UNMSM Aptitud Matemática SEMANA 7 MÓVILES 1. Dos móviles están separados 2x 2 x + metros el uno del otro. Si parten simult áneamente uno al encuentro del otro, con una rapidez de x x y x 2x metr os por segundo, respec ti vamente, se encontrarán al cabo de un minuto con 21 segun dos ¿Qu distancia recorre el más veloz en x 1 x − segundos! "# $%& m '# &$% m (# %&$ m D# &%$ m )# $&% m RESOLUCIÓN 2x 2 ) x x " ' d x t 1 min 21s * * x 2x + = ⇒ = + + x x 2 x x xx %1 +x = g g 2$+ x .x- x 2 + x x + + = ⇒ = )l más veloz ' d * t = ( ) m d $ /s $%&m s = = ÷ RPTA.: A 2. Dos móviles separados 1200 m van al encuentro uno del otro, en sentidos opuestos, con rapidez de +0 ms y 20 ms. ¿)n ue tiempo estarán sep arados &00 m po r segunda vez! "# $s '# $2 s (# +& s D# 2$ s )# 12 s RESOLUCIÓN 20 t +0t &0 + = 0t &00 = t 12s = 3uego4 total t 2$ 12 = + t +&s = RPTA.: C +. Dos móviles separados uno distancia de n 4 metros, se mueven en el mismo sentido, uno al alcance del otro, con vel ocidades de s m n / 2 5e l mas veloz# y 1& ms6 si el mas veloz alc anz a al otro en &$ seg und os, SAN MARCOS 2011 CUESTIONARIO DESARROLLADO
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metros el uno del otro. Siparten simultáneamente uno alencuentro del otro, con una
rapidez de x x yx2x metros por
segundo, respectivamente, seencontrarán al cabo de un minutocon 21 segundos ¿Qu distanciarecorre el más veloz en
x 1x −
segundos!
"# $%& m '# &$% m(# %&$ m D# &%$ m)# $&% m
RESOLUCIÓN
2x 2
) x x" '
d xt 1 min 21s* * x 2x
+= ⇒ =+ +
x x 2
xx x x%1
+x= g g
2$+ x . x- x 2+ x x ++= ⇒ =
)l más veloz
'd * t=
( )md $ /s $%& ms = = ÷ RPTA.: A
2. Dos móviles separados 1200 mvan al encuentro uno del otro, ensentidos opuestos, con rapidez de+0 m s y 20 m s. ¿)n ue tiempoestarán separados &00 m porsegunda vez!
"# $ s '# $2 s (# +& sD# 2$ s )# 12 s
RESOLUCIÓN
20 t +0t &0+ =0t &00=
t 12s=
3uego4totalt 2$ 12= +
t +&s=RPTA.: C
+. Dos móviles separados uno
distancia de n4 metros, semueven en el mismo sentido, unoal alcance del otro, con
velocidades de smn /2 5el masveloz# y 1& m s6 si el mas veloz
$. Dos móviles separados %00 m semueven en el mismo sentido,sobre una pista 9orizontal, conuna rapidez de 2$ m s y 1& m s,respectivamente. ¿)n u tiempoel más veloz adelantará al otro en200 m!
"# :0 s '# %0 s (# /0 sD# 120 s )# 12 s
RESOLUCIÓN
De la ;igura4 2 22$t 1&t 200− =
2%t 200= t 2 2
totalt 5100 2 #s 12 s= + =RPTA.: E
. Dos móviles ue poseen rapidezde 1% m s y 12 m s, estánseparados &00 m. Si uno va alencuentro del otro, partiendosimultáneamente, se encuentranen 20 segundos6 pero, si uno vaal alcance del otro en el mismosentido tardar<a alcanzarlo 100segundos.¿)n u tiempo estaránseparados 2$00 m si avanzan en
:. Beó;ilo va de su casa a la?niversidad y se da cuenta ue, siva con rapidez de &0 @m 9demora 1 minutos más uecuando va a :0 @m 9. ¿(uál es ladistancia entre su casa y la?niversidad!
