Ejercicios Propuestos Algebra Lineal

Ejercicios Propuestos de Algebra Lineal. Profesor Rafael ValdezUNEFA - Apure

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LAS FUERZAS ARMADAS

Asignatura: Álgebra LinealProfesor: Rafael ValdezSemestre: III Corte I Secciones: (02) ICT (B); (03) IST (B); (07) IAGT (A)

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ALGEBRA VECTORIAL (I)

1.- Dado los puntos A(-1, 2); B(-3, 5); C(5/2, -4); D(-3/2, 5/3);

a) Represente gráficamente los siguientes vectores libres:

CAy DCCB,AB,,DB,ACb) Efectuar las siguientes operaciones con vectores

ABAC3b)

CBDBa)

43

DC3ACDBd)

CAAB3c)

52

2.- Dado los puntos A(3, 2, -1); B(4, -8/3, 1); C(13/4, -1, 12/5)

a) Represente gráficamente los siguientes vectores libres:

CAy CB,AB,,BC,ACb) Efectuar las siguientes operaciones con vectores

CAACb)

CBABa)

BA3ACBCd)

CAAB3c)

52

CA.BCf)

ABe)

CAxBCh)

CBABg)

3.- Dado los vectores radiales:

u = (-1, 2, 0);

v = (-4, -2, 5);

w = (3/2, -2, 8/3);

s = (3, -7/2, -7/2)a) Represente gráficamente los vectores dados.b) Efectuar las siguientes operaciones con vectores:

wvu2b.5)

ub.4)

u3sw2b.3)

svb.2)

wvub.1)

53

23

sy w,v,u

aasociadounitariovector Elb.9)

ws.vub.8)

s.wb.7)

v.ub.6)

s,uy ;s,w;v,u

vectoreslosentreánguloElb.13)

wsxvub.12)

sxwb.11)

vxub.10)

4.- Determine las componentes de los vectores cuyos módulos y dirección se dan a continuación

w = 80 Km/h, y el ángulo respecto del eje x positivo 60º


2

45�

A =10

B = 6

C = 4

60� 30�45� 60�

9w

12v 8u

4s

F = 50 dinas, y el �ngulo respecto del eje y positivo 30�

a = 10m/s2, y el �ngulo respecto del eje x positivo -120�

5.- Determine el m�dulo y la direcci�n de de los vectores que se dan a continuaci�n

A = (-3, 6)

B = (-2, 4)

C = (-3, 4)

D = (-1, 3, 2)

E = (4, -4, 2)

F = (2, -2, -3)

6.- Determine el m�dulo y la direcci�n del vector resultante de los conjuntos de vectores representados a continuaci�n

7.- Identificar los pares de vectores paralelos perpendiculares (ortogonales)

a)

A = (6, -4);

B = (2, 3);

C = (-4, -6);

D = (1, -2);

E = (4, 2);

F = (1, 0);

G = (5, -10);

H = (0, -1)

b)

A = (1. -3, 2);

B = (2, -6, 4);

C = (3, 4, 5);

D = (4, 4, 4);

E = (0, -1, 2);

F = (1, 0, 0);

G = (1, 6, 3);

H = (0, 2, -4);

I = (0, -7, 4);

J = (0, -4, -8)

8.- Sean )y,(yy);x,(xx 2121 vectores de R2, determine si el producto interno

y.x = x1 .y1 + x2 .y2 + x3 .y3 es un producto escalar.

9.- Sea x = (1, -2), determinar los vectores y = (a, b) є R2, tal que cumplan las siguientes condiciones x . y = 1 y | x | = | y |.

10.- Determine el valor para “a”, tal que los vectores:

v = (1/4, a, -2/5); x = (2/4, a, 1/5); y = (1/5, 0, a); z = (a, -1/4) w = (-1/2, 1/2, -3/8, a) sean unitarios.

11.- Calcule el valor para “k” tal que los vectores

v = (3, 5, k) y

u = (-1, k, 2) sean ortogonales.

