Ejercicios resueltos 1. Una refinería produce gasolina Corriente, Extra y ACPM para las cuales a establecido un precio de venta de $4000, $4500 y $4100 por galón respectivamente. Para la producción de estos combustibles, la compañía cuenta con una disponibilidad de 5000 galones de petróleo crudo y 7000 galones de petróleo refinado. Además se a establecido que el costo de galón de petróleo crudo es 3000 y el refinado a 3500. Por requerimientos de calidad, se sabe que la gasolina corriente debe contener 40% de petróleo crudo y 60% de petróleo refinado; la gasolina extra debe contener 30% de petróleo crudo y 70% de petróleo refinado; mientras que el ACPM debe contener 50% de ambos petróleos. Plantee el modelo de programación lineal con el fin de obtener el beneficio de la empresa. ------------- -- P. CRUDO P. REFINADO PRECIO/GALON CORRIENTE 40% 60% $4000 EXTRA 30% 70% $4500 ACPM 50% 50% $4100 DISPONIBILIDA D 5000 galones 7000 galones PRECIO/GALON $3000 $3500
PROGRAMACION LINEAL PARA INVESTIGACION DE OPERACIONES COMO MODELO MATEMATICO DETERMINISTICO
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Ejercicios resueltos
1. Una refinería produce gasolina Corriente, Extra y ACPM para las cuales a
establecido un precio de venta de $4000, $4500 y $4100 por galón
respectivamente. Para la producción de estos combustibles, la compañía cuenta
con una disponibilidad de 5000 galones de petróleo crudo y 7000 galones de
petróleo refinado. Además se a establecido que el costo de galón de petróleo
crudo es 3000 y el refinado a 3500. Por requerimientos de calidad, se sabe que la
gasolina corriente debe contener 40% de petróleo crudo y 60% de petróleo
refinado; la gasolina extra debe contener 30% de petróleo crudo y 70% de petróleo
refinado; mientras que el ACPM debe contener 50% de ambos petróleos. Plantee
el modelo de programación lineal con el fin de obtener el beneficio de la empresa.
--------------- P. CRUDO P.
REFINADO
PRECIO/GALON
CORRIENTE 40% 60% $4000
EXTRA 30% 70% $4500
ACPM 50% 50% $4100
DISPONIBILIDA
D
5000
galones
7000
galones
PRECIO/GALON $3000 $3500
->Lo primero que hacemos es definir las variables a usar en el modelo de
programación lineal:
X1= Galón de gasolina corriente; X2= Galón de gasolina extra; X3= Galón de
ACPM; X4= Galón de petróleo crudo; X5= Galón de petróleo refinado.
->Ahora definimos nuestra función objetivo, que es:
Zmax= 4000X1+4500X2+4100X3-(3000X4+3500X5)
->Y las restricciones a las que esta sometido nuestro problema son:
RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. CRUDO:
R1= 0.4X1+0.3X2+0.5X3 ≤ 5000
RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. REFINADO:
R2= 0.6X1+0.7X2+0.5X3 ≤ 7000
RESTRICCIONES DE POSITIVIDAD:
X1,X2,X3,X4,X5 ≤ 0
2. Una compañía de petróleo produce tres tipos de gasolina Súper, Normal y
Euro. Se obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres
componentes A, B y C. La participación de esos componentes en la fabricación de
cada crudo es:Restricciones:
CRUDO 1 2 3
A 80% 10% 5%
B 45% 30% 20%
C 30% 40% 25%
Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:
TIPO DE
GASOLINA
A B C
SUPER ≥60% ≤25% ≥10%
NORMAL ≥50% ≤30% ≤15%
EURO ≤40% ≥35% ≥20%
Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente.
El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de
crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos
obligan comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las demandas de las
gasolinas Súper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente,
que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina
Euro.
DEFINIMOS LAS VARIABLES:
Xij=> i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}; en unidades de
barriles. Y como ayuda tenemos de variable C, con respecto a cada componente
de los crudos.
->Nuestra función objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea
maximizar la producción de gasolina Euro:
Zmax= XAE+XBE+XCE
->Restricciones de cantidades:
0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≥ 0.6 (XAS+XBS+XCS)
0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≤ 0.25 (XAS+XBS+XCS)
0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≥ 0.1 (XAS+XBS+XCS)
0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≥ 0.5 (XAN+XBN+XCN)
0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≤ 0.3 (XAN+XBN+XCN)
0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≤ 0.15 (XAN+XBN+XCN)
0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3≤ 0.4 (XAE+XBE+XCE)
0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3≥ 0.35 (XAE+XBE+XCE)
0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3≥ 0.2 (XAE+XBE+XCE)
->Restricción de costos diarios:
650 (XAS+XAN+XAE)+500 (XBS+XBN+XBE)+450 (XCS+XCN+XCE) ≤ 50 millones
->Restricción de disponibilidad diaria de los crudos B y C:
XBS+XBN+XBE ≤ 3000 barriles.