"# 1 0 @m. '# 10 @m.(# /0 @m. D# % @m.)# :0 @m.
RESOLUCIÓN
Se pide4d :051, #
=d 10 @mRPTA.: B
%. Dos móviles partensimultáneamente, en el mismosentido6 el móvil " con velocidad
en m s segCn42v5t# t $t +0= − +
y el móvil ' con velocidadconstante de 1 m s. ¿Qu
distancia recorre el móvil 7'8
cuando el móvil 7"8 alcanza suvelocidad m<nima!
"# 120 m '# /0 m(# &0 m D# $ m)# +0 m
RESOLUCIÓNAara
" alcanza minv 2&m 1s= , cuando t 2s)l móvil ' recorre4
( )m
d 1. 2 s +0ms
= = ÷
RPTA.:E
/. Dos móviles " y ' disputan unacarrera de 1 @m6 si 7"8 da a 7'8 $00 m de venta=a llegan al mismotiempo a la meta6 en cambio si leda 100 m de venta=a le gana por2 s. ¿Qu distancia recorre 7"8 en segundos!
10. ?n móvil recorre $/ @m en /9oras, de los cuales los 1$primeros @m los realiza con unarapidez superior en 2 @m 9 a larapidez del resto del recorrido¿Qu distancia recorrer<a en 9oras, si emplea la rapidez con
ue recorrió el primer tramo!
"# 1 @m '# 20 @m (# 2 @m
D# +0 @m )# + @m
RESOLUCIÓN
1$ +/
* 2 *+ =+
Por (V) (V + 2)1$ * > + 5* > 2# /* 5* > 2#
1$ * >+ * >:0 2/ * 1% *+
2/ * +1 * :0 0− − =⇒ / * 1$ 1$*⇒ * $ *
+1 *
5/ * > 1$# 5* # 0/ * > 1$ 0 ∨ * 0
@m*
9=
Se pide:
d !t 9
*>2
@m:
9 ⇒ d : × + @mRPTA.: C
11. " la 1 pm, dos móviles partensimultáneamente de un mismopunto y sus trayectorias ;orman
un ángulo recto. " las pm seencuentran a 2 @m de distancia
más rápido ue elsegundo, u distancia losseparará a las % pm!
"# % @m '# :0 @m (# & @mD# /1 @m )# 10$ @m
RESOLUCIÓNDe la 1 pm a las pm t $⇒ =9oras
B. de Aitágoras( ) ( ) ( ) 2222 74452 ++= V V
222222 )7(4413.4 ++= V V
( )22 21+ * * := + +
2 21&/ * * 1$ * $/= + + +2120 2 * 1$ *= +
2&0 * : *= + ⇒20 * :* &0= + −
⇒ * 12 12 *⇒ * *
: *
( ) ( )* 12 * 0+ − = * =
1EF
* 9
=
2EF
* : 129
= + =De la 1 pm a las % pmt : 9
d /1 @m
RPTA.: D
12. Aablo desea recorrer / @m ypiensa llegar a su destino a cierta9ora6 despu s de avanzar + @m sedetiene 12 minutos, por lo cuáltendrá ue moverse 1@m por 9oramas aprisa para llegar a tiempo a
1+. Dos trenes de 2a y +a metros delongitud marc9an por v<asparalelas y en sentidos opuestos,acercándose, con velocidades de+b m s y 2b m s,respectivamente.¿(uánto tardan en cruzarsetotalmente!
1$. ?n tren tardó segundos enpasar por un semá;oro y 2segundos en atravesar un tCnel de200 m de longitud. ¿(uántotardará en cruzar una estación de+00 m!
