Apuntes de la materia de Fsica II: Ejercicios resueltos de
esttica y dinmica de fluidos. Ejercicios originales resueltos para
incluir en el tema esttica de fluidos, seccin densidad de una
mezcla de sustancias.1. (*2) Dos fluidos se mezclan en forma
inhomognea quedando burbujas en la suspensin. La mezcla con las
burbujas ocupa un volumen total de 1.2 lit. Si las densidades y
masas de cada fluido songr/cm3, m1 = 600 gr 0.8 gr/cm3 y m2 = 400
gr, considerando despreciable la masa del aire en las burbujas,
calcule:
a) El volumen total de las burbujas
b) La densidad de la mezcla.
Solucin inciso a): El volumen de la mezcla est dado por la suma
de los volmenes individuales de los fluidos 1, 2 y de las burbujas,
B. Despejando VB, obtenemos
VM = 1200 cm3, el volumen de la mezcla es dato; y los volmenes
de los fluidos 1 y 2 se obtienen de los datos del problema de la
siguiente forma:V1 =m1gr/1cm3 = 600 cm3;
V2 = m2/400gr/0.8gr/cm3= 500 cm3
Sustituyendo los valores anteriores en (2), obtenemos:
Solucin inciso b): La densidad de la mezcla esta dada por la
masa de la mezcla entre el volumen de la misma.
2. Se mezclan homogneamente tres fluidos, cuyas fracciones de
volumen y densidades son X1 = 0.435, 1 = 1.2 gr/cm3; X2 = 0.46, 2 =
0.85 gr/cm3 y X3 = 0.105, 3 = 1 gr/cm3, respectivamente. Si el
volumen de la mezcla es VM = 766.27 cm3, calcular:a) La densidad de
la mezcla.Solucin: La densidad de la mezcla est dada por
Sustituyendo m = V, se obtiene
Ejemplo 5. Se realiza una aleacin de oro y cobre, en
proporciones desconocidas, para formar un lingote con dimensiones
de 20cmx10cmx5cm y masa de 12 Kg. Calcular:
a) La densidad de la aleacin,L =?
b) El quilataje del oro en la aleacin
Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este
en la aleacin.
Respuesta:
a) Utilizando la ecuacin 1.1 que define la densidad de un
cuerpo, , donde mM y VM son datos del problema con los que
obtenemos la densidad del lingote formado por oro y cobre.
b) Para obtener el quilataje necesitamos saber el porcentaje de
masa de oro en el lingote, para lo cual utilizamos la ecuacin 1.10,
desarrollada con el propsito de conocer, la fraccin de volmenes de
los componentes en la mezcla, y obtener el porcentaje de masa del
componente 1, en este caso el oro. Para mayor facilidad nos
remitimos al ejemplo 4 de esta misma seccin, en donde observamos
que hemos hecho este mismo ejercicio, pero sin calcular los
quilates de oro en la muestra. Utilizando la ecuacin 1.12 de ese
ejercicio, obtenemos que el porcentaje de oro est dado por:
Con las respectivas fracciones de volumen del oro y del cobre en
la aleacin.
Recordando que XAu + XCu = 1, obtenemos:
Por lo que despejando la fraccin de oro en la mezcla, XAu:
Despejando la masa de oro, de la ltima ecuacin:
Por lo que el porcentaje de oro en la muestra ser XAu %=
5.712Kg/12Kg = 47.6%.
es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleacin, por lo que sus
quilates sern:
, entonces, los quilates XK, correspondientes a ese porcentaje
de oro calculado son:
Como puede observarse, al tener como datos la masa y el volumen
de la mezcla y las densidades de los componentes, la no fue
necesario calcular el porcentaje del cobre para obtener los
quilates de oro.