XCS+XCN+XCE ≤ 7000 barriles.
->Restricción de demandas de gasolina Súper y Normal:
(XAS+XBS+XCS) ≥ 2000 barriles
(XAN+XBN+XCN) ≥ 2500 barriles
->Restricción de mínimo de compras de crudo A:
(XAS+XAN+XAE) ≥ 2500 barriles.
->Restricción de positividad:
Xij≥0 → i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.
3. Una compañía produce bibliotecas y escritorios para los cuales a establecido un
precio de venta por unidad de $9000 y $10000 respectivamente. Para la
producción de dichos artículos, la compañía cuenta con una disponibilidad
mensual de 700 metros de madera, 800 metros de tubo y 900 pliegos de papel de
lija. ¿Qué cantidad de bibliotecas y escritorios se deben fabricar mensualmente, si
se sabe que una biblioteca consume 7 metros de madera, 10 metros de tubo y 6
pliegos de papel de lija; mientras que el escritorio consume 10 metros de madera,
8 metros de tubo y 15 pliegos de papel de lija?
Determinamos primero que todo, nuestras variables que son:
X1= Número de bibliotecas; X2= Número de escritorios.
Ahora, la función objetivo es:
Zmax=9000X1+10000X2
Restricciones:
· Restricción de cantidad de madera a emplear:
7X1+10X2 ≤ 700 m
· Restricción de cantidad de tubo a emplear:
10X1+8X2 ≤ 800 m
· Restricción de cantidad de papel de lija a emplear:
6X1+15X2 ≤ 900 pliegos
· Restricción de positividad:
X1, X2 ≥ 0
4. Una compañía de petróleo produce tres tipos de gasolina Súper, Normal y Euro. Se
obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres
componentes A, B y C. La participación de esos componentes en la fabricación de
cada crudo es:
CRUDO 1 2 3
A 80% 10% 5%
B 45% 30% 20%
C 30% 40% 25%
Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:
TIPO DE
GASOLINA
1 1 1
SUPER ≥60% ≤25% ≥10%
NORMAL ≥50% ≤30% ≤15%
EURO ≤40% ≥35% ≥20%
Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente.
El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de
crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos
obligan comprar al menos 2500 barriles de A por día. Las demandas de las
gasolinas Súper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente,
que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina
Euro.
DEFINIMOS LAS VARIABLES: Xij=> i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de
gasolina= {S, N, E}; en unidades de barriles. Y como ayuda tenemos de variable
C, con respecto a cada componente de los crudos.
Nuestra función objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea maximizar
la producción de gasolina Euro:
Zmax= XAE+XBE+XCE
->Restricciones de cantidades:
0,80XAS+0,45XBS+0,30XCS ≥ 0,60(XAS+XBS+XCS)
0,10XAS +0,30XBS+0,40XCS ≤ 0,25(XAS+XBS+XCS)
0,05XAS+0,20XBS+0,25XCS ≥ 0,10 (XAS+XBS+XCS)
0,80XAN+0,45XBN+0,30XCN ≥ 0,50(XAN+XBN+XCN)
0,10XAN +0,30XBN+0,40XCN ≤ 0,30(XAN+XBN+XCN)
0,05XAN+0,20XBN+0,25XCN ≤ 0,15 (XAN+XBN+XCN)
0,80XAE+0,45XBE+0,30XCE ≤ 0,40(XAE+XBE+XCE)
0,10XAE +0,30XBE+0,40XCE ≥ 0,35(XAE+XBE+XCE)
0,05XAE+0,20XBE+0,25XCE ≥ 0,20(XAE+XBE+XCE)
->Restricción de costos diarios:
650 (XAS+XAN+XAE)+500 (XBS+XBN+XBE)+450 (XCS+XCN+XCE) ≤ 50 millones
->Restricción de disponibilidad diaria de los crudos B y C:
XBS+XBN+XBE ≤ 3000 barriles.
XCS+XCN+XCE ≤ 7000 barriles.
->Restricción de demandas de gasolina Súper y Normal:
(XAS+XBS+XCS) ≥ 2000 barriles
(XAN+XBN+XCN) ≥ 2500 barriles
->Restricción de mínimo de compras de crudo A:
(XAS+XAN+XAE) ≥ 2500 barriles.
->Restricción de positividad:
Xij≥0 → i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.