12.- Sea la expresi�n 22 yxx , demuestre que x es una norma en R2.


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REP�BLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LAS FUERZAS ARMADAS

Asignatura: Álgebra LinealProfesor: Rafael ValdezSemestre: III Corte I Secciones: (02) ICT (B); (03) IST (B), (07) IAGT (A)

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ALGEBRA VECTORIAL (II)

1.-Sea S un subconjunto de R3 definido por: S = {(x, y, z) є R3 / x + y + z = 0}. Demostrar que S es un subespacio vectorial de R2.

2.- Considere el conjunto S de R2, indicado por la regi�n sombreada en la figura, es decir; S est� definida por: S = {(x, y) є R2 / x . y ≤ 0}. Demostrar que S es un subespacio vectorial de R2.

3.- Verificar que el subconjunto S = {(x, y, z) є R3 / x = 2z – 3y} es un subespacio de R3.

4.- Verificar para cada caso que S es un subespacio vectorial de R3.a) S = {(x, y, z) є R3 / x + y = z}b) S = {(x, y, z) є R3 / 3x + 5z = 0}c) S = {(x, y, z) є R3 / 2x = 3y - z}d) S = {(x, y, z) є R3 / x + 2y = 0, 2x + z = 0}Determine la bese del subespacio para los casos expuestos en (a), (b) y (d).

5.- Verificar que s� S = { 321 U,U,U

} es una base de R3, entonces el conjunto

{ 32211 U3-U,U2U,U

} es una base de R3.

6.- Determinar si los vectores x = (1, 1/2, -1), y = (-1, 0, 1/3) y z = (-1, 1/2, -1/3) forman una base de R3.

8.- Determine una base del subespacio de R4 descrito a continuaci�n V = {(x, y, z, w) є R4 / x + 2y = z, w – 2y = 0}

9.- Verificar que si { z,y,x } es una base de R3, tambi�n lo es A= { zyx,zy,yx }

10.- Verificar la dependencia o independencia lineal de cada conjunto de vectoresa) x = (-1, 0), y = (2, -3) b) x = (1, 0, 2), y = (-1, 1, 2), z = (1/2, -2, 0)c) x = (1, 1, 1, -1), y = (0, 2, -1, 1), z = (1, 1, -1, 1), u = (2, -2, 1, 0)d) x = (1, 0, 0, -2), y = (0, -2, 1, 0), z = (0, 1, 0, -2), u = (1, 1, -1, 0)

11.- Expresar en cada caso al vector w , como una combinaci�n lineal de los vectores dados es cada casoa) x = (-1, 2, 4), y = (6, 0, 3), z = (1, 1, -3), w = (-7, 8, 3)b) x = (-1, 2, 4), y = (6, 0, 3), z = (1, 1, -3), w = (13, -7, 7)c) x = (1, 1, 3), y = (1, -1, 3), z = (1, 2, 0), w = (2, 3, -3)d) x = (2, 0, 1), y = (1, 0, 3), z = (1, 1, -1), w = (4, 2, -3)


4

e) x = (3, -2), y = (-1, 2), w = (7, -4)f) x = (1, -3), y = (3, -2), w = (4, 3)

12.- Determine el valor para “a” tal que los vectores son linealmente independientesa) x = (-1, 0), y = (a, -2) b) x = (1, 0, 2), y = (-1, a, 2), z = (2, -2, 0)c) x = (1, -1, 1, -1), y = (0, 2, -1, a), z = (1, 1, -1, 0), u = (2, -2, 1, 0)

13.- Verificar s� la terna de vectores planteada para cada situaci�n son ortogonales. En caso afirmativo obtenga una base ortonormala) x = (1, -2), y = (-4, 2)b) x = (1, -1, 0), y = (-2, 2, 1), w = (3, 3, 0)

14.- Determine un vector w tal que es ortogonal a los vectores dedos para cada casoa) z = (1, 1, -1, 0), u = (3, 2, 0)b) z = (3, 1), u = (-2, 1)c) z = (0, 1, -1), u = (1, -1, 3)