Ejercicios resueltos para incluir en los apuntes del Principio
de ArqumedesEjemplo 1. (*3) El objeto metlico homogneo, O, figura
(1) ejercicio 9, est suspendido mediante una cuerda de peso
despreciable, de una balanza de resorte B1 (Dinammetro), que
muestra una lectura de 7.25 kg., mientras que la balanza B2
registra la masa de un lquido, L, (5Kg) y la del vaso que lo
contiene, V, (1Kg). En la figura (2) el mismo objeto se encuentra
sumergido en el lquido. La balanza B1 indica 6.25 Kg, mientras que
la B2 seala 7 Kg. El volumen del objeto, O, es 0.001 m3. En la
figura 3, el objeto, O, se deja reposando en el fondo del vaso, y
la balanza B2 registra la masa del vaso, la masa del lquido y la
masa del objeto.
a. Cul es la fuerza de empuje del lquido sobre el objeto?
b. Cul es la densidad del lquido?
c. Qu pas con las fuerzas de empuje y la fuerza aparente del
objeto dentro del fluido, en la situacin representada por la figura
3? desaparecieron?Solucin inciso a) Para un objeto que no flota, se
tiene que la fuerza de flotacin, FL, est dada por la diferencia
entre el peso del objeto fuera del fluido, WO, y el peso dentro del
mismo (peso aparente), Wa:
Solucin inciso b) Utilizando la frmula para la fuerza de
flotacin que proporciona el principio de Arqumedes, obtenemos:
De donde obtenemos la densidad del fluido, que todava no
conocemos, en el que se encuentra el objeto sumergido.
El resultado sugiere que el lquido en el que se sumerge el
objeto es agua.
Solucin inciso c) En la representacin de la figura 3, la balanza
B1 no registra nada, mientras que la balanza B2 Registra el peso
del fluido, el peso del vaso y el peso del objeto, pero este ltimo
es igual al peso aparente mas la fuerza de flotacin: WO = WA +
FF.Ejemplo 2. (3*) Se construye una lancha rectangular formada por
seis placas de Aluminio, figura, con las siguientes dimensiones:
pulgada de espesor, 4.0 m de largo por 1.80 m de ancho y 0.70 cm de
altura; la cual tiene como armadura unas costillas de refuerzo,
compuesta por barras, tambin de aluminio, con dimensiones de
pulgada de espesor por 2 pulgadas de peralte y en total suman 40 m
de longitud. Si se deposita una masa de 3 toneladas dentro de la
lancha, calcular:
a) La profundidad, h, que se mete la lancha en el agua.
Solucin. La profundidad h que la lancha se introduce en el agua
debido al peso total se obtiene del volumen de fluido desplazado,
VFd = Ah, cuyo peso es la fuerza de flotacin (Principio de
Arqumedes). Las fuerzas que intervienen con la lancha flotando son:
La fuerza de flotacin FF, el peso del aluminio estructural de la
lancha, WAl, y el peso adicional, Wm, proporcionado por la masa de
3 toneladas, de tal forma que la fuerza de flotacin sea igual a la
suma de las otras como requisito para que flote.
Con Wm = mg =3000Kgx9.8m/s2= 29400 N,WAl =mAlg
Para calcular la masa de aluminio obtenemos el volumen total del
mismo multiplicado por su densidad:
,
El volumen del aluminio es:
Entonces Por tanto, la fuerza de flotacin queda:
Por el Principio de Arqumedes, :
Finalmente, Ejercicios resueltos para incluir en el tema dinmica
de fluidos, ecuacin de Bernoulli. Ejemplo 1. (3*) (Teorema de
Torricelli). En la figura adjunto se muestra una tubera descargando
agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque, A, que
tiene un dimetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a travs de
una llave de paso con un dimetro de pulgada a otro tanque, B, de 60
cm de dimetro y 90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra
sobre un pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobre el nivel del suelo.
El tanque B se encuentra sobre el suelo. Calcular:
a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se
estabiliza.b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B.c)
El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.
Solucin inciso a) Aunque la ecuacin para la velocidad de
descarga de un tanque (Teorema de Torricelli) la obtuvimos ya, lo
haremos nuevamente para recordar el procedimiento. Aplicando la
ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 (carga) y 2 (descarga), se
tiene:
Es un hecho que el rea de seccin transversal del tanque, A1, es
mucho mayor que el rea de descarga en el punto 2, A2, y de acuerdo
con la ecuacin de continuidad la velocidad de desplazamiento del
nivel de lquido en el tanque, v1, ser mucho menor que la velocidad
de descarga del fluido, v2, resultando que despreciable la primera,
por lo que la ecuacin de Bernoulli se reduce a:
En donde hicimos P1 = P2 = PATM y v1 = 0.