5. PROTRAC, produce dos líneas de maquinaria pesada. Una de sus líneas de
productos, llamada equipa de excavación, se utiliza de manera primordial en
aplicaciones de construcción. La otra línea, denominada equipo para la silvicultura,
esta destinad a la industria maderera. Tanto la maquina mas grane de la línea de
equipo de excavación (E9), como la mayor de toda la línea de silvicultura (F9) son
fabricadas en los mismos departamento y con el mismo equipo. Empleando las
proyecciones económicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de
mercadotecnia de PROTRAC ha considerado que durante ese periodo será
posible vender todas las E9 y F9 que la compañía sea capaz de producir. La
gerencia tiene que recomendar ahora una meta de producción pare le mes
próximo. Es decir, ¿Cuántas E-9 y F-9 deberán fabricar si la dirección de
PROTRAC desea maximizar la contribución del mes entrante a las ganancias?
Se toma en cuenta los siguientes factores importantes:
El margen de contribución unitaria de PROTRAC es de $ 5000 pro cada E-9
vendida y de $4000 por cada F-9.
Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el
departamento A como el B.
Para la producción correspondiente al mes próximo, estos dos
departamentos tienen tiempos disponibles de 150 y 160 horas, respectivamente.
La fabricación de cada E-9 requiere 10 horas de maquinado en el departamento A
y 20 horas en el departamento B, mientras que la de cada F-9 requiere 15 horas
en el departamento A y 10 en el B.
Para que la administración cumpla un acuerdo concertado con el sindicato,
las horas totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del
siguiente mes no deben ser mas allá de 10% inferior a una meta convenida de 150
horas. Estas pruebas es llevan a cavo en un tercer departamento y no tiene nada
que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a
pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10. Dado que el 10% de 150 es 15,
las horas destinas a las pruebas no pueden ser menores que 135.
Con el fin de mantener su posición actual en el mercado, la lata gerencia ha
decretado como política operativa que .deberá construirse cuando menos una F-9
por cada tres E-9 que sean fabricadas.
Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos
cinco E-9 y F-9 para el próximo mes, por lo cual tendrá que producirse por lo
menos esa cantidad.
Entonces tomamos como nuestras variables:
X= # máquinas E9
Y= # máquinas F9.
Nuestra función objetivo será:
Zmax= 5000X + 4000Y.
Restricciones:
· 10X + 15Y ≤ 150.
· 20X + 10Y ≤ 160.
· 30X + 10Y ≥ 135.
· X/Y ≤ 3.
· X + Y ≥ 5.
· X, Y ≥ 0.
6. Problema de Dieta
El problema de la dieta fue uno de los primeros sobre optimización. Se trataba
hallar la manera más económica de alimentar al ejercito pero asegurando al
mismo tiempo unos determinados niveles nutricionales.
Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar
los gastos de la compra, dieta para el ganado, una dieta adelgazante que cumpla
unos determinados niveles de calorías, proteínas, hidratos de carbono, etc.
Ejemplo
Nos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la más
económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes que
llamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos
M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos
viene dada en la tabla siguiente:
A B C D
M 100 - 100 200
N - 100 200 100
La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del
componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del
componente D. El compuesto M cuesta 0.2€/Kg y el compuesto N 0.08€/Kg. ¿Qué
cantidades de piensos M y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el
menor posible?
Solución
Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En
este caso:
X1: cantidad de pienso M en Kg
X2: cantidad de pienso N en Kg
Se determina la función objetivo:
Minimizar Z = 0.2·X1 + 0.08·X2
Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones
de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la composición
requerida para la dieta diaria (en Kg):
En el componente A: 0.1·X1 + 0·X2 ≥ 0.4
En el componente B: 0·X1 + 0.1·X2 ≥ 0.6
En el componente C: 0.1·X1 + 0.2·X2 ≥ 2
En el componente D: 0.2·X1 + 0.1·X2 ≥ 1.7
Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la
naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que
solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso, la única restricción es
que las cantidades de pienso que forman la dieta no pueden ser negativas:
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
7. Transporte de tropas
Un destacamento militar formado por 50 soldados ingenieros, 36 zapadores, 22 de
las fuerzas especiales, y 120 soldados de infantería como tropa de apoyo, ha de
transportarse hasta una posición estratégica importante. En el parque de la base
se dispone de 4 tipos de vehículos A, B, C, y D, acondicionados para transporte
de tropas. El número de personas que cada vehículo puede transportar es 10, 7,
6, y 9, de la forma en que se detalla en la siguiente tabla:
Ingenieros Zapateros Fuerzas
especiales
Infantería
A 3 2 1 4
B 1 1 2 3
C 2 1 2 1
D 3 2 3 1
El combustible necesario para que cada vehículo llegue hasta el punto de destino
se estima en 160, 80, 40, y 120 litros respectivamente. Si queremos ahorrar
combustible, ¿cuántos vehículos de cada tipo habrá que utilizar para que el
consumo sea el mínimo posible?
Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En
este caso:
Xi: número de vehículos de cada tipo que se usen
X1: número de vehículos de tipo A
X2: número de vehículos de tipo B
X3: número de vehículos de tipo C
X4: número de vehículos de tipo D
Se determina la función objetivo:
Minimizar Z = 160·X1 + 80·X2 + 40·X3 + 120·X4
Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones
de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de los soldados que
deben ser transportados:
Ingenieros: 3·X1 + X2 + 2·X3 + 3·X4 ≥ 50
Zapadores: 2·X1 + X2 + X3 + 2·X4 ≥ 36
Fuerzas especiales: X1 + 2·X2 + 2·X3 + 3·X4 ≥ 22
Infantería: 4·X1 + 3·X2 + X3 + X4 ≥ 120
Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza
de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan
tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que la cantidad
de vehículos no puede ser negativa y debe ser además un número entero:
Xi ≥ 0
Xi son enteros
8. Transporte de mercancías
Para este tipo de problemas, aunque pueden ser resueltos por el método del
Simplex, existe un método específico de más fácil resolución: el método del
transporte o método simplificado del Simplex para problemas de transporte. Este
método ahorra bastante tiempo y cálculos frente al método del Simplex tradicional.
Sin embargo el problema se modela de la misma forma.
Ejemplo
Un fabricante desea despachar varias unidades de un artículo a tres tiendas T1,
T2, y T3. Dispone de dos almacenes desde donde realizar el envío, A y B. En el
primero dispone de 5 unidades de este artículo y en el segundo 10. La demanda
de cada tienda es de 8, 5, y 2 unidades respectivamente. Los gastos de transporte
de un artículo desde cada almacén a cada tienda están expresados en la tabla:
T1 T2 T3
A 1 2 4
B 3 2 1
¿Cómo ha de realizar el transporte para que sea lo más económico posible?
Solución
Se determinan las variables de decisión, en este caso:
Xi: número de unidades transportadas desde cada almacén a cada tienda
X1: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda
T1
X2: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda
T2
X3: número de unidades transportadas desde el almacén A hasta la tienda
T3
X4: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda
T1
X5: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda
T2
X6: número de unidades transportadas desde el almacén B hasta la tienda
T3
Se determina la función objetivo:
Minimizar Z = X1 + 2·X2 + 4·X3 + 3·X4 + 2·X5 + X6
Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones
de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de la disponibilidad
de unidades que hay en cada almacén así como de la demanda de cada tienda:
Disponibilidad en el almacén A: X1 + X2 + X3 = 5
Disponibilidad en el almacén B: X4 + X5 + X6 = 10
Demanda de la tienda T1: X1 + X4 = 8
Demanda de la tienda T2: X2 + X5 = 5
Demanda de la tienda T3: X3 + X6 = 2
Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la
naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que
solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son
que la cantidad de unidades no puede ser negativa y debe ser además un número
entero:
Xi ≥ 0
Xi son enteros
9. Árboles frutales
Un agricultor tiene una parcela de 640m² para dedicarla al cultivo de árboles
frutales: naranjos, perales, manzanos y limoneros. Se pregunta de qué forma
debería repartir la superficie de la parcela entre las variedades para conseguir el
máximo beneficio sabiendo que:
cada naranjo necesita un mínimo de 16m², cada peral 4m², cada manzano
8m² y cada limonero 12m².
dispone de 900 horas de trabajo al año, necesitando cada naranjo 30 horas
al año, cada peral 5 horas, cada manzano 10 horas, y cada limonero 20 horas.
a causa de la sequía, el agricultor tiene restricciones para el riego: le han
asignado 200m³ de agua anuales. Las necesidades anuales son de 2m³ por cada
naranjo, 1m³ por cada peral, 1m³ por cada manzano, y 2m³ por cada limonero.
los beneficios unitarios son de 50, 25, 20, y 30 € por cada naranjo, peral,
manzano y limonero respectivamente.
Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En
este caso:
X1: número de naranjos
X2: número de perales
X3: número de manzanos
X4: número de limoneros
Se determina la función objetivo:
Maximizar Z = 50·X1 + 25·X2 + 20·X3 + 30·X4
Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones
de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de las necesidades
de cada árbol de terreno, horas de trabajo anuales, y necesidades de riego: