[email protected]www.areadecalculo.com Viga bi-apoyada Vamos a calcular la flecha en el centro de una viga bi-apoyada formada por un perfil IPE-140. Geometría y materiales Luz luz 5m ⋅ = Viga IPE-140 I ipe140 541 cm 4 ⋅ = A 140 16.4 cm 2 ⋅ = y 140 140 mm ⋅ = Acero A52 E 2.1 10 8 ⋅ kN m 2 ⋅ = f yk 355 N mm 2 ⋅ = γ s 1.15 = Carga Puntual p 10 kN ⋅ = Posición en % posic 25 = a luz posic 100. ⋅ = a 1.25 m = b luz a − = b 3.75 m = Cálculo de la flecha en el centro vxI , ( ) pa ⋅ x ⋅ 6E ⋅ I ⋅ luz ⋅ 2 luz ⋅ luz x − ( ) ⋅ a 2 − luz x − ( ) 2 − ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ ⋅ = La flecha en el centro es x luz 2 = vxI ipe140 , ( ) 1.576 cm = La relación entre la flecha y la luz es: luz vxI ipe140 , ( ) 317.282 =
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ER-CA-01: EJERCICIO DE CORTANTE CON ARMADURA ACORTANTE
Vamos a calcular la resistencia a cortante de secciones de hormigón sin armadura a cortante.Para ello partiremos de un hormigón y un acero y de una sección igual en todos los ejercicios.
Materiales
Hormigón
resistencia característica fck 25N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γc 1.5=
la resistencia de cálculo es fcdfckγc
= fcd 16.667N
mm2=
Acero
límite elástico característico fyk 400N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γs 1.15=
la resistencia de cálculo es fydfykγs
= fyd 347.826N
mm2=
Sección de hormigón
Se considera una sección rectangular de dimensiones
ancho b 0.6 m⋅=
alto h 0.3 m⋅=
Recubrimiento mecánico
inferior rminf 5 cm⋅=
rmsup 5 cm⋅=superior Figura genérica de la disposiciónde la armadura.
d h rminf−= d 0.25 m=
área de la sección de hormigón: Ac b d⋅= Ac 1.5 103× cm2
ER-CS-01: EJERCICIO DE CORTANTE SIN ARMADURA ACORTANTEVamos a calcular la resistencia a cortante de secciones de hormigón sin armadura a cortante.Para ello partiremos de un hormigón y un acero igual en todos los ejercicios.
Materiales
Hormigón
resistencia característica fck 25N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γc 1.5=
la resistencia de cálculo es fcdfckγc
= fcd 16.667N
mm2=
Acero
límite elástico característico fyk 500N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γs 1.15=
la resistencia de cálculo es fydfykγs
= fyd 434.783N
mm2=
Sección de hormigón
Se considera una sección rectangular de dimensiones
ancho b 0.4 m⋅=
alto h 0.3 m⋅=
Recubrimiento mecánico
inferior rminf 5 cm⋅=
rmsup 5 cm⋅=superiorFigura genérica de la disposiciónde la armadura.
d h rminf−= d 0.25 m=
área de la sección de hormigón: Ac b d⋅= Ac 1 103× cm2
ER-CS-01: EJERCICIO DE CORTANTE SIN ARMADURA ACORTANTE según EHE 08Vamos a calcular la resistencia a cortante de secciones de hormigón sin armadura a cortante.Para ello partiremos de un hormigón y un acero igual en todos los ejercicios.
Materiales
Hormigón
resistencia característica fck 25N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γc 1.5=
la resistencia de cálculo es fcdfckγc
= fcd 16.667N
mm2=
Acero
límite elástico característico fyk 500N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γs 1.15=
la resistencia de cálculo es fydfykγs
= fyd 434.783N
mm2=
Sección de hormigón
Se considera una sección rectangular de dimensiones
ancho b 0.4 m⋅=
alto h 0.3 m⋅=
Recubrimiento mecánico
inferior rminf 5 cm⋅=
rmsup 5 cm⋅=superiorFigura genérica de la disposiciónde la armadura.
d h rminf−= d 0.25 m=
área de la sección de hormigón: Ac b d⋅= Ac 1 103× cm2
La sección no tiene armadura a cortante, por ello lacomprobación de AGOTAMIENTO POR COMPRESIÓNOBLICUA DEL ALMA, Vu1 no sería necesaria.