"# $ s '# 20 s (# 2 sD# 0 s )# + s
RESOLUCIÓN
Bren semá;oro41 1
11 1
3 0 3t
* 0 *+= ⇒ =+ HHH.H..51#
Bren tCnel41 1
21 1 1
3 200 3 200t 2* 0 * *
+= ⇒ = ++
1
2002 *= +
1
20020
*=
1* 10m s=)n 51#
1 13 *=13 0m=
Bren estación4+
0 +00t
10 0+= +
++ 0t + s10
= =RPTA.: E
1 . Dos trenes van en sentidocontrario con una rapidez de12 m s y 1% m s,respectivamente. ?n pasa=erosentado en el primer tren observa
ue el segundo demora en pasarpor su costado 10 segundos.¿(uál es la longitud del segundotren!
"# +00 m '# 2/0 m
(# 2%0 m D# 2 0 m)# 220 m
RESOLUCIÓNObservador
1
2 L
B. de encuentro63
t 10 3 +00 m1% 12
= = ⇒ =+RPTA.: A
1&. ?n tren cruza un poste en % s y untCnel en 12 s. ¿)n cuánto tiempo
el tren cruzar<a un tCnel cuyaextensión ;uera el uintuple delanterior!
1:. ?na persona ubicada entre dosmontaIas emite un grito y recibeel primer eco a las +,$ segundos yel siguiente a las +,% segundos.¿(uál es la separación entre lasmontaIas, si la velocidad delsonido es +$0 m s!
"# 122$ m '# 12$2 m(# 1122 m D# 1$2$ m)# 1$22 m
RESOLUCIÓN
1d +$051,:#= 2d +$0 51,/#=1d :%m= 2d &$&m=
1 2d d d= +d 122$ m
RPTA.: A
1%. )n una pista circular de$000 m, dos móviles parten
=untos en sentidos contrarios y secruzan al cabo de +0 minutos6despu s de 10 minutosadicionales llega el más veloz alpunto de partida. ¿(uál es larapidez del otro corredor enm min !
minutos, cuántas 9oras estuvovia=ando en automóvil!
"# ,2 9 '# ,% 9 (# &,+ 9D# &,+ 9 )# : 9
RESOLUCIÓN
"4
+5 @# +@=
F4 2@ Auto Moto
5 k
3 k 2 k50 km /h
"?BL+@ &E
t0 100
= = FLBL2@
t100
=
DATO:
t t
2$ &@ 2@%9 9
&0 100 100+ = +
$ %E%10 100
+ =⇒ %00 > $0 %@
100 E+ = E 10=
"?B0+510 #
t &,+ 90
= =RPTA.: C
20. Dos ciclistas, con velocidades de& m s y % m s, se acercan enl<nea recta uno al encuentro delotro6 el ue va mas despacio llevauna colmena de la cuál sale unaave=a con velocidad de de 10 m spara picar al otro, cuando ladistancia ue separa a los ciclistases de 1%00 m. (uando la ave=alogra su ob=etivo, u distancia
21. Dos móviles partensimultáneamente de un mismopunto " 9acia un punto ' distante$20 @m. )l más veloz llega a 7'8 yregresa inmediatamente,encontrándose en el camino con elotro móvil. ¿" u distancia delpunto 7"8 se produ=o el encuentro,
sabiendo ue la relación de larapidez de ambos es de 1: a $!
"# 1&0 @m '# 1 0 @m(# 1+0 @m D# 120 @m)# 100 @m
RESOLUCIÓNJecordar4 ue la relación de larapidez de 2 móviles es la misma
recta a encontrarse mutuamentey, cuando dic9o encuentro serealiza, Beó;ilo 9a recorrido 7a8 metros e Msabel 7b8 metros6 luegode saludarse Msabel le dice aBeó;ilo ue si ella 9ubierasalido7(8 segundos antes ue l,se 9ubiesen encontrado en elpunto medio. 3a velocidad 5enm s# ue tuvo Msabel ;ue de4
"#
2 2a b2ac−
'#
2 2a b2c−
(#
2 2a bbc−
D#
2 2a bac−
)#
ab c−
RESOLUCIÓN
⇒
B
M* a* b=
⇒
AF aFK b
=
⇒
bAF FK
a=
De la ;igura4 (álculo de K
AF FK K a b+ + = +bAF AF K a ba
+ + = +
b1 AF K a ba
+ + = + ÷ ( ) ( ) ( )ba Nq
baa
ab +=+++2
( )
+−+=
aba
ba Nq2
1
( ) a bK a b
2a
− = + ÷
2 2a bK2a−=
Velocidad de Isabel
( )Md 1 1* d x Kt t c
= = = ÷ 2 2
M
a b*2ac
−=RPTA.: A
2+. Dos motociclistas partensimultáneamente uno de " y elotro de ' 5puntos separados enuna l<nea recta#, en sentidocontrario. )l ue parte de " es
mas veloz ue el otro en@m
209 ,
y el encuentro de ambos tienelugar $ 9oras despu s de la
mecánica ;uncionando sube en$% s6 pero, si caminara sobre laescalera en movimiento,emplear<a 1& s. ¿)n cuántotiempo el niIo ba=ar<a caminandosobre la misma escalera en;uncionamiento!
