 0 11 −1 00 1 −1

f 1 + f 3

−→0 0 11 −1 00 1 0

f 3 + f 2

−→0 0 11 0 00 1 0

f 2 f 3−→

0 0 10 1 01 0 0

f 1 f 3−→

1 0 00 1 00 0 1

En este caso el conjunto W es l.i. puesto que Aes equivalente por las a la identidad.

Resumiendo, se tienen los siguientes casos sobre la independencia lineal del conjunto W según losvalores de λ :

a) Si λ = −12 entonces W es l.d.b) Si λ −12 y λ = 0 entonces W es l.i.c) Si λ −12 , λ 0 y λ = 1 entonces W es l.d.d) Si λ −12 , λ 0 y λ 1 entonces W es l.i.

Entonces, W es l.d. si λ = 1 o si λ = −

1

2 .

14. Indique porqu é la matriz A = 1 10 0 no es invertible y halle una matriz B, de dimensi ón 2x2, no

nula, tal que AB = 0.

Respuesta:

La matriz A no es invertible por alguna de las siguientes razones:

a) Rng( A) = 1 < 2, pues tiene una la de ceros.b) Como A tiene 1 la de ceros, det( A) = 0.

c) Las las de A son linealmente dependientes, puesto que la segunda la es el vector de ceros.d) Las columnas de A son linealmente dependientes, puesto que son iguales.e) El sistema Ax = 0 tiene innitas soluciones de la forma, ( x1, x2)t = (t, −t), t R . f ) El sistema Ax = b, no tiene soluci´on si b = (b1, b2)t y b2 0.

Sea B =x y z w . Entonces, note que si

AB = 0 1 10 0

x y z w

=0 00 0

x + z y + w0 0

=0 00 0 x = − z y = −w

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Entonces, podemos tomar a B como cualquier matriz de la forma B = a b

−a −b con a, b R .

15. Sea A =1 10 1 . Determine todas las matrices B

=x y z w , para las cuales, AB

= BA.

Respuesta:Buscamos el conjunto de todas las matrices B que conmutan con A. Efectuando los productosmatriciales se obtiene;

AB =x + z y + w

z w BA =

x x + y z z + w

AB = BA

x + z = x y + w = x + y z = zw = z + w

Igualando matricesentrada por entrada

Lo cual es equivalente al sistema homog´ eneo, −x + w = 0 z = 0

, que tiene como soluci´on el conjunto

de los vectores de la forma ( x, y, z, w) = (t, s, 0, t) tales que s, t R . Por tanto el conjunto de todaslas matrices B que conmutan con A son las matrices de la forma B =

t s0 t .

16. Determine si existe una matriz A simétrica, de dimensi´ on 2x2, tal que

A−1 t 1 32 1 A −I 2 = I 2Respuesta:

Supongamos que A es invertible, y que es sim étrica, i.e. A = At . Aplicamos operaciones matricialessobre la identidad que determina a A;

A−1t 1 3

2 1 A −I 2 = I 2 At −1 1 32 1 A −I 2 = I 2 identidad At −

1= A−1

t

A−1 1 32 1 A −I 2 = I 2 (utilizando que A es simétrica)1 32 1 A −I 2 = A (multiplicando a la derecha por A)1 32 1 A − A = I 2 (restando A y sumando I 2)1 32 1 −I 2 A = I 2 (distributividad del producto sobre la suma)

0 32 0 A

= I 2

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Entonces, A−1 = 0 32 0 .

De esto, se concluye que la matriz sim étrica A invertible que es la inversa de 0 32 0 no existe. Dicha

conclusi ón se obtiene de cualquiera de las siguientes armaciones:a) La inversa de una matriz sim´ etrica es sim étrica, pues si A es simétrica e invertible, se cumple

la propiedad: A−1t

= At −1 = ( A)−1. Si A−1 = 0 32 0 , esto es una contradicc ı́on, puesto que0 32 0 no es una matriz sim étrica.

b) La inversa de la matriz 0 32 0 es0 1213 0

. Pero eso signica que A = 0 1

213 0

, lo que contradice

el hecho de que A es simétrica.

17. Determine todos los valore de a y b para que la matriz

A =

1 −a a 0 01 −b −1 −1 −ba + b 0 1 a + b1 0 0 1

sea invertible y determine su inversa, cuando exista.

Respuesta:

Aplicamos el procedimiento de c´ alculo de inversa izquierda para la matriz A, que por teorema, esla misma que la inversa general de A. Se tiene entonces,

( A|I 4) =1 −a a 0 0 1 0 0 01 −b −1 −1 −b 0 1 0 0a + b 0 1 a + b 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 1

− f 4 + f 1−→

− f 4 + f 2−a a 0 −1 1 0 0 −1−b −1 −1 −b−1 0 1 0 −1a + b 0 1 a + b 0 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1

f 1 + f 3

−→ f 2 + f 3−a a 0 −1 1 0 0 −1−b −1 −1 −b −1 0 1 0 −10 a−1 0 a −2 1 1 1 −21 0 0 1 0 0 0 1

= B

Si a 0, y si b = 0, se tiene en B;

B =−a a 0 −1 1 0 0 −10 −1 −1 −1 0 1 0 −10 a−1 0 a−2 1 1 1 −21 0 0 1 0 0 0 1

a f 4 + f 1

−→− f 2

0 a 0 a−1 1 0 0 a −10 1 1 1 0 −1 0 10 a −1 0 a−2 1 1 1 −21 0 0 1 0 0 0 1

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− f 1 + f 3−→

0 a 0 a −1 1 0 0 a−10 1 1 1 0 −1 0 10 −1 0 −1 0 1 1 −a −11 0 0 1 0 0 0 1

f 3 + f 2

−→a f 3 + f 1

0 0 0 −1 1 a a −a2 −10 0 1 0 0 0 1 −a0 −1 0 −1 0 1 1 −a −11 0 0 1 0 0 0 1

− f 1−→− f 3

0 0 0 1 −1 −a −a a2 + 10 0 1 0 0 0 1 −a0 1 0 1 0 −1 −1 a + 11 0 0 1 0 0 0 1

− f 1 + f 3−→

− f 1 + f 4

0 0 0 1 −1 −a −a a2 + 10 0 1 0 0 0 1 −a0 1 0 0 1 a−1 a−1 a−a21 0 0 0 1 a a −a2

f 1 f 4

−→ f 2 f 3

1 0 0 0 1 a a −a20 1 0 0 1 a−1 a−1 a−a20 0 1 0 0 0 1 −a0 0 0 1 −1 −a −a a2 + 1

A−1 =1 a a −a21 a−1 a−1 a−a20 0 1 −a−1 −a −a a2 + 1

Si a 0, y si b 0, se tiene en B;