Área de la armadura longitudinal de tracciónanclada como indica la figura: Asl 12 cm2
⋅=
ángulo de las armaduras transversales de la pieza: α 90. deg⋅=
ángulo de las bielas de compresión con el eje de la pieza : θ 45 deg⋅=
áncho de la pieza (en este caso es de ancho constante) : bo b=
esfuerzo axil de cálculo, (positivo es compresión): Nd 400kN=
Tensión de compresión axil efectiva. Enpilares debe calcularse teniendo en cuenta lacompresión absorvida por las armadurescomprimidas. En nuestro ejemplo sedesprecia.
σpcdNdAc
= σpcd 4N
mm2=
Obtención de Vu1
A partir de los datos anteriores, obtenemos una serie de valores necesarios para la fórmulafinal:
coeficiente de reducción por efecto del esfuerzo axil:
σpcd 4N
mm2= fcd 16.667
N
mm2=
k 1 σpcd 0≤if
1σpcdfcd
+ σpcd 0> σpcd 0.25 fcd⋅≤∧if
1.25 0.25 fcd⋅ σpcd< σpcd 0.5 fcd⋅≤∧if
2.5 1σpcdfcd
−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅ otherwise
= 0.25 fcd⋅ 4.167N
mm2=
0.5 fcd⋅ 8.333N
mm2=
2.5 1σpcdfcd
−⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅ 1.9=
k 1.24=
Finalmente obtenemos la resistencia por agotamiento por compresión oblicua del alma:
Calculamos el momento mínimo que nos indicará el tipo de formulación a aplicar.
Mmin 0.252 b⋅ d2⋅ fcd⋅= Mmin 306.18 kN m⋅=
El momento de cálculo es menor que el momento mínimo, por lo que no es necesaria laarmadura en la zona comprimida. Para obtener la armadura a tracción utilizamos lasecuaciones de equilibrio
y d 1 1Md
0.425 b⋅ d2⋅ fcd⋅
−−⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅= y 0.084 m=
Atrac 0.85 b⋅ y⋅fcdfyd⋅= Atrac 12.333 cm2
=
Tomando barras de 25 mm de diámetro para la zona de tracción:
φ25 25 mm⋅= areaφφ252
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2
π⋅= areaφ 4.909 cm2=
Atracareaφ
2.513=
Con n 3= barras separb rminf 2⋅−
n 1−= separ 10 cm=
RECUERDE: PUEDE REALIZAR LA MAYORÍA DE ESTOS CÁLCULOS MÁS FÁCILMENTE CON
Calculamos el momento mínimo que nos indicará el tipo de formulación a aplicar.
Mmin 0.252 b⋅ d2⋅ fcd⋅= Mmin 425.25 kN m⋅=
El momento de cálculo es mayor que el momento mínimo, por lo que si es necesaria laarmadura en la zona comprimida. Para obtener la armadura a tracción utilizamos lasfórmulas:
AcompMd Mmin−
d dp−
1fyd⋅= Acomp 1.423 cm2
=
Atrac0.306 b⋅ d⋅ fcd⋅
fydAcomp+= Atrac 27.816 cm2
=
En este caso, la armadura obtenida a tracción es muy elevada para la sección de hormigón ysería conveniente cambiar las dimensiones de la sección.
RECUERDE: PUEDE REALIZAR LA MAYORÍA DE ESTOS CÁLCULOS MÁS FÁCILMENTE CON
Mayoramos los esfuerzos multiplicándolos po 1.5 (ojo, es una simplificación que puede estardel lado de la inseguridad si vienen cargas favorables). No se considera el peso propio de laviga.
Utilizando las fórmulas para flexión simple, con un hormigón HA-30, un acero B-500S y un recubrimiento mecánico de 5 cm, para Md obtenemos la armadura a tracción en la seccióncentral:
RECUERDE: PUEDE REALIZAR LA MAYORÍA DE ESTOS CÁLCULOS MÁSFÁCILMENTE CON
El mismo problema que en el apartado anterior pero con la viga empotrada en sus dosextremos.
