Ejercicios selectividad física Andalucía 2013 resueltos - Campos eléctrico y magnético

MARTÍN DE LA ROSA DÍAZ MARZO 2014 [email protected] @Killer74_

Lector: Si cree haber encontrado algún error en la resolución de los problemas o simplemente quiere realizar un comentario, envíeme un correo (dirección en el pie de página). Si ciertos símbolos, como los paréntesis, no se visualizan, descargue el documento.

1.‐ (Reserva, 2013) Una partícula con carga 2 * 10-6 se encuentra en reposo en el punto (0,0). Se aplica un campo eléctrico uniforme de 500 NC-1 en el sentido positivo del eje OY. a) Describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que tiene lugar a lo largo del mismo. b) Calcule la diferencia de potencial entre los puntos (0,0) y (0,2) m y el trabajo realizado para desplazar la partícula entre dichos puntos. K = 9 * 109 Nm2C-2

a) Al hallarse en una región donde existe un campo eléctrico uniforme dirigido hacia arriba, la carga experimentará una fuerza que tiene por expresión vectorial:

𝐹 = 𝑞∣𝐸∣𝚥

Por lo tanto, tal y como se deduce de la 2º ley de Newton, la carga se acelerará en la dirección y el sentido del vector fuerza.

𝐹 = 𝑚𝑎 ⟶ 𝑎 =𝑞∣𝐸∣𝑚

𝚥

Como se observa, la aceleración es, en todo momento, constante. La partícula, pues, describirá un MRUA sobre el eje OY. La integración de la ecuación proporcionada por la 2º ley de Newton permite obtener las dependencias de la velocidad y la posición con el tiempo. Se considerará que velocidad y posición iniciales son nulas:

𝑣(𝑡) = ∫𝑞∣𝐸∣𝑚

𝚥 𝑑𝑡 =𝑞∣𝐸∣𝑚

𝑡𝚥

𝑟(𝑡) = ∫𝑞∣𝐸∣𝑚

𝑡𝚥 𝑑𝑡 =𝑞∣𝐸∣2𝑚

𝑡2𝚥

Analicemos ahora los cambios energéticos que sufre la partícula. Por una parte, dado que la velocidad de esta aumenta linealmente con el tiempo, también se incrementará su energía cinética, la cual podemos poner en función del tiempo del siguiente modo:

𝐸𝑐(𝑡) = 12

𝑚𝑣2 = 12𝑚 (

𝑞∣𝐸∣𝑚

𝑡)2

=𝑞2∣𝐸∣2

2𝑚𝑡2

Este aumento de energía cinética se debe al trabajo que el campo eléctrico efectúa sobre la partícula.


Por otra parte, a medida que la carga marcha sobre una línea de campo eléctrico, su energía potencial varía. La expresión general de la energía potencial es:

𝐸𝑝 = − ∫ 𝐹 ⋅ 𝑑𝑟𝑟

∞

Para la situación planteada en el problema (campo eléctrico uniforme), la energía potencial, supuesta nula en el infinito, tomará la forma:

𝐸𝑝 = − ∫ 𝑞𝐸 ⋅ 𝑑𝑟 = −𝑞∣𝐸∣𝑟

∞

∫ 𝑑𝑟𝑟

∞

= −𝑞∣𝐸∣𝑟

Recurriendo de nuevo a las ecuaciones de movimiento, escribimos la energía potencial como una función del tiempo:

𝐸𝑝(𝑡) = −𝑞∣𝐸∣𝑞∣𝐸∣2𝑚

𝑡2 = −𝑞2∣𝐸∣2

2𝑚𝑡2

Este resultado era de esperar, ya que en todo campo conservativo, en ausencia de fuerzas externas, un aumento de energía cinética siempre va acompañado de una disminución de la energía potencial y viceversa. Se trata, en definitiva, de una consecuencia directa del principio de conservación de la energía mecánica.