Despejando v2 de la ecuacin 2, obtenemos:
Con h = h1 h2.
Aplicando la condicin de equilibrio que sucede cuando
Sustituyendo (3) en (4), se obtiene la altura h a la cual se
estabiliza el nivel de fluido en el tanque.
Finalmente, Solucin inciso b) Calcularemos ahora la velocidad
con la que el agua que descarga por el punto 2 llega a la boca del
tanque identificada con el punto 3. Aplicando la ecuacin de
Bernoulli entre los puntos 2 y 3, obtenemos:
Con P2 = P3 = PATM y sustituyendo v2 de la ecuacin (3), la
ecuacin anterior queda:
Despejando v3:
Solucin inciso c) El tiempo de llenado del tanque B, se calcula
a partir de la definicin de gasto:
Q = V/t en m3/s.
Donde V es el volumen del tanque y Q es el gasto de descarga
(mismo que el de carga). Por lo tanto el tiempo de llenado del
tanque es:
Ejemplo 2. (3*) Por un tubo de Vnturi, que tiene un dimetro de 1
pulgada por la parte ancha y pulgada en la parte estrecha, circula
agua. El Vnturi tiene conectados dos tubos manomtricos que marcan
una diferencia de alturas del agua H = 30 cm. Calcule:
a) Cuntos metros cbicos de agua por segundo circulan por el
tubo?
Solucin. El gasto de agua que circula a travs del tubo de Vnturi
est representado por la ecuacin de continuidad:
A1, v1 y A2, v2 representan las reas y velocidades en la parte
ancha y angosta de la tubera, respectivamente.
Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una de
las dos velocidades en la ecuacin anterior, por lo que es necesario
utilizar una segunda ecuacin que las contenga, para lo cual
utilizamos la ecuacin de Bernoulli:
El trmino correspondiente a la diferencia de alturas no aparece
porque es una tubera horizontal, por lo que h1 y h2 estn a la misma
altura.
Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incgnitas y P1 P2 se
calcula a partir de la diferencia de alturasH que es dato, entre
los dos tubos manomtricos instalados para tal propsito en el tubo
de Vnturi, utilizando para ello la ecuacin representativa para un
fluido esttico, P1 P2 = gH, como es el caso de los dos tubos
manomtricos midiendo la diferencia de presin entre dos puntos para
un flujo en movimiento estacionario.
Despejando v1 de la ecuacin (1) y sustituyendo en la (2),
obtenemos:
, por lo que y la ecuacin (2) queda:
Despejando v2 de la ecuacin anterior:
Entonces el gasto, ecuacin (1), ser:
Ejemplo 3 (3*) Una bomba manual de rociado absorbe lquido de un
depsito, que se encuentra conectado al tramo ms angosto de la
bomba, a travs de un tubo que tiene una altura, h =8 cm, como se
muestra en la figura. El dimetro en la parte ancha es de 2.5 cm, el
dimetro del tubo en la parte angosta es de 3 mm y el lquido en el
depsito tiene una densidad de 0.75 gr/cm3. Considerando una
densidad de 1.3x10-3 gr/cm3 para el aire en la bomba, calcular:
a) La diferencia de presiones entre las partes ancha y angosta,
P, mnima para elevar el lquido desde el depsito a una altura h.
b) Las velocidades mnimas v1 y v2 entre las partes ancha y
estrecha de la bomba.
Solucin inciso a) La alturah que sube el lquido desde el depsito
est directamente relacionada con la diferencia de presiones entre
la parte ancha y estrecha de la bomba.
Donde I es la densidad del insecticida lquido en el depsito.
Entonces,
Como puede observarse la mnima diferencia de presiones es
suficiente para subir el lquido y mezclarse con el flujo de aire.
Por esa razn uno puede sacar el lquido de un refresco con un popote
al hacer un poco de vaco con la boca.
Solucin inciso b) Si etiquetamos con el No. 1 a la parte ancha y
el 2 a la estrecha, la diferencia de presiones, de acuerdo con la
ecuacin de Bernoulli es:
Debido a que v1 y v2 son incgnitas, tenemos que usar otra
ecuacin que las contenga y esta es la ecuacin de continuidad
Despejando v1 de esta ltima y sustituyendo en la anterior (2)
obtenemos:
Y Despejando v2:
Para calcular v1 recurramos a la ecuacin de continuidad (3):
Como puede observarse de los resultados, la velocidad en la
parte estrecha de la tubera, v2, es tal que la presin debe ser muy
baja y se presenta el fenmeno de cavitacin que permite que las
gotas de lquido se pulvericen.