Ba f 4 + f 1

−→b f 4 + f 2

0 a 0 a−1 1 0 0 a−10 −1 −1 −1 0 1 0 b−10 a−1 0 a−2 1 1 1 −21 0 0 1 0 0 0 1

− f 1 + f 3−→− f 2

0 a 0 a −1 1 0 0 a−10 1 1 1 0 −1 0 1−b0 −1 0 −1 0 1 1 −a −11 0 0 1 0 0 0 1

a f 3 + f 1

−→ f 3 + f 20 0 0 −1 1 a a −20 0 1 0 0 0 1 −a −b0 −1 0 −1 0 1 1 −a −11 0 0 1 0 0 0 1

− f 3−→

0 0 0 −1 1 a a −20 0 1 0 0 0 1 −a −b0 1 0 1 0 −1 −1 a + 11 0 0 1 0 0 0 1

f 1 + f 3

−→ f 1 + f 4

0 0 0 −1 1 a a −20 0 1 0 0 0 1 −a −b0 1 0 0 1 a−1 a−1 a−11 0 0 0 1 a a −1

f 1 f 4−→

f 2 f 31 0 0 0 1 a a −10 1 0 0 1 a−1 a−1 a−10 0 1 0 0 0 1 −a −b0 0 0 −1 1 a a −2

− f 4−→

1 0 0 0 1 a a −10 1 0 0 1 a−1 a−1 a−10 0 1 0 0 0 1 −a −b0 0 0 1 −1 −a −a 2

A−1 =1 a a −11 a −1 a−1 a−10 0 1 −a −b−1 −a −a 2

Por otra parte, si a = 0, entonces

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B =

0 0 0 −1 1 0 0 −1−b −1 −1 −b −1 0 1 0 −10 −1 0 −2 1 1 1 −21 0 0 1 0 0 0 1

= C

Tomando b = 0 en C, se tiene,

C =

0 0 0 −1 1 0 0 −10 −1 −1 −1 0 1 0 −10 −1 0 −2 1 1 1 −21 0 0 1 0 0 0 1

− f 1−→− f 2− f 3

0 0 0 1 −1 0 0 10 1 1 1 0 −1 0 10 1 0 2 −1 −1 −1 21 0 0 1 0 0 0 1

− f 3 + f 2−→

0 0 0 1 −1 0 0 10 0 1 −1 1 0 1 −10 1 0 2 −1 −1 −1 21 0 0 1 0 0 0 1

− f 1 + f 4−→

f 1 +

f 2−2 f 1 + f 3

0 0 0 1 −1 0 0 10 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 1 −1 −1 01 0 0 0 1 0 0 0

f 1 f 4−→

f 2 f 3

1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 −1 −1 00 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 −1 0 0 1

A−1 =1 0 0 01 −1 −1 00 0 1 0

−1 0 0 1Ahora, si b 0, se tiene en C,

C b f 4+ f 2

−→0 0 0 −1 1 0 0 −10 −1 −1 −1 0 1 0 b−10 −1 0 −2 1 1 1 −21 0 0 1 0 0 0 1

− f 1−→− f 2− f 3

0 0 0 1 −1 0 0 10 1 1 1 0 −1 0 1−b0 1 0 2 −1 −1 −1 21 0 0 1 0 0 0 1

− f 3 + f 2−→

0 0 0 1 −1 0 0 10 0 1 −1 1 0 1 −b−10 1 0 2 −1 −1 −1 21 0 0 1 0 0 0 1

f 1 + f 2

−→−2 f 1 + f 3− f 1 + f 4

0 0 0 1 −1 0 0 10 0 1 0 0 0 1 −b0 1 0 0 1 −1 −1 01 0 0 0 1 0 0 0

f 1 f 4−→ f 2 f 3

1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 −1 −1 00 0 1 0 0 0 1 −b0 0 0 1 −1 0 0 1

A−1 =1 0 0 01 −1 −1 00 0 1 −b−1 0 0 1

Por tanto, A es invertible para todos los valores reales de a y b.

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−2 f 2 + f 1−→3 f 2 + f 3

1 0 1 10 1 0 00 0 1 −2

− f 3 + f 1−→

1 0 0 30 1 0 00 0 1 −2

Entonces, x1 =

x2 =

3, x3 =

x4 =

0 y x5 =

x6 =

−2. Por lo tanto la matriz B tiene la forma

B =3 30 0

−2 −2

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4. Determinantes

1. Sea

A =

1

−1 1 1

m −1 6 m + 1m −m 2m −2 92m −m −1 m + 6 3m −2

a) Calcule el determinante de A (sugerencia: realice operaciones elementales para producir cerosantes de proceder al c álculo).

Respuesta:

A

−2 f 2 + f 4−→− f 2 + f 3

1 −1 1 1m −

1 6 m + 1

0 1−m 2m −8 8−m0 1−m m−6 m−4 − f 3 + f 4

−→

1 −1 1 1m −

1 6 m + 1

0 1−m 2m −8 8−m0 0 2−m 2m −12

2 f 4 + f 3

−→

1 −1 1 1m −1 6 m + 10 1−m −4 3m −160 0 2−m 2m −12

= B

Si m 0

A −m f 1 + f 2

−→

1 −1 1 10 m

−1 6

−m 1

0 −(m −1) −4 3m −160 0 2−m 2m −12 f 2 + f 3

−→

1 −1 1 10 m

−1 6

−m 1

0 0 2−m 3m −150 0 2−m 2m −12

− f 3 + f 4−→

1 −1 1 10 m−1 6−m 10 0 2−m 3m −150 0 0 3−m

= C

Entonces, det(C) = 1 ·(m −1) ·(2 −m) ·(3 −m) si m 0. Si m = 0, entonces,

A =

1 −1 1 10

−1 6 1

0 0 −2 90 −1 6 2

− f 2 + f 3

−→

1 −1 1 10

−1 6 1

0 0 −2 90 0 0 −3

Entonces det( A) = 1 · −1 · −2 · −3 = −6.Se concluyen los siguientes valores para el determinante de A:

det( A) = −6 si m = 0(m −1) ·(2 −m) ·(3 −m) si m 0

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d) Sin hacer c álculos adicionales, escriba la matrix P−1.Respuesta:Por la parte a), es claro que

P−1 = Pt =1√ 2

−1√ 2

01√ 6

1√ 6 −2√ 6

1√ 31√ 3

1√ 3

4. Si A =a b c4 0 21 1 1

, donde a, b, c R y A = 3, calcule el determinante de cada una de las siguientes

matrices:

a) B =2a 2b 2c4 4 42 0 1

Respuesta:

A f 2 f 3−→

a b c1 1 14 0 2

2 f 1

−→4 f 212 f 3

2a 2b 2c4 4 42 0 1

= B

Entonces, det(B) = −2 ·4 · 12 ·det( A) = −12.

b) C =a b c

3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

Respuesta:

A− f 1 + f 3

−→3 f 1 + f 2a b c

3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

= C

Entonces, det(C) = det( A) = 3.