"# % s '# 2 s (# $% sD# $2 s )# +& s
RESOLUCIÓN
)d $% *= ( )) Kd 1& * *= +
( )) ) K$% * 1& * *= +) ) K+* * *= +) K2* *=
⇒ K )d t 5* * #= −( )) ) )$% * t 2* *= −
t $% sRPTA.: C
2&. Dos coc9es parten al encuentrosimultáneamente, uno de 7F8 endirección a 7K8 y el otro de 7K8 con dirección a 7F8. (uando seencontraron el primero 9ab<arecorrido 0 @m mas ue elsegundo. " partir del momento en
ue encontraron, el primero tardó+ 9oras en llegar a 7K8, y elsegundo 12 9oras en llegar a 7F8.(alcule la distancia FK.
2:. Kavegando a ;avor de la corriente,un barco desarrolla una rapidez de$0 @m 9 y navegando en contra,de la corriente desarrolla +0
@m 9. )n ir desde el embarcaderode la ciudad 7"8, 9asta elembarcadero de la ciudad de 7'8,tarda & 9oras menos ue en elvia=e de regreso. ¿Qu distancia9ay entre estas dos ciudades!
"# &0 @m '# & @m (# &% @mD# :2 @m )# %0 @m
RESOLUCIÓN
' (* * $0@m 9+ =' (* * +0@m 9− =
Jelacionando tiempost ; t c − &
⇒d d &$0 +0= −
Aor 120 ⇒ 12064030 xd d −=d x 101206 = ⇒ d :2 @m
RPTA.: D
2%. Dos móviles partensimultáneamente de un mismopunto en 2 direcciones6 el ue va
9acia el norte, en el primersegundo recorre 1m, en elsegundo recorre + m, en el tercersegundo m y as< sucesivamente6en ;orma análoga el ue va 9aciael este recorre, 1 m6 : m6 1/ m6+: m y as< sucesivamente. Si alcabo de 7n8 segundos los separa
una distancia de $0/& 12 +nmetros, u distancia recorrer<a
un móvil con( )n $ m s−
en elmismo tiempo!
"# 2 %$0 m '# + %$0 m(# $ +%0 m D# + 2$0 m)# % $+0 m
2/. ?na lámpara se encuentra a unaaltura de 2, m y en la mismavertical un niIo de 1, 0 m dealtura. Si ste avanza con lavelocidad de $m s, con uvelocidad avanza su sombra!
"#
ms '# &
ms (# %
ms
D# /ms )#
m10s
RESOLUCIÓN
2,5 m
1,5
n* t $t=g
s sd * t=
α
α
s
2, 1, 2,tg
$t * t−α = =
s
1 2,$ *
=
s* 52, # $m s=s* 10 m s=
RPTA.: E
+0. ?na vela es colocadacon=untamente con un tabi ue demadera de igual altura en unasuper;icie 9orizontal6 la vela distadel tabi ue 7n8 metros y eltabi ue dista de la pared 72n8 metros. Si la vela se consume a
razón de 0,& m min, 9alle lavelocidad con ue se desplaza lasombra en la pared.
simultáneamente al encuentro eluno del otro, desde dos ciudades
" y ' distantes 0 @m, siendosus velocidades como $ a :,respectivamente. Si luego decruzarse la relación de susvelocidades es como a %,cuántos @ilómetros de distancia dela ciudad 7"8, luego del cruce, losmóviles estarán separados 1/@m!