15.- Determine una base ortogonal y otra ortonormal a cada conjunto de vectores linealmente independientes dados a continuaci�n, usando el m�todo de Gram-Schmitda) x = (1, 2), y = (0, 3)b) x = (1, 1, 0), y = (0, 1, 0), z = (1, 1, 0)c) x = (1, 0, -1), y = (1, -2, 0), z = (1, 1, -1)d) x = (1, -1, 1, -1), y = (5, 1, 1, 1), z = (-3, -3, 1, 0)e) x = (1, 1, 0, 0), y = (1, 0, 1, 0), z = (-1, 0, 1, 1) u = (0, 2, 1, -2)


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Asignatura: Álgebra LinealProfesor: Rafael ValdezSemestre: III Corte II Secciones: (02) ICT (B); (03) IST (B); (07) IAGT (A)

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ALGEBRA VECTORIAL (III)

1.-Sea T: R3 → R2, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y, z) = (x – y, y – z). Determine si T es inyectiva y sobreyectiva.

2.- Sea T: S → R2, donde S es un subespacio vectorial de R3 definido por S = {(x1, x2, -x1) / x1, x2 є R}. La transformaci�n lineal dada por T (x1, x2, -x1) = (x1 + x2, x1 - x2). Probar que T es un isomorfismo.

3.- Sea T: S → R2, donde S es un subespacio vectorial de R3 definido porS = {(x1, x2, -x1 - x2) / x1, x2 є R}. La transformaci�n lineal dada por

T (x1, x2, -x1 - x2) = (x1 - x2, - x1 - x2). Probar que T es un isomorfismo.

4.- Sea T: R2 → R3, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y) = (x + 2y, x + y, 5x + y).Verificar que la dimensi�n del n�cleo de la transformaci�n es cero y que la imagen de la transformaci�n es generada por los vectores (1, 1, 5) y (2, 1, 1).

5.- Sea T: R2 → R3, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y) = (x + 2y, x - y, 5x - 2y).Determinar la dimensi�n del n�cleo de la transformaci�n y la dimensi�n de la imagen de la trasformaci�n. Verificar que los vectores (1, 1, 5) y (2, -1,-2) genera la imagen de la transformaci�n.

6.- Sea T: R3 → R4, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y, z) = (x – y + z, 2x – 3z, 6z – 4x, 2x – 2y + 2z).Determinar la dimensi�n del n�cleo de la transformaci�n y la dimensi�n de la imagen de la trasformaci�n. Verificar s� T es biyectiva.

7.- Sea T: R2 → R3, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y) = (2x - 5y, 10y - 4x, 4x - 2y).Determinar si T es una funci�n inyectiva, pero no sobreyectiva.

8.- Sea T: R3 → R4, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y, z) = (x + y - z, 2x + y, 5x + z, 2x – y - z).Determinar s� T es biyectiva.

9.- Sea T: R3 → R3, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y, z) = (x + y + z, x + y - z, 2x + 2y - 3z).Determinar s� T es biyectiva.

10.- Demostrar que los casos propuestos anteriormente (del 1 al 9) son transformaciones lineales.

11.- Demuestre la linealidad de las transformaciones planteadas a continuaci�nT: R2 → R3, dada por; T(x, y) = (x + y, 5, y - x)T: R2 → R2, dada por; T(x, y) = (x2, y2)T: R4 → R3, dada por; T(x, y, z, u) = (x + y, z

yx2 , u - z)

T: R3 → R2, dada por; T(x, y) = (x .y, 3x/y)


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12.- Considere las matrices dadas a continuaci�n y la matriz identidad I;

13201

H

201203

10420210

G2533-

F1-

11

21

E

20231

012D

053-

C1-

120

B110

0242

A

53

31

21

43

513

2

41

525

321

Efectuar las siguientes operaciones con matrices

a) A + D b) C – F c) 1/2 B d) 4 B + 2 E e) 3/2 Gf) 2/3 A – 3 D g) A . H h) H . F + E i) C2 j) A2 -2 Dk) G2 l) F-1 m) A-1 n) F . F-1 �) D . D-1

o) Det. A p) Det. B q) Det. D r) Det. G s) Det. F + Det. At) A . D u) D . A v) A. I w) (C . F) . B x) F3 + F2 + F

13.- Considere las matrices dadas a continuaci�n y las matrices dadas en el ejercicio 12.