Se deja como ejercicio para el alumno calcular la presin en P1 y
recopilar informacin sobre el fenmeno de cavitacin debido a la baja
presin en un tubo de Vnturi. Ejercicios resueltos para incluir en
el tema Fluidos Reales (laminares-viscosos: Ecuacin de Poiseuille).
Ejemplo 1 (2*) Por una tubera de 1/8 de pulgada (0.3175cm) de
dimetro pasa aceite de motor. El aceite tiene una viscosidad =
30x10-3 N.s/m2, temperatura de 20C y densidad de 0.8 gr/cm3,
descargando a la atmsfera con un gasto de 0.1ml/s. Para medir la
cada de presin en la tubera se colocan dos tubos manomtricos
separados una distancia de 30 cm como se indica en la figura.
Calcule:
a) El No. de Reynolds.b) La cada de presin en cm de altura
equivalentes entre los dos tubos manomtricos.Solucin inciso a): El
No. de Reynolds.
Lo que muestra un flujo bajo rgimen laminar. La velocidad del
flujo la obtenemos del gasto y el rea de seccin transversal de la
tubera:
v = Q/A = (0.1x10-6 m3/s)/(7.92x10-6m2) = 1.26x10-2m/s = 1.26
cm/s
Donde, A = R2 = (0.0015875m)2 = 7.92x10-6m2Solucin inciso b): La
cada de presin entre los dos puntos de la tubera est dada por
La diferencia de altura debida entre los dos tubos manomtricos
es, entonces:h = P/g = (360Pa)/(800Kg/m3)(9.8m/s2) = 0.045 m = 4.5
cm
Ejemplo 2. (2*) Por una tubera lisa de 8 de dimetro continuo y
una longitud de 1 Km, se bombea agua a una temperatura de 20 C
hasta una altura de 30.9 m. La tubera descarga en un tanque abierto
a la presin atmosfrica con una rapidez de 0.4 lt/s. Calcule:
a) El tipo de rgimen del fluido en la tubera
b) La cada de presin en la tubera
c) La potencia de la bomba, necesaria para subir el agua con el
gasto indicado
Solucin inciso a) Para saber si el flujo de agua que corre por
la tubera es laminar, calculamos el No. de Reynolds. ,
Donde es la densidad del agua, v la velocidad de descarga, D el
dimetro de la tubera y la viscosidad del agua a 20C.
Para conocer v aplicamos la ecuacin del gasto:
A es el rea de seccin transversal de la tubera, por lo que la
velocidad de descarga es
, rgimen no turbulento.Solucin inciso b) En este ejercicio se
presentan dos cadas de presin: la primera debida a la
viscosidad, el dimetro, el gasto y la longitud de la tubera,
representada por la ecuacin de
Poiseuille, y la segunda debida a la diferencia de alturas entre
la bomba y el punto de descarga.
De acuerdo con la ecuacin de Poiseuille, la cada de presin en la
tubera, PP, debido a la viscosidad, = 10-3 N.s/m2, la longitud, L =
1 Km, el gasto Q = 0.4x10-3 m3/s, y el dimetro de la misma D = 20
cm, est dada por:
Por otro lado, la cada de presin debida exclusivamente a la
altura que tiene que vencer la bomba, es:
, que equivale a 3 atmsferas.La cada de presin que tendr que
compensar la bomba
Estar dada, de acuerdo con la igualdad (1), por:
Es decir, bajo las condiciones de flujo laminar, y un dimetro de
20 cm en la tubera, la cada de presin debida a la viscosidad es
despreciable para agua.
