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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL
ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
CINEMATICA
PRIMERA PRACTICA CALIFICADA
SOLUCION DE MECANICA VECTORIAL (DINAMICA)Ferdinand L.Singer
Asignatura:DINAMICA (IC - 244)
Docente:Ing. CASTRO PEREZ,Cristian
Alumnos:CARBAJAL SULCA, Wilber 16105591GOMEZ HUAZACCA, Katerin
Roxana 16105633JAHUIN BONIFACIO, Daysy 16105092YUCRA AGUILAR,
Samuel 16110667
Semestre Academico2012 II
AYACUCHO PERU2013
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UNSCHEFP: INGENIERIA CIVIL
DINAMICAIC-244
Indice
1. PROBLEMA N-01 51.1. Componente rectangular del movimiento
curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. PROBLEMA N-02 72.1. Componente rectangular del movimiento
curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. PROBLEMA N-03 93.1. Componente rectangular del movimiento
curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. PROBLEMA N-04 114.1. Componente radial y transversal del
movimiento curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5. PROBLEMA N-05 135.1. Componente radial y transversal del
movimiento curvilneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
6. PROBLEMA N-06 156.1. Cinematica de cuerpo rgido . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
7. PROBLEMA N-07 177.1. Cinematica de cuerpo rgido . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
8. PROBLEMA N-08 198.1. Cinematica de cuerpo rgido . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
9. PROBLEMA N-09 219.1. Cinematica de cuerpo rgido . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
10. PROBLEMA N-10 23
11. PROBLEMA N-11 2511.1. Cinematica de cuerpo rgido . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
12. PROBLEMA N-12 2712.1. Cinematica de cuerpo rgido . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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DINAMICAIC-244
Indice de figuras
1. Problema 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Solucion del
problema 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 53. Problema 02 . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 74. Solucion del problema 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. Problema 03 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 96. Solucion del problema 03 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97. Problema 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. Solucion del
problema 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 129. Problema 05 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 1310. Solucion del problema 05 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311. Problema 06
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1512. Solucion del problema 06 . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1513. Solucion final del problema 06 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614. Problema
07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1715. Solucion del problema 07 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 1716. Problema 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.
Solucion del problema 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918. Problema 09 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 2119. Solucion del problema 09 . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2120. Problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2321. Solucion del
problema 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 2322. Problema 11 . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 2523. Solucion del problema 11 . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524. Problema 12 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2725. Solucion del problema 12 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 27
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DINAMICAIC-244
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DINAMICAIC-244
1. PROBLEMA N-01
1.1. Componente rectangular del movimiento curvilneo
El pasador P se mueve por una trayectoria curva determinada por
los movimientos de los eslabones ra-nurados A y B. En el instante
mostrado por la figura, A tiene una velocidad de 30 cm/s y una
aceleracion de25 cm/s2 , ambas hacia la derecha, mientras que B
tiene una velocidad de 40 cm/s y una aceleracion de 12.5cm/s2,
ambas verticalmente hacia abajo. Determinar el radio de curvatura
de la trayectoria de P en ese instante.
Figura 1: Problema 01
SOLUCION:
Figura 2: Solucion del problema 01
Tenemos:
VA = 30icm/saA = 25icm/s2VB = 40jcm/saB = 12,5jcm/s2
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La velocidad y aceleracion de P: V =
VA +
VB = 30i 40jcm/sa = aA + aB = 25i 12,5jcm/s2
La aceleracion normal esta definida por:
an =|V a||V | =
V 2
V
3
|V a|Reemplazando en (1) obtenemos el radio de curvatura:
= V3
|Va| = 50
3
625 = 200cm
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2. PROBLEMA N-02
2.1. Componente rectangular del movimiento curvilneo
La posicion del pasador P en la ranura circular que se ve en la
figura esta controlada por la gua inclinadaque se mueve hacia la
derecha con una velocidad constante de 6.4cm/s en cada intervalo de
movimiento.calcular la velocidad y la aceleracion de P en la
posicion dada.