20130x

11410110

Rx23x

Qe

-d1

1c

P

202x1

012N

1x13-

M0

1a

b0

Lifchebgda

K

31

21

21

51

41

a) Hallar las valores de a, b, c, d, e, f, g, h, i de la matriz K tal que: 2K – A = Db) Hallar los valores de a, b, c, d, e tal que: 3L+ 2P = ET

c) Determina el valor de la matriz X, tal que: 3X – 5A = Dd) Determina el valor de la matriz X, tal que: 2X – 5E = B + 4Ie) Determine el valor para x tal que los determinantes satisfagan las condiciones planteadas:

5Q56M42R8N

14.- Sea T: R3 → R3, una transformaci�n lineal, tal que la matriz de T respecto de la base can�nica de R3

es

315825

110, calcule T(x, y, z) y T(1, -2, 1)

15.- Sea T: R3 → R3, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y, z) = (y + 2z, x – y + z, x + 2y – z).Halla la matriz asociada a la transformaci�n lineal respecto de las siguientes bases: B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} y B’ = {(1, 1, 0), (0, -1, 0), (0, 0, -1)}


7

16.- Sea T: R2 → R3, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y) = (x, 2x – y, y – 2x).Halla la matriz asociada a la transformaci�n lineal respecto de las siguientes bases: B = {(-1, 2), (0, -1)} y B’ = {(0, 1, 1), (-1, 0, -1), (1, 1, 0)}

17.- Sea T: R3 → R3, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y, z) = (y + 2z, x – y + z, x + 2y – z).Halla la matriz asociada a la transformaci�n lineal respecto de las siguientes bases: B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} y B’ = {(1, 1, 0), (0, -1, 0), (0, 0, -1)}

18.- Sea T: R2 → R3, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y) = (x + y, x - y, y - x).Halla la matriz asociada a la transformaci�n lineal respecto de las siguientes bases: B = {(-1, 3), (0, 1)}; B’ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1)}

19.- Sea T: R3 → R2, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y, z) = (y + z, x + 5y – 8z).Halla la matriz asociada a la transformaci�n lineal respecto de las siguientes bases: B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 5)}; B’ = {(1, 1), (1/2, 0)}

20.- Sea T: R3 → R4, la transformaci�n lineal definida por: T(x, y, z) = (3x - y + 3z, x – 2y, z + 3x – y, 2x - 3y + 5z). Halla la matriz asociada a la transformaci�n lineal respecto de las siguientes bases: B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 0, 3)} de R3 y B’ = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, -1)} de R4.

21.- Sean i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) y T: R3 → R3 la transformaci�n lineal que verifica lo siguiente: T(i + j) = i – j; T(i – j) = i + j – k; T(1/2k + j) = j – 2k. Calcule la matriz de T respecto de la base can�nica de R3.

22.- Sea T: R3 → R3, una transformaci�n lineal, tal que la matriz asociada a T respecto de la base

can�nica de R3 es

411202511

. Calcular T(x, y, z)

23.- Sean a, b, c є R, y las matrices A, B, C, tales que:

0012cbc2c23aa

C;21-1020001

B;001c101ba

A

2

. Determinar los valores de a, b, c para

que: A .B = C.

22.- Sea T: R3 → R3, una transformaci�n lineal, tal que la matriz asociada a T respecto de la base

can�nica de R3 es: A =

203142011

. Determine la matriz de T respecto a la base:

B = {(1, 0, 0), (0, 0, -1), (0, -2, 0)} de R3.