∆𝐸𝑐 = −∆𝐸𝑝 ⟶ ∆𝐸𝑚 = 0

Así, la energía total de la partícula se mantiene constante.

b) Si en la expresión de la energía potencial empleada en el apartado anterior se dividen ambos miembros por la carga en movimiento, resulta:

𝐸𝑝

𝑞= −∫ 𝐹

𝑞⋅ 𝑑𝑟

𝑟

∞

O, equivalentemente:

𝑉 = − ∫ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑟𝑟

∞

Pues, en efecto, el potencial en un punto se corresponde con la energía potencial que tendría una carga unidad positiva situada en el mismo. El potencial, al igual que la intensidad de campo eléctrico, son funciones que solo dependen de las características del campo eléctrico y no de las cargas que estén bajo su influencia.

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B será:

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = −∫ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑟 =𝑟𝐵

𝑟𝐴

𝑟𝐴

𝑟𝐵

∣𝐸∣(𝑟𝐵 − 𝑟𝐴)


Sustituyendo:

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 500 𝑉𝑚

⋅ 2 𝑚 = 1000 𝑉

Tiene sentido: las cargas positivas se desplazan espontáneamente hacia los potenciales decrecientes.

Para determinar el valor del trabajo efectuado por el campo eléctrico, aplicaremos la expresión:

𝑊 = ∫ 𝐹 ⋅ 𝑑𝑟𝑟𝐵

𝑟𝐴

= 𝑞 ∫ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑟𝑟𝐵

𝑟𝐴

Pero la segunda integral no es otra cosa que la diferencia de potencial entre A y B. Se concluye que:

𝑊 = 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) = 2 ⋅ 10−6 𝐶 ⋅ 1000 𝐽𝐶

= 2 ⋅ 10−3 𝐽

Resultado que también es coherente con el caso estudiado ya que la carga se desplaza de forma espontánea, en la dirección y sentido de las líneas de campo.

2.‐ (Junio, 2013) a) Explique las características del campo magnético creado por una

corriente eléctrica rectilínea indefinida.

b) Por dos conductores rectilíneos, paralelos y de longitud infinita, circulan corrientes

de la misma intensidad y sentido. Dibuje un esquema indicando la dirección y sentido

del campo magnético debido a cada corriente y del campo magnético total en el punto

medio de un segmento que une a los dos conductores. Razone cómo cambiaría la

situación al duplicar una de las intensidades y cambiar su sentido.

a) Una corriente eléctrica es un flujo de cargas y, por consiguiente, crea un campo eléctrico variable que genera un campo magnético. El módulo del vector inducción magnética producido por una corriente rectilínea e infinita puede deducirse fácilmente de la ley de Ampère, que para un campo magnético estacionario tiene la forma:

∮ ��

𝐿⋅ 𝑑𝑙 = 𝜇𝐼

Para facilitar la resolución de la integral, escogemos una línea con forma de circunferencia que rodea al conductor. De este modo, el campo magnético en cualquier punto de la circunferencia tendrá el mismo módulo al hallarse a la misma distancia de la corriente.


Queda:

∮ ��

𝐿⋅ 𝑑𝑙 = 𝐵 ∮ 𝑑𝑙

𝐿= 2𝜋𝑟𝐵

Aplicando la ley de Ampère:

2𝜋𝑟𝐵 = 𝜇𝐼 ⟶ 𝐵 = 𝜇𝐼2𝜋𝑟

Así pues, el módulo del campo creador por una corriente de este tipo es directamente proporcional a la intensidad que circula por el conductor y decrece linealmente con la distancia. Asimismo, su valor dependerá del medio en el que se sitúe el conductor.

Recurrimos a la forma diferencial de la ley de Biot y Savart para estudiar la orientación del vector inducción magnética:

𝑑�� = 𝜇4𝜋

𝐼𝑑𝑙 × 𝑟𝑟2

El producto cruz nos dice que será perpendicular al plano que generan los vectores que se están multiplicando, es decir, será normal tanto a la dirección y sentido en la que circula la corriente como al vector que une el conductor con el punto donde se está calculando el campo magnético.

También se desprende de esta expresión que el sentido del vector inducción magnética cambiará si se modifica el sentido de la corriente eléctrica. Este se puede predecir a través de la aplicación de la regla de la mano derecha.


b) Teniendo en cuenta las consideraciones realizadas en el primer apartado, un esquema apropiado sería el siguiente:

Como se observa, los vectores inducción magnética en el punto medio del segmento que une los conductores tienen el mismo módulo (debido a que las intensidades de corriente que circulan por los conductores son iguales, así como las distancias entre cada conductor y el punto medio del segmento) y dirección, pero sentidos contrarios. Por lo tanto, la suma de los vectores es nula.