5. Si el determinante de la matriz A = a b cd e f g h i

, donde a, b, c, d, e, f , g, h, i R , es det( A) = 5, calcule

los siguientes determinantes:

a) det(3 A).

Respuesta:Por las propiedades del determinante, det(3 A) = 33det( A) = 27 ·5 = 135.

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b) det 2 A−1 .

Respuesta:Por las propiedades del determinante, det 2 A−1 = 23det A−1 = 8det( A) = 85 .

c) deta b c

2d + g 2e + h 2 f + id e f

Respuesta:Aplicando operaciones de la sobre A, se pueden relacionar los determinantes de A y el de lamatriz buscada;

A 2 f 2 + f 3

−→a b cd e f

2d + g 2e + h 2 f + i

f 2 f 3−→

a b c2d + g 2e + h 2 f + i

d e f

Por lo tanto,

deta b c

2d + g 2e + h 2 f + id e f

= −det( A) = −5

6. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando la Regla de Cramer:

2x + y − z + w = −4x + 2 y + 2 z−3w = 63x

− y

− z + 2w = 0

2x + 3 y + z + 4w = −5Respuesta:

Para poder resolver el sistema mediante el m étodo de la Regla de Cramer, considere la matriz Ade los coecientes de las ecuaciones del sistema,

A =

2 1 −1 11 2 2 −33 −1 −1 22 3 1 4

Si det( A) 0, entonces el sistema tiene soluci ón única y se puede aplicar la Regla de Cramer. Sea bila matriz que resultade reemplazar en la matriz A la columna i por elvector ( −4, 6, 0,−5)t. Entonces,las soluciones son de la forma xi =

det(bi)det( A) . Procedemos a calcular entonces el determinante de A;

A−2 f 2 + f 1

−→−3 f 2 + f 3−2 f 2 + f 4

0 −3 −5 71 2 2 −30 −7 −7 110 −1 −3 10

−3 f 4 + f 1−→2 f 4 + f 2

−7 f 4 + f 3

0 0 4 −231 0 −4 170 0 14 −590 −1 −3 10

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Podemos demostrar que A es invertible a partir del valor de su determinante.

det( A) = det cosθ senθ

−senθ cosθ = cos2θ + sen2θ = 1

Entonces, θ , se tiene det( A) =

1 0 de modo que A es invertible para todo valor θ .

b) Encuentre la matriz inversa de A.

Respuesta:Aplicamos el procedimiento para hallar una inversa izquierda, que por teorema, si existe,tambi én la inversa de A y son iguales.

En los siguientes c álculos se utilizan varias de las identidades entre senos y cosenos. Tambi énen el desarrollo siguiente se asume que para un determinado valor de θ , los senos y cosenosno son cero. Los casos en que son cero son m ás simples y se pueden hacer de forma similar.

cosθ senθ 0 1 0 0

−senθ cosθ 0 0 1 00 0 1 0 0 1cosθ f 1

−→−senθ f 2

cos2θ cosθ senθ 0 cosθ 0 0sen2θ −senθ cosθ 0 0 −senθ 00 0 1 0 0 1

f 2 + f 1

−→1 0 0 cosθ −senθ 0sen2θ −senθ cosθ 0 0 −senθ 00 0 1 0 0 1

−sen2θ f 1 + f 2

−→

1 0 0 cosθ −senθ 00 −senθ cosθ 0 −cosθ sen2θ −senθ cos2θ 00 0 1 0 0 1

−1senθ cosθ f 2−→

1 0 0 cosθ −senθ 00 1 0 senθ cosθ 00 0 1 0 0 1


A−1 =cosθ −senθ 0senθ cosθ 0

0 0 1

8. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x1 −2x2 + x3 = 3x2 + 3x4 −x5 = −5x1 + x2 + x3 −x5 = 12x2 + x3 −2x4 −2x5 = 0x1 + x3 + 2x4 + x5 = 3

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a) Calcule el determinante de la matriz del sistema.

Respuesta:Sea A la matriz del sistema anterior, entonces,

A =

1 −2 1 0 00 1 0 3 −11 1 1 0 −10 2 1 −2 −21 0 1 2 1

− f 1 + f 3−→

− f 1 + f 5

1 −2 1 0 00 1 0 3 −10 3 0 0 −10 2 1 −2 −20 2 0 2 1

−3 f 2 + f 3−→

−2 f 2 + f 4−2 f 2 + f 5

1 −2 1 0 00 1 0 3 −10 0 0 −9 20 0 1 −8 00 0 0

−4 3

f 3 f 4−→

1 −2 1 0 00 1 0 3 −10 0 1 −8 00 0 0 −9 20 0 0

−4 3

−49 f 4 + f 5−→

1 −2 1 0 00 1 0 3 −10 0 1 −8 00 0 0 −9 20 0 0 0 199

= B

Como B es una matriz triangular, det(B) = 1 · 1 · 1 · −9 · 199 = −19. Ahora, como A y B sonequivalentes por las, por las propiedades del determinante en relaci ón a las operacioneselementales de la, se tiene para A y B que, det(B) = −det( A), por tanto det( A) = 19.

b) Sin hacer m ás cálculos, conteste la siguiente pregunta: ¿El sistema de ecuaciones anterior tienesoluci ón única? Justique su respuesta.

Respuesta:Como det( A) 0, entonces por teorema, el sistema tiene soluci ón única.

9. Sean A =

a 1 1 1a a 1 1a a a 1a a a a

, C =

000a

y X =

x1x2x3x4

a) Calcule el determinante de la matriz A.