Si aumentamos el gasto a valores ms prcticos, digamos de 4 lt/s,
la velocidad aumenta a 0.127m/s y segn el Reynolds el tipo de
rgimen sera turbulento, Re = 25400. En conclusin la ecuacin de
Poiseuille tiene una aplicacin muy reducida y solo se emplea en
casos especiales donde el flujo es laminar, lo que generalmente
implica gastos pequeos para tuberas que no tienen dimetros
grandes.Solucin inciso c) La presin de la bomba est dada por el
producto de la cada de presin por el gasto, es decir
Ejemplo 3. (3*) Un tubo capilar de 1 pie de largo y 1/64
pulgadas de dimetro interno est conectado al fondo de un depsito
cilndrico, que tiene una altura de 1 pie y dimetro de 6 pulgadas,
lleno de agua, se muestra en la figura adjunto. Calcular:
a) El gasto de descarga Q = dV/dt (m3/s, cm3/hr )
b) La rapidez de cada del nivel del agua en el depsito,
dh1/dt. Considere un valor de 0.01 poise para la viscosidad del
agua.
c) La rapidez de movimiento, dh2/dt, del nivel de agua en el
capilar cuando esta se agota en el depsito (L1 = 0).
De acuerdo con la ecuacin de Poiseuille, el gasto de fluido a
travs del rea de seccin transversal de un tubo cilndrico de
longitud L y radio R, es:
Donde P es la diferencia de presin entre los puntos separados
por la distancia L.
Solucin inciso a).
El flujo de agua a travs del capilar se debe a la presin
ejercida por el nivel de agua en el depsito ms la presin de la
columna de agua en el propio capilar, dando lugar a la aplicacin de
la ecuacin de Poiseville en el depsito ms la misma en el capilar,
lo que se representa de la siguiente forma:
1. La presin de la columna de agua en el depsito sobre la parte
superior del capilar contribuye a que se genere un gasto dado
por:
Con R el radio del capilar y L2 la longitud del mismo. Como
puede observarse en el problema, la diferencia de presiones es
proporcionada por la altura de la columna de fluido, P = gL1 en
este caso.
2. La contribucin al gasto en el capilar debida a la presin de
su propio peso, est dada por
De tal forma que el gasto total a travs del capilar es:
Entonces,
Solucin inciso b): Como , donde A es el rea del depsito y dh1/dt
la rapidez con que se baja el nivel de lquido en el mismo.
La ecuacin (4) queda:
Donde R es el radio del capilar y A1 el rea del depsito, por lo
que, sustituyendo valores, la rapidez de bajada del nivel de agua
en el depsito para L1 = 12 pulgadas y L2 = 12 pulgadas, queda:
Solucin inciso c): Cuando el depsito se vaca, L1 = 0, y L2 = 12
pulgadas, la rapidez de bajada del nivel de lquido en el capilar
est dada por:
Donde R es el radio del capilar y A2 su rea de seccin
transversal.
V
B2
B1
O
(1)
L
B1
V
L
O
B2
(2)
V
B2
B1
L
O
(3)
Figura ejemplo 1. (1) Objeto colgando fuera de un vaso con
lquido que descansa sobre una balanza B2. La balanza B1 registra el
peso real del objeto, mientras que la B2 registra solo los pesos
del lquido y del vaso. (2) Mismo objeto suspendido de una cuerda
dentro del lquido, la balanza B2 registra el peso del lquido, el
peso del vaso y una tercera fuerza que aparece al entrar el objeto
en el fluido, mientras que la balanza B1 registra un peso
disminuido del objeto. Figura (3) objeto reposando en el fondo del
vaso, B1 no registra nada, B2 registra los pesos del agua, del vaso
y el peso real del cuerpo.
Figura ejemplo 2: Esquema representando un lanchn de aluminio
flotando en agua, con una masa m = 3 toneladas.
m
Nivel del agua
h
h
1
2
3
h1
h2
h3
1
A
B
H
Figura ejemplo 2
1
2
Figura ejemplo 3.Bomba manual para rociar.
AAire
h
Lquido
Aire
30 cm
h
Figura ejemplo 1. Distancia entre dos tubos manomtricos y la
diferencia de alturas debido a la cada de presin de un fluido
laminar viscoso.
0
0
0
Figura ejemplo 2, seccin 5.4. Los manmetros indican la cada de
presin de un fluido viscoso, en los diversos tramos de la tubera,
que descarga a la atmsfera a una altura de 30.9 m.
1 Km
30.9m
Figura ejemplo 3. Depsito con capilar al fondo.
L1
L2