��1 = −��2 ⟶ ∑��𝑖𝑖

= 0

Si se invierte el sentido de una de las corrientes y se duplica la intensidad de la misma, el campo magnético en el punto medio, evidentemente, será distinto de cero.


En este segundo caso, los dos vectores tienen igual dirección y sentido, y el módulo de uno de ellos es el doble del módulo del otro. Podemos obtener analíticamente el valor del campo resultante:

𝐵𝑇 = 𝐵1 + 𝐵2 = 𝜇2𝜋𝑑

(𝐼 + 2𝐼) = 3𝜇𝐼2𝜋𝑑

Siendo 𝑑 la distancia entre cada conductor y el punto medio del segmento que los une.

3.‐ (Reserva, 2013) Dos partículas de 25 g y con igual carga eléctrica se suspenden de

un mismo punto mediante hilos inextensibles de masa despreciable y 80 cm de longitud.

En la situación de equilibrio los hilos forman un ángulo de 45º con la vertical.

a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre cada partícula.

b) Calcule la carga de las partículas y la tensión de los hilos.

K = 9·109 Nm2 C-2 ; g = 9,8 ms-2

a) Sobre cada partícula actúan tres fuerzas: el peso, la tensión del hilo y la fuerza eléctrica repulsiva debida a la otra carga.

El sistema se halla en equilibrio, por lo que ha de verificarse que:

∑𝐹��𝑖

= 0 ⟶ 𝐹𝑒 + 𝑃 + 𝑇 = 0


b) Se trata de un simple problema de dinámica. Extraemos una ecuación por separado para cada eje:

⎩{⎨{⎧𝑇𝑥 = 𝐹𝑒 ⟶ 𝑇 sin 45° = 𝐾 𝑄2

𝑟2

𝑇𝑦 = 𝑃 ⟶ 𝑇 cos 45° = 𝑚𝑔

Dividiendo ambas ecuaciones, obtenemos la carga:

tan 45° = 𝐾𝑄2

𝑚𝑔𝑟2 ⟶ 𝑄 = √𝑚𝑔𝑟2 tan 45°𝐾

La distancia entre las cargas puede deducirse por trigonometría. Por ejemplo, como los ángulos agudos del triángulo formado por los hilos y el segmento que une las cargas mide 45 grados, la distancia entre una de las cargas y el punto medio del segmento que las une es:

𝑑2

= 𝑙 cos 45°

Donde 𝑙 es la longitud de la cuerda. La separación entre las cargas será el doble de esta longitud.

Sustituyendo:

𝑄 =⎷

√√√0,025 𝑘𝑔 ⋅ 9,8 𝑚 𝑠2⁄ ⋅ (2 ⋅ 0,8 ⋅ cos 45° 𝑚)2 tan 45°

9 ⋅ 109 𝑁𝑚2𝐶2⁄

= 5,9 𝜇𝐶

La tensión puede despejarse fácilmente de la ecuación del eje vertical.

𝑇 = 𝑚𝑔cos 45°

=0,025 𝑘𝑔 ⋅ 9,8𝑚

𝑠2⁄cos 45°

= 0,35 𝑁

4.‐ (Septiembre, 2013) Dos cargas eléctricas puntuales q1 = - 5 μC y q2 = 2 μC están

separadas una distancia de 10 cm. Calcule:

a) El valor del campo y del potencial eléctricos en un punto B, situado en la línea que

une ambas cargas, 20 cm a la derecha de la carga positiva, tal y como indica la figura.

b) El trabajo necesario para trasladar una carga q3 = -12 μC desde el punto A, punto

medio entre las cargas q1 y q2, hasta el punto B. ¿Qué fuerza actúa sobre q3 una vez

situada en B?

K = 9·109 Nm2C-2


a) La imagen que se adjunta con el problema es esta:

El campo eléctrico creado por una carga puntual viene dado por la expresión:

𝐸 = 𝐾 𝑞𝑟2 ��𝑟

Por lo tanto, su sentido dependerá del signo de la carga que crea el campo. En este caso, suponiendo que el segmento representado en el croquis está contenido en el eje X, el campo que genera la carga 1 estaría dirigido hacia los valores negativos del eje, mientras que el que crea la carga 2 apuntaría hacia los valores positivos.

Sustituimos en la fórmula para calcular los módulos de dichos vectores:

𝐸1 = 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2

𝐶2 ⋅ 5 ⋅ 10−6 𝐶(0,3 𝑚)2 = 5 ⋅ 105 𝑁

𝐶

𝐸2 = 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2

𝐶2 ⋅ 2 ⋅ 10−6 𝐶(0,2 𝑚)2 = 4,5 ⋅ 105 𝑁

𝐶

Según el principio de superposición, el campo eléctrico resultante en B coincide con la suma vectorial de los campos individuales sobre ese punto.

𝐸𝑇 = ∑𝐸��

𝑖= 𝐸1

+ 𝐸2 = (−5 ⋅ 105 + 4,5 ⋅ 105)𝚤 = −5 ⋅ 104𝚤 𝑁

𝐶

b) El trabajo realizado por una fuerza al desplazar su punto de aplicación a lo largo de una línea se define como la circulación del vector fuerza en esa línea:


𝑟𝐴

Podemos transformar la integral del siguiente modo:


𝑟𝐴

= 𝑞3 ∫ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑟𝑟𝐵

𝑟𝐴

Teniendo en cuenta la relación entre campo y potencial eléctricos:

𝑑𝑉 = −𝐸 ⋅ 𝑑𝑟

Resulta que:

𝑞3 ∫ 𝐸 ⋅ 𝑑𝑟𝑟𝐵

𝑟𝐴

= −𝑞3 ∫ 𝑑𝑉𝑉𝐵

𝑉𝐴

= 𝑞3 ∫ 𝑑𝑉𝑉𝐴

𝑉𝐵

= 𝑞3(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵)


El potencial en los puntos A y B será la suma escalar de los potenciales creados por cada carga, de acuerdo con el principio de superposición.

La fórmula que permite calcular el potencial debido a una carga puntual es:

𝑉 = 𝐾 𝑞𝑟

De este modo, los potenciales en A y B valen:

𝑉𝐴 = 𝐾 ( 𝑞1𝑟1𝐴

+ 𝑞2𝑟2𝐴

) = 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2

𝐶2 ⋅ (−5 ⋅ 10−6 𝐶0,05 𝑚

+ 2 ⋅ 10−6 𝐶0,05 𝑚

)

= −5,4 ⋅ 105 𝑉

𝑉𝐵 = 𝐾 ( 𝑞1𝑟1𝐵

+ 𝑞2𝑟2𝐵

) = 9 ⋅ 109 𝑁𝑚2

𝐶2 ⋅ (−5 ⋅ 10−6 𝐶0,3 𝑚

+ 2 ⋅ 10−6 𝐶0,2 𝑚

)

= −6 ⋅ 105 𝑉

Finalmente:

𝑊 = 𝑞3(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵) = −1,2 ⋅ 10−5 𝐶 ⋅ (−5,4 ⋅ 105 + 6 ⋅ 105 𝑉 ) = −0,72 𝐽

El que el trabajo total sea negativo indica que, situada en el punto A, esta tercera carga no se desplazaría espontáneamente hacia B, pues ello conllevaría un aumento en su energía potencial.

Por último, la fuerza puede calcularse sin más que aplicar la definición de intensidad de campo eléctrico:

𝐸 = 𝐹 𝑞

⟶ 𝐹 = 𝑞𝐸

Conocidos el campo eléctrico y la carga, solo queda introducir los valores correspondientes en la expresión de la fuerza.

𝐹 = 𝑞𝐸 = −1,2 ⋅ 10−5 𝐶 ⋅ −5 ⋅ 104𝚤 𝑁𝐶

= 0,6𝚤 𝑁

5.‐ (Septiembre, 2013) a) Explique las características de la fuerza sobre una partícula

cargada que se mueve en un campo magnético uniforme. ¿Varía la energía cinética de

la partícula?

b) Una partícula con carga positiva se mueve en línea recta y penetra en una región en

la que existen un campo eléctrico y un campo magnético, perpendiculares entre sí y

perpendiculares a la velocidad inicial de la partícula. Haga un esquema y razone qué

condición debe cumplirse para que la partícula continúe su trayectoria rectilínea.


a) Cuando una partícula cargada en movimiento penetra en un campo magnético, sufre los efectos de una fuerza que modifica la trayectoria de la misma pero no su celeridad. Se comprueba experimentalmente que dicha fuerza varía con el seno del ángulo que forman el campo magnético y la velocidad de la partícula, tornándose nula cuando estos vectores son paralelos. Asimismo, es directamente proporcional a la carga. Matemáticamente:

∣𝐹 ∣ = 𝑞|𝑣|∣��∣ sin 𝜃

Se descubre fácilmente que la fuerza admite una expresión vectorial del tipo:

𝐹 = 𝑞𝑣 × ��

Esta expresión recibe el nombre de ley de Lorentz. Debido al producto cruz, la fuerza es en todo momento perpendicular a la velocidad, lo que explica que una carga que penetra en un campo magnético uniforme describa un movimiento circular uniforme (o helicoidal, si la dirección de la velocidad inicial con la que entra el corpúsculo no es normal al campo). El sentido de la fuerza puede ser determinado a través de la regla de la mano derecha, o del sacacorchos.

La variación de energía cinética coincide con el trabajo realizado sobre la carga (teorema de las fuerzas vivas). Por lo tanto, si estudiamos qué trabajo efectúa el campo magnético sobre la partícula también conoceremos cómo se ve alterada su energía cinética. Por definición, el trabajo es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:

𝑑𝑊 = 𝐹 ⋅ 𝑑𝑟

Introduciendo la fuerza de Lorentz:

𝑑𝑊 = (𝑞𝑣 × ��) ⋅ 𝑑𝑟

El vector velocidad es tangente al vector desplazamiento y su producto vectorial con el campo magnético dará como resultado un vector perpendicular al desplazamiento, siendo pues el producto escalar nulo.

𝑑𝑊 = 0 ⟶ ∆𝐸𝑐 = 0

Considerando que la masa permanece constante, esto equivale a afirmar que el módulo de la velocidad de la carga tampoco varía, lo cual es evidente ya que la fuerza tiene carácter normal y no tangencial.

b) Dado que la partícula se halla en el seno de un campo eléctrico y de un campo magnético, aparecerán sobre ella dos fuerzas, que son:

𝐹𝑒 = 𝑞𝐸

𝐹𝑚 = 𝑞𝑣 × ��


Un esquema gráfico de la situación podría ser:

El que la partícula describa una trayectoria rectilínea supone, en base a la segunda ley de Newton, que la suma de las fuerzas sobre la carga es nula o tiene la misma dirección que la velocidad inicial. En cualquiera de estos dos casos, la trayectoria del corpúsculo no se vería afectada ya que la fuerza resultante no modificaría la dirección del vector velocidad instantánea.

En conclusión, como las dos fuerzas tienen la misma dirección y sentido contrario, sus módulos han de coincidir de modo que su suma vectorial dé el vector nulo. Por lo tanto:

∣𝐹𝑒 ∣ = ∣𝐹𝑚

∣

𝑞∣𝐸∣ = 𝑞|𝑣|∣��∣ sin 90° ⟶ |𝑣| =∣𝐸∣∣��∣

En este resultado se basa el funcionamiento del selector de velocidades.

6.‐ (Reserva, 2013) a) Explique en qué consiste el fenómeno de inducción

electromagnética y escriba la ley de Lenz-Faraday.

b) Una espira, contenida en el plano horizontal XY y moviéndose en la dirección del eje

X, atraviesa una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme,

dirigido en el sentido positivo del eje Z. Razone si se induce corriente eléctrica en la

espira e indique el sentido de la misma en cada uno de los siguientes casos: i) cuando


la espira penetra en el campo; ii) cuando se mueve en su interior; iii) cuando sale del

campo magnético.

a) El científico británico Michael Faraday comprobó que al cerrar y abrir un circuito, aparecía una corriente transitoria en otro circuito próximo al primero. Esta inducción solo se producía cuando variaba la intensidad de corriente del primer circuito, pero no cuando esta se mantenía constante.

En otra experiencia, aproximaba y alejaba un imán a un bobinado y, al igual que sucedía en el caso anterior, se inducía una corriente eléctrica únicamente si existía movimiento relativo entre ambos elementos.

Ambos experimentos verificaban que, del mismo modo que una corriente eléctrica genera un campo magnético, lo opuesto también es posible. De hecho, la síntesis electromagnética y óptica de Maxwell ponía de manifiesto que todo campo eléctrico variable creaba un campo magnético variable y viceversa. En el siglo XX, la teoría de la relatividad demostró que los campos eléctrico y magnético son, en verdad, dos manifestaciones distintas de un mismo fenómeno.

En definitiva, las experiencias de Faraday (así como otras llevadas a cabo por el estadounidense Joseph Henry) evidenciaban que se inducía corriente en un conductor si se producían variaciones en la intensidad de campo magnético o si se modificaba la superficie del conductor. Ambas magnitudes pueden ser relacionadas a través de una entidad matemática análoga a la circulación mas definida sobre una superficie de dos dimensiones. Se trata del flujo, que para el campo magnético adopta la forma:

𝑑Φ = �� ⋅ 𝑑𝑆 = �� ⋅ ��𝑑𝑆 = ∣��∣∣𝑑𝑆∣ cos 𝜃

El flujo total a través de una superficie es la suma de los flujos elementales, esto es, la integral de superficie:

Φ = ∫ �� ⋅ ��𝑑𝑆

𝑆= ∫ ∣��∣∣𝑑𝑆∣ cos 𝜃

𝑆

Para campos magnéticos uniformes y superficies planas, la integral es inmediata:

Φ = ∣��∣∣𝑆∣ cos 𝜃

Muchos interpretan el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan una superficie, siguiendo a Faraday.

Así pues, la fuerza electromotriz inducida en un circuito es directamente proporcional a la variación de flujo magnético que lo atraviesa (ley de Faraday o de Faraday-Henry):

|𝜀| = ∣𝑑Φ𝑑𝑡

∣


Más adelante, Heinrich Lenz estudió el sentido de las corrientes inducidas de este modo y postuló que:

El sentido de las corrientes o fuerza electromotriz inducida es tal que se opone siempre a la causa que la produce, o sea, a la variación del flujo.

Generalmente, las leyes de Faraday y Lenz se escriben en una sola ecuación que aúna ambas contribuciones.

𝜀 = − 𝑑Φ𝑑𝑡

Si no se conoce la dependencia del flujo magnético con el tiempo, puede calcularse la fuerza electromotriz inducida media:

𝜀 = − ∆Φ∆𝑡

El fenómeno de la inducción electromagnética es de capital importancia en el mundo moderno, pues es el que hace posible la generación de corriente alterna.

b) Se inducirá fuerza electromotriz cuando la espira sale o entra al campo magnético, ya que se solo entonces se produce una variación del número de líneas de campo que atraviesa la superficie y, por consiguiente, del flujo magnético.

Esto puede ser verificado analíticamente. Para mayor facilidad, supongamos que la velocidad con la que se desplaza la espira es constante y, además, que esta es rectangular. A medida que penetre en el campo magnético, la superficie de la espira vendrá dada por el producto de los lados. Uno de ellos es constante en todo momento (llamémoslo ) mientras que el otro crece linealmente con el tiempo.

𝑆 = 𝑙𝑣𝑡

Considerando que la espira y el campo son perpendiculares, el flujo magnético vendrá dado por:

Φ = ∣��∣∣𝑆∣ = 𝑙𝑣𝑡

Y la fem inducida en la espira:

|𝜀| = 𝑑Φ𝑑𝑡

= 𝐵𝑙𝑣

De modo que sí se induce corriente. En este caso, el valor de la fuerza electromotriz es constante.