Respuesta:Reducimos por las a la matriz aumentada ( A|C),

( A|C)− f 1 + f 2

−→− f 1 + f 3− f 1 + f 4

a 1 1 1 00 a−1 0 0 00 a−1 a−1 0 00 a−1 a−1 a −1 a

− f 2 + f 3−→

− f 2 + f 4

a 1 1 1 00 a−1 0 0 00 0 a−1 0 00 0 a−1 a−1 a

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− f 3 + f 4−→

a 1 1 1 00 a−1 0 0 00 0 a−1 0 00 0 0 a−1 a

= (B|D)

Como B es una matriz triangular, det( A) = a ·(a −1) ·(a −1) ·(a −1) = a(a −1)3. Como A y Bson equivalentes por las, entonces a(a −1)3 = det(B) = det( A).

b) Determine los valores de a para los cuales el sistema A ·X = C tiene soluci ón única, e indiquecual es esa soluci ón.Respuesta:El sistema AX = C tiene soluci ón única si y s ólo si det( A) 0. Por la parte a), det( A) 0 si ysólo si a 0 y a 1.

Como los sistemas AX = C y BX = D son equivalentes, solucionamos BX = D. Con a 0 ya 1,

a 1 1 1 00 a−1 0 0 00 0 a−1 0 00 0 0 a−1 a

1a−1 f 2−→1a−1 f 31a−1 f 4

a 1 1 1 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 aa−1

− f 2 + f 1−→

− f 3 + f 1

− f 4 + f 1

a 0 0 0 −aa−10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 aa−1

1a f 1

−→

1 0 0 0 −1a−10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 aa−1

Por lo tanto, la soluci ón única del sistema es: (x1, x2, x3, x4)t = −1a−1 , 0, 0, aa−1

t, a {0, 1}.

c) Determine los valores de a para los cuales el rango de la matriz A es igual a 1.

Respuesta:En general, como A es de 4x4, Rng( A) < 4 si y sólo si A no es invertible. Y por la parte a), Ano es invertible s´olamente cuando a = 0 ó a = 1. Como, Rng( A) = 1 si la matriz escalonadareducida equivalente por las a A tiene s ólamente una la no nula. En B, tomando a = 1, y se

tiene

B =

1 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Rng( A) = 1

d) Determine los valores de a para los cuales el rango de la matriz A es igual a 2.

Respuesta:

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Rng( A) = 2 si la matriz escalonada reducida equivalente por las a A tiene s ólamente dos lasno nulas. Por el argumento de parte c), s ólamente a = 0 puede hacer que Rng( A) < 4, pues eneste caso A no es invertible. Pero, de B, si se sustituye a = 0,

B =

0 1 1 1

0 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

f 2 + f 1

−→ f 3 + f 1 f 4 + f 1

0 0 0 0

0 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

−→0 1 0 0

0 0 1 00 0 0 10 0 0 0

Por tanto, Rng( A) = 3, si a = 0, y entonces no hay ning´un valor de a para el cual Rng( A) = 2.

e) Determine los valores de a para los cuales el rango de la matriz A es igual a 3.

Respuesta:Por la parte d), si a = 0, entonces Rng( A) = 3.

f ) Halle el conjunto soluci ón del sistema A ·X = C, si a = 0.Respuesta:

Por la parte d), si a = 0, entonces A −→0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

Por lo que el conjunto soluci ón es: {(t, 0, 0, 0) t R }. g) Halle el conjunto soluci´on del sistema A ·X = C, si a = 1.

Respuesta:

Tomando a = 1 en la matriz aumentada ( B|D) =1 1 1 1 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 1

Que tiene una ecuaci ón inconsistente, por lo tantono haysoluci ón al sistema ( B|D), ni tampocoal sistema ( A|C), ya que ambos son equivalentes.

10. Sean A =1 a a2

1 b b21 c c2

, 0 =0

00

y X =x1x2x3

a) Calcule el determinante de la matriz A.

Respuesta:Utilizando las propiedades de la funci ón determinante, se tiene:

det( A) = det1 a a21 b b21 c c2

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= det1 a a20 b−a b2 −a20 c−a c2 −a2

utilizando las operaciones

− f 1 + f 2− f 1 + f 3

= (b −a) ·(c −a) ·det1 a a2

0 1 b + a0 1 c + a

propiedad de linealidadde la funci ón determinanteen las las de la matriz

= (b −a) ·(c −a) ·det1 a a20 1 b + a0 0 c−b

utilizando laoperaci ón

− f 2 + f 3= (b −a) ·(c −a) ·(c −b) ( determinante de una matriz triangular )

Por lo tanto, det( A) = (b −a) ·(c −a) ·(c −b), para todos los valores reales de a, b y c.b) ¿Encu áles casos el sistema A·X = 0 tiene innitas soluciones que dependen de un par´ ametro?

Respuesta:El sistema AX = 0 tiene soluciones innitas que dependen de un par ámetro si Rng( A) = 2.Realizamos operaciones elementales sobre las las de A;

A− f 1 + f 2

−→−

f 1 + f 3

1 a a2

0 b−a b2 −a20 c−

a c2

−a2

− f 2 + f 3−→

1 a a2

0 b−a b2 −a20 c−

b c2

−b2

= B

De B, se observa que hay s ´olamente una la de ceros si se presenta alguna de las siguientescombinaciones de valores para a, b y c;

1) a = b y a c2) a = c y a b3) b = c y b a.

Por lo tanto, en cualquiera de las combinaciones anteriores, el sistema tiene soluciones inni-tas dependiendo de un par´ ametro.

c) ¿En cuáles casos el sistema A

·X = 0 tiene innitas soluciones que dependen de dos par áme-

tros?

Respuesta:El sistema AX = 0 tiene soluciones innitas que dependen de dos par ámetros si Rng( A) = 1.De la matriz B de la parte b), esto sucede si a = b = c.

d) ¿En cuáles casos el sistema A ·X = 0 tiene soluci ón única?Respuesta:

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Para que el sistema homog éneo tenga soluci ón única, es necesario que Rng( A) = 3, o equiva-lentemente, que det( A) = (b −a) ·(c −a) ·(c −b) 0. Entonces, el sistema tiene soluci ón únicasi y sólo si a b, b c y a c.

e) ¿En cuáles casos el sistema A

·X = 0 es inconsistente?

Respuesta:Como el sistema es homog éneo, siempre tiene la soluci ón trivial. Entonces nunca es inconsis-tente.

11. Sea

A =

a + 1 2 2 1

−1 a−1 −1 20 0 a

+

1 20 0 −1 a−1a) Calcule el determinante de la matriz A.

Respuesta:Como A es una matriz con forma de bloques:

det( A) = deta + 1 2

−1 a−1 ·det

a + 1 2

−1 a −1 = ((a + 1)(a −1) + 2)2 = a2 + 1

2

b) Indique por qu é el sistema Ax = bsiempre tiene soluci ón única, con x = (x1, x

2, x

3, x

4)t y b

R 4.

Respuesta:Note que det( A) 0, a R ya que a2 ≥ 0 a2 + 1 ≥ 1 y por lo tanto, det( A) ≥ 1, a R .Como det( A) 0, entonces existe soluci ón única para cada b R 4.

12. Si deta11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= 8, calcule (haciendo uso de las propiedades del determinante) el determi-

nante de la matriz

2a12 −3a22 2a11 −3a21 2a13 −3a23a32 a31 a33a22 a21 a23

Respuesta:

Sea

B =2a12 −3a22 2a11 −3a21 2a13 −3a23a32 a31 a33

a22 a21 a23

43


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Entonces,

B 3 f 3 + f 1

−→2a12 2a11 2a13a32 a31 a33a22 a21 a23

12 f 1

−→a12 a11 a13a32 a31 a33a22 a21 a23

f 2 f 3−→

a12 a11 a13a22 a21 a23a32 a31 a33

= C

Entonces, det(C) = −1 · 12 ·det(B). Adem ás

Ct =a12 a22 a32a11 a21 a31a13 a23 a33

f 1 f 2−→

a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

= D

Y se tiene det(D) = −1 ·det Ct = −det(C) = 12det(B). Como Dt = A, entonces det( A) = det Dt =det(D) = 12det(B). Entonces, det(B) = 2 ·det( A) = 2 ·8 = 16.

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5. Geometr´ ıa vectorial de Rn

1. Sean A = (3, 0, 0), B = (1, 0, 2), y C = (2, 3, 0) puntos en R 3.

a) Determine si el tri ángulo ABC es rect ángulo, obtus ángulo o acut ángulo.

Respuesta:

−→ AB = (1, 0, 2) −(3, 0, 0) = (−2, 0, 2)−−→ AC = (2, 3, 0) −(3, 0, 0) = (−1, 3, 0)

Entonces, del producto interior de R 3, −→ AB ·−−→ AC = (−2, 0, 2) ·(−1, 3, 0) = 2 > 0 y por lo tanto elángulo BAC es agudo.

−−→CA = (3, 0, 0) −(2, 3, 0) = (1, −3, 0)

−→CB = (1, 0, 2) −(2, 3, 0) = (−1, −3, 2)Del producto interior de R 3, −−→CA ·−→CB = (1,−3, 0) ·(−1, −3, 2) = 8 > 0 y por lo tanto el ángulo ACB es agudo.

−→BA = (3, 0, 0) −(1, 0, 2) = (2, 0,−2)−→BC = (2, 3, 0) −(1, 0, 2) = (1, 3, −2)

Del producto interior de R 3, −→BA ·−→BC = (2, 0,−2) ·(1, 3,−2) = 6 > 0 y por lo tanto el ángulo ABC es agudo.

Por tanto el tri ángulo ABC es acut ángulo.

b) Determine el per ı́metro del tri ángulo ABC.

Respuesta:Como el perı́metro es la suma de los lados del tri ´ angulo, y como cada lado puede ser repre-sentado por un vector en la notaci ón de echa dirigida, entonces tenemos que:

Per ı́metro = −→ AB + −−→ AC + −→BCNótese que en lo anterior, se us ó el hecho de que la norma de un vector que representa a una

echa dirigida no depende de hacia cu´ al de los dos puntos apunta el vector. Entonces,

Perı́metro = √ (−2)2 + 02 + 22 + √ (−1)2 + 32 + 02 + √ 12 + 32 + (−2)2 = √ 8 + √ 10 + √ 14c) Calcule la proyecci ón del vector −→ AB sobre el vector −−→ AC.

Respuesta:

Proy−−→ AC −→ AB = 210 ·(−1, 3, 0) = −1

5 ,

35

, 0

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d) Determine el área del tri ángulo ABC.

Respuesta:

Considere el paralelogramo con lados −→ AB y −−→ AC. El area de ese paralelogramo, es el doble delárea del triángulo ABC. Entonces usamos la fórmula de cálculo del área del paralelogramo:

Área del paralelogramo = −→ AB×−−→ ACEntonces,

−→ AB×−−→ AC = (−2, 0, 2) ×(−1, 3, 0) = (−6,−2,−6)

−→ AB×−−→ AC = √ (−6)2 + (−2)2 + (−6)2 = √ 76Entonces, Área ABC =

√ 762

.e) Determine un punto D de manera que ABCD sea un paralelogramo.

Respuesta:

Si se considera el paralelogramo con lados −→ ABy −−→ AC, por la interpretaci´ ondelasuma,elv´ erticeopuesto a A, que es el v értice que denominamos como D, cumple con la igualdad:

D − A = −−→ AD = −→ AB + −−→ AC = (−2, 0, 2) + (−1, 3, 0) = (−3, 3, 2)Entonces, D = (−3, 3, 2) + A = (−3, 3, 2) + (3, 0, 0) = (0, 3, 2).

2. Sean A = (1, 2, −1), B = (1, 4, 3) y C = (1,−1, 5) puntos en R 3.a) Determine un punto D de manera que ABCD sea un paralelogramo.

Respuesta:

Considere el paralelogramo con lados −→ AB y −−→ AC unidos por el v értice A. Por la interpretaci ónde la suma, si se escoge el punto D que satisface, −−→ AD = −→ AB + −−→ AC entonces se obtiene unparalelogramo con v értices A, B, C y D. Entonces,

−→ AB =

(1, 4, 3) −(1, 2, −1) =

(0, 2, 4) −−→ AC =

(1,−1, 5) −(1, 2, −1) =

(0,−3, 6)Entonces, D − A = −−→ AD = −→ AB + −−→ AC = (0, −1, 10), por tanto D = (0,−1, 10) + A = (0,−1, 10) +(1, 2, −1) = (1, 1, 9).

b) Calcula la longitud de la altura del paralelogramo sobre el lado −−→DC.Respuesta:Según la parte a) el vértice D es opuesto al vértice A, y los vértices B y C son opuestos. Paraestablecer sobre que lado del paralelogramo se referencia la altura, considere que esta se

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mide referenciada respecto al lado −→ AB, i.e. la altura h es la longitud del segmento que va delvértice C en forma perpendicular hasta el lado −→ AB. Adem ás, considere el ángulo CAB quedenominaremos como θ .

Véase la gura.

Dado lo anterior, entonces se tiene que

sen(θ ) =h

−−→ ACPero el ángulo θ tambi én cumple que

−−→ AC ×−→ AB = −−→ AC −→ AB sen(θ )Por lo tanto, de las igualdades anteriores se concluye que;

h =−−→ AC ×−→ AB

−→ ABDonde,

−−→ AC ×−→ AB =e1 e2 e30 −3 60 2 4

= (−24, 0, 0)

Entonces, −−→ AC ×−→ AB = 24 y −→ AB = √ 20, por lo tanto

h =24√ 20

=12√ 5

5

c) Determine el área del paralelogramo ABCD.

Respuesta:

El área est á dada por −−→ AC ×−→ AB = 24.d) Determine si el ángulo del paralelogramo cuyo v´ ertice es A es recto, obtuso o agudo.

Respuesta:

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La clasicaci ón del ángulo cuyo v értices es A, se puede hacer mediante el signo del valorque tome el producto interno de vectores en R 3 sobre los lados −→ AB y −−→ AC que coinciden en A.Entonces,

−→ AB·−−→ AC = (0,

−3, 6)

·(0, 2, 4) = 18 > 0

Por tanto el ángulo es agudo.

3. Considere el cuadril´ atero con v értices A, B, C, y D, que se muestra a continuaci´ on.

Si P, Q, R y S son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA, respectivamente; muestre que−→PS = −−→QR y −−→PQ = −→SR.

Respuesta:

Existen por lo menos dos maneras diferentes para responder a este ejercicio. La primera es obte-niendo una expresi ón para los puntos medios en t érminos de los extremos del segmento. Vamos aobtener una expresi´ on primero para P en términos de A y B. Vease la gura.

Nótese que los vectores −→0 A y −→0B forman los lados de un paralelogramo, donde las diagonales son AB y el segmento que va de 0 a A + B. Como P es el punto medio del segmento AB, entonces esel punto medio de la diagonal AB del paralelogramo. Como las diagonales de un paralelogramose cruzan en su punto medio, entonces P es el punto medio del segmento que va de 0 a A + B,donde dicho segmento es el vector −−−−−−−→0 ( A + B). Como el vector −→0P es la mitad de largo que el vector−−−−→ A + B y apunta en la misma direcci´ on, por la interpretaci ´ on del producto por escalar tenemos que−→0P = 12−−−−−−−→0 ( A + B) y de donde se concluye que P = 12 ( A + B).

Para los puntos Q, R y S se puede hacer una interpretaci´ on similar, y se concluye que

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P = A + B

2 S =

A + D2

R =D + C

2 Q =

B + C2

Ahora, por la denici´ on de vector como echa dirigida, se tiene;

−→PS = S −P = A+ D2 − A

+ B2

= D−B2 = −−→BD2−−→QR = R −Q = D

+ C2 − B

+ C2

= D−B2 =−−→BD2

−→PS = −−→QR

−−→PQ = Q −P = B+ C2 − A

+ B2

= C− A2 =−−→ AC2

−→SR = R −S = D+ C2 − A

+ D2

= C− A2 =−−→ AC2

−−→PQ = −→SR

La segunda manera de responder es utilizando la interpretaci´ on de suma de vectores como eldesplazamiento resultante en la direcci´ on de los vectores. N´ otese que el vector −→PS se puede vercomo el desplazamiento de P a S, y dicho desplazamiento se puede hacer primero de P a A y luego

de A a S. Es decir, se cumple por la interpretaci ón de la suma que: −→PS =

−→PA+

−→ AS. Ahora, como elpunto P est á colocado en el punto medio del segmento AB, se sigue que el vector −→PA tiene la mismadirecci ón y la mitad de longitud que el vector −→BA. Entonces por la interpretaci ón del producto porun escalar, se sigue que −→PA = 12−→BA y similarmente se tiene que −→ AS = 12−−→ AD. Sustituyendo esas dosexpresiones en la igualdad que obtuvimos de la interpretaci´ on de la suma, se obtiene que:

−→PS = 12−→BA + 1

2−−→ AD = 1

2 ( A −B + D − A) =

12

(D −B) =12−−→BD

Que es el mismo resultado que obtuvimos por el otro m étodo. Similarmente se obtienen las expre-siones para los otros puntos.

4. Considere el tri´angulo con v´ertices A, B y C, que se muestra a continuaci´ on.

Si E y D son los puntos medios de los lados CA y CB, respectivamente; muestre, usando geometrı́a

vectorial, que −−→ED = 12−→ AB .Respuesta:

Nóte que por la interpretaci´ on de la suma, el vector −−→ED que es el desplazamiento resultante de Ea D, se puede ver como el desplazamiento primero de E a C y luego de C a D. Entonces, se sigueque: −−→ED = −→EC + −−→CD. Ahora, como el punto E est á en el medio del segmento AC, se sigue por lainterpretaci ón del producto por un escalar que −→EC = 12−−→ AC y similarmente, se sigue que −−→DC = 12−→CB(note que aquı́ el vector −→CB debe seguir la misma direcci´ on que −−→CD). Sustituyendo en la igualdadobtenida por la interpretaci ón de la suma, se tiene que:

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−−→ED = 12−−→ AC + 1

2−→CB = 1

2 (C − A + B−C) =

12

(B− A) =12−→ AB

5. Dados los siguientes puntos en R 3: A = (0, 1, 0), B = (2, 2, 0), C = (0, 0, 2) y D = (a, b, c).

a) Determine los valores de a, b y c de modo que ABCD sea un paralelogramo.

Respuesta:La respuesta a esta pregunta se puede hacer directamente con un argumento algebraico, sinembargo, se va a realizar tambi´ en una interpretaci´ on geom étrica al proceso algebraico.

Para que el pol ı́gono de v értices ABCD sea un paralelogramo, se debe escoger el punto D, yen consecuencia, valores de a, b y c, tales que, ABCD sea un paralelogramo con lados −→ AB y −−→ AC.Por la interpretaci´ on de la suma de vectores, el punto D debe cumplir que, −−→ AD = −→ AB + −−→ AC,donde −→ AB = B

− A = (2, 2, 0)

−(0, 1, 0) = (2, 1, 0) y −−→ AC = C

− A = (0, 0, 2)

−(0, 1, 0) = (0,

−1, 2).

Entonces,

D − A = −−→ AD = −→ AB + −−→ AC = (2, 1, 0) + (0, −1, 2) = (2, 0, 2)

D = (2, 0, 2) + A = (2, 0, 2) + (0, 1, 0) = (2, 1, 2)

Entonces, para que ABCD sea un paralelogramo es necesario que a = 2, b = 1 y c = 2.

Ahora vamos a presentar una interpretaci´ on geom étrica del proceso algebraico realizado.Cuando se realiza el c´ alculo correspondiente a la igualdad, −−→ AD = −→ AB + −−→ AC, el paralelogramode lados −→ AB y −−→ AC, es en realidad el paralelogramo A1B1C1D1 que aparece en la gura, donde A1 es el origen, B1 = −→ AB, C1 = −−→ AC y D1 = −−→ AD.El cálculo permite determinar para el paralelogramo A1B1C1D1 que D1 = (2, 0, 2). Ahora,como se observa en la gura, el paralelogramo ABCD es igual al paralelogramo A1B1C1D1,pero trasladado desde el origen hasta el punto A. Entonces el punto D es igual a A + D1 =

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(0, 1, 0) + (2, 0, 2) = (2, 1, 2) que es el resultado algebraico antes obtenido.

b) Determine el punto E, que corresponde a la intersecci´ on de las dos diagonales del paralelo-gramo ABCD.

Respuesta:Por propiedades geom étricas, las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre s ı́, de mo-do que el punto de intersecci´ on E de las dos diagonales es igual al punto medio de ambasdiagonales. Podemos tomar entonces, E = B+ C2 =

A+ D2

= 12(2, 2, 2) = (1, 1, 1).

c) Calcule el coseno del ángulo del paralelogramo ABCD, cuyo v értice es el punto B.

Respuesta:Por la forma en que se escogi ó el punto D, los lados del paralelogramo ABCD adyacentes alpunto B son −→ AB y −−→BD. Entonces,

−→ AB = (2, 2, 0) −(0, 1, 0) = (2, 1, 0) −→ AB = √ 5

−−→BD = (2, 1, 2) −(2, 2, 0) = (0,−1, 2) −−→BD = √ 5Sea θ el ángulo correspondiente al v értice del punto B, entonces

cosθ =−→ AB ·−−→BD−→ AB −−→BD

= −15

d) Calcule el área de la regi ón delimitada por el paralelogramo ABCD.

Respuesta:

Por teorema, el área del paralelogramo ABCD de lados, −→ AB y −−→ AC est á dada por Area( ABCD) =−→ AB×−−→ AC . Entonces,

−→ AB×−−→ AC =e1 e2 e32 1 00 −1 2

= (2,−4, −2) −→ AB×−−→ AC = √ 24

Entonces el área de la regi ón limitada por el paralelogramo es igual a√

24.

6. Sean A = (0, 2, −1), B = (0, 2,−2), C = (−2, 0, −2) y D = (−1, 1,−1) puntos en R 3.a) Determine si ABCD es un paralelogramo o no.

Respuesta:Por denici ón, ABCD es un paralelogramo si sus lados opuestos sonparalelos. Por la forma enquese encuentran ubicados los puntos de los v´ ertices de ABCD, dondelos vértices adyacentesa A son los v értices B y D y el vértice opuesto es el v értice C (para ver que efectivamente ese

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área DCE =−→EC · −−→DE

2 =

−−→ AD · −→ AB2

=√ 2 ·1

2 =

√ 22

Y puesto que, −→BE = −−→ AD , entonces, el área del rect ángulo ABED es,área ABED = −→BE · −→ AB = −−→ AD · −→ AB = √ 2 ·1 = √ 2

Entonces,

área ABCD =√ 22

+ √ 2 = 3√ 22

c) Determine la medida en grados del ´ angulo interno con v´ ertice A del cuadril´atero ABCD.

Respuesta:Como se aprecia en la gura de la parte a), los lados del cuadril átero ABCD que determinan

el ángulo θ corespondiente al v értice A son −→ AB y −−→ AD. Y como, −→ AB·−−→ AD = 0, entonces, los ladosson ortogonales, y por consiguiente θ = π2 , es decir, θ = 90 grados.

7. Sean los vectores −→u , −→v R 3, tales que −→u ·−→v = 0, −→u = −→v = 2.

a) Calcule el seno del ángulo entre los vectores −→u y −→v .Respuesta:Sea θ el ángulo entre los vectores −→u y −→v . Como −→u

·−→v = 0, entonces son ortogonales, y por

denici ón, θ = π2 . Entonces, senθ = 1.

b) Determine el valor en grados del ángulo entre los vectores −→u y −→v .Respuesta:Por la parte a), el ángulo entre los vectores es de 90 grados.

c) Calcule la norma o magnitud del vector −→u ×−→v .Respuesta:

Se tiene, −→u ×−→v = −→u −→v senθ = 2 ·2 ·1 = 4.d) Determine el valor que se obtiene al realizar las siguientes operaciones:

−→u − −→u × 2−→v + 3−→v · 2−→v + 3−→u ×−→v + 9−→uRespuesta:Utilizando las propiedades del producto interno escalar, y del producto cruz, se tiene que:

−→u − −→u × 2−→v + 3−→v · 2−→v + 3−→u ×−→v + 9−→u53


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= −→u −2 −→u ×−→v + 3−→v · 2−→v + 3 −→u ×−→v + 9−→u

= −→u ·2−→v + −→u ·3 −→u ×−→v + −→u ·9−→u −2 −→u ×−→v ·2−→v −2 −→u ×−→v ·3 −→u ×−→v

−2 −→u ×−→v ·9−→u + 3−→v ·2−→v + 3−→v ·3 −→u ×−→v + 3−→v ·9−→u

= 29−→u ·−→v −18 −→u ×−→v ·−→u −4 −→u ×−→v ·−→v + 3−→u · −→u ×−→v+ 9−→v · −→u ×−→v + 9 −→u

2+ 6 −→v 2 −6 −→u ×−→v

2

= 29−→u ·−→v −15−→u · −→u ×−→v −5−→v · −→u ×−→v + 9 −→u2

+ 6 −→v 2 −6 −→u ×−→v2

= 29−→u ·−→v −

15 −→u ×

−→u·−→v −

5 −→v ×

−→v·−→u + 9 −→u 2 + 6 −→v 2

−6 −→u

×−→v 2

= 9 −→u 2 + 6 −→v 2 −6 −→u ×−→v2

pues −→u ×−→u = −→v ×−→v = 0 y sustituyendo −→u ·−→v = 0

= 9 ·4 + 6 ·4 −6 ·16 = −36 sustituyendo −→u = −→v = 2Por lo tanto, se obtiene que:

−→u − −→u × 2−→v + 3−→v · 2−→v + 3−→u ×−→v + 9−→u = −368. Considere los vectores −→u = (1, 0, 2), −→v = (−2, 0, 3) y −→w = (2, 2, 2).

a) Si −→r = −→u x−→v , determine Proy−→r −→w.Respuesta:

−→r = −→u x−→v =e1 e2 e31 0 2

−2 0 3= (0, −7, 0)

Y como−→r

·−→w =

−14 y

−→r

2= 49, entonces

Proy−→r −→w = −→r ·−→w−→r 2 ·−→r = −14

49 (0,−7, 0) = (0, 2, 0)

b) Calcule el área del paralelogramo determinado por los vectores −→u y −→v .Respuesta:Área del paralelogramo = −→u x−→v = −→r = √ 49 = 7.