Sugerencia: trazando la posicion de la gua un corto tiempo t
despues de la posicion dada, obtener lascoordenadas absolutas del
movimiento (a lo largo de la gua) en terminos de tiempo. El
movimiento absolutode P en la ranura circular es igual a la suma
Geometrica del movimiento de la gua mas el de P a lo largo de
lamisma.
Figura 3: Problema 02
SOLUCION:
Figura 4: Solucion del problema 02
De la figura se obtiene:x = Rcos ,y = Rs inx = 12,5
(35
)x = 7,5cmy = 12,5
(45
)y = 10cm x = 7,5cm ; y = 10cm
De la grafica se obtienes la ecuacion de la circunferencia:
x2 + y2 = 12,52
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Derivamos la ecuacion para obtener la velocidad en y:
2xx+ 2yy = 0si x = 6,4cm/sy = xxyy = 7,5(6,4)10y = 4,8m/s2
Volvemos a derivar para obtener la aceleracion en y:
2xx+ 2yy = 02xx+ 2yy + 2(x)2 + 2(y)2 = 0xx+ yy + (x)2 + (y)2 =
0x = 0
y = (x)2+(y)2yy = 6,42+(4,8)210y = 6,4cm/s2
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3. PROBLEMA N-03
3.1. Componente rectangular del movimiento curvilneo
Una varilla telescopica mostrada en la figura hace mover el
pasador P a lo largo de la trayectoria fijadado por y = 122,5x
2 Cuando x = 15cm se sabe que la velocidad y la aceleracion de P
son respectivamentev = 30i + 40jcm/s y a = 25i + 50jcm/s2
Cual es entonces la aceleracion angular de la varilla?
Figura 5: Problema 03
SOLUCION:
Figura 6: Solucion del problema 03
y =1
22,5x2v = (x, y) v =
(x,
222,5
xx)
= (30,40)
Comprobamos que:
x = 3a = (x,2
22,5x2 +
222,5
xx)x = 25tg =x
30 yDerivando la ecuacion
tg =x
30 y sec2 =
(30 y)x x(y)(30 y)2 ......(1)
Hallamos : y = 10 Reemplazando en la ecuacion 1 = 2,4567
Derivando una vez mas la ecuacion 1:
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2sen2
cos3+ sec2 =
(30 y)2(30x (yx+ xy) + xy + yx) 2(30 y)(y)(30x yx+ xy)(30
y)2
Para:
x = 30
y = 40
x = 25
y = 50
Obtenemos: = 3,30rad/s2
La aceleracion angular es: = 3,30rad/s2
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4. PROBLEMA N-04
4.1. Componente radial y transversal del movimiento
curvilneo
La manivela AB de un mecanismo de un brazo oscilante de
retroceso rapido que se ve en la figura ,giracon una rapidez
constante en el sentido de giro de las manecillas del reloj
a11,2rad/s .Calcular la aceleracionangular del brazo CD en el
instante en que la manivela AB esta horizontal como se ve en la
figura
Figura 7: Problema 04
SOLUCION:
Se observa que es movimiento en coordenadas polares donde
Hallamos la velocidad y la aceleracion para la manivela
AB:Datos:
= 11,2rad/s, = 0rAB = 25cm , rAB = 0 , rAB = 0
Ademas:vr = r rAB = 0 = vrv = r v = 25 11,2 = 280
Luego:
v =v2r + v2 = 280cm/s
Hallamos la aceleracion radial:
ar = r r2 ar = 0 25 11,22 = 3136a = r + 2r a = 0 + 0 = 0
Luego:
a =a2r + a2 = 3136cm/s
2
Hallamos la velocidad y la aceleracion de para el brazo rasurado
De grafico se tiene:
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Figura 8: Solucion del problema 04
a = arCosvr = vbCosv = vbSen
De donde se obtiene la velocidad angular:
vr = r rCB = 280Cos 250,4v = r r = 280Sen = 2,24rad/s
Hallamos la aceleracion angular:arCos = 2rCB + rCB = ar
rCos2rCBrCB = 3136Cos+2(250,4)(2,24)55,4 = 30,09rad/s2
Esto indica que la aceleracion angular es de 30.09 rad/s2
girando en sentido de las manecillas del reloj.