Esfuerzos en el apoyo izquierdo (Miz)Mayoramos los esfuerzos multiplicándolos po 1.5 (ojo, es una simplificación que puede estardel lado de la inseguridad si vienen cargas favorables). No se considera el peso propio de laviga.
Sección de estudio en x=0
Momento
Mizpdpd a⋅ b2
⋅
luz2= Mizpd 67.5 kN m⋅=
Mizppdppd luz2
⋅
12= Mizppd 47.04 kN m⋅=
Mizdist.dpdist.d luz2
⋅
12= Mizdist.d 36 kN m⋅=
Mizd Mizpd Mizppd+ Mizdist.d+= Mizd 150.54 kN m⋅=
Armadura necesariaEn las mismas condiciones que el ejercicio anterior.
ER-ZF-01: EJERCICIO DE ZAPATA FLEXIBLEEn este ejercicio vamos a dimensionar la zapata para unas cargas y un terreno dado.Partimos de un prediseño y de unos materiales y comprobamos si son adecuados.Solo se considerarán esfuerzos en una dirección.
Materiales
Hormigón
resistencia característica fck 30N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γc 1.5=
la resistencia de cálculo es fcdfckγc
= fcd 20N
mm2=
Acero
límite elástico característico fyk 500N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γs 1.15=
la resistencia de cálculo es fydfykγs
= fyd 434.783N
mm2=
Densidades
hormidensi 2500kg
m3⋅= terrenodensi 1800
kg
m3⋅=
como valor de la aceleraciónde la gravedad tomamos
graved 9.8m
s2⋅=
Dimensiones de la zapata
Partimos de un pre-dimensionamiento de la zapata, deuna pilastra y de un terreno dado.
Consideraremos dos hipótesis para los estados de equilibrio, una con sobrecarga y pesopropio y otra solo con el peso propio. Para el equilibrio, no mayoramos ninguna carga.
Cálculo de las tensiones sobre el terrenoConsideramos una distribución lineal y triangular de las tensiones sobre el terreno. Haycódigos que consideran una distribución rectangular de las tensiones, pero no es nuestrocaso.hipótesis 1
excen1momvuelco1vertiTotal1
= excen1 0.354 m=zapatalargo
60.333 m=
En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es mayor que1/6 de la longitud de la zapata, por lo que hay "despegue". La fórmula a utilizar es:
σ1d2 vertiTotal1⋅
3zapatalargo
2excen1−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅
1zapataancho⋅=
σ1d 241.135kN
m2=
x1zapatalargo
2excen1−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
3⋅= x1 1.939 m=
hipótesis 2No se estudia, es obviamente menor que la hipótesis 1.
Los coeficientes de ponderación de cargas son los correspondientes a nivel de controlnormal.La hipótesis considerada es la de peso propio mas sobrecarga.
cargaDhoriz1 1.5PPhoriz 1.6SChoriz+=
cargaDmom1 1.5 PPmom⋅ 1.6SCmom+=
Primero aplicamos todas las cargas yobtenemos la armadura inferior. Luegoaplicamos solo las cargas uniformementerepartidas (peso propio de la zapata y delterreno) y obtenemos la armadura que serestará de la anterior.
Para el cálculo de las reacciones, obtenemos primero las leyes de tensiones como en elapartado anterior (pero con las cargas mayoradas).
Aunque en este caso los pesos de la zapata y el terreno a restar son pequeños respectoal total, los restamos igualmente a modo de ejemplo.
El peso de la pilastra no se incluye ya que no se trata de una carga uniformemente distribuidasobre la zapata. Le aplicamos el mismo coeficiente de seguridad que en la hipótesis que combina todas las cargas.
Rpp 1.5 pesoSinCarga pilapeso−( )⋅=
Rpp 75.191 kN=
σrestaRpp
zapatalargo= distas1 0.913 m=
Rresta σresta distas1⋅= Rresta 34.306 kN=
brestadistas1
2= bresta 0.456 m=
Mresta Rresta bresta⋅= Mresta 15.652 kN m⋅=
y d 1 1Mresta
0.425 b⋅ d2⋅ fcd⋅
−−⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
⋅= Aresta 0.85 b⋅ y⋅fcdfyd⋅= Aresta 1.055 cm2
=
Afinal At Aresta−= Afinal 13.033 cm2=
Cuantía geométrica mínima
Tomando la indicada en la EHE para las vigas
cgm2.8
1000zapataalto⋅ zapataancho⋅= cgm 16.8 cm2
=
Cuantía que tomamos al ser mayor que la obtenida anteriormente.
Armado final
Tomando diámetros de φ 16 mm=
areaΦφ
2⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
2π⋅= cgm
areaΦ8.356=
con 9 barras es suficiente. La separación final es:
es mayor que 1.25*tamaño máximo del árido (suponemos un árido máx. de 20 mm)
es menor que 30 cm
Comprobación de cortante
De cálculos anteriorres conocemos:
d 0.342 m= σD1d 384.244kN
m2= xD1 1.93 m=
Procedemos igual que para el cálculo a flexión paraobtener la resultante en la sección de cálculo.
distactzapatalargo
2
pilalargo2
d+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−= distact 0.533 m=
σctσD1d xD1 distact−( )⋅
xD1= σct 278.113
kN
m2= Nota: en el cálculo de
www.areadecalculo.com la distancia"d" se toma igual al canto de lazapata. Es más correcto tomar elcanto útil como se hace aquí,aunque la diferencia de resultadoses muy pequeña.
adt12
σD1d σct−( )⋅ distact⋅= adt 28.284kNm
=
adc σct distact⋅= adc 148.234kNm
=
Rd adt adc+( ) zapataancho⋅= Rd 264.777 kN=
Ahora calculamos la resultante debida al peso propio de la zapata y las tierras para restarlo.
Punzonamiento actuantePara el cálculo del punzonamiento actuante tomamos solamente las cargas externasverticales. Esta simplificación la podemos hacer ya que el resto de las cargas sonpequeñas y las del peso propio de la zapata no intervienen como acciones para elpunzonamiento.
El perímetro de punzonamiento es:
u1 4 pilalargo2 π⋅ 2⋅ d⋅
4⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
+⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
⋅= u1 5.37 m= Nd 1.6 SCverti⋅ 1.5 PPverti⋅+=
El área total de la base de la zapata es:
atotal zapatalargo zapataancho⋅= atotal 6.76 m2=
El área anterior le restamos el área dentro del perímetro U1:
areau1 pilalargo2
π 2d( )2⋅+ 4 2⋅ d⋅ pilalargo⋅+= areau1 2.251 m2=
La carga total tiene un reacción sobre la zapata que ocupa toda su superficie. La partefuera del perímetro de punzonamiento es la que produce el punzonamiento. Así pues, lafuerza de punzonamiento es:
Fsd Ndatotal areau1−
atotal⋅= por ser soporte interior: β 1.15= Fsdef β Fsd⋅=
τsdFsdefu1 d⋅
= τsd 419.014kN
m2=Fsdef 675.02 kN=
RECUERDE: PUEDE REALIZAR LA MAYORÍA DE ESTOS CÁLCULOS MÁSFÁCILMENTE CON
En este ejercicio vamos a dimensionar la zapata para unas cargas y un terreno dado.Partimos de un prediseño y de unos materiales y comprobamos si son adecuados.Solo se considerarán esfuerzos en una dirección.
Materiales
Hormigón
resistencia característica fck 25N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γc 1.5=
la resistencia de cálculo es fcdfckγc
= fcd 16.667N
mm2=
Acero
límite elástico característico fyk 500N
mm2⋅=
coeficiente de seguridad γs 1.15=
la resistencia de cálculo es fydfykγs
= fyd 434.783N
mm2=
Densidades
hormidensi 2500kg
m3⋅= terrenodensi 1800
kg
m3⋅=
como valor de la aceleraciónde la gravedad tomamos graved 9.8
m
s2⋅=
Dimensiones de la zapata
Partimos de un pre-dimensionamiento de la zapata, deuna pilastra y de un terreno dado.
Consideraremos dos hipótesis para los estados de equilibrio, una con sobrecarga y pesopropio y otra solo con el peso propio. Para el equilibrio, no mayoramos ninguna carga.