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c) Determine la medida del ángulo que forman los vectores −→w y −→r .Respuesta:Como −→w = √ 12 y −→r = 7, entonces, por la f órmula del coseno del ´ angulo se tiene que

cosθ = −→w ·−→r−→w · −→r= −14√ 12 ·7

= −1√ 3d) Calcule el vol úmen del paralelepı́pedo que determinan los vectores −→u , −→w y −→r .

Respuesta:Si A es la matriz con las −→r , −→u y −→w, i.e. si

A =−→w−→u−→r

=

2 2 21 0 2

0 −7 0El volúmen del paralelep ı́pedo de lados −→u , −→w y −→r es el valor absoluto del determinante de A. Y como, det( A) = 14, entonces concluimos que el vol úmen del paralelep ı́pedo es 14.

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6. Rectas y planos en Rn

1. En R 3 considere los puntos A = (1,−2, 3), B = (5, 3, 2) y C = (7,−1, 4).

a) Verique que estos puntos no son colineales (es decir, no pertenecen a la misma recta).

Respuesta:

Nótese que los tres puntos A, B y C no son colineales si los vectores −→ AB y −→BC no son paralelos.

Entonces,

−→ AB = B− A = (5, 3, 2) −(1,−2, 3) = (4, 5,−1)−→BC = C −B = (7,−1, 4) −(5, 3, 2) = (2,−4, 2)

−→ AB ·−→BC = (4, 5,−1) ·(2,−4, 2) = −14 < 0 entonces el ángulo es obtuso

−→ AB =

√ 42 + 52 + (−1)2 = √ 42

−→BC = √ 22 + 42 + 22 = √ 24Entonces, el ángulo entre los vectores est´ a determinado por,

cosθ =−→ AB ·−→BC−→ AB −→BC

= −14√ 42√ 24= −√ 7

6

Como cosθ 1 y cosθ −1, entonces los vectores no son paralelos, y por tanto los puntos A,B y C no son colineales.

b) Escriba las ecuaciones escalares param´ etricas del plano P que contiene los puntos A, B y C.

Respuesta:Para determinar la ecuaci ón vectorial del plano P, se necesitan un punto perteneciente alplano y dos vectores que se encuentren dentro del plano y que no sean paralelos. Como lospuntos A, B y C están en el plano, entonces los vectores −→ AB y −−→ AC forman parte del plano y sepueden utilizar como vectores directores.

Entonces

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L1 : (x, y, z) = (3, 7,−1) + t(1, 2, 3) = A + tvL2 : (x, y, z) = (0, 1, 2) + t(3, 2, 1) = B + tw

Note que v y w no son vectores paralelos, por lo que las rectas L1 y L2 tampoco lo son.

Como el plano P contiene a L1, el vector v est á en el plano, junto con el punto A por dondepasa la recta. Adem ás como la recta L2 es paralela al plano P, el vector director w tiene lamisma direcci´on que el plano. Y como v y w no son paralelos, generan al plano P.

Por tanto, un vector ortogonal al plano P es el vector v ×w;

v ×w = (3, 2, 1) ×(1, 2, 3) =e1 e2 e33 2 11 2 3

= (4,−8, 4) = 4(1,−2, 1)

Podemos tomar al vector η = (1,

−2, 1) que es un vector normal al plano P. Y el punto A de L1

como un punto del plano P. La ecuaci ón normal del plano P está dada por:

X ·η = A ·η (x, y, z) ·(1,−2, 1) = (3, 7 −1) ·(1, −2, 1) x −2 y + z = 3 −14 −1 = −12La ecuación del plano P es entonces x −2 y + z = −12.

b) Determine la ecuaci ón de la recta L3 que es ortogonal a L1 y a L2 y corta a ambas rectas.

Respuesta:

De la parte a), el vector η = (1, −2, 1) es ortogonal tanto a L1 como a L2. Entonces L3 es la rectacon vector director (1 , −2, 1) y que pasa por los puntos ( x1, y1, z1) en L1 y (x2, y2, z2) en L2, talesque:

(x1, y1, z1) −(x2, y2, z2) = k (1, −2, 1)i.e. buscamos que el vector que va de ( x2, y2, z2) a (x1, y1, z1) sea paralelo al vector director(1, −2, 1) de L3. Lo anterior equivale a que existen s, t, k tales que:

(3, 7, −1)+ t(1, 2, 3)−(0, 1, 2)−s(3, 2, 1) = k (1,−2, 1) (3+ t−3s, 6+ 2t−2s,−3+ 3t−s) = (k ,−2k , k )58


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Que es equivalente a las ecuaciones,

3 + t −3s = k 6 + 2t −2s = −2k

−3 + 3t

−s = k

k −t + 3s = 3−2k −2t + 2s = 6k

−3t + s =

−3

Por tanto, para encontrar los valores de k , t, s resolvemos el sistema anterior,

1 −1 3 3−2 −2 2 61 −3 1 −3

2 f 1 + f 2

−→− f 1 + f 3

1 −1 3 30 −4 8 120 −2 −2 −6

14 f 2

−→−12 f 31 −1 3 30 1 −2 −30 1 1 3

− f 2 + f 3−→ f 2 + f 1

1 0 1 00 1 −2 −30 0 3 6

13 f 3

−→1 0 1 00 1 −2 −30 0 1 2

2 f 3 + f 2

−→− f 3 + f 1

1 0 0 −20 1 0 10 0 1 2

Entonces, k = −2, t = 1 y s = 2.El punto de L1 por donde pasa la recta L3 es (x1, y1, z1) = (3, 7,−1) + 1(1, 2, 3) = (4, 9, 2) y elpunto L2 por donde pasa la recta L3 es (x2, y2, z2) = (0, 1, 2) + 2(3, 2, 1) = (6, 5, 4). Entonces laecuaci ón de la recta L3 es

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