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Asignatura: Álgebra LinealProfesor: Rafael ValdezSemestre: III Corte III Secciones: (02) ICT (B); (03) IST (B); (07) IAGT (A)

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ALGEBRA VECTORIAL (IV)

1.- Determine el rango de las matrices dadas a continuaci�n, usando el m�todo de Gauss Jordan:

30112421220420020011

F

5100021001

101120512021011

E

102110121100

2011

D

03231101-

20131211

C

1001011110302101

B

3663642291081

1111

A

2.- Determine el valor de bєR, tal que el rango de la matriz sea el indicado en cada caso

3Rango(D)132-

01b211

D2Rango(C)

a0010111103b2101

C

3Rango(B)

b0010111103b2101

B3Rango(A)

10010111103b2101

A

3.- Calcula la inversa de cada una de las matrices dadas a continuaci�n, usando el m�todo de Gauss Jordan:

1002-101-101-112-021-011010021

F11-123-23-11

E

10002-2002280202-2

D

01-1122-101

D

1-02010121-100001-1

C

11000142-1120101-1

B212211321

A


9

4.- Calcular el conjunto S de las soluciones de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando el método de Gauss Jordan:

4vw-zy-2x4vz-y0w-zx

1v-wz-yx

i)

4212239w2z-y-3x

2v-zyx5vw-z3y-2x

h)

3w-zy-2x-1w2x-3y-32w-2zx--2wz-2yx

g)

131z-y2x02zy-x

f)

1zyx105z4y-x5z2y-x-34z5y-2x

e)

-1w4z-3y2x06w3y2x

13wz2y-x-0w-2yx

d)

02z6y4x12yx0z3y-2x

1zy-x

c)

3yx132z5y3x5z2yx

1z-x

b)02z2yx

02w2zyx0wyx

a)

wzyxvwzx

zx

Determine la solución de los sistemas de ecuaciones establecidos en: f, d, g usando el método de Cramer.

5.- Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

3bz2yx12y5x22zax

Donde a y b son números reales. ¿Qué relación debe existir entre a y b para que el sistema tenga solución única?

6.- Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

1nm2yx2n5m13y5x

nyxm7y3x

Determine los valores de m y n reales, tal que el sistema tenga solución única.

7.- En el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Determine el valor o valores para a tal que y=2.

103z5y6xa2yx

1zy3x


10

8.- Calcular el conjunto S de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales (I). En el sistema (II) determine el valor “a” tal que y=2.Use el m�todo de Gauss Jordan:

I)

4vw-zy-2x4vz-y0w-zx

1v-wz-yx

II)

5-vz2y-82v3z5y6x

az-2yx0v-zy3x

9.- Use el m�todo de Cramer para determinar el valor de “a” tal que z = 2.

103z5y6xaz-2yx1zy3x

11.- Determine el polinomio caracter�stico, los valores propios y los vectores propios de cada una de las matrices dadas a continuaci�n

0a.c.dcon

a000da000ca000ba

K

50123212

10321014

J110121-

011I

251-23166

H101

011111

G

326203427

F110

121-211

E2-022-

D1523

C2-51-2

B1522

A

12.- Considere las matrices dadas a continuaci�n, determine si la matriz es diagonalizable, si lo es determina la matriz invertible C, Tal que C-1.A . C=D. Verificar que A . C = C . D. Donde D es la matriz diagonal de A.

501-23-212-10321014

K

50123212

10321014

J110121-

011I

251-23166

H101

011111

G

326203427

F110

121-211

E2-022-

D1153

C2-51-2

B1522

A

13.- Probar que las matrices A y B son semejantes, ya que existe una matriz C invertible, tal que cumple con la siguiente relaci�n A . C = C . D, calcule el determinante de A y B, compare sus valores.

753110

342C

200010001

B8228122536-

AII)1112

C3-52-4

B1-012

AI)

14.- Sea A una matriz cuadrada, entonces: An =C.Dn.C-1, use esta relaci�n para calcular A10, siendo A la

matriz dada a continuaci�n. 324202423

A

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