Como era de esperar, la condición con sobrecarga es mas restrictiva. El mínimocoeficiente es alto (mayor que 2.0). Se podrían bajar las dimensiones de la zapata peroantes vamos a ver las tensiones máximas sobre el terreno.
Consideramos una distribución lineal y triangular de las tensiones sobre el terreno.Hay códigos que consideran una distribución rectangular de las tensiones, pero no esnuestro caso.
hipótesis 1
excen1momvuelco1vertiTotal1
= excen1 0.355 m=zapatalargo
60.333 m=
En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es mayorque 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que hay "despegue". La fórmula a utilizar es:
σ1d2 vertiTotal1⋅
3zapatalargo
2excen1−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅
1zapataancho⋅=
σ1d 509.209kN
m2= σ1i 0.=
x1zapatalargo
2excen1−
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
3⋅= x1 1.934 m=
El porcentaje de superficie en contacto con el terreno es
porcen1x1
zapatalargo100⋅= porcen1 96.678=
hipótesis 2
excen2momvuelco2vertiTotal2
= excen2 0.057 m=zapatalargo
60.333 m=
En este caso, la excentricidad de las cargas totales en la base de la zapata es menorque 1/6 de la longitud de la zapata, por lo que no hay "despegue". La fórmula a utilizares:
La hipótesis 1 es claramente la que produce mayores tensiones en el terreno. En estecaso, algo elevadas para lo que suele ser habitual, aunue vamos a suponer quedisponemos de un buen terreno con una tensión máxima admisible mayor que la mayorobtenida.El despegue es muy pequeño, no llega al 4%, y lejos del 25% que consideramos máximoadmisible.
Cálculo de la armadura a flexión
Los coeficientes de mayoración de cargas son los correspondientes a nivel de controlnormal.La hipótesis considerada es la de peso propio mas sobrecarga.
cargaDhoriz1 1.5PPhoriz 1.6SChoriz+=
cargaDmom1 1.5 PPmom⋅ 1.6SCmom+=
Primero aplicamos todas las cargas yobtenemos la armadura inferior.Luego aplicamos solo las cargasuniformemente repartidas (pesopropio de la zapata y del terreno) yobtenemos la armadura que serestará de la anterior.
Para el cálculo de las reacciones, obtenemos primero las leyes de tensiones como en elapartado anterior (pero con las cargas mayoradas).
A partir de las leyes de tensiones obtenemos las fuerzas resultantes en cada mitad de labase de la zapata. Este cálculo es algo engorroso: partiremos de las áreas de las leyes ysus centros de gravedad para obtener las resultantes y sus puntos de aplicación.
adt12
σD1d σm−( )⋅zapatalargo
2⋅= bdt
13
zapatalargo2
⋅= bdt 0.333 m=
bdc12
zapatalargo2
⋅= bdc 0.5 m=adc σmzapatalargo
2⋅=
Rd adt adc+( ) zapataancho⋅= Rd 1.161 106× N=
bdzapatalargo
2
adt bdt⋅ adc bdc⋅+
adt adc+
⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
−= bd 0.56 m=
Para el cálculo de "d" suponemos un diámetro incial de armadura inferior de φ16:
diam 16 mm⋅=
d zapataalto recub−diam
2−= d 0.442 m=
A partir de las fórmulas de la EHE para zapatas rígidas obtenemos el área de acero necesario.
Aunque en este caso los pesos de la zapata y el terreno a restar son pequeños respectoal total, los restamos igualmente a modo de ejemplo.
El peso de la pilastra no se incluye ya que no se trata de una carga uniformemente distribuidasobre la zapata. Le aplicamos el mismo coeficiente de seguridad que en la hipótesis que combina todas las cargas.
Rresta 1.5pesoSinCarga pilapeso−
2⋅=
Rresta 62.615 kN=
bdr12
zapatalargo2
⋅= bdr 0.5 m=
TdrRresta0.85 d⋅
bdr 0.25 pilalargo⋅−( )⋅= Tdr 70.831 kN=
AsrTdr
400N
mm2⋅
= Asr 1.771 cm2=
El área de acero final necesario es: As Ast Asr−= As 35.728 cm2=