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5. PROBLEMA N-05
5.1. Componente radial y transversal del movimiento
curvilneo
En la posicion mostrada en la figura, el extremo de 60 cm/s A de
la varilla tiene una componente develocidad , hacia la derecha, de
y una componente de aceleracion, hacia arriba, de . determine la
aceleracionangular de la varilla en esta posicion.
Figura 9: Problema 05
SOLUCION:
Figura 10: Solucion del problema 05
De la figura obtenemos:Vr = V cos , V = V sinVr = 60
(45
)Vr = 48cm/s
V = 60(
35
)V = 36rad/s
Segun las siguientes ecuaciones :Vr = r ; V = r
Vr = r = 48cm/sV = 36V = r , r = 25 = 3625 = 1,44rad/s
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De la grafica se obtiene lo siguientes:
Vr = V cos , V = V sinVr = 60
(45
)Vr = 48cm/s
V = 60(
35
)V = 36rad/sVr = r ; V = rVr = r = 48cm/sV = 36V = r , r = 25 =
3625 = 1,44rad/s
De la grafica se obtiene lo siguientes:
Vr = V cos , V = V sinVr = 60
(45
)Vr = 48cm/s
V = 60(
35
)V = 36rad/s
Por formula se tienes :Vr = r ; V = rVr = r = 48cm/sV = 36V = r
, r = 25 = 3625 = 1,44rad/s
De la grafica se obtiene lo siguientes:
a = acos ,ar = asina = 120
(45
)a = 95rad/s2
a = r + 2r = 95 = 952rr = 952(48)(1,44)25
= 9,3696rad/s2
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6. PROBLEMA N-06
6.1. Cinematica de cuerpo rgido
El cuerpo B hace que el tambor compuesto de la figura, rueda sin
resbalar hacia arriba del plano. Si laaceleracion lineal de B es
0.6 m/s2 hacia abajo, calcular la aceleracion lineal del cuerpo A.
Suponga que lacuerda que sostiene a A. Suponga que la cuerda que
sostiene a A permanece vertical.
Figura 11: Problema 06
SOLUCION:
Determinamos: rB/OrB/O = 0,9Sen37i 0,9Cos37jrB/O = 0,54i 0,72jaB
= 0,6m/s2rB/O = 0,54i 0,72jaB = 0,6m/s2
Figura 12: Solucion del problema 06
Hallamos aB :
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Si:aBaB = aO + rB/O + OB
(OB rB/O )aB = k (0,54i 0,72j)+k (k (0,54i 0,72j))aB = 0,72i
0,54j + 0,722j 0,542 iaB = (0,72 0,542) i + (0,54 + 0,722)
jPero:
aB = 0,6 45 i + 0,635j
Entonces:
Figura 13: Solucion final del problema 06
0,72 0,542 = 0,6 45 ....... (1)0,54 + 0,722 = 0,6 35 .......
(2)
De (1) y (2): = 0,667rad/s2 y2 = 0,00025rad/s2
Hallamos aA :aA = aO + rA/O + OA
(OA rA/O )aA = k (0,9i)+k (k (0,9i))aA = 0,9j + 0,92 iaA = 0,6j
+ 0,0025iaA = 0,6m/s2
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7. PROBLEMA N-07
7.1. Cinematica de cuerpo rgido
Las varillas AB y CD estan articuladas en B como se observa en
la figura, y se mueven en un plano verticalcon las velocidades
angulares absolutas y . Determine las velocidades lineales de los
puntos C y D.
Figura 14: Problema 07
SOLUCION:
Figura 15: Solucion del problema 07
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De la figura tenemos:AB = 4rad/s AB = 4krad/sCD = 3rad/s CD =
3krad/sAB = 15icmBC = 10jcmBD = 15jcm
De AB:
~VB =AB AB
~VB = 4k 15i~VB = 60jcm/s
De BC:~VC = ~VC +
CD BC~VC = 60j + 3k 10j~VC = 60j 30i~VC = 30i + 60jcm/s~VC =
75cm/s
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8. PROBLEMA N-08
8.1. Cinematica de cuerpo rgido
Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guas
horizontales e inclinadas mostradas en lafigura. En la posicion
dada = 4krad/s y = 5krad/s2, ambas en sentido de giro de la
manecillas del reloj.Calcular la aceleracion de los puntos A, B y
C.
Figura 16: Problema 08
SOLUCION:
Figura 17: Solucion del problema 08
Por cinematica de cuerpos rgidos:
= 4krad/s = 5krad/s2
El movimiento del cuerpo rgido es un movimiento plano Para la
aceleracion:
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aB = aA + xAB +x(xAB)
aB = aA +5kx(1,5cos37oi 1,5sen37o j) +4kx(4kx(1,5cos37oi
1,5sen37o j))
aB(cos53oi sen53o j) = aAi + 5,9898j 4,5136i + 19,1673i +
14,4436j
aB(sen53o j) = 20,4334j
aB = 25,5854m/s2
aB = aB(cos53o i sen53o j)aB = (15,3977i 20,4334j)m/s2
Hallando aceleracion de A:
aB(cos53oi) = aAi + 14,6537iaA = 0,7440m/s
2
aA = 0,7440im/s2Hallando la aceleracion de C:
aA = aC + xCA +x(xCA)
0,7440i = aC +5kx(1,8j) +4kx(4kx(1,8j))0,7440i = aC + 9i
28,8j
aC i = 9,7440i
aC j = 28,8jaC = 30,4037m/s
2
aC = (9,7440i 28,8j)m/s2
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9. PROBLEMA N-09
9.1. Cinematica de cuerpo rgido
Cuando el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura , esta
en la posicion dada,la velocidad y acele-racion en C son vc =
4,8m/s ,ar = 0,84m/s2, ambas vertical hacia abajo. cual es la
aceleracion angular en la manivela AB ?
Figura 18: Problema 09
En la posicion mostrada:vc = 4,8m/s ,ar = 0,84m/s
2 , aAB =?De manera vectorial: vc = 4,8jac = 0,84jSOLUCION:
Figura 19: Solucion del problema 09
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Hallamos la velocidad de B:VB = VA +VB/AVB = VA +
[ABk
(0,5i 0,4j
)]VB = 0,5ABj 0,4AB i
Hallamos la velocidad de C:
VC = VB +VC/BVC = VB +
[BC k
(1,19i 0,9j
)]VC = 0,4AB i 0,5ABj +
[BC k
(1,19i 0,9j
)]VC = 0,4AB i 0,5ABj 1,19BC j + 0,9BC iVC = 0i 4,8j
Por lo tanto:0,4AB = 0,9BC BC = 0,40,9AB0,5AB 1,19BC = 4,8BC =
2,07rad/sAB = 4,665rad/s
Finalmente hallamos las aceleraciones:
aB = aA + aAB rB/A + AB (AB rB/A )aB = aABk (0,5i 0,4j)+
(4,665k) (2,33j 1,87i)aB = (0,4aAB 10,87) i + (0,5aAB + 807) jaC =
aB + aBC rC/B + BC (BC rC/B )aC = aB + aBC k (1,19i 0,9j)+ (2,207k)
(2,47j + 1,86i)aB = aB + 1,19aBC j + 0,9aBC i + 5,11i + 1,86jaC =
(0,4aAB 10,87) i + (0,5aAB + 807) j + 1,19aBC j + 0,9aBC i + 5,11i
+ 1,86jaC = (0,4aAB + 0,9aBC 5,76) i + (0,5aAB 1,19aBC + 12,55)
j
0,476aAB 6,85 = 00,5aAB + 10,54 = 0
aAB = 3,98rad/s2
La aceleracion gira en sentido horario de las manecillas del
reloj.