Este resultado, conocido como fem de movimiento, puede obtenerse a través de otro procedimiento. La fuerza electromotriz, al tratarse de una diferencia de potencial, puede definirse como el trabajo efectuado por unidad de carga.


Analíticamente:

𝜀 = 1𝑞∫𝐹 ⋅ 𝑑𝑙

La fuerza a la que se halla sometida la carga al tiempo que recorre el circuito eléctrico viene dada por la ley de Lorentz. El campo magnético y la velocidad de la carga en movimiento son perpendiculares. Por lo tanto:

∣𝐹 ∣ = 𝑞𝑣𝐵

Además, esta fuerza tiene la misma dirección y sentido que el vector diferencial de longitud. Sustituyendo en la integral:

𝜀 = 1𝑞∫𝑞𝑣𝐵𝑑𝑙 = 𝑣𝐵 ∫𝑑𝑙 = 𝐵𝑙𝑣

7.‐ (Reserva, 2013) Un protón, inicialmente en reposo, se acelera bajo una diferencia de

potencial de 103 V. A continuación, entra en un campo magnético uniforme,

perpendicular a la velocidad, y describe una trayectoria circular de 0,3 m de radio.

a) Dibuje en un esquema la trayectoria del protón, indicando las fuerzas que actúan

sobre él en cada etapa y calcule el valor de la intensidad del campo magnético.

b) Si con la misma diferencia de potencial se acelerara un electrón, determine el campo

magnético (módulo, dirección y sentido) que habría que aplicar para que el electrón

describiera una trayectoria idéntica a la del protón y en el mismo sentido.

e =1,6·10-19 C ; mp = 1,7·10-27 kg ; me = 9,1·10-31 kg

a) A medida que el protón atraviesa el campo eléctrico, sufrirá los efectos de una fuerza constante que, por la segunda ley de Newton, dotará a la partícula de una


aceleración constante y de una velocidad inicial con la que penetrará en el campo magnético. En esta segunda etapa, la fuerza magnética será en todo momento perpendicular a la velocidad y solamente modificará la dirección de la misma.

En primer lugar, se ha de calcular la velocidad con la que el protón entra en el campo magnético tras ser acelerado por la diferencia de potencial eléctrico. Esto se puede conseguir a través de procedimientos variopintos:

I) Por conservación de la energía.

Todo campo eléctrico uniforme es conservativo y, en ausencia de fuerzas externas, se tiene que cumplir que:

∆𝐸𝑚 = 0

Consecuentemente:

∆𝐸𝑐 = −∆𝐸𝑝

Dado que la partícula parte del reposo, la variación de energía cinética que experimenta vendrá será:

∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐸𝑐 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑐 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 12𝑚𝑝𝑣2

Por otra parte, el cambio en la energía potencial puede deducirse de la expresión utilizada en el primer ejercicio de este documento.

∆𝐸𝑝 = − ∫ 𝐹𝑟𝐵

𝑟𝐴

⋅ 𝑑𝑟 = −𝑒∫ 𝐸𝑟𝐵

𝑟𝐴

⋅ 𝑑𝑟 = 𝑒∫ 𝑑𝑉𝑉𝐵

𝑉𝐴

= 𝑒∆𝑉

A pesar de la apariencia del resultado, la variación de energía potencial debe ser negativa. La solución a esta contradicción reside en que la variación de potencial también es menor que cero, aunque no se especifique en el enunciado. El protón se desplaza espontáneamente en el sentido de las líneas de campo y el potencial en ese trayecto disminuye. Obsérvese la ecuación que relaciona el campo eléctrico y el potencial:

𝑑𝑉 = −𝐸 ⋅ 𝑑𝑟

Para un campo eléctrico uniforme como este, podemos escribir:

∆𝑉 = −∣𝐸∣∆𝑥

Por lo tanto:

∆𝑉 = −103 𝑉


Aplicamos, ahora sí, el principio de conservación de la energía mecánica.

∆𝐸𝑐 = −∆𝐸𝑝 ⟶ 12

𝑚𝑝𝑣2 = −𝑒∆𝑉 ⟶ 𝑣 = √−2𝑒∆𝑉

𝑚𝑝

II) Por el teorema de las fuerzas vivas.

