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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMADE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA
GUIA DE VARIABLE COMPLEJADEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Profesor: M.J. Suazo
EJERCICIOS RESUELTOS.
Siguiendo con los ejercicios de Integrales de lnea de variable
real, se anaden dos ejemplos mas queles servira de guia, despues
ejercicios resueltos de integrales de contorno(estudiar el
concepto).
1) Evalue la integral
C
y dx x dy, donde C viene dado por la parametrizacion x = 2 cos
t,y = 3 sen t, 0 t pi.Solucion:
Sabemos que
C
y dx x dy = C
y dx x dy, entoncesC
y dx+ x dy.En este y en todos los casos la idea es dejar la
integral de lnea como una integral simple, entoncesderivemos y
sustituyamos; dejaremos la integral solo en terminos de t.Sabemos
que x = 2 cos t, dx = 2 sen t, y = 3 sen t entonces dy = 3 cos t,
al sustituirlo en laintegral de lnea tenemos,
C
y dx+ x dy = pi0
3 sen t(2 sen t) dt+ 2 cos t(3 cos t) dt = 6 pi0
(sen2 t + cos2 t) dt = 6pi.
2) Evalue la integral
C
x2y3 dx xy2 dy, donde C es la curva de la figura siguiente:
Solucion:
En este caso vemos 4 curvas distintas, por lo que el
integral
C
=
C1
+
C2
+
C3
+
C4
. Comen-
zamos con la curva 1, tomemos la curva donde x = 1 constante,
mientras que 1 y 1, laintegral nos queda
C
x2y3 dx xy2 dy =C1
x2y3 dx xy2 dy = 11
12y3>0
dx 1y2 dy = 23
.
1
-
En la curva 2, tenemos que el valor de y = 1 es constante
mientras 1 x 1 pero debemos detener en cuenta que hay que seguir la
lnea.C
x2y3 dx xy2 dy =C2
x2y3 dx xy20
dy =
11
x213 dx = 11x2 dx = 2
3
Para C3 vemos claramente que x = 1, 1 y 1 (recuerde que hay que
seguir el camino),entonces:
C
x2y3 dx xy2 dy =C3
x2y3>0
dx xy2 dy = 11
(1)y2 dy = 11y2 dy = 2
3
Para C4 claramente y = 1, 1 x 1, entonces:C
x2y3 dx xy2 dy =C4
x2y3 dx xy20
dy =
11x2(1)3 dy =
11x2 dx = 2
3
Por lo tanto,
C
=
C1
+
C2
+
C3
+
C4
= 2/3 + (2/3) + (2/3) + (2/3) = 8/3
2
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INTEGRALES COMPLEJAS.
Practicamente el caso de las integrales complejas es similar al
de las integrales simples y de lneade variable real, de hecho
cumple con todas las propiedades de variable real incluyendo el
Teoremafundamental del Calculo(ver el libro de texto). Las
integrales de lnea nos sirven como herramientaspara evaluar
integrales de contorno(estudiar el concepto) de variable
compleja.
Teorema: Evaluacion de integrales de contorno.Si f es contnua en
una curva suave C dada la parametrizacion z(t) = x(t) + iy(t), t
[a, b],entonces
C
f(z) dz =
ba
f(z(t))z(t) dt
1) Evalue
C
z2 dz, donde C es z(t) = 3t+ 2it, 2 t 2.El problema es una
aplicacion directa del teorema anterior.C
z2 dz =
22
(3t+ 2it)2(3 + 2i) dt = (3 + 2i)
22
(3t+ 2it)2 dt = 48 + 7363i
2) Evalue
C
x2 + iy3 dz, donde C es la lnea que va desde z = 1 hasta z =
i.
En este caso, no haremos una sustitucion en terminos de t: z(x)
= x+ i(1x), sabemos que tantox como y son variables, la idea
siempre es simplificar la integral, ademas recuerde que a y b
sonnumeros reales. Observe que, cuando x = 0 tenemos que z = i y
cuando x = 1 entonces z = 1. Sihacemos x = y para f(z) = x2 + iy3 =
x2 + ix3, z(x) = (1 i)dx ademas seguiremos la lnea queva desde x =
1 hasta x = 0. De modo que la integral nos quedara as:C
x2+ iy3 dz =
C
(x2+x3) dz =
01
(x2+ ix3)(1 i) dx = (1 i) 01
(x2+ ix3) dx = 7/12+1/12i.
3
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3) Evalue la integral
C
z2 dz donde C es la curva siguiente:
Como en el caso de variable real, en este problema empezaremos
desde el origen y siguiendolas manecillas en contra del reloj. Para
el caso, es similar al problema 2 de la pagina 2 de este
documento:
C
=
C1
+
C2
+
C3
.
Para C1: y = 0 mientras que 0 x 1, por lo que z = x, dz = dx y
el integral nos queda asiC1
z2 dz =
10
x2 dx =1
3.
En la curva 2 tenemos la integral
C2
z2 dz, donde x = 1 es constante mientras que y es variable
entre 0 y 1.
Hagamos entonces z = 1 + iy, dz = idy, entonces
10
(1 + iy)2i dy = 1 + 23i
En la curva 3, el valor de x es el mismo que el de y en
cualquier punto de modo que z = x+ iy =x+ ix, dz = (1 + i)dx si
seguimos el camino que iniciamos en x = 1 y lo terminamos en x = 0
porlo que el integral nos queda as: 01
(x+ ix)2(1 + i) dx = (1 + i) 10
2ix2 dx =2
3 2
3i.
Por lo tanto,
C
z2 dz = 0
4
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Muestre los pasos y caminos a seguir para llegar al resultado en
el problema propuesto, respuestassin procedimientos pierden
validez.
1) Evalue la integral
C
Re(z) dz, donde C es el crculo |z| = 1
2) Evalue la integral
C
(3z2 2z) dz, donde C es z(t) = t 2it3, 1 t 1
3) Evalue la integral
C
1
zdz a lo largo de |z| = 1, en el semiplano inferior.
4) Evalue la integral
C
ez dz donde C es la poligonal que consiste en los segmentos de
lnea que
va desde z = 0 a z = 2 y de z = 2 hasta z = 1 + pii .
5) Evalue la integral
C
1
z2 2i dz donde C es el crculo |z| = 6 desde z = 6i hasta z = 6i
.
6) Evalue la integral
C
z2 z + 2 dz desde i a 1 a los largo de C que es la figura
siguiente:
7) Evalue la integral
C
|z|2 dz, donde C es x(t) = t2, y(t) = 1t, 1 t 2
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