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10. PROBLEMA N-10
En el instante mostrado en la figura ,la placa ABC ,gira con una
velocidad constante de 2rad/s alrededor dela arista AB que se mueve
en un plano vertical. En e mismo instante ,A tiene una velocidad
hacia la izquierdade 2,4m/s y una aceleracion de 3m/s2 .Calcule la
velocidad y la aceleracion absoluta en C .
Figura 20: Problema 10
Se tiene como datos:
vA = 2,4m/s, aA = 3m/s2, = 2rad/s , rC/A = 2,4jSOLUCION:
Figura 21: Solucion del problema 10
VC =
VA +
AC rC/AAC = 2krC/A = 2,4j
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Ademas se tiene que: AC = AB = 2iVC =
VA +
AC rC/A = 2,4i + 2i (2,4j
)VC = 2,4i + 4,8kVC = 5,37m/s
Hallando la aceleracion: aC = aA + aAC rB/A + AC (AC rC/A )aC =
3i + 2i (2i 2,4j)aC = 3i + 2i (4,8k)aC = 3i 9,6j
aC = 10,058m/s2
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DINAMICAIC-244
11. PROBLEMA N-11
11.1. Cinematica de cuerpo rgido
La rueda de la figura gira libremente sobre el arco
circular.Mostrar que :
vA = rw y aAt = r
Figura 22: Problema 11
SOLUCION:
Figura 23: Solucion del problema 11
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UNSCHEFP: INGENIERIA CIVIL
DINAMICAIC-244
Se observa en la figura y se tienes que la velocidad en O como
en A respecto al piso en que se encuentra larueda de lo cual se
tiene l siguiente :
wo = wA = wo = wA = = w
De lo cual se obtiene y queda demostrado lo :
vA = rw
sabemos que :v = wr
v = atv = ddt (wr)v = rw+ rwde donde r = constante r = 0v = rww
= at = r
De lo cual quedan demostrado las dos expresiones solicitadas vA
= rw y at = r
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UNSCHEFP: INGENIERIA CIVIL
DINAMICAIC-244
12. PROBLEMA N-12
12.1. Cinematica de cuerpo rgido
Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las guas
horizontales e inclinadas mostradas en lafigura. En la posicion
dada = 4krad/s y = 5krad/s2, ambas en sentido de giro de la
manecillas del reloj.Calcular la aceleracion de los puntos A, B y
C.
Figura 24: Problema 12
SOLUCION:
Figura 25: Solucion del problema 12
Por cinematica de cuerpos rgidos:
= 4krad/s = 5krad/s2
El movimiento del cuerpo rgido es un movimiento plano Para la
aceleracion:
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UNSCHEFP: INGENIERIA CIVIL
DINAMICAIC-244
aB = aA + xAB +x(xAB)
aB = aA +5kx(1,5cos37oi 1,5sen37o j) +4kx(4kx(1,5cos37oi
1,5sen37o j))
aB(cos53oi sen53o j) = aAi + 5,9898j 4,5136i + 19,1673i +
14,4436j
aB(sen53o j) = 20,4334j
aB = 25,5854m/s2
aB = aB(cos53o i sen53o j)aB = (15,3977i 20,4334j)m/s2
Hallando aceleracion de A:
aB(cos53oi) = aAi + 14,6537iaA = 0,7440m/s
2
aA = 0,7440im/s2Hallando la aceleracion de C:
aA = aC + xCA +x(xCA)
0,7440i = aC +5kx(1,8j) +4kx(4kx(1,8j))0,7440i = aC + 9i
28,8j
aC i = 9,7440i
aC j = 28,8jaC = 30,4037m/s
2
aC = (9,7440i 28,8j)m/s2
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