Se trata de un proceso casi idéntico al anterior. El teorema de las fuerzas vivas, también conocido como teorema de la energía cinética o, en inglés, Work-Energy theorem, postula que todo trabajo realizado sobre un cuerpo se invierte en variar su energía cinética.

𝑊 = ∆𝐸𝑐

El cálculo del trabajo se omitirá por ser exactamente igual al del cambio de la energía potencial en el procedimiento anterior, con la salvedad de un signo, puesto que:

𝑊 = −∆𝐸𝑝

Así, igualando ambos resultados se llega al mismo resultado que en el primer método.

III) Por cinemática.

En principio, podría parecer que no tenemos los suficientes datos para poder deducir la velocidad final del protón a través de procedimientos cinemáticos. No obstante, sí que es posible. Empecemos por encontrar la expresión de la aceleración de la que el protón se ve dotado en el campo eléctrico (como se desplaza en una única dimensión, tomaremos módulos).

∣𝐹 ∣ = 𝑚𝑝|𝑎| ⟶ 𝑒∣𝐸∣ = 𝑚𝑝|𝑎| ⟶ |𝑎| =𝑒∣𝐸∣𝑚𝑝

No conocemos el valor del campo eléctrico, pero sí sabemos la variación de potencial a lo largo del recorrido del hadrón.

∣𝐸∣ = − ∆𝑉∆𝑥

Sustituyendo en la aceleración:

|𝑎| = − 𝑒𝑚𝑝

∆𝑉∆𝑥

En lugar de integrar la aceleración, como se hizo en la primera actividad del documento, emplearemos directamente una de las fórmulas básicas de la cinemática del MRUA:

𝑣2 − 𝑣02 = 2𝑎∆𝑥 ⟶ 𝑣 =

√2𝑎∆𝑥


Queda:

𝑣 = √−2 𝑒𝑚𝑝

∆𝑉∆𝑥

∆𝑥 = √−2𝑒∆𝑉

𝑚𝑝

Pasamos a la segunda etapa del movimiento del protón. Una vez en el interior del campo magnético, aparece sobre el barión una fuerza que solemos denominar fuerza de Lorentz:

∣𝐹 ∣ = 𝑒|𝑣|∣��∣ sin 90° = ∣𝐹 ∣ = 𝑒|𝑣|∣��∣

Por ser normal a la velocidad, la fuerza es centrípeta:

𝑒|𝑣|∣��∣ = 𝑚𝑝|𝑣|2

𝑟

Despejando el campo magnético:

∣��∣ =𝑚𝑝|𝑣|

𝑒𝑟

Introducimos la expresión deducida para la velocidad del protón:

∣��∣ =𝑚𝑝

𝑒𝑟 √−2𝑒∆𝑉

𝑚𝑝= 1

𝑟√−2𝑚𝑝∆𝑉

𝑒

Finalmente, sustituyendo por los correspondientes valores numéricos:

∣��∣ = 10,3 𝑚

√−2 ⋅ 1,7 ⋅ 10−27 𝑘𝑔 ⋅−103 𝑉1,6 ⋅ 10−19 𝐶

= 15 𝑚𝑇

b) Tal y como se deduce de la ley de Lorentz, el sentido de la fuerza que actúa sobre la carga al desplazarse en el interior de un campo magnético depende del signo de la misma. Para que el electrón describiese una trayectoria circular en el mismo sentido de giro que el protón, el campo magnético debe estar orientado en sentido opuesto al del primer apartado. La dirección, sin embargo, sigue siendo la misma.

Por otra parte, dado que la masa del electrón es mucho menor que la del protón, el módulo del campo magnético disminuirá. Aplicamos la expresión a la que se llegó en el apartado anterior:

∣��∣′ = 1𝑟√−2𝑚𝑒∆𝑉

𝑒= 1

0,3 𝑚√−2 ⋅ 9,1 ⋅ 10−31 𝑘𝑔 ⋅ −103 𝑉

1,6 ⋅ 10−19 𝐶= 0,36 𝑚𝑇

Ejercicios selectividad física Andalucía 2013 resueltos - Campos eléctrico y magnético

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