+$. ?n automóvilista divide ladistancia ue va a recorrer en trespartes iguales, empleando encada una de las dos Cltimas unavelocidad ue es el doble de la
ue ten<a en la parte anterior,demorando de esta manera untotal de 21 9. )stando en plenovia=e observó en cierto instante
ue los 52
de la distancia recorrida
era igual a los 5
7
de lo ue ;altabapor recorrer. ¿(uánto 9ab<avia=ado 9asta ese momento!
"# 1% 9 '# 1&, 9 (# 1/ 9D# 1:, 9 )# 1 9
RESOLUCIÓN
⇒
d d d 21* 2* $*
+ + =
d 1 11 21* 2 $
+ + = ÷ d
12*
=
1t 129=2t &9=+t +9=
Aero4
( )2 :x +d x
= −
/x 21 d=21 1%d +d
x d/ / /
= = +
1x d d d
+= + +
t 129 &9 19= +t 1/ 9
RPTA.: C
+ . ?n móvil da una vuelta completaa una pista circular cada $0 s,otro móvil recorre la pista ensentido contrario y se cruza con el
anterior cada 1 segundos.¿(uántos segundos empleará el
+:. ?n remero navega 9acia un lugarue dista $% @m del punto de
partida y regresa en 1$ 9oras6 lobserva ue puede remar $ @msiguiendo la corriente en el mismotiempo ue + @m en contra de lacorriente. Nalle la velocidad de la
corriente, en @m 9.
"# 0, '# 1, (# 1D# + )# $
RESOLUCIÓN
48 km
t2
t1
Mda4J (* * *= +
d $%
1J (
$%t* *
= +
*uelta4
J (* * *= −
d $%
2J (
$%t* *
= −
DATO:t 1 > t 2 1$
⇒ J ( J (
$% $%1$
* * * *+ =+ − ......5M#
"demás4
J ( J (
$ +t
* * * *= =+ −
$* J − $* ( +* J > +* (
* J :* (
)n 5M#
( (
$% $%1$
%* &*+ =
( (
& %1$
* *+ =
⇒ * ( 1RPTA.: C
+%. Dos móviles 1m y 2
m partensimultáneamente de dosestaciones " y ',respectivamente, y se dirigen a laotra estación. Si luego de cruzarselos dos móviles, m 1 tardó 19 en
9oras 1 minutos, 9alle larelación de las velocidades de los
móviles 1 2m y m .
"#
+2 '#
$+ (#
1+%
D#
:$ )# :
RESOLUCIÓN
2 1/
* * t$ = ÷ HHHHHHHH..5M#
( )1 2* 1 * t= HHHHHHHH.5MM#
De 5M#÷ 5MM#2
21 2 1 1 1
21 2 1 2 2 2
/ ** /* * * */ +$
* * $* * $ * * 21
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
RPTA.: A
+/. Dos peatones partensimultáneamente de dos ciudades" y ', dirigi ndose el uno 9acia elotro. Si el primer peatónadelantara su salida una 9ora y elsegundo retrazara la suya media9ora, el encuentro se producir<a1% minutos antes. Aero si alcontrario, el primero retrazara susalida media 9ora y el segundoadelantara la suya una 9ora, ellugar del encuentro se desplazar<a
$0. ?n ve9<culo, marc9ando a 2@m 9, recorre un camino recto
ue mide un nCmero entero de@ilómetros. (uándo llevabarecorrido la mitad del camino, le;altaban menos de + 9oras y +1minutos, y cuando llevabarecorridos &0 @m, le ;altaban másde $ 9oras y + minutos demarc9a. ¿(uál es la longitud delcamino!